Matrixmultiplikation, inverse Matrizen

Matrixmultiplikation, inverse Matrizen
nach G.Strang, MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra, Lecture 3
M. Gruber
WS 2012/13, KW 41
Zusammenfassung
Matrixmultiplikation (vier Interpretationen!).
Die Inverse einer Matrix.
Wie ndet man Inverse? Mit Gauÿ-Jordan!
M.Gruber
Lineare Algebra
Matrixmultiplikation
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
|
AB = C , 1.Interpretation
3
a11
a21
a31
a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
{z
A
(m
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
2
3
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
b11
b12
b13
b14
b15
b21
b22
b23
b24
b25
b31
b32
b33
b34
b35
|
{z
n-Matrix A) mal (n
=
}
B
}
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
|
p-Matrix B )
3
c11
c12
c13
c14
c15 7
7
c21
c22
c23
c24
c25
c31
c32
c33
c34
c35
c41
c42
c43
c44
c45
=
(m
{z
C
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
}
p-Matrix C ).
C erbt von A die Anzahl der Zeilen und von B die Anzahl der Spalten.
Die Spaltenzahl von A muss mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen.
Zeile
3
von A
und
Spalte
4
von B
liefern
Element c34
=
P
1k3 a3k bk4 .
1
M.Gruber
Lineare Algebra
AB = C , 2.Interpretation
Matrixmultiplikation
2
3
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a41
a42
a43
|
{z
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
|
c11
c12
c13
c21
c22
c23
c31
c32
c33
c41
c42
c43
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
3
b11
b12
b13
b14
b15 7
7
b21
b22
b23
b24
b25
b31
b32
b33
b34
b35
|
{z
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
}
B
}
A
2
2
3
b14
2
3
2
3
2
3
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a11 7
7
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a12 7
7
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a13 7
7
c15
a23
c25
a21
a31
a41
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
+
b24
a22
a32
a42
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
+
b34
a33
a43
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
c35
c45
{z
C
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
}
Die Spalten von C sind Linearkombinationen der Spalten von A.
2
M.Gruber
Lineare Algebra
AB = C , 3.Interpretation
Matrixmultiplikation
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
|
3
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a41
a42
a43
{z
A
2
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
|
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
}
3
b11
b12
b13
b14
b15
b21
b22
b23
b24
b25
b31
b32
b33
b34
b35
|
{z
"
a31
[ b11
b12 b13 b14 b15 ]
}
B
"
c12
c13
c14
c15
c21
c22
c23
c24
c25
a32
[ b21
b22 b23 b24 b25 ]
3
#
c11
+
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
#
+
"
a33
[ b31
b32 b33 b34 b35 ]
#
c41
c42
c43
{z
c44
c45
C
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
}
Die Zeilen von C sind Linearkombinationen der Zeilen von B .
3
M.Gruber
Lineare Algebra
AB = C , 4.Interpretation
Matrixmultiplikation
2
3 2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a41
a42
a43
|
2
=
6
4
a11
a21
a31
a41
}
3
7
5
2
[ b11
2
Beispiele:
{z
A
6
6
6
6
6
6
6
4
b12 b13 b14 b15 ]
+
2
2 12
3 1 6 = 3 18
4
4 24
3
7
7 "
7
7
7
7
7
5
2
#
6
6
6
6
6
6
6
4
3
7
7
7
7
7
7
7
5
6
4
a12
a22
a32
a42
2
:
6
6
6
6
6
6
6
4
3
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
b11
b12
b13
b14
b15
b21
b22
b23
b24
b25
b31
b32
b33
b34
b35
|
{z
}
B
3
7
5
2
[ b21
b22 b23 b24 b25 ]
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
+
6
4
a13
a23
a33
a43
3
7
5
[ b31
b32 b33 b34 b35 ]
2 7
2
7
2 12
1 6 =
3 8
3 1 6 + 8 0 0 = 3 18
0 0
4 9
4
9
4 24
3
7
7
7
7
7
7
7
5
2
3
6
6
6
4
7
7
7
5
2
3
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7 "
7
7
7
7
7
5
#
2
3
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7 "
7
7
7
7
7
5
#
2
3
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
5
:
4
M.Gruber
Lineare Algebra
Blockmultiplikation
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
6
3 6
6
6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
5 6
6
6
6
4
3
b11
b21
b12
b22
b31
b32
b41
b42
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
3
2
6a
6
6
6
6a
6
6
4
=
11
a12 7
21
a22
a31
a32
7
7
7
7
7
7
5
3
2
3
2
6b
6
6
4
+
b12 7
11
b21
b22
7
7
5
6a
6
6
6
6a
6
6
4
13
a14 7
23
a24
a33
a34
7
7
7
7
7
7
5
3
2
6b
6
6
4
b32 7
31
b41
b42
7
7
5
3
2
2
3
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
3
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
b11
b12
b13
b21
b22
b23
b31
b32
b33
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
h
a11
a21
a12
a22
a13 i
a23
[ a31 a32 a33 ]
2
3
b11
b21
b31
b12
b22 5
b32
b11
4 b
21
b31
b12 3
b22 5
b32
4
2
h
a11
a21
a12
a22
a13 i
a23
[ a31 a32 a33 ]
2
4
2
3
b13
b23 5
b33
b13 3
4 b
23 5
b33
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Die beiden Varianten sind kombinierbar.
5
M.Gruber
Lineare Algebra
Inverse
Sei A sei quadratisch, d.h. Zeilenzahl
=
Spaltenzahl.
Es gilt genau eine der beiden Alternativen:
Es gibt eine Matrix A
1
mit
A
Dann nennt man A
A
=
I
=
AA
1
1
(1)
:
invertierbar (nichtsingulär) und
Es gibt keine Matrix A
Dann nennt man A
1
A
1
ihre
Inverse .
mit der Eigenschaft (1).
nichtinvertierbar (singulär) ,
6
M.Gruber
Lineare Algebra
Beispiel
3
2
Hat hat A
=
Wäre AB
6
6
6
6
4
1
377
2
6
=
7
7
5
eine Inverse? Nein. Warum nicht?
I , dann wären
[ 10 ]
und
[ 01 ]
Linearkombinationen der Spalten von A.
Dies ist aber nicht möglich. Warum nicht?
Wäre BA
=
I , dann wären
[1 0]
und
[0 1]
Linearkombinationen der Zeilen von A.
Dies ist aber nicht möglich. Warum nicht?
Es gibt ein x
Wäre BA
=
6= 0
mit Ax
I , dann wäre
=0
(welches x z.B.?).
(BA)x =
x
6= 0
1
.
und B (Ax)
=
B0
= 0,
Widerspruch!
1 Die Spalten singulärer Matrizen lassen sich (nichttrivial) so kombinieren, dass der Nullvektor herauskommt
7
M.Gruber
Lineare Algebra
Wie berechnet man Inverse?
AA
1
=
)
I
A
1
=
?:
Gauÿ-Jordan-Idee:
die k -te Spalte von A
2
Beispiel: A
=
2
6
6
6
6
4
|
6
6
6
6
4
1
ist Lösung von Ax
=
b
k ; wenn bk
die k -te Spalte von I ist.
3
1
377
2
7
7
7
5
. Wir lösen alle Gleichungssysteme auf einmal:
3
1
3 1
077
2
7 0
1
{z
[AjI ]
7
7
5
}
2
6
6
6
6
4
1
3
0
1
3
1
2
077
1
7
7
5
2
6
6
6
6
4
|
1
0
0
1
[I jA
3
7
2
{z
377
1
1 ] (warum?)
7
7
5
}
8
M.Gruber
Lineare Algebra
Gauÿ-Jordan
Sei E das Produkt der Eliminationsmatrizen, die A schrittweise in I überführen:
j
E [A I ]
= [E A
j
EI ]
= [I
j ])
E
E
=
A
1
9
M.Gruber
Lineare Algebra
Inverse in Mathematica
In[1]:= A={{1,3},{2,7}}
Out[1]= {{1, 3}, {2, 7}}
In[2]:= Inverse[A]
Out[2]= {{7, -3}, {-2, 1}}
In[3]:= B={{1,3},{2,6}}
Out[3]= {{1, 3}, {2, 6}}
In[4]:= Inverse[B]
Inverse::sing: Matrix {{1, 3}, {2, 6}} is singular.
Out[4]= Inverse[{{1, 3}, {2, 6}}]
10