equilibrium price quantity

Übung zu Mikro 2 SoSe 05
Lösungen zu Aufgaben der 4. Übung
Kapitel 12: Spieltheorie und Wettbewerbsstrategie
Aufgabe 11
a.
Defendo has two choices: Technology A with a marginal cost of 8 and Technology B with a
marginal cost of 2. Given the inverse demand curve as P = 20 - Q, total revenue, PQ, is
equal to 20Q - Q2 for both technologies. Marginal revenue is 20 - 2Q. To determine the
profits for each technology, equate marginal revenue and marginal cost:
20 - 2QA = 8, or QA = 6, and
20 - 2QB = 2, or QB = 9.
Substituting the profit-maximizing quantities into the demand equation to determine the profitmaximizing prices, we find:
PA = 20 - 6 = $14 and
PB = 20 - 9 = $11.
To determine the profits for each technology, subtract total cost from total revenue:
πA = (14)(6) - (10 + (8)(6)) = $26 and
πB = (11)(9) - (60 + (2)(9)) = $21.
To maximize profits, Defendo should choose technology A.
b.
i.
If both firms play Cournot, each will choose its best output, taking the other’s strategy as
given. Letting D = Defendo and O = Offendo, the demand function will be
P = 20 - QD - QO.
Profit for Defendo will be
π D = (20 − QD − QO )QD − (10 + 8QD ), or π D
= 12Q D − Q D2 − Q D QO − 10
To determine the profit-maximizing quantity, set the first derivative of profits with respect to
QD equal to zero and solve for QD:
∂π D
= 12 − 2Q D − QO = 0 , or QD = 6 - 0.5QO.
∂Q D
This is Defendo’s reaction function. Because both firms have access to the same technology, hence the same cost structure, Offendo’s reaction function is analogous:
QO = 6 - 0.5QD.
Substituting Offendo’s reaction function into Defendo’s reaction function and solving for QD:
QD = 6 - (0.5)(6 - 0.5QD) = 4.
Substituting into Defendo’s reaction function and solving for QO:
QO = 6 - (0.5)(4) = 4.
Total industry output is therefore equal to 8. To determine price, substitute QD and QO into
the demand function:
P = 20 - 4 - 4 = $12.
The profits for each firm are equal to total revenue minus total costs:
πD = (4)(12) - (10 + (8)(4)) = $6 and
πO = (4)(12) - (10 + (8)(4)) = $6.
Therefore, Offendo would enter the market.
ii.
Profit for Defendo will be
π D = (20 − QD − QO )QD − (60 + 2QD ), or π D
= 18Q D − Q D2 − Q D QO − 60 .
The change in profit with respect to QD is
∂ πD
= 18 − 2Q D − QO .
∂ QD
To determine the profit-maximizing quantity, set this derivative to zero and solve for QD:
18 - 2QD - QO = 0, or QD = 9 - 0.5QO.
This is Defendo’s reaction function. Substituting Offendo’s reaction function (from part i
above) into Defendo’s reaction function and solving for QD:
QD = 9 - 0.5(6 - 0.5QD), or QD = 8.
Substituting QD into Offendo’s reaction function yields
QO = 6 - (0.5)(8), or QO = 2.
To determine the industry price, substitute the profit-maximizing quantities for Defendo and
Offendo into the demand function:
P = 20 - 8 - 2 = $10.
The profit for each firm is equal to total revenue minus total cost, or:
πD = (10)(8) - (60 + (2)(8)) = $4 and
πO = (10)(2) - (10 + (8)(2)) = -$6.
With negative profit, Offendo should not enter the industry.
iii.
With Technology A and Offendo’s entry, Defendo’s profit would be 6. With Technology B and
(no) entry by Defendo, Defendo’s profit would be 4. I would advise Defendo to stick with
Technology A. Under this advice, total output is 8 and price is 12. Consumer surplus is:
(0.5)(20 -12)(8) = $32.
Die Lösung zu b.iii ist sehr kurz geraten und deshalb wohl mißverständlich (und mit einem Fehler).
Bei b.iii liegt eine strategische Situation vor, bei der Defendo die Wahl zwischen Technologie A und
B hat und Offendo die Wahl zwischen Eintritt und Keinem Eintritt. Die Auszahlungsmatrix hat dann
folgende Gestalt:
Offendo
Defendo
Eintritt
Kein Eintritt
A
6; 6
26; 0
B
4; -6
21; 0
Unter der Annahme, daß Defendo und Offendo gleichzeitig ziehen, ergibt sich folgendes Ergebnis:
Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sollte Defendo B wählen, dann würde Offendo bei Eintritt einen Verlust machen, also nicht eintreten und Defendo einen Gewinn von 21 erzielen. Aber in diesem
Spiel hat Defendo die dominante Strategie, A zu wählen, da der Gewinn von Defendo unabhängig von
Offendos Wahl bei A immer höher ist. Offendo weiß das und wählt Eintritt. Das einzige NashGleichgewicht des Spiels ist (A, Eintritt) mit den Auszahlungen (6; 6).
Unter der Annahme, daß Offendo erst zieht, wenn Defendo sich entschieden hat (sequentielles Spiel),
ergibt sich ein anderes Ergebnis:
Da Offendo in Abhängigkeit von der Wahl von Defendo einen Gewinn oder einen Verlust macht, kann
Defendo die Wahl von Offendo beeinflussen: Wenn Offendo beim Zeitpunkt seiner Wahl weiß, daß
Defendo B gewählt hat, wird er nicht eintreten, da er sonst einen Verlust erleiden würde. Dies wiederum weiß Defendo und wählt B, wenn Offendo seine Wahl abwartet. Das Gleichgewicht ist bei (B;
Kein Eintritt) und die Auszahlungen (21; 0).
Bei dieser Aufgabe liegt das Problem vor, daß nicht ganz zweifelsfrei gesagt wird, ob es sich um ein
sequentielles Spiel handelt oder nicht. Der folgende Satz spricht meines Erachtens aber für sequentiell:
„Suppose Defendo expects its archrival, Offendo, to consider entering the market shortly after Defendo introduces its new product.“ Offendo wartet also ab, was Defendo tut, weiß also, was Defendo gewählt hat. Und da wird´s hakelig: Offendo sieht das Produkt, aber sieht es auch die Herstellungstechnik? Kürzen wir die Diskussion ab, sagen ja und ziehen folgendes Fazit: Es gibt zwei strategische Situationen, beide oben erläutert, mit zwei Ergebnissen. Wollten die Autoren die erste Situation darstellen, ist nur ein kleiner Fehler in der Lösung: Bei Technologie B und Eintritt von Offendo – das „no“
ist zuviel; hingegen ist die Aufgabe schlecht gestellt. Für den anderen Fall gilt das Umgekehrte.
c.
From 10.a we know that, under monopoly, Q = 6 and profit is 26. Consumer surplus is
(0.5)(20 - 14)(6) = $18.
Social welfare is the sum of consumer surplus plus profits, or
18 + 26 = $44.
With entry, social welfare is $32 (consumer surplus) plus $12 (industry profit), or $44. Social
welfare does not change with entry, but entry shifts surplus from producers to consumers.
The equilibrium price falls with entry, and therefore potential competition can limit market
power.
Note that Defendo has one other option: to increase quantity from the monopoly level of 6 to
discourage entry by Offendo. If Defendo increases output from 6 to 8 under Technology A,
Offendo is unable to earn a positive profit. With an output of 8, Defendo’s profit decreases
from $26 to
(8)(12) - (10 + (8)(8)) = $22.
As before, with an output of 8, consumer surplus is $32; social welfare is $54. In this case,
social welfare rises when output is increased to discourage entry.