6 Determinanten - D-MATH

§6 Determinanten
6
6.1
Pink: Lineare Algebra HS 2014
Seite 66
Determinanten
Symmetrische Gruppe
Definition: Eine bijektive Abbildung von einer Menge X auf sich selbst heisst eine
Permutation von X.
Satz-Definition: Die Menge aller Permutationen der Menge {1, . . . , n} zusammen
mit der Komposition von Abbildungen und der identischen Abbildung id als neutrales
Element ist eine Gruppe, genannt die symmetrische Gruppe vom Grad n.
Elemente von Sn bezeichnet man üblicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben
und schreibt ihre Operation klammernlos in der Form σ : i !→ σi.
Satz: Es gilt |Sn | = n!.
Definition: Ein Paar (i, j) mit 1 ! i < j ! n und σi > σj heisst ein Fehlstand von σ.
Die Zahl
! "Anzahl Fehlstände von σ
sgn(σ) := −1
heisst das Signum oder die Signatur oder das Vorzeichen von σ. Eine Permutation mit
sgn(σ) = 1 heisst gerade, eine mit sgn(σ) = −1 heisst ungerade.
Beispiel: Eine Permutation, die zwei verschiedene Ziffern vertauscht und alle übrigen
Ziffern festlässt, heisst Transposition. Jede Transposition hat Signum −1.
Beispiel: Eine Permutation, die k verschiedene Ziffern zyklisch vertauscht und alle
übrigen Ziffern festlässt, hat Signum (−1)k−1 .
Lemma: Für jedes σ ∈ Sn gilt
#
#
(σj − σi) = sgn(σ) ·
(j − i).
1!i<j!n
Satz: Für alle σ, τ ∈ Sn gilt:
1!i<j!n
sgn(id) = 1
sgn(σ ◦ τ ) = sgn(σ) · sgn(τ )
sgn(σ −1 ) = sgn(σ)
Das bedeutet, dass die Abbildung sgn : Sn → {±1} ein Gruppenhomomorphismus ist.
Definition: Für jedes σ ∈ Sn betrachte die n × n-Matrix
!
"
Pσ := δi,σj 1!i,j!n .
Satz: Die Matrix Pσ ist eine Permutationsmatrix. Umgekehrt ist jede n × n-Permutationsmatrix gleich Pσ für genau ein σ ∈ Sn . Ausserdem gilt für alle σ, τ ∈ Sn
Pστ = Pσ · Pτ .
Das bedeutet, dass σ !→ Pσ einen Gruppenisomorphismus von Sn auf die Gruppe aller
n × n-Permutationsmatrizen induziert.
§6 Determinanten
6.2
Pink: Lineare Algebra HS 2014
Seite 67
Konstruktion und Grundeigenschaften
In diesem Kapitel rechnen wir in einem beliebigen kommutativen unitären Ring R.
! "
Definition: Die Determinante einer n × n-Matrix A = aij 1!i,j!n ist
$
det(A) :=
sgn(σ) ·
n
#
ai,σi .
i=1
σ∈Sn
Beispiel: Explizite Formeln für n = 0, 1, 2, 3.
Satz: Die Determinante ist eine lineare Abbildung jeder einzelnen Zeile, das heisst:
(a) Stimmen A, A′ , A′′ ausserhalb der i-ten Zeile überein, und ist die i-te Zeile von
A′′ die Summe der i-ten Zeilen von A und A′ , so gilt det(A′′ ) = det(A) + det(A′ ).
(b) Entsteht A′ aus A durch Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ ∈ R, so
gilt det(A′ ) = λ · det(A).
Dieselben Aussagen gelten für Spalten anstelle von Zeilen.
Satz: Es gilt det(AT ) = det(A).
Satz: Für jede Permutation σ ∈ Sn gilt det(Pσ ) = sgn(σ).
Satz: Für jede Blockdreiecksmatrix der Form
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
′
A
B
⎞
⎟
⎟
′′ ⎠
O A
oder
⎛
⎜
⎜
⎝
′
A
B
′
O
⎞
⎟
⎟
′′ ⎠
A
mit quadratischen Matrizen A′ und A′′ und der jeweiligen Nullmatrix O gilt
det(A) = det(A′ ) · det(A′′ ).
! "
Satz: Für jede obere oder untere Dreiecksmatrix A = aij 1!i,j!n gilt
det(A) =
n
#
aii .
i=1
Folge: Insbesondere gilt det(In ) = 1.
Satz: Für je zwei n × n-Matrizen A und B gilt det(AB) = det(A) · det(B).
§6 Determinanten
6.3
Pink: Lineare Algebra HS 2014
Seite 68
Berechnung der Determinante
Satz: Die Determinante verhält sich unter elementaren Zeilenoperationen wie folgt:
Entsteht A′ aus A durch . . .
(a) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, so gilt det(A′ ) = det(A).
(b) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ ∈ R, so gilt det(A′ ) = λ · det(A).
(c) Vertauschen zweier Zeilen, so gilt det(A′ ) = − det(A).
Die entsprechenden Aussagen gelten für elementare Spaltenoperationen.
Über einem Körper lässt sich die Determinante daher mit Gauss-Elimination berechnen.
Beispiel: Ist eine Zeile oder Spalte von A eine Linearkombination der übrigen, so gilt
det(A) = 0.
Beispiel: Für beliebige a1 , . . . , an ∈ R hat die
⎛
1
! j−1 "
⎜
A := ai 1!i,j!n = ⎝ ...
1
n × n-Matrix
⎞
a1 a21 . . . an−1
1
..
.. . .
.. ⎟
.
.
.
. ⎠
an a2n . . . ann−1
die Vandermonde-Determinante
det(A) =
#
(aj − ai ).
1!i<j!n
§6 Determinanten
6.4
Pink: Lineare Algebra HS 2014
Seite 69
Zeilen- und Spaltenentwicklung
Konstruktion: Sei A eine n × n-Matrix mit n > 0. Für jedes Paar von Indizes
1 ! i, j ! n sei Aij diejenige (n − 1) × (n − 1)-Matrix, die durch Streichen der i-ten
Zeile und der j-ten Spalte aus A entsteht.
Satz: Für jedes 1 ! i ! n gilt
det(A) =
n
$
(−1)i+j · aij · det(Aij ).
n
$
(−1)i+j · aij · det(Aij ).
j=1
Für jedes 1 ! j ! n gilt
det(A) =
i=1
Definition: Die Adjunkte von A ist die Matrix
!
"
à := (−1)i+j · det(Aji ) 1!i,j!n .
Satz: Es gilt
A · Ã = Ã · A = det(A) · In .
Satz: Eine quadratische Matrix A über einem Körper ist invertierbar genau dann,
wenn det(A) ̸= 0 ist. In diesem Fall gilt weiter
det(A−1 ) = det(A)−1
und
A−1 = det(A)−1 · Ã.
Beispiel: Für jede invertierbare 2 × 2-Matrix gilt
+
,−1
+
,
a b
1
d −b
=
·
.
c d
ad − bc
−c a
§6 Determinanten
6.5
Pink: Lineare Algebra HS 2014
Seite 70
Ähnlichkeit und Determinante eines Endomorphismus
Sei K ein Körper.
Definition: Zwei n × n-Matrizen A und B über K heissen ähnlich oder zueinander
konjugiert, wenn eine invertierbare n × n-Matrix U über K existiert mit B = UAU −1 .
Satz: Dies ist eine Äquivalenzrelation.
Satz: Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante.
Satz: Sei f ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V . Dann
sind die Darstellungsmatrizen MB,B (f ) bezüglich beliebiger geordneter Basen B von V
zueinander ähnlich. Insbesondere ist det(MB,B (f )) unabhängig von B.
Definition: Das Element det(f ) := det MB,B (f ) ∈ K heisst die Determinante von f .
Satz: Für alle Endomorphismen f und g eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V
gilt:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
det(idV ) = 1.
det(g ◦ f ) = det(g) · det(f ).
Die Abbildung f ist ein Automorphismus genau dann, wenn det(f ) ̸= 0 ist.
Für jeden Automorphismus f gilt det(f −1 ) = det(f )−1 .
∼
Für jeden Isomorphismus h : V → W gilt det(h ◦ f ◦ h−1 ) = det(f ).