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Grundfunktionen und ihre Ableitungen
1
Anleitung zum Applet
„Grundfunktionen und ihre Ableitungen“
Bearbeitung von:
Horst Lauinger
WS 2007 / 2008
Studiengang Elektronik und Informationstechnik
Betreuung durch:
Prof. Dr. Wilhelm Kleppmann
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
2
Inhaltsverzeichnis
1
Vorwort ..................................................................................................... 3
2
Grafische Benutzeroberfläche .................................................................. 4
2.1
Menüleiste .............................................................................................................5
2.1.1
Menüeintrag „Datei“........................................................................................5
2.1.2
Menüeintrag „Funktionen“ ..............................................................................5
2.1.3
Menüeintrag „?“ ..............................................................................................6
2.2
Toolbar ..................................................................................................................6
2.3
Bereich der Parametereingabe..............................................................................7
2.3.1
„Sinus“ und „Cosinus“.....................................................................................7
2.3.2
„Sinus hyperbolicus“ und „Cosinus hyperbolicus“...........................................8
2.3.3
„Polynome“ .....................................................................................................8
2.3.4
„e-Funktion“ ....................................................................................................9
2.3.5
„ln-Funktion“ ...................................................................................................9
2.4
Anzeigebereich......................................................................................................9
2.4.1
Oberer Zeichenbereich.................................................................................10
2.4.2
Unterer Zeichenbereich ................................................................................11
3
Bedienung des Applets (Kurzfassung).................................................... 12
4
Hinweise ................................................................................................. 13
5
4.1
Bekannte Probleme .............................................................................................13
4.2
Hinweise für nachfolgende Studienarbeiten ........................................................13
Glossar ................................................................................................... 14
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
1
3
Vorwort
Die Entwicklung des Applets „Grundfunktionen und ihre Ableitungen“ war Thema für meine
Studienarbeit. Es soll dazu dienen, den Studenten mehr Verständnis für die Mathematik,
sowie einen praktischen Bezug auf die erlernten theoretischen Grundlagen zu vermitteln.
Dieses Applet stellt wahlweise die Sinus- und Cosinusfunktion, die zugehörigen
Hyperbelfunktionen, Polynome 2. bis 4. Grades, die e-Funktion und den natürlichen
Logarithmus jeweils zusammen mit ihrer Ableitung grafisch dar. Wichtige Parameter
können mit Schiebern verändert werden – so erlebt der Nutzer interaktiv, welche
Bedeutung diese Parameter haben. Das Applet verfolgt zwei Ziele:
•
Es soll die wichtigsten Eigenschaften der betrachteten Funktionen verdeutlichen
und ein qualitatives Verständnis für die Bedeutung der verschiedenen Parameter
wecken.
•
Es soll zeigen, dass die Ableitungsfunktion an jeder Stelle x die Steigung der
Tangente der Ausgangsfunktion darstellt.
Hinweis:
Falls Sie dieses Applet nicht starten können, liegt dies vielleicht daran, dass auf ihrem PC
keine Java Virtual Machine (JVM) installiert ist. Diese JVM können Sie sich bei
http://java.sun.com/javase/downloads kostenlos herunterladen.
Wählen Sie hierfür die Java Runtime Environment (JRE) für Ihr Betriebssystem aus.
(Stand 21.01.2008)
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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Grafische Benutzeroberfläche
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2
3
4
Legende:
1 Menüleiste: (siehe dazu 2.1)
Zum Beenden des Applets, Anwahl der verschiedenen Funktionen und Aufrufen
des Infodialoges.
2 Toolbar: (siehe dazu 2.2)
Ermöglicht das direkte Anwählen der Funktionen, ohne über die Menüleiste zu
gehen.
3 Parametereingabe: (siehe dazu 2.3)
Änderung der Parameter über Texteingabefelder oder über die Schieberegler.
4 Anzeigebereich: (siehe dazu 2.4)
Stellt die Funktion, ihre Ableitung, den x-Wert mit den zugehörigen y-Werten und
die Tangente dar.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
2.1
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Menüleiste
2.1.1 Menüeintrag „Datei“
Im Menüpunkt „Datei“ befindet sich die Funktion zum Beenden des Applets.
Alternativ kann man die Anwendung auch mit Strg+B schließen.
2.1.2 Menüeintrag „Funktionen“
Im Menüpunkt „Funktionen“ kann man die verschiedenen Grundfunktionen
aufrufen. Welche der Funktionen momentan aktiv ist, erkennt man an dem
Häkchen vor der Funktion. Alternativ kann man auch mit Strg+1 (Sinus), Strg+2
(Cosinus), Strg+3 (Sinus hyperbolicus), Strg+4 (Cosinus hyperbolicus), Strg+5
(Polynome), Strg+6 (e-Funktion), Strg+7 (ln-Funktion) zwischen den Funktionen
wechseln.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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2.1.3 Menüeintrag „?“
Im Menüpunkt „?“ kann man ein InfoFenster
öffnen,
welches
die
Rahmeninformationen über dieses Applet
enthält. Es muss wieder geschlossen
werden, wenn man das Applet wieder
nutzen will.
Wenn das Applet von der Homepage aus gestartet wird, erhält man zusätzlich die
Möglichkeit, die Online-Hilfe aufzurufen (Strg-H).
2.2
Toolbar
Die Toolbar ermöglicht es dem Benutzer, mit einem einfachen Mausklick die
dargestellte Funktion zu wählen. Die Funktion, welche gerade aktiv ist, wird
hervorgehoben und die restlichen leicht ausgeblendet.
Standardmäßig wird das Applet mit der Sinus-Funktion gestartet.
Wenn man sich nicht sicher ist, was für eine Funktion hinter dem Button eingebettet
ist, kann man den Mauszeiger einen Moment darauf liegen lassen und es erscheint
ein Tooltip, der den kompletten Funktionsnamen anzeigt.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
2.3
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Bereich der Parametereingabe
Im Bereich der Parametereingabe kann der Benutzer die Parameter der aktuellen
Funktion verändern. Zusätzlich kann der x-Wert variiert werden. Die Anzeige der
Funktion reagiert sofort auf die neuen Werte.
Beim Aufruf einer neuen Funktion, werden Standardwerte geladen.
Grundsätzlich bestehen zwei Möglichkeiten auf die Parameter zuzugreifen. Entweder
man ändert den Wert, indem man den Schieberegler benutzt, oder man gibt eine Zahl
in das Textfeld ein und bestätigt dies mit der Taste Enter.
2.3.1 „Sinus“ und „Cosinus“
Sinus-Funktion: y = f ( x ) = a ⋅ sin(bx + c )
Cosinus-Funktion: y = f ( x ) = a ⋅ cos(bx + c )
Bei der Sinus-Funktion und der Cosinus-Funktion hat der
Benutzer die Möglichkeit die Werte der Amplitude a, die
Kreisfrequenz b, den Phasenwinkel c und den x-Wert zu
beeinflussen. Die Wertebereiche der Amplitude und der
Kreisfrequenz
umfassen
-2,50
bis
+2,50,
die
des
Phasenwinkels -7,00 bis +7,00 und der x-Wert -3,98 bis
+3,98.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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2.3.2 „Sinus hyperbolicus“ und „Cosinus hyperbolicus“
Sinus-hyperbolicus-Funktion: y = f ( x ) = a ⋅ sinh(bx + c )
Cosinus-hyperbolicus-Funktion: y = f ( x ) = a ⋅ cosh(bx + c )
Bei der Sinus-hyperbolicus-Funktion und der Cosinushyperbolicus-Funktion hat der Benutzer die Möglichkeit die
Werte des Parameters a und des Parameters b innerhalb der
Grenzen von -2,50 bis +2,50, den Parameter c von -7,00 bis
+7,00 und den x-Wert von -3,98 bis +3,98 zu wählen.
2.3.3 „Polynome“
2.Grad: y = f ( x ) = c ⋅ x + b ⋅ x + a
2
3.Grad: y = f ( x ) = d ⋅ x + c ⋅ x + b ⋅ x + a
3
2
4.Grad: y = f ( x ) = e ⋅ x + d ⋅ x + c ⋅ x + b ⋅ x + a
4
3
2
Bei den Polynomfunktionen sind die Grade 2 bis 4
implementiert. Den gewünschten Grad kann man sich mittels
eines Drop-Down-Menüs einstellen. Die nicht benötigten
Polynomkoeffizienten bei den kleineren Graden werden aus
dem Eingabefeld ausgeblendet.
Alle Koeffizienten haben einen Wertebereich von -5,00 bis
+5,00. Der x-Wert lässt sich von -3,98 bis +3,98 einstellen.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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2.3.4 „e-Funktion“
Exponential-Funktion: y = f ( x ) = a ⋅ e
bx + c
Die Exponential-Funktion besitzt drei Parameter, wobei man
diese innerhalb der Bereiche von -5,00 bis +5,00 ändern
kann. Der x-Wert ist frei wählbar von -3,98 bis +3,98.
2.3.5 „ln-Funktion“
Logarithmus-naturalis-Funktion: y = f ( x ) = a ⋅ ln(bx + c )
Bei der Logarithmus-naturalis-Funktion sind die Parameter a, b und c im gleichen
Wertebereich wie bei der Exponential-Funktion einstellbar. Das gleiche gilt für den
x-Wert.
2.4
Anzeigebereich
Der Anzeigebereich gliedert sich in zwei Zeichenbereiche.
Oberer
Zeichenbereich
2.4.1
Unterer
Zeichenbereich
2.4.2
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
10
2.4.1 Oberer Zeichenbereich
Dargestellte Funktion
Funktionsgraph
Funktionswert an
der Stelle x
x-Wert
Tangente
Der obere Zeichenbereich gibt die grafische Darstellung der gewählten Funktion
aus. Die zugehörige Formel wird in der linken, oberen Ecke ausgegeben. Der
Graph dieser Funktion wird in der Farbe Rot gezeichnet. Der x-Wert ist der
senkrechte blaue Strich an der Stelle, die man bei der Parametereingabe als xWert gesetzt hat. Diese Linie endet genau am Schnittpunkt mit der Funktion. Falls
die Funktion für diesen x-Wert nicht definiert ist, oder außerhalb des
Zeichenbereiches liegt, wird die blaue Linie bis zum oberen Zeichenrand
angezeigt. Sofern es einen Schnittpunkt innerhalb des Zeichenbereiches gibt,
wird an diesem in Grün eine Tangente angelegt und zusätzlich der zu diesem xWert gehörende Funktionswert in Grau eingeblendet.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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2.4.2 Unterer Zeichenbereich
Wert der Ableitung
Ableitungsfunktion
Ableitungsgraph
an der Stelle x
x-Wert
Im unteren Zeichenbereich wird der Graph der Ableitungsfunktion in Grün
dargestellt. Die Gleichung der Ableitungsfunktion wird in der oberen, linken Ecke
platziert. Die blaue Linie des x-Wertes wird immer an der angegebenen x-Position
über den ganzen Zeichenbereich abgebildet. Wenn die x-Wert-Linie die Ableitung
im dargestellten Bereich schneidet, wird an dieser Stelle der zugehörige
Funktionswert der Ableitung gezeigt. Dies ist die Steigung der Tangente im
oberen Zeichenbereich.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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Bedienung des Applets (Kurzfassung)
Der einfachste Weg die gewünschte Grundfunktion auszuwählen ist über die Toolbar (2.2).
Dadurch wird diese Funktion mit Standardparameterwerten geladen. Zur Übersicht welche
Parameter welchem Buchstaben zugeordnet sind, wird die Formel im Zeichenbereich (2.4)
gezeigt.
Die
Parameter
kann
der
Benutzer
im
Parametereingabebereich
(2.3)
mittels
Texteingabefeld oder dem zugehörigen Schieberegler nach seinen Wünschen innerhalb
der gegebenen Grenzen setzen. Diese Werte werden sofort auf das Schaubild übertragen,
damit die Änderungen direkt erkennbar werden. Ferner kann man bei der Polynomfunktion
über ein Drop-Down-Menü den Grad des Polynoms (2.3.3) festlegen.
Mit dem x-Wert kann bestimmt werden, an welcher Position der Funktionswert bzw. der
Wert der Ableitungsfunktion eingeblendet werden soll. Der x-Wert kann auch mittels Drag
and Drop direkt im Zeichenbereich verschoben werden.
Zusätzlich wird an dieser x-Position eine Tangente an die Funktion gezeichnet, die
verdeutlichen soll, dass die Steigung der Tangente dem y-Wert der Ableitungsfunktion
entspricht.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
4
Hinweise
4.1
Bekannte Probleme
13
Bei älteren JRE’s kann es vorkommen, dass die Hyperbolicus-Funktionen nicht
dargestellt werden können, da diese noch nicht in der Laufzeitumgebung integriert
sind.
4.2
Hinweise für nachfolgende Studienarbeiten
Ich habe dieses Applet mit der Java-Entwicklungsumgebung „Eclipse“ von der Firma
IBM erstellt. Dieses kostenlose Tool reicht vollkommen aus, um eine Anwendung
dieser Größenordnung zu programmieren. Auf der Seite http://www.eclipse.org kann
man es sich herunterladen.
Der Quellcode meines Applets und die Dokumentation werden auf dem Server
abgelegt.
Grundfunktionen und ihre Ableitungen
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Glossar
Applet
eine kleine Java-Applikation, die im Webbrowser ausgeführt
werden kann
Drop-Down-
Auswahlmenü, das die anwählbaren Menüpunkte nach unten
Menü
aufklappt, wenn man auf den Pfeil-Button klickt.
Drag and Drop
Möglichkeit, mit dem Cursor ein Objekt an eine andere Stelle zu
verschieben
Eclipse
kostenlose Java-Entwicklungsumgebung von IBM
Java
Objektorientierte Programmiersprache von „Sun Microsystems“
JRE
Java Runtime Environment (Java Laufzeitumgebung)
JVM
Java Virtual Machine (wird benötigt, um Java-Applets auszuführen)
Toolbar
Symbolleiste, die schnellen Zugriff auf oft benötigte Befehle bietet
Tooltips
Kurzinfo zu dem Objekt, auf das die Maus zeigt