Aufgabenblatt 4 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
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MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
4. Übungsblatt
WS 2006/2007
A. Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Das nachstehende Tableau beschreibt ein lineares Minimierungssystem, das in ein Maximierungsproblem transformiert wurde.
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
RS
-1
-3
0
0
0
-1
0
0
-4
-27
0
0
-2
2
-1
3
1
0
2
3
1
-1
0
1
2
0
0
3
2
6
4
-2
0
0
-2
0
1
-7
0
8
4
0
0
2
1
0
-1
8
a. Ist die ausgewiesene Basislösung bereits maximal? Begründen Sie Ihre Antwort anhand
der Zielfunktion.
b. Geben Sie alle Pivotelemente an, die möglich sind, wenn Sie nach einem SimplexAlgorithmus (nicht nur “steepest ascent”) vorgehen würden! Wie würde sich der Zielwert
bei den verschiedenen Pivotelementen ändern? Welches dieser Pivotelemente ergäbe die
größte Zielwertverbesserung?
c. Geben Sie weitere Basislösungen an, die den gleichen Zielwert besitzen wie die
ausgewiesene Lösung. (Diese Lösung sollte nicht dem Entartungsfall entsprechen!)
2.
Gegeben ist das lineare Maximierungssystem
Z = 4x + 7y – 35 → Max
unter Beachtung der Nebenbedingungen
2 x + 7 y ≤ 280
− x + y ≥ − 50
− 4 x + 7 y ≤ 70
x
≥ 20
y ≥ 10
a. Zeichnen Sie die Mengen der zulässigen Lösungen in ein geeignetes (x, y)Koordinatensystem ein.
(Hinweis: Die Zeichnung wird recht übersichtlich wenn auf beiden Achsen die Skalierung
10 Einheiten =$ 1 cm oder 5 Einheiten =$ 1 cm gewählt werden).
b. Bestimmen Sie zeichnerisch die Optimallösung (x*, y*). Berechnen Sie dann die genauen
Koordinaten dieses Lösungspunktes als Schnittpunkt der entstehenden Geraden und
anschließend den Maximalwert ZMax.
2
c. Lösen Sie das lineare Maximierungsproblem auch mit der Simplex-Methode “steepest
ascent”, indem Sie zunächst die “Lower Bound”-Technik zur Reduzierung des Restriktionensystems anwenden.
Lösungshinweis: (x*, y*) = (70, 20), ZMax = 385.
3.
Gegeben ist das Parallelogramm mit den Punkten P1 = (5, 1), P2 = (10, 2), P3 = (11, 8) und
P4 = (6, 7) und die Vektoren a′ = (5, 1) und c′ = a′ + b′ = (6, 7).
a. Beschreiben Sie die Eckpunkte des Parallelogramms mit Hilfe der Vektoren a′ und b′.
b. Wie groß ist der Abstand des Punktes P3 vom Ursprung?
c. Ist der Vektor d′ = (11, 8) eine Linearkombination der Vektoren a′ und b′ ? Darstellung?
d. Wie groß ist der Abstand von P1 nach P3 ?
4.
Gegeben sind die Vektoren
⎛ 1 ⎞
⎛ 3⎞
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛4⎞
⎛1⎞
⎜ 0 ⎟
⎜ 5⎟
⎜5⎟
⎜ − 1⎟
⎜7⎟
⎜ ⎟
a1 = ⎜ ⎟, a 2 = ⎜ ⎟, a 3 = ⎜ ⎟, a 4 = ⎜ ⎟, b = ⎜ ⎟, c = ⎜ 3 ⎟
−2
2
6
2
14
0
⎜ 1 ⎟
⎜1⎟
⎜ − 1⎟
⎜1⎟
⎜3⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a. Lässt sich der Vektor b als Linearkombination der Vektoren a1, a2, a3, a4 darstellen?
Wenn ja, geben Sie eine mögliche Linearkombinationsdarstellung an.
b. Hat das Gleichungssystem Ax = c mit A = (a1, a2, a3, a4) eine Lösung?
c. Geben Sie eine Basis für den aus den Vektoren a1, a2, a3, a4 aufgespannten Vektorraum V
an. Stellen Sie die restlichen Vektoren ai als Linearkombination dieser Basis dar.
d. Falls b oder c nicht in V liegt, lässt sich durch Ergänzung der gewählten Basis von V um b
bzw. c der Raum V zum R4 erweitern?
e. Welche der Vektoren a1, a2, a3, a4 stehen orthogonal zueinander?
f. Welchen Rang hat die Matrix B = (a2, a3, a4, b) ?
5.
Gegeben sind die 3×1-Matrizen
⎛3⎞
⎛5⎞
⎛ − 1⎞
a = ⎜ 0 ⎟, b = ⎜ 4 ⎟, c = ⎜ 0 ⎟
⎜ − 1⎟
⎜0⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
und die 2×3-Matrizen M = ⎛⎜ − 2 0 1 ⎞⎟ und N = ⎛⎜ 0 7 1⎞⎟
⎝ 1 − 3 0⎠
⎝ 2 0 1⎠
a. Welche Ordnungsbeziehungen bestehen zwischen diesen Vektoren bzw. Matrizen untereinander und in Bezug auf den entsprechenden Nullvektor bzw. die entsprechende
Nullmatrix?
b. Führen Sie die nachstehenden Rechenoperationen durch bzw. begründen Sie kurz, warum
eine Rechenoperation nicht durchführbar ist.
i. a + b'
ii. a' . c
iii. b' . N'
iv. N . M
v. 3b' – 2a'
vi. M . a
Lösungshinweise:
6.
a. b > c ≥ a, N ≥ M.
Gegeben sind die Matrizen und die Vektoren
⎛ 5 1 11 ⎞
A = ⎜ a b − 3 ⎟;
⎜ 14 − 8 1 ⎟
⎝
⎠
2 − 4⎞
⎛ a
B = ⎜ 7 − 1 c ⎟;
⎜ − 13 6
1 ⎟⎠
⎝
⎛ 2 ⎞
x = ⎜ − 3 ⎟;
⎜ 1 ⎟
⎝
⎠
⎛6⎞
d = ⎜4⎟
⎜c⎟
⎝ ⎠
3
a. Bestimmen Sie die Parameter a, b und c so, dass die Gleichung (A + B)x = d eine Lösung
hat.
b. Lassen sich die Parameter a, b und c so bestimmen, dass A ≥ B ? Wenn ja, geben Sie eine
geeignete Lösung an.
c. Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Vektoren x und d zueinander orthogonal sind.
Lösungshinweise: a. (a, b, c) = (–1, 6, 10); b. Nein, da z.B. a12 = 1 < b12 = 2; c. c = 0.
B. Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten Bearbeitung
7.
Gegeben sei ein - nicht näher bezeichnetes - lineares Optimierungssystem. Bei der Berechnung einer maximalen Lösung dieses Systems ergebe sich das folgende Tableau:
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
RS
1
-15
-3
0
0
-1
6
0
0
0
22
0
1
-4
-3
4
2
-3
-4
0
1
0
0
0
0
0
1
-2
-3
1
8
-2
1
8
-6
1
0
0
0
0
0
1
0
1
2
0
-1
8
14
10
0
a. Ist die ausgewiesene Basislösung bereits optimal? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der
Zielfunktion!
b. Geben Sie alle Pivotelemente (Schlüsselelemente) an, die möglich sind, wenn Sie nach
einem Simplexalgorithmus (nicht nur “steepest ascent”!!) vorgehen würden! Welches
dieser Pivotelemente ergäbe die größte Verbesserung des Zielwertes?
c. Geben Sie weitere Basislösungen an, die den gleichen Zielwert besitzen wie die
ausgewiesene Lösung!
8.
Lösen Sie das nachfolgende LP-Problem mittels des Simplex-Algorithmus. Überprüfen Sie
aber zuvor, ob nach Anwendung der “Lower bounds”-Technik auf redundante Restriktionen
verzichtet werden kann.
Z = 10x + 20y + 50 → Max
unter Beachtung der Restriktionen:
3x + 2y ≥ 10
2x + 5y ≥ 14
x– y≤ 7
5x – y ≤ 43
x– y≥ 2
x
≥ 6
y≥ 5
Lösungshinweis: (x*, y*) = (10,25; 8,25), Z*Max = 317,5.
9.
⎛ 2⎞
⎛ − 4⎞
⎛ 6⎞
Gegeben sind die Vektoren a = ⎜ ⎟ , b = ⎜ ⎟ , c = ⎜ ⎟ .
⎝ 1⎠
⎝ 3⎠
⎝ − 2⎠
Zeichnen Sie diese Vektoren in eine kartesische Koordinatenebene und bestimmen Sie dann
zeichnerisch die Ortsvektoren
2a, − 12 b, a + b, b + c, a – c und a + b + c.
4
10.
Gegeben seien a' = (1, –1, 4), b' = (0, 1, 2),
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a. a′ ⋅ c + b′ ⋅ d =
b.
c. c′ ⋅ e =
d.
e. 5a′c + 10[b′(2c - d)] =
f.
g. e – a =
c' = (5, 0, 1),
d' = (–1, –1, 2),
e' = (1, 0).
(-a′ + b′)(3c - 2d) =
2[(a′ - b′)(c + d)] =
3b′ – 2c + 4a =
Lösungshinweise: a. 12; b. –11; d. 24; e. 55.
11.
Gegeben sind die Vektoren
⎛ 3 ⎞
⎛ − 10 ⎞
⎛ − 2⎞
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛1⎞
⎜ 5 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎜ 0⎟
, c=⎜ 0 ⎟
a1 = ⎜ ⎟ , a 2 = ⎜ ⎟ , a 3 = ⎜ ⎟ , a 4 = ⎜ ⎟ , b = ⎜
⎟
a
0
2
b
20
−1
⎜ − 11⎟
⎜ c ⎟
⎜ − 2⎟
⎜1⎟
⎜0⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a. Wie müssen die reellen Zahlen a und b gewählt werden, damit b als Linearkombination
von a1 , a 2 , a 3 , a 4 darstellbar ist?
b. Wie muss c ∈ R gewählt werden, damit die Matrix M = (a 2 , a 3 , a 4 , c) genau den
Rang 3 hat.
Lösungshinweise: a. für a ≠ 2 und b beliebig oder für a = 2 und b = −24
b. c = − 10
3
12.
Welche Ordnungsbeziehungen bestehen zwischen den folgenden Vektoren bzw. Matrizen
untereinander und in Bezug auf den entsprechenden Nullvektor bzw. die entsprechende
Nullmatrix:
⎛ 3⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ 2⎞
⎛ − 1⎞
⎛1⎞
a = ⎜ 4 ⎟, b = ⎜ 4 ⎟, c = ⎜ 3 ⎟, d = ⎛⎜ 3 ⎞⎟, e = ⎜ − 3 ⎟, f = ⎜ 2 ⎟
⎜7⎟
⎜ − 3⎟
⎜ 6⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 0⎟
⎝ 0⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
A = ⎛⎜ 3 1 ⎞⎟, B = ⎛⎜ 2 0 ⎞⎟, C = ⎛⎜ − 1 − 3 ⎞⎟, D = ⎛⎜ 2 1 ⎞⎟
⎝ 4 5⎠
⎝ − 2 1⎠
⎝ − 2 − 4⎠
⎝1 0⎠
13.
Gegeben seien die Matrizen
⎛ 3 1⎞
A = ⎜⎜ 1 2⎟⎟ , B =
⎝ − 4 3⎠
⎛ 1 − 5⎞
⎜ 0 1 ⎟ , C = ⎛⎜ 2 0⎞⎟ ,
⎜
⎟
⎝ 1 3⎠
⎝ 2 − 4⎠
⎛ 1 − 2⎞
⎟, F=
E= ⎜
⎝− 2 3 ⎠
⎛2 3 1 ⎞
⎟ , I2 =
⎜
⎝ 4 0 − 2⎠
⎛1 0 ⎞
⎟,
D= ⎜
⎝ 0 − 2⎠
⎛ 1 0⎞
⎟.
⎜
⎝ 0 1⎠
a. Berechnen Sie A + B, D - C, 4E + 2C, 2A′ - 3F, A ⋅ C, F ⋅ B + C′,
C′ ⋅ A′, D ⋅ A′, C ⋅ B, I2 - 3B′.
b. Welche der angegebenen bzw. nach a. berechneten Matrizen sind quadratisch, symmetrisch, schiefsymmetrisch, Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrizen?