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K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Übungsaufgaben
13. Übung: Woche vom 19. 1. bis 23. 1. 2015
Heft Ü 3: 2.1.11; 2.1.8; 2.1.17; 2.2.1; 2.2.3; 1.1.1; 1.1.4;
Hinweis zur Klausurvorbereitung:
Herr Herrich, ein erfahrener Tutor/Mitarbeiter, wird ab dem
22.1.2015 jeden Donnerstag (bis 5.3.) ab 16:40 Uhr im Raum
WIL/C307 (zusätzlich zum Lernraum) Klausurkonsultationen für
alle Mathe-Kurse für MW. VIW und Chemie durchführen.
Wdhlg.: Rang einer Matrix
Sei A ∈ Km×n .
• Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißt
Zeilenrang von A.
• Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißt
Spaltenrang von A.
• Zeilenrang und Spaltenrang von A sind gleich und werden als
Rang der Matrix A bezeichnet, in Zeichen
rg A
oder
Rang A.
• Für beliebige Matrizen gilt: 0 ≤ rg A ≤ min{n, m}.
• Man sagt, dass A Vollrang hat, wenn rg A = min{m, n} gilt.
Wdhlg.: Umform. mit Rangerhaltung
Satz 4.12: Der Rang einer Matrix A über K bleibt unverändert bei
• der Vertauschung von Zeilen und Spalten,
• Multiplikation einer Zeile mit λ ∈ K, λ 6= 0,
• Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile,
• Transponieren von A.
Bemerkung: Ein System von Vektoren {a1 , . . . , am }, ai ∈ Kn
(m ≤ n), ist linear unabh
dann, wenn die daraus
ängig genau
gebildete Matrix A := a1 . . . am ∈ Kn×m vollen Rang hat, d.h.
wenn gilt rgA = m.
Lineare Gleichungssysteme (LGS)
Ein System der Form
a11 x1 +
a12 x2 +
...
+a1n xn
=
b1
a21 x1 +
..
.
+a22 x2
..
.
...
..
.
+a2n xn
..
.
=
=
b2
.. ,
.
am1 x1 +
am2 x2 +
...
+amn xn
=
bm
heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n
Unbekannten.
xi , i = 1(1)n: Variable (Unbekannte) des LGS.
Ein Vektor x heißt Lösung (Lösungsvektor (LV)) des LGS, wenn
seine Koordinaten alle Gleichungen des LGS erfüllen.
Menge aller LV x: Lösungsmenge des LGS.
Homogene und inhomogene LGS
Definition 4.20: Das lineare Gleichungssystem Ax = b heißt
homogen, wenn b = 0. Andernfalls, wenn b 6= 0 , wird es
inhomogen genannt.
Erweiterte Koeffizientenmatrix




(A|b) := 



a11
a12
...
a1n
b1
a21
..
.
a22
..
.
...
a2n
..
.
b2
..
.
am1
am2
...
amn
bm








heißt erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen
Gleichungssystems Ax = b.
Lösbarkeitskriterien für LGS
Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn
Rang (A|b) = Rang A,
d.h. wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der
erweiterten Koeffizientenmatrix ist.
Bemerkung: Für homogene LGS (immer lösbar!) gilt automatisch
Rang (A|0) = Rang A,
Gaussscher Algorithmus
Gegeben sei die erweiterte Koeffiz.-matrix (A|b) (mit arr 6= 0)


a1r
···
a1n
b1
a11 a12 · · · a1,r−1


 0 a22 · · · a2,r−1
a2r
···
a2n
b2 




 0
0
·
·
·
a
a
·
·
·
a
b
3,r−1
3r
3n
3 


 .
..
.. 
..
..
..
..
 ..
.
.
. 
.
.
.


(A|b) := 

 0
arr
···
arn
br 
0 ···
0




 0
0 ···
0
ar+1,r · · · ar+1,n br+1 


 .
..
..
..
..
.. 
 ..
.
.
.
.
. 


0
0 ···
0
amr
···
amn
bm
\i) := (Zeile i) + (Zeile r) · −air
für i > r
(Zeile
arr
Ergebnis des Eliminationsschrittes









\ 
(A|b)=









a11
a12
···
a1,r−1
a1r
a1,r+1
···
a1n
0
a22
···
a2,r−1
a2r
a2,r+1
···
a2n
0
..
.
0
..
.
···
..
.
a3,r−1
..
.
a3r
..
.
a3,r+1
..
.
···
a3n
..
.
0
0
···
0
arr
ar,r+1
···
arn
0
..
.
0
..
.
···
0
..
.
0
..
.
âr+1,r+1
..
.
···
âr+1,n
..
.
0
0
···
0
0
âmr
···
âmn
\ = Rang (A|b)
Rang (A|b)
b1


b2 


b3 

.. 
. 


br 


b̂r+1 

.. 
. 

b̂m
Produktdarstellung des Eliminationsschrittes
lir :=
−air
arr





Lr := 




1
für i = r + 1, . . . , m
Eliminationsmatrix

..
.
1
lr+1,r
..
.
lm,r
Â = Lr A
b̂ = Lr b
1
..
.
1









Spaltenpivotisierung
asr := max{|air | | i > r}
Vertausche die Zeilen r und s in A und b.
Falls A invertierbar, dann garantiert diese Zeilenvertauschung vor
jedem Eliminationsschritt dessen Durchführbarkeit (arr 6= 0).
Gaussscher Algorithmus für reguläre LGS
Es sei A ∈ Kn×n regulär und b ∈ Kn gegeben
Ax = b
(A, b)
→
u. Eliminationsschritt
(A(1) , b(1) )
→
→ (A(1) , b(1) )
·
·
·
(A(n−2) , b(n−2) ) → Spaltenpivotisierung
→
(A(2) , b(2) )
→
(A(n−1) , b(n−1) )
(A(n−1) , b(n−1) ) →
Rückrechnung
→ x∗
Rückrechnung (reguläres oberes Dreieckssystem)

u11

 0


 0

 .
 ..

0
u12
u13
···
u1n









x = 








u22
u23
···
u2n
0
..
.
u33
···
..
.
u3n
..
.
0
···
0
unn

r1

r2









r3
..
.
rn
Von der letzten Gleichung an aufwärts bestimmt man nacheinander
x∗n , x∗n−1 , . . . , x∗1 durch zum GA analoge Eliminationsschritte:
• Multiplikation jeder Zeile mit u−1
ii
• Erzeugen von Nullen“, beginnend in der vorletzten Spalte von
”
(U |r) (= letzte Spalte von U ), bis Matrix U zur Einheitsmatrix
umgeformt ist. Dann gilt r̂ = x∗
Matrixinvertierung mit Gaussschem Algorithmus
b ∈ Rn beliebig: Falls ∃A−1 :
Ax = b ⇒ x∗ = A−1 · b,
ist die eindeutig bestimmte Lösung des LGS.
Matrixinvertierung entspricht der Lösung von n LGS der Form
Axi = ei , i = 1(1)n:
A · X ∗ = E ⇔ A · x1 . . . xn = e1 . . . en = E
Bemerkung: Für praktisch relevante Dimensionen (n ≥ 104 ) ist
eine explizite Berechnung von A−1 zu aufwendig (selbst bei Lösen
von mehreren LGS mit gleicher Systemmatrix), besser z.B.
LU -Faktorisierung.
LU-Faktorisierung regulärer Matrizen
Gausssches Verfahren ohne Pivotisierung liefert
A(n−1) = Ln−1 Ln−2 · · · L2 L1 A
Daraus folgt
−1
−1
(n−1)
A = L−1
L
·
·
·
L
A
1
2
n−1
beziehungsweise
A = LU
−1
−1
mit der linken unteren Dreiecksmatrix L := L−1
L
·
·
·
L
1
2
n−1 und
der rechten oberen Dreiecksmatrix U := A(n−1) .
Die inversen Matrizen L−1
r , r = 1(1)(n − 1) lassen sich einfach
!
berechnen (Probe selbst nachrechnen: L−1
r · Lr = E, für alle r)


1 .
..






1


−1


Lr = 

−lr+1,r 1


.
.


..
..


−lnr
1
Lösung von LGS mittels LU-Faktorisierung
• Gegeben sei Ax = b
A sei regulär
• Bestimme L, U , so dass A = LU
Aufwand ≈ n3 /3
• Bestimme z, so dass Lz = b
Aufwand ≈ n2 /2
• Bestimme x, so dass U x = z
Aufwand ≈ n2 /2
Günstig für die mehrfache Lösung von LGS mit derselben
Koeffizientenmatrix A
Lösung allgemeiner LGS (bei exakter Rechnung)
• Alle vom Gaussschen Algorithmus erzeugten
Gleichungssysteme besitzen dieselbe Lösungsmenge.
• A ∈ Km×n mit m > n:
Gaussscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung
endet nach Rang A Eliminationsschritten
• A ∈ Km×n mit m ≤ n:
Gaussscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung
endet nach min{m − 1, Rang A} Eliminationsschritten.
• Auftretende Nullzeilen entfernen ( ohne Information“).
”
Gilt ai0 j = 0 (∀j) und bi0 6= 0, so ist das LGS unlösbar
( Widerspruchszeile“).
”
Umformung der Pivotspalten auf Einheitsvektoren ermöglicht
Ablesen“ einer allgemeinen Lösungsdarstellung.
”
Lösungsmenge homogener LGS
Sei A ∈ Km×n und bezeichne
L(A, 0) := {x ∈ Kn | Ax = 0}
die Lösungsmenge des homogenen Systems Ax = 0. Dann gilt:
• 0 ∈ L(A, 0),
• L(A, 0) ist ein Untervektorraum des Kn ,
• dim L(A, 0) = n − Rang A
Lösungsmenge inhomogener LGS
Seien A ∈ Km×n , b ∈ Km und bezeichne
L(A, b) := {x ∈ Kn | Ax = b}
die Lösungsmenge des inhomogenen Systems Ax = b. Weiter sei
xs ∈ L(A, b) eine spezielle Lösung. Dann gilt:
L(A, b) = xs + L(A, 0)
D.h. jede Lösung des inhomogenen Systems lässt sich als Summe
aus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems und einer
passenden Lösung des homogenen Systems schreiben.
Sei A ∈ Km×n und das Gleichungssystem Ax = b sei lösbar.
Falls
• Rang A = n, dann gibt es genau eine Lösung,
• Rang A < n, dann gibt es unendlich viele Lösungen.
Zusammenfassung: Mit dem Gaussschen Algorithmus (GA)
kann man (bei exakter Rechnung)
• die vollständige Lösungsmenge eines LGS bestimmen (bzw.
Unlösbarkeit feststellen)
• die Inverse einer Matrix berechnen
• den Rang einer Matrix bestimmen

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