1 Das dynamische Leontief-Modell The dynamic Leontief model Le

1 Das dynamische Leontief-Modell The dynamic Leontief model Le

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Das dynamische Leontief-Modell
The dynamic Leontief model
Le modèle input-output
Input-Output Analyse/Input-Output analysis/analyse Input-Output/
análisis de input-output/ analisi di input-output
Input-Output-Analyse, Input-Output-Tabellen
input-output analysis, input-output tables
un modèle multi-sectoriel, theorie du TEI (=Tableau(x) d'echanges
interindustrielles), Tableau(x) Input-Output, Tableau entrées-sorties,
Modèles de Leontief
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analisi di input-output, tavola input-output, la matrice input-output
1. Die Leontief-Hauptdifferenzengleichung
(1)
Axt + B(xt - xt-1 ) + Cxt + a + bt + Dt c = xt
Dabei sind A,B,C∈Rn,n sowie a,b,c∈Rn, und D eine positive Diagonalmatrix. Die
empirische Interpretation ist
A als Matrix der interindustriellen Verflechtung
B als Kapitalmatrix (verallgemeinerter Akzelerator)
C als linear in Abhängigkeit von der Produktion erklärte Endnachfrage
sowie
a + bt + Dt c =:ft
eine monoton von der Zeit abhängige Endnachfrage.
Die übliche Auflösung nach x (Bestimmung der Produktion) ist:
(1)'
(I - A - B - C)xt = Bxt-1 + ft ⇔ A xt = B xt-1 + C t
Dies ist Gleichung (1), vorausgesetzt die verallgemeinerte Leontief-Inverse existiert, mit
(I - A - B - C)-1 =:S und -SB =: R
Der übliche Fall des statischen Input-Output-Modells ist
(1)" Axt + a = xt (B = C = 0, b = c = 0), bzw. das Modell des Beispiels 1 und 2.
2
2. Das dynamische Leontief-Modell
Ein Beispiel zur Input-Output-Rechnung und zur Linearen Programmierung
Sei das Input-Output-System
(1)
xt = Axt + B(xt+1 - xt ) + yt , A,B∈Rn,n, x∈Rn, y∈Rn
und zusätzlich die zugehörige Zielfunktion
(2)
F(x) = c'xT → Max (Min)
Illustration (n=2)
Es seien folgende Zahlen verwendet
-1
0.6 0.1
1.5 1.0
2 -2
A=
,B=
,B =
, c' = (1 2)
0.1 0.5
1.0 1.0
-2 3
und die Anfangswerte
y0' = (10 0),
y1' = (10 0)
x1' = (100 50),
x2' = (160 28).
Das Lösungsschema wird in Abschnitt 3 und 4 allgemein behandelt.
3
3. Das dynamische Leontief-Modell mit dem Problem der dynamischen Inversen
(Dynamic Inverse Problem: Leontief, Kendrick, Luenberger)
1. Formulierung
Statt einer Formulierung der Leontief-Differenzen-Gleichung in Rückwärts-rechnung
(1)
Axt + B(xt-1 - xt ) + ft = xt (konstante Koeffizienten)
bzw.
(1)'
At xt + Bt (xt-1 - xt ) + ft = xt (variable Koeffizienten)
n,n
A, At ∈R
Input-Output-Koeffizienten
B, Bt ∈Rn,n
Kapital-Koeffizienten
n
xt ∈R
Produktion
ft ∈Rn
exogen vorgegebene Endnachfrage
wird die folgende Leontief-Differenzen-Gleichung in Vorwärtsrechnung betrachtet
(2)
Axt + B(xt+1 - xt ) + ft = xt
bzw.
(2)'
At xt + Bt (xt+1 - xt ) + ft = xt
2. Ein Lösungsschema sukzessiv rückwärts
Unter Vorgabe von xT werden die Werte für x T-1 , xT-2 , ..., x1 berechnet.
(3.T)
xT Vorgabe
(3.t)
xt = (I-A+B)-1 (Bxt+1 + ft ) (t= T-1,T-2,...,1)
(Prognose des Endwertes und Bestimmung des Pfades von diesem Schlußwert;
vgl. Entwicklungsplanung)
4
4. Ein zweites Lösungsschema durch Inversion der Kapitalmatrix
Für (2) werden in der Auflösung nach xt+1 zwei Fälle unterschieden:
Fall 1: Es gibt ein nichtsinguläres B
(Es gibt eine Inverse B -1 ; empirisch muß diese Voraussetzung nicht zutreffen)
(4)
xt+1 = B-1 [(I-A+B)xt + ft ]
Dies ist eine übliche Differenzengleichung
(5)
yt = Ryt-1 + Szt , (R:= B-1 (I-A-B); S:= B-1 ; yt = xt+1 ; zt = ft-1 )
Fall 2: Es gibt kein nichtsinguläres B
B ist singulär; rg(B) = rg(B11) = r < n; d:=n-r. Es gibt keine Inverse B-1 ; dies ist der
empirische Regelfall, in dem einige Zeilen und Spalten von B null sind.
B 11 B 12
Bxt+1 = (I-A-B)xt + ft ; B =
B 21 B 22
Aufgrund der Zeitinvarianz gilt auch
(6)'
Bxt = (I-A-B)xt-1 - ft-1 ⇔ Bxt = Cxt-1 + dt , C:= I-A-B, dt := ft-1
(6)
Anwendung einer verallgemeinerten Inversen B+ gibt die allgemeine Lösung:
(7)
xt = B+Cxt + B+dt + (B+B - I)pt , pt ∈Rn
5. Ein drittes Lösungsschema durch Rangergänzung
Ein alternatives, i.a. nicht äquivalentes Verfahren ist das folgende: Durch Multiplikation von (6) von links mit
-1
B 11
M
P:=
:=
N
-B21 B-1
11
folgt aus (6)'
(9)
0
Is
,
B11∈Rr,r, 0∈R r,s
0<r=rk(B)<n
s,r
s,s
s:=n-r
-B 21 B-1
11 ∈R , Is ∈R
,
PBxt = PCxt-1 Pdt ⇔
Tx t = Gx t-1 - Md t
T
G
M
xt =
x t-1 dt ⇔
0
H
N
0 = Hx t-1 - Nd t
Das ist ein kleineres System von Differenzengleichungen (9.1) (m<n) unter
Nebenbedingungen (9.2). Damit (9.2) sinnvoll bleibt, wird die Annahme (A1) gemacht
(s.o. Unterfall 1):
(A1) T ist nichtsingulär (vgl. die Schätzung unter Nebenbedingungen)
H
(10) (A2) yt := Txt
Kombination von (9.2) und Transformation (10) geben ein reguläres System von n
Differenzengleichungen
T x = yt =: yt
(11)
t
Nd t-1
Nf t
H
bzw. mit (A1)
5
T
xt =
H
-1
yt
=: (E F)
yt
= Eyt + FN f t
Nf t
Nf t
Matrizen E und F sind eine zu dem Vektor rechts in (12) konforme Zerlegung der
Inversen. Schließlich wird die obere Zeile von (9), (9.1), ausgewertet:
(13)
Txt =:yt = Gxt-1 - Mdt = GEyt-1 + GFNft - Mdt
bzw. (Zeitinvarianz)
(14)
yt = (GE)yt-1 + GFNft - Mdt
(12)
Nach Vorgabe von y0 ist (14) eine übliche Differenzengleichung. Das gesamte
Lösungsschema ist damit:
T
(0)
Zerlegung von B in
((7) - (9))
0
(i)
Darstellung von x als Funktion von y
((10) - (12))
(ii)
Bestimmung von y
((13) - (14))
(iii) Bestimmung von x
(12)
Beispiel
Beispiel
Example
Example
Example
Beispiel
Beispiel
Example
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(Ein statisches Input-Output-Modell)
(Eine Literaturübersicht)
(Types of input-output models)
(The general table format of a static input-output-model, 8 versions)
(The structure of an input-output-table)
(Eine Illustration nach Sfraffa)
(Die Hawkins-Simon Bedingungen)
(The usefulness of linear extensions of the static input-output system)
References
Tsukui, Jinkichi, Turnpike theorem in generalized dynamic input-output system,
Econometrica 34, No.2, 1966, 172-186
Tsukui, Jinkichi, Application of a turnpike theorem to planning for efficient
accumulation: an example for Japan, Econometrica 36, No.1, 1968, 172-186
(DIFFERENCE EQUS, LP, DEVELOPMENT)