Praktikum zur Linearen Algebra: ¨Ubungsblatt 6

Praktikum zur Linearen Algebra: Übungsblatt 6
Prof. P. Bürgisser, SS 2008
Die Aufgaben sind mit MuPAD zu bearbeiten und die MuPAD -Worksheets sind per
E-Mail abzugeben. Die Worksheets sind ausreichend zu dokumentieren.
Aufgabe 1 (6 Punkte) Seien p1 , . . . , pn ∈ R2 die Eckpunkte eines konvexen Polygons.
Schreiben Sie eine Prozedur, welche das Polygon bei Eingabe der Eckpunkte in beliebiger
Reihenfolge plottet. Wenn die Eingabe nicht aus den Eckpunkten eines konvexen Polygons
besteht, so soll eine Fehlermeldung ausgegeben werden. Benutzen Sie nicht die eingebaute
MuPAD -Funktion plot::hull.
Hinweis: Sei der Mittelpunkt m des Polygons definiert als
n
1X
m :=
pi .
n i=1
Die Differenzen pi − m können in Polarkoordinatendarstellung umgewandelt und anhand der Größe ihres Winkels sortiert werden. Dann kann man das Polygon mittels
plot::Polygon2d plotten, ohne sich kreuzende Linien zu erhalten.
Aufgabe 2 (6 Punkte) Seien p1 , . . . , pn ∈ R2 die Eckpunkte eines konvexen Polygons.
Schreiben Sie eine Prozedur, welche bei Eingabe der Eckpunkte numerisch den Flächeninhalt des Polygons berechnet.
Hinweis: Zerlegen Sie das Polygon in disjunkte Dreiecke, welche alle den Mittelpunkt m
des Polygons als einen Eckpunkt haben.
Aufgabe 3 (7 Punkte) Die Folge (fn )n∈N≥1 sei durch die folgende Rekursionsgleichung
gegeben:
f1 = 1, f2 = 2, f3 = 3,
∀n ≥ 4 : fn = fn−1 + 2 · fn−2 − 2 · fn−3 .
a) Implementieren Sie eine Funktion, welche die Folgenglieder rekursiv berechnet und
bestimmen Sie so die ersten 50 Folgenglieder.
b) Finden Sie eine geschlossene Form, welche das n-te Folgenglied berechnet. Gehen
Sie dabei so vor, wie in der Vorlesung für die Fibonacci-Zahlen. Berechnen Sie mit
Hilfe der geschlossenen Form die ersten 50 Folgenglieder.
Abgabe:
Es sind nur Einzelabgaben erlaubt. Die Betreffzeile der E-Mail darf ausschließlich aus
Abgabe Blatt <Blattnummer> <Vorname> <Nachname>
bestehen. In der E-Mail müssen Name, Matrikelnummer und Übungsgruppennummer
angegeben werden. Alle MuPAD -Worksheets sollten als Anhang dieser E-Mail versendet
werden.
Die Teilnehmer der Gruppen P1 und P2 müssen bis Mittwoch 02. Juli 12:00 ihre Abgabe
per E-Mail an [email protected] schicken.
Die Teilnehmer der Gruppen P3 und P4 müssen bis Mittwoch 09. Juli 12:00 ihre Abgabe
per E-Mail an [email protected] schicken.