Inkreismittelpunkt eines Dreiecks
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Inkreismittelpunkt eines Dreiecks
2-dimensionale Vektorrechnung Dreiecke Inkreismittelpunkt Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen des Dreiecks. Winkelsymmetrale wα : Die Winkelsymmetrale wα geht durch den Punkt A und halbiert den Winkel α . Den Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wα = AB 0 + AC 0 . 1. 2. 3. 4. 5. AB =B-A AC =C-A | AB | | AC | wα = AB 0 + AC 0 6. wα : x =A+s wα Winkelsymmetrale wβ : Die Winkelsymmetrale wβ geht durch den Punkt B und halbiert den Winkel β . Den Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wβ = BA0 + BC 0 . 7. BA =A-B 8. BC =C-B 9. | BA | 10. | BC | 11. wβ = BA0 + BC 0 12. wβ : x =B+t wβ Der Inkreismittelpunkt I ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen wα und wβ . 13. Schnittpunkt von wα und wβ Gerechnetes Beispiel: Die Punkte A=(3|2), B=(7|5) und C=(7|-1) bilden ein Dreieck. Bestimme den Inkreismittelpunkt des Dreiecks. Lösung: Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen des Dreiecks. Winkelsymmetrale wα : Die Winkelsymmetrale wα geht durch den Punkt A und halbiert den Winkel α . Den Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wα = AB 0 + AC 0 . 7 3 4 AB =B-A= - = 5 2 3 7 3 4 AC =C-A= - = −1 2 − 3 www.matheprofi.at 2-dimensionale Vektorrechnung Dreiecke | AB |= 4² + 3² =5 | AC |= 4² + (−3)² =5 4 4 3 − 3 8 / 5 wα = AB 0 + AC 0 = + = 5 5 0 Diesen Vektor kürzt man durch 8/5 und erhält (1|0) als Richtungsvektor der Winkelsymmetralen: 3 1 wα : x = +s 2 0 Winkelsymmetrale wβ : Die Winkelsymmetrale wβ geht durch den Punkt B und halbiert den Winkel β . Den Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wβ = BA0 + BC 0 . 3 7 − 4 BA =A-B= - = 2 5 − 3 7 7 0 BC =C-B= - = −1 5 − 6 | BA |= (−4)² + (−3)² =5 | BC |= 0² + (−6)² =6 − 4 0 −3 − 6 − 4 / 5 wβ = BA 0 + BC 0 = + = 5 6 − 8/ 5 Diesen Vektor multipliziert man mit -5/4 und erhält (1|2) als Richtungsvektor der Winkelsymmetralen: 7 1 wβ : x = +t 5 2 Schnittpunkt von wα und wβ : Aus der Geraden wα erhält man: x=3+s und y=2. Aus wβ folgt: x=7+t und y=5+2t. Wenn man sowohl x als auch y gleichsetzt, so erhält man ein Gleichungssystem mit den Un-bekannten s und t: 3 +s = 7 +t 2 = 5 +2t Aus der zweiten Gleichung folgt: 2 = 5 +2t |-5 -3 = 2t |:2 = t 1,5 Diesen Wert setzt man in die Gleichung der Geraden wβ ein und erhält: 7 1 7 − 1,5 5,5 = I= +(-1,5). = + 5 2 5 − 3 2 www.matheprofi.at