Anwendungen der Tensorrechnung in der technischen Mechanik

Transcription

Anwendungen der Tensorrechnung in der
technischen Mechanik
Bearbeiter:
Unger, Jörg F.
B/97/H
Betreuer:
Prof. Gürlebeck
Dr. Köppler
Professur für Mathematik
Institut für Strukturmechanik
Bauhaus-Universität Weimar Bauhaus-Universität Weimar
Datum:
18. Dezember 2002
Einleitung
In der Mechanik ist es oft sinnvoll, ein Problem in einem dafür geeigneten Koordinatensystem zu lösen.
Oft ist es aber notwendig, diese Gesetze auch in anderen Koordinatensystemen anzuwenden. Um die Transformation in ein anderes System durchzuführen, sind geeignete Methoden zu verwenden, wie sie uns die
Tensoralgebra und -analysis zur Verfügung stellt. Sie erlauben uns eine Formulierung, die unabhängig vom
gewählten Koordinatensystem ist. Im folgenden sollen dem Leser anhand von praktischen Beispielen die
Methoden der Tensorrechnung erläutert werden. Es emp£ehlt sich, die Aufgaben in der angegebenen Reihenfolge zu bearbeiten. Dieses Skript stellt keine Einführung in die Tensorrechnung dar, sondern ist vielmehr als Begleitheft und Aufgabensammlung zu verstehen.
2
Inhaltsverzeichnis
1 Koordinatentransformation in af£nen Koordinaten
1.1 Transformationskoef£zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 kovariante Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Basisvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 metrische Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 kovariante und kontravariante Vektorkoordinaten . . . . . . . . . . . .
1.6 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 verallgemeinertes Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Skalarprodukt in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Invarianten eines Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Orthogonalität von Vektoren, Symmetrie und Invarianten von Tensoren .
1.11 Überprüfung des Tensorcharakters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
13
16
16
16
2 Tensoranalysis
2.1 Christoffelsymbole in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Hyberbelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Allgemeiner Nachweis des Tensorcharakters des Gradienten
2.4 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Herleitung der Divergenz im a,b Koordinatensystem . . . .
2.4.3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Allgemeine Form der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Nachweis der Invarianz der Divergenz . . . . . . . . . . . .
2.5 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 hyperbolische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Metriktensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Christoffelsymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
3 Anwendungen in der technischen Mechanik
3.1 Cauchyscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 andere Spannungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Nachweis der Symmetrie des Cauchyschen Spannungstensors
3.4 Energieäquivalente Arbeitspaare . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Deformationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Symmetrie von Spannungs- und Verzerrungstensor . .
3.5.3 Verzerrungs- Potentialfunktion . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Symmetrieebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Orthotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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40
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3
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Studienarbeit
3.6
3.7
3.8
Anwendung der Tensorrechnung
3.5.7 Elastische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Herleitung der Beziehungen zwischen Verschiebungen und angreifenden Kräften
3.6.1 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Plattengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fließbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Fließbedingung nach Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Fließbedingung nach von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Fließbedingung nach Drucker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation von Flächen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jörg F. Unger - B/97/H
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50
Seite 4
Kapitel 1
Koordinatentransformation in af£nen
Koordinaten
Gegeben sei eine kartesische Basis ei mit i = x, y, z. In ihr sei eine af£ne Basis r j mit j = 1, 2, 3 durch
= ex0 + 2ey0
= ey0 − ez0
r1
r2
= ey0 + ez0
r3
de£niert.
Die Vektoren u und v haben nach der kartesischen Basis folgende Entwicklung:
u
v
= ex0 + ey0 − ez0
= ex0 − ey0
1.1 Transformationskoef£zienten
.i
Man bestimme die Transformationskoef£zienten a.j
i0 , aj und die zugehörigen Matrizen
n o
n 0o
.
A = a.j
A0 = a.i
j
i0
0
i,j
ij
Anschließend bestimme man die Koordinaten der Vektoren u und v in der Basis rj
Lösung
Die Matrix A0 ergibt sich nach der Beziehung
n 0o
rj = a.i
e0i
j
(1.1)
ij
zu

1
A0 =  0
0

2
0
1 −1 
1
1
Abbildung 1.1: Basisvektoren rj und ei0
5
Studienarbeit
Aufgrund der Eineindeutigkeit der Abbildung (det(A0 ) 6= 0) läßt sich die Inverse A0
Multiplikation von links mit Gleichung 1.1 ergibt:
n o
e0i = a.j
rj
i0
−1
= A bilden und
ij
(1.2)
mit

2 −2
1
0
1
A=
2
0 −1

−2
1 
1
Dabei repräsentiert der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte der Transformationsmatrix.
Die Koordinaten der Vektoren u und v werden analog transformiert und man erhält die kontravarianten
Koordinaten:
ui
vi
0
= AT u j

 

T 
1
1
2 −2 −2
1
0
1
1   1 = 0 
=
2
−1
−1
0 −1
1
0
= ATv j




2 −2 −2
2
1
1
1
0
1
1   −1  =  −3 
=
2
2
0 −1
1
3
0
1.2 kovariante Basis
Man ermittle die kovariante Basis rj .
Erläuterung
Die kovariante Basis hat die Eigenschaft, daß jeder ihrer Basisvektoren rj senkrecht auf allen Basisvektoren
rk für j 6= k steht und das Skalarprodukt (rj , rj ) = 1, also die Länge des einen Vektors das Reziproke des
kontragredienten Vektors ist. Dies läßt sich folgendermaßen ausdrücken:
(rj , rk ) = δkj
(1.3)
Die zur kovarianten Basis kontragrediente Basis ist damit eindeutig bestimmt.
Anschauliche Lösung ohne explizite Verwendung des Metriktensors
Man wähle sich eine beliebige Basis und entwickle nach dieser die kovarianten Basisvektoren, also in
unserem Beispiel die kartesische Basis ei0 und die kovariante Basis rj . Die Koordinaten der kovarianten
Basisvektoren r1 , r2 , r3 in der Basis stehen in der ersten, zweiten bzw. dritten Zeile von A0 .
Mit A0 · A = I und der Interpretation der Spalten von A als Basisvektoren der kontravarianten Basis wird
Gleichung 1.3 erfüllt. Somit sind die kontravarianten Basisvektoren gegeben durch:
r1
r2
r3
= ex0
1
=
(−2ex0 + ey0 − ez0 )
2
1
=
(−2ex0 + ey0 + ez0 )
2
Es gilt:
rj = AT ei0
(1.4)
1.3 Basisvolumen
Man ermittle die Basisvolumina V∗ = V (rj ) und V ∗ = V (rj ) sowie die Orientierung der Basen rj , rj .
Seite 6
Studienarbeit
Erläuterung
Jedem Vektor - n - Tupel läßt sich ein (Spat-)Volumen nach folgender Vorschrift zuordnen.
a) Für alle kartesischen Basen gelte
V = V∗ = V ∗ = 1
(1.5)
b) Wenn sich ein Vektor - n - Tupel xj aus einem anderen uk durch Linearkombination berechnen lasse,
wobei
n o
mit
b = bj.k
xj = bj.k uk
jk
so gelte:
V (xj ) = det {b} V (uk )
(1.6)
Lösung
In gegebenem Fall ist das Spatvolumen der Basisvektoren des gegebenen kartesischen Systems:
V (ex0 , ey0 , ez0 ) = 1
Mit rj = A0 ei und rj = AT ei folgt:
V (r1 , r2 , r3 )
V (r1 , r2 , r3 )
= V∗ = det(A0 ) · V (ex0 , ey0 , ez0 ) = 2 · 1 = 2
1
1
= V∗ = det((A)T ) · V (ex , ey , ez ) =
·1=
0
det(A )
2
1.4 metrische Grundgrößen
Zu ermitteln sind die metrischen Grundgrößen gjk und g jk und ihre Matrizen g∗ = {gjk }jk und g∗ =
© jk ª
g
.
jk
Erläuterung
Die metrischen Grundgrößen entsprechen den Transformationskoef£zienten f ür den Fall der Transformation
zwischen zwei kontragredienten Basen. Es gilt allgemein:
rk
= g kj rj = g.jk rj
rk
= gk.j rj = gkj rj
Nach Gleichung (1.4) unter Verwendung von (1.2) folgt:
rj
= A0 ei0
= A0 (AT )−1 ri
= A0 A0T ri
i
= g∗ r
(1.7)
(1.8)
wobei
g∗ = M {glk }
anhand von Gleichung 1.7 und 1.8 erkennt man:
gij = (ri , rj ) = (rj , ri ) = gji
und analog
g ij = (ri , rj ) = (rj , ri ) = g ji
wobei ri die kovarianten und ri die kontravarianten Basisvektoren darstellen. Die metrischen Grundgrößen
sind demzufolge symmetrisch. Die gemischt-varianten Isomeren g.jk und gk.j ergeben sich zu:
g.jk = gk.j = δkj = δkj
Seite 7
Studienarbeit
Weiterhin gilt:
det{g∗ } = |V∗ |2
det{g∗ } = |V∗ |2
bzw.
(1.9)
Lösung
Anwendung von Gleichung 1.7 und 1.8 liefert direkt:


5 2 2
g∗ = A0 A0T =  2 2 0 
2 0 2


2 −2 −2
1
3
2 
g∗ = AT A =  −2
2
−2
2
3
Die Überprüfung von Gleichung 1.9 zeigt:
det{g∗ } =
det{g∗ } =
4 = |V∗ |2
1
= |V∗ |2
4
1.5 kovariante und kontravariante Vektorkoordinaten
Zu ermitteln sind die kovarianten und kontravarianten Koordinaten der Vektoren u und v
Erläuterung
Mittels der metrischen Grundsymbole gjk und g jk lassen sich die Koordinaten eines Vektors in der kovarianten (kontravarianten) Basis in die Koordinaten des selben Vektors in der kontravarianten (kovarianten)
Basis transformieren. Die Koordinaten eines Vektors in einer Basis ergeben sich allgemein aus dem Skalarprodukt:
uj = (u, rj ).
(1.10)
Mit der Transformationsvorschrift der Basisvektoren
ri = gij rj
folgt:
uj
= (u, gij ri )
= gij (u, ri )
= gij ui
(1.11)
Lösung
Die kontravarianten Koordinaten der Vektoren u und v in der kovarianten Basis rj ergeben sich direkt aus
Gleichung (1.5) zu:
u1
=
1
u2
=
0
u3
=
−1
v1
=
1
u2
=
− 23
u3
=
− 23
Mit Hilfe von Gleichung 1.11 lassen sich diese nun in die kontravariante Basis transformieren:
ui =
3
X
gij uj
j=1
vi =
3
X
gij vj
j=1
Dies läßt sich in Matrixschreibweise verkürzen zu:
  


3
1
5 2 2
1
uj = g∗ u =  2 2 0   0  =  2 
2
0
−1
2 0 2
Seite 8
Studienarbeit

2
1
= g∗ v =  −2
2
−2
vj

 
 
−1
−2 −2
2
1
3
2   −3  =  −1 
2
−1
2
3
−3
1.6 Skalarprodukt
Man bestimme das Skalarprodukt (u, v), die Längen |u| und |v| und den Winkel φ zwischen beiden Vektoren
unter Verwendung der Koordinaten im Basissystem rj bzw. rj
Erläuterung
Wegen
u
= u i ri = uj rj
v
= v i ri = uj rj
läßt sich das Skalarprodukt (u, v) durch die metrischen Grundgrößen ausdrücken :
(u, v)
= (u i ri , v j rj )
= u i v j (ri , rj )
= u i v j gij
(1.12)
Weiterhin folgt aus (1.12) und (1.11)
(u, v) = gij u i v j = uj v j
Die Länge |u| eines Vektors u ist de£niert als:
|u|2 = (u, u) = gij u i u j = ui u i
Der Winkel φ zwischen zwei Vektoren u und v ist de£niert durch:
(u, v)
cos(φ) =
|u| · |v|
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Lösung
Mit Hilfe von Gleichung (1.13) läßt sich das Skalarprodukt (u, v) berechnen:
(u, v) =
3
X
3
3
ui v j = 3 · 1 + 2 · − + 0 · − = 0
2
2
i=1
Die Längen |u| und |v| ergeben sich nach Gleichnung (1.3) zu:
v
u 3
uX
u ui
|u| = t
i
i=1
√
3 · 1 + 2 · 0 + 0 · −1
√
3
=
v
u 3
uX
= t
vi v i
=
|v|
i=1
r
3
3
−1 · 1 + (−3) · − + (−1) · −
2
2
√
=
2
=
Der Winkel φ zwischen den Vektoren u und v wird mit Hilfe von Gleichung (1.15) ermittelt:
(u, v)
cos(φ) =
|u| · |v|
(5
= √ √
3 · 21
= 0
Seite 9
Studienarbeit
φ =
90¦
1.7 verallgemeinertes Vektorprodukt
Man berechne die kovarianten und kontravarianten Koordinaten des Vektorproduktes
w = [u, v] .
Erläuterung
Das Vektorprodukt ist allgemein eine lineare Abbildung, die im n-dimensionalen Raum den n-1 - Vektoren
1
n
n−1
u ... u wieder einen Vektor u zuweist. Dieser läßt sich nach der folgenden Vorschrift ermitteln.
ni
1
n−1
u = ²i1 ,..,in−1 ,i ui1 .. u
in−1
(1.16)
wobei in wieder ein Index ist, der alle Werte von 1 bis n − 1 annehmen kann. Für den häu£gen Fall n = 3
schreibt man auch
[u, v] = u × v
wobei gilt:
(u × v)i = ²jki uj vk
(1.17)
Lösung
Mit Hilfe von Gleichung (1.17) folgt:
w1
=
3
X
²1ij uj vk
j,k=1
= ²123 u2 v3 + ²132 u3 v2
= V∗ u2 v3 − V∗ u3 v2
1
(2 · (−1) − 0 · (−1))
=
2
= −1
analog folgt
w2
= ²213 u1 v3 + ²231 u3 v1
1
(−3 · (−1) + 0 · (−1))
=
2
3
=
2
w3
= ²312 u1 v2 + ²321 u2 v1
1
=
(3 · (−1) − 2 · (−1))
2
1
= −
2
w1
= ²123 u2 v3 + ²132 u3 v2
3
3
= 2(0 · − − (−1) · (− ))
2
2
= −3
w2
= ²213 u1 v3 + ²231 u3 v1
3
= 2(−1 · − + (−1) · 1)
2
Seite 10
Studienarbeit
=
w3
1
= ²312 u1 v2 + ²321 u2 v1
3
= 2(1 · − − 0 · 1)
2
= −3
1.8 Skalarprodukt in krummlinigen Koordinaten
Berechnen Sie das Skalarprodukt der zwei Vektoren u und v jeweils im kartesischen und Polarkoordinatensystem. Im kartesichen System haben die Vektoren u und v folgende Komponenten:
µ ¶
µ
¶
1
1
ui0 =
vi0 =
1
0
Lösung
Im kartesischen System ergibt sich, da der Metriktensor die Einheitsmatrix ist und damit die ko- und kontravarinaten Koordinaten übereinstimmen, direkt:
(u, v) = 1
Zur Bestimmung der Basisvektoren im Polarkoordinatensystem errechnet man sich die Transformationsoder auch Jacobi-Matrix A0
x = r cos(φ)
y = r sin(φ)


µ
¶
∂y
∂x
cos(φ)
sin(φ)
0
∂r
∂r


=
A =
∂x ∂y
−r sin(φ) r cos(φ)
∂φ ∂φ
Die Zeilen der Jakobimatrix repräsentieren die kovarianten Basisvektoren gj . Die Spalten der Inversen von
A ergeben die kontravarianten Basisvektoren gj
Ã
!
cos(φ) − sin(φ)
r
A=
cos(φ)
sin(φ)
r
Damit ergibt sich der Metriktensor für das Polarkoordinatensystem in ko- und kontravariaten Koordinaten:
gij
gij
=
(gi , gj )
¶
µ
1 0
=
0 r2
(gi , gj )
µ
¶
1
0
=
0 r12
=
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
Man erkennt anhand des Metriktensors, daß es sich um ein orthogonales Koordinatensystem handelt, da
alle Elemente außerhalb der Diagonalen verschwinden.
Die kontravarianten Koordinaten der Vektoren u und v ergeben sich durch die Umrechnung
uj
vj
uj
vj
0
= AT ui
0
= AT v i
Ã
!
cos(φ) + sin(φ)
=
− sin(φ) + cos(φ)
r
Ã
!
cos(φ)
=
sin(φ)
− r
Mit Hilfe der De£nition des Skalarproduktes
(u, v) = gij ui v j
Seite 11
Studienarbeit
ergibt sich
(u, v)
=
Ã
=
1
cos(φ) + sin(φ)
− sin(φ) + cos(φ)
r
!T µ
1 0
0 r2
¶Ã
cos(φ)
sin(φ)
− r
!
Dies liefert, wie zu erwarten, das gleiche Ergebnis wie im kartesischen System.
1.9 Invarianten eines Tensors
Weisen Sie nach, daß die Spur, die Summe der Unterdeterminanten und die Determinante einer symmetrischen Dyade invariant bzgl. einer Koordinatentransformation sind.
Zu jeder symmetrischen Dyade S (Tensor 2.Stufe) gibt es mindestens ein System von Hauptachsen. Das
sind die Geraden in Richtung der Vektoren einer bestimmten kartesischen Basis rJ für die die gemischt
indizierten Tensorkoordinaten S JK für J 6= K verschwinden, so daß nur die gleichindizierten Hauptwerte
L S = SLL übrig bleiben.
Die Berechnung der Eigenvektoren u erfolgt durch:
(S − λg)u = 0
(1.22)
wobei S die Matrix der Slk darstellt, g die Matrix der entsprechenden metrischen Grundgrößen ist.
Gleichung (1.22) besitzt nichttriviale Lösungen für u , wenn gilt:
C {λ} =
=
n
0 C (−λ)
+ ... +n−1 C (−λ) +n C
det{S − λ g} = 0
(1.23)
Dies liefert ein Polynom n-ten Grades mit den Eigenwerten I λ..N λ als Lösungen dieses Polynoms. Mit
Hilfe von Gleichung (1.22) kann dann zu jedem Eigenwert ein zugehöriger Eigenvektor ermittelt werden.
Diese bilden dann eine Hauptbasis. Bei einer eventuellen Gleichheit der Eigenwerte muss zur Ermittlung
der Hauptbasis noch eine Orthogonalisierung vorgenommen werden.
Unter Skalarinvarianten versteht man Skalare, die einem Tensor zugeordnet sind. Die Eigenwerte einer
Dyade Iλ ≥II λ ≥. .. ≥N S stellen ein vollständiges, in sich unabhängiges Invarianten-System dar, d.h.
die Dyade ist durch ihre Eigenwerte eindeutig bestimmt. Unabhängig bedeutet in diesem Fall, daß alle n
Hauptwerte erforderlich sind, um die Dyade eindeutig zu beschreiben.
Nachweis der Invarianz der Eigenwerte
Die Eigenwerte ergeben sich nach Gleichung (1.23) nach einer Koordinatentransformation mit der Transformationsmatrix A zu
£
¤
det S̄ − λ̄ḡ = 0
¤
£
det ASAT − λ̄AgAT = 0
£ ¡
¢
¤
det A S − λ̄g AT = 0
£
¤
det(A) · det(AT ) det(S) − λ̄g = 0
Da die Transformationsmatrix eine von Null verschiedene Determinante besitzt, reduziert sich die Gleichung auf
det(S − λ̄g) = 0
(1.24)
und es ergibt sich λ̄ = λ und damit sind die Eigenwerte invariant bezüglich einer Koordinatentransformation.
Auch die Invarianten
kC
· (−1)k
mit k = 1..n,
(1.25)
=
kI
0C
(1.26)
Seite 12
Studienarbeit
stellen ein Invariantensystem dar. Da die Eigenwerte invariant bzgl. einer Koordinatentransformation sind,
ist das charakteristische Polynom eindeutig bestimmt (nach Division durch 0 C) und damit auch die Invarianten i I.
Für einen Tensor im R3 gilt:
II
II I
III I
= Spur des Tensors
= Summe der Unterdeterminanten,
die durch Streichung der Zeile und Spalte eines Hauptdiagonalelements entstehen
= Determinante des Tensors
Bei großer Dimension der Matrix S ist die Bestimmung der Eigenwerte aber mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden. Aus diesem Grund verwendet man andere, einfacher zu berechnende Invarianten.
Dies sind z.B.
.k2
= Sj.k1 Sk1
..Sk.jn−1 = tr{S}n
nJ
(1.27)
Die n J entstehen also durch Potenzierung der Matrix S = M{Sj.k } und anschließender Bildung der Spur,
d.h. der Summe der Hauptdiagonalelemente.
Die Umrechnung der Invarianten k I und n J kann mittels der Formel von Newton rekursiv erfolgen.
kJ
−k−1 J1 I +k−2 J2 I − ... + (−1)k−1
Jk−1 I + (−1)kk I = 0
1
(1.28)
1.10 Orthogonalität von Vektoren, Symmetrie und Invarianten von
Tensoren
Gegeben sei ein Spannungstensor T in einem Hauptachsensystem (x, y) mit
¶
µ
2 0
ij
T =
0 1
Transformieren sie diesen Tensor jeweils einmal in ein Polarkoordinatensystem und ein a,b- Koordinatensystem mit folgender De£nition
Polarkoordinaten
p
r =
x2 + y 2
³y´
φ = arctan
x
a,b Koordinaten
a = x
b
= −x + y
Lösung
Mit Hilfe obiger Vorschrift lassen sich direkt die Transformationsmatrizen aufschreiben. Dabei seien die
mit rφ indizierten die zum Polarkoordinatensystem gehörige und die mit ab die zum a,b System gehörigen
Größen. Allgemein gilt:


∂x1 ∂x1
0

∂x02 
1
A0T =  ∂x
∂x2 ∂x2 
∂x01 ∂x02
Mit Hilfe der Matrix A0 läßt sich die zugehörige transponierte inverse Matrix A berechnen.


cos(φ) sin(φ)


A(rφ) = 

sin(φ) cos(φ)
− r
r
Seite 13
Studienarbeit
A(ab)
µ
=
1 −1
0
1
¶
Polarkoordinaten
µ
µ
¶
¶
r
x
T
= Arφ ·
φ
y
!µ
Ã
¶
cos(φ) sin(φ)
x
=
sin(φ) cos(φ)
y
− r
r
a,b Koordinatensystem
µ
µ
¶
¶
a
x
T
= Aab ·
b
y
¶
¶µ
µ
x
1 −1
=
y
0
1
Die kovarianten Basisvektoren im neuen Koordinatensystem sind die Zeilen der Matrix A0 , die kontravarianten Basisvektoren sind die Zeilen der Matrix A. Mit deren Hilfe lassen sich nun die Metriktensoren gij
und g ij für das a,b Koordinatensystem berechnen (analog 1.18).
¶
µ
1 1
gij (ab) =
1 2
µ
¶
2 −1
g ij (ab) =
−1
1
Die Umrechnung der Koordinaten eines zweistu£gen Tensors kann allgemein mittels der Matrixschreibweise folgendermaßen berechnet werden:
T 0 = AT AT
Polarkoordinaten
T rφ
= A(rφ) T xy AT(rφ)


= 
cos(φ)
sin(φ)
sin(φ)
− r
cos(φ)
r


= 




cos2 (φ) + 1 −
−
sin(φ) cos(φ)
r
µ
2
0
0
1
¶



cos(φ)
sin(φ)

sin(φ) cos(φ)
r



2
2 − cos (φ)
r2
−

sin(φ)
r


cos(φ)
r
a,b Koordinaten
T ab
= A(ab) T xy AT(ab)
=
µ
1
0
=
µ
3
−1
−1
1
¶µ
−1
1
2
0
0
1
¶µ
1 0
−1 1
¶
¶
Nun überprüfe man die Spur und die Determinante als die Invarianten des Spannungstensors und die Symmetrie in den Koordinatensystemen (x, y), (r, φ) und (a, b)
Lösung
Der Herleitung der Eigenwerte als Invariantensystem (s. Gleichung 1.22) ergab folgende Gleichung
det(T ij − λg ij ) = 0
Seite 14
Studienarbeit
die sich für unseren 2-D Fall ausgeschrieben ergibt zu
¤
¤
£
£ 11 22
g g − (g 12 )2 λ2 + 2T 12 g 12 − T 11 g 22 − T 22 g 11 λ + T 11 T 22 − (T 12 )2
Nach Division durch den Faktor vor dem quadratischen Glied erhält man die charakteristische Gleichung,
die bzgl. aller Koordinatensysteme invariant ist. Die erste Invariante (Spur) ergibt sich damit zu
II =
2T 12 g 12 − T 11 g 22 − T 22 g 11
=3
g 11 g 22 − (g 12 )2
(1.29)
für alle Koordinatensysteme (x, y), (r, φ) und (a, b). Analog kann die zweite Invariante II I bestimmt werden.
=
II I
T 11 T 22 − (T 12 )2
=2
g 11 g 22 − (g 12 )2
(1.30)
Bemerkung: Im 2D existieren nur zwei Invarianten des Tensors. Somit ist
trixdarstellung des Tensors in kartesischen Koordinaten.
II I
die Determinante der Ma-
Wie in der Erläuterung zu Gleichung (1.27) beschrieben, lassen sich die Invarianten auch einfacher bestimmen. Hierbei wird der gemischte Tensor Tij mit sich selbst potenziert und anschließend die Spur gebildet.
Der gemischte Tensor ergibt sich mit Hilfe des kovarianten Metriktensors durch Herunterziehen der Indizes.
Tkj
= gkj T ij
Polarkoordinaten
Trφ0
= gr0 φ T rφ

= 


= 

sin(φ) cos(φ)
r






2
2
sin(φ) cos(φ)
2 − cos (φ)
0 r
−
r
r2

sin(φ) cos(φ)
cos2 (φ) + 1 −
r


−r sin(φ) cos(φ)
2 − cos2 (φ)
1
0


cos2 (φ) + 1 −
a,b Koordinaten
= ga0 b T ab
Ta0b
=
µ
1
1
1
2
¶µ
=
µ
2
1
0
1
¶
3
−1
−1
1
¶
Damit ergeben sich die Invarianten I J =I I in beiden Systemen durch Bildung der Spur.
IJ
=3
Die Potenzierung liefert in Polarkoordinaten


3 sin(φ) cos(φ)
2
3
cos
(φ)
+
1
−
00
r


Tr.φ0 Tφ.r
= 

−3 r sin(φ) cos(φ)
4 − 3 cos2 (φ)
und in (a,b)-Koordinaten
µ
¶
4 0
.b a00
=
Ta0 Tb
3 1
Die Spur ergibt die zweite Invariante II J.
II J
=5
Seite 15
Studienarbeit
Nun überprüfen wir die Umrechnung mit Hilfe der Gleichung (1.28)
II
II I
=
IJ
= −
=3
II J
− IJ ·I I
=2
2J
Dies stimmt mit den in (1.29) und (1.30) ermittelten Werten überein.
1.11 Überprüfung des Tensorcharakters
Die Überprüfung einer mechanischen Größe auf ihre Eigenschaft ein Tensor zu sein, ist äußerst wichtig, da
sich nur unter dieser Bedingung die vereinfachenden Regeln der Tensoralgebra anwenden lassen. Im folgenden soll nun an zwei Beispielen gezeigt werden, wie prinzipiell eine Überprüfung durchgeführt werden
kann.
1.11.1
Skalarprodukt
In einer vorigen Übung (1.8) haben Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren einmal im kartesischen und
anschließend im Polarkoordinatensystem bestimmt und dabei das gleiche Ergebnis erhalten. Weisen Sie
nach, daß diese Eigenschaft in allen Koordinatensystemen gültig ist.
Lösung
Im Ursprungskoordinatensystem X ist das Skalarprodukt zweier Vektoren de£niert als
(u, v) = ui v j gij = uT gv
Analog ergibt sich für ein beliebiges Koordinatensystem X̄, das durch Transformation aus X hervorgegangen ist
(ū, v̄) = ūT ḡv̄.
Zu zeigen ist nun, daß das Skalarprodukt in beiden Koordinatensystemen übereinstimmt ist.
Die Transformationskoef£zienten f ür die Transformation von X nach X̄ seinen die Koef£zienten der Matrix
c, die Rücktransformation sei durch die Matrix c̄ = c−1 de£niert. Damit folgt
(ū, v̄)
=
i β j i j
cα
i u cj v c̄α c̄β gij
=
j β i j
c̄iα cα
i c̄β cj u v gij
=
ui v j gij
Die letzte Zeile ergibt sich aufgrund der Tatsache, daß die α und β Summationsindizes geworden sind
und das Produkt c̄iα cα
i das Produkt der i-ten Zeile von c und der i-ten Spalte von c̄ darstellt. Aufgrund der
De£nition von c̄ als Inverser von c ergibt dies den Wert 1.
1.11.2
Trägheitstensor
Allgemein besteht zwischen dem Winkelgeschwindigkeitsvektor ω und dem Drallvektor d bzgl. eines Punktes P die lineare Abbildung
dα = Θαβ ωβ
wobei θαβ die Massenträgheitsmomente um den Punkt P darstellt. Ihre De£nition lautet
Z V
£
¤
ρ g αβ gµν ξ µ ξ ν − ξ α ξ β dV
Θαβ =
Seite 16
Studienarbeit
Bei einer Koordinatenransformation vom Koordinatensystem X in ein anderes Koordinatensystem X̄ mittels der Transformationsmatrix c bzw. ihrer Inversen c̄ folgt damit für den Trägheitstensor:
Z V̄
£
¤
ρ̄ ḡ ij ḡmn ξ¯m ξ¯n − ξ¯i ξ¯j dV̄
Θ̄ij =
Da die Norm des Vektors gµν ξ µ ξ ν eine Invarianten ist (siehe Beweis (1.11.1) und das Verhältnis der differentiellen Volumina über die Jakobi-Determinante (Determinante der Transformationsmatrix) ausdrückbar
ist, ergibt sicht
Z V
£
¤
ij
Θ̄
=
ρ̄ ḡ ij gµν ξ µ ξ ν − ξ¯i ξ¯j det(c)dV
(1.31)
Für die Masse eines Körpers gilt:
Z
Z
Z
ρ̄ det(c) dV
ρdV =
ρ̄dV̄ =
m=
V
V̄
V
und damit folgt
ρ
ρ̄ =
det(c)
Zu beachten ist hierbei, daß die Dichte keine skalare Invariante ist, da sie sich auf das Basisvolumen bezieht
und nur die Masse eine skalare Inariante darstellt. Dies eingesetzt in Gleichung (1.31) liefert:
Z V
¤
£
Θ̄ij =
(1.32)
ρ ḡ ij gµν ξ µ ξ ν − ξ¯i ξ¯j dV
(1.33)
i ¯j
¯
Mit der Transformation der Dyade ḡ der Vektoren ξ ξ folgt dann die Tensortransformation des Trägheitstensors.
Z V h
i
ρ ciα cjβ g αβ gµν ξ µ ξ ν − ciα ξ α cjβ ξ β dV
Θ̄ij =
ij
Θ̄ij
= ciα cjβ Θαβ
Seite 17
Kapitel 2
Tensoranalysis
2.1 Christoffelsymbole in Polarkoordinaten
Zeigen Sie, daß die einzigen nicht verschwindenden Christoffelsymbole im Polarkordinatensystem
1
Γφrφ = Γφφr =
r
Γrφφ = −r
sind.
Lösung
Die De£nition der Christoffelsymbole lautet:
Γijk = (gj,k , gi )
(2.1)
Für das Polarkoordinatensystem ergeben sich die Basisvektoren
gr
gφ
= cos(φ)gx + sin(φ)gy
= −r sin(φ)gx + r cos(φ)gy
und damit die partiellen Ableitungen
gr,r
gr,φ
gφ,r
gφ,φ
= 0
= − sin(φ)gx + cos(φ)gy
= − sin(φ)gx + cos(φ)gy
= −r cos(φ)gx − r sin(φ)gy
Die kontravarianten Basisvektoren gφ und gr ergeben sich mit Hilfe des Metriktensors
gr
= g rr gr + g rφ gφ
=
gφ
µ
cos(φ)
sin(φ)
¶
+0
= g rφ gr + g φφ gφ
1
= 0+ 2
r
µ
−r sin(φ)
r cos(φ)
¶

− sin(φ)
r

=  cos(φ)
r

Damit ergibt sich das Skalarprodukt zu


µ
¶
− sin(φ)gx
2
2
−
sin(φ)
φ
r

 = sin (φ) + cos (φ) = 1
Γrφ = (gr,φ , gφ ) =
cos(φ)gy
cos(φ)
r
r
r
r
18
(2.2)
Studienarbeit
und analog
Γrφφ
=
r
(gφ,φ , g ) =
µ
−r cos(φ)
−r sin(φ)
¶µ
cos(φ)gx
sin(φ)gy
¶
= −r cos2 (φ) − r sin2 (φ) = −r
(2.3)
2.2 Nabla-Operator
Weisen Sie nach, daß sich der Nabla-Operator ∇ wie ein kovarianter Vektor transformiert.
Mit der De£nition des Nabla-Operators im 3D kartesischen Koordinatensystem
 ∂ 
1
 ∂x
∂ 

∇=
 ∂x2 
∂
∂x3
Lösung
Mit Hilfe der Kettenregel in einem beliebigen Koordinatensystem (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ergibt sich
X ∂ ∂xj
∂
=
∂ξi
∂xj ∂xii
j
und in Matrixschreibweise folgt damit
 


∂x1 ∂x2 ∂x1
∂
∂ 
 ∂ξ1   ∂ξ1 ∂ξ1 ∂ξ1   ∂x1 
 ∂   ∂x1 ∂x2 ∂x1   ∂ 
 ∂ξ  =  ∂ξ
∂ξ2 ∂ξ2 
2 
2

  ∂x2 

∂
∂
∂x1 ∂x2 ∂x1
∂x3
∂ξ3
∂ξ3 ∂ξ3 ∂ξ3
Der Nabla-Operator ∇ transformiert sich also wie ein kovarianter Vektor.
(2.4)
2.3 Gradient
Gegeben sei ein Skalarfeld f in kartesischen Koordinaten (x1 , x2 )
f = (x1 )2 · (x2 )2
Bestimmen Sie den Gradienten in Hyperbel- und kartesischen Koordinaten
Lösung
2.3.1
kartesische Koordinaten
Die Ermittlung des Gradienten in kartesischen Koordinaten erfolgt mit Hilfe der Formel
∂f
∂f
grad f =
· g1 + 2 · g2
∂x1
∂x
= 2x1 · (1 − x2 ) · g1 − (x1 )2 · g2
¶
µ
2x1 (x2 )2
=
2x2 (x1 )2
2.3.2
(2.5)
Hyberbelkoordinaten
Umrechnung des Vektorfeldes in Hyberbelkoordinaten
mit den Transformationen
q
p
1
b + b2 + a2
x =
q
p
x2 =
−b + b2 + a2
(2.6)
(2.7)
Seite 19
Studienarbeit
folgt für das Skalarfeld in Hyperbelkoordinaten
f
= a2
Gradient in Hyberbelkoordinaten
Damit folgt für den Gradienten in Hyperbelkoordinaten
grad f
∂f
∂f
· ga +
· gb
∂a
∂b
= 2a · ga
µ
¶
2a
=
0
=
(2.8)
Um die beiden Ergebnisse vergleichen zu können, ist es notwendig, den die Koordinaten des Basisvektor
aus dem a, b-System in das kartesische System zurückzutransformieren. Dies wird durch Multiplikation mit
der Transformationsmatrix A erreicht. Damit ergibt sich für die Koordinaten des Gradienten in kartesischen
Koordinaten
Ã p
! µ
p
√
√
¶
2 + b2
2 + b2
−b
+
a
b
+
a
2a
p
p
√
√
grad f =
·
0
b + a2 + b2 − −b + a2 + b2
 ¡
´ 
√
√
¢ ³p
2 −b + a2 + b2
b + a2 + b2
³
´ 
p
=  ¡
√
√
¢
−b + a2 + b2
2 b + a2 + b2
Dies ergibt nach Umrechnung der Variablen den in(2.5) ermittelten Ausdruck.
2.3.3
Allgemeiner Nachweis des Tensorcharakters des Gradienten
Weisen Sie den Tensorcharakter des Operators Gradient nach
Lösung
Die allgemeine Darstellung des Gradienten von einem Skalarfeld f ist de£niert durch
∂f
· gn ,
(2.9)
∂xn
wobei gn die kontravarianten Basisvektoren darstellen. Für ein beliebiges Koordinatensystem X 0 folgt:
grad f =
∂f
n
· g0
0n
∂x
∂f ∂xi
n
·
· g0
=
∂xi ∂x0n
∂f
· gi
=
∂xi
Damit ist die Invarianz bezüglich einer Koordinatentransformation bewiesen.
Eine weitere Möglichkeit der Darstellung des Gradienten erfolgt mit Hilfe des Nabla-Operators.
grad f
=
grad f = ∇f
2.4 Divergenz
2.4.1
kartesische Koordinaten
Ermitteln Sie div{v} eines Vektorsfeldes in kartesischen Koordinaten, dessen Komponenten gegeben sind
durch
v1
v2
= ξ1
= ξ1 + ξ2
Seite 20
Studienarbeit
Abbildung 2.1: Flächenelement im Koordinatensystem (a,b)
Lösung
in kartesischen Koordinaten ergibt sich die Divergenz zu:
div v
= v j ,j
= v 1 ,1 +v 2 ,2
= 1+1
= 2.
2.4.2
Herleitung der Divergenz im a,b Koordinatensystem
Leiten sie die Divergenz als physikalisches Maß der Flächenänderung pro Fläche in einem zweidimensionalen (a, b)-Koordinatensystem her.
ea
eb
= ex
= 2ey
Lösung
Man stelle sich ein Rechteck in£nitesimaler Gr öße im a,b Koordinatensystem vor, durch dessen Kanten ein
Material¤uß vonstatten geht. Die Summer der Durch¤ üsse über die gesamte Fläche ist genau die Änderung
der Fläche des Rechtecks. Basisvektoren im a,b Koordianatensystem seien durch folgende Transformationsvorschrift aus dem x,y Koordinatensystem entstanden.
Hieraus folgen die Transformationsmatrizen A und A0 :
µ
¶
1 0
A0 =
0 2
!
Ã
1 0
.
A =
0 21
Damit ergibt sich der Metriktensor zu
¶
µ
1 0
.
gij =
0 4
Die Kanten Fi lassen sich wie folgt beschreiben:
µ
¶
a1
F1 =
−u −b2 ≤ −u ≤ −b1
Seite 21
Studienarbeit
F2
=
F3
=
F4
=
µ
a2
u
µ
u
b2
µ
−u
b1
b 1 ≤ u ≤ b2
¶
−a2 ≤ u ≤ −a1
a1 ≤ u ≤ a2
¶
¶
Damit ergeben sich die Tangenten als partielle Ableitungen nach u und die normierte Normale als die dazu
Senkrechte.
¶
µ
−1
n1 =
0
µ ¶
1
n2 =
0
!
Ã
0
n3 =
− 12
Ã
!
0
n4 =
1
2
Damit ergeben sich die Integrale Φi über die Kanten F1 und F2 zu
Φ1 + Φ2
=
Zb2 µ
b1
va (a2 , u)
vb (a2 , u)
¶µ
1
0
¶
2du +
Zb2 µ
b1
va (a1 , u)
vb (a1 , u)
¶µ
−1
0
¶
2du
(2.10)
=
Zb2
2 [va (a2 , b) − va (a1 , b)] db
(2.11)
b1
Beachte: Der Faktor zwei ergibt sich aus der Determinante der Transformationsmatrix, die bei einer Integraltransformation berücksichtigt werden muß. (weitere Erläuterungen s.)Da es sich hierbei um ein Linien
integral handelt (eindimensional über b), stimmen Determinante und Transformationskoef£zient überein.
Gleichung (2.11) wird nun als Stammfunktion interpretiert und man kann mit v,a = ∂v schreiben:
∂a
Φ1 + Φ2
=
Zb2 Za2
2va ,a (a, b) da db
b1 a1
Analog ergeben sich die Integrale in b-Richtung
!
!
¶Ã
¶Ã
Za2 µ
Za2 µ
0
0
va (u, b1 )
va (u, b2 )
du +
Φ3 + Φ4 =
1
vb (u, b1 )
vb (u, b2 )
− 12
2
a1
a1
(2.12)
=
Za2
a1
2 [vb (a, b2 ) − vb (a, b1 )] db
(2.13)
Beachte: Der Faktor 2 stammt diesmal nicht aus der Integraltransformation, sondern ergibt sich durch die
Berechnung des Skalarproduktes mit Hilfe des Metriktensors.
Gleichung (2.13) wird nun wiederum als Stammfunktion interpretiert und es ergibt sich:
Φ3 + Φ4
=
Zb2 Za2
2vb ,b (a, b) da db
b1 a1
Seite 22
Studienarbeit
Dies kann man nun in der allgemeinen Gleichung zusammenfassen
Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4
=
Zb2 Za2
2 [va ,a (a, b) + vb ,b (a, b)] da db
b1 a1
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert mindestens ein (ā, b̄) für das gilt:
£
¤
Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 = 2 va ,a (ā, b̄) + vb ,b (ā, b̄) · (a2 − a1 ) · (b2 − b1 )
Die Gesamt¤ äche A ergibt sich zu
=
=
A
(a2 − a1 ) · (b2 − b1 ) · det(A0 )
(a2 − a1 ) · (b2 − b1 ) · 2
und damit die Flächenänderung pro Gesamt¤ äche zu
£
¤
2 va ,a (ā, b̄) + vb ,b (ā, b̄) · (a2 − a1 ) · (b2 − b1 )
Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4
=
A
2(a2 − a1 ) · (b2 − b1 )
div v(a, b)
= va ,a (ā, b̄) + vb ,b (ā, b̄)
Umrechnung des Vektorfeldes in a,b Koordinaten
Die Umrechnung des Vektorfeldes v in das a,b Koordinatensystem erfolgt mittels der Formel
v
= vx · ex + vy · ey
= x · ex + (x + y) · ey
eb
= a · ea + (a + 2b)
2
a
= a · ea + ( + b) · eb
2
Divergenz in a,b Koordinaten
Mit Hilfe der ermittelten Formel ergibt sich dann die Divergenz zu
div v
2.4.3
=
=
1+1
2
Polarkoordinaten
Umrechnung des Vektorfeldes in Polarkoordinaten
Transformieren Sie das Vektorfeld v aus Aufgabe (2.4.1) in Polarkoordinatendarstellung und überprüfen
Sie anschließend die Gleichheit der Divergenz in Polar- und kartesischen Koordinaten.
Lösung
Die Transformation des Vektorfeldes in Polarkoordinaten entspricht einer Drehung des Koordinatensystems
in dem betrachteten Punkt. Dabei sind die Basisvektoren er und eφ orthogonal zueinander. Sie variieren aber
von Punkt zu Punkt und beziehen sich auf die Koordinaten des Punktes und nicht auf die Koordinaten des
Vektorfeldes in diesem Punkt (s. Abb.2.2).
Die Basisvektoren im Polarkoordinatensystem ergeben sich aus den partiellen Ableitungen (Jacobi-Matrix)
¶
µ
¶
µ
−r sin(φ)
cos(φ)
g2 =
g1 =
r cos(φ)
sin(φ)
Damit ergeben sich die Koordinaten des Vektorfeldes v in Polarkoordinaten
µ
¶
cos(φ) −r sin(φ)
v(x, y) =
v(r, φ)
sin(φ) r cos(φ)
Ã
!
cos(φ)
sin(φ)
v(r, φ) =
v(x, y)
sin(φ) cos(φ)
− r
r
Seite 23
Studienarbeit
Ã
!µ
¶
cos(φ)
sin(φ)
r cos(φ)
=
sin(φ) cos(φ)
r cos(φ) + r sin(φ)
− r
r
µ
¶
r · (1 + sin(φ) cos(φ))
=
cos2 (φ)
(2.14)
Divergenz in Polarkoordinaten
Die Transformation der partiellen Ableitungen in Polarkoordinatendarstellung ergibt:
∂v x ∂r
∂v x ∂φ
∂v x
=
·
+
·
∂x
∂r ∂x
∂φ ∂x
∂v x
∂v x − sin(φ)
=
· cos(φ) +
·
∂r
∂φ
r
¡
¢
¡ r
¢
φ
∂ v r · cos(φ) − v φ · r sin(φ) − sin(φ)
∂ v · cos(φ) − v · r sin(φ)
· cos(φ) +
·
=
∂r
∂φ
r
¸
·
r
φ
∂v
∂v
= cos2 (φ) ·
− sin(φ) cos(φ) ·
· r + vφ
∂r
∂r
sin2 (φ) r ∂v r sin(φ) cos(φ) ∂v φ
·v −
·
+
· sin2 (φ) + sin(φ) cos(φ)v φ
r
∂φ
r
∂φ
∂v r
∂v φ
= cos2 (φ)
− r sin(φ) cos(φ)
− sin(φ) cos(φ)v φ
∂r
∂r
∂v φ
sin2 (φ) r sin(φ) cos(φ) ∂v r
v −
·
+
· sin2 (φ) + sin(φ) cos(φ)v φ
+
r
r
∂φ
∂φ
+
y
analog wird mit der Ableitung ∂v verfahren:
∂y
∂v y ∂r
∂v y ∂φ
∂v y
=
·
+
·
∂y
∂r ∂y
∂φ ∂y
∂v y
∂v y cos(φ)
=
· sin(φ) +
·
∂r
∂φ
r
¡
¢
¡ r
¢
∂ v r · sin(φ) + v φ · r cos(φ) cos(φ)
∂ v · sin(φ) + v φ · r cos(φ)
· sin(φ) +
·
=
∂r
∂φ
r
r
φ
∂v
∂v
= sin2 (φ) ·
+ sin(φ) cos(φ) · v φ + sin(φ) cos(φ) ·
·r
∂r
∂r
¸
·
∂v φ
∂v r
cos(φ)
r
φ
+ v · cos(φ)
· r cos(φ) − v · r sin(φ)
sin(φ)
+
r
∂φ
∂φ
=
∂v r
∂v φ
+ r sin(φ) cos(φ)
+ sin(φ) cos(φ)v φ
∂r
∂r
cos2 (φ) r sin(φ) cos(φ) ∂v r
∂v φ
+
v +
·
+
· cos2 (φ) − sin(φ) cos(φ)v φ
r
r
∂φ
∂φ
sin2 (φ)
Abbildung 2.2: Vektorfeld in kartesischen und Polarkoordinaten
Seite 24
Studienarbeit
Die Divergenz ergibt sich nun als Summe der beiden Ausdrücke, wobei sich verschiedene Terme aufheben
und einige über den trigonometrischen Pythagoras zusammengefaßt werden können.
∂v y
∂v x
+
div v =
∂x
∂y
r
1
∂v φ
∂v
+ vr +
(2.15)
=
∂r
r
∂φ
Allgemein läßt sich die Divergenz auch mit Hilfe der Christoffelsymbole darstellen. Die Divergenz ergibt
sich nun mit Hilfe von Gleichung (2.16) und den Christoffelsymbolen für Polarkoordinaten nach (2.2) und
(2.3)
= v j |j
div{v}
= v
j
(2.16)
,j +v k Γjkj
= v r ,r +v φ ,φ +v r Γφrφ
= 1 + sin(φ) cos(φ) − 2 cos(φ) sin(φ) + 1 + sin(φ) cos(φ)
= 2
(2.17)
Offensichtlich ist die Divergenz invariant bezüglich einer Koordinatentransformation.
2.4.4
Allgemeine Form der Divergenz
Die Divergenz ergibt sich allgemein zu
∂v
· gn .
(2.18)
div{v} =
∂xn
Dabei entspricht der erste Term im Prinzip dem Geschwindigkeitsgradienten, und durch Multiplikation mit
dem Basisvektor gn ergeben sich dessen kovariante Koordinaten, über die summiert wird. Durch Darstellung von v in einem Koordinatensystem folgt
∂ (v m gm ) n
·g
(2.19)
∂xn
m
∂v
∂gm m n
=
· gm · gn +
·v ·g
∂xn
∂xn
m
∂gm m n
∂v
·v ·g
=
m +
∂x
∂xn
Das Produkt gm gn liefert nur für m = n den Wert 1, sonst ergibt sich Null. Dies liegt an der Eigenschaften
der kontragredienten Basisvektoren (vgl.1.3). Mit Hilfe der Abkürzung
div v
=
Γijk = gj,k · gi
, wobei
Γijk
div v
2.4.5
(2.20)
als Christoffelsymbol 2.Art bezeichnet wird, läßt sich die Formel verkürzen zu:
=
∂v m
+ v m · Γnmn
∂xm
(2.21)
Nachweis der Invarianz der Divergenz
Weisen Sie den Tensorcharakter der Divergenz nach.
Lösung
Wenn die Divergenz Tensorcharakter besitzt, so muß sie den Transformationsgesetzten für Tensoren genügen.
Wir wählen uns ein beliebiges Koordinatensystem und errechnen in diesem die Divergenz nach Gleichung
(2.19):
∂v
div{v} =
· g0n
∂x0n
∂v ∂xi
·
· g0n
=
∂xi ∂x0n
∂v
· gi
=
∂xi
Seite 25
Studienarbeit
Die letzte Gleichung ist wieder analog zu Gleichung (2.10) und somit ist die Divergenz eine tensorielle
Größe.
Eine weitere Möglichkeit des Nachweises der Invarianz der Divergenz ergibt sich aus der Darstellung als
Skalarprodukt mit dem Nablaoperator. Da sich der Nablaoperator wie ein kovarianter Vektor transformiert
(2.4) und das Skalarprodukt ebenfalls invariant bezüglich einer Koordinatentransformation ist, ergibt sich
damit direkt die Invarianz der Divergenz bezüglich einer Koordinatentransformation.
div v = ∇ · v
2.5 Rotation
Die Bewegung eines Körpers kann durch das Geschwindigkeitsfeldes v charakterisiert werden.
vi = Aij rj
(2.22)
j
, wobei r einen Vektor des Raumes beschreibt und Aij die Abbildung der Raumpunkte auf die Geschwindigkeit darstellt. Manchmal ist es sinnvoll, diese Abbildung in einen symmetrischen und einen antimetrischen Anteil aufzuspalten.
Aij
= B ij + C ij
¢
1 ¡ ij
A + Aji
B ij =
2
¢
1 ¡ ij
ij
C
=
A − Aji
2
Der symmetrische Anteil stellt eine Verschiebung dar, der antimetrische eine Rotation. Nun versuchen wir
den antimetrischen Anteil weiter zu zerlegen. Dies kann z.B. mit Hilfe des Permutationstensors erfolgen
und es ergibt sich ein Tensor ω.
ω k1 ,k2 ,..,kn−2 = −
1
²k1 ,k2 ,...,kn−2 pq Cpq
2(n − 2)!
Dabei ist n die Dimension des betrachteten Raumes (z.B. 3). Wegen
q
p q
²k1 ,..,kn−2 pq ²k1 ,..,kn−2 lm = (n − 2)!(δlp δm
− δm
δl )
folgt nach Überschiebung mit −²k1,..,kn−2 ,i,j
1 p q
(δ δ − δjp δiq )Cpq
2 i j
und wegen der Antimetrie von C somit
−²k1 ,..,kn−2 ij ω k1 ,k2 ,..,kn−2 =
Cij = −²k1 ,..,kn−2 ij ω k1 ,k2 ,..,kn−2
(2.23)
k1 ,..,kn−2
.
Es existiert somit eine eindeutige Zuordnung des antimetrischen Tensors Cij zum axialen Tensor ω
Durch Einsetzen von Gleichung (2.23) in (2.22) läßt sich der antimetrische Anteil der Abbildung schreiben
als:
vi = ²k1 ,..,kn−2 ji ω k1 ,k2 ,..,kn−2 rj
(2.24)
Wir bezeichnen 2ω k1 ,..,kn−2 als Rotationstensor und unter Verwendung einer symbolischen Schreibweise
und der De£nition des Vektorproduktes (vgl. (1.16)) l äßt sich schreiben
v
ω
= [ω, r]
=
1
2
rot(v)
(2.25)
(2.26)
Hierbei ist ω als Winkelgeschwindigkeitstensor aufzufassen.
2.6 hyperbolische Koordinaten
Entwickeln Sie ein Koordinatensystem, daß als eine Koordinatenlinie Hyperboloiden besitzt und berechnen Sie die Transformationsmatrizen vom kartesischen Koordinatensystem, den ko- und kontravarianten
Metriktensor und die Christoffelsymbole.
Seite 26
Studienarbeit
3
a
b
y
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
Abbildung 2.3: hyperbolisches Koordinatenliniennetz
Lösung
Man wähle sich eine bel. Koordinatenlinie. In diesem Fall die Gleichung
a
bzw.
a(x, y) = x · y
y=
x
Wir beschränken uns in diesem Fall auf den ersten Quadranten, wobei x > 0 und y < x gelten soll. Nun
erhält man die Koordinatenlinien durch Variation von a, das die erste der beiden Koordinaten darstellt. Im
folgenden versuchen wir nun, zu diesen Koordinatenlinie die in allen Punkten senkrecht dazu verlaufenden
Linien zu £nden und wir nennen diese die Koordinatenlinien, die durch Variation von b(x,y) entstehen. Die
Orthogonalität widerspiegelt sich in der Transformationsmatrix durch ein verschwindendes Skalarprodukt
der Basisvektoren.

 

∂x
∂x
 ∂a   ∂b 

·
=0
∂y
∂y
∂a
∂b
Da wir uns in einem kartesichen Koordinatensystem be£nden, k önnen wir das Skalarprodukt als Produkt
der Koordinaten schreiben und nach einsetzten der partiellen Ableitungen von a(x, y) = x · y folgt:
∂x 1 ∂y 1
· +
· =0
∂b y
∂b x
Als Lösung dieser partiellen Differentialgleichung erhält man
x2 − y 2
2
An der Stelle x = y sind diese Funktionen stetig und stetig differenzierbar.
b(x, y)
2.6.1
=
Transformation
Nun versuchen wir, die Transformationsvorschrift in der anderen Richtung zu £nden. Damit sollen also x
und y als Funktionen von a und b dargestellt werden.
a
y =
x
Seite 27
Studienarbeit
= x2 − y 2
a2
= x2 − 2
x
0 = x4 − 2b · x2 − a2
p
x2 = b + b2 + a2
q
p
b + b2 + a2
x =
2·b
Das Weglassen der jeweils negativen Lösung resultiert im ersten Fall aus der Nichtnegativität von x2 und
im zweiten Fall aus der Bedingung, daß wir uns im ersten Quadranten be£nden. Analog £ndet man eine
Formulierung für y.
a
x =
y
2 · b = x2 − y 2
a2
− y2
=
y2
0 = y 4 + 2b · y 2 − a2
p
y 2 = −b + b2 + a2
q
p
−b + b2 + a2
y =
Damit ergibt sich die Transformationsmatrix A0 zu


∂x ∂y
 ∂a ∂a 
A0 = 

∂x ∂y
∂b ∂b

a
 1·q
p
p
 2
2
2·

b
+
a
+
b
a2 + b2
= 

a
 1·q
p
p
2
2
−b + a + b2 · a2 + b2
q
p
+ a2 + b2
1 · bp
2
a2 + b2
p
b − a2 + b2
1 q
p
p
2·
−b + a2 + b2 · a2 + b2







Die Zeilenvektoren entsprechen den kovarianten Basisvektoren im neuen Koordinatensystem.
2.6.2
Metriktensor
Die Ermittlung des kovarianten Metriktensors erfolgt nach der Formel
gij = gi · gj
Da es sich um ein orthogonales Koordinatensystem handelt, ist nur die Diagonale des Metriktensors besetzt
und es ergibt sich


p 1
0
2
2


gij =  2 a + b
(2.27)

p 1
0
2 a2 + b2
Der kontravariante Metriktensor ergibt sich als Inverse des kovarianten Metriktensors zu
¶
µ √
0
2 a2 + b2
√
.
(2.28)
gij =
0
2 a2 + b2
Durch ’Indexziehen’ ermitteln wir die kontravarianten Basisvektoren
gi
g
1
= g ij · gj

a
q
p

b + a2 + b2
= 
a
 q
p
−b + a2 + b2


=

Ã p
!
√
2
2
p−b +√ a + b
b + a2 + b2
(2.29)
Seite 28
Studienarbeit
g
2
2.6.3
=
Ã
! Ã p
!
p
√
√
a2 + b2
b + a2 + b2
pb + √
p
√
=
− −b + a2 + b2
− −b + a2 + b2
(2.30)
Christoffelsymbole
Nun lassen sich die Christoffelsymbole 2.Art mit Hilfe der Formel
Γikj = (gk,j , gi )
herleiten. Exemplarisch sei dies für i = k = 1 (entspricht der Koordinate a) und j = 2 (entspricht der
Koordinate b) demonstriert.
Γaab
=
(ga,b , ga )

− 14 ·
p
2 + 2b) · a
( a2 + bq
p
(a2 + b2 )3/2 · b + a2 + b2





p
= 
 1
(a2 q
+ 3b2 − 3b a2 +q
b2 ) · a
 − ·
p
p
 4

(a2 + b2 )3/2 −b + a2 + b2 b − a2 + b2
= −
b
2(a2 + b2 )
analog ermittelt man die anderen Christoffelsymbole
b
a
Γaab = −
Γaaa = −
2(a2 + b2 )
2(a2 + b2 )
a
b
Γabb =
Γaba = −
2(a2 + b2 )
2(a2 + b2 )
b
a
Γbaa =
Γbab = −
2(a2 + b2 )
2(a2 + b2 )
a
b
Γbba = −
Γbbb = −
2(a2 + b2 )
2(a2 + b2 )


a
q

p
 
b + a2 + b2
 
 
 
· q
a
 
p
 

−b + a2 + b2









(2.31)
(2.32)
Seite 29
Kapitel 3
Anwendungen in der technischen
Mechanik
3.1 Cauchyscher Spannungstensor
Im folgenden werden die Lösungen der vorangegangen Aufgaben vorausgesetzt, insbesondere die De£nition der Basen ri und rj sei weiterhin gültig. (siehe 1.1)
Ein Körper werde durch Überlagerung der drei homogenenen, physikalischen Zugspannungen
√ N
11
5 mm2
in r1 -Richtung
T =
22
T
=
q
4 N
3 mm2
in r2 -Richtung
33
T
=
q
4 N
3 mm2
in r3 -Richtung
belastet. Man berechne in der nachstehenden Reihenfolge
a) den (hier symmetrischen) Cauchyschen Spannungstensor T jk = σ jk sowie dessen Skalarinvarianten
kI ,
b) eine Hauptbasis rJ gleicher Orientierung wie rj nebst zugehörigen Spannungs-Hauptwerten J σ,
0 0
c) die Spannungmatrix σ = {σ i j }i0 j 0 in kartesischen Koordinaten .
Erläuterung
a) Der Cauchysche Spannungstensor T jk ist eine lineare Vektorabbildung
dF j = T jk dAk
damit folgt für den Spannungstensor an der Stelle P :
T kj {P } = F j {P , gk } = (gj , F{P , gk })
Physikalische Spannungen kj T werden aus dem Quotienten Kraft und Fläche bestimmt, die man
physikalisch messen kann. Hierbei ist es nicht von Bedeutung, welche Länge die Basisvektoren im
Koordinatensystem haben. Im Spezialfall der kartesischen Basis fallen physikalische und Cauchysche
Spannungen zusammen. Die Umrechnung von physikalischen und Cauchyschen Spannungen erfolgt
mittels der Gleichung:
kj
T
√
F <j> | g<j><j> |
p
dA<k>| g <k><k> |
¯
¯r
¯ g<j><j> ¯
kj ¯
¯
= T ¯
g <k><k> ¯
=
(3.1)
30
Studienarbeit
In diesen Gleichungen bedeuten spitze Klammern < i >, daß nicht alle Werte aus dem Wertebereich
annimmt, sondern einen beliebigen, aber festen Wert besitzt.
Lösung
a) Aus den gegebenen Werten folgt direkt die Matrix der physikalischen Spannungen.
 √
5

kj
0
T =

0
q0
4
3
0
0

·
¸

0  N
q  mm2
4
3
Unter Anwendung von Gleichung (3.1) und (1.27) folgt damit für die Cauchyschen Spannungen
T kj

1 0
= 0 1
0 0

¸
·
0
N

0
mm2
1
Die Invarianten N I ergeben sich nach De£nition lt. Gleichung (1.18) unter Verwendung von (1.22)
in der kovarianten Basis:
C {s} =
=
1I
2I
3I
det{Tkj − λ g∗ }



1 −1
 1 0 0
3
det  0 1 0  − λ  −1
2

0 0 1
−1
1
9
1
= − λ3 + λ2 − 4λ + 1
4µ
4¶
N
= 9
mm2
¶2
µ
N
= 16
mm2
¶3
µ
N
= 4
mm2

−1 
1 

3
2
b) Die Ermittlung einer Hauptbasis rJ kann mittels der Gleichungen (1.23) und (1.22) erfolgen. Die
Eigenwerte der Cauchyschen Spannungsmatrix ergeben sich im kovarianten Basissystem zu:
C {s} =
1s
2s
3s
0
1
9
= − s 3 + s 2 − 4s + 1
4
4
N
= 2
mm2
N
7 1√
+
41
=
2 2
mm2
N
7 1√
41
=
−
2 2
mm2
Dies sind gleichzeitig die Hauptspannungen in den jeweiligen Richtungen. Damit folgt für die Eigenvektoren nach Gleichung (1.22)
a1


0
=  −t1 
t1
Seite 31
Studienarbeit
 t ¡
√ ¢
2 3+
41
4
= 
t2
t2
 t ¡
√ ¢
3
4 3 − 41

=
t
a2
a3
3
t3




, wobei t1 , t2 und t3 beliebige, frei wählbare Parameter sind. Die so ermittelten Eigenvektoren stehen
senkrecht aufeinander, sofern die Eigenwerte paarweise voneinander verschieden sind. Andernfalls
sind sie mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren zu orthogonalisieren.
Beachte: Bei der Überprüfung mit Hilfe des Skalarproduktes ist der Metriktensor zu verwenden.
Um eine orthonormale Basis zu erhalten, müssen die Basisvektoren normiert werden. Damit folgt
unter Anwendung von Gleichung (1.3) eine Hauptbasis rJ .


√
√
−3 + √
41
3 + 41
√
0

410 + 62 41 410 − 62 41 





 1
4
4


√
√
−2
âJk = 
410 + 62 41 410 − 62 41 






4 √
4 √

 −1
 2 410 + 62 41 410 − 62 41 
Nun muß überprüft werden, ob die gefundene Hauptbasis die gleiche Orientierung wie das Ursprungssystem besitzt. Die Bedingung lautet:
det{âJk } ≈ 0.5
> 0
Es erfolgt bei dieser Transformation also keine Umkehrung der Orientierung. Andernfalls hätte einer
der Basisvektoren mit −1 multipliziert werden müssen.
c) Die Transformation der Spannungsmatrix in das kartesische Koordinatensystem wird unter Ausnutzung der Transformationseigenschaft von Tensoren vorgenommen . Da hier die Transformation nicht
vom, sondern in das kartesische System erfolgt, ergibt sich unter Beibehaltung der in vorigen Abschnitten verwendeten Notation
0 0
Ti j
0 ij 0
= A
T A
1 2
=  0 1
0 1

5 2
=  2 2
2 0
T

0
1 0
−1   0 1
1
0 0

2
0 
2

0
1
0
0  2
1
1
0 −1

0
1 
1
3.2 andere Spannungstensoren
Man weise nach, daß der 2.Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor invariant bezüglich großen Rotationen
ist, der Cauchysche Spannungstensor jedoch nicht.
Erläuterung
Def.: Der Cauchy’sche Spannungstensor T in einem Punkt eines Körpers ist eine Abbildung, die einem
Flächenstück dA der Momentankon£guration einen Spannungsvektor P N in der Momentankon£guration
zuordnet. Das Flächenstück sei durch einen Zeilen-Vektor N repräsentiert, der normal auf A stehe und
dessen Länge dem Flächeninhalt entspreche. Damit folgt
PN = N · T
(3.2)
Seite 32
Studienarbeit
Anmerkung: In einigen Veröffentlichungen wird der Cauchysche Spannungstensor mit vertauschtem Zeilen
und Spaltenindex de£niert. Damit folgt dann
PN = T · N
(3.3)
, wobei N dann ein Spaltenvektor ist.
Def.: Der 2.Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor T̃ in einem Punkt eines Körpers ist eine Abbildung,
die einem Flächenstück dS der Ausgangs-Kon£guration einen Spannungsvektor P̃n der Ausgangskon£guration zuordnet.(s.Abb. 3.2)
P̃n = N · T̃
(3.4)
Für den Fall von kleinen Deformationsgradienten stimmen diese beiden Spannungen überein.
Lösung
Gegeben sei ein Körper im 3D Euklidischen Raum, der einen de£nierten Spannungszustand T 0 besitzt.
Wir beziehen die folgenden Erläuterungen auf ein kartesisches Koordinatensystem, in dem ein beliebiger
Punkt dieses Körpers im Ausgangszustand die Koordinaten X 0 = x0 habe. Zum Zeitpunkt 0 sind die
Cauchy’schen T0 und 2.Piola-Kirchhoffspannungen T̃0 identisch, da Ausgangs- und Momentankon£guration des Körpers gleich sind. Zum Zeitpunkt ∆t seien die Koordinaten des Punktes nach einer Starrkörperrotation gegeben zu x ∆t .
x ∆t = FX 0
Die Transformationsmatrix F ist eine orthogonale Matrix. Dies heißt, daß alle Basisvektoren fi senkrecht
aufeinander stehen und die Länge jedes Basisvektors 1 beträgt.
(fi fj ) = δji
Ein Beispiel für eine Transformationsmatrix, die eine Drehung um die z-Achse mit dem Winkel φ durchführt,
ist folgende Matrix


cos(φ) − sin(φ) 0





sin(φ)
cos(φ)
0
F̂ = 




0
0
1
Orthogonale Matrizen haben weiterhin die Eigenschaft, daß die inverse Matrix gleich der transponierten
Matrix ist.
F−1 = FT
Abbildung 3.1: Veranschaulichung von Cauchyschem und Piola-Kirchhoffschem Spannungsvektor bei einer Rotation
Seite 33
Studienarbeit
Die Cauchyschen Spannungen nach der Starrkörperrotation ergeben sich unter Verwendung der allgemeinen
Transformationsregeln für Tensoren zu
T∆t = F T0 FT
(3.5)
Dies zeigt, daß sich die Cauchyschen Spannungen nach der Rotation verändert haben.
Die Umrechnung von Cauchyschen Spannungen in 2.Piola-Kirchhoffsche Spannungen erfolgt durch:
ρ −1
F T (F−1 )T
(3.6)
T̃ =
ρ0
Das Verhältnis
ρ
ρ0
repräsentiert hierbei eine Dichteänderung des Körpers, die sich bestimmen läßt nach
ρ
= det(F)
(3.7)
ρ0
Für eine orthonormale Matrix, die eine Drehung repräsentiert, ist die Determinante immer gleich 1.(Für eine Spiegelung, die ein Rechts- in ein Linkssystem umwandelt, ist die Determinante -1). Dies korrespondiert
auch mit der Vorstellung, daß eine Starrköperrotation keine Dichteveränderungen hervorruft.
Damit lassen sich mit den Gleichungen (3.5), (3.6) und (3.7) die 2.Piola-Kirchhoffschen Spannungen nach
der Starrkörperrotation ermitteln zu:
T̃∆t
= F−1 T∆t (F−1 )T
= F−1 F T0 FT (F−1 )T
= T˜0
(3.8)
Gleichung (3.8) zeigt also, daß die 2.Piola-Kirchhoffschen Spannungen invariant bezüglich einer Starrkörperrotation sind.
3.3 Nachweis der Symmetrie des Cauchyschen Spannungstensors
Weisen Sie nach, daß der Spannungstensor T ij symmetrisch bzgl. der Indizes i und j ist.
Lösung
Kräftegleichgewicht
Die Gleichheit zwischen den äußeren Kräften und den Trägheitskräften liefert
Z
Z
Z
d
i
i
ρv i dV.
ρb dV =
t dS +
dt V
V
S
Dabei ist r der Ortsvektor des Punktes bzgl. des Ursprungs, t und ρb stellen angreifende Ober¤ ächenbzw. Volumenkräfte dar und v ist der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens auf der Position r. Der Vektor
der Ober¤ ächenkräfte läßt sich unter Verwendung des Spannungstensors und der Normalen auf die Fläche
substituieren
ti = T ji nj
und unter Verwendung des Gauss-Greenschen Integralsatzes
Z
Z
j
v.,j dV =
v j nj dS
V
(3.9)
S
ergibt sich
¶
Z µ ji
∂T
dv i
i
+ ρb − ρ
dV = 0.
xj
dt
V
Da diese Gleichung für jedes Teilvolumen des Körpers erfüllt sein muß, ergibt sich damit
∂T ji
dv i
i
=0
+
ρb
−
ρ
xj
dt
(3.10)
Seite 34
Studienarbeit
Momentengleichgewicht
Die Gleichheit der Momente aus den äußeren Kräften und den Trägheitskräften liefert
Z
Z
Z
d
(r × t) dS + (r × ρb) dV =
(r × ρv) dV.
dt V
S
V
Unter Verwendung von Gleichung (1.17) läßt sich das Kreuzprodukt mit Hilfe des Permutationstensors ²
ausdrücken.
Z
Z
Z
d
²rmn gim xi ρgjn v j dV.
²rmn gim xi gjn bj ρ dV =
²rmn gim xi gjn tj dS +
dt V
V
S
Der Vektor der Ober¤ ächenkräfte läßt sich unter Verwendung des Spannungstensors und der Normalen auf
die Fläche substituieren:
tn = T kn nk
Unter Verwendung des Gauss-Greenschen Integralsatzes (3.9) wird das erste Integral in ein Volumenintegral
überführt
Z
Z
Z
d
∂(xi T kj )
rmn
i
j
rmn
²rmn gim xi ρgjn v j dV.
²
gim x gjn b ρ dV =
dV +
²
gim gjn
∂xk
dt V
V
V
und die Zusammenfassung der Integrale liefert schließlich
·
¸
Z
Z
¢
d ¡
∂(xi T kj )
rmn
i j
gim gjn xi ρv j dV.
²
gim gjn
²rmn
+
x
b
ρ
dV
=
k
∂x
dt
V
V
i
i
Unter Verwendung der Produktregel und dx
dt = v ergibt sich
¸
·
¸
· i
Z
Z
j
∂x kj ∂T kj i
rmn
i j
i j
i dv
rmn
²
gim gjn v v + x
T +
x + x b ρ dV =
²
gim gjn
ρ dV. (3.11)
∂xk
∂xk
dt
V
V
Nun betrachten wir die einzelnen Summanden genauer.
²rmn gim gjn v i v j = 0
Da der Permutationstensor ein antimetrischer Tensor ist, wohingegen v i v j und der Metriktensor symmetrisch sind, so daß sich bei der Summenbildung die Anteile ²rmn gim gjn v i v j und ²rnm gim gjn v i v j gegenseitig aufheben und für n = m die Koordinate des Permutationstensors verschwindet.
Weiterhin gilt nach dem allgemeinen Transformationsgesetz
∂xi kj
T = T ij
∂xk
Die ersten Terme auf der linken Seite von Gleichung (3.11) und der letzte Term auf der rechten Seite sind
nah Gleichung (3.10) identisch. Also verkürzt sich Gleichung (3.11) zu
Z
²rmn gim gjn T ij dV = 0
(3.12)
V
Da Gleichung (3.12) für alle Teilvolumina gelten muß, folgt direkt
²rmn Tmn = 0.
(3.13)
bzw.
²rmn T mn = 0.
(3.14)
und nach einsetzen von r = 1, 2, 3 folgt die Symmetrie des Spannungstensors
(T 23 − T 32 ) · V∗ = 0
(T 31 − T 13 ) · V∗ = 0
(T 12 − T 21 ) · V∗ = 0
Seite 35
Studienarbeit
3.4 Energieäquivalente Arbeitspaare
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik liefert
Ėtotal = Pinput + Qinput
(3.15)
Die Änderung der Gesamtenergie des Systems ergibt sich also als Summe aus der Energiezufuhr aus mechanischer Arbeit und von Energiezufuhr durch Wärme.
Mechanische Leistung
Die mechanische Leistung setzt sich zusammen aus dem Integral über die Ober¤ ächenkräfte t und die
Volumenkräfte b multipliziert mit dem Geschwindigkeitsfeld
Z
Z
Pinput =
t · v dA + ρb · v dV
=
A
V
Z
ti · vi dA +
A
Z
ρbi · vi dV
(3.16)
V
Mit Verwendung von
ti = Tij ni
(3.17)
und der Transformation des Ober¤ ächenintegrals mit Hilfe des Gauss-Greenschen Integralsatzes (3.9) ergibt
sich
¸
¶
Z · µ
∂Tij
∂vi
+ ρbi + Tji
dV
(3.18)
vi
Pinput =
xj
∂xj
V
Der Ausdruck in Klammern läßt sich nach (3.10) umschreiben und es ergibt sich
Z
Z
d
1
Pinput =
ρvi vi dV + Tji vi,j dV
dt
2
(3.19)
V
V
Der Geschwindigkeitsgradient L = vi,j kann in einen symmetrischen Anteil D und einen antimetrischen
Anteil W zerlegt werden.
vi,j = Dij + Wij
(3.20)
Da W antimetrisch ist, fällt das Produkt mit dem symmetrischen Spannungstensor heraus und Gleichung
(3.19) wird zu
Z
Z
d
1
Pinput =
ρvi vi dV + Tij Dij dV
(3.21)
dt
2
V
V
Wärmeleistung
Die Wärmeleistung setzt sich zusammen aus dem Wärme¤uß pro Zeit durch die Ober¤ äche q und der
Wärmeproduktion o von Quellen und Senken pro Zeit innerhalb des Körpers
Z
Z
Qinput = − q · n dA + ρo dV
A
= −
Z
qi ni dA +
A
ZV
ρo dV
(3.22)
V
Gesamtenergie
Die gesamte Energie Etotal des Systems läßt sich als Summe von zwei Anteilen aufschreiben. Der erste
Anteil beschreibt die kinetische Energie K, der zweite die innere Energie U, zu dem auch thermische Energie oder elastisch gespeicherte Energie gehört. Damit läßt sich Gleichung (3.15) unter Verwendung von
(3.21) und (3.22) auch schreiben als
¸
Z
Z
Z
Z ·
Z
d
1
1
d
ρvv + ρu dV =
ρvv dV + T : DdV − q · n dA + ρo dV
(3.23)
dt
2
dt
2
V
V
V
A
V
Seite 36
Studienarbeit
und es folgt allgemein
¸
Z ·
∂qj
du
0=
+ρ
− Tij Dij − ρo dV
∂xj
dt
(3.24)
V
Da diese Gleichung für in£nitesimale Volumina gelten muß, folgt mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
0=
∂qj
du
+ρ
− Tij Dij − ρo
∂xj
dt
(3.25)
Bei der Betrachtung von elastischem Materialverhalten £ndet keine W ärmeentwicklung im Material statt.
Damit folgt
du
0=ρ
− Tij Dij
(3.26)
dt
du
−T:D
(3.27)
0=ρ
dt
Die erste Gleichung gilt dabei für kartesische Koordinaten, die zweite in allgmeinen Koordinatensystemen.
Das doppelt skalare Produkt T : D des Cauchyschen Spannungstensors T und des Tensors der Verzerrungsgeschwindigkeit D als Spezialfall der Überschiebung der Indizes i und j für einen Tensor zweiter
Stufe bildet ein energieäquivalentes Arbeitspaar.
weitere energieäquivalente Arbeitspaare
In der Mechanik werden verschiedene Spannungs- und Verzerrungstensoren de£niert, die abh ängig von
der Betrachtungsweise (Lagrange oder Euler) und anderen Modellvorstellungen ihre Anwendungsbereiche
haben. Man kann Spannungstensoren z.B. so de£nieren, daß sie Fl ächen der Momentan- oder Ausgangskon£guration auf Kr äfte der Momentan oder Ausgangskon£guration abbilden. Um auch dort die Energieprinzipien anwenden zu können, müssen die verwendeten Spannungs- und Verzerrungstensoren energieäquivalent
sein. Vertiefende Angaben sind insbesondere in [7]
Entwickeln Sie weitere energieäquivalenten Arbeitspaare.
Lösung
1.Piola-Kirchhoffscher P Spannungstensor und Deformationsgradient F
Wir betrachten Gleichung (3.20).Der antimetrische Anteil W hatte offensichtlich keinen Ein¤uß auf das
Integral. Man kann offensichtlich schreiben
Z
Z
T : D dV = T : L dV
(3.28)
V
V
Das doppelt skalare Produkt kann allgemein gebildet werden durch
T : L = tr(TLT )
(3.29)
, wobei tr die Spur darstellt. Eine Transformation von Gleichung (3.28) in das Ursprungssystem ergibt
Z
Z
tr(TLT ) det F dV0
T : D dV =
V
V0
=
Z
tr(TFT
Z
V0
h
i
−1
tr (det FTFT )(FT LT ) dV0
Z
V0
h
i
tr (P)(FT (ḞF−1 )T ) dV0
Z
h
i
tr PḞT dV0
−1
FT LT ) det F dV0
V0
=
=
=
V0
Seite 37
Studienarbeit
Z
=
P : Ḟ dV0
(3.30)
V0
Damit bilden P und Ḟ energieäquivalente Arbeitspaare in der Ursprungskon£guration. Allerdings stellt F
kein sinnvolles Verzerrungsmaß dar, da es bei einer Starrkörperrotation eine orthonormale Matrix darstellt,
die verschieden von der Null-Matrix ist. Ein Materialgesetz müßte damit einer orthonormalen Matrix einen
verschwindenden Spannungstensor zuordnen, da eine Starrkörperrotation keine Spannungen erzeugt.
2.Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor und Greenscher Verzerrungstensor
Unter Verwendung von Gleichung (3.30) und der De£nition des zweiten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensors (3.6) folgt
Z
Z
tr(PT Ḟ); dV0
P : Ḟ dV =
V
V0
=
Z
tr(FT̃ Ḟ); dV0
Z
tr(T̃T FT Ḟ); dV0 .
T
V0
=
V0
Da aufgrund der Symmetrie des 2.Piola-Kirchhoffschen Spannungstensors nur der symmetrische Anteil
von FT Ḟ einen Beitrag leistet ergibt sich:
µ
Z
Z
³
´T ¶
1
T̃ :
P : Ḟ dV =
FT Ḟ + FT Ḟ
dV0 .
(3.31)
2
V
V0
und mit der De£nition des Greenschen Verzerrungstensors
¢
1¡ T
G =
F F−I
2
´
1³ T
F Ḟ + ḞT F
Ġ =
2
ergibt sich direkt
Z
Z
tr(T̃T Ġ) dV0
P : Ḟ dV =
V
(3.32)
V0
Damit bilden der 2.Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor P und die Ableitung des Greenschen Verzerrungstensors nach der Zeit Ġ ein energieäquivalentes Arbeitspaar.
2.Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor P und rechte Streckung R
Ausgehend von Gleichung (3.30) versuchen wir den symmetrischen Teil des Deformationsgradienten anders auszudrücken. F kann durch eine Zerlegung in eine unitäre Dyade U und eine positive, symmetrische
Dyade R dargestellt werden. R wird als rechte Streckung bezeichnet. Dies ist immer möglich, da F eine
reguläre Dyade darstellt.
F = RU
(3.33)
T
Eingesetzt in Gleichung (3.30) und unter Berücksichtigung von U U = I ergibt sich der symmetrische
Anteil zu
´
i
1³ T
1h T T
F Ḟ + ḞT F
=
R U U̇R + RT UT UṘ + RT U̇T UR + ṘT UT UR
2
2
´
i
1h T³ T
=
R U U̇ + U̇T U R + RT Ṙ + ṘT R
2·
¸
1
d¡ T ¢
d ¡ T ¢
RT
=
U U R+
R R
2
dt
dt
Die Ableitung der Einheitsmatrix ergibt aber Null, so daß der erste Term nicht zu berücksichtigen ist. Damit
folgt:
´ 1 d ¡
¢
1³ T
F Ḟ + ḞT F =
RT R
(3.34)
2
2 dt
Seite 38
Studienarbeit
und das Integral nach Gleichung (3.30) wird zu
Z
Z
1 d ¡ T ¢
R R dV0
P : Ḟ dV =
T̃ :
2 dt
V
(3.35)
V0
Anscheinend gibt es nicht nur eineindeutige Zuordnungen zwischen energieäquivalenten Arbeitspaaren,
da man dem zweiten Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor verschiedene Verzerrungstensoren zuordnen
kann.
3.5 Deformationsgesetz
Zeigen Sie, daß sich der linearisierte Elastizitätstensor unter bestimmten Bedingungen auf weniger als die
gesamten 81 Konstanten reduieren läßt.
Lösung
3.5.1
Allgemeiner Fall
Unter der Annahme von elastischem Materialverhalten gilt das allgemeine Hooksche Gesetz (hier in kartesischen Koordinaten):
Tij = Cijrs Ers
(3.36)
Hierin ist T der Cauchysche Spannungstensor und E der Lagrange-Verzerrungstensor. Dabei muß für geringe Deformationsgradienten kein Unterschied zwischen den Anfangs- und Endkoordinaten gemacht werden,
so daß man auch den 2.Piola-Kirchhoff’schen Spannungstensor analog verwenden könnte. Dies repräsentiert insgesamt 9 Gleichungen mit jeweils 9 Unbekannten.
3.5.2
Symmetrie von Spannungs- und Verzerrungstensor
Da der Spannungstensor Tij = Tji symmetrisch bezüglich der Indizes i und j und der Verzerrungstensor
Ers = Esr symmetrisch bezüglich der Indizes r und s, folgt damit unter Beachtung von Gleichung (3.36):
Cijrs = Cjirs
und
Cijrs = Cijsr
Unter Verwendung von Gleichung (3.36) läßt sich damit schreiben:


 

E11
c11 c12 c13 c14 c15 c16
T11
 T22   c21 c22 c23 c24 c25 c26   E22 


 

 T33   c31 c32 c33 c34 c35 c36   E33 


=

 T23   c41 c42 c43 c44 c45 c46   2E23 


 

 T31   c51 c52 c53 c54 c55 c56   2E31 
2E12
c61 c62 c63 c64 c65 c66
T12
(3.37)
Aufgrund der Symmetrie kann man also 3 der 9 Elemente des Spannungs- oder Verzerrungstensors unberücksichtigt lassen und es bleiben nur 6 Gleichungen. Diese werden so umgeschrieben, daß die zweistu£gen Verzerrungs- und Spannungstensoren als Vektor dargestellt werden. Damit kann der Materialtensor
als Matrix besser veranschaulicht werden, die nun nur noch aus 6 · 6 Komponenten besteht. In formeller
Schreibweise ergibt sich damit:
T=CE
(3.38)
Hierbei stellen T, C und E in der neuen Matrix-/Vektor-Schreibweise Tensoren zweiter bzw. vierter Stufe
dar. Durch die vereinfachte Schreibweise ist kein Übergang zu einem Tensor geringerer Stufe vorgenommen
worden.
Seite 39
Studienarbeit
3.5.3
Verzerrungs- Potentialfunktion
Unter der Annahme, daß eine Potentialfunktion W als Funktion der Verzerrungen für das Material existiert,
läßt sich der Cauchysche Spannungstensor schreiben als
Tij =
∂W (E)
∂Eij
(3.39)
Nun stellen wir die Potentialfunktion W als eine Potenzreihe dar, wobei Glieder mit mehr als quadratischer
Ordnung vernachlässigt werden können und ermitteln die Konstanten so, daß Gleichung (3.37) erfüllt wird.
W
= c0 + c1 E11 + c2 E22 + c3 E33 + c4 (2E23 ) + c5 (2E31 ) + c6 (2E12 )
1
2
+ c12 E11 E22 + c13 E11 E33 + c14 E11 (2E32 ) + c15 E11 (2E31 + c16 E11 E12
c11 E11
2
1
2
+ c23 E22 E33 + c24 E22 (2E32 ) + c25 E22 (2E31 ) + c26 E22 (2E12 )
c22 E22
2
1
2
c33 E33
+ c34 E33 (2E23 ) + c35 E33 (2E31 ) + c36 E33 (2E12 )
2
1
c44 (2E23 )2 + c45 (2E23 )(2E31 ) + c46 (2E31 )(2E12
2
1
c55 (2E31 )2 + c56 (2E31 )(2E12 )
2
1
c66 (2E12 )2
2
Für den Fall, daß keine Verzerrungen auftreten, soll auch auch das zugehörige Potential verschwinden.
Damit ergibt sich direkt
c0 = 0
Die Spannungen Tij ergeben sich unter Verwendung von Gleichung (3.39) und der Umbennung wie (3.38)
z.B. zu
T1 = c1 + c11 E1 + c12 E2 + c13 E3 + c14 E4 + c15 E5 + c16 E6
Da die Spannungen im verzerrungsfreien Zustand auch verschwinden sollen, ergibt sich direkt
c1 = 0
analog läßt sich für die anderen Komponenten zeigen
c2 = c3 = c4 = c5 = c6 = 0
und damit ergibt sich das allgemeine Hooksche Gesetz zu

 

T11
c11 c12 c13 c14 c15 c16
E11
 T22   c12 c22 c23 c24 c25 c26   E22

 

 T33   c13 c23 c33 c34 c35 c36   E33

=

 T23   c14 c24 c34 c44 c45 c46   2E23

 

 T31   c15 c25 c35 c45 c55 c56   2E31
T12
c16 c26 c36 c46 c56 c66
2E12








(3.40)
Die vereinfachte Matrixdarstellung des Materialtensor C ist somit symmetrisch und es verbleiben 21 unabhängige Konstanten.
3.5.4
Symmetrieebene
Wenn das Material mindestens eine Symmetrieebene besitzt, so spricht man von einem aelotropen Verhalten. Die Symmetrieebene des Materials ist i.a. nicht identisch mit denen bzgl. der Spannungen oder der des
geometrischen Körpers.
Nun wähle man sich ein kartesisches Koordinatensystem X, deren x,y-Ebene der Symmetrieebene entspricht. Aus diesem läßt sich durch Vertauschen des Richtung von z ein neues kartesisches Koordinatensystem X̄ erstellen. Dies entspricht einer Transformation mit der Matrix a:


1 0 0
a =  0 1 0 .
0 0 −1
Seite 40
Studienarbeit
Damit ergibt sich unter Anwendung der Transformationsregeln
= aTaT
T̄
Ē = aEaT
und damit
T̄23
T̄31
Ē23
Ē31
= −T23
= −T31
= −E23
= −E31
(3.41)
,während die anderen Größen Tij und Eij in beiden Koordinatensystemen übereinstimmen.
Gleichung (3.40) läßt sich unter Verwendung des gleichen Materialtensors für beide Koordinatensysteme
schreiben, da dieser aufgrund der vorausgesetzten Symmetrie des Materials bzgl. der x-y Ebene in beiden
Koordinatensystemen identisch ist.
T̄ = C Ē
(3.42)
Beispielhaft sei im folgenden die Komponentenschreibweise für die erste Zeile von Gleichung (3.42) dargestellt:
T̄11
= C11 Ē11 + C12 Ē22 + C13 Ē33 + 2C14 Ē23 + 2C15 Ē31 + 2C16 Ē12
(3.43)
Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften nach Gleichung (3.41) ergibt sich damit
T11
= C11 E11 + C12 E22 + C13 E33 − 2C14 E23 − 2C15 E31 + 2C16 E12
(3.44)
Die erste Zeile des Deformationsgesetz im Koordinatensystem X nach Gleichung (3.40) ergibt sich aber zu
T11
= C11 E11 + C12 E22 + C13 E33 + 2C14 E23 + 2C15 E31 + 2C16 E12
(3.45)
Die Subtraktion der Gleichungen (3.44) und (3.45) liefert
0
= −4C14 E23 − C15 E31
für alle Werte von E23 und E31 . Damit sind die Konstanten
C14
=
0
C15
=
0.
Diese läßt sich auch für die Zeilen 2 bis 6 analog aufschreiben. Damit reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Konstanten im Materialtensor auf 13 und es ergibt sich folgendes Gesetz:


 

E11
c11 c12 c13 0
0 c16
T11


 T22   c21 c22 c23 0
0 c26 
  E22 
 




 T33   c31 c32 c33 0
E
0
c
33 
36  
 

(3.46)



 T23  =  0
2E
0
0
c
c
0
23 
44
45

 

 T31   0
0
0 c54 c55 0   2E31 
2E12
c61 c62 c63 0
0 c66
T12
Anmerkung: In diesem Fall (wie auch im allgemeinen anisotropen Fall) können aufgrund von Schubverzerrungen Normalspannungen entstehen und die Hauptachsen des Verzerrungs- und des Spannungstensors
stimmen i.a. nicht überein.
3.5.5
Orthotropie
Ein Material ist orthotrop, wenn es drei zueinander orthogonale Symmetrieachsen besitzt. Anwendungsbereiche eines solchen Werkstoffgesetzes sind z.B Holz oder Stahlbeton, der als homogener Körper betrachtet
wird und unterschiedliche Bewehrungsgrade in den einzelnen Richtungen aufweist. Dieser Fall läßt sich
analog dem vorigen Fall nachweisen. Man de£niere wieder ein kartesisches Koordinatensystem X, dessen
Achsen mit den Symmetrieachsen des Materials (nicht des Körpers) übereinstimmen. Dabei werden nacheinander die Transformationen durch Spiegelung eines Basisvektors betrachtet. Dies liefert eine weitere
Seite 41
Studienarbeit
Einschränkung auf insgesamt nur noch 9 freie Konstanten und das Deformationsgesetz wird zu:

 


T11
c11 c12 c13 0
0
0
E11
 T22   c21 c22 c23 0


0
0 

 
  E22 
 T33   c31 c32 c33 0


0
0   E33 

 

 T23  =  0


0
0 c44 0
0 

 
  2E23 
 T31   0
0
0
0 c55 0   2E31 
T12
0
0
0
0
0 c66
2E12
(3.47)
Anmerkung: Der Materialtensor hat nur in dem Fall eines Koordinatensystems, in dem je zwei Basisvektoren eine Symmetrieebene aufspannen, die oben angegebene Form. Mit Hilfe der Tensorrechnung lassen
sich seine Koordinaten aber in jedes beliebige Koordinatensystem umrechnen. Insbesondere die Anzahl der
unabhängigen Konstanten ändert sich dabei nicht. Allerdings ergeben sich andere Koordinaten, insbesondere kann es sein, das kein Element des Tensors zu Null wird.
Im Falle eines orthotropen Werkstoffes und der Übereinstimmung der Symmetrieachsen der Verformungen mit denen des Materials führen Schubverformungen nicht mehr zu Normalspannungen und auch die
Spannungen sind symmetrisch bzgl. diese Achsen.
3.5.6
Isotropie
Ein Werkstoff heißt isotrop, wenn er in allen Richtungen die gleichen Eigenschaften hat. Ein Anwendungsbereich ist z.B. Stahl. Das heißt für den Materialtensor, daß er bei einer Koordinatentransformation mit
einer orthogonalen Transformationsmatrix seine Koordinaten nicht ändert. Die Herleitung des Materialtensors läßt sich auf verschidene Weise führen.
Erstens kann man zeigen (Beweis siehe [5]), daß der einzige isotrope Tensor 4.Stufe die Form
Cijrs = λδij δrs + µ(δir δjs + δis δjr ) + ν(δir δjs − δis δjr )
mit λ,µ und ν als beliebigen Konstanten haben muß. Für den Fall der Symmetrie von Tij folgt mit Gleichung (3.36), daß auch Cijrs symmetrisch bezüglich ij ist. Damit folgt
Cijrs = λδji δrs + µ(δjr δis + δjs δir ) + ν(δjr δis − δjs δir )
und damit nach Subtraktion beider Gleichungen ν = 0. Für Ers ist der Beweis analog zu führen.Damit gilt:
Cijrs = λδij δrs + µ(δir δjs + δis δjr )
(3.48)
Die zweite Möglichkeit besteht in der Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften analog der Herleitung für
den orthotropen Fall. Man wähle wieder ein beliebiges kartesisches Koordinatensystem X und ein um 90¦
um die z-Achse gedrehtes Koordinatensystem x̄. Damit ergibt sich
T̄11 = T22
T̄33 = T33
T̄22 = T11
Ē11 = E22
Ē22 = T11
Ē33 = E33
Analog der Herleitung für den orthotropen Fall und der Drehung um die x- und y-Achse folgt damit
λ = C11 = C22 = C33 = C11
µ = C12 = C21 = C13 = C31 = C23 = C32 .
Bei einer Drehung des Koordinatensystems um einen von 90¦ verschiedenen Winkel (z.B. 45¦ ) läßt sich
weiterhin zeigen:
λ + 2µ
= C11 = C22 = C33 = C11
Damit ergibt sich für den isotropen Fall

 
T11
λ + 2µ
λ
λ
 T22  
λ
λ
+
2µ
λ

 
 T33  
λ
λ
λ
+
2µ

 
 T23  = 
0
0
0

 
 T31  
0
0
0
T12
0
0
0
und man erhält folgendes Materialgesetz
Tij = λEkk δij + 2µEij
0 0 0
0 0 0
0 0 0
µ 0 0
0 µ 0
0 0 µ








E11
E22
E33
2E23
2E31
2E12








(3.49)
(3.50)
Seite 42
Studienarbeit
3.5.7
Elastische Konstanten
In der Mechanik verwendet man verschiedene elastische Konstanten, die aber für einen isotropen Werkstoff
aufgrund der oben nachgewiesenen Eigenschaft auf zwei unabhängige Konstanten zurückgeführt werden
können. Im folgenden sollen bekannte Konstanten auf die in Gleichung (3.50) verwendeten Lamé Konstanten µ und λ zurückgeführt werden.
Querdehnzahl ν
Die Dehnung eines Körperelementes in einer Richtung ist gekoppelt an Querdehnungen umgekehrten Vorzeichens in der Querrichtung. Dieses Verhältnis wird durch die Querdehnzahl ν ausgedrückt. Damit folgt
z.B. bei einer Belastung nur in Richtung 1 und keiner Behinderung der Querdehnung:
E33
E22
=−
(3.51)
ν = −
E11
E11
T11 6= 0
während alle anderen Komponenten des Spannungstensors Null ergeben. Damit ergibt sich für die zweite
Zeile von Gleichung (3.49) nach Division durch λE11
λ + 2µ E22
E33
0=1+
+
λ E11
E11
Laut De£nition der Querdehnzahl und f ür einen isotropen Werkstoff folgt damit
λ + 2µ
0 = 1−
ν−ν
λ
λ
ν =
(3.52)
2(λ + µ)
Bei nicht orthotropem Werkstoff könnte man analog zwei Querdehnzahlen betrachten, die sich dann unter
Verwendung der zweiten und dritten Gleichung ermitteln lassen.
Elastizitätsmodul E
Der Elastizitätsmodul wird für die einachsige Beanspruchung ermittelt und ist das Verhaltnis
T11
E=
E11
Damit folgt unter Verwendung der ersten Zeile des Deformationsgesetzes (3.49):
T11 = (λ + 2µ)E11 + λE22 + λE33
und unter Verwendung der Gleichung (3.51)
T11 = (λ + 2µ)E11 + νλE11 + νλE11
die Gleichung für den Elastizitätsmodul :
E = (λ + 2µ)E11 + νλE11 + νλE11
Einsetzen der Formel für die Querdehnzahl nach Gleichung (3.52) ergibt dann:
λ2
µ(3λ + 2µ2 )
=
)
(3.53)
λ+µ
λ+µ
Analog könnte man wieder für einen orthotropen Werkstoff drei E-Moduli für die drei Achsenrichtungen
bestimmen, indem man die einachsige Beanspruchung in den beiden anderen Richtungen betrachtet.
E = λ + 2µ −
Gleitmodul G
Der Gleitmodul oder auch Schubmodul G ist bei einer einachsigen Schubverzerrung senkrecht zur Koordinatenachse X2 in Richtung von X3 durch das Verhältnis
T23
G=
(3.54)
E23
de£niert. Dabei sind alle anderen Elemente des Verzerrungstensors Null. Anhand der vierten Zeile des
Deformationsgesetzes (3.55) erkennt man:
T23 = µE23
Seite 43
Studienarbeit
und damit
G =µ
(3.55)
Kompressionsmodul K
Der Spannungstensor T kann in zwei Anteile zerlegt werden - einem Anteil, der Spannungen aus hydrostatischem Druck p entspricht und den man als Kugeltensor des Spannungstensors bezeichnet und einem
zweiten, den man den deviatorischen Anteil nennt.
1
1
σ = −p = (T11 + T22 + T33 ) = Tkk
(3.56)
3
3


−p 0
0
σI =  0 −p 0 
0
0 −p


T11 − σ
T12
T13
T22 − σ
T23 
T0 =  T21
T31
T32
T33 − σ
Die Änderung des Volumens eines Körpers bei einer Deformation ergibt sich unter Vernachlässigung der
quadratischen Terme zu
V − V0
= E11 + E22 + E33 = e
(3.57)
V
Dies ist die Spur des Verzerrungstensors, die seine erste Invariante darstellt und deswegen in jedem Koordinatensystem den gleichen Wert hat. Mit diesen Gleichungen läßt sich der Kompressionsmodul als Verhältnis
von hydrostatischer Spannung und Volumendilation de£nieren .
σ
(3.58)
K=
e
Unter Verwendung der ersten drei Zeilen des Deformationsgesetzes (3.49) und der De£nitionen (3.56),
(3.57) und (3.58)erhält man
2
K =λ+ µ
(3.59)
3
weitere Umrechungen
Anhand der Beziehungen (3.52), (3.53) und (3.59) läßt sich dann die bekannte Beziehung
E
G=
2(1 + ν)
ableiten.
(3.60)
3.6 Herleitung der Beziehungen zwischen Verschiebungen und angreifenden Kräften
3.6.1
Allgemeiner Fall
Die Gleichung kann für kleine Verformungen allgemein aus folgenden Beziehungen hergeleitet werden
Gleichgewicht (s.Gleichung 3.10)
∂Tij
∂ 2 ui
+ ρ · bi = ρ 2
∂Xj
∂t
(3.61)
Materialgesetz (s.Gleichung 3.50)
Tij = λEkk δij + 2µEij
(3.62)
Kinematik
1
Eij =
2
µ
∂uj
∂ui
+
∂Xj
∂Xi
¶
(3.63)
Seite 44
Studienarbeit
In diesen Gleichungen repräsentiert Tij die Cauchyschen Spannungen, Xj die Koordinaten eines Punktes in
der Referenzkon£guration, u i die Verschiebungen eines Punktes, λ und µ die Laméschen Materialkonstanten und E den Verzerrungstensor in der Lagrangeschen Betrachtungsweise. Durch Einsetzen der Gleichung
der Kinemetik in das Materialgesetz
¶
µ
∂uj
∂ui
∂uk
(3.64)
δij + µ
+
Tij = λ
∂Xk
∂Xj
∂Xi
und anschließendem Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung erhält man:
µ 2
¶
∂ 2 uk
∂ 2 uj
∂ 2 ui
∂ ui
λδij
+µ
+
+ ρ · bi = ρ 2
(3.65)
∂Xk Xj
∂Xj Xj
∂Xi Xj
∂t
Da es sich bei j und k um zwei Summationsinizes handelt, die nur in verschiedenen Termen auftauchen,
kann man sie zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Beziehung in kartesischen Koordinaten
∂ 2 uk
∂ 2 ui
∂ 2 ui
+µ
+ ρ · bi = ρ 2
∂Xk Xi
∂Xk Xk
∂t
Unter Verwendung des Nabla-Operators läßt sich diese Gleichung auch schreiben als
(λ + µ)
∂2u
∂t2
Mit der De£nition des Nabla-Operators im 3D kartesischen Koordinatensystem


∂
∂x
 ∂ 

∇=
 ∂y 
∂
∂z
(λ + µ)∇(∇ · u) + µ∇2 u + ρb = ρ
3.6.2
(3.66)
(3.67)
Plattengleichung
In einigen Fällen ist es sinnvoll, zusätzliche Modellannahmen vorzunehmen, die einerseits den Rechenaufwand deutlich verringern, andererseits aber das Problem sinnvoll genau widerspiegeln. Dies ist z.B. für
Platten möglich. Hierbei werden folgende Voraussetzungen vorgenommen:
a) Geometrie
• Mittel¤ äche ist eben
• Plattendicke ist klein gegenüber den anderen Dimensionen der Platte
b) Belastung
• statische Belastung
• Lasten greifen nur senkrecht zur Plattenmittel¤ äche an
c) Kinematik
• Verschiebung der Punkte nur in z-Richtung (senkrecht zur Plattenmittel¤ äche)
• Verschiebungen sind klein
• Vernachlässigung der Verzerrungen senkrecht zur Mittel¤ äche
• Normalenhypothese
d) Werkstoff
• homogen
• isotrop
• linear-elastisch
Herleitung der Plattengleichung analog dem 3D-Modell
Leiten Sie mit den oben angebenen Idealisierungen die Plattengleichung her.
Seite 45
Studienarbeit
Lösung
Analog der Vorgehensweise für den allgemeingültigen dreidimensionalen Fall betrachten wir das Gleichgewicht, z.B für die x-Richtung, wobei die Cauchyschen Spannungen T durch σ und τ dargestellt werden.
∂σxx
∂τxy
∂τxz
=−
−
(3.68)
∂z
∂x
∂y
Ein Belastungsterm kommt in dieser Gleichung nicht vor, da de£nitionsgem äß nur Belastungen senkrecht
zur Plattenebene betrachtet werden. Durch Integration erhält man
Z
∂τxy
∂σxx
+
dz
(3.69)
τxz = −
∂x
∂y
Für den Fall eines ebenen Spannungszustandes (τxz = τyz = τzz = 0) erhält man durch Einsetzen in (3.62)
und Verwendung der Umrechnung der Lamé-Konstanten λ und µ in E und ν folgendes Materialgesetz:
σxx
=
σyy
=
τxy
=
E
(²x + ν²y )
1 − ν2
E
(²y + ν²x )
1 − ν2
E
²xy
(1 + ν)
Das Materialgesetz (3.70) eingesetzt in die Gleichgewichtsbedingung (3.69) führt zu:
Z
E
∂
∂
E
τxz = −
(²x + ν²y ) −
(²xy ) dz
(1 + ν) ∂y
1 − ν 2 ∂x
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
Die Annahme eines ebenen Spannungszustandes für das Materialgesetz(τxz = τyz = τzz = 0) ist im
Prinzip widersprüchlich zu der Ermittlung von τxz in Gleichung (3.73). Im Vergleich zu den anderen Spannungen ist der Ein¤uß von τ xz = τyz = τzz allerdings gering, und man kann näherungsweise den ebenen
Spannungszustand ansetzen.
Durch Einsetzen der Kinematik (3.63) erhält man:
µ
¶
µ
¶
Z
E
∂v
∂ 1 ∂u 1 ∂v
E
∂ ∂u
−
dz
(3.74)
+ν
+
τxz = −
∂y
(1 + ν) ∂y 2 ∂y
2 ∂x
1 − ν 2 ∂x ∂x
Dabei entsprechen die Verschiebungen u, v, w den Richtungen x, y, z. Unter der Annahme eines ebenen
Verzerrungszustandes (²xz = ²yz = ²z = 0) folgt mit Gleichung (3.62)
µ
¶
1 ∂u ∂w
0 =
(3.75)
+
2 ∂z
∂x
µ
¶
1 ∂v ∂w
0 =
(3.76)
+
2 ∂z
∂y
∂w
(3.77)
0 =
∂z
Die letzte Gleichung impliziert, daß w keine Funktion von z ist. Damit können die ersten beiden Gleichungen nach z integriert werden, und es ergibt sich:
∂w
(3.78)
∂x
∂w
(3.79)
v(x, y, z) = −z
∂y
Auch diese Annahme stellt im Prinzip einen Widerspruch in der Theorie dar, da entweder eine ebener
Spannungs- oder ein ebener Dehnungszustand (Normalenhypothese) herrschen kann.
Die Beziehungen (3.78) und (3.79) eingesetzt in (3.74) führen zu
¶
¶
µ 3
µ 3
Z
E
E
∂ w
∂w3
∂ w
∂3w
τxz =
+
dz
(3.80)
z
+
ν
z
+
2(1 + ν)
1 − ν2
∂x3
∂y 2 ∂x
∂ 2 y∂x ∂ 2 y∂x
u(x, y, z)
= −z
Da w(x, y) keine Funktion von z ist, kann die Gleichung (3.81) integriert werden, und man erhält
µ 3
¶
E z2 ∂3w
z 2 ∂w3
E
z2
∂3w
∂ w
τxz =
+C
(3.81)
+ν
+
+
2 ∂y 2 ∂x 2(1 + ν) 2 ∂ 2 y∂x ∂ 2 y∂x
1 − ν 2 2 ∂x3
Unter der Annahme, daß an der Ober- und Unterseite der Platte keine Schubspannungen auftreten, ermittelt
Seite 46
Studienarbeit
man die Konstante C. Damit folgt:
¶·
µ 3
µ 2
¶
¶¸
µ 3
E
∂ w
z
h2
∂ w
∂w3
∂3w
E
−
+ν 2
+
τxz =
+
2
8
2(1 + ν) ∂ 2 y∂x ∂ 2 y∂x
1 − ν 2 ∂x3
∂y ∂x
µ 2
¶µ
¶µ 3
¶
z
h2
∂3w
E
∂ w
=
−
+
2
8
1 − ν2
∂x3
∂x∂y 2
Analog läßt sich die Herleitung für einen Schnitt in y-Richtung führen, und man erhält
¶µ
¶
µ 2
¶µ 3
h2
∂3w
E
z
∂ w
−
τyz =
+ 2
2
8
1 − ν2
∂y 3
∂x ∂y
Die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung
∂τxz
∂τyz
∂σzz
=−
−
− ρbz
∂z
∂x
∂y
wird nach z-integriert und das Einsetzen der Kinematik führt zu
Z
σzz = − ρbz dz
= −p
(3.82)
(3.83)
(3.84)
(3.85)
Nun setzen wir Gleichungen(3.82),(3.83) und (3.85) in (3.84) ein, und man erhält
µ 2
¶µ
¶µ 4
¶
z
E
h2
∂ w
∂4w
∂4w
ρbz =
(3.86)
+
2
+
−
2
8
1 − ν2
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
Der Anteil aus σz z entfällt, da nach (3.85) σzz keine Funktion von z ist. Die Integration nach z liefert die
Plattengleichung nach der Kirchhoff-Love-Theorie
p
B
∂4w
∂4w
∂4w
4 +2
2
2 +
∂x
∂x ∂y
∂y 4
= div(grad(div(grad(w))))
=
= 44 w,
(3.87)
(3.88)
(3.89)
wobei
B=
Eh3
12(1 − ν 2 )
eine Plattenkonstante abhängig von der Geometrie und dem Material darstellt.
Dabei gilt
4w = div(grad(w))
(3.90)
Anmerkung: Unter Verwendung eines allgemeinen Materialmodells für ein homogenes, isotropes Material
erhält man nach der gleichen Verfahrensweise die Gleichung
p
(3.91)
44 w =
B0
Eh3
1−ν
B0 =
(3.92)
12 (1 + ν)(1 − 2ν)
Für eine Querdehnzahl ν < 0.2 sind die Unterschiede relativ gering (< 6%). Allerdings ergeben sich
bei größeren Querdehnzahlen beträchtliche Unterschiede, die für ν → 0.5 sogar eine Singularität in B 0
aufweisen.
Plattengleichung in Polarkoordinaten
Ermitteln sie die Plattengleichung in Polarkoordinaten
Lösung
Der Gradient ergibt sich in Polarkoordinaten nach Gleichung (2.9) zu
∂w r ∂w φ
g +
g
grad w =
∂r
∂φ
Seite 47
Studienarbeit
Nach der Umrechnung des kontravarianten Basisvektors mit Hilfe des kontravarianten Metriktensors ergibt
sich
1 ∂w
∂w
gr + 2
gφ
grad w =
∂r
r ∂φ
Damit folgt mit der De£nition der Divergenz in Polarkoordinaten (2.15)
4w
= div(grad(w))
∂ 2 w 1 ∂w
1 ∂2w
=
+
+
r ∂r
∂r2
r2 ∂φ2
(3.93)
Nun kann der Laplace-Operator einmal auf sich selbst angewendet werden, und man erhält die Plattengleichung in Polarkoordinaten
44 w
=
∂4w 2 ∂3w
1 ∂2w
2 ∂4w
1 ∂w
2 ∂3w
+
−
+
+
−
r ∂r3
∂r4
r2 ∂r2
r2 ∂r2 ∂φ2
r3 ∂r
r3 ∂r∂φ2
2
4
1 ∂ w
4 ∂ w
+ 4
2 + 4
r ∂φ
r ∂φ4
(3.94)
3.7 Fließbedingungen
Veranschaulichen Sie die Fließbedingungen nach Tresca, von Mises und Drucker-Prager
In der technischen Mechanik versucht man unter Verwendung von Spannungs-/Dehnungsgesetzen eine
Voraussage über den Zustand eines Materials in einem Körper zu treffen. In den meisten Fällen wird
das Material einem einaxialen Druck/Zugversuch unterzogen und man erhält z.B. für Stahl die typische
Spannungs-Dehnungskurve. Zur modellhaften Beschreibung dieser Beziehung gibt es unterschiedliche Annahmen, die in Abb. 3.2 dargestellt sind.
Nun herrscht in einem realen Körper in den seltensten Fällen ein einaxialer Spannungszustand. Es ist nun
eine Annahme zu treffen, die mit Hilfe der einaxialen Versuchsergebnisse eine Vorhersage für das Plasti£zieren im dreidimensionalen Spannungszustand liefert.
Lösung
3.7.1
Fließbedingung nach Tresca
Die Plastizitätstheorie für kristalline Werkstoffe (darunter auch Metalle) setzt voraus, daß auf Kristallgitterebene Versetzungsprozesse statt£nden. Dabei £ndet keine Volumen änderung statt. Es ist deswegen anzunehmen, daß Schubspannungen die Ursache des Fließens sind.
Die Bedingung von Tresca lautet:
f = τmax − kT = 0
Die maximale Schubspannung ergibt sich als die Hälfte der Differenz der größten und kleinsten Hauptspannungen. Damit folgt die Fließbedingung
|σ1 − σ3 | − 2kT = 0
|σ2 − σ1 | − 2kT = 0
|σ3 − σ2 | − 2kT = 0
(3.95)
Abbildung 3.2: Modellannahmen für Spannungsdehnungsgesetzes a)starr plastisch b)elastisch/starr plastisch c)starr plastisch/lineare Verfestigung d) elastisch/lineare Verfestigung
Seite 48
Studienarbeit
Abbildung 3.3: Veranschaulichung der Mises-Fließbedingung
Für den zweidimensionalen Fall veranschaulicht Abb.(3.3) die Fließbedingung. Die Fließbedingung liefert
damit für den einaxialen Zug-Versuch in σ1 -Richtung
1
(3.96)
kT = σF
2
und den reinen Schubversuch σ1 = −σ3 , σ2 = 0
kT = τF
3.7.2
(3.97)
Fließbedingung nach von Mises
Auch die Annahme nach von Mises geht davon aus, daß die Fließbedingung keine Volumenänderung hervorruft, demzufolge auch unabhängig vom hydrostatischen Druck bzw. vom Spannungsaxiator ist. Damit
ist die Plastizitätsbedingung nur vom Spannungsdeviator abhängig, der sich nach folgender Gleichung berechnen läßt.
1
1
(σx + σy + σz ) = IJσ
(3.98)
σm =
3
3


σx − σm
τxy
τxz

τxy
σy − σm
τyz
sij = 
(3.99)
τxz
τyz
σz − σm
Die Annahme nach von Mises ist nun, daß die Fließbedingung allein von der zweiten Invarianten des Spannungsdeviators abhängig ist.
2
f =II I − kM
=0
(3.100)
Die zweite Invariante ergibt sich für den dreidimensionalen Fall als der Faktor vor dem linearen Anteil des
charakteristischen Polynoms.
¤
1£
2
2
2
+ τxz
+ τyz
= − (σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2 + 6(τxy
III
6
¤
1£
= − σ12 + σ22 + σ32 − (σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 )
(3.101)
3
wobei σ1 , σ2 , σ3 die Hauptspannungen repräsentieren. Ein graphische Darstellung im ebenen Fall zeigt
Abb. (3.3).
3.7.3
Fließbedingung nach Drucker-Prager
Die oben verwendeten Fließbedingungen gelten für Werkstoffe ohne innere Reibung. Unter Berücksichtigung der inneren Reibung ist das Fließen des Materials auch vom hydrostatischen Spannungsanteil abhängig.
Die von Drucker-Prager aufgestellte Fließbedingung
p
f = α ·I I + IIJ − kD = 0
(3.102)
ist eine Verallgemeinerung der von Mises-Bedingung mit α = 0 und kD = kM . Dabei ist II die erste Invariante des Spannungstensors und IIJ die zweite Invariante des Spannungsdeviators. Die Konstanten α und
Seite 49
Studienarbeit
Abbildung 3.4: Veranschaulichung der Drucker-Prager-Fließbedingung im Hauptspannungsraum
kD können mit Hilfe der Mohr-Coulombschen Fließbedingung ermittelt werden. Nach dem Coulombschen
Reibungsgesetz gilt für die maximal aufnehmbare Schubspannung
τmax = c − tan φ
(3.103)
In Hauptspannungen ausgedrückt, wobei σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , folgt:
σ3 − σ1
σ3 − σ1
−
· sin φ − c
2
2
Die daraus resultierende Fließ¤ äche ist in Abb. 3.4 veranschaulicht.
f=
(3.104)
3.8 Transformation von Flächen erster Ordnung
Berechnen Sie folgendes Integral jeweils im Standardnormalraum (Integralgrenzen von 0 bis 1) und im
tatsächlichen Bereich (Abb.3.5)
K
=
ZZ
f (x, y)dxdy
A
f (x, y)
= ax + by + cxy
Lösung
Integration im Ursprungssystem
Im Ursprungssystem 1 ergibt sich das Integral zu:
K
=
y+2
Z1 Z
f (x, y) dxdy
y=0 x=y
=
Z1 ·
cx2 y
ax2
+ bxy +
2
2
y=0
¸y+2
dy
y
Seite 50
Studienarbeit
=
Z1 ·
y=0
=
Z1
¸
¸ · 2
a(y + 2)2
c(y + 2)2 y
ay
2
+ b(y + 2)y +
+ by + cy dy
−
2
2
2
2cy 2 + 2(a + b + c)y + 2a dy
y=0
=
=
2cy 3
(a + b + c)y 2
+
+ 2ay
3
2
5
3a + b + c.
3
·
¸1
0
Integration im normierten System
Die Transformation vom normierten in das reale Koordinatensystem erfolgt mit der Transformationsmatrix
µ
¶
µ
¶ µ
¶
eξ
2 0
ex
=
·
eη
1 1
ey
µ
¶
ex
= A0 ·
ey
Die Matrix A’ wird in der FEM häu£g als Jacobi-Matrix J bezeichnet. Die Transformation der Koordinaten
erfolgt mit
! µ
Ã
µ
¶
¶
1 1
x
ξ
2
2
·
=
y
η
0 1
¶
µ
ξ
= AT ·
η
¶
¶ µ
¶
µ
µ bzw.
ξ
2 1
x
·
=
η
0 1
y
µ
¶
ξ
= A0T ·
,
η
wobei
A = A0−1 .
Damit ergibt sich das Integral über die Fläche als
K
=
Z1 Z1
f (ξ, η) det(J) dξdη
η=0 ξ=0
Abbildung 3.5: Transformation eines realen £niten Elementes auf ein normiertes Koordinatensystem
Seite 51
Studienarbeit
=
Z1 Z1
η=0 ξ=0
=
Z1
η=0
©
©
ª
(2a + 2cη)ξ + cη 2 + (a + b)η det(J) dξdη
ª
a + cη + cη 2 + (a + b)η det(J)dη
½
¾
c
c a+b
a+ + +
·2
2 3
2
5
= 3a + b + c.
3
=
Wie würde die Transformation für das verzerrte Rechteck im Ursprungssystem 2 (Abb.3.6) aussehen?
Lösung
Integration im Ursprungssystem
Im Usprungssystem 2 ergibt sich das Integral zu:
K
=
Z1 x+1
Z
f (x, y) dydx
x=0 y=0
=
Z1 ·
by 2
cxy 2
axy +
+
2
2
Z1 ·
ax(x + 1) +
x=0
=
x=0
=
Z1
¸x+1
dx
0
b(x + 1)2
cx(x + 1)2
+
2
2
¸
dx
b
c 3 2a + b + 2c 2 2a + 2b + c
x +
x +
x + dx
2
2
2
2
x=0
=
=
¸1
c 4 2a + b + 2c 3 2a + 2b + c 2 b
x +
x +
x + x
8
6
4
2 0
7
17
5
a + b + c.
6
6
24
·
Abbildung 3.6: Transformation eines verzerrten £niten Elementes auf ein normiertes Koordinatensystem
Seite 52
Studienarbeit
Integration im normierten System
Bei den bisher betrachteten Transformationen war eine konstante Transformationsmatrix A ausreichend. Im
allgemeinen Fall sind 8 Gleichungen (für jeden der vier Eckpunkte jeweils zwei Koordinaten) zu erfüllen.
µ
¶ µ
¶µ
¶ µ
¶
ξi
a11 a12
xi
b1
=
+
ηi
a21 a22
yi
b2
Für den Fall einer konstanten Transformationsmatrix existieren aber nur 6 Unbekannte (alm , bl ). Im bisher
betrachteten Usprungssystem 1 war der Vektor zu einem der Eckpunkte darstellbar als Summe der Vektoren
zum Ursprung (0,0) und der Differenzen der Ortsvektoren der beiden anderen Eckpunkte.
¶
¶ µ
¶ µ
¶
µ
µ
x4 x1
x2 x1
x1
x3
+
+
=
y4 y1
y2 y1
y1
y3
Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf 6 Gleichungen (da die Transformation für (x3 , y3 ) automatisch erfüllt wird. Im Falle der Transformation eines verzerrten Vierecks (kein Parallelogramm) ist also eine
Transformation mit nicht konstanter Transformationsmatix A erforderlich.
Um die Transformation zu £nden, bedienen wir uns der Ansatz- oder auch Formfunktionen f ür ein Vierknotenelement, daß an jedem Eckpunkt (Knoten) je zwei translatorische Freiheitsgrade besitzt. Wir betrachten
die zwei Richtungen unabhängig voneinander, so daß eine Ansatzfunktion mit 4 Freiwerten möglich ist.
Obwohl hier alle Arten von Funktionen zulässig sind, bietet es sich an, ein möglichst vollständiges, symmetrisches (bzgl. x und y) Polynom zu verwenden.
Ni (ξ, η) = ai + bi ξ + ci η + di ξη
i = 1..4
Durch einsetzen der Koordinaten der Punkte ermittelt man die Freiwerte (ai , bi , ci , di ). Dabei habe die
Ansatzfunktion Ni am Knoten i den Wert 1 und an allen anderen Knoten den Wert 0. Am Beispiel von i=1
sei dies erläutert.
N1 (0, 0)
N1 (1, 0)
N1 (1, 1)
N1 (0, 1)
= a1 + b1 · 0 + c1 · 0 + d1 · 0 · 0 = 1
= a1 + b1 · 1 + c1 · 0 + d1 · 1 · 0 = 0
= a1 + b1 · 1 + c1 · 1 + d1 · 1 · 1 = 0
= a1 + b1 · 0 + c1 · 1 + d1 · 0 · 1 = 0
Die Lösung dieses Gleichungssystems führt zur ersten Formfunktion N1 . Analog lassen sich die anderen
Formfunktionen bestimmen.
N1 (ξ, η)
=
1 − ξ − η + ξη
N2 (ξ, η)
N3 (ξ, η)
= ξ − ξη
= ξη
N4 (ξ, η)
= η − ξη
(3.105)
Mit Hilfe der Formfunktionen lassen sich nun die realen Koordinaten in Abhängigkeit der normierten Koordinaten darstellen.
x = N1 x1 + N2 x2 + N3 x3 + N4 x4
= N1 · 0 + N2 · 1 + N3 · 1 + N4 · 0
y
= ξ
= N1 y 1 + N2 y 2 + N3 y 3 + N4 y 4
= N1 · 0 + N2 · 0 + N3 · 1 + N4 · 1
= η (1 + ξ)
(3.106)
(3.107)
Durch die Wahl des Polynoms als Ansatzfunktion ist auch gewährleistet, das die obere Kante (zwischen
Knoten 3 und 4) durch die Koordinaten (ξ, 1) repräsentiert wird.
¶
¶ µ
µ
ξ
x
=
1+ξ
y
Damit ergibt sich die Transformationsmatrix A’ bzw. die Jacobi-Matrix J zu


µ
¶
∂x ∂y
1
η
∂ξ  =
.
A0 =  ∂ξ ∂y
∂x
0 1+ξ
∂η ∂η
(3.108)
Seite 53
Studienarbeit
Das Integral wird damit zu
Z1 Z1
K =
f (ξ, η) det(J) dξdη
η=0 ξ=0
=
Z1 Z1
η=0 ξ=0
=
Z1
{aξ + bη(ξ + 1) + cξη(1 + ξ)} (ξ + 1) dξdη
5
7
17
a + bη + cη dη
6
3
12
η=0
=
5
7
17
a+ b+ c
6
6
24
und es zeigt sich, daß auch hier die Gleichheit gegeben ist.
beachte: In den meisten FE-Programmen wird die Integration numerisch vorgenommen, z.B. mit dem GaußVerfahren. Dabei wird die Funktion nur an bestimmten Stützstellen ausgewertet und über einen Wichtungsfaktor ermittelt man dann das Integral.
Wichtungspunkte
√
1
3
±
ξ =
2 √6
3
1
±
η =
2
6
Die Wichtungsfaktoren sind alle 1
4 . (In einigen FE-Büchern nehmen ξ und η Werte von -1 bis 1 an. Dann
sind die Wichtungspunkte und -faktoren entsprechend anzupassen.
Es ergibt sich nach Auswertung der Summe
4
K
=
1X
wi f (x(ξi , ηi ), y(ξi , ηi )) · det(J(ξi , ηi ))
4 i=1
5
7
17
a+ b+ c
6
6
24
Man erkennt, daß die numerische Integration in diesem Fall den exakten Wert liefert. Dies ist aber abhängig
von der zu integrierenden Funktion und kann bei Funktionen, die keine Polynome sind oder für Polynome,
die einen höheren Grad als das mit einer bestimmten Anzahl von Gaußpunkten noch exakt zu integrierende
Polynom haben, zu numerischen Fehlern führen.
=
Seite 54
Index
Arbeitspaare
energieäquivalente, 36–39
Orthotropie, 41
Permutationstensor, 35
Plattengleichung
kartesisch, 45
Polarkoordinaten, 47
Basis
kontragrediente, 6
kontravariante, 6
kovariante, 6
Volumen-, 6
Querdehnzahl, 43
Rotation, 26
Christoffelsymbole, 25, 29
Skalarprodukt, 9, 16
krummliniges Koordinatensystem, 11
Spannungen
Haupt-, 31
Spannungstensor
1.Piola-Kirchhoffsche, 37
2.Piola-Kirchhoffsche, 32, 38
Cauchysche, 30–35, 39
Symmetrie, 13
Deformationsgesetz, 39–42
Deformationsgradient, 37
Deviator, 44
Divergenz
allgemein, 25
kartesisch, 20
Eigenwerte, 12
Elastizitätsmodul, 43
Trägheitstensor, 16
Transformation
Integral-, 50
Transformationskoef£zienten, 5
Fließbedingung
Drucker-Prager, 49
Mises, 49
Tresca, 48
Vektorkoordinaten, ko-/kontravariant, 8
Vektorprodukt
verallgemeinertes, 10
Verzerrungstensor
Greensche, 38
rechte Streckung, 38
Gleitmodul, 43
Gradient
allgemein, 20
Hyperkoordinaten, 20
kartesisch, 19
Hauptachsen, 12
Invarianten, 12–16
Isomere, 7
Isotropie, 42
Kompressionsmodul, 44
Koordinaten
hyperbolische, 27–29
Kugeltensor, 44
Materialtensor, 39–42
Metriktensor, 7, 9
Hyperbelkoordinaten, 14
Nachweis Tensorcharakter, 16
55
Literaturverzeichnis
[1] Malvern, Lawrence E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Englewood Cliffs,
N.J.: Prentice-Hall, Inc.,1969
[2] Lippmann, Horst Angewandte Tensorrechnung, Springer Verlag Berlin Heidelberg, 1996
[3] Skrzypek, Jacek J. Plasticity and creep, CRC Press, Inc., 1993
[4] Institut für Statik TU Braunschweig, Phänomenologische Modelle für Werkstoffe im Bauwesen, 1998
[5] Aris,R. Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Englewood Cliffs, N.J.:
Prentice-Hall, Inc.,1962
[6] Simmonds, James G. A brief on tensor analysis
[7] MacVean, Donald B. Die Elementarbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungsund Verzerrungstensoren MatZ 154, ZAMM, Vol 19, 157-185, 1968
56

Anwendungen der Tensorrechnung in der technischen Mechanik

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