3 - Technische Hochschule Mittelhessen

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Master Thesis
zur Erlangung des akademischen Grades Master of Science
Modellierung der patientennahen Strahlführung einer
Partikeltherapieanlage mit Hilfe des
Monte-Carlo-Codes FLUKA unter exakter
Berücksichtigung modulierender Elemente
vorgelegt von
Kilian-Simon Baumann
aus München
eingereicht an der
Technischen Hochschule Mittelhessen - University of Applied Sciences
im Fachbereich Krankenhaus- und Medizintechnik, Umwelt- und Biotechnologie
am Institut für Medizinische Physik und Strahlenschutz
13.02.2015
Referent: Prof. Dr. rer. nat. Klemens Zink
Korreferent: Dr. rer. nat. Uli Weber
II
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Motivation & Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
1
1
4
Partikeltherapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Wechselwirkung geladener Teilchen mit Materie . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Anwendung der Partikelstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.3
Energiemodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Laterale Vielfachstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1
Molières Theorie der Vielfachstreuung
. . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2
Näherung von Highland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Magnetische Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4
Simulationen mit Monte-Carlo-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1
2.5
Der Monte-Carlo-Code FLUKA zum Transport geladener Teilchen 19
Strahlkopf der Partikeltherapieanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1
Ionisations- und Multi-Wire-Kammern . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2
Ripple-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Material und Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
24
Analyse der Anoden- und Kathoden-Folien der Dosiskammern . . . . . . 24
3.1.1
3.1.2
Untersuchung der Modulationseffekte durch die Gewebefolien . . . 26
3.1.1.1
Methode I: Energiemodulation . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1.2
Methode II: Geometrische Modulation der Dicke
. . . . 30
Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der Dosiskammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III
3.1.2.1
Untersuchung der Streuwinkelverteilung bei Variation
des Nickelanteils der Folien . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2
Modellierung des Strahlkopfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3
Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4
Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfachstreuung und der Näherung von Highland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Ergebnisse & Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
39
Analyse der Anoden- und Kathoden-Folien der Dosiskammern . . . . . . 39
4.1.1
Methode I: Energiemodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2
Methode II: Geometrische Modulation der Dicke . . . . . . . . . . 41
4.1.3
Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der Dosiskammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3.1
Untersuchung der Streuwinkelverteilung bei Variation
des Nickelanteils der Folien . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2
Modellierung des Strahlkopfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3
Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4
Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfachstreuung und der Näherung von Highland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Zusammenfassung & Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Literaturverzeichnis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Einverständniserklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
IV
Abbildungsverzeichnis
2.1
Tiefendosiskurven für Kohlenstoff-Ionen in Wasser für verschiedene Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Der Effekt des Ripple-Filters auf die Tiefendosiskurve bei verschiedenen
Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Aufbau eines 2-dimensionalen Ripple-Filters . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4
Aufbau und magnetisches Feld eines Quadrupolmagneten . . . . . . . . . 15
2.5
Der schematische Aufbau des Strahlkopfes des Beschleunigers
3.1
Raster-Elektronen-Mikroskop-Aufnahme und Querschnitt der PolyesterNickel-Folien aus den Dosiskammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2
Schematischer Aufbau der FLUKA-Simulationen zur Untersuchung der
Folienmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3
Tiefendosiskurven und Faltungskern für elf Folien als Gitter . . . . . . . 28
3.4
Gauss’sche Wahrscheinlichkeitsverteilung der Dicke von elf bzw. einer Folie 31
3.5
Der schematische Strahlengang bei Verwendung des Strahlkopfes und
zwei Quadrupolmagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1
Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der mittels USRmed-Routine
modulierten homogenen Folien für 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen . . . . . 40
4.2
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Dicke einer Folie . . . . . . 41
4.3
Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der mittels den Source-Routinen
4.4
Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der mittels Benutzerroutinen
4.5
Streuwinkelverteilung der verschiedenen Folien für 80 MeV/u KohlenstoffIonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6
Die Breiten σ der Streuwinkelverteilungen für verschiedene Nickelanteile
α und Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7
Tiefendosiskurven bei Verwendung des Strahlkopfes für verschiedene Kombinationen der Bauteile bei 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen . . . . . . . . . 48
V
6
. . . . . . 21
4.8
Auswahl an Tiefendosiskurven bei Verwendung des Strahlkopfes für verschiedene Kombinationen der Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.9
Tiefendosiskurven bei Verwendung des Strahlkopfes für verschiedene Kombinationen der Bauteile bei 400 MeV/u Kohlenstoff-Ionen . . . . . . . . . 51
4.10 Fluenz in der x-z-Ebene im Bereich des Strahlkopfes und des anschließenden Nahfeldes für 270 MeV/u Kohlenstoff-Ionen . . . . . . . . . . . . 53
4.11 Fluenzen in der x-z- und y-z-Ebene bei Verwendung von Quadrupolmagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.12 Fluenzuntersuchung der Kohlenstoff-Ionen im Isozentrum für fokussierte
Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.13 Vergleich der Breite σ der Streuwinkelverteilung nach Molière und der
Näherung nach Highland bei Variation des Nickelanteils . . . . . . . . . . 57
VI
ZUSAMMENFASSUNG
In dieser Arbeit wurde der Strahlkopf einer Partikeltherapieanlage detailliert erfasst
und der Teilchentransport von 80 MeV/u und 400 MeV/u Kohlenstoff-Ionen durch diese Bestrahlungsanlage mithilfe des Monte-Carlo-Codes FLUKA simuliert. Der Strahlkopf besteht aus drei Ionisationskammern, 2 Multi-Wire-Kammern und einem 4 mm
Ripple-Filter. Es wurden die Effekte der verschiedenen Dosiskammern und des 4 mm
Ripple-Filters auf die Tiefendosiskurven untersucht. Die Anoden- und Kathodenfolien
der Dosiskammern bestehen aus einem feinmaschigen Gewebe, welches einen modulierenden Effekt auf die Tiefendosiskurven hat. Dieser Effekt wurde mathematisch durch
einen normalverteilten Faltungskern beschrieben. Mithilfe dieses Faltungskernes ließen
sich für FLUKA Benutzerroutinen programmieren, die die Rechenzeit um 90% verkürzen. Es wurde gezeigt, dass die Multi-Wires ebenfalls einen modulierenden Effekt haben,
welcher aber schwächer ausgeprägt ist. Der 4mm Ripple-Filter wurde ebenfalls mithilfe
einer Benutzerroutine in FLUKA implementiert. Es wurde gezeigt, dass der Spread-Out
Bragg Peak des Ripple-Filters die modulierenden Effekte der Gewebefolien und MultiWires verschmiert.
Des Weiteren wurde die Strahlfokussierung zweier Quadrupolmagnete berechnet. Hierfür wurde in Matlab ein Werkzeug entwickelt, mit dem sich die Magnetfeldstärken der
Magnete für ein gegebenes ionenoptisches System optimieren lassen. Diese Magnetfeldstärken konnten dann in FLUKA übergeben werden, um den Teilchentransport exakt
zu berechnen.
(ϑ) von 80
In einer weiteren Untersuchung wurden die Streuwinkelverteilungen ddN
Ω
MeV/u Kohlenstoff-Ionen nach durchlaufen verschiedener Materialien untersucht und
die Theorie der Vielfachstreuung nach Molière mit einer Näherung von Highland verglichen. Es wurde gezeigt, dass die Näherung nach Highland zu Abweichungen von unter
7% in der Breite der Winkelverteilungen gegenüber der Theorie von Molière führt.
VII
ABSTRACT
In this work the beam monitor system (BAMS) of a particle therapy facility was analyzed
in a detailed manner. Therefore the transport of 80 MeV/u and 400 MeV/u carbonions through the BAMS was simulated by using the Monte Carlo code FLUKA. The
BAMS consists of three ionization chambers, two Multi-Wire chambers and a 4 mm
ripple filter. The effects of these chambers and the ripple filter on the depth-dose curve
were analyzed. The chamber’s anodes and cathodes consists of a mesh-like foil that
results in a modulating effect due to its heterogenity that broadens the Bragg Peak. To
describe this effect a mathematic modell was developed, that uses a normally distributed
convolution. Using this convolution a user-routine for FLUKA was programmed, which
results in a shortening of the computing time of about 90%. It was also shown, that
the Multi-Wires have an modulating effect, which is however more subtle compared to
the modulating effect of the mesh-like anode- and cathodefoils. The 4mm ripple filter
was implemented in FLUKA by using a user-routine. It was shown, that the spread-out
Bragg Peak induced by the ripple filter smears out the modulating effects of the foils
and the Multi-Wires.
Furthermore the beam-focussing by two quadrupole magnets was analyzed. Therefore a
Matlab-tool was developed, which can optimize the magnetic field strength for a given
system. These magnetic field strengths can be transfered to FLUKA to exactly simulate
the particle transport.
(ϑ) of 80 MeV/u
In an additional examination the distribution of the scattering angles ddN
Ω
carbon-ions after traversing various materials was analyzed. The theory of multiple
scattering by Molière was compared to an approximation by Highland. It was shown,
that the approximation by Highland leads to aberration less than 7% in the width of
the distribution compared to Molière’s theory.
VIII
Kapitel 1
Einleitung
1.1
Motivation & Einleitung
Nach Erkrankungen des Herz-Kreislaufsystems (über 350 000 Todesfälle im Jahr 2013)
sind Krebsleiden (über 230 000 Todesfälle im selben Jahr) die häufigste Todesursache in
Deutschland [1]. Aufgrund der demografischen Entwicklung in Deutschland ist zwischen
den Jahren 2010 und 2030 mit einem Anstieg der Krebsneuerkrankungen von 20% zu
rechnen [2]. Die häufigsten Lokalisationen maligner Erkrankungen sind die männliche
Prostata, weibliche Brustdrüsen, der Darm und die Lunge [2].
Neben operativen Eingriffen und der Chemotherapie stellt die Strahlentherapie ein wichtiges Standbein in der kurativen sowie palliativen Behandlung maligner Erkrankungen
dar. Um optimale Heilungschancen zu erzielen, bietet sich in den meisten Fällen eine
Kombination dieser drei Modalitäten an [3, 4, 5].
Ziel der Strahlentherapie ist es, durch ionisierende Strahlung Schädigungen der DNS im
Zellkern hervorzurufen, sodass die Tumorzelle nicht mehr überlebensfähig ist [6]. Dabei
ist in erster Näherung die Anzahl der Schädigungen proportional zur deponierten Energie. Die Chance der Abtötung der Tumorzellen steigt also mit der applizierten Dosis
im Zielvolumen an. Allerdings muss das Risiko unerwünschter Nebenwirkungen durch
Dosisbelastungen des umliegenden, gesunden Gewebes gering gehalten werden, weshalb
die Dosisapplikation im Zielvolumen begrenzt ist.
Bei der perkutanen Strahlentherapie, bei der sich zwangsläufig immer auch gesundes
Gewebe im Strahlengang befindet, liegt die Herausforderung also in der Optimierung
der Dosisverteilung. Eine Lösung hierfür bietet die intensitätsmodulierte Strahlentherapie mit Photonen (IMRT) in Kombination mit bildgebenden Systemen. Nachteil der
Photonentherapie ist aber zum einen, dass aufgrund der Wechselwirkungsmechanismen
stets die maximale Dosis in geringen Tiefen appliziert wird. Zum anderen ist es aufgrund der Streueigenschaften nur schwer möglich, steile Dosisgradienten am Rand des
Zielvolumens zu erhalten.
1
Ein anderer Ansatz ist die Bestrahlung mit schweren geladenen Teilchen, also zum Beispiel Protonen und Schwerionen [7]. Im Gegensatz zur Photonenstrahlung wird bei der
Bestrahlung mit schweren geladenen Teilchen ein Großteil der Dosis in einer definierten Tiefe deponiert [7, 8, 9]. Diese Tiefe hängt von der primären Energie der Teilchen
ab, kann also an die Lage des Zielvolumens angepasst werden. Die am häufigsten verwendeten Teilchen sind Protonen und Kohlenstoff-Ionen. Während bei Protonen die
biologische Wirksamkeit vergleichbar mit der der Photonen ist, ist sie für schwerere Ionen, also insbesondere Kohlenstoff-Ionen, signifikant größer [10, 11]. Des Weiteren kann
bei Verwendung der Teilchenstrahlung in vielen Fällen eine bessere Konformität der
Dosis gegenüber der IMRT erreicht werden [12]. Zudem können die Teilchenstrahlen
im Gegensatz zur Photonentherapie mithilfe von Magneten fokussiert werden, was eine
Bestrahlung mit Pencil-Beams ermöglicht. Insgesamt ist es möglich, eine höhere Dosis
homogen im Zielvolumen zu applizieren, während die Dosis im umliegenden, gesunden
Gewebe gering gehalten wird. Die Bestrahlung mit schweren geladenen Teilchen hat also
für bestimmte Lokalisationen von Tumoren signifikante Vorteile gegenüber der Bestrahlung mit Photonen [11, 13].
Problemstellung und Ziele dieser Arbeit
Allerdings birgt diese Form der Bestrahlung auch Nachteile. Neben hohen Kosten für den
Bau und die Wartung eines Teilchenbeschleunigers besteht noch ein großer Bedarf an
kostenintensiver Forschungsarbeit [14]. Diese ist zwingend notwendig, um die Präzision
der Dosisapplikation zu verbessern, sodass die physikalischen Vorteile der Teilchentherapie bestmöglich klinisch umgesetzt werden können.
In dieser Arbeit wurde mithilfe des Monte-Carlo-Codes FLUKA der Teilchentransport
durch den Bestrahlungskopf der Beschleunigeranlage am Partikel-Therapie-Zentrum in
Marburg simuliert. Die einzelnen Bestandteile wurden detailliert in Hinsicht auf Material, Aufbau, Abmessung und Position im Strahlengang analysiert. Die wichtigsten
Bestandteile des Strahlerkopfes sind neben dem Vakuumfenster die drei Ionisationskammern zur Dosisüberwachung und zwei Multi-Wire-Kammern zur Überwachung der
Strahlposition und -richtung. Wahlweise kann ein Ripple-Filter zur Verbreiterung des
Bragg Peaks verwendet werden. Untersucht wurden die Tiefendosiskurven in einem Wasserphantom im Isozentrum bei Bestrahlung mit Kohlenstoff-Ionen. Als Energien wurden
meist 80 MeV/u und 400 MeV/u gewählt. Diese Energien entsprechen Reichweiten von
2 bis 30 cm in Wasser und stellen die Grenzenergien dar, welche am Beschleuniger er2
zeugt werden können. Aufgenommen wurden die Tiefendosiskurven bei verschiedenen
Kombinationen der genannten Bauteile, um deren jeweiligen Effekte sichtbar zu machen.
Insbesondere wurden dabei die Anoden und Kathoden der Ionisationskammern untersucht. Der Grund hierfür liegt in ihrer gewebeartigen Struktur, die zu einer Modulation
der Tiefendosiskurve führt. Problematisch war dabei die hohe Rechenzeit, die FLUKA
benötigt, um solche heterogenen Geometrien zu berechnen. Aus diesem Grund wurde
der Effekt der Modulation durch ein schnelleres, mathematisches Modell ersetzt. Dieses
Modell wurde programmtechnisch über eine Benutzerroutine in FLUKA eingebunden.
Dies bietet den Vorteil, dass FLUKA eine homogene Geometrie berechnet, die Routine
die Geometrie aber so verändert, dass die Effekte der heterogenen Geometrie zu sehen
sind. So lässt sich ein Vielfaches an Rechenzeit sparen.
Weiterhin wurde die Strahlfokussierung in FLUKA auf Basis zweier Quadrupolmagnete
implementiert. Hierfür wurden die optimalen Magnetfeldstärken für gegebene Teilchen
und Energien mithilfe von Abbildungsmatrizen in Matlab bestimmt.
Zusätzlich wurden Untersuchungen zu Molières Theorie zur Vielfachstreuung gemacht.
Dabei wurde mittels FLUKA die Streuwinkelverteilung für verschiedene Materialien berechnet. Parallel wurde für dieselben Materialien mithilfe einer Näherung von Highland
ebenfalls die Streuwinkelverteilung bestimmt. Die Ergebnisse wurden verglichen.
3
Kapitel 2
Grundlagen
2.1
2.1.1
Partikeltherapie
Wechselwirkung geladener Teilchen mit Materie
Auf ihrem Weg durch ein Medium übertragen geladene Teilchen ihre kinetische Energie
auf die Targetatome durch Stöße mit deren Kernen und Hüllenelektronen. Den überwiegenden Anteil an der Gesamtdosis haben diejenigen Wechselwirkungen, bei denen
der Stoßparameter (anschaulich: Abstand des geladenen Teilchens zum Atom) größer
als der Atomradius ist und es zu inelastischen Stößen der geladenen Teilchen mit den
Targetelektronen kommt [7, 15, 16]1 . Dieser Energieverlust wird als elektronisches Stoßbremsvermögen bezeichnet, welches als deponierte Energie dE pro zurückgelegter Wegstrecke dx definiert ist und durch die klassische Bethe-Bloch-Gleichung beschrieben wird
[19, 20]:
2 2 dE
2me c2 β 2
e
4πnz 2
2
·
=−
ln
−β
(2.1)
dx e
me c2 β 2
4π0
I(1 − β 2 )
Hierbei ist n die Anzahl der Targetelektronen pro Volumen, z die Ladung des Projektils,
cβ seine Geschwindigkeit, e die Elementarladung, me die Ruheenergie des Elektrons, 0
die elektrische Feldkonstante und I das sogenannte mittlere Anregungspotential der
Targetatome.
Aus der reziproken Proportionalität des Energieverlustes zum Quadrat der Geschwindigkeit folgt der charakteristische Bragg Peak der Tiefendosiskurven schwerer geladener
Teilchen [6, 7, 8] (vgl. Abbildung 2.1).
1
Bei einem Stoßparamter kleiner dem Atomradius kann es zu einem inelastischen Stoß mit dem
Atomkern kommen [7]. Allerdings trägt dieser Mechanismus nur geringfügig zum gesamten Energieübertrag bei [7, 17]. Noch seltener sind Wechselwirkungen, bei denen es zu direkten Stößen des Teilchens
mit den Hüllenelektronen (Stoßparameter liegt in der Größenordnung des Atromradius) oder dem Nukleus des Targetatoms (Stoßparamter ist kleiner als der Kernradius und die kinetische Energie des
Teilchens ist größer als ∼ 100 MeV) kommt [7, 18].
4
Die Reichweite eines Teilchens in einem Material lässt sich über die Integration des
reziproken Stoßbremsvermögens berechnen [7]:
Z
R=
0
E0
1 dE
ρ dx
−1
dE
(2.2)
Hierbei ist ρ die Dichte des Targetmaterials und E0 die Primärenergie des Teilchens. Es
folgt, dass die Reichweite geladener Teilchen in einem Medium mit größer werdender
Primärenergie des Projektils zunimmt [9]. Des Weiteren hängt die Reichweite von der
Massen- und Ladungszahl des Teilchens ab. Zur Abschätzung der Reichweite von Protonen und Alpha-Teilchen in Wasser wurde im ICRU Report Nummer 49 eine Formel
zur Verfügung gestellt [21]:
R(E, Z, A) ≈ 2, 56 · 10−3 · E 1,74 ·
Z2
A
(2.3)
Hierbei ist E die Energie der Teilchen in MeV/u, A die Massen- und Z die Ordnungszahl. Das Ergebnis der Reichweite ist in cm.
Da der in Gleichung (2.1) beschriebene Energieverlust von der Verteilung der Elektronen
im Targetmaterial abhängt, welche nicht homogen ist, ist der Energieverlust ein stochastischer Prozess. Dies bedeutet, dass manche Teilchen auf ihrem Weg durch das Material
mehr Stöße und damit einen größeren Energieverlust erfahren, als andere Teilchen, was
in einer endlichen Ausdehnung des Bragg Peaks resultiert. Dieser Mechanismus wird
als Energieverlust-Straggling bezeichnet [8]. Teilchen mit höheren Primärenergien weisen neben einer größeren Eindringtiefe folglich auch einen breiteren Bragg Peak auf, da
der Effekt des Energieverlust-Stragglings mit zunehmendem, zurückgelegten Weg größer
wird [8] (siehe Abbildung 2.1).
Ein weiterer Effekt, den man gut in Abbildung 2.1 sehen kann, ist die Fragmentierung
[9]. Projektile mit mehr als einem Nukleon können durch Stöße mit den Atomkernen
Protonen oder Neutronen verlieren. Für den Fall, dass die Teilchen Protonen verlieren,
sinkt ihre Ladungszahl. Folglich nimmt also das Stoßbremsvermögen nach Gleichung
(2.1) ab. Dies wiederum resultiert in einer größeren Reichweite der Fragmente [6, 8].
Aus diesem Grund fällt die Dosisverteilung nach dem Bragg Peak nicht direkt auf 0
ab, sondern zeigt noch einen flachen Dosisausläufer (vgl. Abbildung 2.1), der aus einem
Gemisch von Projektilen resultiert. Diese Projektile besitzen Ladungszahlen kleiner der
Primärladung und weisen ein breites Energiespektrum mit Energien kleiner der Primärenergie auf.
5
Abbildung 2.1: Relative Tiefendosiskurven von Kohlenstoffionen in Wasser für verschiedene Energien. Normiert wurde die Dosis auf den Wert in der Tiefe 0
cm. Mit zunehmender Energie rutscht der Bragg Peak in größere Tiefen
und wird aufgrund des Energieverlust-Stragglings breiter.
Eine Erweiterung der Bethe-Bloch Gleichung für die Abschätzung des Stoßbremsvermögens in inhomogenen Materialien findet sich in der Bragg’schen Regel [22]:
1
ρges
wobei
dE
dx
dE
dx
ges
w1 dE
w2 dE
=
+
+ ...
ρ1 dx 1 ρ2 dx 2
(2.4)
das mit der Gesamtdichte normierte Stoßbremsvermögen des in 1 dE
sind die mit ihrer Dichte normierten
homogenen Materials ist. Die Terme ρi dx
i
Stoßbremsvermögen des jeweiligen Bestandteils i, die mit den Faktoren wi gemäß ihres
Massenanteils gewichtet werden:
1
ρges
ges
ai A i
wi = P
i ai Ai
6
(2.5)
Hierbei steht ai für die Anzahl der Atome einer bestimmten Sorte i im Molekül mit
seiner Massenzahl Ai .
Formel (2.4) liefert aber lediglich eine Näherung für das Stoßbremsvermögen in einem
inhomogenen Material, da sich das Anregungspotenzial I und die Elektronendichte n
(vgl. Gleichung (2.1)) eines Elements in einem Verbund anders verhalten können, als
im elementaren Zustand. Jedoch weicht das so berechnete Stoßbremsvermögen vom
Tatsächlichen um maximal 20% ab [23, 24].
2.1.2
Anwendung der Partikelstrahlen
Zur erfolgreichen Behandlung einer Tumorerkrankung wird in der Regel bei den klinischen Anwendungen der Partikelstrahlen eine homogene Dosisverteilung im maligen
Gewebe gefordert2 . Hierfür gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Anwendungsmethoden: Die ältere und häufig verbreitete Methode ist die passive Strahlapplikation. Dabei
wird der Strahl durch passive Bauteile wie Scatterer, Kollimatoren, Boli und Kompensatoren an die laterale Ausdehnung des Zielvolumens angepasst [13, 25]. Zur Anpassung
des Strahls an die Tiefe können bei Zyklotrons passive Bauteile verwendet werden. Synchrotrons bieten die Möglichkeit der Extraktion von Teilchen der benötigten Energie.
Die zweite Methode ist das sogenannte Raster-Scan-Verfahren [25, 26, 27]. Bei diesem
Verfahren wird das Volumen in Schichten gleicher Tiefe aufgeteilt. Jede dieser Schichten
wird mit einem Raster belegt. Der Partikelstrahl wird durch Scanning-Magnete so abgelenkt, dass er nach und nach jede durch das Raster festgelegte Strahlposition belegt.
Die Intensitätsmodulation kann durch Variation der Intensität des Beschleunigers sowie
über die Verweildauer des Strahls auf einer Position verwirklicht werden [25, 27].
Der klare Vorteil des Raster-Scan-Verfahrens ist eine verbesserte Dosiskonformität gegenüber der passiven Strahlführung [13, 25, 27].
2
Es gibt aber auch neuere Ansätze mit dem sogenannten Dose-Painting, bei dem definiert inhomogene Dosisverteilungen geplant werden.
7
2.1.3
Energiemodulation
Spread-Out Bragg Peak
Um bei der Bestrahlung eines Tumors eine homogene Dosisverteilung in Strahlrichtung
(also der Tiefe des Tumors) zu erreichen, werden mehrere Bragg Peaks unterschiedlicher
Energien und Intensitäten übereinander gelegt. Durch die Superposition der einzelnen
Tiefendosiskurven ergibt sich eine Tiefendosiskurve mit einem homogenen Dosisplateau,
dem sogenannten Spread-Out Bragg Peak (kurz: SOBP) [9]. Je nach Anzahl der abgetasteten Energien kann die Breite des SOBP variiert werden. Bei Verwendung kleiner
Energien sind die Bragg Peaks, aus denen der SOBP geformt werden soll, sehr scharf;
wie in Abbildung 2.1 zu sehen ist. Dementsprechend müssen viele Energien abgetastet
werden, um einen breiten SOBP zu erhalten, was in einer unverhältnismäßig langen
Bestrahlungszeit resultieren würde. Aus diesem Grund wurden passive Strahlelemente
entwickelt, die den Bragg Peak der Tiefendosiskurve einer Energie definiert verbreitern.
Hierzu zählen zum Beispiel ”Modulator Wheels” (Koehler et al. [28]) und ”Ridge Filter”
(Nakagawa und Yoda [29]). Diese Elemente bestehen aus einer heterogenen Materialstruktur und verbreitern den Bragg Peak der Tiefendosiskurve einer Primärenergie um
bis zu 15 cm. Bei Verwendung solcher Strahlelemente reicht es, eine Primärenergie zu
verwenden.
Inhomogene Materialien
Der Effekt, der beim Durchstrahlen solcher Elemente zu einem breiteren Bragg Peak
führt, tritt generell beim Bestrahlen inhomogener Materialien auf. Dies wurde bereits
1986 von Urie et al. durch Untersuchungen der Tiefendosiskurven bei Bestrahlen inhomogener Materialien mit Protonen und Schwerionen festgestellt [30]. Heutzutage spielt
die Berücksichtigung solcher Inhomogenitäten zur genauen Berechnung der Dosisverteilung im Zielvolumen eine wichtige Rolle im klinischen Alltag [31, 32]. Generell unterscheidet man zwei Kategorien von Inhomogenitäten [27, 30]: Zum einen einfache
Zusammensetzungen makroskopischer Strukturen und zum anderen komplexe Konfigurationen heterogener Strukturen.
Geometrien der ersten Kategorie führen dazu, dass sich Materialübergänge parallel zum
Strahl im Strahlengang befinden. Dadurch dass die Teilchen unterschiedliche Materialien durchlaufen, kommt es zu zwei unterschiedlichen Tiefendosiskurven, die sich zu einer
8
überlagern. Dies resultiert in einer Tiefendosiskurve mit zwei Bragg Peaks [33].
Bei Geometrien der zweiten Kategorie durchlaufen die Teilchen unterschiedliche Dicken
an Material. Dadurch erfahren die Teilchen nach Gleichung (2.1) verschieden starke
Energieverluste, die ihrerseits nach Gleichung (2.3) in unterschiedlichen Eindringtiefen
resultieren. Die Superposition der Tiefendosiskurven dieser einzelnen Teilchen ergibt eine Tiefendosiskurve mit einem breiten Bragg Peak. Die Breite dieses SOBP hängt dabei
von der Feinheit der Inhomogenität des Materials ab.
Der Effekt einer solchen Inhomogenität auf die Dosisverteilung kann durch verschiedene
Modelle beschrieben werden. Sawakuchi et al. haben zum Beispiel die Auswirkungen
verschiedener Pixelgeometrien untersucht [32]. So konnte ein Zusammenhang zwischen
verschieden feinen Strukturen und dem distalen Dosisabfall der Tiefendosiskurve untersucht werden. Pflugfelder et al. haben eine ”Heterogenitäts-Nummer” eingeführt, die in
der Lage ist, laterale Inhomogenitäten mathematisch zu beschreiben [34].
Ripple-Filter
Ein weiteres Strahlelement, welches den Bragg Peak verbreitert, ist der ”Ripple-Filter”
(kurz: RiFi) (Weber und Kraft [35]). Der Effekt des Ripple-Filters auf die Tiefendosiskurve ist in Abbildung 2.2 zu sehen.
Die Verbreiterung eines Bragg Peaks durch den RiFi beträgt wenige Millimeter und
ist somit wesentlich feiner gegenüber der Verbreiterung des Peaks durch ”Modulator
Wheels” oder ”Ridge Filter”. Bei Verwenden eines Ripple-Filters wird die Anzahl der
abzutastenden Energien reduziert, die nötig sind, um einen SOBP zu erhalten. Neben
der Verbreiterung des Bragg Peaks wird die Reichweite der Teilchen etwas verkürzt.
Dies resultiert aus der zusätzlichen Massenbelegung durch das passive Strahlelement im
Strahlengang, die zu einem zusätzlichen Energieverlust nach Gleichung (2.1) führt.
In Abbildung 2.3 ist der Aufbau der neuen Generation von Ripple-Filtern zu sehen.
Während die erste Generation eine eindimensionale Struktur hatte, die aus Gründen
der Stabilität mit einer Grundplatte versehen war, besteht die neue Generation aus
einer zweidimensionalen Struktur aus periodisch angeordneten Noppen [36]. Bei dieser
Struktur benötigt man keine Grundplatte mehr, die in der ersten Generation noch für
einen erhöhten Streuanteil gesorgt hatte.
Durchläuft ein Partikelstrahl endlicher Ausdehnung den Ripple-Filter, so durchqueren
die Teilchen in Abhängigkeit ihrer lateralen Position unterschiedliche Dicken des Filtermaterials, was zu einer Verbreiterung des Bragg Peaks führt. Die Verbreiterung ist
9
dabei direkt mit der geometrischen Form des Filters verknüpft und kann analytisch
beschrieben werden [36].
Abbildung 2.2: Vergleich der Tiefendosiskurven von Kohlenstoff-Ionen in Wasser für drei
unterschiedliche Primärenergien mit und ohne Ripple-Filter. Neben der
Verbreiterung des Bragg Peaks kommt es zu einer reduzierten Reichweite der Teilchen, welche durch die zusätzliche Massenbelegung des
Filterelements im Strahlengang verursacht wird (aus [35]).
Abbildung 2.3: Aufbau des 2-dimensionalen Ripple-Filters der neuen Generation (aus
[37]).
10
2.2
Laterale Vielfachstreuung
Bei jeder Wechselwirkung geladener Teilchen mit den Targetelektronen kann es zu einer
Richtungsänderung kommen [6]. Diese Richtungsänderungen folgen einer statistischen
Verteilung. Je nach Anzahl der Streuprozesse in einem Medium spricht man von Einzelstreuung, Mehrfachstreuung (2-20 Streuereignisse) oder Vielfachstreuung (mehr als
20 Streuereignisse) [6]. Bei der Mehr- und Vielfachstreuung werden dabei die einzelnen
Streuereignisse zu einer Gesamtstreuung mit einem entsprechenden Gesamtstreuwinkel
zusammengefasst. Da die Berechnung der Einzelstreuung kompliziert ist, bietet es sich
an, Verteilungsfunktionen für die Vielfachstreuung zu benutzen, wann immer dies möglich ist.
Es wurden mehrere, verschiedene Theorien zur Vielfachstreuung veröffentlicht [38]. Molière [39] sowie Snyder und Scott [40, 41] veröffentlichten Theorien, bei denen unter der
Annahme kleiner Streuwinkel die Streuwinkelverteilung als Entwicklung der Besselfunktionen beschrieben wird [38]. In Arbeiten von Goudsmit und Saunderson [42, 43] wurden
Legendre-Polynome verwendet, um eine Theorie der Streuwinkelverteilung für beliebig
große Winkel zu entwickeln [38]. In einer Arbeit von Lewis [44] wurde ebenfalls eine allgemeingültige Theorie auf Basis der Entwicklung mit Legendre-Polynomen vorgestellt.
Zusätzlich konnte Lewis zeigen, dass diese Theorie mit einer Kleinwinkelnäherung in die
Theorie von Molière, Snyder und Scott übergeht [38].
2.2.1
Molières Theorie der Vielfachstreuung
Im Folgenden wird die Theorie der Vielfachstreuung nach Molière vorgestellt. Dabei
wird auf eine exakte Herleitung verzichtet3 . Grundlage dieser Theorie ist die Kleinwinkelnäherung, sodass gilt sin(θ) ≈ θ.
Für die in ein Intervall dθ gestreute Anzahl an Teilchen f (θ)θdθ gilt [38]:
f (θ)θdθ = ϑdϑ f (0) (ϑ) + B −1 f (1) (ϑ) + B −2 f (2) (ϑ) + . . .
mit
f
(n)
1
(ϑ) =
n!
Z
0
∞
n
1 2 1 2
1 2
uduJ0 (ϑu) × exp − u
u ln
u
4
4
4
3
(2.6)
(2.7)
Die Herleitung findet sich in mehreren Veröffentlichungen, wie zum Beispiel in einer Arbeit von
Bethe [38].
11
1
Dabei ist
Besselfunktion erster Gattung, u = B 2 y, wobei über y integriert wird.
J0 1die
2
ϑ = θ/ χc B 2 und B ist über die Gleichung B − ln B = ln χχ0c definiert. Der Winkel
a
χc hat dabei die Eigenschaft des minimalen Streuwinkels bei einer Einfachstreuung und
wird über folgende Gleichung berechnet [38]:
χ2c =
4π · n · t · e4 · Z(Z + 1) · z 2
(pv)2
(2.8)
Hierbei ist n die Anzahl an Elektronen pro Volumen im Material der Dicke t mit Ordnungszahl Z. e ist die Elementarladung. Die gestreuten Teilchen mit Ladungszahl z
haben den Impuls p und die Geschwindigkeit v.
Der Winkel χ0a ist ein von Molière eingeführter, sogenannter Screening-Winkel, der wie
folgt definiert ist [38, 45]:
(χ0a )2 = 1, 167 · χ2a = 1, 167 ·
c1 c2 1,
13
+
3,
76
·
(pc)2
β2
(2.9)
Hierbei ist p der Impuls der Teilchen mit der relativistischen Geschwindigkeit β. Die
Größen c1 und c2 lassen sich dabei wie folgt berechnen [38]:
c1 ≡
2
e2
zZ
~c
2
1/3 2
e
1
2
me c Z
c2 ≡
0, 885 ~c
(2.10)
(2.11)
Hierbei ist ~ das Planksche Wirkungsquantum, z die Ladungszahl der Teilchen, Z die
Ordnungszahl des Targetmaterials und me c2 ≈ 0, 511 MeV die Ruheenergie des Elektrons mit Elementarladung e.
Der Kern dieser Streuwinkelverteilung nach Molière (Gleichung (2.6)) ist der Gauss’sche
Term f (0) (ϑ) = 2e−ϑ , der für sehr kleine Streuwinkel dominant ist. Die weiteren Terme
f (n) (ϑ) ergänzen diese Gauss’sche Verteilung und werden mit zunehmender Größe der
Streuwinkel wichtiger und sorgen dafür, dass die Verteilungsfunktion für große Streuwinkel breiter als die Normalverteilung verläuft.
Das Besondere an dieser Formel ist, dass die Streuwinkelverteilung nur vom Verhältnis
der Winkel χc und χ0a (also der Größe B) abhängt [38]. Die Größe B liegt in der Regel
im Bereich 5 ≤ B ≤ 20 und beinhaltet über die Winkel χc und χ0a die Eigenschaften
der Teilchen sowie des Targetmaterials. Aus Gleichung (2.8) folgt, dass χ2c proportional
12
zur Elektronendichte und Dicke sowie dem Quadrat der Ordnungszahl des Targetmaterials ist. Je schwerer bzw. dicker das Streumaterial ist, desto größer ist also χ2c bzw.
B.4 Für große B dominiert jedoch der Term der Normalverteilung f (0) (ϑ) = 2e−ϑ aus
Gleichung (2.6), da für höhere Ordnungen von f (n) (ϑ) die Größe B im Nenner steht.
Für dicke bzw. schwere Materialien folgt die Streuwinkelverteilung also näherungsweise
einer Normalverteilung.
Wie bereits angesprochen, ist der Gauss’sche Term f (0) (ϑ) für sehr kleine Streuwinkel
ϑ . 2 dominant. Die Streuwinkelverteilung lässt sich in diesem Fall mit einer Normalverteilung der Breite θw annähern [38]:
1
χc B 2
θw = √
2
2.2.2
(2.12)
Näherung von Highland
Allerdings haben Hanson et al. [46] gezeigt, dass für den Fall sehr kleiner Streuwinkel
die Näherung der Winkelverteilung mit einer Gauss’schen Verteilungsfunktion besser
ist, wenn die Breite etwas kleiner gewählt wird, als in Gleichung (2.12) angegeben [38].
Für die Standardabweichung θw gilt demnach:
1
χc (B − 1, 2) 2
√
θw =
2
(2.13)
Da B normalerweise im Bereich 5 ≤ B ≤ 20 liegt, weicht die so berechnete Breite θw
um 3% bis 12,8% von der Breite aus Gleichung (2.12) ab.
Für die in Gleichung (2.13) gegebene Näherung entwickelte Highland [47] eine einfache
Formel, um die Größe θw aus Materialeigenschaften zu bestimmen [45]:
14, 1 MeV
θw =
·z·
pv
r
η
1
η
1 + log10
RL
9
RL
(2.14)
Hierbei ist pv das Produkt aus Impuls und Geschwindigkeit des Projektils mit Ladungszahl z. η = ρ · d ist die Massenbelegung5 des Targets als Produkt aus Dichte ρ
4
Bei schweren Materialien ist die Elektronendichte zwar geringer, aber die Ordnungszahl, welche
quadratisch in χ2c eingeht, größer. Insgesamt ist χ2c also größer, je schwerer ein Material ist.
5
Der Energieverlust von Teilchen beim Durchlaufen eines Mediums ist nicht nur von dessen Dicke,
sondern vor allem von der Dichte abhängig. Die Massenbelegung verbindet diese beiden Eigenschaften
eines Materials.
13
und geometrischer Dicke d. RL ist die Strahlungslänge in g/cm2 .
Die Strahlungslänge RL eines Elements6 kann dabei über folgende Formel abgeschätzt
werden [48, 49]:
716, 4 · A
mol
RL ≈
(2.15)
287
√
Z(Z + 1) ln Z cm2
Mit Z als Ordnungs- und A als Massenzahl des Targetmaterials. Setzt man die Massenzahl A in g/mol ein, so hat die Strahlungslänge die Einheit g/cm2 .
Für heterogene Materialien kann die resultierende Strahlungslänge aus den Strahlungslängen der Bestandteile folgendermaßen ermittelt werden [49]:
RL = P
1
αi
i R Li
(2.16)
Dabei ist RLi die Strahlungslänge des Stoffes i und αi sein Anteil an der Gesamtmasse.
2.3
Magnetische Strahlfokussierung
Um einen Strahl beschleunigter geladener Teilchen zu fokussieren, werden Quadrupolmagnete verwendet [50]. In einem solchen Magneten sind vier Spulen so angeordnet,
dass sich zwischen je zwei Spulen abwechselnd magnetische Nord- und Südpole ausbilden. Zusätzlich sind zwischen den Spulen hyperbolische Eisenjoche eingebracht, um
die Feldlinien zu krümmen und den magnetischen Fluss zu erhöhen. Die daraus resultierenden Feldlinien sind in Abbildung 2.4 zu sehen. Bewegt sich ein positiv geladenes
Teilchen senkrecht zur Zeichenebene, so wirkt die Lorenzkraft, die zu einer Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung führt. Aufgrund der Richtung des Magnetfeldes
wirkt ein Quadrupol nur in einer Ebene fokussierend [51]. In der dazu senkrecht stehenden Ebene ist eine defokussierende Wirkung zu beobachten. Aus diesem Grund benötigt
man zur Strahlfokussierung immer zwei Quadrupolmagnete, die in Strahlrichtung einen
bestimmten Abstand zueinander besitzen und deren Ausrichtung um 90◦ gegeneinander
gedreht ist [51].
6
Die Strahlungslänge ist diejenige Länge eines Materials, an der die Energie der Partikel auf 1/e
abgefallen ist [48].
14
Abbildung 2.4: Links: Der Aufbau eines Quadrupolmagneten und die daraus resultierenden Feldlinien (grau) und auf ein positiv geladenes Teilchen wirkende
Lorenzkraft (blau), bearbeitet nach [52]. Rechts: Schematische Darstellung der Magnetfeldstärke eines Quadrupolmagneten in Abhängigkeit
der lateralen Position.
Für die mathematische Beschreibung der Quadrupole lässt sich das magnetische Feld
wie folgt definieren:
Bx = g · y
By = g · x
Bz = 0
~ sind. g bewobei Bx , By und Bz die Komponenten des magnetischen Feldvektors B
schreibt den Gradienten der Feldstärke in T/m und legt über das Vorzeichen die Richtung der Fokussierung fest. Die Ausbreitungsrichtung der Teilchen ist in positiver zRichtung, das magnetische Feld steht also stets senkrecht zur zentralen Strahlachse und
ist auf dieser gleich Null . Die Bewegung eines Teilchens durch ein solches magnetisches
Feld lässt sich mithilfe von Abbildungsmatrizen beschreiben [51, 53]. Dem Teilchen wird
vor dem Eintritt in das Quadrupolfeld eine initiale laterale Position (x0 , y0 ) und eine
x
Steigung der Teilchenbahn (x00 , y00 ) zugeordnet. Die Steigung x0 = d
dz gibt dabei die
Änderung des lateralen Abstandes des Teilchens in x-Richtung zur Sollbahn (x = 0)
entlang der z-Achse an.
Die Position (x, y) und Steigung (x0 , y 0 ) des Teilchens nach dem Durchlaufen eines Ma-
15
gneten lassen sich mittels einer Matrixmultiplikation berechnen [51, 53]:
 
x
 0
x 
 =M
y
 
y0
 
x0
 0
x0 

·
y 
 0
y00
(2.17)
Hierbei steht M für den in x-Richtung fokussierenden und y-Richtung defokussierenden
(MF x , g > 0) bzw. in x-Richtung defokussierenden und in y-Richtung fokussierenden
(MDx , g < 0) Quadrupolmagneten [51, 53]:7

MF x
√1 sin Ω
cos Ω
|k|
 p
− |k| sin Ω
cos Ω

=

0
0


MDx
0
0
cosh Ω
√1 sinh Ω
p
 |k| sinh Ω

=

0

0
|k|
cosh Ω
0
0
0
0
cosh Ω
p
|k| sinh Ω
0
0
√1
|k|



0


sinh Ω

(2.18)
cosh Ω
0



0
0


1
√
sin Ω
cos Ω

|k|
p
− |k| sin Ω
cos Ω
(2.19)
wobei k = e·g
definiert ist. Die Einheit von k ist 1/m2 . e gibt die Ladung des zu fokus|~
p|
sierenden Teilchens an, p~ ist sein Impuls und g steht für den Gradienten der Magnetfeldp
stärke in T/m. Der Term Ω = |k| · L beinhaltet die Länge des Quadrupolmagneten L.
Die Größen k und L sind Größen, die das ionenoptische System des Quadrupolmagneten
beschreiben. Aus k lassen sich die korrespondierenden Magnetfeldstärken für Teilchen
einer gewissen Energie und Ladung berechnen.
Für eine feldfreie Driftstrecke (k → 0) der Länge l lassen sich die Abbildungsmatrizen
vereinfachen [51]:8


1 l 0 0


0 1 0 0

MF x = MDx = MD = 
0 0 1 l 


0 0 0 1
7
Eine Herleitung der Bewegungsgleichung geladener Teilchen in einem magnetischen Feld sowie die
Lösung dieser Gleichung findet sich im Appendix.
8
Eine Herleitung der vereinfachten Abbildungsmatrizen findet sich im Appendix.
16
Ebenfalls vereinfachen lassen sich die Matrizen, falls die Ausdehnung L des Quadrupol1
magneten in Strahlrichtung klein gegenüber der Brennweite f = kL
ist. Für einen in
x-Richtung fokussierenden Quadrupolmagneten folgt:

MQuad−F x
1

−kL
=
 0

0
 

1 L 0 0
0
  1



0
 = − f 1 0 0 


L
  0 0 1 L
1
0 0 f1 1
L 0
1 0
0 1
0 kL
(2.20)
Für einen in x-Richtung fokussierenden Magneten ist k > 0, dementsprechend also auch
f > 0. In Analogie zur geometrischen Strahloptik steht − f1 für eine Fokussierung (Sammellinse), falls f > 0. Andernfalls liegt eine defokussierende Wirkung vor (Streulinse).
Mithilfe dieser Matrizen lässt sich nun die Strahlführung für beliebige Anordnungen von
Quadrupolmagneten und Driftstrecken berechnen.
Wird ein Strahl zum Beispiel durch einen in x-Richtung fokussierenden Magneten geführt, dem anschließend eine Driftstrecke der Länge l und ein in y-Richtung fokussierender Quadrupolmagnet folgt, erhält man für die gesamte Matrix:

M = MQuad−F y ·MD ·MQuad−F x

1 L 0 0
1
1

 f 1 0 0  0

=
 0 0 1 L·0


1
0 0 −f 1
0

1 − l+L
l + 2L
0
f

 − fl2
1 + l+L
0
f
=
 0
0
1 + fl

0
0
− fl2
l
1
0
0
0
0
0
1
0


1 L 0 0
0
 1



0
·− f 1 0 0  =


l
  0 0 1 L
1
0 0 f1 1




l + 2L 

l+L
1− f
0
(2.21)
Wählt man neben der kleinen Ausdehnung des Quadrupolmagneten L f auch eine
kurze Driftstrecke l f , sowie eine geringe Steigung der Teilchenbahn x0 , so folgt
l+L
1 und (l + 2L) · x0 x. Für die Abbildungsmatrix M ergibt sich:
f

1
 l
− f 2
M ≈
 0

0
0
1
0
0
0 1
0 − fl2
17

0

0

0

1
(2.22)
Gut zu sehen an dieser Form ist, dass die Kombination aus einem in x-Richtung fokussierenden und einem in x-Richtung defokussierenden Quadrupolmagneten insgesamt
fokussierend wirkt, da f 2 > 0, die Brennweite also positiv ist.
1
Die charakteristische Größe eines Quadrupolmagneten ist die Brennweite f = k·L
=
|~
p|
, die angibt, in welchem Abstand hinter dem Quadrupolmagneten die maximale
e·g·L
Fokussierung erreicht wird [51]. Will man den Ort dieser Fokussierung konstant halten,
muss die Magnetfeldstärke angepasst werden, falls Teilchenstrahlen gleicher Ladung aber
anderer Energie fokussiert werden sollen. Die Länge des Quadrupolmagneten lässt sich
nicht anpassen. Bei Teilchenstrahlen hoher Energie muss der relativistische Effekt berücksichtigt werden. Für den Zusammenhang zwischen kinetischer Energie pro Nukleon
Ek , Ruheenergie pro Nukleon E0 und dem relativistischen Impuls p eines Teilchens mit
Massenzahl A gilt:
q
A
(2.23)
Ek2 + 2Ek E0
|~p| =
c
Für die Anpassung des Gradienten g der Feldstärke an die Energie der Teilchen bei
gleicher Massenzahl (A1 = A2 ) und Ladungszahl (e1 = e2 ) gilt somit:
f1 = f2 ⇒
2.4
|p~1 |
|p~2 |
=
e1 g1 L
e 2 g2 L
s
⇒ g2 =
2
Ek2
+ 2Ek2 E0
· g1
2
Ek1 + 2Ek1 E0
(2.24)
Simulationen mit Monte-Carlo-Codes
Unter der Monte-Carlo-Methode versteht man das numerische Lösen komplexer Integrale unter der Verwendung von Zufallszahlen [54]. Hierfür wird ein mathematisches Modell
benötigt, welches die Aufgabenstellung in Form von Funktionen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreibt. Das so aufgebaute Zufallsexperiment wird anschließend
mehrmals wiederholt und so die gewünschte Größe angenähert [55]. Der Durchschnitt
der berechneten Größe aus den einzelnen Experimenten wird dann gegen die wahre
Lösung des Problems konvergieren [55]. Die Genauigkeit des Ergebnisses ist dabei pro√
portional zu 1/ N , wobei N die Anzahl der Wiederholungen ist [56]. Der Einsatz von
Monte-Carlo-Methoden ist immer dann sinnvoll, wenn klassische numerische Methoden
eine zu geringe Konvergenzgeschwindigkeit besitzen. Hierzu zählen Problemstellungen
aus der Meteorologie und der Finanzwelt sowie der Strahlungstransport [18, 27].
Für die Berechnung des Strahlentransportes benötigt man die physikalischen Wechselwirkungsquerschnitte, welche die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verschiedenen
18
Ereignisse liefern. Neben der Anzahl der verwendeten Teilchen wird in diesem Fall die
Genauigkeit des Ergebnisses durch die Unsicherheiten der physikalischen Größen begrenzt [55].
Ein großer Vorteil der Monte-Carlo-Methoden liegt in ihrer Fähigkeit, die Berechnungen zu parallelisieren. Dies ermöglicht die Verwendung von Rechenclustern, sodass die
Simulationszeiten drastisch verkürzt werden können [56].
2.4.1
Der Monte-Carlo-Code FLUKA zum Transport geladener
Teilchen
FLUKA ist ein Monte-Carlo-Code zur Berechnung der Wechselwirkungen und den
Transport von Teilchen in Materie [57, 58]. Die erste Version von 1962 wurde am CERN
(European Organization for Nuclear Research) entwickelt und konnte lediglich hochenergetische Protonen berechnen [55]. Die neue Version von FLUKA, die seit 1992 in
einer Zusammenarbeit zwischen CERN und dem INFN (National Institut for Nuclear
Physics in Frascati) stetig weiterentwickelt wird, basiert auf fünf vollständig integrierten Modulen, welche es möglich machen, verschiedene Teilchen und Wechselwirkungen
zu simulieren. Unter anderem zählen hierzu Hadronen, Elektronen, Photonen, niederenergetische Neutronen sowie Schwerionen [55]. Außerdem wurde die Energiespanne der
Teilchen vergrößert, sodass Energien bis in den TeV-Bereich berechnet werden können.
Der Strahlungstransport wird mithilfe verschiedener physikalischer Modelle berechnet,
die je nach Bedarf aktiviert werden können. Der Energieverlust durch Stöße mit den
Hüllenelektronen eines Materials wird mithilfe der Bethe-Bloch-Gleichung (Gleichung
(2.1)) beschrieben [59]. Für die Berechnung der effektiven Ladungszahl wird dabei die
Barkas-Formel verwendet [27, 59].
Da der Energieverlust dieser Soft-Collisions sehr gering ist, geschehen viele solcher Ereignisse, bis ein Teilchen und die von ihm produzierten Sekundärteilchen zur Ruhe kommen.
Würden all diese Ereignisse einzeln berechnet werden, würde dies in unverhältnismäßig
langen Rechenzeiten resultieren. Daher wird in FLUKA die Condensed-History-Technik
verwendet [60]. Dies bedeutet, dass die Energieverluste und Richtungsänderungen mehrerer solcher Soft-Collisions zu einer Richtungsänderung zusammengefasst werden. Die
bei diesen Ereignissen abgegebene Energie wird zu Teilen auf Sekundärteilchen übertragen, der Rest wird lokal deponiert. Grundlage der Condensed-History-Methode sind
Theorien der Vielfachstreuung. FLUKA verwendet die in Kapitel 2.2.1 beschriebene
Theorie nach Molière und entwickelt Gleichung (2.6) bis zur zweiten Ordnung [61]. In
19
Geometrien kleiner Ausdehnung kann es sein, dass die Anzahl der Streuereignisse kleiner
als 20 ist. In diesen Fällen ist die Vielfachstreuung nicht gültig (vgl. Kapitel 2.2) und es
muss ein Streualgorithmus für die Einzelstreuung verwendet werden. Die Umschaltung
zwischen den beiden Algorithmen geschieht in FLUKA vollautomatisch [27].
Im Gegensatz zu den Soft-Collisions stehen die Hard-Collisions, bei denen es zu Kernreaktionen (einschließlich Fragmentierung) sowie großen Energieverlusten der primären
Teilchen kommen kann.
Zur Berechnung der nuklearen Wechselwirkungen werden abhängig von der Energie
verschiedene Modelle verwendet: Bei Energien E < 100 MeV/u findet ein Modell Anwendung, welches die Boltzmanngleichung löst [27, 62]. Für Energien 100 MeV/u < E <
5 GeV/u wird das RQMD (Relativistic Quantum Molecular Dynamics Model) verwendet [62]. Kern-Wechselwirkungen für Protonen werden mit dem PEANUT-Modell (PreEquilibrium Approach to NUclear Thermalisation) berechnet [63, 64].
Alle diese Modelle sind in der Literatur gut beschrieben, in FLUKA seit längerer Zeit
implementiert und es wurden Benchmarks durchgeführt, um die Richtigkeit dieser Modelle zu zeigen [65].
Alle Einstellungen der Modelle, die FLUKA vollautomatisch einsetzt, können vom Benutzer geändert werden. So können Cut-Off Energien9 für verschiedene Teilchen festgelegt werden. Außerdem kann der Benutzer zur Reduktion der Rechenzeit Wechselwirkungsquerschnitte für bestimmte Reaktionen erhöhen und die mittleren freien Weglängen verändern. In FLUKA sind verschiedene Kombinationen solcher Grenzenergien
und Wechselwirkungsquerschnitte für verschiedene Teilchen und Wechselwirkungen vordefiniert, die der Benutzer je nach Problemstellung verwenden kann.
Zudem hat der Benutzer die Möglichkeit, mittels sogenannter Benutzerroutinen direkt
in die Transportwege der Teilchen einzugreifen. So wird es möglich, spezielle Fragestellungen zu bearbeiten. Diese Routinen werden in Fortran 77 programmiert und erlauben
zum Beispiel das Verwenden von Magnetfeldern, Energiespektren für eine Teilchenquelle
oder das Manipulieren von Geometrien.
Grundlage eines jeden Monte-Carlo-Codes ist das Erzeugen von Zufallszahlen. FLUKA
benutzt einen deterministischen Generator, der mittels eines mathematischen Algorithmus Zufallszahlen erzeugt, die benutzt werden, um das Schicksal eines Teilchens (Art
einer Wechselwirkung, Energieübertrag, Richtungsänderung, etc.) zu ermitteln.
9
Die Cut-Off Energie gibt an, bis zu welcher Energie die Wechselwirkungen von Teilchen einer
bestimmten Art berechnet werden. Sinkt die Energie des Teilchens unterhalb diese Schwelle, so wird
das Teilchen vernichtet und seine Restenergie lokal deponiert.
20
Die Unsicherheit des mit FLUKA berechneten Ergebnisses setzt sich aus einer systematischen und stochastischen Unsicherheit zusammen. Die systematische Unsicherheit
ist bedingt durch die Genauigkeit der von FLUKA benutzten physikalischen Größen.
Durch fortwährende Verbesserung der Datenbänke wird dieser Anteil an der Gesamtunsicherheit immer kleiner.
Die stochastische Unsicherheit der mit FLUKA berechneten Größe hängt von der Anzahl
der berechneten Ereignisse ab. Hierbei nutzt man die Tatsache aus, dass das Ergebnis
mit steigender Anzahl an Wiederholungen gegen eine Normalverteilung geht, dessen
Mittelwert µ gegen den wahren Wert konvergiert. Die Breite σ dieser Normalverteilung entspricht der stochastischen Unsicherheit des Ergebnisses. FLUKA gibt demnach
als Wert der gesuchten Größe µ ± σ aus. Dementsprechend wird in dieser Arbeit die
Unsicherheit aller mit FLUKA berechneten Größen zu 1σ angegeben.
2.5
Strahlkopf der Partikeltherapieanlage
Der schematische Aufbau des Strahlkopfes und seine Position bezüglich des Isozentrums
ist in Abbildung 2.5 zu sehen. Zur Orientierung ist in der Abbildung ein Koordinatensystem eingezeichnet. Das Isozentrum befindet sich im Punkt (0,0,0). Der Strahl geht
stets in positiver z-Richtung. x und y werden als die lateralen Richtungen definiert. Der
in dieser Arbeit untersuchte Strahlkopf ist ähnlich zu dem an der GSI in Darmstadt
verwendeten und ist in der Literatur gut beschrieben [66, 67, 68, 69, 70, 71].
Abbildung 2.5: Der schematische Aufbau des Beschleunigerstrahlkopfes und seine Position in Bezug zum Isozentrum.
21
Der Strahl kommt von links und verlässt das vakuumierte Strahlrohr in einem Abstand
von 142 cm zum Isozentrum. Der Abschluss des Beschleunigerrohrs wird durch zwei
Austrittsfenster markiert. Diese Austrittsfenster dichten das Rohr ab und erhalten so das
Vakuum aufrecht. Sie bestehen aus einem Doppelsystem aus je einer Schicht Polyester
mit einer Massenbelegung von 14 mg/cm2 und einer Schicht Kevlargewebe mit einer
Massenbelegung von 6,1 mg/cm2 . Das Polyester sorgt für die erforderliche Dichtheit
und erhält durch das Kevlargewebe die nötige Stabilität.
2.5.1
Ionisations- und Multi-Wire-Kammern
Der eigentliche Strahlkopf besteht aus fünf Dosiskammern. Diese sind zur Überwachung
der Strahlqualität und applizierten Dosis unerlässlich. Beginnend mit einer Multi-WireKammer (WMK1) folgen drei Ionisationskammern (IK) und abschließend die zweite
Multi-Wire-Kammer (MWK2) (vgl. Abbildung 2.5). Jede dieser Kammern besitzt eine
Länge von 4 cm und ist mit einem Gas gefüllt, das zu 80 Volumenprozent aus Argon
und 20 Volumenprozent aus Kohlenstoffdioxid besteht. Die resultierende Massenbelegung des Gases beträgt 6,8 mg/cm2 pro Kammer. Abgedichtet sind die Kammern mit
je einer Schicht Polyester am Anfang und Ende mit einer geometrischen Dicke von je
24 µm, was einer Massenbelegung von 1,4 mg/cm2 entspricht. Hinter jeder Kammer
befinden sich je 3 cm Luft.
In den drei Ionisationskammern befinden sich je zwei Anoden und eine Kathode. Diese
bestehen aus einer in Kapitel 3.1 näher beschriebenen Folie. Kern dieser Folien ist ein
Polyestergewebe, welches mit Nickel bedampft wurde, um die für die Funktionalität der
Dosiskammern erforderliche elektrische Leitfähigkeit zu erhalten. Durch die heterogene
Struktur dieses Gewebes kommt es wie in Kapitel 2.1.3 beschrieben zu einer Modulation der Tiefendosiskurve, welche in den folgenden Kapiteln näher untersucht wird. Die
Kathode ist mittig in der Ionisationskammer angebracht. Die Anoden stehen in Strahlrichtung in einem Abstand von 0,5 cm vor und hinter der Kathode. Durch Anlegen einer
Spannung an den Folien bildet sich zwischen diesen ein homogenes, elektrisches Feld aus.
Durchlaufen Teilchen die Kammern, werden durch Wechselwirkungen die Gasatome ionisiert und die so entstandenen freien Ladungsträger je nach Ladung zur Kathode bzw.
den Anoden hin beschleunigt [8]. Die Elektronen werden an den Anoden abgesaugt und
es ist ein Strom messbar. Die Anzahl der erzeugten und abgesaugten Elektronen ist
dabei proportional zur deponierten Energie der Teilchen. Über eine Kalibrierung kann
ein Zusammenhang zwischen gemessenem Strom und der in der Kammer applizierten
22
Ionendosis hergestellt werden [6].
In den Multi-Wire-Kammern besteht lediglich die Kathode aus dem mit Nickel bedampften Polyestergewebe. Anstatt der beiden äußeren Anodenfolien ist je eine VielDraht-Ebene vor und hinter der Kathode verbaut. Diese bestehen aus 50 µm dicken
Wolframdrähten, die in einem Abstand von 1 mm zueinander angeordnet sind. Dabei
stehen diese Drähte der in Strahlrichtung ersten Anode in x- und die der zweiten in
y-Richtung. Die jeweilige Position der Anoden und Kathoden ist analog zu den Positionen in den Ionisationskammern. Die Funktionsweise dieser Multi-Wire-Kammern ist
ähnlich wie die der Ionisationskammern. Nur wird der Strom an jedem einzelnen Draht
der Anoden gemessen, wodurch eine Positionsbestimmung des Partikelstrahls möglich
ist [72]. Die Kammer kann also Informationen über die horizontale und vertikale Position des Strahls liefern. Verwendet man zwei Kammern, so kann man über die Änderung
der lateralen Position des Strahls zwischen den Kammern Aussagen über die Richtung
des Strahls treffen.
2.5.2
Ripple-Filter
Den Kammern folgt ein 4 mm dicker Ripple-Filter (”RiFi”).10 Dieser besteht aus PMMA
(H24 C21 O4 ) und hat wie in Kapitel 2.1.3 beschrieben eine noppenartige Struktur. Die
Höhe der Noppen beträgt dabei 4 mm. Zwischen dem RiFi und dem Isozentrum befindet
sich Luft.
10
Eigentlich ist zwar der 3 mm RiFi der Standardfilter am Strahlkopf, allerdings soll in dieser Arbeit
der neue 4 mm RiFi untersucht werden.
23
Kapitel 3
Material und Methoden
3.1
Analyse der Anoden- und Kathoden-Folien der
Dosiskammern
Die wichtigsten Bauteile des im Beschleuniger benutzten Strahlkopfes sind die Ionisationsund Multi-Wire-Kammern. Dabei bestehen die Anoden und Kathoden der Ionisationskammern sowie die Kathoden der Multi-Wire-Kammern wie in Kapitel 2.5 beschrieben
aus einer Folie. Diese Folie ist aus einem feinen Polyestergitter aufgebaut, welches mit
Nickel bedampft wurde, um die für die Funktion der Dosiskammern wichtige elektrische
Leitfähigkeit zu erhalten. Insgesamt befinden sich elf solcher Folien im Strahlkopf1 .
Für die genaue Analyse dieser Folien wurde ein Stück der Folie unter einem RasterElektronen-Mikroskop untersucht. So kann die Größe der Strukturen und der Aufbau
des Gitters untersucht werden. In Abbildung 3.1 ist eine Aufnahme zu sehen. Zudem
bietet ein Raster-Elektronen-Mikroskop die Möglichkeit, die Größe von Strukturen zu
vermessen. Der Radius der Drähte des Gitters r konnte zu ∼20 µm bestimmt werden.
Die Periodizität λ der Drähte beträgt ∼83 µm. Die Unsicherheit des Radius beträgt 1
µm, die der Periodizität 3 µm. Diese beiden Unsicherheiten kommen vor allem daher,
dass die Drähte an den Knotenpunkten zusammengedrückt werden, der Durchmesser
der Drähte also nicht konstant ist.
Um festzustellen, wie groß der Anteil des auf die Folien gedampften Nickels an der
Gesamtmasse ist, wurde zudem das Folienstück mit einer Feinwaage gewogen. Die Massenbelegung η (Gewicht pro Fläche) beträgt 6,7±0,1 mg/cm2 .
Aus diesen Größen lassen sich nun alle weiteren Größen aus geometrischen Überlegungen berechnen. Dabei ist ρP ET = 1,4 g/cm3 die Dichte von Polyester und ρN i = 8,902
g/cm3 die Dichte von Nickel2 . Die Unsicherheiten aller berechneten Größen ergeben sich
1
2
Zwei Multi-Wire-Kammern à eine Folie und drei Ionisationskammern à drei Folien.
Die Angaben zu den Dichten wurden der ICRU-Materialliste [73] entnommen
24
aus der Gauss’schen Fehlerfortpflanzung der Unsicherheiten von r, λ und η:3
• Gesamtdichte: ρges =
λ·η
2·π·r2
= (2, 2 ± 0, 25) g/cm3
• Massenanteil des Nickels: α =
ρN i
ρN i −ρP ET
r
• Radius des Polyesterkerns: rP ET =
−
1
ρges
·
ρN i ·ρP ET
ρN i −ρP ET
η·λ
−r2 ·π·ρN i
2
π·(ρP ET −ρN i )
= 0, 36 ± 0, 09
= (18, 9 ± 0, 1) µm
• Dicke der Nickelschicht: rN i = r − rP ET = (1, 1 ± 0, 1) µm
Abbildung 3.1: Raster-Elektronen-Mikroskop-Aufnahme des mit Nickel bedampften Polyestergitters aus den Dosiskammern (links) und eine schematische Darstellung des Querschnitts eines Drahtes, aus dem das Gitter aufgebaut
ist (rechts)
Da die Unsicherheit des Massenanteils α mit 25 % sehr groß ist, wurde zusätzlich eine
zweite Methode gewählt, um den Wert genauer zu bestimmen. Hierfür wurde ein Stück
der Folie mit Alkohol gereinigt und mit einer Feinwaage gewogen. Anschließend wurde
die Folie 24 Stunden lang in einer Petrischale in 1-molariger Salzsäure eingelegt. Durch
die Salzsäure wurde das Nickel vom Polyesterkern gelöst. Dabei wurde die Petrischale mithilfe eines Shakers leicht geschüttelt, um ein gleichmäßiges Lösen des Nickels zu
erreichen. Anschließend wurde die Folie erst mit Wasser gereinigt und in einem Trockenschrank bei 50 ◦ C 60 Minuten lang getrocknet. Anschließend wurde die Folie mit Alkohol
gereinigt und das Gewicht wieder mit der Feinwaage bestimmt. Die Differenz der Masse
zum ersten Wiegen entspricht genau der Masse des Nickels auf der Folie. Hieraus ergab
3
Eine Herleitung der benutzten Formeln ist im Appendix zu finden.
25
sich ein Massenanteil von α = 0, 43. Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der geometrischen Überlegungen überein. Die Angabe einer Unsicherheit dieses Ergebnisses ist
nicht möglich, da keine Aussage darüber getroffen werden kann, ob das Nickel zu 100%
durch die Salzsäure entfernt wurde.
3.1.1
Untersuchung der Modulationseffekte durch die Gewebefolien
3.1.1.1
Methode I: Energiemodulation
Die heterogene Struktur der Folien führt wie in Kapitel 2.1.3 beschrieben zu einer Modulation der Tiefendosiskurve. Um diese Modulation qualitativ und quantitativ zu bestimmen, wurden Berechnungen mit dem Monte-Carlo-Code FLUKA vorgenommen. Dafür
wurde eine Quelle an der Position z = -140 cm definiert, die einen parallelen Strahl
monoenergetischer Kohlenstoff-Ionen mit einer Energie von 80 MeV/u in positiver zRichtung emittiert (siehe Abbildung 3.2). Die Energie wurde deshalb so niedrig gewählt,
da wie in Kapitel 2.1.1 beschrieben für höhere Energien der Effekt des EnergieverlustStragglings ansteigt. Dadurch könnten kleinere Effekte wie die Modulation der Tiefendosiskurve durch die heterogene Geometrie der Folien verschmiert werden.
Abbildung 3.2: Schematischer Aufbau der FLUKA-Simulationen zur Untersuchung der
Folienmodulation. Vergleiche Abbildung 2.5
Die laterale Intensitätsverteilung des simulierten Teilchenstrahls wurde gaussförmig in
x- und y-Richtung mit einem FWHM von 2 mm gewählt. Dadurch ist gewährleistet, dass
die Ausdehnung des Strahls deutlich größer als die zu untersuchende Struktur (Periode
des Gitters von ∼83 µm) ist. An der Position z = 0 cm wurde ein zylinderförmiges Wasserphantom platziert. In einer ersten Simulation wurde die Tiefendosiskurve im Wasserphantom aufgenommen, ohne, dass sich etwas im Strahlengang befand. Diese Kurve
26
wird als Referenzkurve bezeichnet. In einer zweiten Simulation wurden die elf Folien aus
den Dosiskammern im Strahlengang entsprechend Abbildung 3.2 eingebracht. Um die
Gitterstruktur der Folien zu verwirklichen, wurden die Folien aus Zylindern aufgebaut,
die einen Radius von 18,9 µm haben und aus Polyester bestehen. Umgeben waren diese
Zylinder mit einer 1,1 µm dicken Schickt aus Nickel. Die Zylinderachsen hatten einen
Abstand von λ = 83 µm zueinander (vgl. Kapitel 3.1). Jede Folie bestand aus einer
Reihe Zylindern, die in x-Richtung ausgerichtet waren und einer Reihe aus Zylindern
in y-Richtung. Die Folien waren zudem lateral zufällig gegeneinander verschoben. Der
Mittelpunkt der ersten Folie wurde auf die Strahlachse gelegt. Die Mittelpunkte der
anderen zehn Folien waren jeweils um einen Wert a in x- und y-Richtung gegenüber
dem Mittelpunkt der ersten Folie verschoben. Die Werte für a wurden für jede einzelne Folie zufällig aus dem Intervall [0:83] µm bestimmt. Auf ein Loch einer Folie folgte
also nicht das Loch einer anderen Folie. Dies wurde deshalb gemacht, da im Strahlkopf
des Beschleunigers die Folien ebenfalls zufällig gegeneinander verschoben sind. Lateral
hatten die Folien eine Ausdehnung von 2 cm x 2 cm. Die laterale Ausdehnung wurde so
gewählt, dass keine Teilchen an den Folien vorbeigehen.
Die Tiefendosiskurve, bei der sich elf Folien als Gitter im Strahlengang befanden, ist
gegenüber der Referenzkurve wegen der größeren Massenbelegung im Strahlengang verschoben und aufgrund des modulierenden Effekts verbreitert. Um die Verschiebung und
Verbreiterung der Kurve quantitativ zu beschreiben, wurde analog zu einer Arbeit von
M. Witt [27], in der die Modulationseffekte bei Durchstrahlen von inhomogenem Lungengewebe untersucht wurden, mittels Matlab ein normalverteilter Faltungskern nach
den Größen µ und σ so optimiert, dass die Referenzkurve gefaltet mit diesem Faltungskern der Tiefendosiskurve der elf Folien als Gitter entspricht. Ein Beispiel ist in
Abbildung 3.3 zu sehen. Der Mittelwert µ beträgt 0,062 cm und die Breite σ = 0, 0123
cm.
Allgemein ist eine Tiefendosiskurve die Superposition der Tiefendosiskurven der einzelnen Teilchen. Der normalverteilte Faltungskern ist also so zu verstehen, dass er die
Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Schwerpunkt der Tiefendosiskurve eines einzelnen
Teilchens gegenüber der Referenzkurve um einen bestimmten Wert verschoben wird.
Der Mittelwert µ entspricht also der Verschiebung des Schwerpunktes der Referenzkurve durch das Einbringen der elf Folien in den Strahlengang. Somit gibt er die mittlere
wasseräquivalente Dicke der elf Folien wieder. Diese Größe stellt allgemein den Zusammenhang zwischen der Dicke eines beliebigen Materials und der entsprechenden Dicke
des Materials Wasser dar.
27
Das Berechnen der Folien als Gitter mit FLUKA bedarf einer hohen Rechenzeit. Der
Grund hierfür liegt darin, dass für die elf Folien mit einer lateralen Ausdehnung von 2 cm
x 2 cm mehr als elftausend Geometrien (Zylinder) benötigt werden. Je mehr Geometrien
verwendet werden und je kleiner diese sind, desto mehr Rechenzeit benötigt FLUKA
zum Einlesen der Geometrien und berechnen der Wechselwirkungsschritte. Aus diesem
Grund soll eine Methode gefunden werden, die Rechenzeit zu verkürzen.
Abbildung 3.3: Oben: Relative Tiefendosiskurven bei Bestrahlung eines Wasserphantoms mit 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen mit und ohne elf Folien als Gitter
im Strahlengang. Die Dosis ist dabei jeweils auf den Dosiswert in der Tiefe 0 normiert. Der Graph zeigt vergrößert den Ausschnitt um die Bragg
Peaks. Unten: Normalverteilter Faltungskern, der den Zusammenhang
zwischen den beiden Kurven oben beschreibt.
28
Grundlage dieser Methode ist sinnvollerweise, anstatt der Folien als Gitter alle Folien
aus einer homogenen Geometrie gleichen Materials einzulesen. So reduziert man die
Anzahl der Geometrien von elftausend auf elf. Die Umrechnung der Folien als Gitter in
homogene Geometrien kann leicht vorgenommen werden. Aus der gemessenen Massenbelegung η = 6,7±0,1 mg/cm2 und der berechneten, mittleren Dichte ρges = 2,2 g/cm3
lässt sich die Dicke d der homogenen Geometrie berechnen:
d=
η
ρges
(3.1)
= 30, 5 µm
Anstatt der elf Folien als Gitter können also elf Folien aus einer homogenen Struktur
mit einer Dicke von jeweils 30,5 µm verwendet werden. Für das Material dieser Folien
wird ein Stoffgemisch (entsprechend der Folien als Gitter) aus Polyester und Nickel verwendet. Der Massenanteil α von Nickel beträgt dabei wie bei den Folien als Gitter 0,43
(vgl. Kapitel 3.1). Dadurch, dass bei diesen Folien homogener Struktur dasselbe Material verwendet wird, wie bei den Folien als Gitter, ist gewährleistet, dass der Schwerpunkt
der entsprechenden Tiefendosiskurven in der gleichen Tiefe liegt. Allerdings geht von
der homogenen Geometrie kein modulierender Effekt aus.
Um den modulierenden Effekt zu erhalten, kann der gefundene Faltungskern aus Abbildung 3.3 verwendet werden. Der durch den Mittelwert dieser Verteilung definierte
Verschub wird durch das Einbringen der homogenen Folien im Strahlengang erreicht.
Um von der unmodulierten Tiefendosiskurve dieser Folien auf die Tiefendosiskurve der
Folien als Gitter zu kommen, muss die Kurve entsprechend der inhomogenen Gitterstruktur verbreitert werden. Diese Verbreiterung wird dabei durch die Streuung der
Normalverteilung aus Abbildung 3.3 beschrieben. Es kann also eine neue Verteilung definiert werden, die den Mittelwert Null und dasselbe σ hat. Diese Verteilung beschreibt
nun anschaulich die Wahrscheinlichkeit für die Änderung der Reichweite ∆z eines Teilchens ausgehend vom Schwerpunkt der Tiefendosiskurve der elf homogenen Folien. Mit
der in den Grundlagen gegebenen Gleichung (2.3) kann die Reichweite eines Teilchens
in Wasser in Abhängigkeit seiner Energie abgeschätzt werden. Mithilfe der Ableitung
dieser Gleichung kann also aus der Änderung der Reichweite ∆z eine Änderung der
Energie ∆E berechnet werden:
R(E, Z, A) ≈ 2, 56 · 10−3 · E 1,74 ·
Z2
A
⇒
∆E ≈ 224, 5 ·
Z2
· ∆z
A · E 0,74
(3.2)
Für die Teilchen wird nun anhand der neuen um Null verteilten Normalverteilung eine
29
Modulation ∆z der Reichweite bestimmt. Mit Gleichung (3.2) wird daraus eine Änderung der Energie ∆E bestimmt, die zu der Energie der Teilchen nach Durchlaufen der
elf homogenen Folien addiert wird.
In FLUKA kann dies mithilfe der Benutzerroutine USRmed verwirklicht werden. Diese
Benutzerroutine wurde so programmiert, dass sie auf die Teilchen nach Durchlaufen der
elf Folien homogener Struktur zugreift. Für jedes Teilchen wird eine Reichweitenänderung ∆z nach der beschriebenen Verteilung gewürfelt, daraus eine Energieänderung ∆E
berechnet und somit die neue Energie der Teilchen bestimmt. Für die Simulation wurde dieselbe Teilchenquelle und derselbe Aufbau wie in der Simulation zuvor verwendet
(vgl. Abbildung 3.2). Lediglich die Folien als Gitter wurden in diesem Aufbau durch die
Folien homogener Struktur ersetzt. Hinter der letzten Folie wurde eine Grenze definiert.
Passieren die Teilchen diese Grenze, so wird die Benutzerroutine aufgerufen und die
Energie der Teilchen nach dem beschriebenen Konzept manipuliert.
3.1.1.2
Verschiedene Experten der FLUKA-Gemeinschaft raten jedoch davon ab, in FLUKA
die Energie der Teilchen zu verändern, da dies zu Fehlern im Code und zu falschen
Berechnungen führen kann.
Aus diesem Grund wurde eine zweite Methode entwickelt, die ebenfalls mit homogenen Folien arbeitet und trotzdem die Modulationseffekte liefert. Hierfür wurde von der
Energiemodulation der Teilchen direkt zu einer Modulation der Foliendicke ∆d übergegangen.
Ausgangspunkt ist wieder die Verteilungsfunktion aus Abbildung 3.3. Wie bereits in
Kapitel 3.1.1.1 beschrieben, kann aus dem Mittelwert dieser Funktion und der Dicke
der elf homogenen Folien die wasseräquivalente Dicke des Folienmaterials hergestellt
werden. Die Dicke von elf Folien ist 11 mal 30,5 µm, also 335,5 µm. Der Schwerpunkt
der Verteilungsfunktion ist 0,062 cm (=620 µm) Wasseräquivalent (vgl. Kapitel 3.1.1.1).
1 cm Folie entspricht also ≈ 1,84 cm Wasser. Über diesen Zusammenhang kann aus der
Verteilung des Verschubes gegenüber der Referenzkurve eine Verteilung der Dicke der
elf Folien hergeleitet werden. Hierfür muss lediglich der Verschub in Wasser über die
wasseräquivalente Dicke in die Dicke des Folienmaterials umgerechnet werden. Dies bedeutet, dass die Werte für den Mittelwert µ und die Streuung σ der Verteilungsfunktion
des Verschubes durch 1,84 geteilt werden müssen. Die so berechnete Verteilung ist in
Abbildung 3.4 (links) zu sehen. Ihr Mittelwert ist 335,5 µm (also die Dicke von elf ho30
mogenen Folien) und ihre Streuung ist σ = 67 µm.
Anschließend wurde eine Source-Routine programmiert. In dieser Benutzerroutine wird
für jedes Teilchen anhand der Verteilungsfunktion aus Abbildung 3.4 (links) eine Dicke
für die Folie bestimmt und dem Teilchen zugeordnet. Jedes Teilchen sieht also eine
andere Dicke der Folie.
Abbildung 3.4: Normalverteilte Wahrscheinlichkeit der Dicke für elf homogenen Folien
(links) und die daraus entwickelte Verteilung für die Dicke einer Folie
(rechts). Die Kurve wurde im negativen Bereich gestrichelt dargestellt.
Der Nachteil dieser Methode ist, dass anstatt elf geometrisch voneinander getrennten
Folien nur eine Folie, die elfmal so dick ist, verwendet ist. Dies kann veränderte Streueigenschaften zur Folge haben, sowie weitere Artefakte verursachen.
Aus diesem Grund wurde aus dem normalverteilten Faltungskern für elf Folien der normalverteilte Faltungskern für eine Folie berechnet. Hierbei gilt gemäß den bekannten
1
· µ11 F olien und
Faltungsregeln für Normalverteilungen für den Mittelwert µ1 F olie = 11
1
für die Standardabweichung σ1 F olie = √11 · σ11 F olien .
Die so gefundene Normalverteilung ist in Abbildung 3.4 (rechts) zu sehen. Problematisch ist, dass als Ergebnis dieses Verfahrens endliche Wahrscheinlichkeiten bei negativen
Dicken auftreten, die physikalisch nicht sinnvoll sind.
Um eine realistische Verteilungsfunktion für die Dicke einer Folie zu finden, wurde ein
iterativer Ansatz gewählt. Es wurde eine Funktion gewählt, dessen Bedingung ist, dass
ihr Funktionswert für alle Werte kleiner gleich Null gleich Null ist (f(x < 0) = 0).
Außerdem sollte das Integral über die Funktion gleich 1 sein. Diese Normierung ist Voraussetzung für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Funktion wird für diskrete Werte
definiert. Diese Werte werden iterativ so optimiert, dass deren elffache Faltung mit sich
31
selber eine minimale Abweichung (definiert über die Fehlerquadratsumme) zur Ausgangsfunktion aus Abbildung 3.4 (links) hat. Der Graph der so optimierten Modulationsfunktion für die Dicke einer Folie ist in Abbildung 4.2 in Kapitel 4.1.2 zu sehen.
Um die Modulation der Folien mithilfe dieser Verteilungsfunktion zu simulieren, wurden
in FLUKA elf homogene Folien verwendet. Ihre Positionen entsprachen den ursprünglichen Positionen der Folien als Gitter. Außerdem wurde wieder dieselbe Teilchenquelle
wie in den Simulationen zuvor verwendet (vgl. Abbildung 3.2).
Zusätzlich wurde wieder eine Source-Routine programmiert. In dieser Benutzerroutine
wird für alle Teilchen nach der in Abbildung 4.2 gegebenen Verteilungsfunktion die Dicke
für jede der elf Folien bestimmt. Dafür werden zwei Zufallszahlen verwendet: Die erste
Zufallszahl A wird gleichverteilt zwischen 0 und 80 gewürfelt (Dies entspricht demjenigen Intervall, in dem die Funktion Werte ungleich 0 annimmt). Diese Zahl entspricht
der Dicke der Folie in µm. Anschließend wird eine zweite Zufallszahl B gleichverteilt
zwischen 0 und dem maximalen Wert der Verteilung (0,13) gewürfelt. Ist diese gewürfelte Zahl B kleiner als der Funktionswert der Modulationsfunktion an der Stelle der
Zufallszahl A, so wird diesem Teilchen die Dicke der Folien entsprechend der Zufallszahl
A zugeordnet. Ist die Zufallszahl größer als der Funktionswert, so wird für das Teilchen
erneut eine Zufallszahl A gewürfelt und der Vorgang wiederholt.
Um die Gültigkeit aller Benutzerroutinen auch bei anderen Energien zu zeigen, wurden
alle Simulationen auch für 150 MeV/u Kohlenstoff-Ionen durchgeführt. Die Benutzerroutinen und die entsprechenden Geometrien der Simulationen wurden gleich gelassen.
3.1.2
Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der
Dosiskammern
Neben den Tiefendosiskurven als Charakteristik der Strahlqualität ist auch die Strahlbreite von Bedeutung. Aus diesem Grund wurde neben den Tiefendosiskurven in einem
Wasserphantom die Streuwinkelverteilung der Kohlenstoff-Ionen nach Durchqueren der
elf Folien bestimmt. Hierfür wurden mit FLUKA fünf Simulationen durchgeführt. Bei
jeder Simulation wurde dieselbe Teilchenquelle benutzt, die einen parallelen Strahl monoenergetischer Kohlenstoff-Ionen mit 80 MeV/u emittiert. Anstelle des Wasserphan(ϑ)
toms wurde an der Position z = 0 cm eine Grenze definiert, an der die Fluenz ddN
Ω
in Abhängigkeit des Polarwinkels ϑ durch FLUKA berechnet wurde. Der Winkel ϑ ist
dabei zwischen der Trajektorie eines Teilchens und der Sollbahn definiert. Die Folien
32
wurden dabei wie im vorherigen Teil besprochen in der Simulation eingelesen:
• elf Folien als Gitter (vgl. Kapitel 3.1)
• elf Folien homogener Struktur (vgl. Kapitel 3.1.1.1)
• elf homogene Folien mit Verwendung der Benutzerroutine USRmed (vgl. Kapitel
3.1.1.1)
• eine homogene Folie mit Verwendung der Source-Routine und der Verteilungsfunktion für die Dicke von elf Folien (vgl. Kapitel 3.1.1.2 und Abbildung 3.4,
links)
• elf homogene Folien mit Verwendung der Source-Routine und der Verteilungsfunktion für die Dicke einer Folie (vgl. Kapitel 3.1.1.2 und Abbildung 4.2)
3.1.2.1
Untersuchung der Streuwinkelverteilung bei Variation des Nickelanteils der Folien
Da die Unsicherheit des in Kapitel 3.1 bestimmten Nickelanteils der Folien mit 25% sehr
groß ist, soll untersucht werden, wie groß die Unsicherheit der Breite der Streuwinkelverteilung aufgrund der Unsicherheit des Nickelanteils ist. Hierfür wurden in einer weiteren
Simulation elf Folien homogener Struktur eingelesen und die Fluenz in Abhängigkeit
des Streuwinkels berechnet. Da es bei der Streuung wie in Kapitel 2.2.2 beschrieben
lediglich auf die Massenbelegung im Strahlengang ankommt, wurden die Folien aus Zeitgründen nicht als Gitter eingelesen. Für die Berechnung der winkelabhängigen Fluenz
wurde der Nickelanteil der Folien zwischen 10 und 90 Massenprozent in 10er-Schritten
variiert. Für jeden Nickelanteil wurde anschließend die berechnete Streuwinkelverteilung mit einer Normalverteilung gefittet, um so die Breiten σ der Winkelverteilungen
in Abhängigkeit des Nickelanteils zu ermitteln. Diese Untersuchung wurde sowohl für
80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen als auch für Kohlenstoff-Ionen der Energie 400 MeV/u gemacht. Diese beiden Energien stellen die Grenzen des am Beschleuniger einstellbaren
Energiespektrums dar.
33
3.2
Modellierung des Strahlkopfs
Nachdem nun die Effekte der Folien der Dosiskammern untersucht wurden, wurde der
gesamte Strahlkopf wie in Kapitel 2.5 beschrieben und in Abbildung 2.5 skizziert nachgebaut.
Implementierung des Ripple-Filters
Der 4 mm Ripple-Filter4 wurde nach einer Methode von Bassler et al [36, 74] in FLUKA
implementiert. Um Rechenzeit zu sparen, wird der Filter nicht aus Geometrien aufgebaut. Es wird stattdessen eine Benutzerroutine verwendet. Trifft ein Teilchen auf den
Ripple-Filter, so sieht es abhängig von seiner lateralen Position eine gewisse Dicke des
Ripple-Filter-Materials, je nachdem, an welcher Stelle es die Noppen der Struktur trifft.
In FLUKA wird an der Stelle des Ripple-Filters eine 4 mm dicke Platte aus dem RippleFilter-Material eingelesen. Die Benutzerroutine ruft für jedes Teilchen, das diese Region
betritt, eine externe Datei auf. In dieser Datei ist die Höhe des Ripple-Filters in Abhängigkeit der lateralen Position (x,y) hinterlegt. Das Teilchen wird so weit im Material
ohne Energieverlust oder Richtungsänderung nach vorne gesetzt, dass die verbleibende
Dicke des Materials der Höhe des Ripple-Filters an dieser lateralen Position entspricht.
Da der Ripple-Filter aus periodisch angeordneten Noppen aufgebaut ist, reicht es, in
der aufgerufenen Datei die Höhe des Ripple-Filters in Abhängigkeit der lateralen Position (x,y) für eine einzige Noppe auf der Strahlachse zu definieren. Der Betrag der
lateralen Position eines jeden Teilchens wird solange um die Breite einer Noppe in xund y-Richtung verringert (ohne das Teilchen selber zu verschieben), bis er kleiner als
die Breite einer Noppe ist. Wäre das Teilchen an dieser neuen lateralen Position, würde
es die mittlere Noppe treffen. Das Teilchen wird anschließend anhand der aufgerufenen
Datei in Strahlrichtung verschoben. Die laterale Position des Teilchens wird durch diesen Prozess nicht verändert.
Tiefendosiskurven
Zur Vermessung der Tiefendosiskurven wurde ein zylinderförmiges Wasserphantom im
Isozentrum positioniert.
4
Wie bereits in Kapitel 2.5 erwähnt, ist zwar der 3 mm RiFi der Standardfilter am Strahlkopf,
allerdings soll in dieser Arbeit der neue 4 mm RiFi untersucht werden.
34
Die Teilchenquelle befand sich 10 cm vor den Austrittsfenstern. Sie emittierte 80 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen. Wie auch zuvor wurde die Energie so niedrig gewählt, um die Effekte
der Bauteile am besten sehen zu können. Die Intensität war lateral normalverteilt mit
einem FWHM von 5 mm. Der Strahl besaß keine Divergenz.
Es wurden insgesamt acht Simulationen durchgeführt, bei denen die verschiedenen Bauteile RiFi, Folien und Multi-Wires kombiniert wurden:
• mit 4 mm RiFi, Folien als homogene Struktur, mit Multi-Wires
• mit 4 mm RiFi, Folien als Gitterstruktur, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als homogene Struktur, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als Gitterstruktur, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, ohne Folien, mit Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als homogene Struktur, ohne Multi-Wires
• ohne RiFi, Folien als Gitterstruktur, ohne Multi-Wires
• ohne RiFi, ohne Folien, ohne Multi-Wires
Die Folien als Gitterstruktur wurden dabei nicht aus den einzelnen Zylindern aufgebaut,
sondern mithilfe der in Kapitel 3.1.1.2 beschriebenen Source-Routine und der Modulationsfunktion für die Dicke einer Folie simuliert, um Rechenzeit zu sparen.
Alle diese Berechnungen wurden ebenfalls für Kohlenstoff-Ionen mit einer Energie von
400 MeV/u durchgeführt, um die Effekte der einzelnen Bauteile bei höheren Energien
zu bestimmen.
Untersuchung der Fluenz innerhalb des Strahlkopfes und im Nahfeld
In einer Veröffentlichung von Ringbæk et al. [36] wird beschrieben, dass die Struktur des
Ripple-Filters zu Inhomogenitäten der Fluenz führt. Aus diesem Grund wurde in einer
weiteren Untersuchung die Fluenz der Kohlenstoff-Ionen in der x-z-Ebene innerhalb des
Strahlkopfes und im Bereich bis 50 cm dahinter (Nahfeld) berechnet. Die Teilchenquelle
wurde wie bei der Berechnung der Tiefendosiskurven 10 cm vor den Austrittsfenstern
positioniert. Sie emittierte in Anlehnung an Ringbæks Arbeit 270 MeV/u KohlenstoffIonen. Die Intensität war lateral gleichverteilt mit einer Breite von 2 cm. Der Strahl
wies eine normalverteilte Divergenz mit einem FWHM von 3 mrad.
35
3.3
Strahlfokussierung
Nach erfolgreicher Implementierung des Strahlkopfes in FLUKA wurde die Strahlfokussierung anhand zweier Quadrupolmagnete simuliert. Der Strahlengang ist in Abbildung
3.5 zu sehen.
Abbildung 3.5: Der schematische Strahlengang bei Verwendung des Strahlkopfes und
zwei Quadrupolmagneten zur Strahlfokussierung.
Die Teilchen werden nach Erreichen der gewünschten Energie aus dem Synchrotron ausgekoppelt. Danach werden sie durch Dipolmagnete zum Bestrahlungsraum gelenkt. Die
Quelle in diesem Aufbau markiert den Punkt nach der letzten Umlenkung.
Um die benötigte Stärke der Magnete zu bestimmen, wurden die in Kapitel 2.3 beschriebenen Abbildungsmatrizen verwendet. Dafür wurden in Matlab Teilchen anhand
von Vektoren definiert, die die Positionen x und y sowie die Steigung der Teilchenbahn
in x- und y-Richtung (x0 und y 0 ) enthalten. Dabei waren die Positionen x und y um
Null normalverteilt mit einem FWHM von 5 mm. Die Steigung der Teilchenbahnen in
x- und y-Richtung waren normalverteilt mit einem FWHM von 3 mrad.5 Die Strahlausbreitung durch den in Abbildung 3.5 gezeigten Aufbau wurde mithilfe der Matrizen aus
den Gleichungen (2.18), (2.19) und (2.20) berechnet. Hierfür wurden die Driftstrecken
3 und 4, sowie der Strahlkopf zu einer Dirftstrecke zusammengefasst, da die Streuung
der Teilchen durch den Strahlkopf nicht mithilfe solcher Matrizen beschrieben werden
kann. Außerdem wurde der Magnet 1 als in x-Richtung fokussierend und der Magnet
2 als in y-Richtung fokussierend festgelegt. Für jedes Teilchen, das in Matlab mithilfe
der beschriebenen Vektoren dargestellt wird, kann also durch die Multiplikation mit den
Abbildungsmatrizen die Position und Flugrichtung des Teilchens im Isozentrum berechnet werden (vgl. Gleichung (2.17)). In Matlab wurden für verschiedene Kombinationen
aus Magnetfeldkonstanten k1 und k2 der Abbildungsmatrizen des ersten und zweiten
Magneten für 50 000 nach der beschriebenen Vorgehensweise erzeugten Teilchen die Positionen im Isozentrum berechnet. Anschließend wurde zu jeder dieser Kombinationen
5
Dies entspricht einer normalverteilten Divergenz des Teilchenstrahls mit einem FWHM von 3
mrad.
36
der so errechnete Strahlfleck im Isozentrum analysiert. Unter der Voraussetzung, dass
der Strahl rund ist, wurde derjenige Strahl gesucht, der den kleinsten Durchmesser hat.
Aus den so ermittelten Werten von k1 und k2 aus den Abbildungsmatrizen lässt sich
der Gradient der Magnetfeldstärken der Quadrupole für Teilchen einer bestimmten Art
und Energie über die Formel k = e·g
berechnen, wobei |~p| der Impuls nach Gleichung
|~
p|
(2.23), e die Ladung der Teilchen und g der Gradient der Magnetfeldstärke in T/m ist.
Die so berechneten Größen g1 und g2 (analog zu k1 und k2 ) konnten dann in FLUKA zur Simulation der Strahlfokussierung benutzt werden. In FLUKA wurde dafür der
Strahlkopf wie in den Kapiteln 2.5 und 3.2 beschrieben, sowie die Magnete aus Abbildung 3.5 an den entsprechenden Positionen eingelesen. Die Magnete bestehen dabei
aus Vakuum. Mittels der Benutzerroutine MAGFLD kann dann ein Magnetfeld in den
Regionen dieser Magnete definiert werden. Dabei ist die Magnetfeldstärke genau die, die
mit Matlab optimiert und für FLUKA umgerechnet wurde. Die Umrechnung wurde für
80 MeV Kohlenstoff-Ionen vorgenommen, welche von der Quelle in FLUKA emittiert
werden. Genau wie bei der Berechnung mit MATLAB hatte der Strahl lateral eine normalverteilte Intensität mit FWHM gleich 5 mm und wies eine ebenfalls normalverteilte
Divergenz mit einem FWHM von 3 mrad auf.
Berechnet wurde die Fluenz der Kohlenstoff-Ionen in der x-z- und y-z-Ebene entlang
der Strahlachse sowie in der x-y-Ebene an der Position z = 0, was der Lage des Isozentrums entspricht. Anhand der Fluenz in der x-y-Ebene kann die Strahlbreite berechnet
werden. Es wurden zwei Simulationen vorgenommen, bei denen die Quadrupolmagnete
einmal aktiviert und einmal ausgeschaltet waren, um den Effekt der Quadrupolmagnete
sichtbar machen zu können.
3.4
Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfachstreuung und der Näherung von Highland
In dieser Berechnung soll analog zur Veröffentlichung von Gottschalk [45] geprüft werden, ob die in Gleichung (2.14) gegebene Formel eine gute Näherung für die Breite
der Streuwinkelverteilung der Vielfachstreuung nach Molière ist. Die Winkelverteilung
nach Molière wurde mithilfe von FLUKA berechnet, da dieser Code wie in Kapitel 2.4.1
beschrieben genau diese Theorie verwendet. Dabei entwickelt FLUKA die Formel aus
Gleichung (2.6) bis zur zweiten Ordnung. Dafür wurde die Streuwinkelverteilung von 160
MeV Protonen nach Durchlauf verschiedener Materialien berechnet. Es wurde derselbe
37
Aufbau wie in Abbildung 3.2 verwendet. Als Streumaterial wurden elf Folien homogener Struktur eingelesen. Die verwendete Quelle emittierte wie in der Veröffentlichung
von Gottschalk [45] 160 MeV Protonen in positiver z-Richtung. Der Strahl war dabei
parallel und hatte ein FWHM von 2 mm. Anstatt des Wasserphantoms wurde an der
Position z = 0 cm eine Grenze definiert, an der die Fluenz in Abhängigkeit des Streuwinkels berechnet wurde. Das Material der elf Folien war dabei wie in Kapitel 3.1.2 das
Polyester-Nickel-Gemisch, wobei der Nickelanteil zwischen 10 und 90 Massenprozent in
10er-Schritten variiert wurde. Die so berechneten winkelabhängigen Fluenzverteilungen
wurden anschließend mit einer Normalverteilung gefittet und die Standardabweichungen σ gegen den Nickalanteil aufgetragen.
Parallel dazu wurden die Standardabweichungen σ nach der Formel aus Gleichung (2.14)
berechnet. Anschließend wurden die Werte gegen den Nickelanteil in dasselbe Diagramm
eingetragen. Für die Berechnung nach dieser Formel werden die Massenbelegung und
die Strahlungslänge des Streumaterials benötigt. Die Massenbelegung wurde bereits in
Kapitel 3.1 für eine Folie zu η = 6, 7 mg/cm2 bestimmt. Diese Massenbelegung ist unabhängig vom Nickelanteil stets für alle Berechnungen gleich. Dies ist zwar nicht realistisch,
aber sinnvoll, da die Massenbelegung unterschiedlicher Nickelanteile nur schwer zu berechnen ist und Unsicherheiten birgt. Da in FLUKA das Stoffgemisch unabhängig vom
Nickelanteil stets mit der gleichen Dichte und geometrischen Dicke eingelesen wurde, ist
auch in FLUKA die Massenbelegung immer die gleiche. So ist ein Vergleich der Ergebnisse auch sinnvoll. Zur Bestimmung der Strahlungslänge des Polyester-Nickel-Gemisches
wurden anhand von Gleichung (2.15) die Strahlungslängen für Nickel und die Bestandteile des Polyesters (Wasser-, Kohlen- und Sauerstoff) abgeschätzt, die dann mittels
Gleichung (2.16) zur Strahlungslänge des Stoffgemisches in Abhängigkeit des Nickelanteils zusammengefasst wurden. Da die Formel zur Abschätzung der Breite der Streuwinkelverteilung energieabhängig ist, wurde der Energieverlust durch jede Folie berechnet.
Hierfür wurde das Stoßbremsvermögen ddEx des Stoffgemisches nach der Bragg’schen Regel aus Gleichung (2.4) in Abhängigkeit des Nickelanteils bestimmt. Der Energieverlust
dE einer Folie wurde dann über das Produkt aus dem Stoßbremsvermögens mit der
Dicke einer Folie angenähert. So konnte die Energie der Teilchen nach jeder Folie abgeschätzt werden. Es wurde dann die Breite der Streuwinkelverteilung nach Gleichung
(2.14) für jede der elf Folien einzeln berechnet und anschließend zu einer resultierenpP
2
den Breite σ für elf Folien über die Formel σ =
i (σi ) zusammengefasst, wobei
i ∈ [1 : 11] die Nummer der jeweiligen Folie angibt.
38
Kapitel 4
Ergebnisse & Diskussion
4.1
Analyse der Anoden- und Kathoden-Folien der
Dosiskammern
4.1.1
Methode I: Energiemodulation
In Abbildung 4.1 sind die relativen Tiefendosiskurven der elf Folien als Gitter (”Folie
Gitter”), der elf Folien als homogene Struktur (”Folie homogen”) und elf dieser Folien
homogener Struktur, bei denen mittels der USRmed-Routine die Energie der Teilchen
manipuliert wurde (”Folie USRmed”), zu sehen (vgl. Kapitel 3.1.1.1). Die Dosis ist dabei
jeweils auf den Wert in der Tiefe 0 normiert. Die Grafik zeigt nur den Ausschnitt um
den Bragg Peak herum. Die Unsicherheit der Dosis lag unter 0,5 % und befindet sich
im Bereich der Strichstärke. Die Unsicherheit der in dieser Arbeit angegebenen, mit
FLUKA berechneten Größen entspricht wie in Kapitel 2.4.1 beschrieben 1σ der Normalverteilung, mit der die Beiträge der einzelnen simulierten Teilchen gefittet werden.
Gut zu sehen ist, dass aufgrund der heterogenen Struktur der Folien als Gitter die
Tiefendosikurven gegenüber den homogenen Folien verbreitert wird. Der Schwerpunkt
beider Kurven liegt in der gleichen Tiefe. Dies war zu erwarten, da beide Folien durch
die Umrechnung der Folien als Gitter zu den Folien homogener Struktur die gleiche
Massenbelegung haben.
Betrachtet man die Tiefendosiskurve der homogenen Folien, die mittels der USRmedRoutine manipuliert wurden, so ist zu sehen, dass sie exakt das Verhalten der Folien als
geometrisches Gitter wiedergibt. Neben der richtigen Massenbelegung der homogenen
Folien stimmt also auch die Verbreiterung. Die Umrechnung einer Energiemodulation
aus dem Faltungskern der Tiefenmodulation nach Formel (2.3) ist also eine gute Näherung.
Für die Berechnung der Tiefendosiskurve der Folien als geometrisches Gitter, die eine
39
laterale Ausdehnung von 2 cm x 2 cm besaßen (entspricht insgesamt elftausend Zylindern), benötigte FLUKA aufgrund der feinen Struktur der Folien eine Rechenzeit von
∼ 77 ms pro Teilchen. Für die Berechnung der Tiefendosiskurven der homogenen Folien
bzw. der Folien, bei denen die USRmed-Routine angewandt wurde, benötigte FLUKA
lediglich ∼ 8 ms pro Teilchen. Dies entspricht einer Verkürzung der Rechenzeit um 90%.
Abbildung 4.1: Relative Tiefendosiskurven für 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen der elf Folien als Gitter, der elf homogenen Folien und der elf homogenen Folien,
bei denen mittels der USRmed-Routine die Energie der Teilchen manipuliert wurde. Normiert wurde die Dosis auf den Wert in der Tiefe 0.
Die Grafik zeigt aus Gründen der Sichtbarkeit nur den Zoom um den
Bragg Peak. Die Unsicherheit (1σ) der Dosis war für alle Kurven kleiner
als 0,5 % und liegt im Bereich der Strichstärke.
Allerdings wird von Experten der FLUKA-Gemeinschaft davon abgeraten, innerhalb
von FLUKA die Energie von Teilchen zu ändern, da dies zu unvorhergesehenen Fehlern
und nicht physikalischem Verhalten führen kann. In diesem Fall scheint das Ergebnis
zwar zu stimmen, jedoch kann nicht ausgeschlossen werden, dass innerhalb des Codes
etwas falsch läuft. Auf jeden Fall sollte für Berechnungen mit klinischer Relevanz solch
ein Risiko nicht eingegangen werden.
40
4.1.2
Deshalb wurde neben der Energiemodulation eine Dickenmodulation der homogenen
Folien mittels einer Source-Routine vorgenommen. Neben der Verteilungsfunktion für
elf Folien wurde eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Dicke einer Folie bestimmt
(vgl. Kapitel 3.1.1.2). Diese Funktion ist in Abbildung 4.2 zu sehen.
Abbildung 4.2: Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung (Modulationsfunktion) für
die Dicke einer Folie.
Diese Verteilungsfunktion ist charakteristisch für die Gittergeometrie der Folien. Das
reale Gitter besteht aus Gitterstäben und Löchern. Dementsprechend hat die Funktion
zwei Peaks: Einen bei der Dicke Null (Löcher) und einen bei ∼45 µm. Dies entspricht
in etwa dem Durchmesser eines Drahtes. Nach oben ist die Dicke der Folien durch 80
µm beschränkt. Dies entspricht dem zweifachen Durchmesser der Drähte, markiert also die Stellen, an denen sich ein Kreuz aus den Drähten in x-Richtung und denen in
y-Richtung befindet. Der Schwerpunkt der Funktion liegt bei ∼30 µm, entspricht also
der Dicke einer homogenen Folie.
In Abbildung 4.3 sind die relativen Tiefendosiskurven der elf Folien als Gitter (”Folie
Gitter”), der elf Folien als homogene Struktur (”Folie homogen”) und elf dieser Folien homogener Struktur, bei denen mittels der Source-Routine, die die Verteilungsfunktion für
die Dicke von elf Folien verwendet (”Folie Source Gauss”) und der Source-Routine, die
41
die Modulationsfunktion für die Dicke einer Folie verwendet (”Folie Source ModFn”), zu
sehen (vgl. Kapitel 3.1.1.2). Die Dosis ist dabei jeweils auf den Wert in der Tiefe 0 normiert. Die Grafik zeigt nur den Ausschnitt um den Bragg Peak herum. Die Unsicherheit
(1σ) der Dosis liegt unter 0,5 % und befindet sich im Bereich der Strichstärke.
Abbildung 4.3: Relative Tiefendosiskurven für 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen der elf Folien als Gitter, der elf homogenen Folien und der elf homogenen Folien,
bei denen mittels der Source-Routinen die Dicke der Folien moduliert
wurde. Normiert wurde die Dosis auf den Wert in der Tiefe 0. Die Grafik
zeigt aus Gründen der Sichtbarkeit nur den Zoom um den Bragg Peak.
Die Unsicherheit (1σ) der Dosis war für alle Kurven kleiner als 0,5 %
und liegt im Bereich der Strichstärke.
Die Kurven der Folien als Gitter und der homogenen Folien zeigen dasselbe Bild, wie
in Abbildung 4.3. Die Tiefendosiskurven der mittels Source-Routinen modulierten Folien geben ebenfalls das Verhalten der Folien als Gitter wieder. Lediglich im Bereich
des Bragg Peaks sind Unterschiede zu erkennen. Diese betragen aber weniger als 1%.
Die Kurven der beiden Source-Routinen stimmen exakt überein. Die Berechnung der
Modulationsfunktion einer Folie aus dem Faltungskern der elf Folien ist demnach exakt.
Die Rechenzeit für die Verwendung der Source-Routinen betrug ebenfalls ∼8 ms pro
Teilchen.
42
Gegenüber der USRmed-Routine haben die beiden Source-Routinen den Vorteil, dass sie
nicht die Energie der Teilchen manipulieren. Es besteht also kein Risiko für nicht physikalisches Verhalten. Des Weiteren hat die Source-Routine, die die Verteilungsfunktion
für die Dicke von elf Folien verwendet, gegenüber der Source-Routine, die die Modulationsfunktion für die Dicke einer Folie verwendet, den Nachteil, dass sie lediglich eine
geometrische Folie benutzt, die im Mittel so dick wie elf Folien ist. Die Source-Routine,
die die Modulationsfunktion für die Dicke einer Folie verwendet, benutzt hingegen elf
Folien an exakt den vorgesehenen Positionen.
Aus diesen Gründen stellt die Source-Routine, die die Modulationsfunktion für die Dicke
einer Folie verwendet, die beste der Benutzerroutinen dar und kann sowohl effizient als
auch sehr exakt die durch die Gitterstruktur der Folien bedingte Modulation der Tiefendosiskurven wiedergeben.
Bei Verwenden der Benutzerroutinen kann die Rechenzeit bei einer lateralen Ausdehnung der Folien von 2 cm x 2 cm bereits um 90% reduziert werden. Bei klinisch relevanten Berechnungen zu einem Raster-Scan-Verfahren müsste die laterale Ausdehnung
der Folien wesentlich größer sein. Für die Folien als Gitter würde dies neben der Implementierung von tausenden von Geometrien einen unverhältnismäßig großen Anstieg der
Rechenzeit bedeuten. Für die Folien homogener Struktur, die mittels einer Benutzerroutine moduliert werden, spielt die laterale Ausdehnung der Folien keine Rolle, da eine
Vergrößerung keine größere Anzahl an Geometrien bedeutet. Die Rechenzeit bleibt also
konstant. Die Reduzierung der Rechenzeit für klinisch relevante Berechnungen ist also
deutlich größer als 90%.
Neben den bisher vorgestellten Simulationen zu den verschiedenen Folien und Benutzerroutinen bei Bestrahlung mit 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen wurden dieselben Simulationen mit 150 MeV/u Kohlenstoff-Ionen durchgeführt. Die Ergebnisse sind in Abbildung
4.4 zu sehen.
Der Schwerpunkt der Tiefendosiskurve liegt in einer größeren Tiefe als bei 80 MeV/u.
Ein weiterer Effekt der höheren Energie ist das Energieverlust-Straggling (vgl. Kapitel
2.1.1) . Vergleicht man den Verlauf der Kurve der Folien als Gitter, so fällt auf, dass
die Verbreiterung gegenüber der homogenen Folien bei 150 MeV/u kleiner ist als bei 80
MeV/u.
Bezüglich der Benutzerroutinen lässt sich feststellen, dass sie auch für diese Energie die Modulation der Folien als Gitter sehr gut wiedergeben. Durch den Effekt des
Energieverlust-Stragglings sind die geringen Unterschiede zwischen der Kurve der Folien
43
als Gitter und den Kurven der Source-Routinen, die bei 80 MeV/u noch zu sehen waren,
nicht mehr vorhanden.
Abbildung 4.4: Relative Tiefendosiskurven für 150 MeV/u Kohlenstoff-Ionen der elf Folien als Gitter, der elf Folien als homogene Struktur und der elf homogenen Folien, bei denen mittels der Benutzerroutinen die Folien moduliert
wurden. Normiert wurde die Dosis auf den Wert in der Tiefe 0. Die
Grafik zeigt aus Gründen der Sichtbarkeit nur den Zoom um den Bragg
Peak. Die Unsicherheit (1σ) der Dosis war für alle Kurven kleiner als
0,5 % und liegt im Bereich der Strichstärke.
4.1.3
Untersuchung der Streuwinkelverteilung der Folien der
Dosiskammern
Zusätzlich wurde die Fluenz in Abhängigkeit der Streuwinkel für die verschiedenen Folien bestimmt (vgl. Kapitel 3.1.2). In Abbildung 4.5 sind die Ergebnisse zu sehen. Die
Unsicherheit der Fluenz war dabei stets kleiner als 0,5 % und liegt somit im Bereich der
Strichstärke.
Wie man gut erkennen kann, haben alle Kurven in etwa den gleichen Verlauf. Dabei
fällt auf, dass die Kurven der Folien homogener Struktur und der USRmed-Routine
exakt übereinstimmen. Genauso stimmen die Kurven der Folien als Gitter und der
44
Source-Routinen exakt überein. Der Grund hierfür liegt darin, dass die beiden ersten
Folien diejenigen Folien sind, bei denen die Dicke der Folien für die Streuberechnung mit
FLUKA konstant ist. Die anderen drei Folien sind die Folien, bei denen die Geometrie
entweder die reale Gitterstruktur der Folien aufweist oder die Dicke der Folien über die
Source-Routinen manipuliert wird. Bei diesen Folien geht ein Anteil der Teilchen durch
die Löcher des Gitters oder sie durchlaufen sehr kleine Dicken der Folien. Entsprechend
der Theorie der Vielfachstreuung nach Molière (vgl. Kapitel 2.2.1) werden diese Teilchen
gar nicht (in Falle der Gitterlöcher) oder nur geringfügig gestreut. Dies resultiert in einer
erhöhten Fluenz für kleine Streuwinkel gegenüber den Folien homogener Struktur bzw.
der mittels USRmed manipulierten Folien. Bei diesen Folien durchlaufen alle Teilchen
die gleiche Dicke an Folienmaterial.
Abbildung 4.5: Die Streuwinkelverteilung für die verschiedenen Folien und 80 MeV/u
Kohlenstoff-Ionen. Die Einheit der Fluenz ist auf die Anzahl der Primärteilchen (upm: unit primary weight) normiert. Die Unsicherheit (1σ)
der Dosis war für alle Kurven kleiner als 0,5 % und liegt im Bereich der
Strichstärke.
45
4.1.3.1
Untersuchung der Streuwinkelverteilung bei Variation des Nickelanteils der Folien
In einer weiteren Untersuchung wurden die Folien homogener Struktur verwendet und
ihr Nickelanteil zwischen 10 und 90 Massenprozent in 10er-Schritten variiert (vgl. Kapitel 3.1.2.1). Zu jedem Nickelanteil wurde die Streuwinkelverteilung für 80 MeV/u und
400 MeV/u Kohlenstoff-Ionen aufgenommen. Die Verläufe waren jeweils vergleichbar
mit den Kurven aus Abbildung 4.5. Anschließend wurde jede dieser Kurven mit einer
Normalverteilung gefittet und die Breite σ dieser Verteilung gegen den Nickelanteil α
aufgetragen. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.6 zu sehen.
Abbildung 4.6: Die Breite σ der mit Normalverteilungen gefitteten Streuwinkelverteilungen. Die Unsicherheiten der Werte betrugen unter 0,2% und liegen
im Bereich der Punktgröße.
Wie man gut sehen kann, steigt die Breite σ der Streuwinkelverteilungen mit zunehmendem Nickelateil α an. Dies liegt daran, dass die Streuung am schweren Element Nickel
stärker als am leichten Material Polyester ist. Dies lässt sich anhand der Gleichung
(2.14) erklären, die eine Abschätzung zur Breite der Streuwinkelverteilung gibt: Da die
Strahlungslänge RL für Nickel kleiner als für Polyester und die Breite der Verteilung in
erster Näherung proportional zur reziproken Wurzel dieser Länge ist, ist die Breite der
Streuwinkelverteilung größer, je größer der Nickelanteil α ist. Ferner ist zu sehen, dass
46
der Anstieg der Breite mit zunehmendem Nickelanteil α für Kohlenstoff-Ionen mit einer
Energie von 400 MeV/u deutlich schwächer als bei 80 MeV/u ist. Auch ist die Breite
σ der Streuwinkelverteilung für einen Nickelanteil bei 400 MeV/u stets kleiner, als bei
80 MeV/u. Grund hierfür ist, dass die Breite der Verteilung proportional zur reziproken
Energie der Teilchen ist (vgl. Gleichung (2.14).
Insgesamt lässt sich der Zusammenhang zwischen der Breite der Streuwinkelverteilung
und dem Nickelanteil α als linear annähern. Der Fehler dieser Annäherung ist in beiden
Fällen kleiner als 5 %. Die resultierende Unsicherheit der Streuwinkelverteilung als Folge
der großen Unsicherheit des Nickelanteils α der Folien beträgt für beide Energien 0,6 %
pro Prozentpunkt Abweichung vom Nickelanteil 43 %.1 Die Unsicherheit des Nickelanteils α von 10 Prozentpunkten hat also eine maximale Unsicherheit in der Breite σ der
Streuwinkelverteilung von ∼6 % zur Folge.
1
α = 43 % entspricht dem gemessenen Nickelanteil der Folien.
47
4.2
Modellierung des Strahlkopfs
In Abbildung 4.7 sind die Ergebnisse der Tiefendosiskurven bei Verwenden des Strahlkopfes für 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen zu sehen (vgl. Kapitel 3.2). Die Dosis ist jeweils
auf die Dosis in der Tiefe 0 cm normiert. Zur besseren Übersicht wird nur der Bereich
um die entsprechenden Bragg Peaks dargestellt. Die Unsicherheit (1σ) der Dosis lag
stets unter 0,5 % und liegt somit im Bereich der Strichstärke.
Abbildung 4.7: Die Tiefendosiskurven bei Verwenden des Strahlkopfes für verschiedene
Kombinationen der Bauteile RiFi, Folien der Dosiskammern und MultiWires bei 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen. Die Dosis wurde auf die Dosis in
der Tiefe 0 cm normiert. Zur besseren Übersicht wurde nur der Bereich
um die Bragg Peaks dargestellt. Die Unsicherheit (1σ) der Dosis lag
unter 0,5 % und liegt im Bereich der Strichstärke.
48
Gut zu erkennen sind die Effekte des Ripple-Filters, der den Bragg Peak verbreitert
und in geringere Tiefen verlegt. Dies liegt an der heterogenen Struktur und der erhöhten Massenbelegung im Strahlengang. Ebenfalls gut zu erkennen sind die Effekte der
Folienmodulation, solange kein Ripple-Filter verwendet wird. Die Multi-Wires sorgen
ebenfalls für eine Modulation. Diese Modulation zeigt sich anhand einer Stufe ca. 0,5
mm vor dem eigentlichen Bragg Peak.
Um die einzelnen Effekte besser und getrennt voneinander erkennen zu können, sind in
Abbildung 4.8 ausgewählte Tiefendosiskurven separat aufgeführt.
Abbildung 4.8: Eine Auswahl der Tiefendosiskurven aus Abbildung 4.7 bei Verwenden
des Strahlkopfes für verschiedene Kombinationen der Bauteile RiFi, Folien der Dosiskammern und Multi-Wires. Die Dosis wurde auf die Dosis
in der Tiefe 0 cm normiert. Zur besseren Übersicht wurde nur der Bereich um die Bragg Peaks dargestellt. Die Unsicherheit (1σ) der Dosis
lag unter 0,5 % und liegt im Bereich der Strichstärke.
In der oberen Reihe sind links die Tiefendosiskurven für den Strahlkopf ohne Ripple49
Filter und ohne Folien der Dosiskammern zu sehen. Die Tiefendosiskurve des Strahlkopfes, bei dem zusätzlich auch keine Multi-Wires verwendet wurden, zeigt den charakteristischen Verlauf für geladene Teilchen mit einem schmalen, scharfen Bragg Peak.
Werden die Multi-Wires verwendet, so bildet sich in der Tiefendosiskurve ca. 0,5 mm vor
dem eigentlichen Bragg Peak ein zweiter, kleiner Bragg-Peak-Beitrag aus. Dies liegt an
der zusätzlichen Massenbelegung durch das Wolfram der Multi-Wires im Strahlengang.
Allerdings sehen nicht alle Teilchen diese zusätzliche Massenbelegung. Dies entspricht
der im Kapitel 2.1.3 beschriebenen Inhomogenität erster Kategorie: Die Teilchen sehen
zwei unterschiedliche Materialien, weshalb die Tiefendosiskurve die Superposition zweier Tiefendosiskurven unterschiedlicher Bragg-Peak-Positionen ist.
In der oberen Reihe sind rechts die Tiefendosiskurven bei Verwendung des Ripple-Filters
und den Folien der Dosiskammern als Gitterstruktur oder als homogene Geometrie zu
sehen. Wie man sehen kann, dominiert der modulierende Effekt des Ripple-Filter den
der Gitterstruktur der Folien. Die beiden Kurven haben fast exakt denselben Verlauf.
Der einzige Unterschied ist, dass bei den Folien aus homogener Geometrie der Effekt der
Multi-Wires als kleine Stufe vor und nach dem Bragg Peak zu sehen ist. Diese Stufen
sind bei der Tiefendosiskurven der Folien als Gitter nicht zu sehen.
Der Grund hierfür ist in Abbildung 4.8 unten links zu sehen. Aufgezeigt sind die Tiefendosiskurven beim Durchstrahlen des Strahlkopfes ohne Ripple-Filter, aber mit MultiWires für die verschiedenen Folienarten, sowie für den Fall, dass die Folien aus den
Dosiskammern weggelassen werden. Bei der Kurve ohne Folien - die als Referenzkurve
dient - ist der Effekt der Multi-Wires wie bereits beschrieben zu sehen. Setzt man die
Folien als homogene Geometrie ein, so wird die Referenzkurve aufgrund der größeren
Massenbelegung im Strahlengang in eine geringere Tiefe verschoben. Die Form der Kurve bleibt dabei weitestgehend gleich, da alle Teilchen diese zusätzliche Massenbelegung
sehen. Bei den Folien homogener Struktur ist also ebenfalls der Effekt der Multi-Wires
zu sehen. Ersetzt man diese Folien durch die Folien mit der Gitterstruktur, ist die bereits beschriebene Verbreiterung der Kurve zu erkennen. Diese Verbreiterung sorgt aber
dafür, dass der Effekt der Multi-Wires nicht mehr zu erkennen ist. Die Modulation der
Gitterstruktur glättet also den Verlauf der Kurven.
In Abbildung 4.8 unten rechts sind die Tiefendosiskurven für die verschiedenen Folienarten zu sehen. Sie zeigen denselben Verlauf, wie in Kapitel 4.1 beschrieben und sollen
an dieser Stelle als Beweis dienen, dass die Simulation der Gitterstruktur mittels der
Source-Routine auch in Zusammenhang mit dem Strahlkopf die Folienmodulation exakt
wiedergeben kann.
50
Insgesamt zeigt sich also, dass die Multi-Wires einen modulierenden Effekt haben, der
aber durch die Modulation bedingt durch die Gitterstruktur der Folien geglättet werden
kann. Ferner ist die Modulation des Ripple-Filters dominant gegenüber der Gittermodulation, sodass es bei Verwendung des Filters nur einen geringen Unterschied macht, ob
man die Gitterstruktur der Folien explizit berücksichtigt oder den Folien eine homogene
Struktur zuweist. Des Weiteren konnte gezeigt werden, dass die Modulation bedingt
durch die Gitterstruktur der Folien mithilfe der Source-Routine auch in Zusammenhang
mit dem Strahlkopf die gewünschten Ergebnisse liefert.
In Abbildung 4.9 sind die Ergebnisse der selben Simulationen für eine Teilchenenergie
von 400 MeV/u zu sehen.
Abbildung 4.9: Die Tiefendosiskurven bei Verwenden des Strahlkopfes für verschiedene
Kombinationen der Bauteile RiFi, Folien der Dosiskammern und MultiWires bei 400 MeV/u Kohlenstoff-Ionen. Die Dosis wurde auf die Dosis in
der Tiefe 0 cm normiert. Zur besseren Übersicht wurde nur der Bereich
um die Bragg Peaks dargestellt. Die Unsicherheit (1σ) der Dosis lag
unter 0,5 % und liegt im Bereich der Strichstärke.
51
Deutlich zu erkennen ist, dass die Bragg Peaks in größeren Tiefen liegen und auch wesentlich breiter sind als bei 80 MeV/u. Die breiteren Peaks sind Ergebnis des EnergieverlustStragglings, wie in Kapitel 2.1.1 beschrieben. Des Weiteren ist gut zu erkennen, dass
der Effekt des Energieverlust-Stragglings dafür sorgt, dass der modulierende Effekt der
Multi-Wires kaum noch zu erkennen ist. Auch die Modulation der Folien als Gitterstruktur wird durch diese Effekte verschmiert und geht verloren. Dass die Simulation
der Gitterstruktur mittels der Source-Routine aufgrund der veränderten Energie nicht
mehr funktioniert, kann ausgeschlossen werden, da in Kapitel 4.1.2 gezeigt wurde, dass
die Benutzerroutine auch bei höheren Energien die gewünschte Modulation wiedergibt.
Es ist also der Effekt des Energieverlust-Stragglings, der diese kleineren Modulationseffekte glättet.
Ferner stimmen bei dieser Energie die Tiefendosiskurven der Folien als Gitter und der
Folien als homogene Struktur bei Verwenden des Ripple-Filters überein.
Insgesamt gilt, dass bei höheren Energien die Kurven geglättet sind und kleinere Modulationseffekte verschmiert werden.
Untersuchung der Fluenz innerhalb des Strahlkopfes und im Nahfeld
Neben der Untersuchung der Tiefendosiskurven wurde die Fluenz der Kohlenstoff-Ionen
in der x-z-Ebene innerhalb des Strahlkopfes sowie im Bereich bis 50 cm dahinter (Nahfeld) untersucht (vgl. Kapitel 3.2). Die Primärenergie der Kohlenstoff-Ionen betrug dabei
270 MeV/u. Die Ergebnisse sind in Abbildung 4.10 zu sehen. Zur besseren Übersicht
wurden die Positionen der Multi-Wires schwarz markiert.
Wie gut zu sehen ist, werfen die Multi-Wires Schatten. Innerhalb dieser Schatten ist
die Fluenz geringer, als außerhalb. Grund hierfür ist die zusätzliche Massenbelegung des
Wolframs der Multi-Wires im Strahlengang. Diese Schattten verwischen aufgrund der
Divergenz der Teilchen mit zunehmendem Abstand hinter den Multi-Wires.
An dieser Abbildung ebenfalls gut zu erkennen ist die Wirkungsweise der BenutzerRoutine, die den RiFi simuliert. Wie in Kapitel 3.2 beschrieben, wird der RiFi mittels
einer Benutzerroutine implementiert, die die Kohlenstoff-Ionen in Abhängigkeit ihrer
lateralen Position durch das Filtermaterial (PMMA) ohne Energieverlust versetzt. An
diesen Stellen ist die Fluenz entsprechend gleich Null, was den weißen Bereichen in
Abbildung 4.10 entspricht. Ferner ist gut die noppenartige Struktur des Filters zu erkennen.
52
Abbildung 4.10: Die Fluenz der Kohlenstoff-Ionen in der x-z-Ebene im Bereich des
Strahlkopfes und des anschließenden Nahfeldes für eine Energie von
270 MeV/u. Zur besseren Übersicht wurden die Positionen der MultiWires mit schwarzen Punkten markiert. Die Unsicherheit der Fluenz
ist im Mittel kleiner als 0,5 %.
Des Weiteren ist gut zu sehen, dass auch der Ripple-Filter einen Effekt auf die Fluenz
der Kohlenstoff-Ionen hat. Ähnlich zu den Multi-Wires bilden sich hinter dem RiFi
Streifen geringerer Fluenz aus, die mit zunehmenden Abstand zum RiFi verschmieren.
Im Bereich ca. 50 cm hinter dem Filter sind die Streifen nicht mehr zu erkennen. Dieser
Effekt wurde bereits in einer Arbeit von Ringbæk et al. [36] beschrieben. Die Ergebnisse
dieser Arbeit sind mit den Ergebnissen von Ringbæk et al. vergleichbar.
4.3
Strahlfokussierung
Die mit Matlab optimierten Konstanten der Quadrupolmagnete sind k1 = 1, 384 1/m2
und k2 = −1, 258 1/m2 . Dass die Stärke des zweiten Magneten vom Betrag her kleiner als die des ersten ist, ist sinnvoll, da der erste Magnet in einer Ebene defokussiert.
Diese Defokussierung sorgt dafür, dass der Abstand der Teilchen zur Strahlachse in
dieser Ebene zunimmt. Da die Magnetfeldstärke eines Quadrupolmagneten mit dem
Abstand zur Strahlachse ebenfalls zunimmt, reicht für den zweiten Quadrupolmagneten
ein schwächerer Gradient, um die Defokussierung des ersten Magneten auszugleichen.
Die Vorzeichen der Konstanten wurden so gewählt, dass der erste Magnet in x-Richtung
und der zweite Magnet in y-Richtung fokussierend ist. Für 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen
53
gilt nach Gleichung (2.23) für den Ipmuls |~p| = 15, 77 eVs/m. Die Ladung beträgt 6 e.
Für die Magnetfeldstärken zur Fokussierung von 80 MeV/u Kohlenstoff-Ionen gilt nach
der Gleichung k = e·g
: g1 = 3, 637 T/m und g2 = −3, 308 T/m.
|~
p|
In Abbildung 4.11 sind die Ergebnisse der Fluenzuntersuchungen bei Verwendung der
optimierten Quadrupolmagnete und des Strahlkopfes zu sehen. Aufgezeigt sind die Fluenzen der Kohlenstoff-Ionen in der x-z- und y-z-Ebene entlang der Strahlachse z. Die
Positionen der Magnete ”M” und des Strahlkopfes ”S” sind zur besseren Übersicht eingezeichnet. Die Strahlausbreitung zwischen der Quelle an der Position z = -1499 cm und
z = -1000 cm ist aus Gründen der Übersicht nicht dargestellt.
Wie gut zu sehen ist, wird der Strahl durch den ersten Magneten in x-Richtung fokussiert und in y-Richtung defokussiert. Der zweite Magnet wirkt der Defokussierung
des ersten Magneten in y-Richtung entgegen und fokussiert in dieser Richtung. Die Fokussierung des ersten Magneten in x-Richtung wird durch die defokussierende Wirkung
des zweiten Magneten abgeschwächt. Nach Durchlaufen der beiden Magneten läuft der
Strahl in der x-z-Ebene annähernd parallel mit leichter Divergenz. In der y-z-Ebene verläuft der Strahl konvergent. Durch die Streuung im Strahlkopf wird der Strahl sowohl
in x- als auch in y-Richtung aufgestreut.
Abbildung 4.11: Die Fluenzen der Kohlenstoff-Ionen in den Ebene x-z und y-z. Eingezeichnet sind die Positionen der Magnete ”M” und des Strahlkopfes ”S”.
Die Position entlang der Strahlachse entspricht der z-Koordinate. Bei
z = 0 befindet sich das Isozentrum.
Für die klinische Anwendung ist die Strahlqualität im Isozentrum von Bedeutung. Deswegen wurde die Fluenz der Kohlenstoff-Ionen in den lateralen Richtungen x und y an
der Position z = 0 cm einmal mit und einmal ohne Verwendung der Quadrupolmagnete
untersucht. Die Ergebnisse sind in Abbildung 4.12 zu sehen.
54
Abbildung 4.12: Fluenz der Kohlenstoff-Ionen im Isozentrum bei Verwendung der Magnete (oben links) und ohne Magnete (oben rechts). In der unteren
Reihe sind die Fluenzprofile entlang der x- und y-Richtung im Isozentrum zu sehen (links). Zusätzlich wurde die Fluenz mit dem jeweiligen
Abstand zur Strahlachse multipliziertR(rechts). Die Fläche unter dieser
Kurve ist linear zur integralen Dosis D(r) · r · 2π dr.
In der oberen Reihe sind die Fluenzen in der x-y-Ebene im Isozentrum zu sehen. Bei
Verwendung der Quadrupolmagnete sieht man, dass gegenüber des nicht fokussierten
Strahls die Fluenz im Zentrum deutlich größer und der Strahl wesentlich dünner ist.
Zudem ist gut zu sehen, dass der fokussierte Strahl rund ist. Die Magnetfeldstärken der
beiden Magnete sind also exakt aufeinander abgestimmt. Zur genaueren Untersuchung
der Strahlqualität wurde aus diesen Grafiken die Fluenzen entlang der x- und y-Richtung
durch den Ursprung gegen die jeweilige Position aufgetragen. Die Ergebnisse sind in Abbildung 4.12 unten links zu sehen. Die Unsicherheiten betragen im Mittel 6 % mit einer
55
maximalen Unsicherheit von 10 % am Rand der Verteilung. Hier ist nochmal zu sehen,
dass die Strahlflecke tatsächlich rund sind: Die Strahlbreiten in x- und y-Richtung bei
Verwendung der Magnete betragen 19,89±0,02 mm bzw. 19,48±0,02 mm, sind also mit
einem Unterschied von lediglich 2 % annähernd gleich. Wird keine Fokussierung des
Strahls vorgenommen, liegen die Strahlbreiten bei 48,19±0,07 mm für beide Richtungen. Dadurch, dass die Strahlbreite durch Verwenden der Quadrupolmagnete gegenüber
dem nicht fokussierten Strahl auf ca. 41 % reduziert werden kann, steigt die Fluenz
im Zentrum des Strahls auf das 5,9-fache an. Um die Wirkung dieser unterschiedlichen Fluenzverteilungen auf die Dosis zu veranschaulichen, ist in Abbildung 4.12 unten
rechts die Fluenz multipliziert mit dem jeweiligen Abstand zur Strahlachse zu sehen.
R
Die Fläche unter dieser Kurve ist proportional zur integralen Dosis D(r) · r · 2π dr.
Hier zeigt sich deutlich, dass die Dosis beim fokussierten Strahl für Abstände kleiner
∼2 cm vom Strahlzentrum um bis zu ∼300 % größer ist. Für größere Abstände ist die
integrale Dosis dann kleiner. Es kann also im Strahlzentrum eine wesentlich höhere Dosis appliziert werden, während umliegende Bereiche besser geschont werden. Für das
Raster-Scan-Verfahren mit einem Pencil-Beam ist dies von enormer Bedeutung.
Insgesamt zeigt sich, dass die nötigen Magnetfeldstärken zur Strahlfokussierung für
einen gegebenen Aufbau gut mit Matlab abgeschätzt und in FLUKA transformiert werden können. Dies hat den klaren Vorteil, dass die Abschätzung mit Matlab wesentlich
schneller geht. Die exakte und zeitaufwändige Berechnung des Teilchentransportes muss
dann mit FLUKA nur noch für die optimale Magnetfeldstärke vorgenommen werden.
56
4.4
Vergleich zwischen Molières Theorie der Vielfachstreuung und der Näherung von Highland
In Abbildung 4.13 sind links die Standardabweichungen σ der Streuwinkelverteilungen
in Abhängigkeit des Nickelanteils für die Berechnung mit FLUKA (”Molière”) und nach
Gleichung (2.14) (”Highland”) zu sehen. Die Unsicherheit der Berechnung mit FLUKA
ist mit Fehlerbalken markiert. Für die Unsicherheit der Berechnung nach Gleichung
(2.14) ist eine Fehlerangabe nicht sinnvoll, da die Berechnung auf Abschätzungen beruht,
für die die Unsicherheiten nicht abgeschätzt werden können. Der Verlauf der Breiten σ
der Streuwinkelverteilungen in Abhängigkeit des Nickelanteils wurde bereits in Kapitel
4.1.3.1 beschrieben und diskutiert.
Abbildung 4.13: Links: Vergleich der Breite der Streuwinkelverteilung nach Molière und
der Näherung nach Highland bei Variation des Nickelanteils für 80 MeV
Kohlenstoff-Ionen. Rechts: Logarithmisch aufgetragen die Streuwinkelverteilung nach Molière gegen den Fit mit der Normalverteilung. Die
Unsicherheit (1σ) der mit FLUKA berechneten Molière-Verteilung liegt
im Bereich der Strichstärke.
Beide Kurven haben den erwarteten ansteigenden Verlauf. Allerdings ist die Breite der
Streuwinkelverteilung berechnet nach der Näherung von Highland um ∼ 7 % kleiner als
die Breite der Winkelverteilung nach Molière. Diese Abweichungen sind größer als die
von Gottschalk beschrieben Abweichungen von ∼ 2,6 % [45]. Ein Grund hierfür liegt
darin, dass aus einzelnen Elementen zusammengesetzte Materialien verwendet wurden.
Die Abschätzung der Strahlungslänge von Stoffgemischen ist nicht exakt. Des Weiteren
57
wurde versucht, den Energieverlust zu berücksichtigen. Dafür wurde das Stoßbremsvermögen des Stoffgemisches berechnet. Die dafür benutzte Formel hat wie in Kapitel 2.1.1
beschrieben eine Unsicherheit von bis zu 20 %.
In Abbildung 4.13 ist rechts die Streuwinkelverteilung nach Molière beispielhaft für
einen Nickelanteil α von 10 % zu sehen. Zudem wurde die Normalverteilung eingezeichnet, mit der diese Streuwinkelverteilung gefittet wurde. Zur besseren Sichtbarkeit
der Unterschiede ist die Fluenz logarithmisch aufgetragen. Sehr gut zu sehen ist, dass
die Streuwinkelverteilung nach Molière im äußeren Bereich deutlich breiter verläuft, als
die Normalverteilung. Dies lässt sich auch direkt an der mathematischen Beschreibung
aus Gleichung (2.6) erkennen: Kern der Verteilungsfunktion ist eine Normalverteilung.
Diese Normalverteilung wird durch weitere Terme erweitert, die zu einer Verbreiterung
der Verteilung führen. Bei sehr kleinen Streuwinkeln ist der Term der Normalverteilung
dominant, weshalb die Verteilung mit der Normalverteilung in diesem Bereich übereinstimmt. Je größer die Streuwinkel werden, desto wichtiger werden diejenigen Terme,
die für die Verbreiterung der Verteilung sorgen. Dementsprechend weicht die Verteilung
nach Molière für größer werdende Streuwinkel immer stärker von der Normalverteilung
ab.
58
Kapitel 5
Zusammenfassung & Ausblick
In dieser Arbeit wurde der Teilchentransport durch den Strahlkopf einer Partikeltherapieanlage unter exakter Berücksichtigung modulierender Elemente modelliert und analysiert. Hierfür wurde der Monte-Carlo-Code FLUKA verwendet.
Es wurde der komplette Strahlkopf detailliert erfasst und der Einfluss der einzelnen
Komponenten genauestens untersucht. Besonders die Modulation durch die gewebeartigen Folien der Dosiskammern und die Effekte des Ripple-Filters wurden untersucht.
Zur Untersuchung der Strahlqualität wurden die Tiefendosiskurven in einem Wasserphantom analysiert. Hierfür wurden die Austrittsfenster, Dosiskammern und der RippleFilter in FLUKA implementiert. Die Implementierung des Ripple-Filters in FLUKA
wurde mittels einer Benutzerroutine vorgenommen. Die Benutzerroutine benutzt eine
externe Datei, in der die Höhe des Ripple-Filters in Abhängigkeit der lateralen Position
des Teilchens hinterlegt ist. Dies erspart das Nachbilden der Struktur des Ripple-Filters
mit Geometrien und reduziert zusätzlich die Rechenzeit. Die Tiefendosiskurven wurden
für verschiedene Kombinationen der Bauteile Ripple-Filter, Folien der Dosiskammern
und Multi-Wires für 80 MeV/u und 400 MeV/u Kohlenstoff-Ionen berechnet.
Die Ergebnisse für 80 MeV/u zeigten, dass die Multi-Wires einen modulierenden Effekt
aufzeigen, der aber durch die Modulation bedingt durch die Gitterstruktur der Folien
geglättet wird. Bei Verwendung des Ripple-Filters wird der Bragg Peak so stark verbreitert, dass die Folienmodulation nicht mehr zu sehen ist.
Bei 400 MeV/u sind die Effekte des Energieverlust-Stragglings so stark ausgeprägt, dass
die Modulationseffekte der Multi-Wires und der Gitterstruktur der Folien verschmiert
werden und kaum mehr zu erkennen sind.
Des Weiteren wurde der Modulationseffekt aufgrund der gitterartigen Struktur der Folien in den Dosiskammern quantitativ bestimmt. Es wurde eine normalverteilte Modulationsfunktion ermittelt, die den Verschub und die Verbreiterung gegenüber einer
Referenzkurve beschreibt. Anschließend wurden die Folien nicht als Gitter sondern als
homogene Geometrie aufgebaut und mit Benutzerroutinen so manipuliert, dass sie sich
59
hinsichtlich der Tiefendosiskurve und Streueigenschaft wie die Folien als Gitter verhalten. Ein erster Ansatz war, die Energie der Teilchen nach Durchgang durch die Folien
homogener Struktur zu manipulieren. Obwohl dies den gewünschten Effekt erzielte, kann
diese Möglichkeit nicht weiterverfolgt werden, da das Verändern der Energie von Teilchen in FLUKA zu Problemen und Fehlern im Code führen kann. In Hinsicht klinisch
relevanter Berechnungen kann dieses Risiko nicht eingegangen werden.
Ein zweiter Ansatz beinhaltete das Manipulieren der Geometrie der homogenen Folien. Hierfür wurde aus der Modulationsfunktion des Verschubs und der Verbreiterung
mittels der wasseräquivalenten Dicke des Folienmaterials eine Modulationsfunktion für
die Dicke von elf Folien bestimmt. Aus dieser Funktion konnte dann die Funktion für
die Dicke einer Folie berechnet werden. Die Ergebnisse dieser Benutzerroutinen waren
ebenfalls sehr gut und konnten die Eigenschaften der Folien als Gitter wiedergeben.
Dabei ist diejenige Routine zu bevorzugen, die die Funktion für eine Folie verwendet,
da bei der anderen Routine nur eine Folie verwendet wird, was nicht dem tatsächlichen
Aufbau des Strahlkopfes entspricht. Zudem konnte gezeigt werden, dass die Benutzerroutinen auch bei höheren Energien funktionieren. Außerdem wurde gezeigt, dass die
Benutzerroutinen dieselben Streueigenschaften aufweisen, wie die Folien als Gitter.
Durch das Verwenden der Benutzerroutinen kann die Rechenzeit auf ein Zehntel verkürzt werden. Dabei gilt, dass die Rechenzeit noch stärker verkürzt werden kann, sollten
Folien größerer, lateraler Ausdehnung berechnet werden. Da dies für die Berechnung von
Bestrahlungsplänen der Fall ist, sind diese Benutzerroutinen für den klinischen Einsatz
von großem Vorteil.
Des Weiteren wurde mithilfe von Quadrupolmagneten die Strahlfokussierung bei Teilchentransport durch den Beschleunigerkopf untersucht. Hierfür wurde mithilfe von Abbildungsmatrizen in MATLAB zuerst die nötigen Magnetfeldstärken für den gegebenen
Aufbau der Bestrahlungsanlage bestimmt. Diese Magnetfeldstärken wurden anschließend in FLUKA übertragen, wo mithilfe einer Benutzerroutine die Magnetfelder eingelesen wurden. So konnte der Strahl im Isozentrum fokussiert werden. Die Untersuchung
der Teilchenfluenz im Isozentrum zeigte einen dünneren Strahlfleck im Isozentrum gegenüber einem nicht fokussierten Strahl.
Vor allem das Matlab-Tool ist eine zeitsparende und einfache Methode, die Größe der
Magnetfelder für beliebige Anordnungen von Magneten und Driftstrecken zu optimieren, sodass diese dann einfach in FLUKA übertragen werden können. So müssen die
Magnetfeldstärken nicht mithilfe zeitaufwändiger Simulationen in FLUKA optimiert
werden. Es muss lediglich noch die Simulation zur optimalen Magnetfeldstärke durch60
geführt werden.
In einer weiteren Untersuchung wurde die Vielfachstreuung nach Molière untersucht
und die Breite der Streuwinkelverteilungen mithilfe einer Formel von Highland abgeschätzt. Das Ergebnis zeigte, dass die Abschätzung nach Highland im Schnitt um 7 %
zu klein waren. Ursachen hierfür könnten in der ungenauen Abschätzungen der Strahlungslänge und dem Stoßbremsvermögen in inhomogenen Materialien liegen. Es konnte
veranschaulicht werden, dass die Vielfachstreuung nach Molière zu einer Streuwinkelverteilung führt, die für kleine Streuwinkel einer Normalverteilung folgt und die für größer
werdende Streuwinkel breiter als die Normalverteilung verläuft.
Ausblick
Als nächster Schritt könnte ein Vergleich der Ergebnisse der Simulationen mit FLUKA mit Messungen am Beschleuniger vorgenommen werden. Hierfür wären vor allem
Tiefendosiskurven und laterale Strahlprofile von Interesse.
Außerdem könnten Bestrahlungspläne mit FLUKA nachberechnet und mit Ergebnissen
konventioneller Bestrahlungsplanungssystemen verglichen werden. Dies würde ein hilfreiches Tool zur Qualitätssicherung darstellen.
Des Weiteren wurde in dieser Arbeit ein Werkzeug zur exakten Berechnung ionenoptischer Systeme entwickelt. Mithilfe dieses Werkzeugs ist es möglich, das ionenoptische
System eines jeden Beschleunigers zu beschreiben und die Magnetfeldstärken zu optimieren. Zudem ist dieses Werkzeug in der Lage, die Auswirkungen gegebener Magnetfeldstärken auf einen Teilchenstrahl beliebiger Energie zu untersuchen.
Ferner wurde ein Tool entwickelt, um die modulierenden Effekte feiner Strukturen im
µm-Bereich zu beschreiben und unter enormer Einsparung an Rechenzeit exakt wiederzugeben. Mit diesem Tool können in Zukunft die modulierenden Effekte beliebiger,
inhomogener Gewebe analysiert werden.
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a-simple-ripple-filter-for-fluka(5093d970-7068-11de-b2cc-000ea68e967b)
.html; Version vom: 15/12/2014. 34
71
Appendix
A) Herleitungen zu den Abbildungsmatrizen der Strahlfokussierung geladener Teilchen
Für ein wie in den Grundlagen beschriebenes Magnetfeld:
Bx = g · y
By = g · x
Bz = 0
wirkt auf ein Teilchen, das in x-Richtung von der Sollbahn abweicht und sich in zRichtung bewegt, die Lorentzkraft
  



 0  g · y 
−e · vz · g · x
  



~ = e ·  0  × g · x = · +e · v · g · y 
F~ = e · (~v × B)
z
  



  



vz
0
0
Diese Lorentzkraft fokussiert für positives g in x-Richtung und defokussiert in y-Richtung.
Über die Impuls-Kraft-Beziehung
dpx
dt
= Fx = −e · vz · g · x = −e ·
folgende Bewegungsgleichung aufstellen:
d
dz
dpx
|~p|
|{z}
=−
e·g
· x ⇒ x00 = −k · x
|~p|
=x0
72
dz
dt
· g · x lässt sich
mit k =
e·g
.
|~
p|
Hierbei ist x0 =
dpx
|~
p|
=
dx
(z)
dz
die Steigung und x00 =
d2 x
(z)
d2 z
die Krümmung
der Trajektorie. Analog gilt für die y-Richtung y 00 = +k · y.
Die elementare Lösung der Bewegungsgleichung x00 = −k · x für ein positives k ist:
x0 √
x = x0 cos Ω + √0 sin Ω , x0 = −x0 k sin Ω + x00 cos Ω
k
mit Ω =
√
k · L.
Für ein negatives k gilt
√
cos Ω = cos
k =i·
√
p
|k|, also:
p
p
k · L = cos i · |k| · L = cosh
|k| · L
√
p
p
1
1
1
√ · sin
k · L = p · sin i |k| · L = p sinh
|k| · L
k
i |k|
|k|
Die Lösung der Bewegungsgleichung x00 = −k · x = |k| · x für ein negatives k ist:
x0 p
x = x0 cosh Ω + p 0 sinh Ω , x0 = x0 |k| sinh Ω + x00 cosh Ω
|k|
mit Ω =
p
|k| · L.
Ist ein Quadrupol in x-Richtung fokussierend (also k positiv) und in y-Richtung defokussierend (entspricht der Bewegungsgleichung für ein negatives k), folgt für die Matrix1 :

MF x
 cos Ω
 p

− |k| sin Ω
=


0


0
√1
|k|

sin Ω
cos Ω
0
0
1
0
0




0
0


1
√ sinh Ω
cosh Ω

|k|

p
|k| sinh Ω
cosh Ω
Die Lösungen
der Bewegungsgleichung mit positiven k enthalten den Term
p
√
gilt: k = |k|.
73
√
k. Da k positiv ist,
Für einen feldfreien Raum, also eine Driftstrecke, der Länge l kann die Abbildungsmatrix
eines Quadrupolmagneten der Länge l genommen werden, dessen magnetisches Feld
verschwindet, also k → 0. Für die Einträge der Matrix folgt:
p
lim cos Ω = lim cos
|k| · l = cos(0) = 1
k→0
k→0
1
1
lim p sin Ω = lim p sin
|k| · l = l · lim
k→0
k→0
k→0
|k|
|k|
p
p
p
lim − |k| sin Ω = lim − |k| sin
|k| · l = 0
p
k→0
sin
p
|k| · l
p
=l·1=l
|k| · l
k→0
Für die Abbildungsmatrix eines feldfreien Raums der Länge l folgt:

1

0

MD = 
0


0

l 0 0

1 0 0


0 1 l


0 0 1
Für Quadrupolmagnete, deren Ausdehnung L klein gegenüber ihrer Brennweite f =
ist, folgt:
L
1
k·L
⇒ k · L2 1 ⇒
√
1
k·L
k·L=Ω1
Demnach gilt für die Einträge der Abbildungsmatrix:
Ω2
≈1
2
p
sin
|k|
·
L
1
sin Ω
p sin Ω = L ·
p
=L·
≈L
Ω
|k|
|k| · L
p
sin
|k| · L
p
sin Ω
1
− |k| sin Ω = −k · L p
= −k · L ·
≈ −k · L = −
Ω
f
|k| · L
cos Ω ≈ 1 −
74
für Ω 1
für Ω 1
für Ω 1
Für die Abbildungsmatrix eines solchen Quadrupolmagneten, der in x-Richtung fokussiert, gilt:

MQuadrupolF x
 1

−kL

=
 0


0
L
0

0

1 0 0


0 1 L


0 kL 1
B) Herleitungen zur Berechnung der Struktur und Eigenschaften der PolyesterNickel-Folien aus den Dosiskammern
Für ein quadratisches Stück Folie der Länge L gilt:
Anzahl N der Drähte, die sich in diesem Stück Folie befinden, ist der Quotient aus
der Länge L und der Periodizität λ der Drähte, multipliziert mit 2, da es Drähte je in
x- und y-Richtung gibt:
N =2·
L
λ
Die Länge l eines Drahtes ist L, da die Folie quadratisch ist. Also ist die Gesamtlänge
Lges aller Drähte die Anzahl N multipliziert mit L:
Lges = 2 ·
L2
λ
Das Volumen V der Drähte ist ihre Länge L multipliziert mit der Grundfläche (Kreis
mit Radius r):
V =2·
L2 2
·r ·π
λ
Das Gewicht m des Folienstückes ergibt sich aus dem Produkt der Massenbelegung η
mit der Fläche L2 :
m = η · L2
75
Daraus ergibt sich die Dichte:
ρges =
m
λ·η
=
V
2πr2
Aus der so bestimmten Dichte lässt sich nun der Massenanteil α von Nickel herausfinden:
m
m
=
V
VN i + VP ET
m
= mN i mP ET
+ ρP ET
ρN i
ρges =
=
=
m
α·m
ρN i
α
ρN i
+
(1−α)·m
ρP ET
1
+ ρ1−α
P ET
Hierbei bezeichnet VN i das Volumen des Nickelanteil mit Masse mN i und Dichte ρN i .
Um nun auf α zu kommen, wird die Gleichung umgestellt:
α=
ρN i
1
ρN i · ρP ET
−
·
ρN i − ρP ET
ρges ρN i − ρP ET
Die Unsicherheit des Wertes α hängt dabei lediglich von der Unsicherheit ∆ρges der
Dichte ab und lässt sich wie folgt bestimmen:
∂α
ρN i · ρP ET
1
∆α = · ∆ρges = · 2 · ∆ρges ∂ρges
ρN i − ρP ET ρges
Dabei wird ∆ρges über die Gauss’sche Fehlerfortpflanzung ermittelt:
s
∆ρges =
s
=
∂ρges
· ∆λ
∂λ
2
+
∂ρges
· ∆η
∂η
2
+
∂ρges
· ∆r
∂r
2
2 2 2
η
λ
λ·η
· ∆λ +
· ∆η + − 3 · ∆r
2r2 π
2r2 π
r π
76
=
Zur Berechnung des Radius rP ET des Polyesterkerns geht man wie folgt vor: Als erstes
wird die Masse eines Drahtes der Länge L berechnet. Innerhalb einer Periodenlänge λ
des Gitters befinden sich zwei Drähte, je einer in x- und y-Richtung. Über die Massenbelegung η lässt sich die Masse der Fläche L · λ berechnen. Diese Masse entspricht also
der Masse von zwei Drähten. Für einen Draht folgt also:
m=η·L·λ·
1
2
Für die Masse eines Drahtes gilt außerdem:
m = V · ρ = r2 · π · h · ρ
= r2 · π · h · ρN i − rP2 ET · π · h · ρN i + rP2 ET · π · h · ρP ET
Hierbei wurde der Draht erst komplett aus Nickel gemacht, dann der Polyesterkern aus
Nickel abgezogen und aus Polyester wieder dazu addiert.
Setzt man die beiden Gleichungen für die Masse gleich und löst nach rP ET auf, so folgt:
s
rP ET =
η·λ
2
− r 2 · π · ρN i
π · (ρP ET − ρN i )
Die Unsicherheit dieses Wertes lässt sich mit der gauss’schen Fehlerfortpflanzung bestimmen:
s
∆rP ET =
s
=
∂r
· ∆η
∂η
1
λ
·
· ∆η
2 · rP ET 2 · π · (ρP ET − ρN i )
2
+
2
+
77
∂r
· ∆λ
∂λ
2
=
1
η
·
· ∆λ
2 · rP ET 2 · π · (ρP ET − ρN i )
2
Danksagung
An erster Stelle möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. rer. nat. Klemens Zink bedanken,
der es mir ermöglicht hat, diese Masterarbeit am Institut für Medizinische Physik und
Strahlenschutz zu schreiben. Besonders bedanke ich mich dafür, dass er mich mit seinem
umfassenden Wissen und seiner Kompetenz durch mein Masterstudium begleitet und
mein Interesse an der Medizinphysik gefördert hat. Auch für seine Bereitschaft, mir die
Teilnahme an Fortbildungen und den Besuch von Tagungen zu ermöglichen, möchte ich
mich herzlich bedanken.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. rer. nat. Uli Weber. Er hatte stets ein offenes
Ohr für mich und stand jederzeit zur Verfügung, wenn ich Fragen oder Diskussionsbedarf hatte und hat mich so exzellent bei dieser Arbeit betreut. Durch seine anregenden
Ideen wurde diese Arbeit richtungsweisend geprägt. Ihm habe ich es auch zu verdanken,
dass ich im Rahmen dieser Arbeit so viel zum Thema der Partikeltherapie gelernt und
verstanden habe.
Ferner bedanke ich mich bei allen Mitarbeitern des Instituts für Medizinische Physik
und Strahlenschutz, insbesondere bei Yuri Simeonov, der durch seine hervorragenden
Programmierkenntnisse einen wichtigen Beitrag zu dieser Arbeit geleistet hat. Ich möchte mich auch bei Matthias Witt für anregende Diskussionen und Nina Langner für ihre
Hilfe mit Matlab bedanken.
Zuletzt möchte ich mich bei Sebastian Beer und Frank Höfer für ihre Hilfe am RasterElektronen-Mikroskop sowie im Labor bedanken.
78
Erklärungen der Kandidatin / des Kandidaten
(1) Prüfungsrechtliche Erklärung zur Anfertigung der Arbeit:
____________
Kilian-Simon Baumann dass ich die vorliegende Diplomarbeit*)/
Hiermit erkläre ich, _____________________,
______________
___________________________________________
Bachelorarbeit*) / Masterarbeit*) bzw. den von mir gekennzeichneten Anteil der Arbeit*) mit dem Titel:
Modellierung der patientennahen Strahlführung einer Partikeltherapieanlage mit Hilfe des
Monte-Carlo-Codes
FLUKA unter exakter Berücksichtigung modulierender Elemente
_________________________________________________________________________________
selbstständig verfasst und keine anderen als die zulässigen und angegebenen Quellen und Hilfsmittel
verwendet und dieses auch vollständig angegeben habe.
____________________________________
Ort, Datum, Unterschrift Kandidat/in
(2) Erklärung zur Einsichtnahme in die Arbeit
__________________
Ich erkläre mich damit einverstanden*) / nicht einverstanden*), dass die Arbeit zu wissenschaftlichen
Zwecken eingesehen bzw. ausgeliehen werden darf. Ich erkläre damit mein Einverständnis, das die
Arbeit weiteren, als nur den im Prüfungsverfahren involvierten Personen zugänglich gemacht werden
kann. Diese Erklärung kann von mir jederzeit widerrufen werden.
______________________________________
(3) Erklärung zum Urheberrecht
Ich erkläre mich damit einverstanden*) /__________________
nicht einverstanden*), dass einzelne Inhalte oder Ergebnisse
________________________
dieser Arbeit zu (1) wissenschaftlichen*) und
ggf. (2) wirtschaftlichen*) Zwecken von der Technischen
Hochschule Mittelhessen verwendet werden können. Die Rechte Dritter bleiben davon unberührt.
______________________________________
*) nicht zutreffendes durchstreichen, zutreffendes unterstreichen
Ausfertigungen: (1) eingearbeitet in Prüfungsexemplar(e) entsprechend der Anzahl an Exemplaren; (2) Prüfungsakte (einfach)
I:\Vorlagen\Formulare\0103-Formular-0306-04-019-Erklärungen-Abschlussarbeit.doc

3 - Technische Hochschule Mittelhessen

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