Blatt 7 als PDF - MO

Dr. Oliver Labs
Carolin Peternell
04.07.2016
7. Übung zur Vorlesung
“Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt”
im Sommersemester 2016
1. Aufgabe: (6 Punkte) Sei V ein euklidischer Vektorraum, seine A, B ∈ End(V ) und
A∗ und B ∗ Adjungierte von A und B. Zeigen Sie:
a) A∗ ist linear.
b) (A∗ )∗ = A.
c) (A ◦ B)∗ = B ∗ ◦ A∗ .
d) falls A invertierbar ist, gilt (A−1 )∗ = (A∗ )−1 .
e) für a ∈ R gilt: (aA)∗ = a · A∗ .
f) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ .
2. Aufgabe: (9 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und A
ein symmetrischer Endomorphismus von V .
a) Zeigen Sie: falls alle Eigenwerte von A positiv sind, haben A und A2 die gleichen
Eigenräume.
b) Gilt die Aussage in Teil a), wenn A auch negative Eigenwerte hat?
3. Aufgabe: (9 Punkte) Sei

−2i
0
1
A=  0
1−i
2
0
1−i

0

−1 + i .
1−i
a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von A.
b) Gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A?
c) Ist A normal, hermitesch, unitär?
T
4. Aufgabe: (8 Punkte) Sei A ∈ Cn×n eine Matrix, so dass A = −A . Zeigen Sie:
a) A is normal.
b) Alle Eigenwerte von A haben Realteil Null.
5. Aufgabe: (Zusatzaufgabe, 10 Punkte)
a) Für welche der nachfolgenden Matrizen
T
A definiert hx, yi := x Ay ein Skalarprodukt auf C3 ?




2 i
2
1
1+i 2




A = 1 − i
3
i  , A =  i 2 −i .
2 −i 3
2
−i 0
b) Sei A ∈ M (n×n) (C) hermitesch. Zeigen Sie, dass das durch A definierte Skalarprodukt genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind.
c) Zeigen Sie: falls A unitär ist, ist |det(A)| = 1. Gilt auch die Umkehrung?
Abgabe bis Montag, 18.07.2016 um 13:00 Uhr im Kasten der jeweiligen Übungsgruppe neben
dem Fachschaftsraum.
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