Blatt 4 als PDF - MO

Dr. Oliver Labs
Carolin Peternell
23.05.2016
4. Übung zur Vorlesung
“Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt”
im Sommersemester 2016
1. Aufgabe: Bestimmen Sie die Jordansche Normalform und Jordanbasis der folgenden
Matrizen

−12

 −9
8
9
6
−8

 4
−8 
 0
−8 , 
0
5
0
0
4
0
0
1
0
4
0

3 1 2
0 

0 3 1
1
 

, 0 0 3
0 

0 0 0
4
0 0 0

−4
0
1
2
0

−1

−1

−1
.

−1
2
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2a.
2. Aufgabe:
a) Zeigen Sie: hat das Minimalpolynom einer Matrix A die Form
Y
MA (x) =
(x − λi )ki
mit λi 6= λj für alle i 6= j, so hat der größte Jordanblock von A zum Eigenwert λi die
Größe ki .
Zwei Matrizen in Jordanscher Normalform heißen essentiell verschieden, wenn man
die eine nicht durch Vertauschen der Jordanblöcke in die andere überführen kann.
Bestimmen Sie alle essentiell verschiedenen Jordanschen Normalformen einer 5 × 5Matrix mit
b) charakteristischem Polynom (x + 2)3 (x − 3)2
c) Minimalpolynom (x − 1)(x − 5)(x + 4)2
d) charakteristischem Polynom (x − 1)(x + 4)4 und Minimalpolynom (x − 1)(x + 1)2 .
3. Aufgabe: Seien A, B ∈ M3×3 (C).
a) Bestimmen Sie alle möglichen Jordanschen Normalformen von A.
b) Zeigen Sie: A und B sind genau dann ähnlich, wenn sie dasselbe charakteristische
Polynom und dasselbe Minimalpolynom haben.
Abgabe bis Montag, 06.06.2016 um 13:00 Uhr im Kasten der jeweiligen Übungsgruppe neben
dem Fachschaftsraum.