Konstrutkion von Kegelschnitten

Konstruieren von Kegelschnitten
g
Ellipse: 4x² + 9y² = 36
y Hyperbel: 9x² - 4y² = 36
y Parabel: y² = 6x
y
Konstruktion mit Hilfe der Schmiegekreise
– auch Scheitelkrümmungskreise genannt
Ellipse: 4x² + 9y² = 36
Aus der Ellipsengleichung können wir bereits die Länge der Halbachse
ablesen: a = 3, b = 2
Somit können wir bereits Haupt- und Nebenscheitel einzeichnen.
Zeichne nun eine Gerade durch die Punkte B und C.
Zeichne
Z
i h eine
i G
Gerade,
d die
di zur Hauptachse
H t h parallel
ll l iistt und
d
durch C geht. Zeichne eine weitere Gerade, die zur Nebenachse
parallel ist und durch B geht. Diese beiden Geraden schneiden
sich nun im Punkt E.
E
Zeichne nun eine Normale zur Geraden h ein, die durch den
soeben konstruierten Punkt E ggeht. Diese Normale zu a schneidet
nun die x- und die y-Achse.
Der Schnittpunkt der Normale zu a mit der x-Achse ergibt den Mittelpunkt Ma
für den Schmiegekreis im Hauptscheitel.
Der Schnittpunkt der Normale zu a mit der y-Achse ergibt den Mittelpunkt Mb
für den Schmiegekreis im Nebenscheitel.
SSpiegle
i l nun d
den Punkt
P kt Mb an der
d y-Achse.
A h D
Dadurch
d h haben
h b wir
i nun die
di beiden
b id
Mittelpunkte für die Schmiegekreise an den Hauptscheiteln. Zeichne nun einen
Kreis mit dem Mittelpunkt Mb bzw. Ma mit Radius d(Mb,B).
SSpiegle
i l nun d
den Punkt
P kt Mc
M an der
d x-Achse.
A h D
Dadurch
d h haben
h b wir
i nun die
di beiden
b id
Mittelpunkte für die Schmiegekreise an den Hauptscheiteln. Zeichne nun einen
Kreis mit dem Mittelpunkt Mc bzw. Md mit Radius d(Mc,C).
Nun kkannstt du
N
d d
den Üb
Übergang der
d beiden
b id Schmiegekreise
S h i k i händisch
hä di h einzeichnen.
i i h
Die Krümmung soll vom Nebenscheitel zum Hauptscheitel immer stärker
werden.
Hyperbel:: 9x² - 4y² = 36
Hyperbel
Auch
A
h hi
hier kö
können wir
i aus d
der Gl
Gleichung
i h
di
die Lä
Länger d
der H
Halbachsen
lb h
ablesen:
bl
a = 2, b = 3
Zeichne
Z
i h zweii Parallelen
P ll l zur y-Achse.
A h Ei
Eine d
davon sollll d
durch
hd
den P
Punkt
kt C und
d
eine durch den Punkt D gehen.
Zeichne zwei Parallelen zur x-Achse. Eine davon soll durch den Punkt A und
eine durch den Punkt B gehen.
gehen
Durchh die
D
di 4 neu eingezeichneten
i
i h t Geraden
G d entsteht
t t ht ein
i Rechteck.
R ht k Di
Die
Geraden, die sich mit den Diagonalen des Rechtecks decken, sind die
Asymptoten.
Zeichne
Z
i h nun eine
i N
Normale
l zur A
Asymptote
t t e, di
die d
durch
hd
den P
Punkt
kt F geht.
ht
Durch den Schnitt dieser Normalen entsteht der Mittelpunkt für den ersten
Schmiegekreis.
SSpiegel
i l di
diesen Punkt
P kt an der
d y-Achse.
A h N
Nun haben
h b wir
i d
den Mitt
Mittelpunkt
l
kt M
Ma für
fü
den zweiten Schmiegekreis.
Zeichne
Z
i h nun di
die bbeiden
id Schmiekreise
S h i k i mit
it d
dem Zi
Zirkel
k l ein.
i Di
Die Mittelpunkte
Mitt l
kt
sind Ma und Mb und der Radius entspricht dem Abstand zwischen Mb und B.
Nun kann
N
k
die
di Hyperbel
H
b l händisch
hä di h eingezeichnet
i
i h t werden.
d A
Ausgehend
h d von
der Krümmung des Kreises nähert sich die Hyperbel immer mehr an
die Asymptote an.
Parabel: y² = 6x
Aus der
A
d Parabelgleichung
P b l l i h
kann
k
man bereits
b it ablesen,
bl
das
d p = 3 ist.
it
Der Scheitel A befindet sich im Ursprung, welchen wir eingezeichnet haben.
Nachdem wir p bereits kennen, wissen wir auch wo die Leitlinie ist.
l = -p/2
p/2 also l = -3/2
3/2
Hier eingezeichnet
g
sehen wir nun den Brennpunkt
p
F und den Mittelpunkt
p
M des Schmiegekreises. M hat vom Scheitel A genau den Abstand p.
F hat vom Scheitel A genau den Abstand p/2.
Nun kann der Schmiegekreis
g
mit Mittelpunkt
p
M und Radius p eingezeichnet
g
werden. Die Leitlinie und der Brennpunkt sind für die Konstruktion eigentlich
nicht erforderlich. Allerdings sind sie aus der Gleichung leicht bestimmtbar
Und daher zur Vollständigkeit eingezeichnet.
Nun kann die Parabel eingezeichnet
g
werden. Die Krümmungg wird dabei
vom Kreis aus ins Unendliche gehend immer schwächer.