Mathematik 2 - für Wirtschaftsinformatik

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Mathematik 2
für Wirtschaftsinformatik
Sommersemester 2012
Termine für Übungen: Donnerstag 11:40 Im Raum W3.02 und W3.17,
(Frau Becker, Frau Wegert und Frau Dr. Zerbe)
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Konvergenzkriterien für Reihen
Gegeben: ai Folge,
sn =
n
X
ai
i=1
Divergenzkriterium
Ist sn konvergent
⇒
ai ist Nullfolge
1. Folgen und Reihen
Also äquivalent dazu:
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
⇒
ai ist keine Nullfolge
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
sn divergent
1.3. Reihen
Quotientenkriterium
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
ak+1 <1
lim k→∞
ak ak+1 >1
lim k→∞
ak ⇒
4. Differenzieren 1
sn konvergent
5. Differenzieren 2
⇒
6. Integration
sn divergent
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
a
Bemerkung: Für lim k+1
= 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich
a
9. Kursrechnung
Spezialfall geometrische Reihe:
11. Lineare
Programme
k→∞
⇒
ak+1
=q
ak
⇒
k
ak+1 =q
lim k→∞
a
k
⇒
q<1
q≥1
⇒
⇒
10. Lineare Algebra
sn konvergent
sn divergent
17
ak+1 lim ak k→∞ Mathematik 2: Gliederung
1
Folgen und Reihen
2
Komplexe Zahlen
3
Reelle Funktionen
4
Differenzieren 1
5
Differenzieren 2
6
Integration
7
Zinsen
8
Renten und Tilgung
9
Kursrechnung
10
Lineare Algebra
11
Lineare Programme
2
Komplexe Zahlen
Von natürlichen zu komplexen Zahlen
Elementare Algebra
Warum komplexe Zahlen – Historischer
Abriss
Geometrie
Anwendungen
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Die reellen Zahlen
Natürliche Zahlen: N = {1,2,3, . . .}
damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form x + n = m, mit
n, m ∈ N
Ganze Zahlen: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form ax = b, mit
a, b ∈ Z und a 6= 0
Rationale Zahlen: Q = m
; m ∈ Z, n 6= 0
n
damit (unter anderem) nicht lösbar: Gleichung der Form
x2
= a mit a ≥ 0
Reelle Zahlen: R enthält Q und zusätzlich die irrationalen Zahlen, also
sämtliche endliche und unendliche Dezimalbrüche
Graphische Repräsentation über Zahlenstrahl:
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Historie komplexer Zahlen
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
Beispiele von Zahlen aus R:
11. Lineare
Programme
1/8 = 0,125 endliche Dezimalzahl, rational
1/3 = 0,33333 . . . unendliche, periodische Dezimalzahl; rational
√
2 = 1,414213 . . . unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl; irrational
19
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Erweiterung der reellen Zahlen
In den reellen Zahlen u.a. nicht uneinschränkt
lösbar:
Zahlenturm
x2 = −1
√
Formale√Lösungen: x1 = −1 und
x2 = − −1 mit x1 , x2 ∈
/R
R
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Deswegen: Neues Symbol
die imaginäre Einheit
Eigenschaften:
i2
i ,
= −1 bzw. i =
Geometrie
√
−1
Q
Anwendungen
4. Differenzieren 1
Mit a, b ∈ R heißt
komplexe Zahl.
z = a + ib
5. Differenzieren 2
Z
Bezeichnungen für a, b:
6. Integration
7. Zinsen
Realteil von z
Imaginärteil von z
Re(z) := a
Im(z) := b
Menge der komplexen Zahlen:
C := {a + ib;
9. Kursrechnung
N
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
a, b ∈ R}
20
Elementare Verknüpfungen komplexer Zahlen
Gegeben: z1 = a + ib;
Mathematik 2
Stefan Etschberger
z2 = c + id
Addition
Multiplikation
Konjugiert komplexe Zahlen
Division (nur für z2 6= 0):
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
21
Eigenschaften
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Gegeben: Komplexe Zahl z = a + ib
Gesucht: Betrag, Realteil, Imaginärteil
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
22
Multiplikative Inversion
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Gegeben: z = a + ib und z 6= 0
Gesucht: z−1 mit z · z−1 = 1 (multiplikatives Inverses)
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
23
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Ursprünge der komplexen Zahlen
Cardanos Ars Magna (erschienen 1545):
Allgemeine Lösung kubischer
Gleichungen
Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe
Zahlen
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
Girolamo Cardano (1501 – 1576)
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
24
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Ursprünge der komplexen Zahlen
Cardanos Ars Magna (erschienen 1545):
Allgemeine Lösung kubischer
Gleichungen
Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe
Zahlen
Cardano selbst über seine Entdeckung:
„ So raffiniert wie nutzlos! “
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Bombellis L’Algebra (1572): Erstes
Rechnen mit komplexen Zahlen
Geometrie
Anwendungen
Girolamo Cardano (1501 – 1576)
Berechnung von kubischen
Gleichungen mit nur einer reellen
Lösung
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
Dazu nötig: Elementare Operationen
mit komplexen Zahlen: Addition,
Multiplikation
Trotzdem: Bombelli über komplexe
Zahlen: „ Die ganze Sache scheint eher
der Sophisterei als der Wahrheit zu
dienen! “
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
Auszug aus L’Algebra (erschienen 1572)
von Rafael Bombelli (1526 – 1572)
24
Bombellis wilder Gedanke
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Kubische Gleichung aus
L’Algebra:
x3 = 15x + 4
Bombellis einzige reelle Lösung
mit Lösungsformel:
√
√
x = 3 2 + 11i + 3 2 − 11i
Bombelli sieht: x muss gleich 4
sein.
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
25
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Dornröschenschlaf der komplexen Zahlen
Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts:
Keine befriedigende Antwort auf die
Frage:
„ Was ist eine komplexe Zahl? “
Leibniz (1702) über die imaginäre
Einheit i:
„ Dieses Amphib zwischen Existenz und
Nicht-Existenz! “
Noch 1770 verbreitet Euler die
Auffassung, dass
√
√ √
−2 −3 = 6
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646 – 1716)
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
und veröffentlicht:
„ ... so ist klar, dass Quadrat-Wurzeln von
9. Kursrechnung
Negativ-Zahlen nicht unter die möglichen Zahlen
10. Lineare Algebra
können gerechnet werden ... und gemeiniglich
11. Lineare
Programme
Imaginäre Zahlen, oder eingebildete Zahlen
genennt werden, weil sie blos in der Einbildung
statt finden “
Leonard Euler
(1707 – 1783)
26
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Der Durchbruch: Geometrische Interpretation
1787
Caspar Wessel
(1745 – 1818)
2. Komplexe Zahlen
1806
Jean-Robert Argand
(1768 – 1822)
(Bild: Bruder Johan Herman)
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
1831
Geometrische Interpretation
komplexer Zahlen
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
Carl Friedrich Gauß
(1777 – 1855)
27
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Komplexe Zahlenebene
Idee: z = a + ib als Punkt im kartesischen xy-Koordinatensystem
mit den Koordinaten (a, b)
Alternativ: a + ib als Vektor, der (0,0) mit (a, b) verbindet
So betrachtet nennt man die Zeichenebene komplexe Zahlenebene
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Im(z)
Geometrie
a + ib
b
|z|
360◦ − α
α
−α
Anwendungen
4. Differenzieren 1
a
Re(z)
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
|z|
−b
9. Kursrechnung
a − ib
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
Damit: Punkte der Abszisse z = a + i · 0 stellen relle Zahlen dar
28
Komplexe Zahlenebene
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Beispiele
Gegeben: 4 + 3i, 4, 2 − 2i, −2 − 3i, −7 + i, 3i
Konjugiert Komplexes von 4 + 3i
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
29
Komplexe Zahlenebene: Addition
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Geometrie der komplexen Addition
Gegeben: z1 = 1 + 2i und z2 = 1 + 1i
Gesucht: z1 + z2
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
30
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Polarform komplexer Zahlen
P
ϕ
1
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
Sinus, Kosinus über Reihen:
cos ϕ =
∞
X
(−1)
n
n=0
∞
X
ϕ2n
(2n)!
ϕ2n+1
sin ϕ =
(−1)
(2n
+ 1)!
n=0
n
=1−
ϕ2
ϕ4
ϕ6
+
−
...
2!
4!
6!
ϕ3
ϕ5
ϕ7
=ϕ−
+
−
...
3!
5!
7!
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
iϕ
e
=
∞
X
n=0
11. Lineare
Programme
(iϕ)n
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
ϕ7
= 1 + iϕ −
−i
+
+i
−
−i
n!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
31
Komplexe Zahlenebene: Multiplikation
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Geometrie der Multiplikation
√
Gegeben: z1 = 1 + 3 · i, z2 = 1 + i
Gesucht: z1 · z2
2. Komplexe Zahlen
Einführung
Elementare Algebra
Geometrie
Anwendungen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
32

Mathematik 2 - für Wirtschaftsinformatik

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