Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt

Dr. Oliver Labs
Carolin Peternell
18.04.2016
1. Übung zur Vorlesung
“Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt”
im Sommersemester 2016
1. Aufgabe: (8 Punkte)
a) Berechnen Sie
 das charakteristische Polynom und die
1 −2 1


Eigenwerte der Matrix 0 1
3  mit Einträgen in R bzw. in C.
0 −1 −2
!
cos α − sin α
b) Welche Eigenwerte hat die Matrix
in R in Abhängigkeit von
sin α cos α
α ∈ R?
Pk
c) Sei M ∈ Rn×n und P = i=0 pi xi ∈ R[x] ein Polynom. Wir definieren P (M ) =
Pk
i
i=0 pi M . Zeigen Sie:
i) Wenn λ ein Eigenwert von M ist, dann ist P (λ) ein Eigenwert von P (M ).
ii) Wenn λ ein Eigenwert von M ist, so ist λ2 ein Eigenwert von M 2 .
iii) Gilt in (ii) die Umkehrung?
2. Aufgabe: (8 Punkte)
a) Berechnen Sie die Determinante folgender Matrix:


2 1 0 −2
1 3 3 −1



.
3 2 4 −3
2
−2
2
3
b) Seien v1 , v2 , w1 , w2 ∈ R. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des von v = ( vv12 ) und
v1 w1
1
w = (w
w2 ) aufgespannten Parallelogramms | det ( v2 w2 ) |. Welche geometrische Bedeutung hat das Vorzeichen der Determinante?
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten
A = ( 12 ) , B = ( 72 ) , C = ( 36 ) .