3. Klausur im Wintersemester

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MAT111.1 - Lineare Algebra, WS 06/07
Prof. Joachim Rosenthal
Klausur 3
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Ariel Amir
-
Alberto López
-
Felice Manganiello
-
Jens Zumbrägel
Aufgabe 1
a) Stelle die Permutation π ∈ S5 , gegeben durch
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
π= 2 5 ◦ 3 4 ◦ 1 3 2 4 ,
als Produkt paarweise disjunkter Zyklen sowie als Produkt von Transpositionen dar.
b) Finde eine Permutation σ ∈ S5 , so dass
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
σ◦ 1 4 5 ◦ 2 3 = 1 4 3 ◦ 5 2
gilt.
1
Name
Aufgabe 2
Unterschrift
Sei
½µ
¶
¾
0 a
E=
| a, b, c ∈ R ⊆ Mat2×2 (R)
b c
und sei der Endomorphismus f : E −→ E definiert durch
µ
¶
µ
¶
0 a
0
3c + 3a
f(
)=
.
b c
−2a − b a − b + 3c
½µ
¶ µ
¶ µ
¶¾
0 1
0 0
0 0
,
,
eine Basis von E ist und berechne die Matrix
0 0
1 0
0 1
von f bezüglich B.
Zeige, dass B =
2
Name
Aufgabe 3
Unterschrift
Betrachte die reelle 3 × 3 – Matrix


0 0 −1
M = 1 −2 −1 .
2 −7 1
Zeige, dass λ = −3 ein Eigenwert von M ist, und finde einen zugehörigen Eigenvektor.
3
Name
Aufgabe 4
Unterschrift
Berechne die Determinante

x
1

A = .
 ..
der n × n – Matrix

1 1 ··· 1
x 1 · · · 1

.. 
.. ..
.
. .
1 1 1 ···
x
bei welcher die Diagonalkomponenten gleich x und alle anderen gleich 1 sind.
4