Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x) betrachtet:
n x+2=3
Eine Gleichung kann aber auch zwei unbekannte Variablen haben, z.B. x und y:
o 6x − 3y = 9
Lösung dieser Gleichung sind alle Zahlenpaare (x,y), die beim Einsetzen in die Gleichung
die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Beispielsweise entsteht eine wahre
Aussage, wenn man das Zahlenpaar (2,1) in Gleichung 2 einsetzt:
Gleichung:
6x–3y=9
Einsetzen des
6 ⋅ 2 − 3 ⋅1 = 9
Zahlenpaares (2,1):
Es ergibt sich eine
wahre Aussage:
9=9
y-Achse
Um die Lösungen einer Gleichung (mit zwei Variablen) grafisch darstellen zu können,
lösen wir die Gleichung nach y auf, und interpretieren (betrachten) die Gleichung als
Funktion von x. Die Lösungen der Gleichung sind dann alle Punkte des Graphen,
insbesondere auch unser Punkt (2,1):
Gegeben ist die Funktion:
6x − 3y = 9
4
Wir stellen die Funktion nach y um:
y = 2x − 3
2
Wir zeichnen den Graphen (links).
-4
-2
2
-2
4
x-Achse
Lösung der Gleichung sind alle
Punkte, die auf dem Graphen liegen.
-4
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Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems
Nehmen wir an, dass ein Zahlenpaar (x,y) die Lösung einer „linearen Gleichung mit
zwei Variablen“ ist. Wir nun verlangt, dass ein Zahlenpaar (x,y) auch die Lösung
einer zweiten linearen Gleichung sein soll, dann bilden die beiden Gleichungen ein
sogenanntes lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.
Weil das Zahlenpaar (x,y) sowohl Lösung der ersten als auch der zweiten Gleichung
sein soll, muß das Zahlenpaar auf beiden Graphen liegen, entweder weil das Zahlenpaar
Schnittpunkt der Graphen ist, oder weil die Graphen gleich sind.
Falls die Graphen sich nicht schneiden, hat auch das Gleichungssystem keine Lösung.
Man unterscheidet also drei Fälle bei „linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen“:
Eine Lösung:
Das lineare Gleichungssystem hat eine
einzige Lösung. Es ist Schnittpunkt der
Graphen, im Beispiel ist es der gelbe
Punkt mit den Koordinaten (2,3).
Unendlich viele Lösungen:
Die Graphen sind identisch. Jedes
Zahlenpaar (x,y), dass eine der
Gleichungen erfüllt, ist Lösung des
linearen Gleichungssystems.
Keine Lösung:
Die Graphen liegen parallel und haben
daher keinen Schnittpunkt. Das lineare
Gleichungssystem hat keine Lösung.
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Das Additionsverfahren
Das Additionsverfahren
Meist löst man „lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen“ mit Hilfe des
sogenannten Additionsverfahrens:
Dies ist das gegebene
y = 3x − 3
Gleichungssystem mit
y−x=1
zwei Variablen:
Zuerst wählt man eine Variable aus,
im Beispiel x.
Nun versuchen wir zu erreichen,
dass x in beiden Gleichungen den
gleichen Koeffizienten hat, jedoch mit
umgekehrten Vorzeichen.
Um dieses zu erreichen, multiplizieren
wir die zweite Gleichung mit 3.
In der zweiten Gleichung vertauschen
wir (wegen der Übersicht) beide Seiten
miteinander. Dadurch steht x nun in
beiden Gleichungen auf der rechten
Seite.
Gleichung 2 zur Gleichung 1 hinzu
addieren: In der Gleichung 1 wir
dadurch die Variable x beseitigt.
Vereinfache nun Gleichung 1.
Wir erhalten den Wert von y.
Gleichung II mit 3 multiplizieren:
y = 3x − 3
3 y − 3x = 3
Gleichung II: Seiten tauschen:
y = 3x − 3
3 = 3 y − 3x
Addiere Gleichung II zu I hinzu:
y + 3 = 3y − 3
3 = 3 y − 3x
Gleichung I nach y auflösen:
3= y
3 = 3 y − 3x
Setze nun Gleichung 1 in die
Gleichung 2 ein: In Gleichung 2
fällt dadurch y weg.
Gleichung I in II einsetzen:
Löse Gleichung 2 nach x auf,
um x zu erhalten. Die Lösung
ist das Zahlenpaar (2,3):
Gleichung II nach x auflösen:
3= y
3 = 3 ⋅ 3 − 3x
y=3
x=2
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Das Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich immer dann besonders an, wenn eine der
Variablen (x oder y) in beiden Gleichungen den gleichen Koeffizienten hat.
Das gegebene Gleichungssystem
Gegebenes Gleichungssystem:
lautet wieder:
y = 3x − 3
y−x=1
Die Variable y hat in beiden
Gleichungen den gleichen
Koeffizienten, nämlich 1.
Wir stellen daher beide Gleichungen
nach y um, wobei die 1.Gleichung
bereits nach y aufgelöst ist.
Weil nun die linken Seiten der beiden
Gleichungen identisch sind, sind auch
die rechten Seiten identisch, und wir
können diese gleichsetzen.
Wir lösen diese Gleichung durch
Umstellen nach x und erhalten x=2.
Gleichung II nach y umstellen:
y = 3x − 3
y = x+1
Gleichungen gleichsetzen:
3x − 3 = x + 1
x berechnen:
3x − 3 = x + 1
−x
2x − 3 = 1
+3
2x = 4
:2
x=2
Um nun y zu erhalten, setzen wir das
Ergebnis des vorigen Schrittes (x=2)
in eine der beiden gegebenen
Gleichungen ein (egal in welche).
Im Beispiel setzen wir x=2 in
die erste Gleichung ein.
Wir erhalten den Wert von y.
Da wir nun x und y berechnet haben,
können wir die Lösung aufschreiben.
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y berechnen:
y = 3x − 3
y = 3⋅2 − 3
y=3
Lösung:
x=2
y=3
Das Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren bietet sich dann an, wenn eine der beiden Gleichungen bereits
nach einer Variablen (x oder y) aufgelöst ist. Man setzt dann den zugehörigen Term der
aufgelösten Gleichung in die andere Gleichung ein:
Gegebenes Gleichungssystem:
Gegeben:
y = 3x − 3
2 y − 2x = 2
Die erste Gleichung ist bereits nach y
aufgelöst. Wir setzen daher die erste
Gleichung in die zweite Gleichung
ein.
In der Gleichung II wird dadurch die
Variable y eliminiert (beseitigt).
Wir lösen nun Gleichung II
nach x auf:
Gleichung I in II einsetzen:
y = 3x − 3
2 ( 3x – 3 ) − 2x = 2
x berechnen:
2 ( 3x – 3 ) − 2x = 2 | ausmultiplizieren
| x zusamenfassen
6 x – 6 − 2x = 2
4x – 6 = 2
| +6
4x = 8
|: 4
x=2
Um nun y zu erhalten, setzen wir
x=2 in eine der beiden gegebenen
Gleichungen ein (egal in welche).
Im Beispiel nehmen wir die erste
Gleichung.
y berechnen:
Da wir nun x und y berechnet haben,
können wir die Lösung aufschreiben:
Lösung:
y = 3x − 3
y = 3⋅2 − 3
y=3
x=2
y=3
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Überbestimmte Systeme
Überbestimmte Systeme
Anzahl der Lösungen
Hat ein System mehr Gleichungen als Variablen, so spricht man von einem
überbestimmten System. Genauso wie bei den normalen Systemen kann
das System keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.
Grafische Ermittlung von Lösungen
Wir haben bereits gelernt, dass jede Gleichung einem Funktionsgraphen entspricht.
Das System hat genau dann eine einzelne Lösung, wenn sich alle Funktionen in einem
einzigen Punkt treffen. Die Lösung des Gleichungssystems muß daher ein Punkt
sein, der zu allen Graphen gehört, d.h. ein Schnittpunkt aller Graphen.
Beispiel: Eine Lösung
Im Beispiel betrachten wir ein lineares
Gleichungssystem mit zwei Variablen
und vier Gleichungen:
2x + y = 0
2x − 8 = y
⇒
x − y −6 = 0
umgestellt
4x + y = 4
nach y
y = −2x
y = 2x − 8
y = x −6
y = –4x + 4
Die zu den Gleichungen gehörenden Funktionen
treffen sich im Punkt P(2/–4). Das geordnete
Paar (2/–4) ist daher die Lösung des Systems.
Beispiel: Unendlich viele Lösungen
Im Beispiel betrachten wir wieder ein lineares
Gleichungssystem mit zwei Variablen und vier
Gleichungen:
2x − y = 8
y = 2x − 8
6 x − 3 y = 24
y = 2x − 8
→ y = 2x − 8
4x = 16 + 2 y
umgestellt
10x − 5 y = 40
nach y y = 2x − 8
Die zu den Gleichungen gehörenden Funktionen
sind alle identisch. Die Funktionen haben somit
unendlich viele Schnittpunkte und daher hat das
System unendlich viele Lösungen, nämlich jeden
Punkt, der auf der Geraden y=2x–8 liegt.
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Überbestimmte Systeme
Beispiel: Keine Lösung
Im Beispiel betrachten wir wieder ein
lineares Gleichungssystem mit zwei
Variablen und vier Gleichungen:
2x + y = 0
2x − 8 = y
→
x − y −6 = 0
umgestellt
x+ y =4
nach y
y = −2x
y = 2x − 8
y = x −6
y = –x + 4
Es gibt keinen Punkt, in dem sich
alle vier Funktionen schneiden. Das
Gleichungssystem hat daher keine Lösung
Rechnerische Lösung eines überbestimmten Systems
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem
mit 2 Variablen und 4 Gleichungen (Bild
oben). Zunächst bilden wir ein sogenanntes
Teilsystem, d.h. wir betrachten zwei
beliebige Gleichungen als Gleichungssystem, im Beispiel die zwei ersten:
2x + y = 0
2x − 8 = y
x − y −6 =0
x+ y=4
Wir lösen das Teilsystem mit dem
Einsetzungsverfahren, indem wir
Gleichung 2 in Gleichung 1 einsetzen:
2x + y = 0
2x − 8 = y
Wir erhalten die Lösung, indem wir zunächst
die 1. Gleichung nach x auflösen (ergibt x=2)
und dann diese Ergebnis (x=2) in die
2.Gleichung einsetzen:
x=2
y = −4
Die Lösung des Teilsystems (2,–4) setzen
wir in die dritte Gleichung ein.Wir erhalten
eine wahre Aussage, und daher geht auch
die 3.Funktion durch den Punkt (2,–4).
x − y −6 =0
2 − ( −4 ) − 6 = 0
0 =0
Nun setzen wir die Lösung (2,–4) in die
vierte Gleichung ein. Wir erhalten eine
falsche Aussage, und daher geht die
Funktion nicht durch (2,–4). Das lineare
Gleichungssystem hat daher keine Lösung
x+ y=4
2 + ( −4 ) = 4
−2 = 4
2x + y = 0
2x − 8 = y
2x + 2x − 8 = 0
2x − 8 = y
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