Kapitel 7 Filtertheorie

ZHAW, ASV, FS2008, 6-1
Kapitel 7 Filtertheorie
Inhaltsverzeichnis
7.0 EINLEITUNG ................................................................................................................................................... 2
7.1 REALISIERUNGSFORMEN UND ANWENDUNGSBEREICHE ................................................................................ 3
7.2 FILTERAPPROXIMATIONEN, TABELLEN UND TRANSFORMATIONEN ............................................................... 6
7.2.1 Spezifikation .......................................................................................................................................... 6
7.2.2 Filter - Übertragungsfunktion ............................................................................................................... 8
7.2.3 Die wichtigsten Filterfamilien für Tiefpassfunktionen.......................................................................... 10
7.2.4 Filtertabellen ....................................................................................................................................... 13
7.2.5 Der Hochpass ...................................................................................................................................... 14
7.2.6 Der Bandpass ..................................................................................................................................... 16
7.2.7 Bandsperrfilter .................................................................................................................................... 19
7.2.8 Beispiel Bandpass............................................................................................................................... 20
7.3 LC-FILTER DESIGN: ANWENDUNG VON TABELLENBÜCHERN ...................................................................... 22
7.3.1 Impedanz-Normierung......................................................................................................................... 22
7.3.2 Frequenznormierung ........................................................................................................................... 22
7.3.3 Ermittlung der Filterordnung.............................................................................................................. 23
7.3.4 Übersicht über die tabellierten Chebishev-Tiefpässe .......................................................................... 23
7.3.5 Schaltungsstrukturen der Chebishev-Tiefpässe ................................................................................... 23
7.3.6 Kennzeichnung der Chebishev-Tiefpässe ............................................................................................ 25
7.3.7 Normierte Schaltelemente ................................................................................................................... 25
7.3.8 Betriebsdämpfung as im Sperrbereich ................................................................................................. 25
7.3.9 Frequenztransformationen .................................................................................................................. 26
7.3.10 Hochpass .......................................................................................................................................... 26
7.3.11 Bandpass .......................................................................................................................................... 27
7.3.12 Bandsperre ....................................................................................................................................... 29
7.3.13 Anwendungsbeispiele ........................................................................................................................ 31
Berechnungsbeispiele eines Tiefpasses ........................................................................................................ 31
Berechnungsbeispiel eines Hochpasses........................................................................................................ 32
Berechnungsbeispiel eines Bandpasses........................................................................................................ 33
7.4 LITERATURHINWEISE ................................................................................................................................... 34
ANHANG 1: FILTERTABELLEN: TEIL AKTIVE RC FILTER ................................................................................. 35
ANHANG 1: TEIL PASSIVE LC FILTER ................................................................................................................ 38
ANHANG 2: MERKBLATT FREQUENZTRANSFORMATIONEN................................................................................ 42
ANHANG 3: MERKBLATT FILTERTABELLE ......................................................................................................... 43
ANHANG 4: VERGLEICH DER FILTERAPPROXIMATIONEN ................................................................................... 44
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7.0 Einleitung
Als Filterung von Signalen bezeichnet man das Abtrennen von bestimmten Signalanteilen. In
der Messtechnik geht es zumeist um die Trennung von Nutzsignal und Störsignalen,
während es in der Nachrichtentechnik oft um die Trennung von Nutzsignal – Nutzsignal oder
Nutzsignal –Trägersignal geht. Das Kapitel behandelt nur die Filterung im Frequenzbereich,
das heisst spektral verschieden liegende Signale werden getrennt. Ziele der Filterung sind
eine Verringerung der notwendigen Dynamik und die Gewinnung eines möglichst
unverfälschten Nutzsignals
Fig. 6-1 zeigt als Applikation ein medizinisches Ultraschall Messgerät, welches mit
Frequenzen zwischen 2 und 20 MHz arbeitet. Die schwach reflektierten Empfangsignale
jedes Transducer-Elements eines Arrays werden nacheinander verstärkt und gefiltert. Die
unterschiedliche Absorption im Gewebe bewirkt eine Amplitudenveränderung mit einer
Dynamik von bis zu 100 dB. Es ist daher nahe liegend, dass jegliche Verfälschung durch
Rauschanteile die Präzision beeinträchtig. Da die Dämpfung logarithmisch mit der
Eindringtiefe verknüpft ist, werden die gefilterten Echosignale logarithmisch komprimiert und
dann in einem Detektor demoduliert.
Fig. 6-1: Ultraschall Messgerät Blockdiagramm (Quelle: Intersil)
Die verzögerten Echos werden nun nochmals „gefiltert“ bevor sie einem
Analog/Digitalwandler zugeführt werden. Diese zweite Filterung ist aber eine zeitliche
Trennung der Echos, häufig als Fensterfunktion bezeichnet. Diese Operation entspricht der
Eingrenzung der zu betrachteten Eindringtiefe.
Für dieses Kapitel werden Kenntnisse über Darstellung von Signalen im Zeit- und
Frequenzbereich, über die Berechnung von Transferfunktionen im Laplace-Bereich und über
Grundlagen von Operationsverstärkern vorausgesetzt. Ein Notfall-Set für dieses Kapitel
befindet sich im Anhang.
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7.1 Realisierungsformen und Anwendungsbereiche
Passive LC-Filter (Reaktanzfilter) bestehen aus Induktivitäten (L) und Kapazitäten (C).
Man verwendet sie vorzugsweise bei höheren Frequenzen, weil dort die Induktivitäten nur
kleine Werte besitzen und daher einfacher herstellbar sind. In der Sendertechnik sind sie
wegen der hohen Strom/Spannungsfestigkeit bevorzugt aber auch in der Empfängertechnik
dank SMD-Bauformen einsetzbar. Aktive Filter scheiden in hochfrequenten Anwendungen
aus, weil die Bandbreite der Operationsverstärker nicht ausreicht, oder weil ihr
Stromverbrauch zu gross ist (entscheidend bei Batteriebetrieb).
Fig. 7-1: Passive LC-Filter
Aktive RC-Filter bestehen aus Widerständen, Kapazitäten und Verstärkerelementen
(meistens Operationsverstärker). Man verwendet sie vorzugsweise bei tiefen und mittleren
Frequenzen, wo Induktivitäten gross und teuer sind. Die Grenzen der aktiven RC-Filter sind
durch die Eigenschaften der Operationsverstärker gegeben: Bandbreite, Verzerrung,
Rauschen und Stromverbrauch bestimmen die Einsatzmöglichkeiten. Während noch vor
kurzem aktive Filter nur bis einige 100 kHz gebaut wurden, stehen heute Op-Amps für
Anwendungen bis fast 100 MHz zur Verfügung.
Fig. 7-2: Aktive RC-Filter
Elektro-mechanische Bandpassfilter: Bei tiefen Frequenzen kann man mit mechanischen
Bandpassfiltern eine ähnliche Charakteristiken erzielen wie mit LC-Bandpassfiltern oder mit
SAW-Filtern. Mechanische Filter zeichnen sich durch geringe Temperaturabhängigkeit und
hohe Güte aus. Man verwendet so genannte Flexural-Resonatoren, welche durch
piezokeramische Elemente zu mechanischen Schwingungen angeregt werden oder
magnetostriktive Stäbe als Anreger. Der Frequenzgang hängt von der Zahl der
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mechanischen Resonatoren und der Art ihrer gegenseitigen mechanischen Kopplung ab.
Die Herstellung ist aufwändig. Mit der neuen Technologie MEMS (Micro-Electro-Mechanical
Systems) erleben diese sonst kaum mehr erhältlichen Filter für den Hochfrequenzbereich ein
Comeback.
Fig. 7-3: Elektro-mechanisches Miniatur Resonatorfilter (MEMS)
Streifenleitungs- Filter: Streifenleitertechnik (Stripline) wird vor allem für Filter im
Mikrowellenbereich verwendet. Ihre Baugrösse ist von der Wellenlänge anhängig und vom
verwendeten PCB-Dielektrikum. Moderne Materialien erlauben sehr kompakte Bauweisen.
Viel versprechend ist für diese Filterart auch die LTCC- Technik (LTCC = low temperature
cofire ceramics) welche dank 3D- Aufbau und Materialien mit hoher Dielektrizitätskonstante
eine Platz sparende Realisationen erlaubt.
Fig. 7-4: Streifenleiterfilter in LTCC Bauform und konventionell
SAW-Filter (Surface Acoustic Wave Filter, Oberflächenwellen-Filter) bestehen aus
einem piezoelektrischen Substrat (oft LiNbO3 = Lithium-Niobat), auf dem fingerförmige
Metallstrukturen (Aluminium-Leiterbahnen, interdigitale Transducer) aufgedampft sind.
Man findet eine elektro-akustische „Senderstruktur“ und eine „Empfängerstruktur“. Wenn
elektrische Signale an die Senderstruktur angelegt werden (Filtereingang), entstehen auf
dem Piezo-Substrat akustische Oberflächenwellen. Sie wandern zur Empfängerstruktur, wo
durch den Piezo-Effekt eine Empfangsspannung entsteht (Filterausgang). Durch geeignete
Auslegung der fingerförmigen Strukturen erhält man hochwertige Bandpass-Filter.
Mittenfrequenz, Bandbreite und Gruppenlaufzeit werden durch die Geometrie der
Transducer-Strukturen bestimmt. Fig. 7-5 zeigt das Prinzip und die Anwendung als ZF-Filter
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in einem Handy. SAW-Filter sind für Frequenzen von 30 MHz ... 5 GHz herstellbar und vor
allem im Funkbereich als Sende-, Empfangs- und Zwischenfrequenzfilter eingesetzt.
Fig. 7-5: SAW-Filter: Anwendung und Prinzip
Quarzfilter: Bei höchsten Anforderungen an die Filter-Steilheit werden in der HF-Technik
Quarzfilter oder Keramikfilter verwendet. Quarze erreichen Güten von über 1000 und sind
damit entsprechend prädestiniert für extrem schmalbandige Bandpässe, welche innerhalb
weniger kHz mehrere 10 dB Dämpfung erbringen. Ein Quarzfilter ist als abgestimmtes
Bauelement erhältlich oder kann selber aus kommerziell erhältlichen Schwingquarzen
zusammengesetzt werden. Quarzfilter sind zumeist auf feste Frequenzen standardisiert
lieferbar. Diese Frequenzen entsprechen den IF-Frequenzen der verschiedenen
Funkempfängerstandards.
Fig. 7-6 zeigt ein Beispiel der Firma Murata für den IF-Bereich von 455 kHz wie in AM/SSB
Zwischenfrequenz-Stufen üblich. Das Impedanzniveau von Quarzfilter ist relativ hochohmig
im Bereich von 300 Ω - 2 kΩ, so dass Transformatoren zur Anpassung an Ein- und
Ausgangsimpedanz nötig sind. SAW Filter sind in gewisser Weise eine Fortentwicklung von
Quarzfilter für höhere Frequenzen.
Fig. 7-6: Schmalbandiges Keramik-Bandpassfilter (Mittenfrequenz 10.7 MHz)
Switched Capacitor Filter (SC-Filter) verwendet man für die vollständige monolithische
Integration von Filtern. Gegenüber aktiven RC-Filtern besitzen sie den Vorteil, dass sie ohne
ohmsche Widerstände auskommen. Tatsächlich lassen sich beliebige Widerstände durch
Schalter-Kondensatoren-Anordnungen (so genannten switched capacitors, geschaltete
Kondensatoren) ersetzen, wie auch Fig. 7-7 am Beispiel eines Integrators zeigt.
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Weil Widerstände bei der Integration ziemlich viel Siliziumfläche beanspruchen und ungenau
sind, sind SC-Filter für die Integration vorteilhafter als aktive RC-Filter. Da die Zeitkonstanten
zudem nur durch Verhältnisse von C-Werten bestimmt werden erklärt sich die hohe
Präzision für ein Chip Design.
Die Filtercharakteristik hängt direkt mit der Taktfrequenz zusammen, mit der die Schalter
betätigt werden. Die Bandbreite eines Filters kann durch Änderung der Taktfrequenz
verändert werden. SC-Filter verarbeiten Signale zeitdiskret. Sie bewirken deshalb eine
zeitliche Abtastung des Eingangssignals, genau wie die Analog-Digital-Wandler. Es ist daher
erforderlich, ein zeitkontinuierliches Anti-Aliasing-Filter vor die SC-Filter-Schaltung zu setzen.
Für tiefe Frequenzen (Hz-Bereich) sind die SC-Filter ungeeignet. Für Anwendungen in der
professionellen Audio-Technik scheitern sie am relativ hohen Grad der Verzerrungen infolge
nichtidealer Schaltvorgänge und am relativ schlechten Signal-Störabstand, gegeben durch
die Einstreuung der Schaltsignale auf dem Chip (clock feedthrough). Im
Hochfrequenzbereich sind Grenzen durch Schaltgeschwindigkeit gesetzt. Eine verwandte
Variante bilden die Switched Current Filter.
Fig. 7-7: Integrator in RC-Bauweise (links) und SC-Ausführung (rechts)
Der Vollständigkeit halber seien auch die Digitalfilter erwähnt. Bei ihnen wird das analoge
Signal zunächst digitalisiert (durch Zeit- und Amplituden- Quantisierung mit einem A/DWandler). Anschliessend werden die Abtastwerte rein rechnerisch bzw. logisch weiter
verarbeitet, wobei das Filter nichts anderes als eine digitale Schaltung zur Realisierung des
Filter-Algorithmus darstellt
7.2 Filterapproximationen, Tabellen und Transformationen
7.2.1 Spezifikation
Der Entwurfsprozess eines Filters beginnt mit der Spezifikation der Übertragungsfunktion T(s)
des gewünschten Filters. Dabei müssen physikalische Randbedingungen einbezogen werden,
die nicht beliebig steile und beliebig verlustfreie Filtercharakteristiken erlauben.
Fig.7-8 zeigt eine realistische Spezifikationsvorgabe (Stempel) und die Übertragungsfunktion
eines Filters, das diese Spezifikation gerade erfüllt.
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Fig. 7-8: Tiefpassfilter, Spezifikation und Amplitudengang eines Musterfilters
Je nach Anwendung gibt die nachstehende Tabelle eine Vorstellung vom Wertebereich der
Grössen in Fig.7-8:
Amax
Amin
ωs/ωp
=
=
=
0.05 .. 3 dB
20 .. 100 dB
Selektivitätsfaktor 1,1 ... 10
Der Frequenzbereich bis ωp wird Durchlassbereich (passband) genannt, der Bereich oberhalb
ωs wird Sperrbereich (stopband) genannt. Die Welligkeit im Durchlassbereich bezeichnet man
als Passband-Ripple. Amax und Amin sind Dämpfungswerte (meist in dB spezifiziert).
Sinngemäss lassen sich die eingeführten Bezeichnungen auch für alle andern Arten von
Filterübertragungsfunktionen anwenden, wie das Beispiel in Fig. 7-9 für den Bandpass zeigt.
Fig. 7-9: Übertragungsspezifikation eines Bandpassfilters
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7.2.2 Filter - Übertragungsfunktion
Die Filterübertragungsfunktion T(s) ist definiert als Verhältnis der Ausgangsspannung zur
Eingangsspannung in Funktion der komplexen Frequenz s:
T(s) ≡
1
V o (s)
=
V i (s) A(s)
T(jω) =| T(jω) | ⋅ e
jφ ( ω)
(1)
TdB = 20 ⋅ log T( jω)
A dB = −TdB
A(s) bezeichnet die Dämpfungsfunktion, also die reziproke Funktion von T(s).
Die Übertragungsfunktion kann allgemein als Verhältnis zweier Polynome wie folgt beschrieben
werden:
a M ⋅ sM + a M-1 ⋅ sM-1 +...+ a 0
T(s) =
sN + b N-1 ⋅ sN-1 +...+ b0
(2)
Die Ordnung des Nenners N (oder n) gibt die Filterordnung an. Damit ein Filter stabil sein kann
muss die Ordnung des Zählers M kleiner oder gleich N sein (T(s) darf nicht unendlich werden).
Die Koeffizienten ai und bi sind reelle Zahlen.
Jedes Polynom kann auch in die folgende Form gebracht werden:
T(s) =
a M ⋅ (s - z1) ⋅ (s - z2)...(s - zM )
(s - p1) ⋅ (s - p2)...(s - p N )
(3)
In dieser Darstellung sind z1...zM die Nullstellen der Übertragungsfunktion und p1...pN die Pole
der Übertragungsfunktion. Nullstellen und Pole können sowohl reelle wie komplexe Zahlen sein.
Komplexe Nullstellen und Pole müssen aber immer als konjugiert komplexes Paar auftreten.
Tritt also ein Pol bei -3 + 5j auf, so gibt es auch einen Pol bei -3 - 5j.
Betrachtet man noch einmal Fig.7-8. Bei den lokalen Frequenzen ωl1 und ωl2 soll die
Übertragungsfunktion den Wert Null annehmen. Das Filter muss also Nullstellen im Zähler
haben bei s = jωl1 und s = jωl2, also auf der jω-Achse. Tatsächlich werden Nullstellen meist auf
der Imaginärachse platziert, da ja im Stopband die Amplitude der Übertragungsfunktion
möglichst klein, am liebsten Null sein sollte. Wegen dem Auftreten konjugiert komplexer Paare
findet man zudem Nullstellen bei s = -jωl1 und s = -jωl2. Das Zählerpolynom wird also die Terme
(s+jωl1)(s-jωl1)(s+jωl2)(s-jωl2) oder noch umgeformt (s2 + ωl12)(s2 + ωl22) aufweisen.
Weiter erkennt man, dass die Amplitude der Übertragungsfunktion für ω -> ∞ gegen Null strebt.
Das Filter muss deshalb eine oder mehrere Nullstellen bei s = ∞ haben. Dies heisst, dass der
Unterschied im Grad des Nennerpolynoms zum Zählerpolynom mindestens 1 ist, weil eben
dann
T(s ) s→∞ =
aM
sN-M
wird und man sagt, dass T(s) (N - M) Nullstellen bei unendlich habe.
(4)
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Nun betrachte man die Pole. Die Pole müssen alle in der linken Hälfte der s-Ebene liegen,
damit das Filter stabil ist (Beweis mit Laplace-Transformation in den Zeitbereich). Die Pole
haben somit alle negative Realteile und weil in physikalischen Filtern nur die physikalischen
Frequenzen s = jω auftreten ergibt sich nie Nullstelle im Nenner.
Man kann annehmen das Filter in Fig.7-8 habe 5 Pole, also 2 Paare konjugiert komplex und
einen reellen Pol.
Zusammengefasst lässt sich unsere Betrachtung graphisch in das Pol-Nullstellen Diagramm der
Fig.7-10 eintragen und T(s) wird für diesen Fall:
2
2
a 4 ⋅ (s2 + ω l1 ) ⋅ (s2 + ω l 2 )
T(s) = 5
s + b4 s4 + b3 s3 + b2 s2 + b1 s + b0
(5)
Ein zweites Beispiel ist der Bandpass von Fig.7-9. Man sieht, dass die Übertragungsfunktion
Nullstellen hat bei s = +-jωl1 und s = +-jωl2. Ebenso sind eine oder mehrere Nullstellen bei s = 0
und bei s = ∞ vorhanden, weil die Dämpfung an diesen Stellen gegen unendlich strebt. Wir
nehmen an, dass je eine Nullstelle existiere, so dass also die Filterordnung N = 6 ist.
Die Transferfunktion T(s) hat folgende Form:
2
T(s) =
a5 ⋅ s ⋅ (s2 + ω l1 ) ⋅ (s2 + ω
s6 + b5 ⋅ s5 +...+ b0
Fig. 7-10: Pol - Nullstellen Diagramm für
den Tiefpass in Fig.7-8 mit N = 5
2
l2
)
(6)
Fig. 7-11: Pol - Nullstellen Diagramm für
Bandpass in Fig. 7-9 mit N = 6
Die zugehörige Pol - Nullstellenverteilung ersieht man aus der Fig.7-11. Da es sich um einen
ein Bandpass handelt, liegen die Pole bezüglich der jω - Achse zwischen ωl1 und ωl2.
ωp1 und ωp2 sind die Passband Eckfrequenzen und nicht mit den Polen zu verwechseln, die fette
Linie bezeichnet somit das Durchlassband.
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7.2.3 Die wichtigsten Filterfamilien für Tiefpassfunktionen
In diesem Abschnitt betrachten wir die gebräuchlichsten Filterfamilien. Wir beschränken uns
vorerst auf Tiefpassfunktionen. Das Butterworth Filter zeigt eine monoton abklingende
Übertragungsfunktion (Butterworth Polynom im Nenner von T(s)) mit allen Nullstellen bei
ω -> unendlich. Seine Übertragungsfunktion lautet daher:
T(s) = K ⋅
ω 0N
(s - p1)(s - p2)...(s - p N )
(7)
K ist die DC- Verstärkung des Filters.
Alle Pole liegen auf einem Kreis um den Ursprung des Pol- Nullstellendiagramms mit dem
Radius ω0 und sind durch gleiche Winkel π/N von einander getrennt. Der erste Pol liegt um den
Winkel π/2N von der +jω - Achse gedreht, wie das in Fig. 7-12 allgemein und speziell für N=3
gezeigt ist.
Fig. 7-12: Graphische Darstellung der Pollage für das Butterworth-Filter
Wir setzen nun vorerst ohne Einsicht den Kreisradius in Funktion der Grenzfrequenz ωp:
1
 1 N
ω0 = ω p ⋅  
 ε
(8)
und erhalten nach einiger Rechnung:
| T(jω) |=
1
ω
1+ ε2 ⋅  
 ωp 
2N
(9)
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Die Einsicht, dass obige Festlegung sinnvoll ist kommt sofort, wenn man T(jωp) und T(jω0)
berechnet, ωp ist ja die Grenze des Durchlassbereichs (Passband) und ω0 entpuppt sich als
3 dB Grenzfrequenz:
| T(j ωp) | =
1
1 + ε2
| T(j ω0) | =
1
2
(10)
ε bestimmt also die maximale Dämpfung im Durchlassbereich und lässt sich einfach aus einer
Vorgabe für die maximale Dämpfung Amax errechnen:
A max = −20 log
1
1 + ε2
ε = 10
A max
10
−1
(11)
Für Amax = 3.01 dB erhält man exakt ε = 1, das wohl bekannteste Tiefpassfilter.
Die Ordnung eines Filters richtet sich nun aber nach der gewünschten Dämpfung Amin bei der
Sperrfrequenz ωs.
Die Dämpfung A bei der Frequenz ωs in dB lautet einfach:
A (ω s ) = −20 ⋅ log
1
 ωs 

1 + ε 2 
 ωp 
2N
2N

 ωs  
2
 
= 10 ⋅ log 1 + ε 
ω p  




(12)
In Fig. 7-13 ist der Amplitudengang des Filters aufgezeichnet und es zeigt sich der monoton
abfallende Verlauf.
Fig. 7-13: Amplitudengang des Butterworth Filters
Gerade so gut kann man an Stelle des monotonen Abfalls im Durchlassbereich auch eine
gewisse Welligkeit zulassen, das heisst die Übertragungsfunktion zwischen dem Wert 1 und
Amax pendeln lassen.
Diese Filterfamilie heisst Chebyshev Filter (Chebishev Polynom im Nenner von T(s)). Der
Amplitudengang ist in Fig. 7-14 (a) für gerade N und (b) für ungerade N aufgezeichnet. Man
kann zeigen, dass die Pole jetzt auf einer Ellipse um den Ursprung des PolNullstellendiagramms liegen und die Pole aus den Polen des Butterworth Filters durch
Multiplikation des Realteils mit dem Faktor:
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κ = tanh(
1
1
⋅ asinh( ))
N
ε
(13)
Am einfachsten finden wir die Pole aber durch einsetzen in die folgende Formel:
pk = - ωp ⋅ sin(
2k -1 π
1
1
2k -1 π
1
1
⋅ ) ⋅ sinh( ⋅ asinh ) + j ωp ⋅ cos(
⋅ ) ⋅ cosh( ⋅ asinh )
N 2
N
ε
N 2
N
ε
(14)
und erhalten die Übertragungsfunktion des Chebishev Filters T(s):
N
T(s) =
K ⋅ ωp
N-1
ε ⋅ 2 ⋅ (s - p1) ⋅ (s - p2)....(s - p N )
(15)
Fig. 7-14: Chebishev Filter mit (a) N =4 und (b) N = 5
Die Grösse K ist wiederum die DC Verstärkung des Filters.
Der Amplitudengang lässt sich ermitteln zu:
T( jω) =
T( jω ) =
1

 ω
1 + ε 2 ⋅ cosh 2  N ⋅ a cosh
ω

 p
1

 ω 
 
1 + ε 2 ⋅ cos 2 N ⋅ a cos
 ω p  





for ω ≥ωp
for ω ≤ωp
(16)
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Die Chebishev Filter sind deutlich steiler als die Butterworth Filter, dies auf Kosten der
Welligkeit. Bis jetzt wurde nichts über den Phasengang der Filter gesagt. Dieser ist im
Durchlassbereich nicht linear und es entstehen somit Laufzeitverzerrungen.
Man kann auch versuchen den Phasengang linear zu halten auf Kosten der Steilheit. Es
entsteht dann die Familie der Bessel Filter. Auf die mathematische Ableitung zur Bestimmung
der Pollagen wird an dieser Stelle verzichten. Grundsätzlich setzt man aber für die
Gruppenlaufzeit denselben Verlauf in Funktion der Frequenz an, wie beim Butterworth Filter. Als
Resultat liegen die Pole auf einem Kreis, dessen Zentrum aber auf der positiven reellen Achse
des Polstellendiagrams liegt. Wie auch für alle andern gebräuchlichen Filter sind die Lage der
Pole längst berechnet worden und tabelliert in Funktion der Ordnung und des Parameters ε für
die Welligkeit. Diese Betrachtungen über die mathematische Seite der Filtertechnik soll
genügen.
Es folgt der Gebrauch der Tabellen für die Dimensionierung von Filtern und anschliessend
Schaltungen die passive und aktive Realisation dieser Filter in LC- und RC-Technik.
7.2.4 Filtertabellen
Zuerst wird die Tabellierungsart für aktive RC-Filter und SC-Filter behandelt, basierend auf der
Zerlegung von T(s) in Teilstufen 1. und 2. Ordnung. Diese lassen sich besonders bequem mit je
einem Op-Amp realisieren. Für passive LC-Filter wird auf Abschnitt 7.3 verwiesen.
Im Folgenden geht man von einem Tiefpassfilter mit der Grenzfrequenz ω3dB = ω0 aus. Da der
Zusammenhang Filterkurve - Polstellen für die gebräuchlichsten Filter mit der normierten
Grenzfrequenz ω0 = 1 einmal berechnet für immer gültig bleibt, gibt es diverse Tabellen dazu.
Eine dieser Tabellen soll nun behandelt werden um zu sehen, wie daraus ein Filter
dimensioniert werden kann.
Zuerst formt man die Übertragungsfunktion T(s) um und erhält eine andere sehr oft gebrauchte
Form:
1
T(s) =
[
2 ⋅ ξ1
s
1+ s⋅
+( )
ω 01
ω 01
2
(17)
2 ⋅ ξ2
s 2
) .....
⋅ 1+ s⋅
+(
ω 02
ω 02
][
]
Die oben aufgeführte Darstellung gilt für eine gerade Ordnung n.
Analog gilt für n ungerade:
T(s) =
[
1
2 ⋅ ξ2
s 2
s
)
(1 +
) ⋅ 1+ s⋅
+(
ω 02
ω 01
ω 02
][
2 ⋅ ξ3
s 2
⋅ 1+ s⋅
+ ( ) .....
ω 03
ω 03
][
(18)
]
Die neu erhaltene Form heisst Normalform, ω0i wird Eigenfrequenz genannt und ξi ist der
Dämpfungsfaktor (manchmal auch mit D bezeichnet). Trägt man die Pole in der komplexen sEbene ein, so entspricht ω0i der Länge des Ortsvektors, der den Pol mit dem Ursprung des
Koordinatensystems verbindet. Der Dämpfungsfaktor ξi ist gleich dem Cosinus des Winkels α,
den der Ortsvektor mit der negativen reellen Achse einschliesst (siehe Fig.7-15). Die Bedeutung
der beiden Begriffe sind aus der Theorie der Laplace-Transformation bekannt. Ein komplexes
Polpaar ergibt ja als Stossantwort eine gedämpfte Schwingung. Die englische Literatur
verwendet oft auch die Polgüte Q anstelle von ξ.
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Fig.7-15: Definition und Bedeutung Eigenfrequenz ω0i und Dämpfungsfaktor ξi
(Indizes i der Figur weggelassen)
In den Tabellen sind die Werte ξi und ω0i tabelliert, wobei wie bereits erwähnt ω0i auf ω0 der
gesamten Filtergrenzfrequenz bezogen ist. Es sei daran erinnert, dass ω0 die 3 dB
Grenzfrequenz des gesamten Filters ist, ω0i aber ein Parameter der Normalform, nämlich
die Eigenfrequenz des (i)-ten Poles ist (vgl. Fig. 7-15).
Die Dämpfung des Teilfilters (i) an der Stelle ω0i beträgt i.A. nicht 3 dB sondern ist von ξi
abhängig (vgl. Fig. 7-15 rechts). Bei der Ausmessung eines Filters ist es also ratsam, zuerst
die Übertragungsfunktion jedes Teilfilters zu berechnen und deren Verlauf mit der Messung
zu vergleichen. Zum Teil ist die 3 dB Frequenz des Teilfilters auch tabelliert (z.B. Tietze
Schenk).
Die Tabellen in diesem Script sind für Butterworth, Chebishev (0.5 dB, 1 dB, 2 dB, 3 dB
Ripple) und Bessel erstellt und im Anhang 1 zu finden.
Auf die Klasse der elliptischen Filter (Cauer) wird nicht näher eingegangen, sie haben im
Übergang eine noch grössere Steilheit auf Kosten einer Welligkeit auch im Sperrbereich.
Ebenso wird für Legendre, Gauss u.a. Approximationen auf die Literatur verwiesen.
Tipp:
Bei der Benützung anderer Tabellen ist stets darauf zu achten, dass auch die zugehörigen
Definitionen verwendet werden. So wird oft anstelle w0i die 3 dB Frequenz jeder Stufe
verwendet oder die Übertragungsfunktion mit normierter Frequenz jω/ω0 angesetzt. Zum Teil
werden auch die Pole angegeben. Am besten macht man sich in der Praxis mit einer Art und
Tabelle vertraut, von der man weiss, dass sie stimmige Resultate liefert. Zunehmend
unterstützen auch Filtersynthese-Programme die ganze Designaufgabe, trotzdem ist es für
den Ingenieur wichtig die Grundlagen zu kennen und die Resultate beurteilen zu können.
7.2.5 Der Hochpass
Beim Betrachten des Frequenzganges des Hochpasses sieht man sogleich, dass dieser
identisch ist mit demjenigen des Tiefpasses, wenn die Frequenzachse jω reziprok beschriftet
wird. Die Transformation vom Tiefpassbereich in den Hochpassbereich lautet entsprechend:
ω 20
υ=ω
(19)
Sie führt die Hochpassfunktion in eine Tiefpassfunktion über, wobei dem Tiefpass die
Frequenzvariable ν und dem Hochpass die Frequenzvariable ω zugeordnet sind (-ν0 = ω0).
Die Tatsache, dass der Referenztiefpass (oder äquivalente Tiefpass) im Bereich negativer
Frequenzen betrachtet wird, stellt keinerlei Einschränkung in der praktischen Anwendung
dar.
ZHAW, ASV, FS2008, 6-15
Am Beispiel des einfachen Tiefpasses 1. Ordnung mit der Übertragungsfunktion:
TTP (jυ) =
1
jυ
1+
- υ0
ν≤0
(20)
ergibt sich durch Einsetzen für ν:
j⋅
1
THP (jω) =
=
2
0
ω
1- j
ω ⋅ ω0
ω
ω0
ω
1+ j⋅
ω0
ω≥0
(21, 25)
Diese Frequenztransformation kann auch direkt mit der komplexen Variable s durchgeführt
werden indem die Variable s der Tiefpassfunktion transformiert wird:
- υ0 → ω0 und s TP
2
→
(22)
ω0
s HP
Praxis: Die Hochpass Spezifikationen werden in eine Tiefpass Spezifikation transformiert
Minuszeichen ingnorieren!), der Tiefpass wird berechnet und in den Tabellen
nachgeschlagen.
Nun ergibt sich die Übertragungsfunktion T(s) für den Hochpass n.ter Ordnung durch
Transformation der Übertragungsfunktion des Tiefpasses.
Mit der Transformationsgleichung sHP = ω2o / sTP erhält man die Hochpasswerte ωoi
und ξi durch Einsetzen der komplexen Pole sTP, d.h. in der Praxis direkt zu:
2
ω0i =
ω0
υ0i
ξi = ξi
(23)
Für die Übertragungsfunktion des Hochpasses gilt somit für gerade n:
n
2
sn
∏ω
2
0i
i =1
T(s) =
[1+ s⋅
2⋅ξ1
+
ω01
s
2
2
]⋅[1+ s⋅
2 ⋅ξ 2
ω02
ω01
+
(24)
s2
ω02
2
]⋅......
Für ungerade n gilt analog:
sn
n +1
2
ω01 ∏ ω0i
2
i=2
T(s) =
[1+
s
ω01
]⋅[1+ s⋅
2 ⋅ξ 2
ω02
+
(25)
s2
ω02
2
]⋅......
Aus diesen Formeln sieht man, dass das Nennerpolynom des Hochpasses mit dem
Nennerpolynom des Tiefpasses sehr eng verwandt ist, ja im Falle des Butterworth Filters
sogar identisch ist (ω0i = ω0).
ZHAW, ASV, FS2008, 6-16
Die Pole eines Hochpasses mit der Grenzfrequenz ω0 weisen dieselben Dämpfungsfaktoren
ξi auf, wie die Pole eines gleichartigen Tiefpasses mit derselben Grenzfrequenz. Ihre
Eigenfrequenzen ω0i werden aber mit der Beziehung ω02/ν0i transformiert. Zusätzlich weist
das n-polige Hochpass Filter eine n-fache Nullstelle bei s=0 auf. Die Realisation von Filtern
hoher Ordnung geschieht genau gleich wie beim Tiefpass durch Aneinanderfügen von
Blöcken 1. und 2. Ordnung. Die Tabellen können dazu sehr einfach benützt werden, indem
lediglich ω0i für den Hochpass zusätzlich zu berechnen ist:
ω 20
ω0
ω0
=
=
ω 0i =
υ0i [ υ0i / ω 0] [ υ0i / υ0]
ξi = ξi
(26)
ν0i/ν0 ist direkt der Tabelle zu entnehmen (es gilt ja ν0 = ω0).
Allerdings werden wir sehen, dass die Schaltung für Hochpass natürlich anders aufgebaut
sein müssen, da sie zusätzlich Nullstellen erzeugen muss (siehe Kapitel 8).
Die Definitionen der 3-dB Frequenz ω0 in verschiedenen Tabellenwerken und
Filterprogrammen werden oft unterschiedlich gehandhabt. Die Tabellen in diesem Skript
beziehen sich alle auf die Definition dass der 3 dB Punkt bei ω0 definiert als Ort mit 3.01 dB
Dämpfung bezüglich der Durchlass-Asymptote durch den Punkt 0 Hz (DC).
7.2.6 Der Bandpass
Betrachtet man die Übertragungsfunktion eines Bandpasses (BP), so sieht man, dass diese
grundsätzlich aus einer Hochpass- und einer Tiefpassfunktion zusammengesetzt ist. Es ist
durchaus möglich auf diese Weise zu verfahren mit der Grenzfrequenz des Hochpasses
gleich der unteren Bandpassgrenzfrequenz und der Grenzfrequenz des Tiefpasses gleich
der oberen Grenzfrequenz des BP zu konstruieren. Bei Bandpässen mit kleiner Bandbreite
kann aber auf diese Weise der Amplitudengang im Durchlassbereich nicht genau nach
Wunsch eingehalten werden. Wir suchen daher nach einer anderen Herleitung.
Ein Bandpass habe folgende Kenngrössen:
Mittenfrequenz:
Bandbreite:
ω0 = ω1 ⋅ ω2
B = ω2 - ω1
(27)
Siehe dazu Fig. 7-16.
Fig. 7-16: Definition Bandpass Kennwerte
Gesucht ist eine Transformation, welche aus der Tiefpassfunktion T(jν) eine Funktion liefert,
die sowohl bei tiefen wie bei hohen Frequenzen eine hohe Dämpfung ergibt. Die einfachste
Transformation dazu ist:
ZHAW, ASV, FS2008, 6-17
2
v0 → B
s→s+
ω0
s
(28)
Wiederum geht man von einem Tiefpass mit Grenzfrequenz ν0 aus und ersetzen ν0 und s
durch die obigen Ausdrücke. Daraus entsteht für das Beispiel des Tiefpasses 1.Ordnung:
s ⋅B
T(s) =
s ⋅B
=
2
2
s + s ⋅ B + ω0
2
ω0
s ⋅B
2
s
1+ 2 + 2
ω0 ω0
(29)
Es ist sehr interessant zu sehen, dass aus der einen Ordnung des Tiefpasses nun 2 Pole
entstanden sind. B bezeichnet die Bandbreite von der unteren bis zur oberen Grenzfrequenz
des Bandpasses. ω0 ist die geometrische Bandmitte, nicht die arithmetische!
Ist das Verhältnis ω0 : B sehr gross, so ist aber praktisch das arithmetische und das
geometrische Mitte gleich gross.
Mit dieser Transformation lässt sich wiederum jede Tiefpassfunktion T(s) in eine
Bandpassfunktion transformieren. Aus jedem Pol entstehen 2 Pole für den Bandpass
welche über die Bandpass Transformation verknüpft sind. Dies ist in Fig. Fig. 7-17 graphisch
in der s-Ebene dargestellt. Die Transformationsgleichung kann nach sBP aufgelöst werden
und da sie quadratisch ist ergeben sich eben zwei Lösungen:
2
sTP = sBP +
ω0
sBP
(30)
.
2
sBP ' , sBP ' ' =
sTP
s
± j ω0 1 - TP 2
2
4 ⋅ ω0
Da sTP komplex ist, wird die genaue Auswertung dieser Formel umständlich und ist
gegebenenfalls mit einem Mathematikprogramm (z.B. MathCad) durchzuführen.
Fig. 7-17: Polerzeugung durch TP – BP Transformation
ZHAW, ASV, FS2008, 6-18
Für den häufigen Fall, wo die Bandbreite B mindestens 5 x kleiner ist als die
Mittenfrequenz ω0, wird die Wurzel in obiger Formel ungefähr 1. Durch Einsetzen der
komplexen Pole für sTP lassen sich dann für die entstehenden Eigenfrequenzen ω0i und
Dämpfungsfaktor ξi nach einigem Rechnen, welche an dieser Stelle erspart bleiben soll,
folgende Näherungen ermitteln:
υ 0i
ξi ' = ξi ' ' ≈ ξi ⋅
2 ⋅ ω0
ω0i ' ≈ ω0 +
i = 1......n ,
n
1 − ξ i2 ⋅ υ 0i
2
ω 0i ' ' ≈ ω 0 −
1 − ξ 2i ⋅ υ 0i
2
gerade
(31)
B = 2 ⋅ π ⋅ b = υ0
ν0i kann einfach aus den Tabellenwerten berechnet werden. Die Tabellenwerte entsprechen
direkt den Werten ν0i/B .
Für ungerade n kommt noch ein 2-poliger Bandpass dazu mit:
υ01
2 ⋅ ω0
ω 01 ' = ω 0
ξ1 ' =
(32)
sBP' und sBP'' besitzen je ein ω0 und ein gemeinsames ξ, wie aus Fig. 7-17 zu ersehen ist.
Die Übertragungsfunktion für den Bandpass lautet damit allgemein für gerade Ordnung n:
n
s ⋅K
T(s) =
[1 + s ⋅
2
2
2 ⋅ ξ1 '
2 ⋅ ξ1 ' '
s
s
+
]⋅[1 + s ⋅
+
] ⋅ ......
ω01 ' ' (ω 01 ' ')2
ω01 ' (ω ')2
01
K=
1
2n
0
ω
(33)
n
2
⋅ ∏ v0i2
i =1
Für ungerade n gilt:
T(s) =
n
s ⋅K
2
2
2
2 ⋅ ξ1 '
2 ⋅ ξ2 '
2 ⋅ ξ2 ''
s
s
s
[1 + s ⋅
+
]
⋅
[
1
+
s
⋅
+
]
⋅
[
1
+
s
⋅
+
]⋅......
2
2
ω 02 ' (ω 02 ')2
ω01 ' (ω01 ')
ω02 ' ' (ω 02 ' ')
(34)
K=
n +1
2
υ01
2
2n ∏ υ0i
ω0 i = 2
Die Bandmittenverstärkung ergibt sich durch einsetzen von K und s = jω0 in T(s) und
anschliessender Betragsbestimmung von T(s).
ZHAW, ASV, FS2008, 6-19
7.2.7 Bandsperrfilter
Genau gleich wie der Bandpass lässt sich auch eine Bandsperre definieren und herleiten.
Wir betrachten an dieser Stelle nur kurz die dazu gebräuchliche Transformation zum
Verstehen des mathematischen Hintergrundes und das daraus resultierende Ergebnis.
Grundsätzlich kann man sich die Bandsperren-Transformation vorstellen als eine Tiefpass Hochpass - Bandpass Transformationsabfolge. Das Vorgehen zur Ermittlung der
Dimensionierungs-Gleichungen ist analog wie beim Bandpass. Im Englischen wird die
Bandsperre auch oft als Notch bezeichnet.
Die Bandsperre weise folgende Mittenfrequenz und Bandbreite (3 dB Durchlass) auf:
Mittenfrequenz:
Bandbreite:
ω0 = ω1 ⋅ ω2
B = ω2 - ω1
(40)
Fig. 7-18: Übertragungsfunktion der Bandsperre (ωn Notchfrequenz)
Die Transformation lautet:
υ0 → B
s⋅ 2
s→ 2 B 2
s + ω0
(41)
Die Übertragungsfunktion für eine Bandsperre 2. Ordnung wird somit:
.
2
s
2
ω0
T(s) =
B s2
1+ s ⋅ 2 + 2
ω0 ω0
1+
mit
ω0 = Notchfrequency, 2ξ =
1 B
=
Q ω0
(42)
Q ist die Güte des Pols, eine andere beliebte Kennzahl anstelle des Dämpfungsmasses ξ.
Fig. 7-18 zeigt graphisch den Amplitudengang einer solchen Bandsperre. Für höhere
Ordnungen kann wiederum auf die in Serieschaltung betriebenen Filter 1. und 2. Ordnung
zurückgegriffen werden. Die Übertragungsfunktion der Bandsperre lautet im Nenner formal
genau gleich wie beim Bandpass und die Pole der Bandsperre berechnen sich analog wie
die Pole des Bandpasses aus dem äquivalenten Tiefpass mit Hilfe untenstehender
Transformation. Im Zähler treten im Unterschied zum Bandpass, aber wie beim Hochpass,
2n Nullstellen diesmal bei jω0 auf.
Die genaue Berechnung der Pole der Bandsperre aus den Polen des äquivalenten
Tiefpasses ergibt:
ZHAW, ASV, FS2008, 6-20
4
B -4⋅ 2
ω0
2
2
B
s
TP
±
sBS ' , sBS ' ' =
2 ⋅ sTP
4
(43)
sBS' und sBS'' sind wiederum durch ihr ω0 und ξ beschreibbar.
Die Übertragungsfunktionen für die Bandsperre lauten demnach für gerade n:
2
[1 + s 2 ]n
ω0
T(s) =
2
2
2 ⋅ ξ1 '
2 ⋅ ξ1 ' '
s
s
[1 + s ⋅
+
]
⋅
[
1
+
s
⋅
+
] ⋅ ....
2
2
ωo1 ' (ω 01 ')
ω01 ' ' (ω01 ' ')
(44)
Für ungerade n kommt noch ein 2-poliges Sperrglied dazu mit:
ξ1 ' =
υ01
2 ⋅ ω0
ω01 ' = ω0
(45)
Für ungerade n gilt:
2
2
s
s
] ⋅ [1 + 2 ]n
2
(ω01 ')
ω0
T(s) =
2
2
2
2 ⋅ ξ1 '
2 ⋅ ξ2 '
2 ⋅ ξ2 ' '
s
s
s
[1 + s ⋅
+
]
⋅
[
1
+
s
⋅
+
]
⋅
[
1
+
s
⋅
+
]⋅.....
2
2
ω 02 ' (ω02 ')2
ω01 ' (ω01 ')
ω02 ' ' (ω02 ' ')
[1 +
(46)
Eine spezielle Vereinfachung ergibt sich für Butterworth Bandsperren. Da die Pole von TP
und HP identisch sind, kann die Dimensionierung exakt gleich wie ein Bandpass mit
gleichem ω0 und B erfolgen. In diesem Fall können die Näherungen des Bandpasses zur
Ermittlung von ω0i', ω0i'' und ξi', ξi'' benutzt werden.
In der Übertragungsfunktion von Bandsperren fällt auf, dass die Teilübertragungsfunktionen
i.A. asymmetrisch ausfallen (Pollage ungleich Nullstelle). Man nennt die so entstehenden
Teilfilter Notch und unterscheidet drei Versionen, das Tiefpass Notch LPN und das
Hochpass Notch HPN. Der symmetrische Spezialfall ist das gewöhnliche Notch und entsteht
aus dem äquivalenten Tiefpassglied erster Ordnung.
7.2.8 Beispiel Bandpass
f0 = 10 kHz, b = 2 kHz, Ordnungszahl 2n = 4, Chebishev 3 dB
Lösung:
Äquivalenter Tiefpass:
n = 2, B = 2πb, Tabelle: υ01 = 0.7197 B,
ξ1 = 0.3833
ZHAW, ASV, FS2008, 6-21
ZHAW, ASV, FS2008, 6-22
7.3 LC-Filter Design: Anwendung von Tabellenbüchern
Das Design von LC-Filtern ist etwas anders aufgebaut als in Abschnitt 7.2.4 im Hinblick auf
die aktiven Filter behandelt. Man steuert direkt auf die Bauelemente L und C los. Zudem wird
meist der Frequenzbereich f direkt verwendet und nicht der Kreisfrequenzbereich ω.
(Behandelt am Beispiel Tabellenbuch Tiefpässe G. Pfitzenmaier Siemens AG, auszugsweise
auch Randall Rhea, FH Filter Design). Tabellen finden sich im Anhang.
7.3.1 Impedanz-Normierung
Die Normierung der Elementwerte geht von einer Schaltung aus, die zwischen gleichen
Ohmschen Widerständen R1 = R2 betrieben wird (z.B. Fig. 7-19c). Allgemein erhält man mit
den in Tabelle 1 aufgeführten Bezeichnungen die physikalischen Grössen der Bauelemente
aus den normierten Werten zu
R = r ⋅ R B [Ω] ,
L = l ⋅ L B [ H],
C = c ⋅ C B [F]
Tabelle 1
Grösse
Frequenz
Ohmscher Widerstand
Induktivität
Kapazität
entnormiert
f in Hz
R in Ω
L in H
C in F
normiert
Ω
r
l
c
Hierbei sind:
RB Bezugswiderstand in Ω
R B = R1 = R2
LB Bezugsinduktivität in H

RB 
 LB =

2 ⋅ π ⋅ fB 

CB Bezugskapazität in F


1
CB =

2 ⋅ π ⋅ fB ⋅ R B 

fB eine Bezugsfrequenz in Hz
7.3.2 Frequenznormierung
Butterworth-Tiefpässe: Normiert auf 3.01 dB Grenzfrequenz
Chebishev-Tiefpässe: Nach der üblichen Frequenznormierung bei LC-Tiefpässen sind alle
angegebenen Daten der Chebishev-Tiefpässe auf deren theoretische Grenzfrequenz fd
bezogen, bei der im Anstieg zum Sperrbereich die im Durchlassbereich maximal zulässige
Betriebsdämpfung ab = abmax erreicht wird (Fig. 7-19a). Sie heisst darum auch
Bezugsfrequenz fB. Die normierte Frequenz f/fB wird mit Ω bezeichnet:
Ω=
f
fB
Die Bezugsfrequenz fB des Tiefpass ist also:
fB = fd
(LC1)
ZHAW, ASV, FS2008, 6-23
7.3.3 Ermittlung der Filterordnung
Die Ordnung des notwendigen Filters lässt sich mit den Formeln aus dem Abschnitt 7.2.3
(Aktive RC Filter) ermitteln. In Tabellenwerken kann diese auch einfach herausgelesen
werden.
7.3.4 Übersicht über die tabellierten Chebishev-Tiefpässe
Chebishev Tiefpässe sind beliebt, weil sie eine gute Steilheit im Übergang zu Stande bringen
und noch akzeptable Verzerrungen im Phasengang besitzen (Gruppenlaufzeit). Die
Realisation und der Abgleich von Filtern mit Ordnung > 9 ist i.A. wegen der Toleranzen und
Nichtidealitäten der Bauteile (v.a. Güte von L) für serienmässigen Einsatz wenig beliebt.
Der neben dem Filtergrad n zur Tabellierung der Chebishev-Tiefpässe nötige Parameter ist
die im Durchlassbereich maximal zugelassene Betriebsdämpfung abmax. Gleichwertig damit
ist die Angabe des maximalen Reflexionsfaktors rmax, der im Durchlassungsbereich nicht
überschritten, bzw. der minimalen Echodämpfung R.L. (Return Loss), die bis zur
Grenzfrequenz fd nicht unterschritten werden darf. Letztere Grössen sind in der
Leitungstheorie und HF-Technik gebräuchlich.
Zwischen den genannten Grössen gelten die unten aufgeführten Umrechnungsbeziehungen:
  − ab max  2 


R.L. = −10 ⋅ log1 − 10 20  
 
 
 

10
a
− b max
20
(LC3)
= S 21
r 2 = 1 − S 21
2
(LC2)
= S11
2
rmax % = rmax ⋅ 100
(LC4)
Bsp.: R.L. = 24 dB
rmax = 6.3% ; abmax = 0.017 dB
R.L. = 26 dB ... 50 dB
rmax = 5% ... 0.32% ; abmax = 0.011 ... 0.00004 dB
7.3.5 Schaltungsstrukturen der Chebishev-Tiefpässe
Die den Chebishev-Tiefpässen entsprechende Schaltung ist von kettenartiger Struktur; man
spricht deshalb auch von Chebishev-Ketten.
Die Schaltung enthält eine dem Tiefpassgrad n entsprechende Anzahl von Schaltelementen
und kann entweder mit einer Längsinduktivität (T-Schaltung) oder mit einer Querkapazität (πSchaltung) beginnen. Bei Betrieb zwischen gleichen Ohmschen Widerständen gelten für
Chebishev-Tiefpässe mit ungerader Gradzahl die in den Fig. 7-19c und 7-19d dargestellten
Schaltungen, während bei Chebishev-Tiefpässen mit gerader Gradzahl ein idealer
Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ü erforderlich ist um die Impedanzgleichheit
herzustellen (wird hier nicht weiter behandelt).
Bei Butterworth- und Bessel- Tiefpässen entfällt der Transformator auch bei gerader
Ordnungszahl.
Die Widerstände R1, R2 entsprechen Quellen- und Lastwiderstand der Anwendung.
ZHAW, ASV, FS2008, 6-24
Fig. 7-19: Chebishev Tiefpässe ungerader Ordnung (Quelle: Pfitzenmaier)
ZHAW, ASV, FS2008, 6-25
7.3.6 Kennzeichnung der Chebishev-Tiefpässe
Die einen Tiefpass beschreibenden Daten sind in Pfitzenmaier jeweils auf einer Buchseite
zusammengefasst, wobei eine Überschrift in Kurzform die charakteristischen Eigenschaften
des Tiefpasses beschreibt (siehe Beispiele Anhang 1).
Der Tiefpassgrad n und die im Durchlassbereich nicht zu unterschreitende Echodämpfung
R.L. sind in der Form T - n - R.L. dargestellt, wobei T für Chebishev-Tiefpass steht;
beispielsweise bedeutet T 05/17 dB: Chebishev-Tiefpass, Grad n = 5, MindestEchodämpfung R.L. = 17 dB.
Unter dieser Überschrift wird die Echodämpfung auch in Np als aemin angegeben; ausserdem
sind zur leichteren Orientierung der entsprechende, grösstzulässige Reflexionsfaktor in
Prozent rmax sowie die im Durchlassbereich maximal erlaubte Betriebsdämpfung abmax in dB
vermerkt.
7.3.7 Normierte Schaltelemente
Die Berechnung der Schaltelemente von Chebishev-Tiefpässen mittels expliziten Formeln ist
über die Übertragungsfunktion möglich aber kompliziert. Einfacher ist die Dimensionierung
aus den Tiefpasskoeffizienten a1, a2,...an, welche je nach Schaltungstyp (siehe Fig. 7-19c
und 7-19d) die gemäss Abschnitt 7.3.2 normierten Elementwerte der Induktivitäten bzw.
Kapazitäten darstellen.
Bei symmetrischen Chebishev-Tiefpässen (n ungerade) sind spiegelsymmetrische
Koeffizienten einander gleich.
Unter der Überschrift „Tiefpass-Koeffizienten“ werden die Zahlenwerte für av (v = 1...n) mit
einer Genauigkeit von sechs Stellen nach dem Komma angegeben.
7.3.8 Betriebsdämpfung as im Sperrbereich
Zum Abschätzen der Sperrforderungen werden diejenigen Frequenzen Ωs aufgeführt, bei
denen die Betriebsdämpfung ab die Werte as = 6 dB, 8 dB,...in Stufen von 2 dB...100 dB
erreicht. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass die zu einer geforderten, meist ganzzahligen
Sperrdämpfung as, z.B. 32 dB, gehörende Tiefpassfrequenz Ωs ohne Interpolation sofort
abgelesen und mit der Soll-Frequenz Ωsoll verglichen werden kann. Ausserdem ist leicht
festzustellen welcher Gewinn an Sperrdämpfung erzielt wird, wenn ein Tiefpass höheren
Grades oder ein solcher mit anderer Echodämpfung im Durchlassbereich gewählt wird.
Bedingt durch die feine Abstufung der Dämpfungswerte ist bei linearer Interpolation von
Zwischenwerten eine hohe Genauigkeit für das Ergebnis zu erwarten. In manchen
Anwendungsfällen ist es nützlich, diejenige Frequenz Ω3dB zu kennen, bei der genau die
Hälfte der eingespeisten Leistung am Filterausgang erscheint. Dies entspricht dem Wert von
3.01 dB. Am Kopf jeder Dämpfungstabelle wird für diesen Dämpfungswert, der als „3“
bezeichnet wird, die zugehörige Frequenz Ω3dB ausgeduckt. Die Frequenzen Ωs werden mit
einer Genauigkeit von vier Stellen nach dem Komma angegeben.
Etwas weniger komfortabel aber zum dimensionieren genügend sind die Tabellen aus Quelle
(Randall Rhea) mit den normierten Filterkoeffizienten g(v). Der jeweils letzte g-Wert ist das
Übertragungsverhältnis ü2 des Transformators bei den geraden Ordnungszahlen, der ja bei
ungerader Ordnungszahl entfällt (g=1).
ZHAW, ASV, FS2008, 6-26
7.3.9 Frequenztransformationen
Durch geeignete Frequenztransformationen kann man aus den normierten Tiefpässen die
Schaltungen und Betriebsgrössen von Hochpässen, Bandpässen und Bandsperren
gewinnen. Solche Filter können einfach und ohne Schwierigkeiten mit Hilfe der
Tiefpasstabellen entworfen werden. Nachstehend sind für die gebräuchlichsten
Frequenztransformationen auszugsweise die wichtigsten Berechnungsunterlagen
zusammengestellt. Dabei ist grundsätzlich zu beachten, dass die normierte Frequenzvariable
in den transformierten Schaltungen mit η = f/fB bezeichnet wird, wobei fB die Bezugsfrequenz
des neuen Systems ist.
7.3.10 Hochpass
Durch die Transformation
Ω=
1
η
(LC8)
wird die Charakteristik eines Tiefpasses in die eines Hochpasses übergeführt (Fig.7-20).
Dabei ist die Bezugsfrequenz fB gleich der Grenzfrequenz fd des Hochpasses:
fB = fd
(LC9)
Fig.7-20: Dämpfungsverhalten des Hochpasses
Jeder normierten Hochpassfrequenz η = f/fd ist nun also eine normierte Tiefpassfrequenz
Ω = fd/f mit dem entsprechenden Wert der Betriebsdämpfung ab zugeordnet.
Schaltelemente
Über die Zuordnung nach Fig. 7-21 erhält man die Schaltelemente des Hochpasses aus
denen des Tiefpasses (die Indizes bedeuten: HP: Hochpass,TP: Tiefpass)
ZHAW, ASV, FS2008, 6-27
Fig. 7-21: Schaltelemente des Hochpasses
Als Beispiel ist eine Hochpassschaltung vom Grad 5 in Fig. 7-22 angeführt.
Fig. 7-22: Beispiel für die Transformation eines Hochpasses aus dem Tiefpass
Die Schaltelemente werden nach den in 7.3.2 angegebenen Richtlinien entnormiert; dabei ist
sinngemäss für die Bezugsfrequenz fB die Grenzfrequenz fd des Hochpasses einzusetzen.
7.3.11 Bandpass
Der Dämpfungsverlauf des Bandpasses ist in Fig. 7-23 dargestellt. Man beachte, dass die
normierte Bandbreite mit dem griechischen Β bezeichnet wird. Achtung nicht verwechseln
mit B = 2πb aus Abschnitt 7.2.6. Die Transformationsformel heisst:
Ω=
1
1
⋅ η−
Β
η
(LC10)
Die Umkehrung liefert:
2
ΩΒ
 ΩΒ 
η± = 1 + 
 ±
2
 2 
(LC11)
Daraus ist unmittelbar zu erkennen, dass jeder Tiefpassfrequenz Ω zwei
Bandpassfrequenzen η+, η- entsprechen, deren Produkt immer den Wert 1 ergibt:
η+ ⋅ η− = 1
(LC12)
Beim Entwurf von Bandpässen ist zu unterscheiden:
- Die gegebenen Randfrequenzen f-d und f+d des Durchlassbereiches (Mindestechodämpfung
R.L.) werden exakt eingehalten, und die Betriebsdämpfung as bei den Randfrequenzen f-s
und f+s der Sperrbereiche ist grösser als gefordert.
ZHAW, ASV, FS2008, 6-28
- Die verlangte Betriebsdämpfung as bei den Randfrequenzen f-s und f+s der Sperrbereiche
wird exakt erreicht, während der Durchlassbereich frequenzmässig grösser als gefordert ist
(wird nicht weiter behandelt).
Fig. 7-23: Dämpfungsverhalten des Bandpasses
Entwurf mit genauer Einhaltung der Grenzfrequenz f-d und f+d des Durchlassbereichs
Die Bezugsfrequenz fB ist das geometrische Mittel aus den Randfrequenzen f-d und f+d des
Durchlassbereich:
f B = f −d ⋅ f +d
bzw. auf fB normiert
η +d ⋅ η −d = 1
(LC13)
Da diese Randfrequenz der normierten Frequenz Ω = 1 des fiktiven Tiefpasses entspricht,
erhält man aus (LC10) und (LC13) die Transformationskonstante Β zu:
Β=
f +d − f −d
= η + d − η −d
fB
(LC14)
Um den zur Erfüllung der Sperrforderungen nötigen Tiefpassgrad n aus der Tabelle
festzustellen, wird Gleichung (LC10) auf die Sperrfrequenz f-s und f+s angewendet:
Ω ±s =
1
1
⋅ η ±s −
Β
η ±s
(LC15)
Bei diesen normierten Tiefpass-Frequenzen soll also die Betriebsdämpfung ab mindestens
auf den gewünschten Wert as angestiegen sein. Von den in den Tabellen angegebenen
Tiefpässen, die im Durchlassbereich die geforderte Mindestechodämpfung R.L. besitzen, ist
nun derjenige vom Grad n auszuwählen, dessen normierte Tiefpassfrequenz Ωs beim
geforderten Sperrdämpfungswert as kleiner oder gleich dem kleineren der beiden Werte Ω-s,
Ω+s ist. Die an den Sperrkanten f-s bzw. f+s erreichten Betriebsdämpfungswerte sind dann
grösser als verlangt, bzw. entsprechen genau der Forderung, und können unmittelbar der
betreffenden Dämpfungstabelle für Ω = Ω-s bzw. Ω = Ω+s entnommen werden.
Stehen keine ausführlichen Tabellen zur Verfügung, so kann die Ordnung auch mit den
Butterworth- bzw Chebishev- Formeln für T in Abschnitt 7.2.3 ermittelt werden.
ZHAW, ASV, FS2008, 6-29
Schaltelemente
Die Schaltung des Bandpasses und die Elementwerte ergeben sich aus dem normierten
Tiefpass (Index: BP: Bandpass) wie in Fig. 7-24 gezeigt:
Fig. 7-24: Schaltelemente des Bandpasses
Aus den Schaltelementen des Tiefpasses entstehen durch die Transformation
Schwingkreise, deren Resonanzfrequenz ηRes gleich der Bezugsfrequenz η = 1 ist.
Als Beispiel wird die Schaltung eines 5-kreisigen Bandpasses angegeben (Fig. 7-25).
Fig. 7-25: Beispiel für die Transformation eines Bandpasses aus dem Tiefpass
Die Schaltelemente werden nach 7.3.2 entnormiert.
7.3.12 Bandsperre
Der Dämpfungsverlauf einer Bandsperre geht aus Fig. 7-26 hervor. Man beachte, dass die
normierte Bandbreite mit dem griechischen Β bezeichnet wird. Mit der Beziehung:
Ω=
B
(LC16)
1
η−
η
erhält man aus dem Tiefpass ein Filter mit Bandsperrverhalten. Die Umkehrung ergibt für die
beiden Bandsperrfrequenzen:
2
B
 B
n± = 1 + 
 ±
 2Ω 
2Ω
Daraus folgt:
(LC17)
η+ ⋅ η− = 1
(LC18)
ZHAW, ASV, FS2008, 6-30
Fig. 7-26: Dämpfungsverhalten der Bandsperre
Da der Entwurf von Bandsperren ähnlich verläuft wie derjenige von Bandpässen (siehe
7.7.2), sind nachstehend nur kurz die Berechnungsformeln zusammengefasst; zu
unterscheiden sind wieder zwei Fälle.
Entwurf mit genauer Einhaltung der Grenzfrequenz f-d und f+d der Durchlassbereiche
Bezugsfrequenz
f B = f −d ⋅ f +d ;
bzw.
η−d ⋅ n +d = 1
(LC19)
Normierte Tiefpass-Sperrfrequenz
Ω ±s =
η+d − η−d
η ±s
1
−
η±s
(LC20)
Der Tiefpass wird so gewählt, dass der für die gewünschte Sperrdämpfung as abgelesene
Tabellenwert Ω s ≤ Ω ± s wird.
Transformationskonstante Β :
B=
f + d − f −d
= η + d − η −d
fB
(LC21)
Die Betriebsdämpfung an den Sperrgrenzen f-s und f+s wird dann ≥ as.
Schaltelemente
Die Schaltung der Bandsperre und die Elementwerte ergeben sich aus der Struktur und den
Schaltelementen des normierten Tiefpasses (Index: BS: Bandsperre) nach Fig. 7-27.
ZHAW, ASV, FS2008, 6-31
Fig. 7-27: Schaltelemente der Bandsperre
Die Schaltung der aus dem Tiefpass transformierten Bandsperre besteht aus
Schwingkreisen, deren Resonanzfrequenzen gleich der Bezugsfrequenz sind. Als Beispiel
(Fig. 7-28) wird die Schaltung einer fünfkreisigen Bandsperre angegeben.
Fig. 7-28: Beispiel für die Transformation einer Bandsperre aus dem Tiefpass
Die Schaltelemente werden nach 7.3.2 entnormiert.
7.3.13 Anwendungsbeispiele
Die anschliessenden Rechenbeispiele sollen die Anwendung des Tabellenbuches deutlich
machen. Entwurf und Berechnung eines Tiefpasses, eines Hochpasses und eines
Bandpasses erfolgen nach den angegebenen Formeln und Transformationen.
Berechnungsbeispiele eines Tiefpasses
Es soll ein Tiefpass entworfen werden, dessen Echodämpfung bis f = 2.5 MHz den Wert
R.L. = 26 dB nicht unterschreitet und dessen Sperrdämpfung bei fs = 5.25 MHz mindestens
as = 26 dB betragen soll. Die Abschlusswiderstände betragen R1 = R2 = 75Ω
Lösung
Bezugsfrequenz: fB = fd = 2.5 MHz
ZHAW, ASV, FS2008, 6-32
Damit wird die normierte Sperrgrenze Ωs = fs/fd = 5.25/2.5 = 2.1
Nun ist unter den Tiefpässen mit R.L. = 26 dB derjenige auszusuchen, dessen
Sperrdämpfung bei 2.1 ≥ Ωs auf as = 26 dB angestiegen ist. Während der Tiefpass vom
Grad n = 4 erst bei Ωs = 2.7485 die gewünschte Sperrdämpfung erreicht, ist für n = 5 bereits
bei Ωs = 2.0324 die Dämpfung auf 26 dB angestiegen; d.h. der Sperrbereich beginnt schon
bei f = 2.0324 · fd = 5.081 MHz. Bei f = 5.25 MHz wird der Dämpfungswert as = 27.61 dB
erreicht, wie sich durch eine lineare Interpolation für Ωs = 2.1 ergibt. Die Betriebsdämpfung
im Durchlassbereich erreicht maximal abmax = 0.011 dB. Die bei f = 5.25 MHz zu erwartende
Sperrdämpfung ist
as = 27.6 dB.
Zur Realisierung werden die Tiefpasskoeffizienten dem Tabellenbuch entnommen:
a1 = a5 = 0.767000 = c1 = c5
a2 = a4 = 1.310629 = l2 = l4
a3
= 1.589077 = c3
r1 = r2 = 1
Die Entnormierung liefert.:
RB = R1 = R2 = 75Ω
fB = 2.5 MHz
LB = 4.77465 µH
CB = 848.826 pF
Schaltelemente
C1 = C5 = 651.05 pF
L2 = L4 = 6.2578 µH
C3 = 1348.8 pF
Berechnungsbeispiel eines Hochpasses
Gesucht sind die Schaltelemente eines Hochpasses, der für f ≥ 1 MHz einen
Reflexionsfaktor 10% ≥ r und für 435 kHz ≥ f eine Sperrdämpfung as ≥ 60 dB haben soll. Der
Quellenwiderstand sei 150 Ω.
Lösung
Bezugsfrequenz fB = fd = 1 MHz
Normierte Sperrfrequenz ηs = fs/fB = 0.435
Entsprechend der Hochpass-Transformation (LC8) wird daraus die normierte TiefpassFrequenz Ωs = 1/ηs = 2.2988
Unter Tiefpässen mit R.L. = 20 dB (aus r = 10%) erweist sich derjenige von Grad 7 als
ausreichend zur Erfüllung der Dämpfungsforderung (as = 60 dB, Ωs = 2.1778).
Die bei f = 1 MHz zu erwartende Dämpfung ab ist unter Vernachlässigung der
Spulenverluste:
ab = 0.044 dB
Durch Interpolation erhält man für fs = 435 kHz den Dämpfungswert ab = 63.5 dB.
Nachstehend sind die normierten und entnormierten Schalelemente angegeben:
fB = 1 MHz
LB = 23.8732 µH
CB = 1061.03 pF
RB = R1 = 150 Ω
ZHAW, ASV, FS2008, 6-33
Schaltelemente:
c1 = c7 = 1/a1 = 0.990365
c3 = c5 = 1/a3 = 0.515089
C1 = C7 = 1056 pF
C3 = C5 = 550 pF
l2 = l6 = 1/a2 = 0.695981
l4 = 1/a4 = 0.616678
L2 = L6 = 16.62 µH
L4 = 14.72 µH
Berechnungsbeispiel eines Bandpasses
Ein Bandpass soll im Durchlassbereich von f-d = 776 kHz bis f+d = 818 kHz eine
Echodämpfung von mindestens R.L. = 26 dB besitzen. Bei den Randfrequenzen der
gewünschten Sperrbereiche f-s = 730 kHz und f+s = 870 kHz soll die Betriebsdämpfung Werte
von as ≥ 48 dB erreichen.
Abschlusswiderstände Quelle und Last :R1 = R2 = 150 Ω
Gesucht sind Schaltelemente.
Lösung
Man wählt die Bezugsfrequenz nach (LC13), um an den Filterkanten gleiche
Dämpfungswerte zu erhalten.
f B = f − d ⋅ f + d = 796.7 kHz
Zur Bestimmung des erforderlichen Grades werden nach (LC15) die Werte Ω-s = 3.32 und
Ω+s = 3.34 bestimmt. Vergleicht man nun die normierten Frequenzen der Tiefpässe mit
R.L. = 26 dB für as = 48 dB, so erkennt man, dass Grad 5 zur Erfüllung der Forderungen mit
Ωs = 3.23 < Ω±s (as = 48 dB) ausreicht.
Die Transformationskonstante Β aus (LC14) berechnet sich zu:
Β = 0.05272
Die Schaltelemente werden für Schaltung Fig.7-19d nach Fig. 7-24 berechnet. TiefpassKoeffizienten:
a1 = a5 = 0.767000
a2 = a4 = 1.310629
a3 = 1.589077
Mit fB = 796.7 kHz und RB = 150 Ω ergeben sich nach 7.3.2 die Bezugswerte für Induktivität
und Kapazität und die Schaltelemente:
LB = 29.9 µH
CB = 1.33 nF
C1 = C5 = 19.4 nF
C2 = C4 = 53.5 pF
C3 = 40.1 nF
L1 = L5 = 2.06 µH
L2 = L4 = 0.743 mH
L3 = 0.992µH
ZHAW, ASV, FS2008, 6-34
7.4 Literaturhinweise
Analoge Schaltungen , Manfred Seifart, ISBN 10: 3-3410-1298-2, Verlag Technik, 6. Aufl.
2003
Halbleiter Schaltungstechnik (mit Nachrichtentechnik), U. Tietze, Ch. Schenk, ISBN 10:
3540428496, Springer Verlag 2002
Weiterführende Literatur Filtertheorie: z.B. A.I. Zverev, Handbook of Filter Synthesis,
Wiley 1967; W. Rupprecht, Netzwerksynthese, Springer 1972.
Tabellenbuch Tiefpässe, Pfitzenmaier, G., Siemens AG (Hrsg.). Siemens AG, Berlin, 1972.
HF-Filter Design, Randall Rhea, ISBN 0-07-052055-0, McGraw-Hill Verlag, 1995
Active Filter Cookbook, Don Lancaster, ISBN 0-7506-2986-X, Elsevier, reprint 2007
Aktive Filter in RC und SC-Technik, L. von Wangenheim, ISBN- 3-7785-1894-1, Hüthig,
1991
Electronic Filter Analysis and Synthesis, (LC und RC Filter), M. G. Ellis, ISBN 0-89006616-7, Artech House 1994
ZHAW, ASV, FS2008, 6-35
Anhang 1: Filtertabellen: Teil Aktive RC Filter
Butterworth Tabelle: Koeffizienten ω0i/ω0 und ξi für Ordnung N = 1 bis N =10
Butterworth
Bessel
ZHAW, ASV, FS2008, 6-36
Tschebyscheff (1.Art) Tabelle: Koeffizienten ω0i/ω0 und ξi für Ordnung N = 1 bis N =10 und
Welligkeit von 0.5 dB, 1 dB, 2 dB, 3 dB
0.5 dB
1 dB
ZHAW, ASV, FS2008, 6-37
2 dB
3 dB
ZHAW, ASV, FS2008, 6-38
Anhang 1: Teil Passive LC Filter
Für Butterworth gilt: g (i ) = 2 sin
(2i − 1))π
2N
, gerade wie ungerade Ordnung haben dieselbe
Ein- und Ausgangsimpedanz (ohne Transformator)
ZHAW, ASV, FS2008, 6-39
ZHAW, ASV, FS2008, 6-40
Pfitzenmaier Auswahl 1
ZHAW, ASV, FS2008, 6-41
Pfitzenmaier Auswahl 2
ZHAW, ASV, FS2008, 6-42
Anhang 2: Merkblatt Frequenztransformationen
Für das Design von Tiefpässen sind Formelsätze bekannt, die es erlauben die
Spezifikationen im Durchlassbereich fp, Ap und die Spezifikationen im Sperrbereich fs, As
umzusetzen in Filterordnung N und die Parameter der Übertragungsfunktion in Normalform
ωoi, ξi.
Für das Design von Hochpass, Bandpass und Bandstopp Filter werden Frequenztransformationen eingesetzt, welche die Anforderungen auf einen sogenannten
äquivalenten Tiefpass umsetzen.
Dabei werden die im Originalfrequenzbereich ω formulierten Anforderungen an das Filter
mittels einer geeigneten Rechenvorschrift P-1 zunächst in ein äquivalentes TiefpassToleranzschema mit der Variablen ν überführt (s = jν bzw. jω).
Auf dieser Grundlage wird dann eine Approximation gewählt und die Parameter des
äquivalenten Tiefpasses berechnet (Formeln und Tabellen). Über die Rücktransformation P1
wird die gesuchte Übertragungsfunktion ωoi, ξi erhalten.
Fig. A2-1: Filterentwurf von HP, BP, BS
Hochpass:
ω 2o
sHP =
sTP
(42)
Bandpass:
sTP
s2TP
s ′ BP , s′ ′ BP =
± j ωo 1 2
4 ⋅ ω 2o
......
B4
-4 ⋅ ω 2o
s2TP
4
.......
sTP = sBP +
ω 2o
sBP
(43)
Bandstop:
B2
s ′ BS , s′ ′ BS =
±
2 sTP
sTP =
sBS ⋅ B2
s2BS + ω 2o
(44)
ZHAW, ASV, FS2008, 6-43
Anhang 3: Merkblatt Filtertabelle
Verschiedene Tabellenwerke benutzen verschiedene Definitionen. In diesem Skript ist die
Filtertabelle wie folgt definiert:
1)
Der 3 dB Punkt (ω0) bezieht sich auf den Wert der mathematischen Übertragungsfunktion T(jω)
bei DC (Formel 16). Für Chebishev ist demzufolge für gerade Ordnung A(ω0) = Amax + 3 dB und
für ungerade Ordnung A(ω0) = 3 dB.
Fig. A3-1
2)
Die mit der Tabelle erhaltenen Übertragungsfunktionen T(s) weisen alle den Wert 1 bei DC auf
(Formel 18). Dies ist in Fig.A3-2 dargestellt am Beispiel Butterworth und Chebishev N=4, N=5
Fig. A3-2:
ZHAW, ASV, FS2008, 6-44
Anhang 4: Vergleich der Filterapproximationen
ZHAW, ASV, FS2008, 6-45