Blatt 3 als PDF - MO

Dr. Oliver Labs
Carolin Peternell
09.05.2016
3. Übung zur Vorlesung
“Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt”
im Sommersemester 2016
1. Aufgabe: (10 Punkte) Berechnen Sie das Minimalpolynom der Matrizen (über R)

0

−4
2
1
4
−1


2 1
0
0 0


0 und 
0 0
2
1 0
−2
1
0
0

0
0

.
1
0
2. Aufgabe: (4+3 Punkte) Seien K ein Körper, a0 , ..., an−1 ∈ K und

0 0
1 0


0 1
A=

 .. ..
. .
0 0
...
...
...
..
.
...
0
0
0
..
.
1

−a0
−a1 


−a2  .

.. 
. 
−an−1
a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A.
b) Zeigen Sie: das Minimalpolynom von A ist MA (x) = xn +
Pn−1
i=0
ai xi .
!
A 0
3. Aufgabe: (4+3 Punkte) Sei M =
. Wie hängen das charakteristische Poly0 B
nom χM und das Minimalpolynom MM von χA und χB bzw. MA und MB ab?
4. Aufgabe: (4+4 Punkte) Sei K ein Körper und A ∈ K n×n eine nilpotente Matrix, d.h.
es existiert ein k ∈ N mit Ak = 0.
a) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A.
b) Zeigen Sie, dass ein m ≤ n mit Am = 0 existiert.
Abgabe bis Montag, 23.05.2016 um 13:00 Uhr im Kasten der jeweiligen Übungsgruppe neben dem Fachschaftsraum.