Eingangstest aus der Mathematik

Staatliche Fachoberschule und Ber ufsoberschule Coburg
FOS: Technik – Wirtschaft, Verwaltung und Rechtspflege – Sozialwesen ❖❖❖ BOS: Technik - Wirtschaft
REGIOMONTANUS-SCHULE
C
O
B
U
R
G
Eingangstest aus der Mathematik
zur Ermittlung des Leistungsstandes beim Eintritt in die Fachoberschule
StR C.Wirth
Nachname: ________________________ Vorname: ___________________ Klasse: ______
Eingangstest aus der Mathematik im Schuljahr X/Y
zur Ermittlung des Leistungsstandes beim Eintritt in die Fachoberschule.
Bearbeiten Sie alle Aufgaben auf den Angabenblättern.
Aufgabengruppe I:
1
Arbeitszeit:
60min
Algebra
Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich.
BE
5
Multiplizieren Sie die folgenden Terme aus und fassen Sie so weit wie möglich zusammen.
(m − n) ⋅ x + (m + n) ⋅ x =
( 2x − 1)( 3x + 4 ) =
_____________________________________________________
_________________________________________________________
Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus.
16x 3 + 20kx 2 − 12kx = _______________________________________________________
Faktorisieren Sie den folgenden Term.
100m 2 − 49p 4 = ___________________________________________________________
2
Wenn die Hälfte von 2 400 gleich 2 x ist, dann ist x = ____________ ?
1
Lineare Funktionen und Gleichungen
BE
1.0 Gegeben sind die Graphen von fünf verschiedenen linearen Funktionen f, g, h i, k .
9
Aufgabengruppe II:
y
Gi
Gh
Gg
3
Gk
Gf
2
1
-3
-4
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Es können auch mehrere Lösungen richtig sein.
1.1 Auf welchem Graphen liegt der Punkt P (3 | −1,5) .
□ Gf
□ Gg
□ Gh
□ Gi
□ Gk
□ auf keinem
1.2 Welcher dieser Graphen hat die Steigung -2 ?
□ Gf
□ Gg
□ Gh
□ Gi
□ Gk
□ keiner
1.3 Welcher Graph gehört zu einer Funktion mit der Nullstelle 2 ?
□ Gf
□ Gg
□ Gh
□ Gi
□ Gk
□ keiner
1.4 Welche Funktionsgleichung gehört zum Graphen Gf ?
□ y = x+2
□ y = −2 x
□ y = 2x − 2
□ y=2
□ y = 2x
□ keine
1.5 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion m mit der Funktionsgleichung y = −2 x + 1 in
das obige Koordinatensystem ein.
1.6 Der Graph Gh schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Schraffieren Sie
dieses im obigen Bild und geben Sie seinen Flächeninhalt an.
Nachname: ________________________ Vorname: ___________________ Klasse: ______
2.0 Gegeben sind die Funktionsgleichungen der Funktionen r und s:
1
r ( x ) = − 3x + 1
und
s( x ) = x − 1
2
4
2.1 Welche Nullstelle(n) besitzt die Funktion r ?
□3
□1
□ -1
□
1
3
□ −
1
3
□ keine
2.2 Welchen Schnittpunkt hat die Funktion s mit der y-Achse?
□ (0 | −1)
□ (−1 | 0)
□ (1 | 0)
□ (0 | 1)
□ ( 12 | 0)
□ keinen
2.3 Berechnen Sie den x-Wert des Schnittpunktes der Graphen der beiden Funktionen r
und s.
3
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystem über der
Grundmenge G = IR .
I
y + 2x − 1 = 0
II 2 y − 3x + 6 = 0
3
Aufgabengruppe III:
1
Quadratische Funktionen und Gleichungen
BE
Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel f mit der Funktionsgleichung
f (x ) =
2
1
(x + 4)2 − 3 an.
3
8
_________________________________
2
Geben Sie die Nullstellen sowie die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel g mit der
3
1
Funktionsgleichung g(x ) = x (x + 4,5) an.
2
___________________________________________________________________________
3
Eine nach oben geöffnete Parabel p hat ihren Scheitel in Sp ( −3; −1,5 ) .
2
Die Funktion p* erhält man durch p * ( x ) = p( x ) + 1,5 .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von p* an und begründen Sie Ihre Antwort.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4
Der Graph der Parabel h mit der Funktionsgleichung h (x ) =
1 2
x − x + 3 wird in y-Richtung
3
1
mit dem Faktor 2 gestreckt. Dadurch erhält man den Graphen der Parabel h*.
Kreuzen Sie den sich ergebenden Funktionsterm h* an:
2 2
x −x+3
3
2
h * ( x ) = x 2 − 2x + 6
3
h *(x) =
5
1
h *( x ) = x2 − x + 6
3
1
h *( x ) = x2 − x + 5
3
Gegeben sind die Graphen G1, G2 und G3 von drei verschiedenen quadratischen Funktionen.
Ordnen Sie den drei
Graphen die jeweils richtige
Funktion zu.
G1
G2
y
3
2
f1 ( x ) = x + 2
f2 (x ) = x 2 − 2
2
f3 ( x ) = − x 2 + 2
1
f 4 ( x ) = −0,5(x − 1)(x + 3)
f5 ( x ) = (x + 1)(x − 3)
f 6 ( x ) = 0,5(x + 1)(x − 3)
-3
-2
-1
O
-1
2
f 7 ( x ) = (x − 1,5)
2
f8 ( x ) = (x + 1,5)
-2
f9 ( x ) = 2(x − 1,5)
2
G3
-3
1
2
3
4 x
3
Nachname: ________________________ Vorname: ___________________ Klasse: ______
Aufgabengruppe IV:
1
Geometrie
BE
Eine Tanne wirft einen Schatten von 10 m Länge. Ein Stab von 3 m Länge hingegen wirft einen
Schatten von 2 m Länge. Wie hoch ist der Baum? Rechnung!
__________________________________________
2
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
2
Eine 3 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. In welcher Höhe über dem Boden
lehnt die Spitze an der Wand, wenn der Fuß der Leiter 1 m horizontal von der Wand entfernt
steht? Rechnung!
__________________________________________
2
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
3
Ein Gartenbeet soll die Form eines Rechteckes mit angesetztem Halbkreis haben. Berechnen
Sie den Flächeninhalt des Beetes.
2m
3
______________________________________________________
1m
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
4
Die eine Seite eines Rechtecks wird um 25 % vergrößert. Um wie viel Prozent muss die andere
Seite verkleinert werden, wenn der Flächeninhalt gleich groß bleiben soll?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4
Lösung
Eingangstest Mathematik
Name: ___________________________
Schuljahr X/Y
Klasse:
_______
Punkte:
Note:
/44
Bearbeiten Sie alle Aufgaben auf den Angabenblättern.
Aufgabengruppe I:
1
BE
Algebra
Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich.
Multiplizieren Sie die folgenden Terme aus und fassen Sie so weit wie möglich zusammen.
(m − n) ⋅ x + (m + n) ⋅ x =
2mx
( 2x − 1)( 3x + 4 ) =
6x2 + 5x − 4
Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus.
16x 3 + 20kx 2 − 12kx =
2
2
2
4x ⋅  4x2 + 5kx − 3k 


1
Faktorisieren Sie den folgenden Term.
100m 2 − 49p 4 =
5

2 
2
 10m + 7p  ⋅  10m − 7p 

 

Wenn die Hälfte von 2 400 gleich 2 x ist, dann ist x =
399 ?
1
Lösung
Aufgabengruppe II:
Lineare Funktionen und Gleichungen
BE
1.0 Gegeben sind die Graphen von fünf verschiedenen linearen Funktionen f, g, h i, k .
9
y
Gi
Gh
Gg
3
Gk
Gf
2
1
-4
-3
-2
-1
1
3
2
x
4
-1
-2
-3
Gm
(1.5)
Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Es können auch mehrere Lösungen richtig sein.
1.1 Auf welchem Graphen liegt der Punkt P (3 | −1,5) .
□ Gf
□ Gg
□ Gh
Gi
Gk
2
□ auf keinem
1
1.2 Welcher dieser Graphen hat die Steigung -2 ?
□ Gf
□ Gg
□ Gh
□ Gi
□ Gk
keiner
2
1.3 Welcher Graph gehört zu einer Funktion mit der Nullstelle 2 ?
□ Gf
Gg
□ Gh
Gi
□ Gk
□ keiner
1
1.4 Welche Funktionsgleichung gehört zum Graphen Gf ?
□ y = x+2
□ y = −2 x
□ y = 2x − 2
y=2
□ y = 2x
□ keine
1.5 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion m mit der Funktionsgleichung y = −2 x + 1 in
das obige Koordinatensystem ein.
1
1.6 Der Graph Gh schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Schraffieren Sie
dieses im obigen Bild und geben Sie seinen Flächeninhalt an.
2
Schraffur:
A∆ =
1
⋅ 3 ⋅ 2 = 3 [ FE]
2
Lösung
2.0 Gegeben sind die Funktionsgleichungen der Funktionen r und s:
1
r ( x ) = − 3x + 1
und
s( x ) = x − 1
2
4
2.1 Welche Nullstelle(n) besitzt die Funktion r ?
1
□3
□1
□ -1
1
3
□ −
1
3
□ keine
2.2 Welchen Schnittpunkt hat die Funktion s mit der y-Achse?
(0 | −1)
□ (−1 | 0)
□ (1 | 0)
□ (0 | 1)
□ ( 12 | 0)
1
□ keinen
2.3 Berechnen Sie den x-Wert des Schnittpunktes der Graphen der beiden Funktionen r
und s.
2
1
x −1
2
7
2= x
2
4
x=
7
− 3x + 1 =
3
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystem über der
Grundmenge G = IR .
I
y + 2x − 1 = 0
II 2 y − 3x + 6 = 0
2I − II 7 x − 8 = 0 ⇒ x =
8
7
I
⇒ y = −2 ⋅
8
9
+1 = −
7
7
3
Lösung
Aufgabengruppe III:
1
Quadratische Funktionen und Gleichungen
BE
Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel f mit der Funktionsgleichung
f (x ) =
2
1
(x + 4)2 − 3 an.
3
8
3

S − 4 / − 
8

2
Geben Sie die Nullstellen sowie die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel g mit der
3
1
Funktionsgleichung g(x ) = x (x + 4,5) an.
2
x 1 = 0 , x 2 = −4,5 ,
3
x s = −2,25
Eine nach oben geöffnete Parabel p hat ihren Scheitel in Sp ( −3; −1,5 ) .
2
Die Funktion p* erhält man durch p * ( x ) = p( x ) + 1,5 .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von p* an und begründen Sie Ihre Antwort.
Der Scheitel von Gp hat den y-Wert ys = –1,5 .
p* hat eine Nullstelle, da der Graph Gp* dem um 1,5 in positiver y-Richtung
verschobenem Graph Gp entspricht.
4
Der Graph der Parabel h mit der Funktionsgleichung h (x ) =
1 2
x − x + 3 wird in y-Richtung
3
1
mit dem Faktor 2 gestreckt. Dadurch erhält man den Graphen der Parabel h*.
Kreuzen Sie den sich ergebenden Funktionsterm h* an:
2 2
x −x+3
3
2
h * ( x ) = x 2 − 2x + 6
3
h *(x) =
5
1
h *( x ) = x2 − x + 6
3
1 2
h *(x) = x − x + 5
3
Gegeben sind die Graphen G1, G2 und G3 von drei verschiedenen quadratischen Funktionen.
Ordnen Sie den drei
Graphen die jeweils richtige
Funktion zu.
G1
G2
y
3
2
f1 ( x ) = x + 2
f 2 (x ) = x 2 − 2
2
G3 f 3 ( x ) = − x 2 + 2
1
f 4 ( x ) = −0,5(x − 1)(x + 3)
f 5 ( x ) = (x + 1)(x − 3)
f 6 ( x ) = 0,5(x + 1)(x − 3)
-3
-2
-1
O
G1
G2 f 7 ( x ) = (x − 1,5)2
-1
2
-2
f 8 ( x ) = (x + 1,5)
2
f 9 ( x ) = 2(x − 1,5)
G3
-3
1
2
3
4 x
3
Lösung
Aufgabengruppe IV:
1
Geometrie
BE
Eine Tanne wirft einen Schatten von 10 m Länge. Ein Stab von 3 m Länge hingegen wirft einen
Schatten von 2 m Länge. Wie hoch ist der Baum? Rechnung!
2
h 3
3
⇒ h = ⋅ 10 = 15 [ m ]
=
10 2
2
h
3
Der Baum ist 15 m hoch.
2
10
Skizze (nicht maßstabsgerecht)
2
Eine 3 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. In welcher Höhe über dem Boden
lehnt die Spitze an der Wand, wenn der Fuß der Leiter 1 m horizontal von der Wand entfernt
steht? Rechnung!
2
h
h 2 = ( 3m ) − ( 1m )
3m
2
2
⇒ h = 8m 2 = 2 2m ≈ 2, 83m
1m
Skizze (nicht maßstabsgerecht)
3
Ein Gartenbeet soll die Form eines Rechteckes mit angesetztem Halbkreis haben. Berechnen
Sie den Flächeninhalt des Beetes.
3
2m
A Beet = A Re chteck + A Halbkreis =
2
1
= 2m ⋅ 1m + ⋅ π ⋅ ( 1m ) =
2
2
= 2m + 0, 5πm 2 ≈ 3, 57m 2
1m
4
Die eine Seite eines Rechtecks wird um 25 % vergrößert. Um wie viel Prozent muss die andere
Seite verkleinert werden, wenn der Flächeninhalt gleich groß bleiben soll?
A alt = a ⋅ b 
1
b = 0, 80b
 ⇒ a ⋅ b = a´⋅b´= 1, 25a ⋅ b´ ⇒ b´=
A neu = a´⋅b´ 
1, 25
Die andere Seite muss um 20% verkleinert werden.
Punkteschlüssel:
BE 42
Pkt. 15
Note
40
14
1
44
38
13
36
12
34
11
2
31
10
29
9
27
8
3
25
7
23
6
20
5
4
18
4
15
3
12
2
5
9
1
0
6
4