Ubungsaufgaben: s. homepage Dr. Vanselow (pdf!)

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Vertretung Prof. Großmann
11. Funktionenreihen
11.1. Grundkonzept/Ziel:
Die Darstellung einer (gesuchten oder gegebenen) Funktion
f : R → R (auch f : Rn → Rm ) mit bekannten Funktionen fk
ist in Form einer Reihe zu ermitteln, d.h.,
f (x) =
∞
X
ck fk (x)
⇒
Näherung: f (x) ≈
k=0
N
X
!
ck fk (x)
k=0
Beispiele: 1.) Potenzreihen (Taylor-∼); 2.) Fourierreihen
1) fk (x) = xk ;
2)
fk (x) = sin(kx);
gk (x) = cos(kx)
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0. Zahlen- und Potenzreihen (Wdhlg.)
∞
Gegeben: ZF {an }n=0 , ⇒ n-te Partialsumme: sn :=
n
X
ak .
k=0
∞
Damit ist {sn }n=0 eine (Zahlen-)Folge ⇒
X
Definition: Eine Reihe
ak heißt konvergent, wenn die
zugehörige Folge der Partialsummen konvergiert.
Schreibweise:
∞
X
k=0
ak := lim sn
n→∞
(= lim
n→∞
n
X
ak )
k=0
Aufgabenstellungen: 1.) Berechnung der Reihensumme
2.) Nachweis der Konvergenz (!!)
(Achilles’ Schildkrötenparadoxon: Die Summe unendlich vieler
positiver Größen kann einen endlichen Wert besitzen(!))
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Beispiele für Konvergenz/Divergenz
Beispiel 1: Die harmonische Reihe ist divergent (bei naiver“
”
Summation auf Rechnern: scheinbar endliche Reihensumme):
Hn :=
n
X
k=1
k −1 ⇒ lim Hn = ∞,
n→∞
Genauer: Hn ∼ γ + ln n
Hn
(γ = 0.577.. - Euler-Mascheroni-Konstante ⇒ lim ln
n = 1)
aber: Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent:
n
X
(−1)k+1 k −1 = ln 2
(Taylorentw. für ln(1 + x), x = 1)
k=1
Beispiel 2: Die geometrische Reihe (divergent für |q| ≥ 1)
sn =
n
X
k=0
∞
n+1
X
1
1
−
q
(q =
6 1) ⇒
qk =
(|q| < 1).
qk =
1−q
1−q
k=0
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Kriterien zur Konvergenzuntersuchung I
Notwendiges Konvergenzkriterium: Falls
so gilt lim ak = 0 für k → ∞.
P∞
k=0
ak konvergiert,
Vergleichskriterien: Seien 0 ≤ ak ≤ bk gegeben. Dann gilt:
1.) Konvergiert
∞
X
bk , so konvergiert auch
2.) Divergiert
ak .
k=0
k=0
∞
X
∞
X
ak , so divergiert auch
k=0
∞
X
bk .
k=0
(Konvergente Majorante und Divergente Minorante)
∞
∞
X
X
ak
3.) Falls lim
= c > 0, dann
bk konv. ⇔
ak konv.
k→∞ bk
k=0
k=0
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Kriterien zur Konvergenzuntersuchung II
Wurzel- und Quotientenkriterium: Wir betrachten den GW
p
|ak+1 |
a) g = lim |ak | und b) w = lim k |ak | (jeweils k → ∞).
A) Falls g < 1 (g > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe.
B) Falls w < 1 (w > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe.
∞
Leibnizkriterium: Es sei {an }n=0 eine monotone Nullfolge. Dann
P∞
konvergiert die Reihe k=0 (−1)k ak .
Integralkriterium: Es sei ak = f (k) mit einer monoton fallenden
Funktion f : R+ → R+ . Dann gilt
Z ∞
∞
X
f (x) dx konv. (uneigentl. Integral).
ak konv. ⇔
k=0
1
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Die harmonische“ Brücke zum Mond
”
(Eine (kleine) Weihnachtsgeschichte)
Bau aus Ziegelsteinen. Forderung: Der Gesamtschwerpunkt der
Brücke befindet sich über dem Basisstein“.
”
Konstruktionsidee“ (n Steine gegeben): Inverse“
”
” −1
Anordnung(!), d.h.: 2-ter Stein: Überhang =(2n) , 3-ter Stein:
ÜH=(2[n − 1])−1 , .. j-ter Stein: ÜH=(2[n + 2 − j])−1 , .. (n − 1)-ter
Stein: ÜH=1/6, n-ter Stein: ÜH=1/4.
Erreichbarer Gesamtüberhang (= Brückenlänge)
n
X
1
1
Ug (n) =
= [Hn −1] ⇒ lim Ug (n) = ∞ (da lim Hn = ∞).
n→∞
n→∞
2j
2
j=2
Schwerpunkt: Sn = 1 −
Hn
< 1, ∀n (lim Sn = 1).
2n
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Absolute und bedingte Konvergenz
Definition: Eine Reihe
X
ak heißt absolut konvergent, wenn auch
X
die Reihe der Beträge konvergiert:
|ak | < ∞. Anderenfalls heißt
die Reihe bedingt konvergent.
Bedingt konvergente Reihen haben ein sehr exotisches Verhalten“,
”
z.B.: Für jede bedingt konvergente Reihen existiert eine
Umordnung, die einen beliebigen Wert x ∈ R ∪ ±∞ als
Reihensumme besitzt.
Bemerkung: Additivität und Homogenität gilt generell bei
konvergenten Reihen, d.h.:
X
X
X
X
X
|
ak | < ∞, |
bk | < ∞ ⇒
ak +
bk =
[ak + bk ]
aber: z.B. Multiplikation ist nur bei absolut konvergenten Reihen
(sinnvoll) möglich.
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Potenzreihen, Konvergenzradius
Satz: Für eine Potenzreihe
h
ρ := lim sup
X
p
k
ak xk setzen wir
i−1
|ak |
,
ρ ∈ R+ ∪ {∞}.
Dann ist die Potenzreihe für |x| < ρ absolut konvergent und für
|x| > ρ divergent. Für |x| < ρ kann die Reihe gliedweise
differenziert und integriert werden
!0
∞
∞
X
X
ak xk =
kak xk−1
k=0
Z
∞
X
k=0
k=1
!
ak xk
∞
X
ak k
dx = c +
x
k+1
k=0
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Taylorreihen als Potenzreihen
Falls f ∈ C ∞ [x0 − a, x0 + a] (unendlich oft stetig diffbar), dann
kann das Taylorpolynom für beliebiges n ∈ N aufgestellt werden
f (x)
=
⇒ f (x) ≈
n
X
f (k) (x0 )
k=0
∞
X
k=0
k!
(x − x0 )k + Rn (x, x0 )
f (k) (x0 )
(x − x0 )k (??)
k!
In vielen praktisch relevanten“ Fällen ja, aber
”
• Problem 1: Konvergenzradius ρ = 0 ist möglich.
∞
X
f (k) (x0 )
• Problem 2: f (x) 6=
(x − x0 )k , ∀x 6= x0 ist möglich.
k!
k=0