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F~G = mg · (− sin(ϕ)~et − cos(ϕ)~er ).
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Physik im Freizeitpark
Schülerprojekt an der
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
1
2
Ablauf
1. Mechanik-Test
2. Physikalische Grundlagen
3. Achterbahn Looping
4. Analyse der Daten
3
Physikalische Grundlagen
 Geschwindigkeit
 Newtonsche Axiome
 Beschleunigung
 Gravitation, Masse und Gewicht
 Kreisbewegung
 Energieerhaltung
 Reibung
4
Geschwindigkeit
Einfachster Fall:
Gleichförmige Bewegung = Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit
Achtung:
r
r ∆s
v=
∆t
Geschwindigkeit ist ein Vektor,
d.h. eine Größe mit Richtung und
Betrag, der Schnelligkeit!!!
zu langweilig im Freizeitpark
5
Allgemeiner Fall:
Beliebige Bewegung mit unterschiedlichen
Schnelligkeiten und Richtungen
Geschwindigkeit ändert sich ständig, daher muss
die Ortsänderung während eines sehr kleinen
(infinitesimalen) Zeitintervalls betrachtet werden:
r
r ∆s
v=
∆t
mit
∆t → 0
Einheit:
m
s
6
Newtonsche Axiome
Formulierung von drei Grundgleichungen der Bewegungen
1687 Philosophiae Naturalis Principa
Mathematica
(Mathematische Prinzipien der
Naturphilosophie)
Sir Isaac Newton
1643 – 1727
7
1. Newtonsches Axiom
Trägheitsprinzip
Wenn keine Einwirkung der Umgebung vorhanden ist,
bleibt der Vektor der Geschwindigkeit eines Körpers
konstant, d.h. er ändert sich nicht mit der Zeit und
beschreibt eine geradlinige gleichförmige Bewegung.
Ein Körper ändert seinen Bewegungszustand nicht,
wenn
die auf ihn wirkende resultierende Kraft
r
Fres = 0 ist. Man sagt der Körper ist träge.
8
Bemerke:
Auch Kräfte sind Vektoren, d.h. sie haben eine
Richtung, in der sie wirken, und einen Betrag,
die Kraftstärke.
r
F
9
2. Newtonsches Axiom
Aktionsprinzip
Nach dem Trägheitsprinzip erfordert jede
Veränderung des Geschwindigkeitsvektors eine
r
Kraft.
r
v2
v2
r
v1
oder
r
v1
Für diese Kraft gilt:
Die auf einen Körper wirkende Kraft ist gleich dem
r
r
Produkt aus Masse und Beschleunigung, d.h. Fres = m ⋅ a
10
3. Newtonsches Axiom
Reaktionsprinzip
Kräfte treten immer paarweise auf.
Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus
(actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen
gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).
„Actio=Reactio
– der Stein
bewegt sich nie!!!“
11
Aber: Actio und Reactio greifen an verschiedenen
Körpern an.
reactio
actio
Haftreibung
Zugkraft
Für die Bewegung des Steins sind die Kräfte, die auf
diesen wirken verantwortlich!
12
Beschleunigung
Beschleunigung bezeichnet jede Änderung des
Geschwindigkeitsvektors, also sowohl eine
Ab- oder Zunahme des Betrags als auch eine
Richtungsänderung.
13
Wie bei der Geschwindigkeit lässt sich die
Beschleunigung mit
r
r ∆v
für ∆t → 0
a=
∆t
bestimmen.
Einheit:
m
s2
Beispiel: Beschleunigung in vertikaler Richtung während
einer Fahrt mit der Black Mamba
14
Erdanziehungskraft
 resultiert aus der Eigenschaft von Masse andere
Massen anzuziehen (Gravitation)
 ist abhängig von der Größe
der anziehenden Massen
 ist abhängig vom Abstand der
Mittelpunkte der Massen
 Richtung: auf Massenmittelpunkt
 hat unendliche Reichweite
15
Die Beschleunigung g , die die Erde auf jede Masse
ausübt, ist auf der Erdoberfläche nahezu konstant
und hat den Wert
m
g = 9,81
s2
Himmelskörper
Mond
Sonne
Mars
Jupiter
Beschleunigung
in m/s2
1,57
272,72
3,83
24,53
16
Masse und Gewicht
Was ist der Unterschied zwischen Gewicht und
Masse?
Oder: Mit der Waage in den Fahrstuhl…
17
Wunder-Diät????
FG
mg
In einem unbeschleunigten Fahrstuhl,
spürt der Passagier sein ‚normales‘
Gewicht.
Dies ist gerade die vom Boden auf ihn
wirkende Kraft, die seine Fallbewegung
verhindert.
D.h. der Mensch nimmt sein Gewicht
indirekt war.
18
Fa
FG
Bei der Beschleunigung des
Fahrstuhls nach oben wirkt der Boden
nun auf zwei Arten auf den Passagier:
- Auffangen der Erdbeschleunigung
- Beschleunigung nach oben
das Gewicht wird größer
mg
19
FG
Wird der Fahrstuhl nach unten
beschleunigt, so fällt uns der Boden
quasi unter den Füßen weg, d.h. er
muss eine geringere Kraft aufbringen
um unser Gewicht zu halten.
Man fühlt sich leichter.
Fa
mg
20
Reißt das Seil, so dass der Fahrstuhl
frei fällt, funktioniert die „Diät“ am
besten!
Der Boden kann der Erdanziehung
nicht mehr entgegen wirken, daher ist
der Passagier schwerelos.
mg
21
Gewicht
Das Gewicht eines Objektes ergibt sich aus einer
verhinderten Bewegung und ist damit eine entgegen
der einwirkenden Kraft gerichtete Kraft.
Das Gewicht ist eine Zustandsgröße.
Einheit: N (Newton)
22
Masse
Zwei Körper haben die gleiche Masse,
wenn sie bei gleicher Krafteinwirkung die
gleiche Beschleunigung erfahren.
Mit Hilfe eines Standardkörpers lässt sich
jedem Körper eine Masse zuordnen, die
Masse ist somit eine Stoffeigenschaft.
Einheit: kg
23
Beschleunigungssensor
Nach dem Fahrstuhl-Experiment lässt sich der
Beschleunigungssensor leicht verstehen.
Unbeschleunigt auf der Erde:
Sensormasse
FG=FN
Feder
mg
Die Feder muss die Erdanziehungskraft, die auf die Sensormasse
wirkt, kompensieren. Die
Auslenkung der Feder wird in ein
Spannungssignal verwandelt.
Dieses Spannung entspricht dann
gerade einer Beschleunigung von
1 g.
24
m
Bemerke: 1g = 9,81 2
s
In der Physik werden Beschleunigungen aus diesem
Grund auch oft als Vielfaches der Erdbeschleunigung
angegeben.
Beispiele:
Nähmaschine
Tennisball
Auto
6000 g
1000 g
0,3 g
25
Jetzt das Ganze mit Beschleunigung:
FN
a
mg
Beschleunigung entgegen der
Erdbeschleunigung mit a = 0,5 g
Feder muss zusätzliche Kraft
aufbringen
Anzeige: 1,5 g
Berechnung der effektiven Beschleunigung: a eff = a − g
26
3-D-Sensor
Einen 3-D-Sensor kann man sich aus mehreren
Sensoreinheiten zusammengesetzt vorstellen.
Die Richtungen senkrecht zur Erdbeschleunigung
sind jedoch einfacher zu verstehen:
Unbeschleunigt:
Feder ist entspannt
Anzeige: 0 g
27
FN
Beschleunigt:
Feder kompensiert
Kraft durch
Beschleunigung
Anzeige: a
a
28
Kreisbewegung
29
Kreisbewegung = beschleunigte Bewegung
Kraft: Zentripetalkraft
v
F
v
F
Richtung der Geschwindigkeit:
Tangente an den Kreis
Umlaufdauer T = Zeit für eine
Umdrehung
Schnelligkeit:
v=
∆s 2 π r
=
∆t
T
30
Zentripetalkraft
Wohin wirkt denn nun die Kraft???
Betrachtung des Karussell von außen
= ruhendes Bezugssystem (Inertialsystem)
Ketten müssen Schaukeln ständig nach innen ziehen
Zentripetalkraft
31
Betrachtung aus Sicht eines
Mitfahrers = beschleunigtes
Bezugssystem
Was passiert:
Karussell setzt sich in Bewegung,
Passagier rutscht auf Grund der Massenträgheit
langsam nach außen und wird schließlich von der
Schaukel aufgehalten
32
Und wie sieht das der Passagier?
„Also: Ich werde nach außen gedrückt, dann muss
es eine Kraft geben, die in diese Richtung wirkt.“
Zentrifugalkraft
33
‚Physikalische‘ Erklärung
Der Passagier befindet sich in einem beschleunigten
Bezugssystem.
In diesem System befindet er sich in Ruhe.
Im Zustand der Ruhe darf aber nach den Newtonschen
Axiomen keine Kraft wirken!!
Zentrifugalkraft
Um auch in diesem
System mit Newtons
Axiomen rechnen zu
können muss eine
Scheinkraft eingeführt
werden.
34
Die Zentripetalkraft ist umso größer, je kleiner der
Radius der Kreisbahn und je größer die
Bahngeschwindigkeit ist.
FZ = m ⋅
v2
r
Für die Zentripetalbeschleunigung gilt also:
aZ =
v2
r
35
Energieerhaltung
Energie kann verschiedene Formen
(potentielle, kinetische, thermische, elektrische Energie,…)
annehmen, die ineinander umgewandelt werden können,
ohne dass dabei Energie verloren geht.
Energieerhaltungssatz:
Die Gesamtenergie bleibt in einem
abgeschlossenem System erhalten.
36
Die Achterbahn
Achterbahnen benötigen für die eigentliche Fahrt keinen
Motor!
37
Zunächst werden die Züge, meist mit Hilfe von
elektrischer Energie auf den ersten Hügel befördert, der
sogenannte Lifthill.
38
Dadurch steht ihnen potentielle Energie zur Verfügung.
39
Bei der Abfahrt verwandelt sich diese in kinetische Energie.
40
Am tiefsten Punkt der Strecke hat die Achterbahn dann
die größte Geschwindigkeit.
41
Auf Grund der Trägheit (1. Newtonsches Axiom) bewegt
sie sich den zweiten Hügel hinauf.
Hierbei wandelt sich die kinetische Energie wieder zu
potentieller Energie um.
42
Reibung
Eine endlose Achterbahnfahrt ?????
Bei der Umwandlung von potentieller in kinetische
Energie wird auf Grund der Reibung ein Teil von
dieser in thermische Energie umgewandelt.
Problem: Reibung hängt von verschiedensten
Parametern ab und kann deswegen kaum in
Rechnungen einbezogen werden. Meist werden
ihre Effekte mit Computerprogrammen simuliert.
43
Jetzt das Ganze in Formeln:
Potentielle Energie
(oder Lageenergie):
Epot = m ⋅ g ⋅ h
Kinetische Energie
(oder Bewegungsenergie):
Ekin = 1 2 ⋅ m ⋅ v 2
Energieerhaltungssatz:
Epot (t1 ) + Ekin (t1 ) = Epot (t 2 ) + Ekin (t 2 )
44
Der Looping
Die Fahrt durch einen Looping
ist eine Kreisbewegung.
Im mitbewegten Bezugssystem
muss also ständig eine
Zentripetal- und eine
Zentrifugalkraft (Scheinkraft)
wirken.
Zentripetal- und Zentrifugalkraft setzen sich aus der
Gewichtskraft und der Kraft, die die Schienen auf den
Zug ausüben bzw. den Gegenkräften zusammen.
45
Betrachtung des höchsten Punkts des Loopings:
Erdanziehungskraft wirkt in Richtung des Mittelpunktes
Zug muss mindestens
so schnell sein, dass die
Erdanziehungskraft gerade
die Zentripetalkraft liefert
46
Der Passagier im beschleunigten Bezugssystem
muss zudem die Zentrifugalkraft berücksichtigen :
FZF
FG=FZP
Er fühlt sich schwerelos!
Daher ist es meist unmöglich
festzustellen, wann man sich in
einer Achterbahn ‚Überkopf‘
befindet.
47
Was passiert nun am tiefsten Punkt des Loopings?
Erdanzeihungskraft und
Kraft durch Schiene
Addition der beiden Kräfte
Gewicht = Vielfaches der Erdanziehungskraft
48
Klothoiden-Looping
Kraft am Eingang des Loopings: Funten
v
= m ⋅ g + unten
r
2
Idee: langsames Anwachsen des Radius von ∞
(Gerade) auf den gewünschten Radius des
Loopings
langsame Steigerung der Beschleunigung
Klothoide
49
Kanonen (Lieseberg, Göteborg)
Big Loop (Heide-Park, Soltau)
50
Die mathematische Formel der Klothoide ist sehr
kompliziert.
Hier genügt es sich einen solchen Looping aus Kreisen
verschiedener Radien zusammengesetzt vorzustellen.
51
Sitzplatzabhängigkeit
Worin besteht nun der Unterschied, ob man in der
Achterbahn vorne, in der Mitte oder hinten sitzt?
Da die Gesamtbeschleunigung von der
Geschwindigkeit abhängt, muss bedacht werden wie
sich die Geschwindigkeit beim Passieren eines
Punktes über den Zug verteilt, d.h. wie groß sie für
die einzelnen Wagen ist.
52
schnellster
Wagen
alle Wagen positiv
beschleunigt
erster Wagen wirkt
bereits bremsend
langsamster
Wagen
53
Erhöhung der Geschwindigkeit
durch ersten Wagen
alle Wagen negativ
beschleunigt
langsamster
Wagen
schnellster
Wagen
54
schnellster
Wagen
schnellster
Wagen
In einer Kompression: Höchste Geschwindigkeit und
damit höchste Beschleunigung im ersten Wagen
größtes Gewicht
Auf einer Kuppe: Höchste Geschwindigkeit und damit
Beschleunigung im letzten Wagen größte ‚Airtime‘
55
Bildernachweis
Folie 2: http://www.rcu.ch/upload/44_N_Foto_achterbahn.jpg
Folie 7: http://www.math.tugraz.at/~predota/old/history/mathematiker/
img/newton3.jpg
Folie 9: http://www.runnerschoice.on.ca/graphics/cartoon%20boxer.jpg
Folie 11/12: http://rath.brgkepler.at/fachdidaktik/kap03.html
Folie 13: http://leifi.physik.uni-münchen.de/web_ph11/umwelt-technik/
01geschwind/beschleunigung.htm
Folie 15: http://verlag.inndeoendent.de/images/report_17024__12_newtons
_apfel.jpg
Folie 18-21: http://www.schulen.eduhi.at/riedgym/physik/9/fahrstuhl/fahrstuhl.htm
Folie 23: http://www.hereinspaziert.at/clip-clap-waage.jpg
Folie 29: http://www.stuttgart-tourist.de/media/volksfest_kettenkarussell.jpg;
http://www.stoppelmarkt.de/img/riesenrad.jpg; http://schwarzkopf.coaster.net/achterbahnen-detail-schienenHF.htm;
http://www-aix.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/MECHANIK/IMAGES/kurve.jpg;
http://de.wikipedia.org/wiki/Zoya_Douchine
Folie 34: http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/lesestoff/07_
zentrifugalkraft/zentrifugalkraft.htm
Folie 49: http://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide
Folie 50: http://rcdb.com/ig986.htm?picture=10
56
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