2. Klausur im Wintersemester

Name
Unterschrift
MAT111.1 - Lineare Algebra, WS 06/07
Prof. Joachim Rosenthal
Klausur 2
Wähle Assistent:
Ariel Amir
-
Alberto López
-
Felice Manganiello
-
Jens Zumbrägel
Gegeben seien die folgenden Vektoren des R4
 
 
 
 
 
−1
−1
1
5
0
2
1
0
−2
3
 
 

 
 
x1 = 
−1 , x2 =  8  , x3 = 3 ; y1 = 2 , y2 =  0  .
0
6
2
−4
4
Aufgabe 1
Überprüfe mit Beweis, ob Span(x1 , x2 , x3 ) = Span(y1 , y2 ).
i
Name
Unterschrift
Aufgabe 2
a) Es seien U1 , U2 Unterräume von V . Gib die Definition der Aussagen
i) V ist die Summe von U1 und U2 ,
ii) V ist die direkte Summe von U1 und U2 .
b) Seien V = Mat2×2 (R) und
a 0
U1 :=
| a, b, c ∈ R ,
b c
U2 :=
α β
0 γ
| α, β, γ ∈ R
die unteren bzw. oberen Dreiecksmatrizen.
Zeige, dass V die Summe von U1 und U2 , aber nicht die direkte Summe von U1 und
U2 ist.
ii
Name
Aufgabe 3
Unterschrift
Sei f : R2 −→ R2 eine lineare Abbildung mit
1
3
f(
)=
2
7
2
4
und f (
)=
.
3
8
6
a) Berechne f (
).
10
b) Beschreibe die Menge
1
}).
1
f −1 ({
iii
Name
Unterschrift
Aufgabe 4 Sei V = Mat2×2 (K). Finde eine Basis {A1 , A2 , A3 , A4 } für V , so dass A2i = Ai
für alle i.
iv