Praktikum zur Linearen Algebra: ¨Ubungsblatt 5

Praktikum zur Linearen Algebra: Übungsblatt 5
Prof. P. Bürgisser, SS 2008
Die Aufgaben sind mit MuPAD zu bearbeiten und die MuPAD -Worksheets sind per
E-Mail abzugeben. Die Worksheets sind ausreichend zu dokumentieren.
Aufgabe 1 (7 Punkte) Eine Matrix A ∈ Zm×n wird total unimodular genannt, falls für
jede quadratische Untermatrix B von A gilt:
det(B) ∈ {−1, 0, 1}.
Schreiben Sie eine Prozedur, welche bei Eingabe einer Matrix A überprüft, ob diese total
unimodular ist.
1 −2
Aufgabe 2 (6 Punkte) Sei A :=
. Sei E die Menge der Punkte auf dem Ein−2 1
heitskreis. Plotten Sie auf geeignete Weise in einer gemeinsamen Grafik das Bild A(E)
von E sowie die Eigenräume von A. Was stellt A(E) dar und was ist dabei die Rolle der
Eigenräume? (Hier kein Beweis notwendig.)
Aufgabe 3 (7 Punkte)
Geheimnisteilung (engl. secret sharing“) ist ein Verfahren, um ein Geheimnis f unter
”
n Personen aufzuteilen. Die i-te Person erhält einen Teil yi des Geheimnisses. Folgende
Bedingungen sind erwünscht:
(a) Das Geheimnis f kann aus y1 , . . . , yn eindeutig rekonstruiert werden.
(b) Für jede echte Teilmenge I ⊂ {1, . . . , n} ist es unmöglich, f aus (yi )i∈I zu rekonstruieren.
Dies kann auf folgende Weise mathematisch realisiert werden.
Sei p eine beliebige Primzahl und n ∈ N mit 0 < n < p − 1. Die Zahlen n und p seinen
allgemein bekannt. Das Geheimnis sei ein Polynom f ∈ Zp [X] vom Grade n − 1. Die i-te
Person erhält die Teilinformationen yi = f (i) ∈ Zp .
(1) Überlegen Sie, dass f aus y1 , . . . , yn rekonstruiert werden kann (Bedingung (a)).
(2) Schreiben Sie eine Prozedur, welche bei Eingabe der Liste aller Teilinformationen
[f (1), f (2), . . . , f (n)] das Geheimnis f berechnet (p kann globale Variable sein).
(3) Bonusfrage: Was ist die präzise Bedeutung von Bedingung (b) und warum gilt
dies? (Muss nicht schriftlich abgegeben werden.)
Abgabe:
Es sind nur Einzelabgaben erlaubt. Die Betreffzeile der E-Mail darf ausschließlich aus
Abgabe Blatt <Blattnummer> <Vorname> <Nachname>
bestehen. In der E-Mail müssen Name, Matrikelnummer und Übungsgruppennummer
angegeben werden. Alle MuPAD -Worksheets sollten als Anhang dieser E-Mail versendet
werden.
Die Teilnehmer der Gruppen P1 und P2 müssen bis Mittwoch 11. Juni 12:00 ihre Abgabe
per E-Mail an [email protected] schicken.
Die Teilnehmer der Gruppen P3 und P4 müssen bis Mittwoch 18. Juni 12:00 ihre Abgabe
per E-Mail an [email protected] schicken.