Aufstellen von quadratischen Funktionsgleichungen

Mathematik – Gleichungen und Funktionen – Funktionen – Quadratische Funktion – Sellmer
Aufstellen von quadratischen Funktionsgleichungen
y = ax2 + bx + c
Um quadratische Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Punkten aufstellen zu können braucht man drei
Punkte. Ist ein gegebener Punkt der Scheitelpunkt, so genügen sogar zwei Punkte. Bei Funktionen der Form
„y = ax2 + bx + c“ gilt es also die drei Unbekannten a, b und c zu ermitteln und dafür werden natürlich 3
Aussagen (3 Punkte) benötigt.
Beispiel 1:
Gegeben sind die Punkte P1 (–1. –3), P2 (–2; –24) und P3 (2; 24). Stelle die Funktionsgleichung auf.
1.: Normalform aufschreiben: y = ax2 + bx + c
2.: Einsetzen jedes Punktes in die Normalform liefert 3 Gleichungen
3.: Mit dem Additionsverfahren wird Schritt für Schritt eine Unbekannte gelöst
4.: Probe: Das Ergebnis wird durch einsetzen der Punkte in die aufgestellte Funktionsgleichung überprüft.
I
II
III
a
4a
4a
–
–
+
b
2b
2b
+
+
+
c
c
c
=
=
=
–3
–24
24
I
II
III
a
–
b
2b
6b
+
–
–
c
3c
3c
=
=
=
–3
–12
36
I
II
III
a
b
2b
+
–
c
3c
6c
=
=
=
–3
–12
72
I
II
III
a
c
=
=
=
–15
24
12
I
II
III
a
c
=
=
=
–3
12
12
–
–
b
2b
b
I  (–4) + II und I  (–4) + II
II  (–3) + III
III : (2) + II und III : (–6) + I
II : (2) + I
Die Funktionsgleichung lautet also: y = –3x2 +12x +12. Die Probe erfolgt nun durch einsetzen der Punkte in
diese Funktionsgleichung.
Beispiel 2:
Gegeben ist Punkt P (2; 5) und der Scheitelpunkt S (4; 3). Stelle die Funktionsgleichung auf.
1.: Scheitelpunktform aufschreiben: y = a(x – x0)2 + y0
2.: Scheitelpunkt einsetzen
3.: Punkt P einsetzen
4.: Öffnungsfaktor berechnen
y = a(x – 4)2 + 3
5 = a(2 – 4)2 + 3
5 = a 4 + 3
–3
2 = 4a
:4
a = 0,5
Die Funktionsgleichung lautet also in der Scheitelpunktform: y = 0,5(x – 4)2 + 3
Und ausmultipliziert erhalten wir die Normalform mit: y = 0,5x2 – 4x + 11