Arbeitsblatt Vektorrechnung

Arbeitsblatt Vektorrechnung
In zwei Dimension werden Koordinaten benutzt um Punkte eindeutig zu bestimmen. Dies
kann man in drei Dimensionen genau so machen, aber man braucht dann halt drei Zahlen.
Wir können also auch in die “Höhe” gehen; natürlich ist es nicht immer eine Höhe, weil in
Anwendungen kann es um Temperatur, Stromstärke, elektrische Feldstärke, Gehälter, Zeit,
Medikamentsdosis, ... usw. gehen.
Für eine Beschreibung dreier Dimensionen mit
Koordinaten müssen wir zuerst einen Punkt
wählen - den Ursprung. Demnächst wählen wir
drei Achsen, die senkrecht auf einander stehen;
eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse,
und sie schneiden einander genau im Ursprung.
Das sieht dann aus, wie hier rechts neben dem
Text. Man zeichnet meistens ein Achsensystem
genau auf diese Weise; dies entspricht bestimmten festgelegten Konventionen - also, lerne, x, y
und z genau so einzuzeichnen; so entwickelst du
eine gute Praxis. Jetzt müssen wir lernen, wie
die Punkte anzudeuten sind.
z
y
x
Der Ursprung wird meistens mit O
angedeutet und bekommt die Koordinaten (0|0|0). Den Punkt E1 =
z
(1|0|0) erreicht man, wenn man von
O eine Einheit in der positiven xRichtung entlang der x-Achse wandert. Den Punkt E2 = (0|1|0) erreicht man, wenn man von O eine Einheit in der positiven y-Richtung entlang der y-Achse wandert. Den Punkt
E3 = (0|0|1) erreicht man, wenn man
O
von O eine Einheit in der positiven
y z-Richtung entlang der z-Achse wanE1
dert. Um einen Punkt P = (4|3|5) zu
erreichen, können wir zuerst zu (4|0|0)
wandern - vier Einheiten von O aus
in der positiven x-Richtung entlang
x
der x-Achse. Von (4|0|0) wandert man
dann drei Einheiten parallel zur yAchse in positiver y-Richtung und erreicht den Punkt (4|3|0). Zum Schluß
wandert man fünf Einheiten in vertikaler Richtung und erreicht so P .
Vom Punkt P ist 4 seine x-Koordinate, 3 seine y-Koordinate und 5 seine z-Koordinate.
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Aufgabe 1. Nehme die Figur hieroben über, und deute an, welche Punkte die Punkte E2 , E3 ,
(4|0|0), (4|3|0) und P sind.
Aufgabe 2. Zeichne ein Achsensystem und trage die folgenden Punkte ein:
(a) D = (3|2|1)
(a) A = (1|2|3)
(b) B = (0|0|3)
(b) E = (−5|0|0)
(c) C = (3|1|0)
(c) F = (3| − 4|1)
Aufgabe 3. Bei den folgenden Aufgaben hilft es, ein Achsensystem zu zeichnen.
(a) Von einem dreidimensionalen Körper sind die Eckpunkte gegeben durch (2|0|0), (2|2|0),
(0|2|0), (0|0|0), (2|0|2), (2|2|2), (0|2|2), und (0|0|2). Welche Figur ist es?
(b) Von einem dreidimensionalen Körper sind die Eckpunkte gegeben durch (3|0|0), (0|3|0),
(0|0|0), und (0|0|3). Was für eine Figur ist es?
(c) Zeichne ein ägyptisches Pyramid in ein Achsensystem ein und gebe die Koordinaten der
Eckpunkte.
(d) Wenn ich die Punkte (4|0|0), (0|4|0) und (0|0|4) verbinde, bekomme ich eine Figur. Was
für eine Figur?
(e) Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Figur aus (c). (Hinweis: Du brauchst sicher
den Pythagoreischen Lehrsatz!)
Aufgabe 4. Bei der vorigen Aufgabe hast du gesehen, dass wir in drei Dimensionen auch Pythagoras benutzen können. Wir werden dies jetzt in einem allgemeineren Kontext klar machen;
mit Pythagoras können wir in drei Dimensionen auch Abstände zwischen Punkten ausrechnen.
(a) Nehme den Punkt P = (4|3|5) aus Aufgabe 1. Zeichne P und auch die Punkte (4|0|0)
und (4|3|0) in ein Achsensystem ein.
(b) Was ist die Distanz zwischen (4|3|0) und O?
(c) Was ist die Distanz zwischen (4|3|0) und P ?
(d) Betrachte das Dreieck mit den Eckpunkten O, (4|3|0) und P . Verwende die vorigen
Ergebnisse und den Lehrsatz von Pythagoras um die Distanz zwischen O und P zu
berechnen.
(e) Jetzt mehr allgemein:
√ beweise, dass die Distanz von einem Punkt Q = (a|b|c) zu O
gegeben ist durch a2 + b2 + c2 . Hinweis: benutze auch die Punkte R = (a|b|0), S =
(a|0|0) und die Dreiecke △ORS und △ORQ.
Aufgabe 5.
(a) Beschreibe die Menge aller Punkte (x|y|z) für welche gilt, dass x2 + y 2 + z 2 = 1.
(b) Verifiziere, dass alle Punkte (cos(α) · cos(β)| sin(α) · cos(β)| sin(β)), wobei 0 ≤ α, β ≤ 2π
irgendwelche Winkel sind, auf der Figur von (a) liegen.
(c) (BONUS) Kannst du eine Skizze machen, wobei du für einen Punkt (cos(α)·cos(β)| sin(α)·
cos(β)| sin(β)) die Winkel angibst?
Aufgabe 6. Beschreibe die Menge aller Punkte (x|y|z) für welche gilt, dass x2 + 4y 2 + 4z 2 = 4.
Aufgabe 7.
(a) Beschreibe
(b) Beschreibe
und 3 ist.
(c) Beschreibe
(d) Beschreibe
(e) Beschreibe
ist.
die Menge aller Punkte der Form (t|0|0), wobei t eine reelle Zahl ist.
die Menge aller Punkte der Form (t|0|0), wobei t eine reelle Zahl zwischen 0
die Menge aller Punkte der Form (t|1|0), wobei t eine reelle Zahl ist.
die Menge aller Punkte der Form (2t|t|0), wobei t eine reelle Zahl ist.
die Menge aller Punkte der Form t · (2|1|0) + (0|0|1), wobei t eine reelle Zahl
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Aufgabe 8. Eine Darstellung wie bei (e) der vorigen Aufgabe heißt eine Parameterdarstellung.
Das Zahlentrio (2|1|0) dieser Parameterdarstellung ist hier nicht ein Punkt, aber gibt eine
Richtung an. Darum heißt das Trio hier ein Vektor, oder, in diesem Spezialfall, auch wohl
Richtungsvektor. Der Punkt (0|0|1) ist der Fußpunkt der Parameterdarstellung.
(a) Gebe eine Parameterdarstellung einer Gerade mit Richtungsvektor (1|0|0) und Fußpunkt
(2|2|3). Zu welcher Achse ist diese Gerade Parallel?
(b) Gebe eine Parameterdarstellung einer Gerade mit Richtungsvektor (1|0|0) und Fußpunkt
(0|0|0).
(c) Gebe eine Parameterdarstellung einer Gerade mit Richtungsvektor (2|0|0) und Fußpunkt
(0|0|0). Vergleiche mit (b)! Ist es dieselbe Gerade, oder doch nicht? Hat diese Gerade
vielleicht auch einen speziellen Namen?
(d) Gebe eine Parameterdarstellung einer Gerade mit Richtungsvektor (1|0|1) und Fußpunkt
(0|0|0).
(e) Gebe eine andere Parameterdarstellung der Gerade von (d). Hinweis: wähle einen anderen
Fußpunkt, aber der soll auf der Gerade sein natürlich!
(f ) Erkläre den Namen Richtungsvektor. Hinweis: Lasse für eine Parameterdarstellung nach
Wahl t von Null bis eins laufen und schau dir an, welche Punkte durchlaufen werden.
(g) Wenn P = (2|4|5) gegeben ist, dann besteht die Menge aller Punkte der Form t · (2|4|5)
mit t zwischen 0 und 1 genau aus den Punkten zwischen O und P . Mehr allgemein: wenn
zusätzlich Q = (5|5|7) gegeben ist, erkläre, warum die Menge der Punkte der Form
t · (Q − P ) + P = t · (3|1|2) + (2|4|5)
genau aus den Punkten auf der Geraden durch P und Q besteht. (Hinweis: Eine Begründung könnte (muss aber nicht) so gehen: Begründe zuerst, dass es eine Gerade ist.
Begründe dann, dass P und Q auf der Geraden liegen. Begründe, dass du dann fertig
bist, weil ...)
(h) Finde eine Parameterdarstellung für die Gerade durch (2|2|4) und (1|10|3).
(i) Wir können auch Parameterdarstellungen von Bahnen haben, die nicht Geraden sind; diese haben dann auch nicht immer einen Fußpunkt oder einen Richtungsvektor. Kannst du
zum Beispiel erklären, welche Bahn gegeben ist als die Menge aller Punkte (cos(t)| sin(t)|0)
mit t ∈ IR?
Aufgabe 9. Zwei Gelsen fliegen in einem Zimmer herum. Im Zimmer wählen wir ein Achsensystem und bezüglich dieses Achsensystems folgt Gelse 1 der Bahn, welche die Koordinaten
(3 − t|3 + t|5 + t) hat; den Parameter t interpretieren wir als die Zeit in Sekunden. Gelse 2 fängt
auf t = 0 beim Punkt (0|0|0) und fliegt mit Geschwindigkeit von zwei Einheiten pro Sekunde
über eine Gerade in Richtung des Punktes (0|2|4).
(a) Finde eine Parameterdarstellung der Bahn von Gelse 2.
(b) Nach wie viel Sekunden treffen sich die Gelsen? Wo sind die Gelsen dann?
(b) Bonus Müssen sich Geraden in drei Dimensionen immer schneiden? Was wenn sie nicht
parallel sind - gibt es einen Schnittpunkt ja oder nein? Wenn nein, gib ein Beispiel von
zwei Geraden, die nicht parallel sind, und einander doch nicht treffen. Wenn ja, gib einen
kurzen Beweis!
Aufgabe 10. Beschreibe die Menge aller Punkte (cos(t)| sin(t)|t), wobei t ∈ IR. Hinweis:
beschreibe zuerst die Projektion auf die xy-Ebene (das heißt mehr oder weniger, vergiß zuerst
die z-Koordinate.
Aufgabe 11. Eine Gelse fliegt über eine Bahn, gegeben durch (9 − 4t|1 + 4t|2 + 7t), wobei t
die Zeit in Sekunden ist. Finde die Distanz zu O als Funktion der Zeit.
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