Bestimmung der spez. Elektronenladung

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Laborbericht zum Thema
Bestimmung der spezifischen
Elekt
Elektronenladung e/m
Datum: 26.08.2011
Autoren: Roland Dardagan, Christoph Winkler, Mathias
Kerschensteiner, Max Fuchs, Amelie Maurer
Friedrich-August Haselwander Gewerblich-Technische Schule Offenburg
Laborbericht
Thema: Bestimmung der spez. Elektronenladung e/m
Inhaltsverzeichnis
Seite
1
Aufgabenstellung .........................................................................................3
2
Theorie und Grundlagen zum Versuch ........................................................4
2.1
Fadenstrahlrohr ................................................................................... 4
2.1.1
3
Herleitung der Formel ................................................................... 6
2.2
Spezifische Elektronenladung e/m....................................................... 9
2.3
Erwartungen ........................................................................................ 9
Versuchsaufbau, verwendete Geräte.........................................................10
3.1 Geräte........................................................................................................10
3.1.1
Erklärung der Messeinrichtung ................................................... 11
3.2 Versuchsaufbau.........................................................................................12
4
Versuchsablauf ..........................................................................................13
4.1
5
Messwerte/Wertetabelle ............................................................................15
5.1
6
Gemessene Größen .......................................................................... 14
Wertetabelle....................................................................................... 15
Versuchsauswertung .................................................................................16
6.1
Auswertung mittels Geradensteigung ................................................ 16
6.1.1
Berechnung von e/m................................................................... 18
6.1.2
Berechnung von m...................................................................... 19
6.2
Auswertung – Ergebnisdiskussion ..................................................... 20
7
Aufgetretene Probleme, Fehler und Genauigkeitsbereich der Messung....21
8
Quellenverzeichnis.....................................................................................23
8.1
Abbildungen....................................................................................... 23
8.2
Quellen .............................................................................................. 23
Seite 2 von 23
Laborbericht
1 Aufgabenstellung
Seite 3 von 23
Laborbericht
2 Theorie und Grundlagen zum Versuch
2.1 Fadenstrahlrohr
Beim Fadenstrahlrohr werden beschleunigte Elektronen in einer Kugel aufgrund
der Lorentzkraft (siehe Herleitung) auf eine Kreisbahn abgelenkt. Über den
Durchmesser der Kreisbahn, die die abgelenkten Elektronen zurücklegen kann
man die spezifische Elektronenladung e/m bestimmen. Mit dieser konnte man
erstmals Dank der im Millikan - Versuch bestimmten Elektronenladung e die
Elektronenmasse m bestimmen.
In der in Abbildung 1 dargestellten Röhre befindet sich ein annäherndes Vakuum1, in welches etwas Gas (bei uns Wasserstoffgas) eingefüllt wird, somit entsteht eine Atmosphäre niedrigen Druckes (bei uns 0,013 mbar). In jener ionisieren die Elektronen das darin befindliche Gas, welches entlang der Teilchenbahn
ein bläuliches Licht aussendet (Abbildung 1).
Abbildung 1: Kreisbahn der abgelenkten Elektronen
2
1
http://de.wikipedia.org/wiki/Fadenstrahlrohr
2
http://www.tu-ilmenau.de/exphys1/lehre/physikpraktikum/versuche/atomphysik/
Seite 4 von 23
Laborbericht
Beim Erhitzen einer Heizspirale treten Elektronen aus, welche in dem elektrischen Feld des Beschleunigers (zwischen Anode und Kathode) beschleunigt
werden und anschließend in eine Röhre eintreten, worin die Ablenkung durch
ein homogenes Magnetfeld stattfindet. Diese Ablenkung findet so statt, da das
Magnetfeld im Inneren der Röhre senkrecht zum Elektronenstrahl verläuft.
Das homogene Magnetfeld im Inneren der Kugel wird durch zwei Helmholtzspulen erzeugt, welche den gleichen Radius R besitzen und deren Abstand zueinander gleich dem Radius R ist3. Dadurch überlagern sich deren Magnetfelder,
so dass ein homogenes Magnetfeld entsteht (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Magnetfeld und Aufbau einer Helmholtzspule
4
3
http://www.techniklexikon.net/d/helmholtz-spulen/helmholtz-spulen.htm
4
Seite 5 von 23
Laborbericht
2.1.1 Herleitung der Formel
Abbildung 3: Schema Fadenstrahlrohr
5
In Abbildung 3 ist der Ansatz für die Herleitung der Formel ersichtlich. Die Elektronen werden durch die wirkende Lorentzkraft auf eine Kreisbahn um den Mittelpunkt M gezwungen, diese hat den Radius r, bzw. den Durchmesser d.
Da sich das Elektron in der Röhre auf einer Kreisbahn bewegt entspricht die
Lorentzkraft der Zentripetalkraft, somit setzt man FZP mit FL gleich:
FZP = FL
m ⋅ v²
= q⋅ v ⋅B
r
m⋅v
= q⋅B
r
m⋅ v = q⋅B ⋅r
5
http://ge-waldbroel.nw.lo-net2.de/will/physik12.html
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Laborbericht
Mit Hilfe des Energieerhaltungssatz kann man die Eintrittsgeschwindigkeit des
Elektrons in die Röhre bestimmen. Dazu verwendet man die Formel für die kinetische Energie sowie für die elektrische Energie:
Wkin = W el
1
⋅ m ⋅ v² = U ⋅ q
2
Nach einer Umformung erhält man mit dieser eine Formel für die Geschwindigkeit v:
2 ⋅U⋅ q
m
2 ⋅U⋅ q
v=
m
v² =
Jene Formel für die Geschwindigkeit v setzt man in die erste Formel ein und
quadriert die Formel:
mit v =
m ⋅ v = q⋅B ⋅r
2 ⋅U⋅ q
= q⋅B ⋅r
m
2⋅U⋅ q
m² ⋅
= q² ⋅ B² ⋅ r ²
m
m ⋅ 2 ⋅ U = q ⋅ B² ⋅ r ²
m⋅
q
2 ⋅U
=
m B² ⋅ r ²
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2 ⋅U⋅ q
m
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q entspricht e, für B setzt man die angegeben Formel für das Mittenfeld der
Helmholtzspulen ein:
q
2 ⋅U
=
m B² ⋅ r ²
mit B = 0,7155 ⋅ η0 ⋅ n ⋅
Ierr
R
und e = q
e
2 ⋅U
=
2
m 
Ierr 
 ⋅ r²
 0,7155 ⋅ η0 ⋅ n ⋅
R

e
2 ⋅ U ⋅ R²
=
m (0,7155 ⋅ η0 ⋅ n ⋅ Ierr )2 ⋅ r ²
e
U
R²
= 2⋅
⋅
2
m
(0,7155 ⋅ η0 ⋅ n) r ² ⋅ Ierr 2
Nun ersetzt man Ierr durch I und hat die Formel, mit der man e/m berechnen
kann:
e
U
R²
= 2⋅
⋅
2
m
(0,7155 ⋅ η0 ⋅ n) r ² ⋅ I2
Folgende Größen stellen die Formelzeichen dar:
•
U ist die Anodenspannung
•
n Anzahl der Windungen der Spule
•
R ist der mittlere Radius der Helmholtzspulen
•
I ist der Spulenstrom
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2.2 Spezifische Elektronenladung e/m
Die spez. Elektronenladung e/m gibt das Verhältnis der Ladung e eines Elektrons zu seiner Masse m an6. Der Literaturwert ist wie folgt festgelegt:
e
C
= 1,759 ⋅ 1011
m
kg
Die Masse des Elektrons, welche im diesem Versuch ebenfalls bestimmt wird
ist als Literaturwert definiert auf:
m = 9,1093897 ⋅ 10 −31 kg
Die Ladung eines Elektrons beträgt:
e = 1,6021892 ⋅ 10 −19 C
2.3 Erwartungen
Wir erwarteten, dass sich die spezifische Elektronenladung e/m, welche in unserem Versuch bestimmt wird, dem oben angegebenen Literaturwert entspricht.
Außerdem erwarteten wir folglich als Teilergebnis eine dem Literaturwert entsprechende Masse m eines Elektrons.
Wenn der Spulenstrom erhöht wird, steigt die magnetische Flussdichte, dadurch wirkt eine größere Lorentzkraft und der Durchmesser des Elektronenstrahls wird kleiner, da die Elektronen stärker abgelenkt werden.
6
http://de.wikipedia.org/wiki/Spezifische_Ladung
Seite 9 von 23
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3 Versuchsaufbau, verwendete Geräte
3.1 Geräte
Abbildung 4: benötigte Geräte
Achtung! In der Abbildung sind die Messgeräte falsch eingestellt:
•
Beide sind auf Spannung eingestellt, für den Versuch benötigt man aber
ein Spannungs- und ein Strommessgerät.
•
Außerdem ist die Skalierung falsch eingestellt (richtige Skalierung: U 0 –
300 V und I: 0-3 A)
Folgende Geräte werden benötigt:
•
Eine Strom- und Spannungsquelle (Beschleunigungsspannung, Spulenstrom; Heizwendel)
•
Ein Strom- sowie Spannungsmessgerät (Einstellung des Spulenstroms
sowie der Anodenspannung)
•
Ein Fadenstrahlrohr
•
Sowie sonstige Dinge (Taschenlampe zum leichteren Ablesen bei Dunkelheit, Verkabelung, Lineal zur Messung des Durchmessers des Elektronenstrahls)
Seite 10 von 23
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3.1.1 Erklärung der Messeinrichtung
Abbildung 5: Messeinrichtung am Fadenstrahlrohr
Hinter der Glasröhre ist ein Spiegel angebracht. Auf der gegenüberliegenden
Seite befindet sich die verstellbare Messleiste.
Die schwarzen Markierungen (Schenkel) werden auf den Durchmesser des Elektronenstrahls gebracht. Die Flucht der schwarzen Markierung, des Elektronenstrahls und der Spiegelung der Beiden müssen eine Parallaxe bilden. Dies
muss an beiden äußeren Enden des Elektronenstrahls der Fall sein.
Die Markierung an der in der oberen Abbildung rechten Seite befindlich, kann
während des Versuchs fix gehalten werden. So muss nur die andere Markierung an den Durchmesser des Elektronenstrahls angepasst werden
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3.2 Versuchsaufbau
Beim Versuchsaufbau sollte so vorgegangen werden:
1. Zuerst Anschließen der Messgeräte, Strom- und Spannungsquelle an
das Fadenstrahlrohr. Hierbei ist auf das Schaltbild an der Front des Fadenstrahlrohrs zu achten:
Abbildung 6: Anschlussplan
•
6,3 V werden an die Heizwendel angeschlossen
•
200V (Schlecht sichtbarer Elektronenstrahl bei vorgegebene
150V) als Beschleunigungsspannung (die großen Anschlüsse
ganz links) dazu Messgerät parallel geschaltet
•
Spulenstrom wird während des Versuchs zwischen 1A und 2A
verändert (Anschlüsse ganz rechts), dazu Messgerät in Reihe geschaltet
2. Kontrolle der Schaltung auf Richtigkeit vor dem Einschalten.
3. Einschaltung der Spannungs- sowie Stromquelle und Einstellen der Beschleunigungsspannung und des Spulenstroms.
4. Nachdem die Heizwendel heiß genug ist, treten die Elektronen aus und
werden in den Glaskolben geschossen, der Elektronenstrahl wird sichtbar. Der Elektronenstrahl darf keine Spirale, sondern sollte einen Kreis
bilden. Dies erreicht man durch Drehen des Glases. Wenn der Elektronenstrahl einen Kreis bildet, kann mit dem Versuch begonnen werden.
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4 Versuchsablauf
Der Versuch ist wie folgt durchzuführen:
•
Der Spulenstrom wird zuerst auf 1A und dann in 0,2er Schritten bis auf
2A erhöht. Ein Spulenstrom von 2A darf nicht überschritten werden!
•
Bei jedem 0,2A-Schritt wird der Durchmesser d des Elektronenstrahls
und die Größe des Spulenstroms aufgeschrieben. Der Durchmesser d
wird an der Messeinrichtung abgelesen.
Hinweis:
Wie haben Messwerte nur im Bereich von 1,04A bis 1,85A, da die Stromquelle
nicht mehr bzw. weniger zur Verfügung gestellt hat. Außerdem haben wir
0,05 A-Schritte verwendet, um genauere Werte zu bekommen.
Beim Versuch ist auf Folgendes zu achten:
•
Richtiges Verwenden der Messeinrichtung: Entweder wird der Außendurchmesser des Elektronenstrahls, oder der Innendurchmesser der
Messeinrichtung verwendet, aber beides sollte während des Versuches
nicht gemischt werden.
•
Um Ungenauigkeiten zu vermeiden sollte der Spulenstrom so genau wie
möglich eingestellt werden, sowie der Durchmesser so genau wie möglich bestimmt werden.
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4.1 Gemessene Größen
Während des Versuchs wurde nur der Durchmesser des Elektronenstrahls sowie der jew. Spulenstrom (I) gemessen. Aus dem Durchmesser kann sofort der
Radius (r) ermittelt werden (r=d/2).
Aus diesen Werten (r, I) wird später über das in der Versuchsauswertung gezeigte Verfahren die spez. Elektronenladung e/m und daraus wiederum die Elektronenmasse m bestimmt.
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5 Messwerte/Wertetabelle
5.1 Wertetabelle
In der Wertetabelle sind die während des Versuchs ermittelten Werte dargstellt.
Der Durchmesser d wurde gleich in den Radius r umgerechnet.
Durchmesser d
des Elektronenstrahls
in m
Strom I
der Spule in A
1,04
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
0,119
0,1145
0,108
0,1015
0,0955
0,092
0,09
0,087
0,083
0,079
0,077
0,075
0,072
0,0705
0,069
0,067
0,0655
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Radius r des
Elektronenstrahls in m
0,0595
0,05725
0,054
0,05075
0,04775
0,046
0,045
0,0435
0,0415
0,0395
0,0385
0,0375
0,036
0,03525
0,0345
0,0335
0,03275
Laborbericht
6 Versuchsauswertung
6.1 Auswertung mittels Geradensteigung
Strom I
der Spule in A
Durchmesser d
des Elektronenstrahls
in m
Radius r des
Elektronenstrahls
in m
1/I^2 in 1/A²
r^2 in m²
1,04
0,119
0,0595 0,924556213 0,00354025
1,1
0,1145
0,05725 0,826446281 0,00327756
1,15
0,108
1,2
0,1015
0,05075 0,694444444 0,00257556
1,25
0,0955
0,04775
1,3
0,092
0,046 0,591715976
0,002116
1,35
0,09
0,045 0,548696845
0,002025
1,4
0,087
0,0435 0,510204082 0,00189225
1,45
0,083
0,0415 0,475624257 0,00172225
1,5
0,079
0,0395 0,444444444 0,00156025
1,55
0,077
0,0385 0,416233091 0,00148225
1,6
0,075
0,0375
1,65
0,072
1,7
0,0705
0,03525 0,346020761 0,00124256
1,75
0,069
0,0345 0,326530612 0,00119025
1,8
0,067
0,0335 0,308641975 0,00112225
1,85
0,0655
0,03275 0,292184076 0,00107256
0,054 0,756143667
0,002916
0,64 0,00228006
0,390625 0,00140625
0,036 0,367309458
0,001296
Die errechneten Werte wie folgt in ein Diagramm eingetragen:
•
auf die x-Achse r²
•
und auf die y-Achse 1/I²
Die eingezeichneten Werte bilden einen annähernden linearen Verlauf. Nun
versucht man eine möglichst gute Ausgleichgerade einzuzeichnen, dies kann
auch durch Excel geschehen. Mit der Steigung der Ausgleichsgerade wird
nachher weitergerechnet.
Seite 16 von 23
1/I² in
1/A²
Seite 17 von 23
0
0,001
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,002
r² in m²
0,0025
Blau: Messwerte
Grün: Ausgleichgerade / Geradengleichung der Ausgleichgerade
0,0015
0,003
y = 248,74x + 0,0425
0,0035
Laborbericht
Laborbericht
6.1.1 Berechnung von e/m
Die Steigung der Ausgleichgerade ist so definiert:
1
1
Steigung = ∆I² =
∆r ² ∆I² ⋅ ∆r ²
Die Steigung kann folglich in die in Kapitel 1 hergeleitete Formel eingesetzt
werden:
e
U
R²
= 2⋅
⋅
2
m
(0,7155 ⋅ η0 ⋅ n) r ² ⋅ I2
1
e
U ⋅ R²
= 2⋅
⋅
2
m
(0,7155 ⋅ η0 ⋅ n) r² ⋅ I 2
e
U ⋅ R²
= 2⋅
⋅ Steigung
m
(0,7155 ⋅ η0 ⋅ n)2
Für die weiteren Größen verwendet man:
•
für U verwendet die Anodenspannung (in den Vorgaben 150 V, wir haben aus Gründen der besseren Sichtbarkeit des Elektronenstrahls 200 V
verwendet)
•
n ist die Windungszahl einer Spule (hier: 130)
•
R ist der mittlere Radius der Helmholtzspulen (hier: 15cm)
Die Ausgleichgerade, welche mit Excel bestimmt werden kann lautet in unserem Fall
y = 248,74 x + 0,0425
Seite 18 von 23
Laborbericht
Somit ist die Steigung 248,74, diese wird mit den vorher erwähnten Werten in
die oben genannte Formel eingesetzt:
e
U ⋅ R²
= 2⋅
⋅ Steigung
m
(0,7155 ⋅ η0 ⋅ n)2
e
200 V ⋅ (0,15m)²
1
= 2⋅
⋅ 248,74
2
m
A² ⋅ m²


− 6 Vs
⋅ 130 
 0,7155 ⋅ 1,2566 ⋅ 10
Am


e
C
= 1,638656964 ⋅ 1011
m
kg
6.1.2 Berechnung von m
Aus der spez. Elektronenladung e/m kann man die Elektronenmasse m
bestimmen. Hierzu verwendet man den Literaturwert der Ladung eines Elektrons e = 1,6021892 ⋅ 10 −19 C :
C
e
= 1,638656964 ⋅ 1011
kg
m
m
=
e
m=
1
1,638656964 ⋅ 1011
e
1,638656964 ⋅ 1011
m=
C
kg
C
kg
1,6021892 ⋅ 10 −19 C
C
1,638656964 ⋅ 1011
kg
m = 9,77745333 ⋅ 10 −31 kg
Seite 19 von 23
Laborbericht
6.2 Auswertung – Ergebnisdiskussion
•
Unser in diesem Versuch bestimmtes e / m = 1,638656964 ⋅ 1011 C / kg
weicht um 0,122 ⋅ 1011 C/kg
vom Literaturwert e / m = 1,759 ⋅ 1011 C / kg
ab, was einer Abweichung vom Literaturwert von +6,847% entspricht.
•
Unsere Masse m = 9,77745333 ⋅ 10 −31kg weicht ebenfalls vom Literaturwert mit m = 9,1093897 ⋅ 10 −31 kg ab und zwar um 0,6731⋅ 10 −31 kg . Das
entspricht einer Abweichung um -7,334% vom Literaturwert.
Unsere Erwartungen bezüglich den bestimmten Werten (e/m, m) wurden erfüllt,
die Abweichungen halten sich in Grenzen. Auf die Gründe einer möglichen Abweichung wird im nächsten Kapitel eingegangen.
Der Durchmesser nahm mit zunehmenden Spulenströmen wie erwartet ab.
Seite 20 von 23
Laborbericht
7 Aufgetretene Probleme, Fehler und Genauigkeitsbereich der
Messung
Folgende Probleme sind aufgetaucht und ergeben Ungenauigkeiten:
•
Kein exaktes Abmessen des Durchmessers möglich, da sich die Messmarkierungen nicht exakt im rechten Winkel zu den Leisten befinden.
Dadurch ergibt sich eine Toleranz des Durchmessers von 2mm, was eine Toleranz des Radius von 1mm zur Folge hat.
•
Beim Einstellen des Spulenstroms kam es zu Ungenauigkeiten. So bekamen wir trotz gleichen Spulenstroms verschiedene Durchmesser des
Elektronenstrahls. Dies lag an der Einstellvorrichtung der Stromquelle.
Beispielsweise wurde durch minimales Drehen am Einstellungsrat der
Stromquelle die Stromstärke laut Messvorrichtung nicht erhöht, der
Durchmesser aber um fast 2mm beeinflusst.
•
Bei unserem ersten Fadenstrahlrohr war der Elektronenstrahl kaum
sichtbar, deshalb haben wir das Fadenstrahlrohr gewechselt. Hier ist es
wichtig, dass man über ein Fadenstrahlrohr verfügt, dass einen klaren erfassbaren Elektronenstrahl liefert, ansonsten ist eine exakte Messung
nicht möglich.
Da der Radius r sowie der Spulenstrom I jew. zum Quadrat in die Berechnung einfließen erhöht sich dadurch die Ungenauigkeit.
Die Genauigkeit des Radius r liegt auf Grund der oben genannten Punkte
bei etwa 1,5mm. Dieser Wert wird aber im Quadrat verwendet, also tritt eine
Ungenauigkeit von etwa 2,25mm beim Radius² r² auf.
Seite 21 von 23
Laborbericht
Verbesserungsmöglichkeiten:
Durch eine relativ genaue Ermittlung der Ausgleichgeraden mittels Excel, sind
auf die Ausgleichgerade kaum Ungenauigkeiten und Abweichungen zurückzuführen. Wenn man aber die Ausgleichgerade betrachtet, erkennt man, dass die
größten Ausreißer vor allem im oberen Teil der Gerade liegen. Das führt zu folgender Überlegung:
•
Bei niedrigem Spulenstrom ergibt sich ein größerer Radius r und somit
größere Abweichungen. Niedrige Spulenströme bilden wegen der Einzeichnung von 1/I² auf der y-Achse und r² auf der x-Achse den oberen
Teil der Gerade.
•
Große Stromstärken liefern hingegen kleine Radien und haben somit genauere Werte zur Folge, jene Werte bilden den unteren, genaueren Teil
der Gerade.
Da die Werte mit großen Stromstärken genauer sind müsste man mehrere
Messreihen mit niedrigeren Strömen durchführen, um den oberen Teil der Gerade genauer zu bekommen, also eine genauere Ausgleichgerade zu erreichen.
Außerdem könnte man zu neueren Apparaturen mit besseren Messvorrichtungen greifen. Diese verfügen oftmals über eine extra Optik, die der des Millikanversuchs ähnelt. Hiermit wären wesentlich genauere Messwerte möglich.
Ebenfalls stellt sich uns die Frage, ob unser Fadenstrahlrohr über einen Geschwindigkeitsfilter verfügte. Moderne Apparaturen, die wir im Internet gesehen
haben hatten oftmals einen Geschwindigkeitsfilter eingebaut. Jener würde nur
Elektronen gleicher Geschwindigkeit passieren lassen, was die Genauigkeit
steigern würde.
Seite 22 von 23
Laborbericht
8 Quellenverzeichnis
8.1 Abbildungen
Seite
Abbildung 1: Kreisbahn der abgelenkten Elektronen ......................................... 4
http://www.tu-ilmenau.de/exphys1/lehre/physikpraktikum/versuche/atomphysik/
Abbildung 2: Magnetfeld und Aufbau einer Helmholtzspule............................... 5
Abbildung 3: Schema Fadenstrahlrohr............................................................... 6
http://ge-waldbroel.nw.lo-net2.de/will/fadenstrahlrohr.jpg
8.2 Quellen
Seite
2
Theorie und Grundlagen zum Versuch ........................................................4
2.1
Fadenstrahlrohr ................................................................................... 4
http://de.wikipedia.org/wiki/Fadenstrahlrohr
2.2
Spezifische Elektronenladung e/m....................................................... 9
http://de.wikipedia.org/wiki/Spezifische_Ladung
Seite 23 von 23

Bestimmung der spez. Elektronenladung

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