Beispiel 3.5 • Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a

Beispiel 3.5
• Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d
mit an = n2 und dn = 2n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton
wachsend.
• Die Folge b mit bn =
1
n
ist streng monoton fallend.
• Die Folge c mit cn = (−1)n ist weder monoton wachsend noch monoton
fallend. Sie ist alternierend.
• Die Folge x mit xn = (1 + n1 )n ist streng monoton wachsend. Das wird zumindest durch den Graphen angedeutet und es lässt sich auch nachrechnen.
• Außerdem ist auch die Folge der Kapitalmengen in Beispiel 3.3 bei konstanter jährlicher Verzinsung streng monoton wachsend. Das sollte natürlich
auch so sein!
Für die besonders wichtigen geometrischen Folgen ist das Monotonieverhalten wie
folgt:
143
Sei a0 > 0. Die geometrische Folge a mit an =
a0q n ist streng monoton wachsend, wenn q > 1 ist,
streng monoton fallend, wenn q ∈ (0, 1) ist, und
konstant, wenn q = 0 oder q = 1 ist. Für q < 0
ist die geometrische Folge an = a0q n alternierend.
Sei a0 < 0. Die geometrische Folge a mit an =
a0q n ist streng monoton fallend, wenn q > 1 ist,
streng monoton wachsend, wenn q ∈ (0, 1) ist, und
konstant, wenn q = 0 oder q = 1 ist. Für q < 0
ist die geometrische Folge an = a0q n alternierend.
Beispiel 3.6
• Die Folge an = 5
Folgenglieder sind
1 n
2
ist streng monoton fallend. Die ersten
5
5
5
5
5
a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , . . . , a10 =
.
2
4
8
16
1024
n
• Für an = 5 − 21 erhalten wir
5
5
5
5
5
a1 = − , a2 = , a3 = − , a4 = , a5 = − . . . .
2
4
8
16
32
144
Die Folge ist alternierend. Wir halten fest, dass die Folge (|an|) der Beträge
von an monoton fallend ist.
Eine Folge (an)n∈N heißt beschränkt, falls es eine Konstante M ∈ R gibt, so dass
|an| ≤ M
für alle n ∈ N,
d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall
[−M, M ].
Beispiel 3.7
• Die Folgen a und d mit an = n2 und dn = 2n sowie die
Fibonacci-Folge aus Beispiel 3.1 sind nicht beschränkt.
1
1
• Die Folge b mit bn = n ist beschränkt, denn n < 1 für alle n ∈ N.
• Die Folge c mit cn = (−1)n ist beschränkt: |(−1)n| = 1 für alle n ∈ N.
• Die Kapitalzuwachsfolge aus Beispiel 3.3 ist unbeschränkt. Wenn man nur
lange genug wartet, wird das Kapital beliebig groß.
• Eine geometrische Folge a mit an = a0q n ist unbeschränkt, wenn |q| > 1
ist und beschränkt, wenn q ∈ [−1, 1] ist.
145
Zur Beschreibung des Verhaltens einer Folge bei wachsendem Index wird der Begriff Konvergenz eingeführt. Zunächst einige anschauliche Beispiele von Konvergenz.
Beispiel 3.8
• Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.1, 3.1.4 und 3.1.7 werden
für wachsende n immer größer. Anders gesagt: “sie gehen nach +∞”.
• Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.2 kommen für wachsende n immer näher
an die x-Achse, anders: “die Werte kommen der Null immer näher”.
• In der Folge aus Beispiel 3.1.3 wechseln sich die Werte 1 und −1 ab. Die
Folge kommt weder dem Wert 1 noch dem Wert −1 beliebig nahe, weil
immer wieder der jeweils andere Wert angenommen wird.
• Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.5 wechseln sich mit dem Vorzeichen ab,
aber wie in Beispiel 2 kommen die Werte der Null, also der x-Achse, immer
näher.
• Der Graph der Folge aus Beispiel 3.1.6 deutet an, dass die Folgenglieder zwar
stets anwachsen, aber nicht beliebig groß werden, sondern sich einem Wert
nähern. Was ist der genaue Wert? Diesen Wert nennen wir den Grenzwert
der Folge:
146
Grenzwert (Limes) von Folgen
Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes
einer Folge (an)n∈N, wenn es zu jedem vorgegebenen ǫ > 0 einen von ǫ abhängigen Index n(ǫ) ∈ N
gibt, so dass
|an − a| ≤ ǫ für alle n ≥ n(ǫ).
Eine Folge (an)n∈N heißt konvergent wenn sie
einen Grenzwert a ∈ R besitzt. In diesem Fall
schreiben wir:
lim an = a
n→∞
an → a für n → ∞.
oder
Sprechweise: Limes n gegen unendlich von an ist gleich a, oder: an konvergiert
gegen a für n gegen unendlich. Ist der Grenzwert a = 0, so heißt die Folge
eine Nullfolge. Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent. Man
sagt auch die Folge divergiert. Wir können auch noch verschiedene Arten der
Divergenz unterscheiden. Die Folge an = n verhält sich sicherlich anders als die
Folge (−1)n · n oder (−1)n.
147
Eine Folge (an)n∈N heißt bestimmt divergent
nach ∞, falls es zu jedem M ein n0 so gibt, dass
an ≥ M
für alle n ≥ n0,
gilt, d.h. die Folgenglieder werden beliebig groß.
Entsprechend wird bestimmte Divergenz nach
−∞ erklärt.
Schreibweise: lim an = ∞, bzw. lim an =
n→∞
n→∞
−∞.
Achtung: Wir sagen nicht, dass die Folge gegen ∞ konvergiert. Wenn wir von
Konvergenz sprechen, meinen wir stets Konvergenz gegen eine reelle Zahl, nie
gegen ±∞!
Man kann sich die Konvergenz gegen a auch folgendermaßen klar machen:
148
Eine Folge (an)n∈N konvergiert gegen ein a ∈ R
genau dann, wenn für alle ǫ > 0 nur endlich viele
Folgenglieder nicht im Intervall [a−ǫ, a+ǫ] liegen;
ein solches Intervall heißt auch eine ǫ-Umgebung
von a.
Alternative Sprechweise: fast alle Folgenglieder
(d.h. mit Ausnahme von höchstens endlich vielen)
liegen im Intervall [a − ǫ, a + ǫ]. Insbesondere gibt
es also nur einen Grenzwert für eine konvergierende Folge.
Beispiel 3.9
• Die Folge a mit an = n2 aus Beispiel 3.1.1 ist divergent
(bestimmte Divergenz nach ∞).
• Die Folge b mit bn =
1
n
ist eine Nullfolge.
• Die Folge c mit cn = (−1)n ist divergent.
• Die Folge d mit dn = 2n ist bestimmt divergent nach ∞.
1 n
• Die Folge y mit yn = − 3 ist eine Nullfolge.
149
• Die Folge x mit xn = (1 + n1 )n ist konvergent, ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e, also
e := lim 1 +
n→∞
1 n
≈ 2.7182818
n
Wir gehen darauf später noch genauer ein.
• Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent gegen ∞.
Aus der Definition der Konvergenz folgt sofort
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Wir wollen im nächsten Beispiel das Konvergenzverhalten der arithmetischen und
n
zusammenfassen.
geometrischen Folgen sowie der Folgen n1 und (−1)
n
150
Beispiel 3.10
1
n
an a + nd aq n (a > 0)
monoton steigend d ≥ 0
q≥1
streng monoton steigend d > 0
monoton fallend d ≤ 0
nein nein
q>1
0≤q≤1
nein nein
ja nein
streng monoton fallend d < 0 0 < q < 1
beschränkt d = 0 −1 ≤ q ≤ 1
konvergent d = 0 −1 < q < 1 q = 1
Limes
a
0
(−1)n
n
a
ja
ja
ja
nein
ja
ja
0
0
Wir geben jeweils an, für welche Werte von a, d, q die Folgen die entsprechende
Eigenschaft haben.
Ein sehr wichtiges Konvergenzkriterium ist das folgende:
Jede beschränkte und monotone Folge (an)n∈N
konvergiert, d.h. es gibt ein a ∈ R, so dass
lim an = a.
n→∞
151
Beispiel 3.11 Die Folge
3
(n+1)
ist monoton (fallend) und beschränkt, also kon2
(−1)n
7n
ist nicht monoton (aber bevergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge
schränkt). Diese Folge ist auch konvergent (ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann
also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren. Unbeschränkt kann
eine konvergente Folge aber nicht sein!
Rechenregeln für Grenzwerte
Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergente Folgen mit
lim an = a und lim bn = b. Dann gilt:
n→∞
n→∞
1. (an ± bn)n∈N ist konvergent mit
lim (an ± bn) = a ± b .
n→∞
2. (an · bn)n∈N ist konvergent mit
lim (an · bn) = a · b .
n→∞
152
3. Sei b 6= 0. Dann gibt es ein n0 ∈ N
mitbn 6=
an
0 für alle n ≥ n0, und die Folge
bn n≥n0
ist konvergent mit
an a
= .
n→∞ bn
b
lim
4. Sei λ ∈ R. Dann ist auch die Folge (λan)n∈N
konvergent mit
lim (λan) = λa .
n→∞
Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen
Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgenglieder an definiert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir
dann jeweils die Grenzwerte kennen. Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier
ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium:
153
Ausquetschen Seien (a′n), (a′′n) konvergente Folgen mit
lim a′n = a = lim a′′n .
n→∞
n→∞
Ist (an) eine Folge mit
a′n ≤ an ≤ a′′n
für alle n ,
dann gilt auch
lim an = a .
n→∞
Als Spezialfall erhalten wir für Nullfolgen:
Sei (a′n) eine Nullfolge. Ist (an) eine Folge mit
|an| ≤ a′n
für alle n ,
dann ist auch (an) eine Nullfolge.
154
Beispiel 3.12
(1) Für k ∈ N ist
(2)
1
= 0.
n→∞ nk
lim
3n2 + 1
1
1
lim
=
lim
(3
+
)
=
lim
3
+
lim
= 3.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞ n2
n2
n2
(3) Für a ∈ R mit |a| < 1 ist
lim an = 0.
n→∞
√
√
(4) Sei an = n + 1 − n, n ∈ N.
Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter:
√
n+1−
√
n =
=
und daher ist
√
√ √
√
( n+1− n)( n+1+ n)
√
√
n+1+ n
√n+1−n
√
n+1+ n
=
√
1 √
n+1+ n
√
√
lim ( n + 1 − n) = 0.
n→∞
155