Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen

Abitur - Grundkurs Mathematik
Sachsen-Anhalt 2002
Gebiet G1 - Analysis
Aufgabe 1.1.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form
y  f  x   a x3  b x 2  c x  d
a, b, c, d, x  R
schneidet die x-Achse im Punkt Sx  2 | 0  sowie die y-Achse im Punkt Sy  0 |1 und berührt die xAchse im Punkt Bx  1| 0  .
a) Ermitteln Sie die Werte der Parameter a, b, c, d und geben Sie die Gleichung der Funktion
f an.
1 3 3


 Ergebnis zur Kontrolle: y  f  x    2 x  2 x  1
b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f, ermitteln Sie deren Art und berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes.
Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f symmetrisch zum Punkt Sy ist.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall 2, 5  x  2,5 .
c) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche
vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A. Berechnen Sie diese Maßzahl.
Jede Gerade g mit der Gleichung y  m x  1, m  R, m  0 begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A1. Ermitteln Sie dese Maßzahl in Abhängigkeit von m.
Berechnen Sie eine Wert für m, wenn für das Verhältnis der Maßzahlen A : A1  4 :1 gilt.
d) Die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P  u | f  u   , u  R, 0  u  2 des Graphen der
Funktion f schneidet die x-Achse im Punkt Q. Die Punkte O, P, Q sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhalts diese Dreiecks
in Abhängigkeit vom Parameter u.
(Anmerkung: Diese Gleichung kann als Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des
maximalen Flächeninhalts des beschriebenen Dreiecks angesehen werden.)
Lösung:
a)
y  f  x   a x3  b x 2  c x  d
a, b, c, d, x  R
1. Ableitung:
f '  x   3a x 2  2 b x  c
Bedingungen:
I:
f  0  1
 d 1
II :
f  2  0
III :
f  1  0
 0  a  b  c  1
IV :
f '  1  0
 0  3a  2 b  c
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 0  8a  4 b  2 c  1
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Lösung des Gleichungssystems:
III  IV :
III ' : 0  2 a  b  1  b  2 a  1
II  2  III :
II ' :
0  6a  6 b  3
II ' in III ' :
b  2 b
in III ' :
0  2 a 1
3
0  c
2
Funktionsgleichung:
1
3
y  f  x    x3  x  1
2
2
in IV :
 a  b 
1
2
b0
1
a
2
3
c
2
b)
1. bis 3. Ableitung:
1
3
f  x    x3  x  1
2
2
3
3
f ' x    x2 
f ''  x   3 x f '''  x   3
2
2
Extrempunkte:
3
3
f '  x    x 2   0  x 2  1  x E1  1  x E2  1
2
2
f '' 1  3  0  Max.
f 1  2
 H 1| 2 
f ''  1  3  0  Min.f  1  0
 T  1| 0 
Wendepunkte:
f ''  x   3 x  0  x W  0
f '''  0   3  0  Wendepunkt
f  0  1
 W  0 |1
Symmetrie:
Zentralsymmetrie zum Punkt Sy  0 |1 :
1
3
1
3
Aus f  x    x 3  x  1  f  x   g  x   1  g  x    x 3  x
2
2
2
2
Zentralsymmetrie von g  x  zum Punkt S  0|0  :
g  x   g   x 
1
3
3 
1
3
1
 x 3  x    x 3  x    x 3  x  Zentralsymmetrie von g  x  zum Punkt S  0|0 
2
2
2 
2
2
2
Da f(x) um 1 gegenüber g(x) in Ordinatenrichtung verschoben ist, ist auch der Punkt der Zentralsymmetrie um 1 in gleicher Richtung verschoben (das Verhalten der Kurve wird durch einen konstanten Summanden nicht verändert, lediglich alle Funktionswerte werden um den
Summanden erhöht).
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Graph der Funktion:
y
5
4
f(x)
3
2
1
x
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-1
-2
-3
c)
Flächeninhalt A:
y
2
3
 1

A     x 3  x  1 d x
2
2

0
3
1,5
2
3
 1

A   x 4  x 2  x 
4
 8
0
A  2  3  2  3FE
1
0,5
x
0,5
1
1,5
2
-0,5
Flächeninhalt A1:
A
y
2,5
1
 x0  y 0
2
2
Nullstelle : y  m x  1  0  x 0  
f(x)
1,5
1
m
y=m x+1
1
1  1
1
A      1  
2  m
2m
0,5
x
Wert für m:
A 4
 
A1 1
-0,5
3
2
 6 m  4  m  
1
3

2m
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0,5
1
1,5
2
-0,5
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d)
y
Gleichung A(u):
2
1
 u  f u 
2
1
3
 1

A  u    u    x 3  x  1
2
2
 2

1 4 3 2 1
A u   u  u  u
4
4
2
A u 
P( u | f(u) )
1,5
f(x)
1
0,5
x
-0,5
0,5
1
1,5
2
-0,5
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Aufgabe 1.2.
Gegeben ist die Funktion f durch
20 x
y  f x 
, x  R, x  20 .
x  20
a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, auf Polstellen, auf das Monotonieverhalten und das Verhalten für x   .
Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f weder lokale Extrempunkte noch Wendepunkte besitzt.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion
f bei Annäherung an die Stelle x = 20.
Die nebenstehende Zeichnung zeigt im Intervall 20  x  160 die Graphen G1 und G2 zweier
Funktionen, von denen nachfolgende Funktionsgleichungen gegeben sind:
20 x
400
400
(I) y  f  x  
(II) y  f  x   20 
(III) y  f  x   40 
x  20
x  20
x  20
Ordnen Sie den Graphen diese Funktionsgleichungen zu.
b) Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes der Fläche, den der Graph der Funktion f, die x-Achse
und die Geraden mit den Gleichungen x = 40 und x = 100 vollständig begrenzen.
Die Graphen G1 und G2 und die Geraden mit den Gleichungen x = 40 und x = a, a  R, a > 40,
begrenzen eine Fläche vollständig.
Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
c) Die Funktion f beschreibt in der Strahlenoptik die Bildweite y (in mm) in Abhängigkeit von
der Gegenstandsweite x (in mm) bei der Abbildung durch eine dünne Konvexlinse mit der
Brennweite 20 mm.
Geben Sie die Gegenstandweite x für den Fall an, dass bei der Abbildung kein Bild entsteht
und geben Sie die Bildweite y für den Fall an, dass der Gegenstand ins Unendliche rückt.
Berechnen Sie die Gegenstandsweite x für den Fall, dass sie
1
4
der Bildweite y beträgt.
Lösung:
a)
Nullstellen:
20 x
f x 
 0  20 x  0  x 0  0  L  keine Nullstelle
x  20
Polstellen:
20 x
f x 
 x P  20  0  x P  20  L  keine Polstelle
x  20
Monotonie:
20 x
f x 
x  20
20   x  20   20 x 20 x  400  20 x
400
f ' x  


2
2
2
 x  20 
 x  20 
 x  20 
Da Nennerpolynom stets > 0 und Zählerpolynom stets < 0
 f '  x   0  f  x  ist streng monoton fallend
Grenzwert für x   :
20 x
20 x
20
20
lim
 lim
 lim

 20
x  x  20
x 
 20  x  1  20 1  0
x  1  
x
x 

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Nachweis – weder Extrem- noch Wendepunkte:
20 x
400
f x 
; f ' x   
siehe Monotonie 
2 
x  20
 x  20 
f ''  x   
f ' x   
f ''  x  
400  2   x  20  1
 x  20 
400
 x  20 
800
 x  20 
3
2
4

800
 x  20 
3
 0  400  0  falsche Aussage  notwendige Bedingung nicht erfüllt
 0  800  0  falsche Aussage  notwendige Bedingung nicht erfüllt
Verhalten der Funktion für x  20 :
20 x
1
lim
Erstzfolge : x n  20 
x  20 x  20
n
x  20
b)
1

20
1
20   20  
400 
  400 n  20 
n

n
n
lim
 lim
 lim
 lim  400 n  20   
n 
n 
n 
n 
1
1
1
20   20
n
n
n
Zuordnung der Gleichungen:
(I) und (II)  G2
20 x
400
(I) y  f  x  
(II) y  f  x   20 
x  20
x  20
20   x  20   400
f x 
x  20
20 x  400  400
20 x
f x 

x  20
x  20
(II)
 G1


400





400 
0 
0

x
  lim  40 
lim  40 
 lim  40 
 40
  40 

x 
x

x

20
x  20 
1

0
 20  




1
x  1   


x 
x 


Flächeninhalt:
100
100
20 x
400 

A 
d x    20 
 dx
x  20
x  20 
40
40 
A   20 x  400  ln  x  20   40
100
A  2 000  400  ln  80   800  400  ln  20 
A  1200  400  ln  80   ln  20  
 80 
A  1200  400  ln    1200  400  ln  4   400   3  ln  4    1754,52 FE
 20 
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Nachweis – lineare Funktion:
a

400  
400  
A a    40 
   20 
 dx
x  20  
x  20  
40 
a
A a   20 d x   20 x 40  20 a  800
a
40
c)
Gegenstandsweite:
20 x
y
kein Bild:y  
x  20
20 x
20
 lim
 lim

x  x B x  20
x x B
20
1
x
20
20
 1
 0 1
 x  20  Gegenstandsweite 20 mm
x
x
Bildweite:
20 x
y
für x    siehe Teilaufgabe a) 
x  20
20 x
20 x
20
20
lim
 lim
 lim

 20  Bildweite: 20 mm
x  x  20
x 
 20  x  1  20 1  0
x  1  
x
x 

Gegenstandsweite:
20 x
1
y
mit x  y
x  20
4
20 x
4x 
x  20
2
4 x  100 x  0
x   4 x  100   0
x1  0  L  x  20 
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 4x  100  0  x 2  25 mm
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