Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion: Aufgaben 2, 3

Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion: Aufgaben 2, 3
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten für die
Funktionen und zeichnen Sie entsprechende Graphen:
x 2
f 1 x =
,
x 1
x4 − 1
f 2 x =
x
Aufgabe 3:
Diskutieren Sie die Funktion
x2−2 x
f x =
 x  12
28-A
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009
Gebrochenrationale Funktionen: Lösung 2
Der Funktionsterm der unecht gebrochenrationalen Funktion wird in
einem ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Teil zerlegt
f 1 x =
lim
x  ±∞
x 2
x 11
1
=
=1
x 1
x  1
x 1
f 1 x =
lim
x  ±∞


1
=1,
x 1
1
yA = 1
x4 − 1
1
f 2  x =
= x3 −
x
x
lim f 2  x = lim
x  ±∞
28-1
x  ±∞

x3 −

1
= ±∞ ,
x
y A = x3
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Gebrochenrationale Funktionen: Lösung 2
y
x = ­1
y = 1
x
Abb. 7-1: Graphische Darstellung von f (x)
f 1  x =
28-2
x  2
x  1
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Gebrochenrationale Funktionen: Lösung 2
y
g(x)
x
f(x)
Abb. 7-2: Graphische Darstellung von f (x) und g (x)
x4 − 1
f x  =
,
x
28-3
g  x  = x3
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Gebrochenrationale Funktionen: Lösung 3
2
x −2x
4x1
f x =
=
1
−
2
2
 x  1
 x  1
1. Definitionsbereich:
X = ℝ ∖ { −1 }
2. Symmetrie:
keine
3. Nullstellen:
Z  x  = x 2 −2 x = x  x − 2 = 0 ,
4. Asymptotisches Verhalten:
lim
x  ±∞

1−
xN = 0 ,
1
xN = 2
2

4x 1
=1
2
 x  1
y A = 1 – Gleichung der Asymptote
5. Polstellen:
x = −1
x 2 −2 x
lim
= ∞,
2
x −1  x 1
x = −1
6. Ableitungen:
29-1
lim
x −1−
x 2 −2 x
=∞
2
 x 1
– Gleichung der senkrechten Asymptote
f '  x =
−2  4 x
,
 x  13
f ' '  x =
−8 x  10
 x  14
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Gebrochenrationale Funktionen: Lösung 3
7. Extrempunkte:
f '  xE  = 0 :
xE =
f ' '  x E = f ' '

PE
8. Wendepunkte:

1
1
;−
2
3
PE =

1
1
;−
2
3

1
0
2
– Tiefpunkt
f ' '  xW  = 0
f ' ' x =
29-2

1
,
2
xW =
5
,
4
PW =

−8 x  10
=0
4
 x  1
yW = −
5
5
; −
4
27
⇒
− 8 x  10 = 0
5
27

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Gebrochenrationale Funktionen: Lösung 3
y
y = 1
x
x = –1
Abb. 8-1: Graphische Darstellung von f (x)
x2 − 2 x
f x =
 x  12
29-3
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Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion: Aufgabe 4
Führen Sie für die folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch und stellen Sie die Funktion graphisch dar
8
a ) f x  = x  ,
x
x2  4
b ) f x =
x −1
x2 − 4
c ) f x = 2
,
x −1
d ) f x =
2
30-A
8x
x2  1
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Kurvendiskussion: Lösung 4a
y
min
x
W
Abb. 9-1: Graphische Darstellung von f (x)
f  x  = x2 
Asymptoten:
30-1
8
,
x
x = 0,
D = ℝ ∖ {0} ,
Polstelle x = 0
y = x 2 , N −2, 0 ,
3
P min   4 ; 7.56 ,
W −2, 0
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Kurvendiskussion: Lösung 4b
y
min
y = x – 1
x
max
Abb. 9-2: Graphische Darstellung von f (x)
x2  4
f x =
,
x −1
Asymptoten:
x = 1,
D = ℝ ∖ {1} ,
y = x −1,
P min  3.24 ; 6.42 ,
30-2
Polstelle x = 1 ,
f = x 1
keine Nullstelle
5
x − 1
P max −1.24 ; − 2.47 , kein Wendepunkt
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Kurvendiskussion: Lösung 4c
y
min
y = 1
x
Abb. 9-3: Graphische Darstellung von f (x)
x2 − 4
f x = 2
,
D = ℝ ∖ {−1, 1} , Polstelle x = 1 ,
x −1
Asymptoten: y = 1, x = 1 , x = − 1 ,
f x = 1 −
N 1  2, 0 ,
30-3
N −2, 0 ,
x = −1
3
x2 − 1
P min 0, 4 , keine Wendepunkte
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Kurvendiskussion: Lösung 4d
y
max
N
x
min
Abb. 9-4: Graphische Darstellung von f (x)
f x =
8x
,
2
x 1
Asymptoten:
D = ℝ,
y = 0,
N 0, 0 ,
W 1 0, 0 ,
30-4
keine Unstetigkeitsstellen
P min = −1, − 4 ,
W 2   3 , 2  3 ,
P max = 1, 4
W 3 −  3 , − 2  3
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