über die inverse Matrix

Abbildungsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Lösung eines Linearen Gleichungssystems über die
inverse Matrix
Man betrachte das Lineare Gleichungssystem in der Form Ax = b mit der Koeffizientenmatrix A und dem Lösungsvektor b.
Wenn die Determinante von A ungleich Null ist, kann die inverse Matrix A−1 von A bestimmt
werden.
Multiplikation der Gleichung Ax = b von Links mit A−1 ergibt
A−1 (Ax) = A−1 b;
Es gilt A−1 (Ax) = (A−1 A)x = Ex = x mit der Einheitsmatrix E.
Hieraus folgt x = A−1 b, d.h. der Vektor x des Linaren Gleichungssystems kann auf diese
Weise über die Kenntnis von A−1 und b bestimmt werden.
1.1
Aufgabe 1
5x1 + 6x2 = 7
3x1 + 4x2 = 9
Das Lineare Gleichungssystem in Matrixschreibweise
5 6
x1
7
=
3 4
x2
9
Koeffizientenmatrix A des Linearen Gleichungssystems
5 6
3 4
Lösungsvektor b des Linearen Gleichungssystems
7
9
Der Vektor x
x1
x2
Erweiterte Matrix des Gleichungssystems
5 6 7
3 4 8
1
Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, soll zuvor die inverse Matrix bestimmt werden.
Lösungsschema für die Bestimmung der inversen Matrix
Abbildung 1: Aufgabe 1a - Schema zur Bestimmung der inversen Matrix
Zeilen
(1)
5
(2)
3
6
4
1
0
0
1
(1a)
(2a)
15
-15
18
-20
3
0
0
-5
(1a)
(2b)
15
0
18
-2
3
3
0
-5
*
1
(1b)
(2b)
15
0
0
-2
30
3
-45
-5
9
*
(1c)
(2c)
1
0
0
1
2
-3
-3/2 5/2
5 6
 ist
Die inverse Matrix zu 
3 4
(1)*3 -> (1a)
(2)*(-5) -> (2a)
(1a)*(1)+(2a)->(2b)
(2b)*9+(1a)->(1b)
(1b) : 15 -> (1c)
(2b) : (-2) -> (2c)
 2
 3
− 2
Äquivalenzumformungen
Äquivalenzumformungen
− 3

5 
2 
Die Multiplikation der Zeilen mit ganzen Zahlen dient dazu, Brüche zu vermeiden.
Das Lösungsschema entspricht dem grauen Bereich der Tabelle. Alle weiteren Anmerkungen
dienen der Erläuterung.
Mit Hilfe der inversen Matrix können die Lösungen des linearen Gleichungsystem bestimmt
werden.
2 −3
7
x1
=
− 32 52
9
x2
Als Lösungen erhält man:
x1 = −13, x2 = 12
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Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1
Aufgabe 1a - Schema zur Bestimmung der inversen Matrix . . . . . . . . . .
3
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Inhaltsverzeichnis
1 Lösung eines Linearen Gleichungssystems über die inverse Matrix
1.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
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