20.2.3 Bestimmung von Basislösungen bei einer beliebigen

20.2.3 Bestimmung von Basislösungen bei einer beliebigen Koeffizientenmatrix
geg.: beliebig, nicht diagonalisierbare Matrix A
Ziel: Konstruktion von n lin. unabh. Basislösungen mittels der Hauptvektorkettenmethode.
Situation: λ1 , λ2 , · · · , λr , r < n, r verschiedene Eigenwerte von A
Eigenvektoren
E.W. Vielfachheit Basis des Eigenraumes
λ1
m1 ≥ d1 ≥ 1
p11 , · · · , p1d
1
lin. unabh. Basislösungen
(gemäss Lemma 20.1)
y 11 (x) = eλ1 x p11 , · · · , y 1d (x) = eλ1 x p1d
1
λ2 x
λ2
..
.
m2 ≥ d2 ≥ 1
..
.
p21 , · · · , p2d
2
..
.
λi
..
.
mi ≥ di ≥ 1
..
.
pi1 , · · · , pid
i
..
.
y i1 (x) = eλi x pi1 , · · · , y id (x) = eλi x pid
i
i
..
.
λr
mr ≥ dr ≥ 1
pr1 , · · · , prd
|
{z
}r
y r1 (x) = eλr x pr1 , · · · , y rd (x) = eλr x prd
r
|
{z
}r
r≤
r
P
i=1
di ≤
r
P
mi = n
y 21 (x) = e
p21 , · · · , y 2d (x) = e
2
..
.
1
λ2 x
p2d
2
vorhandene Basislösungen
i=1
A nicht diagonalisierbar ⇐⇒ Anzahl linear unabhängiger E.V. ist < n
⇐⇒ es gibt mindestens ein 1 ≤ i ≤ r, so dass 1 ≤ di < mi
⇒ es fehlen:
n
X
(mi − di ) lin. unabh. Basislösungen von y 0 = Ay
i=1
⇒ Der Ansatz:
y(x) = eλx p muss erweitert werden!
E.W. Noch zu konstruierende Basislösungen:
|
{z
}
λ1 :
..
.
y 1d
(x), · · · , y 1m (x)
1
..
.
m1 − d1 Funktion, falls d1 < m1
..
.
λi :
..
.
y id +1 (x), · · · , y im (x)
i
i
..
.
mi − di Funktion, falls di < mi
..
.
λr :
y rd
(x), · · · , y rm (x)
mr − dr Funktion, falls dr < mr
1 +1
r +1
r
1
Unser Beispiel:

Nach dem Beispiel y 0 (x) = Ay = 
1 0
1 1

 lautet die Basislösung wie folgt:
r = 1, λ1 = 1, m1 = 2 > d1 = 1 (A nicht diagonalisierbar)
↓
 
0
p1 =  
1
↓
 
0
y 11 (x) = eλ1 x p1 = ex  
1
| {z }
E.V.


 
 1
 
+x

 0

y 12 (x) = eλ1 x
 
0
 
1
| {z }






Eigenvektor p1
|
{z
}
Polynom mit vektoriellen Koeffizienten; Polynomgrad m − 1
Für Eigenwert λi , Vielfachheit mi > di = dim E(λi ), Basis pi1 , · · · , pid
i
I) bereits vorhandene Basislösungen
λi x
y i1 (x) = e
..
.
y id
1


pi1 



di Funktionen (Basislösungen)




λi x
(x) = e pid 
1
II) noch zu konstruierende restliche Basislösungen y id
1 +1
2
(x), · · · , y im (x)
i
Ansatz:
y ij (x) : = eλi x · Polynom(mi − 1)- ten Grades (mit vektoriellen Koeffizienten)
λi x
(0)
(1)
(2) 2
(mi −1) mi −1
=e
pij + pij x + pij x + · · · + pij
x
-
-
↑
%
-
vektorielle Koeffizienten
Eigenvektor von A zum E.W. λi
⇒ noch zu bestimmen!
für j = di + 1, di + 2, · · · , mi und jedes i = 1, · · · , r, so dass 1 ≤ di < mi .
Einsetzen in DGL-System y 0 = Ay
y 0ij (x)
= λi e
λi x
p(0)
x0
ij
+
p(1)
x
ij
+
p(2)
x2
ij
+ ··· +
i −1) mi −1
p(m
x
ij
0
(2)
(3) 2
(mi −1) mi −2
+ eλi x p(1)
x
+
2p
x
+
3p
x
+
·
·
·
+
(m
−
1)p
x
i−1
ij
ij
ij
ij
λi x
(0) 0
(1)
(2) 2
(mi −1) mi −1
= Ay (x)
=
e
Ap
x
+
Ap
x
+
Ap
x
+
·
·
·
+
Ap
x
ij
ij
ij
ij
ij
Koeffizientenvergleich:
0
x :
λi p(0)
ij
+
p(1)
ij
=
Ap(0)
ij
x1 : λi p(1)
+ 2p(2)
= Ap(1)
ij
ij
ij
x2 : λi p(2)
+ 3p(3)
= Ap(2)
ij
ij
ij
..
.
..
.
i −2)
i −1)
+ (mi − 1)p(m
xmi −2 : λi p(m
ij
ij
i −1)
i −1)
= Ap(m
xmi −1 : λi p(m
ij
ij
























(mi −2) 

= Apij







Hauptvektorkette
für die vektoriellen
Polynomkoeffizienten
i −1)
,
p(0)
, p(1)
, · · · , p(m
ij
ij
ij
j = di + 1, · · · , mi ,
i = 1, · · · , r
3
i −1)
6= 0
. p(m
ij
⇐⇒
i −1)
(A − λi I) p(m
= 0 ⇔ p(m−1)
ist E.V. zu λi
ij
ij
i −2)
(A − λi I) p(m
= (mi − 1)p(m−1)
ij
ij
..
.
..
.
=
(A − λi I) p(2)
= 3p(3)
ij
ij
= 2p(2)
(A − λi I) p(1)
ij
ij
= p(1)
(A − λi I) p(0)
ij
ij
System hat mehrere Lösungs-Tupel (p(0) , p(1) , · · · , p(m−1) )
⇓
Satz 20.2 Die Hauptvektorkettenmethode liefert für jeden Eigenwert λi mit 1 ≤ di ≤ mi
vektorielle Koeffizienten















(1) 
pij 

..  j = di + 1, · · · , mi ,
. 




(mi −1) 
p(0)
ij
pij
so dass für i = 1, 2, · · · , r
y ij (x) = eλi x pij , j = 1, · · · , di
(di = dim E(λi ))
i −1) (mi −1)
y ij (x) = eλi x (p(0)
+ p(1)
x + · · · + p(m
x
), j = di + 1, · · · , mi , falls 1 ≤ di < mi ,
ij
ij
ij
ein System von n Basislösungen ist.
4
Die allgemeine Lösung von y 0 = Ay lautet dann
y(x) =
mi
r X
X
Cij y ij (x)
i=1 j=1
i −1)
Bedingung für die Wahl der Vektoren p(0)
, · · · , p(m
, j = di + 1, · · · , mi in der
ij
ij
Hauptvektorkette
Die Anfangsbedingung
y (0) = y 0 (gegeben)
muss für jedes y 0 ∈ Rn durch die Wahl von Koeffizienten Cij , i = 1, · · · , r, j = 1, · · · , mi ,
erfüllbar sein:
=⇒ y(0) =
mi
r X
X
Cij y ij (0)
i=1 j=1
k
y0 =
di
r
X
X
i=1
j=1
Cij pij +
mi
X
!
Cij p(0)
ij
j=di +1
⇒ Die Vektoren


pij , j = 1, · · · , di (bereits lin. unabh.)
, j = di + 1, · · · , mi
p(0)
ij
i = 1, · · · , r


müssen lin. unabh. sein!!
5