Mathematik fuer Informatiker - Weblearn

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Mathematik für Informatiker
Teil I
Prof. Dr. Thomas Risse
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs
Fakultät Elektrotechnik & Informatik
Hochschule Bremen
WS 2016/2017
Inhaltsverzeichnis
0.1
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.1.1
Lehrbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
eBooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.2.1
separate Bibliographie für Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.2.2
Tafelwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.3
interaktive Dokumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.4
software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.5
links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.2
1 Grundlagen
9
1.1
Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1
Th. Risse, HSB: Mathematik WS16/17
2
2 Kryptographie
25
2.1
Caesar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Trithemius
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3
Vigenère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4
DES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.5
RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3 lineare Algebra: Vektor-Räume
30
3.1
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3.1
Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3.2
weitere Anwendungen der Determinanten-Rechnung . . . . . . .
42
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.4.1
Gauß’sches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4.2
verketteter Gauß-Algorithmus – LU-Zerlegung . . . . . . . . . .
47
3.4.3
Stifelsches Austauschverfahren (Auflösen und Einsetzen) . . . . .
49
3.4.4
Gauß-Seidel’sches Iterationsverfahren
. . . . . . . . . . . . . . .
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.4
3.5
Eigenwerte und Eigenvektoren
4 Funktionen
54
4.1
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.2.1
Exkurs: stetige Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2.2
Nullstellen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5 Differenzierbarkeit
64
5.1
Differential-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.2
Anwendungen der Differential-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.2.1
Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2.2
Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.2.3
Kurven-Diskussionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.2.4
Extremwert-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3
6 Das Integral
6.1
79
Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.1.1
Numerische Integration – Trapez-Regel
. . . . . . . . . . . . . .
84
6.1.2
Numerische Integration – Simpson-Regel . . . . . . . . . . . . . .
84
6.1.3
weitere numerische Integrationsverfahren
. . . . . . . . . . . . .
85
6.2
Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.3
Das uneigentliche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
7 Integral-Rechnung
90
7.1
Produkt-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
7.2
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
7.3
Partialbruch-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
7.4
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.4.1
Kurven-Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.4.2
Mantel-Fläche von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . .
99
7.4.3
Volumen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.4
Mittelwerte und Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.4.5
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Reihen
107
8.1
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2
Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3
8.2.1
Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.2
Binomialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.3
trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2.4
Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Integration durch Reihen-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Formelsammlung lineare Algebra
131
A Formelsammlung zur linearen Algebra
und analytischen Geometrie
4
131
A.1 komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2 Vektor-Rechnung – hier für Zeilen-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.3 Matrizen-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.4 Matrix-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.5 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.6 Determinanten-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B Formelsammlung analytische Geometrie
133
B.1 analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.1.1 Gerade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.1.2 Kegel-Schnitte ax2 + bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 . . . . . . . 134
B.1.2.1
Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.1.2.2
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.1.2.3
Ellipse
B.1.2.4
Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.2 analytische Geometrie im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2.1 Gerade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2.2 Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2.3 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2.4 Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2.5 Hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C Freiform-Kurven
136
C.1 Bézier-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.2 Kubische Spline-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.3 B-Spline-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
D Freiform-Flächen
136
D.1 Bézier-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
D.2 Bikubische Spline-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
D.3 B-Spline-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
0.1
5
Literatur
(möglichst kleine) Literatur-Auswahl alphabetisch
0.1.1
Lehrbücher
T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel: Mathematik; Spektrum-Verlag/Springer 2012
W. Brauch, H.-J. Dreyer, W. Haacke: Mathematik für Ingenieure; Teubner Verlag, Stuttgart 1990
K. Burg, H. Haf, F. Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I bis
Band V; Teubner Verlag, Stuttgart 1992
Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik – Body and Soul 1–3; Springer 2005
Armin Hoffmann, Bernd Marx, Werner Vogt: Mathematik für Ingenieure 1 (Lineare Algebra, Analysis – Theorie und Numerik), Mathematik für Ingenieure 2 (Vektoranalysis, Integraltransformationen, Differentialgleichungen,
Stochastik – Theorie und Numerik); Pearson 2005 und 2006
Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1
bis Band 3; Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 1991 bzw. 1994
Thomas Rießinger: Mathematik für Ingenieure; Springer 2009
Peter Stingl: Mathematik für Fachhochschulen – Technik und Informatik; Carl
Hanser Verlag, München 1996
Horst Stöcker (Hrsg.): Analysis für Ingenieurstudenten, Band 1 und Band 2,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt 1995
George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass: Analysis I; Pearson 2013
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert: Mathematik kompakt für Ingenieure und Informatiker; Springer 2006
0.2
eBooks
Die electronic library http://elib.suub.uni-bremen.de/ ist nur in den Domainen der Bremischen Hochschulen zugreifbar, d.h. in den Netzen der HSB
oder (von zu Hause aus) per VPN, http://www.hs-bremen.de/internet/de/
einrichtungen/rz/technisches/vpn/!
6
K. Burg, H. Haf, F. Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I bis
Band III; Teubner Verlag, Stuttgart 1992
Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1
bis Band 3; Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 1991 bzw. 1994
Thomas Rießinger: Mathematik für Ingenieure; Springer 2009
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert: Mathematik kompakt für Ingenieure und Informatiker; Springer 2006
0.2.1
separate Bibliographie für Numerik
s. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/numbiblio.pdf
0.2.2
Tafelwerke
I.N. Bronstein, K.A. SemendjajewG. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik; Verlag Harri Deutsch, Frankfurt 1999 (Standard Tafel-Werk, mit
CD)
Eberhard Zeidler (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik; Springer 2013 online http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2359-5
Horst Stöcker u.a.: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren; Verlag Harri Deutsch, Frankfurt 1999 mit CD
0.3
interaktive Dokumente
• www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/gourmet.pdf
Ausgewählte mathematische Fragestellungen aller Art von Fibonacci-Zahlen über Paradoxe bis hin zu aufeinander abrollenden Zahnrad-Zahnflanken
• www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/heath.pdf
Scientific Computing, d.h. numerische Verfahren zur Lösung linearer und
nicht-linearer Gleichungssysteme, von least squares Problemen, EigenwertProblemen, gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen; Optimierung, Interpolation, Quadratur, usw.
• www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/numerik.pdf
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/numerics.pdf
elementare numerische Verfahren (LGS, NS, Integration, DGl) aber auch
CORDIC-Algorithmen
7
• www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/puzzles.pdf
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/ePuzzles.pdf
Arithmetik endlicher Körpern, Zahlentheorie für die Kryptographie, kryptographische Verfahren wie DES und RSA, Erzeugung und Validierung von
Pseudo-Zufallszahlen usw.
• www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/vorkurs.pdf
online-Quizz zur Unterstützung der Entscheidung, ob eine Teilnahme am
Vorbereitungskurs anzeigt ist.
0.4
software
• Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie; Vieweg-Verlag 1996, ISBN 3528-06580-X
Die Diskette enthält einen unter MS-DOS
lauffähigen Multipräzisions-Interpreter ARIBAS und Quelltexte für alle im
Buch besprochenen Algorithmen. UNIX-Version von ARIBAS s.
www.mathematik.uni-muenchen.de/˜forster/sw/aribas.html
• Octave/GiNaC www.octave.org / www.ginac.de ist das open source Pendant zum Computer-Algebra-System MATLAB www.mathworks.de mit seiner symbolic math toolbox.
• SAGE, Software for Algebraic and Geometric Experimentation, siehe zunächst www.sagemath.org und SAGE-server, vor allem www.sagenb.org
aber auch SAGE.informatik.hs-bremen.de
0.5
links
Übersichten, Enzyklopædien, Wörterbücher etc. alphabetisch
• Deutsche Mathematiker-Vereinigung, DMV, www.mathematik.de: sehr informativ und vielseitig, Hilfestellungen, mit über 1200 web-Seiten
• Mathematik in der Wikipedia bzw. Category:Mathematics
• Mathematik online der Universität Stuttgart mit Lexikon, Aufgaben, tests
und vielen Dokumenten, wie z.B. Analysis einer Veränderlicher, Analysis
mehrerer Veränderlicher, Differentialgleichungen, Differentialgleichungen der
mathematischen Physik, Fourier-Analysis, Formelsammlung lineare Algebra, mathematische Grundlagen, Vektor-Analysis, Vektor-Rechnung, MATLAB usw.
• MathWorld, the web’s most extensive mathematics ressource
• PlanetMath – Math for the people, by the people. with mathematical Encyclopædia
8
• PRIME = Platonic Realms Interactive Mathematics Encyclopedia
• The MacTutor History of Mathematics archive with attractive topics e.g.
– Fermat’s last Theorem
– Fundamenatal-Satz der Algebra
– Curves resp. ’Java’-Curves
– history of π
– (mathematical) games and mental exercises
– matrices and determinats
– orbits and gravitation
– primes
– trigonometric functions
• weitere links s. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/links.htm
Varia
• www.matheboard.de
• www.seeit.de/xedu/#Fosa_Phy_u_T Formelsammlungen
• www.mathematik.uni-kassel.de/˜rascha/MathematikWWW.htm#Enzykop%E4di
sches links
• www.ub.euv-frankfurt-o.de/externe-recherche/fachinformation/kl/math
_in.html Fachinformation Mathematik und Informatik
• http://titan.bsz-bw.de/bibscout/SA-SP/SC/SC.400
vice Zentrum Baden-Württemberg
Bibliotheksser-
• http://www.th.physik.uni-frankfurt.de/˜loizides/dict.html mit einigen Fachspezifischen Online-Nachschlagewerken Mathematik, wie etwa
http://archives.math.utk.edu, http://mathforum.org, www.math-net
.de/, http://math.vanderbilt.edu/mathserv/, www.zahlreich.de
Videos von Prof Dr. Jörn Loviscach s. www.youtube.com/JoernLoviscach bzw.
genauer www.youtube.com/profile?user=JoernLoviscach&view=videos
1
9
Grundlagen
Mathematik ist die Wissenschaft der formalen Systeme – aber auch ein Werkzeug
zur Lösung praktischer Probleme. Mathematik ist eine universelle Wissenschaft.
Eine mathematische Theorie ist eine Menge von Aussagen über Objekte mathematischer Anschauung oder Betrachtung. Ausgehend von sogenannten primitiven
Ausdrücken werden Aussagen und weitere Ausdrücke abgeleitet.
Z.B. Zahlentheorie natürlicher Zahlen 1, 2, 3, . . . mit n ist Teiler von m genau
dann, wenn m ein ganzzahliges Vielfaches von n ist, Prim-Zahlen usw.
Mengenlehre mit Element und Menge mit 1 ∈ {1, 2, 3}, leere Menge ∅, Vereinigung {a, b, c} ∪ {c, d} = {a, b, c, d}, Durchschnitt {a, b, c} ∩ {c, d} = {c},
{a} ⊂ {a, b, c} oder Differenz {a, b, c} \ {b} = {a, c}, Komplement usw.
c
Bem. Mengen sind entweder als Liste ihrer Elemente (s.o.) oder durch die sie
charakterisierenden Eigenschaften1 gegeben, also z.B. Menge der Vierecke mit
gleich langen Diagonalen, senkrechten Diagonalen usw.
◦
Eine mathematische Theorie besteht aus Axiomen und den daraus mithilfe der
Aussagenlogik abgeleiteten Sätzen.
Aussagenlogik ist eine zweiwertige Logik: Aussagen sind entweder wahr oder
falsch (‘tertium non datur’).
Aussagenvariable
w(ahr)
f(alsch)
Logik
Digitaltechnik
Schaltvariable
h(igh)
l(ow)
Programmierung Boolesche Variable T(rue) oder 1 F(alse) oder 0
Aussagenlogische oder Boolesche2 Operationen, wie Negation (¬, not o.ä.), Konjunktion (∧, and o.ä.) oder Disjunktion (∨, or o.ä.), also Operationen auf Aussagenvariablen können durch Wahrheitstafeln dargestellt werden:
x ¬x
w f
f w
x
f
f
w
w
y x∧y
f
f
w
f
f
f
w
w
x
f
f
w
w
y x∨y
f
f
w
w
f
w
w
w
Bem. Das umgangssprachliche ‘oder’ ist meist als ausschließendes (exklusives)
‘entweder oder’ gemeint.
◦
z.H. Die drei logischen Operationen ∧, ∨ znd ¬ lassen sich durch einen einzigen
Operator ausdrücken, den sogenannten Scheffers3 schen Strich.
1
o
Die bekannten Antinomien entstehen erst für so abartige Mengen wie A = {X :
X ist Menge mit X 6∈ X}. Frage A 6∈ A ? oder anschaulicher: Rasiert sich ein Babier selbst,
der genau die Männer rasiert, die sich nicht selber rasieren?
2
Georg Boole (1815-1864)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Boole.html
3
Georg Scheffers (1866-1945)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Scheffers.html
BDH 1,14
BHW Bd.I 1,1
BrSe 1,1
Pap Bd.1 I 1,1
Sti 1,1
Stö A1 1,5
Stö TB 1,21
10
Zwei weitere Verknüpfungen lassen sich aus Negation, Konjunktion und Disjunktion bilden, und zwar
Bijunktion oder Äquivalenz
Implikation oder Subjunktion
x
f
‘wenn x dann y’
→, if then o.ä f
x → y ≡ ¬x ∨ y w
w
y x→y
f
w
w
w
f
f
w
w
x
f
f
w
w
y x↔y
‘x genau dann wenn y’
f
w
↔, = o.ä.
w
f
x ↔ y ≡ (¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ x)
f
f
≡ (x → y) ∧ (y → x)
w
w
Def. Erfüllungsmenge E(z) eines (aussagenlogischen) Ausdruckes z der Form
z = f (x1 , ..., xn , w, f ) in den Variablen xi und den Konstanten w und f ist die
Menge aller Belegungen des n-tupels (x1 , ..., xn ) mit den Werten w oder f , so daß
f (x1 , ..., xn , w, f ) = w gilt.
Z.B. E(¬A) = {f }, E(A ∧ B) = {(w, w)}, E(A ∨ B) = {(w, w), (w, f ), (f, w)}
c
Falls E(z1 ) = E(z2 ) für zwei Ausdrücke z1 und z2 gilt, so sind die beiden Ausdrücke äquivalent: z1 ⇔ z2 , und falls E(z1 ) ⊂ E(z2 ), so gilt z1 ⇒ z2 , d.h. aus z1
folgt z2 .
Stelle die Wahrheitstafel für A NAND B = ¬(A ∧ B) auf und vergleiche die
Erfüllungsmengen von ¬A und A NAND A
sowie A ∧ B und (A NAND B) NAND (A NAND B)
sowie A ∨ B und (A NAND A) NAND (B NAND B).
Stelle die Wahrheitstafel für A NOR B = ¬(A ∨ B) auf und vergleiche die Erfüllungsmengen von ¬A und A NOR A
sowie A ∧ B und (A NAND A) NAND (B NAND B)
sowie A ∨ B und (A NAND B) NAND (A NAND B).
o
z.H.
z.H. Zeige die Distributiv-Gesetze a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) und a ∧ (b ∨ c) =
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) mit den entsprechenden Gesetzen der Mengenlehre A ∪ (B ∩ C) =
(A∪B)∩(A∪C) und A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C). Was gilt für die Kombination
von ∨ und ∧ mit ¬ bzw. diejenige von ∪, ∩ mit der Komplementbildung?
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b und ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b de Morgan4 schen Gesetze
o
Def. M × N = {(m, n) : m ∈ M, n ∈ N } heißt das Produkt der beiden Mengen
M und N . Teilmengen R ⊂ M × N heißen Relationen.
z.H. Vgl. Ortsangaben (Schachbrett, Stadtplan, Landkarte etc.), Relationen (ver-
wandt, verschwägert etc.), relationale Datenbanken, Funktionsgraphen, usw.
o
Logisches Schließen mithilfe der aussagenlogischen Gesetze, u.a.
x ∧ (x → y) ⇒ y Abtrennung (modus ponens): Axiome + Beweis liefert Satz
(x → y) ∧ (y → z) ⇒ (x → z) Kettenschluß
4
Auguste de Morgan (1806-1878)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Z.B.
Objekt D ist ein Dreieck.
⇓
Objekt D ist ein geschlossener Streckenzug.
⇓
Objekt D ist kein Kreis.













⇒
11

Objekt D ist ein Dreieck.






⇓






c
Objekt D ist kein Kreis.
(x → y) ⇔ (¬y → ¬x) Kontraposition: indirekter Beweis
Z.B. Wenn es regnet, wird die Straße naß. ⇔ Wenn die Straße trocken ist, regnet
es nicht.
c
Def. Ein Sachverhalt S hat die notwendige Bedingung B, d.h. S ⇒ B, denn per
Kontraposition: ohne erfüllte Bedingung B kann S nicht vorliegen.
B ist eine hinreichende Bedingung für S, d.h. B ⇒ S, bei erfülltem B liegt S
vor.
Z.B. f 0 (x) = 0 ist notwendige Bedingung für einen Extremwert der Funktion f an
der Stelle x. f 0 (x) = 0 ist jedoch keine hinreichende Bedingung (vgl. f (x) = x3 ).
f 0 (x) = 0 und f 00 (x) 6= 0 ist hinreichend, aber nicht notwendig (vgl. f (x) =
x4 ). Erst die Bedingung f 0 (x) = 0 und ‘die nächsthöhere, von Null verschiedene
Ableitung ist von gerader Ordnung’ ist notwendig und hinreichend.
c
Def. Ein Beweis ist die Ableitung eines Satzes aus Axiomen.
Z.B. Wenn a Teiler von b ist, so ist a auch Teiler jedes Vielfachen c von b.
P
Z.B. 1 + 2 + ... + n = ni=1 i = n(n + 1)/2
c
c
Def. Ein indirekter Beweis ist ein Beweis per Kontraposition.
√
Z.B. es gibt unendlich viele Prim-Zahlen, 2 6∈ Q, ...
c
1.1
Natürliche Zahlen
0
5
Die Peano’schen Axiome (wo n den Nachfolger der natürlichen Zahl n bezeichne)
1 ∈ N,
n ∈ N ⇒ n0 ∈ N,
n ∈ N ⇒ n0 6= 1,
n0 = m0 ⇒ n = m
definieren die natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . .} und No = {0, 1, 2, 3, . . .} =
N ∪ {0} mit der geometrischen Repräsentation auf dem Zahlen-Strahl
-
0
5
Guiseppe Peano (1858-1939)
1
2
3
···
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Peano.html
BDH 1, 29
BHW Bd.I 1, 20
Sti 1, 67
Stö A1 1, 5
Stö TB 1, 27
12
Operationen auf N sind definiert durch Ausnutzen der Peano-Axiome:
Addition: n + 1 = n0 und n + m0 = (n + m)0
Multiplikation: n · 1 = n und n · m0 = n · m + n
Addition und Multiplikation sind
kommutativ:
n + m = m + n bzw. n · m = m · n,
assoziativ:
k + (m + n) = (k + m) + n bzw. k · (m · n) = (k · m) · n
und distributiv:
k · (m + n) = k · m + k · n.
Def. (vollständige Induktion)
Induktionsanfang plus Induktionsschritt ⇒ Aussage(n) gilt für allen ∈ N
wobei Induktionsanfang: Aussage(1)
und Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung → Induktionsbehauptung
Induktionsschritt: (Aussage(n) → Aussage(n + 1)) für jedes n ∈ N
Pn
i = 12 n(n + 1),
Pn
− 1) = n2 ,
Pn
1−cn+1
1−c
ci =
für c ∈ R \ {1}
und n ∈ N.
c
P
P
o
z.H. Bestimme ni=1 (2i) und zeige ni=1 (2i − 1) = n2 für n ∈ N.
Pn
1
1
1
2
z.H. Zeige i=1 i = 6 n(n + 1)(2n + 1) = 3 (n + 0)(n + 2 )(n + 1) für n ∈ N. o
P
o
z.H. Zeige ni=1 i3 = 14 n2 (n + 1)2 für n ∈ N.
Z.B.
i=1
i=1 (2i
i=0
Fakultät ist definiert durch n! = 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n = ni=1 i mit 0! = 1 oder
rekursiv durch n! = n · (n − 1)! mit 0! = 1.
Z.B. Es gibt n! Anordnungen von n (verschiedenen)
c
Objekten.
n
Für k = 0, ..., n sind die Binomial-Koeffizienten k (n über k) definiert durch
Q
!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n(n − 1) · · · (k + 1)
n!
n
=
=
=
(n − k)!k!
k!
(n − k)!
k
n
Es gilt nk ∈ N, nk = n−k
, n0 = 1,
Darstellung im Pascal6 schen Dreieck
n
1
= n und
n+1
k+1
=
0
1
1
0 1 2
0
2
1
3
2
2
3
1
3
3
4
1
5
4
2
5
4
3
5
4
4
5
1
5
5
0 1 2 3 4 5 6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
1
=
0 1 2 3 4
0
n
k
+
n
k+1
.
1
0 1
6
5
6
6
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
5 10 10 5
6 15 20 15 6
1
1
Die Binomial-Koeffizienten beschreiben ebenso die Anzahl der Wege im
dreieckigen Gitter {(n, k) : k < n} ⊂ No × No vom Ursprung zu jedem anderen
Gitterpunkt, die nur aus Weg-Elementen eins-nach-rechts und eins-nach-oben
bestehen.
o
z.H.
6
Blaise Pascal (1623-1662)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pascal.html
Z.B. Es gibt
n−(k−1)
n
Durch nk = k−1
oder eben durch
k
Koeffizienten rekursiv definiert.
beispielsweise
n
k
49
6
13
n+1
k+1
=
n
k
+
n
k+1
sind die Binomial-
k-elementige Teilmengen einer Menge mit n Elementen, also
Möglichkeiten, im Lotto 6 von 49 Zahlen anzukreuzen.
c
z.H. Wieviel Operationen (Multiplikationen bzw. Additionen) sind notwendig,
um
n
k
ierativ bzw. rekursiv, d.h. im Pascal’schen Dreieck zu berechnen?
o
Die Verallgemeinerung von (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ist der binomische LehrSatz (Binomischer Lehrsatz)
(a+b)n =
n
0
a0 b n +
n
1
a1 bn−1 +. . .+
n
n−1
an−1 b1 +
n
n
an b 0 =
n
X
i=0
!
n i n−i
a b
i
für a, b ∈ R und n ∈ N.
Bew. Beweis durch vollständige Induktion.
z.H. Zeige
Pn
i=0
n
i
ai bn−i =
Pn
i=0
n
i
√•
an−i bi .
o
z.H. Berechne die ersten 10 Fibonacci 7 -Zahlen fn , rekursiv definiert durch fn =
fn−1 + fn−2 für n ≥ 2 oder ebenso fn+1 = fn + fn−1 für n ≥ 1 mit Startwerten
fo = 0 und f1 = 1.
o
Def. n(m) oder n mod m (n modulo m) ist der Rest bei der Division n/m.
Es gilt also n mod m ∈ {0, 1, . . . , m − 1} sowie n mod m = n − mbn/mc oder
n%m=n-m*int(n/m).
Bem. In der Kryptographie spielen Modulo-Arithmetik und sehr große PrimZahlen die entscheidende Rolle: vgl. Rivest/Shamir/Adleman (RSA), etc.
Verschlüsselung durch x → xe mod n, Entschlüsselung durch x → xd mod n
mit n = pq für große Primzahlen p und q sowie öffentlichem Schlüssel e und
geheimem Schlüssel d mit ed = 1 mod ϕ(n), wobei ϕ(m) = |{k ∈ N : k <
m, k und m teilerfremd}| die Euler8 sche ϕ-Funktion bezeichnet.
◦
1.2
Ganze Zahlen
Die Gleichung m + x = n ist in N nicht immer lösbar. Der Zahlbereich N der
natürlichen Zahlen wird zu dem der ganzen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(axiomatisch per Vorgänger 0 = 0 1) erweitert, so daß die Gleichung m + x = n
für alle m, n ∈ Z, also in Z lösbar ist. Geometrische Repräsentation
···
7
8
-
-3
-2
-1
0
Leonardo Pisano (’Fibonacci’) (1180?-1250?)
Leonhard Euler (1707-1783)
1
2
3
···
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html
14
Z ist bzgl. der Addition eine Gruppe, d.h. Addition ist assoziative Operation auf
Z und m + x = n bzw. x + m = n sind in Z lösbar. Da die Addition zudem
kommutativ ist, ist Z eine kommutative oder Abelsche9 Gruppe.
Damit gibt es genau ein Nullelement 0 ∈ Z und zu jedem n ∈ Z genau ein inverses
Element −n ∈ Z.
Z ist bzgl. der Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring, da Addition
und Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv sind.
Z.B. 2Z = {0, ±2, ±4, . . .} ist der kommutative Ring der geraden Zahlen.
c
Z.B. Z/2Z = {0, 1} ist bezüglich der Addition und Multiplikation modulo 2 ein
c
kommutativer Ring (bit-Operationen!).
1.3
Rationale Zahlen
Die Gleichung a·x = b ist in Z nicht immer lösbar: Erweiterung des Zahlbereiches
der ganzen Zahlen Z zu dem der rationalen Zahlen Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N}.
Bruchrechnung ‘liefert’: Addition und Multiplikation sind assoziativ, kommutativ
und distributiv. Q ist bzgl. jeder der beiden Operationen eine Gruppe und damit
ein Körper.
Die rationalen Zahlen entsprechen der Menge der endlichen (abbrechenden) oder
periodischen Dezimalbruch-Zahlen.
Bew. Zunächst ist nämlich jeder Bruch pq entweder als endlicher Dezimalbruch
oder – da es nur q viele Reste bei Division durch q gibt – als periodischer Dezimalbruch mit maximaler Periodenlänge q darstellbar.
Umgekehrt ist jeder endliche Dezimalbruch trivialerweise eine rationale Zahl.
Aber auch jeder periodische Dezimalbruch ist rational: Betrachtet sei beispielsweise x = 2.345. Multiplikation mit 10Periodenlänge liefert dann 100x = 234.545,
daher 100x − x = 99x = 234.545 − 2.345 = 232.2 oder 990x = 2322 und damit
√
387
x = 2322
= 1161
= 165
= 129
in der gesuchten Darstellung als Bruch.
990
495
55
z.H. Berechne aus den Dezimalbrüchen zu 71 ,
Bestimme 0.9.
3
11
und
23
13
die zugehörigen Brüche.
o
Bem. Die immanent beschränkte Genauigkeit der Zahlendarstellung im Rechner
führt zu Darstellungsfehlern und Rundungsfehlern.
◦ numerik.pdf
Bem. Neben dem Dezimalsystem (Basis 10) sind insbesondere das Dual- (Basis
2), Oktal- (Basis 8) und Hexadezimal-System (Basis 16) von Bedeutung. Der
Wert einer Zahl z = zn zn−1 . . . z1 zo .z−1 z−2 . . . im Stellenwertsystem zur Basis B
ist
z=
∞
X
zi B i = zn B n + zn−1 B n−1 + . . . + z1 B + zo + z−1 B −1 + z−2 B −2 + . . . .
i=−∞
9
Niels Henrik Abel (1802-1829)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Abel.html
heath.pdf
15
Damit ist auch schon die Umrechnung einer Zahl, dargestellt im Stellenwertsystem zur Basis B, in eine Dezimalzahl beschrieben.
Um umgekehrt die Darstellung einer Dezimalzahl z im Stellenwertsystem zur Basis B zu bestimmen, ist z = g + b in eine ganze Zahl g ∈ Z (Vorkomma-Anteil)
und einen (Dezimal-) Bruch 0 ≤ b < 1 (Nachkomma-Anteil) zu zerlegen, die
getrennt umgewandelt werden. Sei o.B.d.A. z > 0.
ganzzahliger Anteil g: Sei go = g. Bilde nacheinander
go = g1 B + zo , wobei g1 ∈ N und zo = go mod B Koeffizient von B 0 ist,
g1 = g2 B + z1 , wobei g2 ∈ N und z1 = g1 mod B Koeffizient von B 1 ist,
g2 = g3 B + z2 , wobei g3 ∈ N und z2 = g2 mod B Koeffizient von B 2 ist usw.
gebrochener Anteil b: Sei bo = b. Bilde nacheinander
bo B = z−1 + b1 , wobei 0 ≤ b1 < 1 und z−1 ∈ N Koeffizient von B −1 ist,
b1 B = z−2 + b2 , wobei 0 ≤ b2 < 1 und z−2 ∈ N Koeffizient von B −2 ist, usw.
◦
Z.B. 0.1(10) = 0.00011(2) = 0.06314(8) = 0.19(16)
c
z.H. Stelle 1.2, 34.56 und 1.3 jeweils als Binär-, Oktal- und Hexadezimal-Zahl
o
dar und überprüfe jeweils das Ergebnis.
Bem. In Rechnern standardisieren IEEE 754 und IEEE 854 die Darstellung von
und die Operationen auf rationalen Zahlen, den Gleitkomma-Zahlen10 float und
double.
◦
Bem. Die rationalen Zahlen sind mithilfe des Cantor11 schen Diagonal-Verfahrens abzählbar.
3
1
→ 12
→ 41
1
1
.
%
.
1
2
2
2
1
3
2
3
↓ %
.
1
4
2
4
.
..
.
3
2
4
2
3
3
4
3
3
4
4
4
Es gibt also genauso viele rationale wie natürliche Zahlen.
√
Bem.
2 6∈ Q per indirektem Beweis!
1.4
◦
◦
Reelle Zahlen
√
Die Gleichung x2 = 2 ist in Q nicht lösbar. Zahlen wie 2 6∈ Q haben nämlich unendliche nichtperiodische Dezimalbruch-Darstellungen. Derartige Zahlen
heißen irrationale Zahlen. Jede irrationale Zahl ρ läßt sich durch ineinander liegende Intervalle (s.u.) [p, q] = {x : p ≤ x ≤ q} mit rationalen Intervallgrenzen
10
David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know about Floating-Point
Arithmetic; http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/CNAPS/Goldberg auch als Anhang
A in Hennessy/Patterson: Computer Architecture; Morgan Kaufmann Publishers 1998
11
Georg Cantor (1845-1918)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cantor.html
16
einschachteln: Beispielsweise hat das n-te Intervall als linke Grenze die rationale
Zahl ρn – dies sei ρ mit n Nachkomma-Stellen – und als rechte Grenze ρ0n – dies
sei ρn mit um 1 erhöhter letzter, also n-ter Nachkomma-Stelle. Dann kommen
sich ρn und ρ0n beliebig nahe und es gilt [ρn+1 , ρ0n+1 ] ⊂ [ρn , ρ0n ]. Diese Verfahren
heißt Intervallschachtelung.
Die Menge der reellen Zahlen
√ R sei die 12Vereinigung der rationalen mit den irrationalen Zahlen, wie z.B. 2 oder π. Jede irrationale Zahl hat eine nicht
abbrechende, nicht periodische Dezimalbruch-Darstellung.
Bem. Die irrationalen Zahlen sind nicht abzählbar: es gibt also wesentlich mehr
irrationale als rationale Zahlen! Irrationale Zahlen, die sich nicht als Nullstellen
von Polynomen mit rationalen Koeffizienten darstellen lassen, heißen transzendent, so z.B. die Euler13 -Zahl e oder π = U/D, das Verhältnis von Kreis-Umfang
U zu Kreis-Durchmesser D.
◦
Bew. indirekter Beweis: angenommen, xi = 0.xi1 xi2 xi3 ... ∈ [0, 1] für i ∈ N seien
alle reellen Zahlen in [0, 1]. Konstruiere xo = 0.x01 x02 x03 ... ∈ [0, 1] mit x0i 6= xii ,
d.h. mit Unterschied in der i-ten Dezimal-Stelle zu xi . Damit ist einerseits xo 6= xi
für alle i ∈ N. Andererseits steht xo ∈ [0, 1] ⊂ R im Widerspruch zur Annahme,
√
daß {xi : i ∈ N} schon alle reellen Zahlen in [0, 1] darstellt.
Die reellen Zahlen entsprechen den Punkten des Zahlen-Strahls. Auch die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division haben
ihre geometrische Entsprechung.
aa
aa
aa
aa
12
a
aa
aa
a
a
0
0
a
1
a
b
1
a
b
aa
a
aa
a
aa
a
-
a·b
-
b
Johann Heinrich Lambert (1728-1777)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lambert.html
1761 bewies Lambert π 6∈ Q. Mehr noch, für jedes 0 6= x ∈ Q ist tan x 6∈ Q; wegen tan π4 = 1
folgt also insbesondere π 6∈ Q.
13
17
R ist bzgl. der von Q auf R fortgesetzten Addition und Multiplikation ein Körper.
Neben den vier Grundrechnungsarten kann man in R potenzieren, Wurzeln ziehen
und logarithmieren:
Potenzrechnung: x0 = 1 und xn = x · xn−1 für n ∈ N. Also gilt
n
n
x
y
n
(x y) = x y ,
!n
xn n+m
1
= n,x
= xn xm , x−n = n , (xn )m = xnm = (xm )n
y
x
c
c
Bem. Potenzieren ist nicht assoziativ: ab 6= a(b )
Potenzieren ist bzgl. der Multiplikation distributiv: (a b)c = ac bc
Potenzieren ist bzgl. der Addition nicht distributiv: (a + b)c 6= ac + bc
◦
Wurzelziehen√ist die Umkehrung des Potenzierens bei festem ganzzahligen Exponenten: y = n x = x1/n sei Lösung der Gleichung y n = x in der Unbekannten y
für x > 0, falls n gerade. Für n, m ∈ Z und x > 0 gilt
y=
√
n
x ⇔ y n = x und
√
m
xn = xn/m = x1/m
n
= (xn )1/m
√
√
−1 = 2 −1 ist also in R nicht definiert! Insgesamt sind damit auch Potenzen
mit reellen Exponenten definiert und es gilt für x, y > 0
x
a+b
a
b
a−b
=x x, x
a
xa
= b , (x y)a = xa y a , xa b = (xa )b = xb ,
x
x
y
!a
=
xa
ya
Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens bei fester Basis: y = logb x
ist Lösung der Gleichung by = x in der Unbekannten y für b > 0, b 6= 1 und
x > 0. Gebräuchlich sind der dekadische Logarithmus lg(x) = log10 (x), der binäre
oder duale Logarithmus ld(x) = log2 (x) und der natürliche Logarithmus ln(x) =
P
loge (x) zur Basis e mit der Euler14 schen Zahl e = limn→∞ (1+1/n)n = ∞
i=0 1/i! ≈
2.71828.
logb (x y) = logb (x) + logb (y) logb xy = logb (x) − logb (y)
logb (xy ) = y logb (x)
logb (1) = 0
Logarithmen zu verschiedenen Basen lassen sich wie folgt ineinander umrechnen:
log x
logb (x) = logb (a) · loga (x) da x = blogb x = aloga x = (blogb a ) a = b(logb a)(loga x) .
Zuletzt einige Eigenschaften der Ordnung ‘<’ auf
 R und des Betrages von reellen

 +1 falls x > 0
falls x = 0 das Signum,
Zahlen: Seien a, b, c, d ∈ R und sei sgn(x) =  0

−1 falls x < 0
also das ‘Vorzeichen’ von x. Damit ist |x| = sgn(x) x Betrag von x.
14
18
1. a < b ⇒ a + c < b + c, a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d
(
2. a < b ⇒
a
1
a
3. a < b ⇒
falls c > 0
falls c < 0
ca < cb
ca > cb
( 1
>
<
1
b
1
b
(Monotonie)
falls sgn(a) = sgn(b)
falls sgn(a) =
6 sgn(b)
4. |a + b| ≤ |a| + |b|
(Dreiecksungleichung)
√
a2 = c ⇔ |a| = c
q
√
6. a, b > 0 ⇒ min(a, b) ≤ 1 +2 1 ≤ ab ≤ 12 (a + b) ≤ (a2 + b2 )/2 ≤ max(a, b)
a
b
√Q
bzw. allgemein xi > 0 ⇒ xmin = mini xi ≤ xh = Pn 1 ≤ xg = n i xi ≤
5. |a · b| = |a| · |b|
und
i xi
xa =
1
n
P
i
xi ≤ xq =
q P
1
n
2
i xi
≤ xmax = maxi xi
d.h.
Satz von Cauchy15 Minimum xmin ≤ harmonisches Mittel xh ≤ geometrisches Mittel xg ≤ arithmetisches Mittel xa ≤ quadratisches Mittel xq ≤
Maximum xmax .
•
harmonisches Mittel für Raten: ein Zug brauche z.B. für die ersten 100km
km
er1h, für die zweiten 100km 2h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit 200
3 h
200 km
2
=
der
beiden
Teilgegibt sich als harmonisches Mittel
1
1
3 h
+
100km/h
50km/h
schwindigkeiten 100km/h und 50km/h.
geometrisches Mittel für Wachstumsfaktoren: xg ist der mittlere Wachstumsfaktor der Faktoren xi = vi /vi−1 einer Variablen vi mit i = 0, . . . , n.
quadratisches Mittel etwa in der Statistik, z.B. Regression (minimiere Summe der Fehler-Quadrate)
(
x falls x ≥ 0
und | − x| = |x| für alle x ∈ R.
o
−x falls x ≤ a
(
(
a falls a ≤ b
a falls a ≥ b
z.H. Sei min(a, b) :=
und max(a, b) :=
. Zeige
b falls b ≤ a
b falls b ≥ a
min(a, b) = min(a + c, b + c) und entsprechende Verallgemeinerungen.
o
z.H. Zeige |x| =
Def. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} heißt das links abgeschlossene und rechts
offene reelle Intervall von a bis b. ([a, b], (a, b], (a, b) entsprechend)
[0, 1] heißt Einheitsintervall und [0, 1] × [0, 1] Einheitsquadrat
z.H. Berechne [0, 1) ∪ [1, 2], [0, 1) ∩ [1, 2], (0, π) ∩ (2, 5) und (−1, 1) \ {0}.
z.H. Zeige {x : |x − xo | < } = {x : − < x − xo < } = (xo − , xo + ).
o
o
Satz (Bernoulli 16 sche Ungleichung) (1 + )n > 1 + n für > 0, 1 < n ∈ N. •
√
Bew. Beweis etwa per vollständiger Induktion oder binomischem Lehrsatz.
15
16
Augustin Luis Cauchy (1789-1857)
Jakob (I.) Bernoulli (1654-1705)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cauchy.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Jacob.html
1.5
19
Komplexe Zahlen
Polynome wie z.B. x2 + 1 = 0 haben in R keine Nullstelle (p-q-Formel): man erweitert den Körper der reellen Zahlen (Zahlen-Strahl) zum Körper der komplexen
Zahlen C ∼
=R×R∼
= {(x, y) : x, y ∈ R} ∼
= {x + jy : x, y ∈ R} (Gauß’sche17 oder
komplexe Zahlen-Ebene) durch Definition der imaginären Einheit18 j mit
j 2 = −1
Eine komplexen Zahl z ∈ C wird dargestellt als z = x + jy mit x, y ∈ R. x = <z
heißt Realteil und y = =z Imaginärteil von z. Für zi = xi + jyi ∈ C gilt z1 = z2
genau dann, wenn x1 = x2 und y1 = y2 . Die zu z = x + jy konjugiert komplexe
Zahl ist z = z ∗ = x − jy.
=z 6
y
3
z = x + jy = (x, y)
r j
ϕ
Q
Q 1
Q
Q
x
<z
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
z ∗ = x − jy = (x, −y)
Addition und Multiplikation werden durch j 2 = −1 so definiert, daß sie die reellen
Operationen auf C fortsetzen: Für zi = xi + jyi ∈ C und r ∈ R gilt
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
rz = rx + jry
z1 · z2 = (x1 + jy1 )(x2 + jy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x2 y1 + x1 y2 ) .
Aus der Multiplikation leitet sich die Division komplexer Zahlen ab:
z1
x1 x2 + y 1 y 2
x2 y 1 − x1 y 2
=
+j
2
2
z2
x2 + y2
x22 + y22
17
18
Carl Friederich Gauß (1777-1855)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html
Mathematiker bezeichen die imaginäre Einheit mit i, Elektrotechniker mit j.
BDH 11, 517
BHW Bd.I 2.5,196
BrSe 1.4, 23
Pap Bd.2 III 1,182
Sti 4, 109
Stö A1 2, 37
Stö TB 17, 576
Z.B. Häufig erweitert man
z1
z2
zu
z1 z2∗
,
z2 z2∗
20
c
jetzt mit reellem Nenner!
z.H. Weise Assoziativität, Kommutativität und Distributivität der komplexen
Addition und Multiplikation nach. Was ist das Nullelement der Addition, was ist
das Einselement der Multiplikation und was ist die zu einer komplexen Zahl bzgl.
der Addition bzw. Multiplikation inverse komplexe Zahl? Leite den Ausdruck für
z1
= z1 · (z2 )inv ab.
o
z2
Einschub: Satz des Pythagoras19 und trigonometrische Funktionen (Projektion
Drehungen, Schwingungen)
A
b A
A
A
A
A
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
⇓
2
a + b2 = c 2
a
A
A
A
c
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
b
4(a, b, c) ≈ 4(h, q, a) ⇒
4(a, b, c) ≈ 4(p, h, b) ⇒
a
c
b
c
=
=
q
a
p
b
⇒ a2 = qc
⇒ b2 = pc
p
A
A
h
A a
A
A
A
q A
A
c
)
⇒ a2 + b2 = (p + q)c = c2
Die trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot können durch Verhältnisse der Seiten-Längen in jedem rechtwinkligen Dreieck definiert werden:
sin ϕ =
tan ϕ =
Gegenkathete
,
Hypotenuse
Gegenkathete
,
Ankathete
cos ϕ =
cot ϕ =
Ankathete
Hypotenuse
Ankathete
Gegenkathete
Die Funktionswerte können für Dreiecke im Einheitskreis an den Längen bestimmter Strecken direkt abgelesen werden.
19
Pythagoras (ca. 580-500 v.Chr.)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html
21
y
6
cot ϕ
ϕ 1 tan ϕ
sin ϕ
cos ϕ
ϕ
-
x
Geometrisch ergeben sich direkt die Periodizität und weitere Eigenschaften
)(
sin(ϕ + 2kπ) = sin ϕ
cos(ϕ + 2kπ) = cos ϕ
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
sin(−ϕ) = − sin ϕ
cos(−ϕ) = cos ϕ
sin(ϕ ± π2 ) = ± cos ϕ
cos(ϕ ∓ π2 ) = ± sin ϕ
für k ∈ Z
(Periodizität)
(Pythagoras)
(ungerade)
(gerade)
sowie einige Funktionswerte
arc(ϕ)
0
π/6
π/4
π/3
π/2
ϕ
0o
30o
45o
60o
90o
sin ϕ
cos ϕ
√
√
0 = √0/2
1 = √4/2
1/2 = √1/2
√3/2
2/2
√2/2
√
√3/2 1/2 = √1/2
1 = 4/2
0 = 0/2
Auch die sogenannten Additionstheoreme für Sinus und Cosinus können geometrisch abgeleitet werden. Es gilt für alle Winkel α, β ∈ R
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
z.H. Wieso gilt dann auch
sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β)
Verwende die Symmetrie-Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
o
22
y
6
L
L
L
αLL
sin(β) cos(α)
L sin β
L
L
1
L
L
L
L
!
!
!
!!
cos!
β !!
!
cos(β) sin(α)
β !!!
!!α
!
!
-
sin(α+β)
x
Entsprechend läßt sich das Additionstheorem für den Cosinus ableiten: für alle
α, β ∈ R gilt
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
o
z.H. Leite das Additionstheorem für den cos geometrisch ab.
z.H. Wieso gilt dann auch
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
Verwende die Symmetrie-Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
o
z.H. Leite aus dem Additionstheorem Formeln für sin(2ϕ) und cos(2ϕ) sowie für
sin(ϕ/2) und cos(ϕ/2) ab.
o
z.H. Zeige sin α + sin β = 2 sin α+β
cos α−β
und sin α − sin β = 2 cos α+β
sin α−β
.
2
2
2
2
o
Wie lauten entsprechende Formeln für den Cosinus?
z.H. Zeige sin ((2n + 1)ϕ) = (1 + 2
Pn
k=1 cos(2kϕ)) sin ϕ unter Verwendung von
sin((2n + 1)ϕ) = sin((2n − 1)ϕ) + 2 sin ϕ cos(2nϕ) mit vollständiger Induktion. o
Def. Polar-Koordinaten beschreiben die Lage jedes Punktes der (komplexen)
Zahlenebene durch den Abstand r zum Ursprung und den von Ortsvektor und
positiver x-Achse eingeschlossenen Winkel ϕ.
Damit gilt für z = x + jy ∈ C (arctan = taninv ist die Umkehrfunktion des tan)
|z| = r =
q
x2 + y 2
und
arc(z) = ϕ = arctan
y
x
also
tan ϕ =
y
,
x
<z = x = r cos ϕ und =z = y = r sinϕ und z = r cos ϕ + j r sin ϕ .
23
Offensichtlich ist |z| = |z ∗ | und arc z = − arc z ∗ .
Unter Verwendung der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen und
der Polar-Koordinaten-Darstellung ergibt sich für die beiden komplexen Zahlen
zi = ri (cos ϕi + j sin ϕi )
z1 · z2 = r1 r2 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) · (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
= r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + j(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 )]
= r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 )]
und damit auch
z1
r1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2
sowie für z = x + jy
n
z n = (r(cos ϕ + j sin ϕ)) = rn ( cos(nϕ) + j sin(nϕ)) .
n
Die Moivre 20 schen Formeln ( cos(ϕ) + j sin(ϕ)) = cos(nϕ) + j sin(nϕ) folgen
durch Spezialisierung auf |z| = 1.
Z.B. Multiplikation mit j entspricht also einer Drehung um +90o , Division durch
j einer Drehung um −90o .
c
√ 2
Für den Betrag |z| = x + y 2 = |r(cos ϕ + j sin ϕ)| = r| cos ϕ + j sin ϕ| = r gilt
die Dreiecksungleichung – geometrisch oder algebraisch zu zeigen –
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
(durch zweimaliges Quadrieren mit zi = xi +jyi ). Für z = x+jy ∈ C gilt zudem
z · z ∗ = (x + jy)(x − jy) = x2 − j 2 y 2 = x2 + y 2 = |z|2
und mit der Polar-Darstellung zi = ri (cos ϕi + sin ϕi ) ∈ C
|z1 · z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 | .
Die Euler21 sche Gleichung bzw. ihre Spezialisierung22
cos ϕ + j sin ϕ = ejϕ
ejπ = −1
kann entweder vermittels der Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen und der Exponential-Funktion oder aber – wie hier – unter Verwendung
der Moivreschen Formeln, der Näherungen für die trigonometrischen Funktionen
20
Abraham de Moivre (1667-1754)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Moivre.html
22
C.L.F. Lindemann (1852-1939)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lindemann.html
zeigte, daß die Gleichung ej x + 1 = 0 nicht durch algebraische x befriedigt wird, daß somit π
nicht algebraisch, d.h. nicht NS eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
21
24
sin(x) ≈ x und cos(x) ≈ 1 für betragsmäßig genügend kleine x (auch |x| 1)
n
sowie der Definition limn→∞ (1 + nx ) = ex bewiesen werden:
cos ϕ + j sin ϕ = cos (n ϕn ) + j sin (n ϕn )
n
= ( cos ϕn + j sin ϕn )
≈ (1 + j ϕn )n
→ ejϕ
und mit Moivre
für kleine Argumente ϕn
für große n
für n → ∞
Die Exponential-Darstellung
z = rejϕ
komplexer Zahlen wird in der Elektrotechnik häufig als z = r∠ϕ (Versor ϕ)
geschrieben. Mit z = r(cos ϕ + j sin ϕ) und zi = ri (cos ϕi + j sin ϕi ) gilt
z1 · z2 = r1 ejϕ1 r2 ejϕ2 = r1 r2 ej(ϕ1 +ϕ2 )
j = ejπ/2
− 1 = ejπ
z1
r1 ejϕ1
r1
=
= ej(ϕ1 −ϕ2 )
jϕ
2
z2
r2 e
r2
1
1
= e−jϕ
z
r
z n = rn ejnϕ .
Wegen ejϕ = ej(ϕ+2kπ) für alle k ∈ Z gibt es allerdings beim Potenzieren mit
nicht-ganzzahligen Exponenten c ∈ R mehrere ‘Lösungen’: z c = rc ej(cϕ+2kπc) : alle
Funktionswerte liegen auf dem Rand des Kreises um den Ursprung mit Radius rc
und unterscheiden sich um den Winkel 2πc: die komplexe Exponential-Funktion
ez = ex+jy = ex ejy = ex (cos y + j sin y) hat mehrere ‘Blätter’. (vgl. ez = ex+jy =
ex (cos y + j sin y) ...)
√
√
Entsprechend gilt für das Wurzel-Ziehen n z = n rej(ϕ+2kπ)/n : die n verschiedenen
Wurzeln (k =
√ 0, ..., n − 1) liegen also auf dem Rand des Kreises um den Ursprung
mit Radius n r. Sie bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Eckes.
Für den Logarithmus ln(z) einer komplexen Zahl z = r ejϕ = r ejϕ+j2kπ mit k ∈ Z
gilt eben ln(z) = ln(r ejϕ+j2kπ ) = ln(r) + j(ϕ + 2kπ).
√
√
Z.B.
4 = 2 ej(0+2kπ)/2 = ±2, 3 1 = ej(0+2kπ)/3 = {1, ej2π/3 , ej4π/3 }
c
√
√
√
√ √
√
√
3
4
4
z.H. Bestimme j, 3 −j, 8 und 3 j sowie 1, 4 j und 16.
o
Exkurs Mandelbrot23 -Menge: Betrachte Zahlenfolge zi+1 = zi2 + c für (zu variie- mandel.cc
rendes) festes c ∈ C und Startwert zo = 0. Die Mandelbrot-Menge ist durch M = mandel.exe
{c ∈ C : |zi | ist beschränkt} definiert (Apfelmännchen, c 6∈ M ⇐⇒ |zi | → ∞).
z.H. Verifiziere 0 ∈ M und 1 6∈ M .
o
o
z.H. Inwiefern ist das Apfelmännchen symmetrisch?
24
zi2
Exkurs Julia -Mengen: Betrachte Zahlenfolge zi+1 =
+ c für festes c ∈ C
und (zu variierenden) Startwert zo ∈ C. Julia-Mengen sind für festes c ∈ C durch
J = {zo ∈ C : |zi | ist beschränkt} definiert (zo 6∈ J ⇐⇒ |zi | → ∞).
Bem. Mandelbrot- und Julia-Mengen sind selbstähnliche und damit fraktale
Mengen.
◦
23
24
Benoit Mandelbrot (1924-2010)
Gaston Maurice Julia (1893-1978)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Mandelbrot.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Julia.html
2
25
Kryptographie
Gegenstand der Kryptographie25 sind Verfahren zum Codieren/Decodieren, Verschlüsseln/Entschlüsseln, Chiffrieren/Dechiffrieren von Botschaften zum Zweck
der Geheimhaltung, der Authentifizierung, zum Signieren, für non repudiation
(kein Abstreiten des Empfanges), e-commerce . . . . Kryptographische Verfahren
basieren auf Ideen nicht nur von erklärten Mathematikern26 .
Schlagwörter sind Data Encryption Standard (DES),Advanced Encryption Standard (AES),(public key Verfahren von) Rivest/Shamir/Adleman (RSA),Pretty
Good Privacy (PGP),International Data Encryption Algorithm (IDEA),Secure
Electronic Transaction (SET),Elliptic Curve Cryptography (ECC),etc.
2.1
Caesar
Mit der Verschlüsselungsvorschrift (encryption) e : chr → (chr + key) mod 26
oder tabellarisch etwa
chr
e(chr)
a b c d e fg h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
DEFGHIJKLMNO P QRSTUVWXY Z ABC
(key =?) wird Klartext chiffriert, z.B.
t
W
r
U
a
D
u
X
e
H
n
Q
i
L
e
H
d
G
e
H
m
P
b
E
r
U
u
X
t
W
u
X
s
V
bzw. Chiffriertext mit (decryption) d : chr → (chr − key) mod 26 dechiffriert.
Falls gewünscht, ist das Leerzeichen dabei als eigener Buchstabe aufzufassen.
Realisierung durch Buchstaben-Scheibe.
z.H. Wieviele verschiedene Caesar-Verschlüsselungen gibt es?
25
o
hier einige wenige Literaturhinweise zum Thema
Albrecht Beutelspacher: Kryptologie; Vieweg 1991
n473/53(4)
Wilfried Dankmeier: Codierung; Vieweg 1994
n425/5
Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie; Vieweg 1996
b42/205
Rudolph Kippenhahn: Verschlüsselte Botschaften – Geheimschrift, Enigma und Chipkarte; Rowohlt 1997
David Kahn: The Codebreakers; New York 1967
26
Euklid (ca 300 v.Chr.)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euclid.html
Gaius Julius Caesar (100-44 v.Chr.), Johannes Trithemius (1462-1516), Blaise de Vigenère
(1523-1596),
Pierre de Fermat (1601-1665)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fermat.html
Friedrich W. Kasiski (1805-1881)
http://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Kasiski
Alan M. Turing (1912-1952)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Turing.html
Whitfield Diffie *1944
http://de.wikipedia.org/wiki/Whitfield_Diffie
Martin E. Hellmann *1945
http://de.wikipedia.org/wiki/Martin_Hellman
Ronald L. Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman, Philipp (Phil) Zimmermann u.a.
26
Attacke aufgrund der (im Deutschen) charakteristischen Buchstaben-Häufigkeiten:
a
6.51
n
9.78
b
1.89
o
2.51
c
3.06
p
0.79
d
5.08
q
0.02
e
17.4
r
7.00
f
1.66
s
7.27
g
3.01
t
6.15
h
4.76
u
4.35
i
7.55
v
0.67
j
0.27
w
1.89
k
1.21
x
0.03
l
3.44
y
0.04
m
2.53
z
1.13
Auch Buchstaben-Paare haben charakteristische Häufigkeiten, ‘en’, ‘er’, ‘ch’, ‘te’,
‘de’, ‘nd’, ‘ei’, ‘ie’, ‘in’, ‘es’ usw. wie ebenso Buchstaben nach einem bestimmten
Buchstaben: auf ‘e’ folgen ‘n’, ‘r’, ‘i’, ‘s’ jeweils in der Reihenfolge ihrer Häufigkeit.
Alle diese Häufigkeiten können übrigens nicht nur zur Dechiffrierung sondern auch
zur Kompression von Text genutzt werden.
o
z.H. Programmiere die Caesar-Ver- und Entschlüsselung.
2.2
Trithemius
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
AB C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X YZ
BCD E F G H I J K L MN O P Q R S T U VWX Y ZA
CD E F G H I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z AB
DE F G H I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z A BC
E F G H I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z A B CD
FGH I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z A B C DE
GH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F
H I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E FG
I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F GH
JKLMNO P Q R S T U VWX Y Z A B C D E F GH I
KLMN O P Q R S T U VWX Y Z A B C D E F G H I K
..
.
Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V WXY
führt auf eine die Häufigkeit verschleiernde Kodierung, beispielsweise
e
E
i
J
n
P
e
H
i
M
a
F
l
R
l
S
e
M
i
R
n
X
z.H. Programmiere die Trithemius-Ver- und Entschlüsselung.
···
o
2.3
27
Vigenère
Vigenère-Verschlüsselung ist eine Trithemius-Verschlüsselung mit Schlüsselwort
z.H. Programmiere die Vigenère-Ver- und Entschlüsselung.
o
z.H. Schlüssel-Raum? brute force attack?
o
Entscheidend ist die Kenntnis der Länge des Schlüsselwortes, die mit der Methode
von Kasiski zu bestimmen ist: gleiche Buchstabenfolgen im Chiffriertext (von
denselben Klartext-Wort(-Teilen) stammend) haben im Geheimtext ein Vielfaches
der Schlüssel-Länge als Abstand.
2.4
DES
symmetrisch, d.h. derselbe Schlüssel für Codierung wie Decodierung
durch iterierte bit-Operationen hardware-nah, also schnell und sparsam (Realisierung auf Chip-Karten)
Entwicklung der IBM in USA, 1977 standardisiert vom NBS, Verbesserungen
(triple DES etc), Export-Beschränkungen ...
2.5
RSA
RSA (Rivest, Shamir, Adleman: A Method for Obtaining Digital Signatures and
Public-Key Cryptosystems; CACM 21 (Feb 1978), 120–126 ) ist ein asymmetrisches Verfahren, d.h. mit verschiedenen Schlüsseln zum Chiffrieren und Dechiffrieren. Dabei ist ein Schlüssel öffentlich (public key).
Def. Für n ∈ N heißt ϕ(n) = φ(n) = |{k ∈ N : k < n, k zu n teilerfremd}| =
|{k ∈ N : k < n, gcd(k, n) = 1}| Euler-Funktion.
Z.B. Es gilt ϕ(5) = |{1, 2, 3, 4}| = 4 und ϕ(18) = |{1, 5, 7, 11, , 13, 17}| = 6.
c
27
Bem. Der Euklid sche Algorithmus berechnet den größten gemeinsamen Teiler
gcd(x, y) von x und y entweder rekursiv oder iterativ
unsigned gcd(int x, int y)
{ // wegen x = (x/y) ∗ y + x%y
unsigned gcd(int x, int y)
while (y!=0)
{ // wegen x = (x/y) ∗ y + x%y
{
if (y==0) return abs(x);
int temp=y;
else
return gcd(y,x%y);
y=x%y; x=temp;
}
}
return abs(x);
}
27
Euklid (ca 300 v.Chr.)
28
Die Umkehrung des Algorithmus erlaubt die Berechnung des modularen Inversen.
◦
Bem. Für jede Primzahl p gilt ϕ(p) = |{1, 2, . . . , p − 1}| = p − 1.
Für jedes Paar von Primzahlen p und q gilt ϕ(p · q) = (p − 1)(q − 1), da ja
ϕ(p·q) = |{1, 2, . . . , p·q−1}|−|{1·p, 2·p, . . . , (q−1)·p}|−|{1·q, 2·q, . . . , (p−1)·q}| =
pq − 1 − (q − 1) − (p − 1) = pq − p − q + 1 = (p − 1)(q − 1).
Q
Q
Allgemein gilt ϕ(n) = ri=1 (pvi i − pvi i −1 ) = n ri=1 (1 − 1/pi ) für jedes n ∈ N mit
Q
Primfaktorzerlegung n = ri=1 pvi i und Vielfachheit vi von pi in n.
◦
Satz (kleiner Satz28 von Fermat29 ) Sei p prim und a ∈ N nicht durch p teilbar.
Dann gilt ap−1 mod p = 1 .
•
Satz (Euler30 ) Sei 1 < n ∈ N und a ∈ N zu n teilerfremd, also gcd(a, n) = 1.
•
Dann gilt aϕ(n) mod n = 1 .
Bem. Falls n im Satz von Euler prim ist, ergibt sich der kleine Satzes von
Fermat. Der Satz von Euler stellt also eine Verallgemeinerung dar.
◦
Sei nun n = p · q für zwei Primzahlen p und q. Sei e zu ϕ(n) teilerfremd und seien
e und d zueinander modulo ϕ(n) invers, d.h. e · d mod ϕ(n) = 1. Das Paar e und
n bildet den öffentlichen Schlüssel, d (und n) bildet den geheimen Schlüssel.
Verschlüsseln des Klartextes K durch G = K e mod n liefert Geheimtext G
Entschlüsseln des Geheimtextes G durch K = Gd mod n liefert Klartext K
Wegen e · d mod ϕ(n) = 1 oder eben e · d = vϕ(n) + 1 für ein v ∈ N gilt
Gd mod n = (K e mod n)d mod n = K ed mod n = K (K vϕ(n) mod n) mod n =
v
K (K ϕ(n) mod n) mod n = K 1v mod n = K falls etwa K < n (blocking).
Z.B. Sei n = p · q = 5 · 7 = 35. Dann ist ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) = 4 · 6 = 24
und e = 11 ist teilerfremd zu 24, d.h. gcd(e, ϕ(n)) = 1 zu verifizieren mit dem
Euklidischen Algorithmus. Ebenso mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmt
man das modulo ϕ(n) Inverse d = 11 von e mit ed mod ϕ(n) = 1. Der Klartext
K = 13 < 35 = n wird zu G = 1311 mod n = 13 · (132 mod n)5 = (13 · 29 mod
n)(292 mod n)2 = 27 · 12 = 27 chiffriert. Umgekehrt wird der Geheimtext G = 27
wieder zu K = 2711 mod n = 27 · (272 mod n)5 = (27 · 29 mod n)(292 mod n)2 =
28
Satz (Fermat’s großer/letzter Satz) www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Fermat’s_last_theorem.html
Die Gleichung xn + y n = z n hat für n > 2 keine ganzzahligen (x, y, z ∈ N), nicht-trivialen
(xyz 6= 0) Lösungen.
•
Bew. Andrew John Wiles (1953-)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wiles.html
√
1995 nach ca 300a (!), mit Hilfe der Theorie elliptischer Kurven und Modulformen
29
Pierre de Fermat (1601-1665)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fermat.html
30
29
13 · 12 = 13 dechiffriert. Weitere Zahlen-Beispiele
p
q
n
ϕ(n)
e
d
K
G
5
7
35
24
11
11
13
27
5
17
85
64
5
13
24
79
1223
96883
577 419
241763
240768 1264763 221747
48611 1009 49048499 48998880
61 2409781 18151905 10697935
Ein Beispiel mit 40- bzw. 41-stelligen Primzahlen präsentiert Forster, S.125ff. c
Bem. Wegen des hohen Rechenaufwandes für RSA werden häufig Kombinationen von RSA oder Derivaten und DES angewandt. RSA chiffriert dann die
Übermittlung von DES-Schlüsseln.
◦
Offensichtlich funktioniert die RSA-Verschlüsselung nur, wenn – wie in einem
Telephon-Buch – der jedem Teilnehmer gehörende öffentliche Schlüssel zur Verfügung steht. Ein sogenanntes trust center erzeugt für jeden Teilnehmer ein RSASchlüssel-Paar und hält die öffentlichen Schlüssel vor.
Bem. S(ender) versieht ein Dokument K mit einer Digitalen Signatur, indem er
d
G = K d mod n oder K und Sig(K) = (hash(K)) mod n verschickt.
e
Durch K = Ge mod n bzw. K und hash(K) = (Sig(K)) mod n kann sich jeder
R(eciever) von der Echtheit (Authentizität) des Dokumentes überzeugen.
◦
Bem. non repudiation
◦
Aktuelle Verfahren: Advanced Encryption Standard, AES oder Elliptic Curve
Cryptography, ECC, s.a. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/puzzles.pdf
3
30
lineare Algebra: Vektor-Räume
3.1
Vektoren
Z.B. Geschwindigkeit, Kraft, elektrisches Feld usw. sind Beispiele gerichteter
Größen, die ausgezeichnet sind durch Richtung und Länge, d.h. Betrag (vgl. Darstellung z = r ejϕ einer komplexen Zahl z). Vektoren werden durch Aneinanderhängen wie im Kräfte-Parallelogramm addiert. Vektoren werden mit einem
Skalar multipliziert durch Multiplikation ihrer Länge mit dem Skalar.
I
@
@
~s − ~r
@
@
@
@
@
~r + ~s
@
@
BDH 4.2, 165
BHW Bd.I 6,444
BrSe 3.5, 149
Pap Bd.1 II 1,35
Sti 5, 167
Stö A2 II 5, 114
Stö TB 6, 322
1
~s
~r
Vektoren sind im Folgenden durch Fettdruck gekennzeichnet.
Auf eine Kugel der Masse m auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α wirkt
die Gewichtskraft G mit |G| = m g. Der Anteil F von G, senkrecht zur Ebene,
wird von der Unterlage aufgenommen. Der Anteil H, parallel zur Ebene, wird als
Hangabtrieb wirksam. Es gilt G = F+H mit |F| = m g cos α und |H| = m g sin α.
c
Def. Sei Rn = {(r1 , . . . , rn ) : ri ∈ R für i = 1, . . . , n} also die Menge der reellen
n-tupel, d.h. Abbildungen von {1, . . . , n} in R. r = (r1 , . . . , rn ) heißt Vektor mit
den Elementen ri . Wenn sich aus dem Kontext ergibt, daß es sich um Vektoren
handelt, wird häufig statt r auch nur r, ~r oder r geschrieben.
Die Menge der reellen Vektoren mit n Elementen Rn heißt der n-dimensionale
reelle Vektor-Raum. Für Vektoren r, s ∈ Rn sind Identität, Addition und (Skalar-)
Multiplikation Element-weise definiert:
r = s ⇔ ri = si für jedes i = 1, . . . , n
r + s = (r1 , . . . , rn ) + (s1 , . . . , sn ) = (r1 + s1 , . . . , rn + sn )
c r = c(r1 , . . . , rn ) = (cr1 , . . . , crn ) für alle c ∈ R
bzw.







r1
s1
ri = si
 
.. 
 =  ..  ⇔ für
. .
rn
sn
i = 1, ..., n

,








r1
s1
r1 +s1
  

.. 
 +  ..  =  .. ,
. .  . 
rn
sn
rn +sn


c




r1
cr1


.. 
 =  .. 
.  . 
rn
crn
da Vektoren gleichermaßen als Zeilenvektoren oder als Spaltenvektoren geschrieben werden können.
Aus den Eigenschaften der Operationen auf reellen Zahlen leiten sich diejenigen
für reellwertige Vektoren ab. Für Vektoren r, s, t ∈ Rn und Skalare c, d ∈ R gilt
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1. r + s = s + r
31
(Kommutativität der Addition)
2. (r + s) + t = r + (s + t)
(Assoziativität der Addition)
3. Es gibt genau eine Lösung für t in der Gleichung r + t = s.
4. c(d r) = (cd)r = d(c r)
(Assoziativität der Skalar-Multiplikation)
5. (c + d)r = c r + d r
c(r + s) = c r + c s
(Distributivität der Multiplikation
mit skalaren Vielfachen)
z.H. Verifiziere diese Eigenschaften im R3 . Bestimme den Nullvektor und den
o
bzgl. der Addition inversen Vektor.
Entsprechend lassen sich komplexe Vektorräume über C definieren.
n sich in einem Punkt im Rn , dem Ursprung, schneidende, paarweise zueinander
senkrechte Geraden bilden ein orthonormiertes Koordinatensystem, wenn vom
Ursprung aus auf jeder Geraden eine Einheitsstrecke so abgetragen wird, daß die
positiven Achsen ein Rechtssystem bilden. Die Geraden heißen Koordinatenachsen.
Die Lage jedes Punktes P im Raum ist dann eindeutig durch seine Koordinaten, d.h. die durch Projektionen von P auf die Koordinatenachsen gewonnenen
Maßzahlen bestimmt. Jeder Punkt P entspricht damit seinem Ortsvektor P, dem
Vektor seiner Koordinaten.
Z.B. Die Addition entspricht geometrisch einem (‘Kräfte’-) Parallelogramm. Die
Skalar-Multiplikation beschreibt den Zusammenhang F = m a zwischen vektorieller Kraft F, skalarer Masse m und vektorieller Beschleunigung a.
c
Die so definierten Vektoren sind alle an den Ursprung gebunden. Wo dies nicht
ausreicht, verwendet man freie Vektoren, indem man je zwei Punkten P1 und P2
im Raum mit Vektoren r1 und r2 den Vektor P1~P2 = r2 − r1 zuordnet.
Durch Auszeichnen des Skalarproduktes von Vektoren wird aus einem Vektorraum ein Euklid31 ischer Vektor-Raum, in dem die Länge von Vektoren und damit
Abstände gemessen werden können.
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Def. Zu r = (r1 , . . . , rn ) ∈ Rn und s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Rn heißt der Skalar
rs = r · s =
n
X
und speziell
ri si
r2 = r · r =
i=1
n
X
ri2 = |r|2
i=1
Skalarprodukt oder inneres Produkt von r und s. |r| =
2
q
(r · r) =
qP
n
2
i=1 ri
heißt
2
Betrag von r. Es gilt also r = (r · r) = |r| .
Bem. |r| ist die elementar-geometrische Länge der Vektoren r ∈ Rn .
◦
Satz Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:
31
Euklid (um 365 - um 300 v.Chr.)
32
1. Sei ϕ der von den Vektoren r und s eingeschlossene Winkel ϕ = ∠(r, s).
Dann gilt (r · s) = |r||s| cos ϕ . Also gilt r ⊥ s genau dann, wenn r · s = 0.
2. |r| cos ϕ = (r · s)/|s| läßt sich als Länge der Projektion von r auf s und
|s| cos ϕ = (r · s)/|r| als Länge der Projektion von s auf r auffassen.
(r·s) s
= (r · sn )sn ist Projektionsvektor bei Projektion von r auf s und
|s| |s|
(r·s) r
|r| |r|
= (rn · s)rn ist Projektionsvektor bei Projektion von s auf r mit den
normierten Vektoren rn = r/|r| und sn = s/|s|, so daß |rn | = 1 = |sn |.
3. r · s = s · r
(Kommutativität)
4. c(r · s) = (c r) · s = r · (c s) für c ∈ R
(Assoziativität)
5. r · (s + c) = (r · s) + (r · c)
(Distributivität)
Pn
Zusammen mit der Projektionseigenschaft ergibt sich r = i=1 (r · ei )ei .
(Schwarz’sche32 Ungleichung)
6. |r · s| ≤ |r||s|
7. |r + s| ≤ |r| + |s|
(Dreiecksungleichung)
Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ! Meist gilt also (r · s) c 6= r (s · c).
•
Z.B. Eine konstante Kraft F bewege eine Masse entlang des Weges s. Dann ist
die geleistete Arbeit W = (F · s).
c
z.H. Verifiziere die Kommutativität, Assoziativität und Distributivität des Ska-
larproduktes. Gib Beispiele für (r · s) t 6= r (s · t) im R2 und R3 an.
o
z.H. Sei r = (2, 1) ∈ R2 . Bestimme s ∈ R2 mit |s| = 1 und ∠(r, s) = π/4.
o
Für die beiden Vektoren r = (rx , ry ) ∈ R2 und s = (sx , sy ) ∈ R2 sei
α = ∠(r, ex ) bzw. β = ∠(s, ex ) der von r bzw. s mit der positiven x-Achse
und ϕ = ∠(r, s) der von r und s eingeschlossene Winkel. Dann gilt cos ϕ =
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) = (rx /|r|)(sx /|s|) + (ry /|r|)(sy /|s|) =
(r · s)/(|r||s|).
Bew.
Sei t = (r·s)
s die Projektion von r auf s. Dann folgt aus 0 ≤ (r − t)2 = r2 − 2(r ·
|s|2
s) + s2 = r2 − 2(r · s)2 /|s|2 + (r · s)2 /|s|2 = r2 − (r · s)2 /s2 eben 0 ≤ r2 s2 − (r · s)2
und damit die Schwarz’sche Ungleichung – also im Grund aus dem Pythagoras
für das Dreieck mit Hypotenuse |r| und Katheten |t| sowie |r − t|.
Aus |r + s|2 = |r|2 + 2(r · s) + |s|2 folgt mit der Schwarz’schen Ungleichung
√
|r + s|2 ≤ |r|2 + 2|r||s| + |s|2 = (|r| + |s|)2 die Dreiecksungleichung.
z.H. Leite aus der Dreiecksungleichung ||r| − |s|| ≤ |r − s| ab.
o
2
Z.B. Geraden im R sind gegeben durch die allgemeine Geradengleichung ax +
by + c = 0, in Steigung-Ordinaten-Abschnittsform y = mx + yo , in Steigungswinkel-Ordinatenabschnittsform y = (tan α) x + yo , in Achsen-Abschnittsform
32
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Schwarz.html
33
y−y1
x/xo + y/yo = 1, in Punkt-Steigungsform bzw. in Zwei-Punkte-Form x−x
=m=
1
y2 −y1
oder in der Parameter-Darstellung einer Geraden durch zwei Punkte mit
x2 −x1
Ortsvektoren po und p1 , also mit Richtungsvektor r = p1 − po ist z(t) = po + t r
für t ∈ R.
Die Hesse33 sche Normalform einer Geraden durch po mit Normalen-Vektor n ist
(p−po )·n = 0 für alle Punkte p auf der Geraden. Normieren zu |n| = 1 liefert mit
p · n − ρ = 0, wobei ρ = po · n der Abstand des Nullpunktes von der Geraden ist.
Allgemein ist p · n − ρ der Abstand eines beliebigen Punktes p von der Geraden
durch po und mit der Normalen n.
c
z.H. Führe die verschiedenen Geraden-Darstellungen etwa für x + y − 1 = 0
o
ineinander über.
Bem. Im Raum haben Geraden analoge Parameter-Darstellungen. Sie sind auch
als Schnitte zweier Ebenen darstellbar.
◦
Z.B. p(t, s) = po + t r1 + s r2 ist eine Parameter-Darstellung der Ebene im Raum
durch po , p1 und p2 , also mit etwa den beiden Richtungsvektoren ri = pi −po 6= 0.
Die Ebene entartet, wenn r1 und r2 linear abhängig sind (s.u.).
c
z.H. Analog zu Geraden in der Ebene entwickle für Ebenen im Raum die Dar-
stellungen durch die allgemeine Ebenen-Gleichung, in Achsenabschnittsform, und
in Hesse34 scher Normalform.
o
Def. Die Vektoren r1 , . . . , rm ∈ Rn heißen linear abhängig genau dann, wenn es
Koeffizienten c1 , . . . , cm ∈ R gibt, die nicht alle Null sind, so daß
m
X
ci ri = 0 ,
i=1
wenn sich also der Null-Vektor als eine nichttriviale Linearkombination der ri
ergibt. Vektoren, die nicht linear abhängig sind, heißen linear unabhängig. Zwei
linear abhängige Vektoren heißen kollinear, drei solche komplanar.
n linear unabhängige Vektoren erzeugenden Rn , d.h. jeder Vektor im Rn läßt
sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Sie
( bilden eine Basis des
0 falls i 6= j
Rn . Die Vektoren ei mit ei = (δi1 , . . . , δin ) und δij =
bilden
1 falls i = j
die kanonische Basis des Rn . δij heißt Kronecker35 -Symbol. Diese Basis ist eine
Orthonormal-Basis, d.h. eine Basis von paarweise orthogonalen, normierten BasisVektoren, kurz ei · ej = δij .
Bem. Die Darstellung x = (r1 , . . . , rn ) = ni=1 (x · ei ) ei gilt – mit geometrischer
Entsprechung – für jede Orthonormal-Basis (ei ) und erlaubt Orthonormal-BasisTransformationen.
◦
P
Def. Für r = (rx , ry , rz ) ∈ R3 und s = (sx , sy , sz ) ∈ R3 heißt der Vektor
33
34
35
Ludwig Otto Hesse (1811-1874)
Leopold Kronecker (1823-1891)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hesse.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kronecker.html
numerik.pdf
heath.pdf

34

e
ry sz − rz sy
ry rz rx ry
x rx sx 

3
× × ×
oder per ey ry sy r × s = rz sx − rx sz  ∈ R per
ez rz sz sy sz sx sy
rx sy − ry sx
(also vermittels einer symbolischen Determinanten) äußeres Produkt, Kreuz- oder
Vektor-Produkt und ist nur im R3 definiert!
Z.B. Das Drehmoment M = r × F ist das Vektorprodukt von Ortsvektor r (vom
c
Ursprung zum Kraftangriffspunkt) mit dem Kraftvektor F.
Z.B. Fließt durch einen Leiter l in einem Magnetfeld der Induktion B der Strom
I, so wird auf den Leiter die Kraft F = I(l × B) ausgeübt.
c
Satz Das Vektorprodukt hat folgende Eigenschaften:
1. r × s steht senkrecht auf r und s. Die drei Vektoren r, s und r × s bilden
in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
2. |r × s| = |r||s| sin ϕ, wobei ϕ der von r und s eingeschlossene Winkel sei.
|r × s| ist damit der Flächeninhalt des durch r und s aufgespannten Parallelogrammes. r × s = 0 genau dann, wenn r||s, d.h. wenn r und s kollinear.
3. r × s = −s × r
(Antikommutativität)
4. c(r × s) = (c r) × s = r × (c s) für jedes c ∈ R
5. r × (s + t) = (r × s) + (r × t)
(Distributivität)
Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ: meist also (r×s)×c 6= r×(s×c).
2
2
2
2
2
•
2
2
|r × s| = |r| |s| (1 − cos ϕ) = |r| |s| sin ϕ wird durch Einsetzen √
in
2 2
2
|r × s| = r s − (r · s) gezeigt.
Bew.
2
z.H. Zeige (r × s) · r = 0 und (r × s) · s = 0.
Zeige ex × ey = ez , ey × ez = ex und ez × ex = ey .
Z.B. Das Dreieck po , p1 und p2 hat die Fläche
1
|(p1
2
o
− po ) × (p2 − po )|.
c
Z.B. Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ: für r = (1, 1, 0), s = (1, 0, 1) und
c = (0, 1, 1) gilt (r × s) × c = (0, −1, 1) 6= (1, −1, 0) = r × (s × c).
c
z.H. Finde weitere Beispiele. Zeige (r×s)×t = r×(s×t) ⇔ (s·t)r = (r·s)t.
o
Satz r × (s × t) = (r · t)s − (r · s)t
(Grassmann36 scher Entwicklungssatz)
(r × s)(c × d) = (r · c)(s · d) − (r · d)(s · c)
(Identität von Lagrange37 ).
•
Bew. Der Grassmann’sche Entwicklungssatz wird komponentenweise durch Einsetzen bewiesen.
Mit u = t × d folgt aus (r × s)(t × d) = (r × s)u = r(s × u) = r(s × (t × d)) =
36
37
Hermann Grassmann (1809-1877)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Grassmann.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lagrange.html
35
r((s · d)t − (s · t)d) mit dem Grassmann’schen Entwicklungssatz die Identität von
√
Lagrange.
In der Ebene liegt der Punkt r links von der Geraden durch p und q,
mit
 Orientierung
  also von
 p nach q, genau dann, wenn die z-Komponente von
rx − px
qx − px

 

 ry − py  ×  qy − py , also die z-Komponente des Vektor-Produktes der bei0
0
den als Vektoren im R3 aufgefaßten Vektoren r − p und q − p positiv ist. So
entscheidet man in der Computer-Graphik, ob Punkte sichtbar oder verdeckt
sind.
c
Z.B.
Def. Der Skalar [r, s, t] := (r × s) · t heißt Spat-Produkt von r, s und c.
Satz Das Spat-Produkt hat folgende Eigenschaften:
1. Das Spat-Produkt (r × s) · t entspricht dem Rauminhalt des durch die
Vektoren r, s und t aufgespannten Spates oder Parallelepipeds. Das SpatProdukt ist positiv, wenn die Vektoren r, s und t ein Rechtssystem bilden:
[r, s, t] = [t, r, s] = [s, t, r] sowie [r, r, s] = 0 und [ex , ey , ez ] = 1
2. [r, s, t] = −[s, r, t] = −[r, t, s] = −[t, s, r]
3. [c r1 + d r2 , s, t] = c[r1 , s, t] + d[r2 , s, t]
(Antikommutativität)
(Distributivität)
Die beiden letzten Eigenschaften liefern die Distributivität auch den beiden anderen Faktoren.
•
Z.B. Der Rauminhalt des durch r, s, t definierten Prismas beträgt
derjenige des Tetraeders beträgt
1
|[r, s, t]|.
6
1
|[r, s, t]|,
2
c
Z.B. Die Punkte p der Ebene durch drei Punkte pi = (xi , yi , zi ) sind durch
[p − p1 , p2 − p1 , p3 − p1 ] = 0, diejenigen der Ebene durch p1 und p2 mit Richtungsvektor r durch [p − p1 , p2 − p1 , r] = 0 und diejenigen der Ebene durch p1
mit Richtungsvektoren r1 und r2 durch [p − p1 , r1 , r2 ] = 0 gegeben.
c
3.2
Matrizen
Matrizen sind ein geeignetes Hilfsmittel zur Formulierung von linearen Gleichungssystemen (LGS), Transformationen von Vektor-Räumen, Anwendungen
der finite Elemente Methode (FEM), Berechnung von Schnitten, Bestimmung
der Koeffizienten in Linear-Kombinationen von Basis-Vektoren etc.
Z.B. Das LGS (zwei Gleichungen in den beiden Unbekannten x und y)
ax + by = e
cx + dy = f
BDH 4.3, 181
BHW Bd.I 6.1,458
BrSe 4.1, 221
Pap Bd.2 I 1, 1
Sti 5.4, 198
Stö TB 9.1, 394
!
x
e
läßt sich kompakt als K
=
y
f
schreiben.
!
36
!
a b
mit K =
, der Koeffizienten-Matrix
c d
c
Z.B.
des R2 um den Ursprung
! Die Rotation
!
! mit Drehwinkel α ist gegeben durch
x
x
cos α − sin α
→ Rα
mit Rα =
oder durch (x, y) → (x, y)Rα0 .
y
y
sin α cos α
c
Def. Eine rechteckige Anordnung von Koeffizienten aij in m Zeilen und n Spalten
heißt m × n-Matrix A = (aij ), nämlich

a11

 a21
A=
 ..
 .
a12
a22
..
.
a13
a23

. . . a1n
. . . a2n 

.. 
 = (aij )ij == 1,1,......,,m
n
. 
am1 am2 am3 . . . amn
aij sind die
Elemente
der Matrix A, die auch als Zeile (Vektor) von Spaltenvekto

a1j
 . 

ren a.j = 
 ..  oder als Spalte (Vektor) von Zeilenvektoren ai. = (ai1 , . . . , ain )
amj
aufgefaßt werden kann. Zwei Matrizen A und B sind identisch, A = B, genau
dann, wenn sie vom selben Typ sind und Element-weise übereinstimmen.
Def. Die zur m × n-Matrix A = (aij ) transponierte Matrix ist die n × m-Matrix
A0 = At = A> = (aji ) (Vertauschung von Zeilen und Spalten).
Def. Eine n × n-Matrix heißt quadratisch. Die Elemente (aii ) bilden die Hauptdiagonale.
Def. Eine quadratische Matrix A = (aij ) heißt symmetrisch genau dann, wenn
A = A0 oder eben (aij ) = (aji ) für alle Elemente gilt.
Def. Eine Matrix, die nur in der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Elemente enthält, heißt Diagonalmatrix.
Def. Die quadratische n × n-Matrix E = I = En = In = (δij )i=1,...,nj=1,...,n heißt
Einheitsmatrix. Die Elemente der nicht notwendig quadratischen Null-Matrix 0
sind alle Null.
Def. Zwei Matrizen A und B sind identisch genau dann, wenn sie vom selben
Typ (also beide m × n-Matrizen) sind und wenn (aij ) = (bij ) gilt.
Def. Die Summe C = A + B zweier Matrizen vom selben Typ wird Elementweise gebildet: (cij ) = (aij + bij ) für alle i und j.
Wegen der Assoziativität und Kommutativität der Addition reeller oder komplexer Zahlen ist auch die Addition von Matrizen assoziativ und kommutativ.
z.H. Zeige Assoziativität und Kommutativität der Matrizen-Addition.
o
Def. Die Multiplikation einer Matrix A mit einem skalaren Faktor c wird Element-weise gebildet: B = cA, wobei (bij ) = (c aij ) gilt.
37
z.H. Zeige Distributivität, also (c + d)A = c A + d A und c(A + B) = c A + c B
o
für Matrizen A und B und Skalare c und d.
Bem. Die Menge der m × n-Matrizen bilden bzgl. der Matrizen-Addition und
der Skalar-Multiplikation einen Vektorraum.
◦
Def. Das Produkt AB einer m × k-Matrix A mit einer k × n-Matrix B ist
die m × n-Matrix C, deren Element cij durch das skalare Produkt des i-ten
Zeilenvektors (ai. ) mit dem j-ten Spaltenvektor (b.j ) gegeben ist:
cij =
k
X
B
A AB
aiν bνj
ν=1
B
A AB
C
...
ABC
Matrizen multipliziert man mit dem Multiplikationsschema nach Falk.
Satz Eigenschaften der Matrizen-Multiplikation:
1. (AB)C = A(BC)
(Assoziativität)
2. A(B + C) = AB + AC
(Distributivität)
Die Matrizen-Multiplikation ist nicht kommutativ, also meist AB 6= BA.
Z.B. I.a.R. ist
1 0
0 0
!
!
!
!
!
a b
a b
a 0
a b
=
6=
=
c d
0 0
c 0
c d
•
!
1 0
.
0 0
c
z.H. Zeige die Assoziativität und die Distributivität der Multiplikation von Ma-
trizen.
o
Def. Die Null-Matrix 0 (alle Elemente sind Null) ist das Null-Element der
Matrizen-Addition: A + 0 = 0 + A = A, die (quadratische) Einheitsmatrix
E = I = (δij ) ist das Eins-Element der Multiplikation quadratischer Matrizen:
EA = AE = A. Falls es zu einer n × n-Matrix A eine n × n-Matrix A−1 mit
A A−1 = A−1 A = E gibt, so heißt A regulär oder invertierbar und A−1 die zu
A inverse Matrix. Nicht-reguläre Matrizen heißen singulär.
Bem. Es gilt (A + B)0 = A0 + B0 , (AB)0 = B0 A0 und (A0 )−1 = (A−1 )0 .
◦
Z.B. Skalierung, Scherung und Rotation lassen sich als Matrix-Transformation
T : v → Tv mit Spalten-Vektoren v und entsprechenden Transformationsmatrizen T auffassen. Für Translation oder Perspektive existieren solche Transformationsmatrizen allerdings nur in homogenen Koordinaten!
c
Exkurs Iterative Function Systems (IFS), also Sätze affiner Transformationen, ifs.cc
bieten eine effiziente Möglichkeit, fraktale Objekte zu erzeugen. IFS finden ihre ifs.exe
wichtigste Anwendung in der (fraktalen) Bildkompression.
Z.B. Hier zunächst nur die elegante Darstellung linearer Gleichungssysteme als
Ax = b mit Koeffizienten-Matrix A, Spalten-Vektor x der Unbekannten und
Spalten-Vektor b der Ergebnisse.
c
3.3
38
Determinanten
Das Beispiel eines LGS zu Anfang des vorangehenden Abschnittes
ax + by = e
cx + dy = f
!
!
ab
x
e
oder mit A =
,x=
und b =
cd
y
f
!
eben Ax = b
kann man lösen, indem man die erste Gleichung mit −d/b multipliziert und
zur zweiten addiert. Auflösen liefert x = (ed − f b)/(ad − bc) und analog y =
(f a − ec)/(ad − bc). Das LGS ist nur dann lösbar, wenn der gemeinsame Nenner,
die sogenannte Determinante der Koeffizienten-Matrix
D = |A| =
a
c
b = ad − bc
d
nicht Null wird. Mit dieser Definition einer Determinante lassen sich auch die
Zähler ausdrücken und damit die Lösung als
a b 1 e b 1 a e x = und y =
mit D = c d
D f d D c f angeben (Cramer38 sche Regel für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten).
Determinanten ordnen also Matrizen Zahlenwerte (Skalare) zu, die (rekursiv)
als Linearkombination der Determinanten gewisser Untermatrizen zu bestimmen
sind.
Def. Die Determinante |A| einer n × n-Matrix A = (aij ) heißt Determinante
n-ter Ordnung. Die Determinante der Untermatrix, die durch Streichen der i-ten
Zeile und k-ten Spalte gewonnen wird, multipliziert mit (−1)i+k (Schachbrett!)
heißt die Adjunkte Aik des Elementes aik . Dann ist die Determinante der n × nMatrix A gegeben durch (Entwicklungssatz von Laplace39 )
n
X
det(A) = |A| =
n
X
aik Aik =
k=1, i=const.
aik Aik
i=1, k=const.
Aus dieser konstruktiven Definition sind nun bestimmte Eigenschaften abzuleiten!
Z.B. Entwicklung
einer
3 × 3-Determinante nach der ersten Zeile:
|A| =
a
11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a
a
22 a23 21
a11 − a12 a31
a32 a33 a
a23 21 a22 =
+ a13 a31 a32 a33 = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 )
= a11 a22 a33 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 .
38
39
Gabriel Cramer (1704-1752)
Pierre Simon Laplace (1749-1827)
c
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cramer.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Laplace.html
39
Dasselbe Resultat ergibt sich bei der Berechnung der Determinante nach der nur
für 3 × 3-Matrizen gültigen Regel von Sarrus40 : man subtrahiere von der Summe der Produkte der Elemente auf den drei Parallelen zur Hauptdiagonalen die
Summe der Produkte der Elemente auf den drei Parallelen zur Nebendiagonalen.
+
+
a11
a21
+
a12
@
@
a31
−
a13
a12
a22
@
@
@
@
a32
@
@
@
@
−
a23
a33
a21
a31
a12
a22
@
@
a32
−
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
Z.B. Determinanten von oberen oder unteren Dreiecksmatrizen sind das Produkt
der Diagonal-Elemente. Insbesondere ist |En | = 1.
Z.B. Das Spat-Produkt läßt sich als [a, b, c] = (a×b)·c =
c
a
x
bx
cx
ay
by
cy
az bz darstellen.
cz Determinanten berechnen also Volumina.
c
Z.B. Das Vektor-Produkt läßt sich
(Entwicklung
als symbolische
Determinante
nach erster Zeile/Spalte) a × b =
e
x
ax
bx
ey ez ex ax bx ay az = ey ay by auffassen.
b y b z e z az b z c
z.H. Verifiziere obige Beispiele. Zeige, daß die Determinante von Matrizen mit
unterhalb oder oberhalb der Nebendiagonalen verschwindenden Elementen gleich
dem negativen Produkt der Nebendiagonal-Elemente ist.
o
Satz Eigenschaften von Determinanten:
1. Es gilt |A| = |A0 |.
2. Sei die Matrix A = (a.1 , . . . , a.n ) geschrieben als Zeile von Spaltenvektoren.
Für Vielfache von Spaltenvektoren gilt wegen des Entwicklungssatzes von
Laplace für jedes j = 1, . . . , n
|(a.1 , . . . , γa.j , . . . , a.n )| = γ |(a.1 , . . . , a.j , . . . , a.n )| .
Für Summen a.j = b.j + c.j von Spaltenvektoren gilt wegen des Entwicklungssatzes von Laplace für jedes j = 1, . . . , n
|(a.1 , . . . , b.j + c.j , . . . , a.n )| = |(a.1 , .., b.j , .., a.n )| + |(a.1 , .., c.j , .., a.n )| .
Entsprechendes gilt für Matrizen, geschrieben als Spalte von Zeilenvektoren.
40
Pierre Francais Sarrus (1789-1861
40
3. Ist eine Zeile (Spalte) von A identisch Null, so gilt |A| = 0 (Laplace).
4. Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) kehrt das Vorzeichen der Determinante
um (zweimal Laplace). Daher ist auch die Determinante von Matrizen mit
zwei identischen Zeilen (Spalten) Null.
5. Die Determinante bleibt unverändert, wenn zu einer Zeile (Spalte) eine
Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) addiert wird (Laplace), und – verallgemeinert – wenn zu einer Zeile (Spalte) eine Linearkombination anderer
Zeilen (Spalten) addiert wird.
6. Determinanten von Matrizen mit linear abhängigen Zeilen- (Spalten-) Vektoren sind Null.
Wegen |A| = |A0 | gelten also alle Aussagen gleichermaßen in der Spalten- wie
auch auch in der Zeilen-Version.
•
Bem. Im Gegensatz zur Multiplikation λ(aij ) = (λaij ) einer Matrix (aij ) mit einem Skalar c, wo ein allen Elementen gemeinsamer Faktor vor die Matrix gezogen
werden kann, gilt für Determinanten, daß ein den Elementen einer einzigen Spalte oder Zeile gemeinsamer Faktor vor die Determinante gezogen werden kann:
|(a.1 , . . . , ca.j , . . . , a.n )| = c |(a.1 , . . . , a.j , . . . , a.n )|.
◦
o
z.H. Klarmachen durch Ausschreiben!
Z.B. Für die Vandermonde41 sche Matrix Vn =
(xj−1
)i,j=1...n
i
gilt
n−1 2
2
1 x
0
1 x1 . . . x 1
1 x1 x1 . . .
n−1
n−2
n−1
1 x2 x22 . . . x2 1 x2 x22 . . . x2 − x1 x2 |Vn | = ..
..
=
.
.
2
n−1
n−2
1 xn x2n . . . xn−1
1 xn xn . . . xn − x1 xn n
1
0
0
...
0
n−2 1 x2 − x1 (x2 − x1 )x2 . . . (x2 − x1 )x2 = ..
.
n−2 1 xn − x1 (xn − x1 )xn . . . (xn − x1 )xn
n−2 2
1 x
2 x2 . . . x 2
n−2 n
n
Y
Y
Y
1 x3 x23 . . . x3 =
=
(xi −x1 ) (xi −x1 )|Vn−1 | =
(xi −xj )
..
i=2
.
i=2
i>j
n−2 1 xn x2n . . . xn
mit vollständiger Induktion.
41
Alexandre Vandermonde (1735-1796)
c
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Vandermonde.html
3.3.1
41
Cramersche Regel
Die Anwendung der Determinanten-Rechnung liefert ein weiteres, wenn auch völlig ineffizientes (!) Verfahrung zur Lösung eines LGSs. Gegeben sei das (lösbare)
LGS Ax = b mit n Gleichungen in n Unbekannten. Aufsummieren des aij P
fachen der i-ten Gleichung des LGS nk=1 aik xk = bi für i = 1, . . . , n liefert für
j = 1, . . . , n die Gleichungen
x1
n
X
ai1 aij + x2
i=1
n
X
ai2 aij + . . . + xn
i=1
n
X
ain aij =
i=1
n
X
aij
i=1
n
X
aik xk =
n
X
bi aij
i=1
k=1
Da für j, k = 1, . . . , n (für j = k Laplace42 , für j 6= k zwei identische Spalten)
n
X
aik aij = δjk |A| und damit
i=1
n
X
aij
i=1
n
X
aik xk =
k=1
n
X
xk
k=1
n
X
aik aij = xj |A|
i=1
gilt, folgt unmittelbar die Cramer43 sche Regel für j = 1, . . . , n
Pn
i=1 bi aij
xj =
|A|
=
1
|A|
a11
a21
an1
Alternativ folgt aus Ax = b oder
. . . a1,j−1 b1 a1,j+1 . . . a1n . . . a2,j−1 b2 a2,j+1 . . . a2n .
..
..
..
.
.
.
. . . an,j−1 bn an,j+1 . . . ann Pn
i=1
a.,i xi = b eben auch
Dj := |(a.,1 , . . . , a.,j−1 , b, a.,j+1 , . . . , a.,n )|
=
=
!
n
X
a.,1 , . . . , a.,j−1 ,
a
.,i xi , a.,j+1 , . . . , a.,n i=1


n
X
X
a.,1 , . . . , a.,j−1 ,
a.,i xi −
a.,i xi , a.,j+1 , . . . , a.,n 
i=1
i6=j
= |(a.,1 , . . . , a.,j−1 , a.,j xj , a.,j+1 , . . . , a.,n )| = xj |A| .
o
z.H. Klarmachen durch Ausschreiben!
b ergeben sich als x1 =
(2 − 0)/3 =
Ergebnis.
2
.
3
1
2
Die Probe



43
!
 
1 2 3
x1
1

 
 
z.H. Löse Ax =  0 1 2 x2  = 2 = b mit Probe.
−1 1 1
x3
3
42
!
x1
1
=
=
x
2
2
1 1 2
1
/|A| =
/|A| = (3 − 4)/3 = − 3 und x2 = 0 2 3
bestätigt durch − 31 + 2 23 = 1 und 0 + 3 23 = 2 das
c
Z.B. Die Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax =
1 2
0 3
!
Pierre Simon Laplace (1749-1827)
Gabriel Cramer (1704-1752)
o
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Laplace.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cramer.html
3.3.2
42
weitere Anwendungen der Determinanten-Rechnung
Def. Zu einer n×n-Matrix A ist p(λ) = |A−λE| ein Polynom n-ten Grades. p(λ)
heißt das charakteristische Polynom von A. Seine n Nullstellen heißen Eigenwerte
von A. Die Lösungen x von (A − λE)x = 0, also die Vektoren x mit Ax = λx
heißen Eigenvektoren zum Eigenwert λ.
!
1 − λ
2 1 2
= (1 − λ)(3 − λ) die
Z.B. Ax =
hat wegen |A − λE| = 0
3 − λ
0 3
Eigenwerte 1 und 3.
c
z.H. Welchen Grad hat das Polynom p(λ) ? Was sind in p(λ) die Koeffizienten
von λn und von λ0 ?
o
Satz (Multiplikationssatz) Für zwei quadratische n × n-Matrizen A und B gilt
|AB| = |A| |B|.
•
Z.B. Für invertierbare (quadratische) Matrizen A gibt es die Matrix Ainv oder
auch A−1 mit A−1 A = E = A A−1 . Also gilt für solche Matrizen nicht nur
notwendigerweise |A| =
6 0 sondern zudem |A−1 | = |A|−1 .
c
!
!
1 2
1 2
z.H. Sind A =
oder B =
invertierbar?
3 6
3 4
o
!
a b0
Z.B. Für eine Matrix A =
mit quadratischer Untermatrix D gilt
c D
|A| = a|D− a1!c b0 |, da der!Multiplikationssatz
angewandt!auf das Matrix-Produkt
!
1 0
1 0
0
1 −ab
a b
a
0
1 −ab
=
=
A
eben die Behauptung
1
0
c
D
0
E
0
E
c
D
−
c
b
a
!
a
0
1 − a1 b0 liefert. Dabei ist b0 der transponierte
= |A| = A
c D − 1 c b0 0
E a
Zeilen-Vektor von b. Die Vektoren b und c sind Spalten-Vektoren der Dimension
n, wo D eine n × n-Matrix ist.
c
Mit Kenntnis der Eigenschaften von Determinanten sind die folgenden Aussagen
leicht zu verifizieren.
x y 1
z.H. Die Gleichung x1 y1 1 = 0 beschreibt die (einzige) Gerade durch die
x2 y2 1
beiden Punkte pi = (xi , yi ) für i = 1, 2.
o
2
x
x2
1
2
x2
x2
+ y2 x
+ y12 x1
z.H. Die Gleichung
+ y22 x2
2
3 + y3 x3
durch die drei Punkte pi = (xi , yi )
y
y1
y2
y3
für
1
1
= 0 beschreibt den (einzigen) Kreis
1
1
i = 1, 2, 3.
o
2
x
x2
z.H. 21
x2
x2
x y
x1 y 1
x2 y 2
x
3 y3
3
(einzige) Parabel
i = 1, 2, 3.
y 2 x y 1
1
y 2 x y 1
1
1
1
1
= 0 beschreiben die
= 0 oder gleichermaßen 2
1
y2 x2 y2 1
2
y3 x3 y3 1
1
y = y(x) bzw. x = x(y) durch die drei Punkte pi = (xi , yi ) für
o
x2
2
x1
2
x
2
2
x3
2
x4
y2 x y
y12 x1 y1
y22 x2 y2
z.H. Die Gleichung
y32 x3 y3
y42 x4 y4
parallele Ellipse durch die vier Punkte
3.4
43
1
1
1 = 0 beschreibt die (einzige) Achsen1
1
pi = (xi , yi ) für i = 1, 2, 3, 4.
o
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme spielen in vielen Bereichen von Naturwissenschaft und
Technik eine bedeutende Rolle: Netze der Elektrotechnik, Schnittprobleme der
Geometrie, Statik von Fachwerken, Interpolation usw.
Z.B. Schnitt der Geraden ax + by = e und cx + dy = f der Ebene.
c
Z.B. Schnitt der Ebenen {p ∈ R3 : (p · ni ) − ρi = 0} für i = 1, 2 im Raum.
c
Z.B. Zerlegung einer Kraft F = αa + βb + γc in Komponenten vorgegebener
c
Richtung.
Z.B. Entscheidung, ob Vektoren x1 , . . . , xn linear unabhängig sind, ob also aus
Pn
xi = 0 notwendigerweise ci = 0 für i = 1, . . . , n folgt oder nicht.
c
Z.B. Berechnung der Spannungen in Widerstandsnetzen aus Strömen und Leitwerten unter Verwendung der Kirchhoff44 schen Regeln.
c
Z.B. Umrechnung der RGB-Farbwerte (Rot-, Grün- und Blau-Intensitäten)
in die Y U V -Farbwerte (Helligkeit oder Luminanz Y und zwei Farbdifferenzwerte oder Chrominanz U und V ) gemäß Y = 0.2999 R + 0.587 G + 0.114 B,
U = 0.493 (B − Y ) und V = 0.877 (R − Y ).
c
Z.B. Polynom-Interpolation, also Bestimmung der Koeffizienten ai des InterpoP
lationspolynoms p(x) = ni=0 ai xi derart, daß das Polynom durch vorgegebene
sogenannte Stützstellen (xi , yi ) mit i = 0, . . . , n verläuft.
c
Z.B. Bestimmung der Eigenvektoren xλ mit Axλ = λxλ zu Eigenwerten λ einer
n × n-Matrix A.
c
i=1 ci
Def. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen in n Unbekannten
hat die Gestalt
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
..
.
= b1
= b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
44
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kirchhoff.html
BDH 4.4, 199
BHW Bd.II 2.2,92
BrSe 4.4, 240
Pap Bd.2 I 4, 65
Sti 5.2, 179
Stö TB 9.5, 421
44
oder in Matrix-Schreibweise mit der m × n-Koeffizienten-Matrix A = (aij ), dem
 
 
b1
x1
 
 
 b2 
 x2 
 

Vektor x der n Unbekannten x = 
 ..  und b =  .. , dem Ergebnis- oder
.
 . 
xn
bn
Störungsvektor,
Ax = b .
Ein Gleichungssystem heißt homogen, falls b = 0, sonst inhomogen. Ein LGS
braucht nicht lösbar zu sein. Ein LGS heißt unterbestimmt, wenn n > m und
überbestimmt, wenn n < m gilt.
Bem. Ein homogenes LGS hat stets die triviale Lösung x = 0. Die Gesamtheit
der Lösungen eines homogenen LGS bildet einen Vektorraum, da jede Linearkombination (cx + dy) von Lösungen x und y wieder eine Lösung (A(cx + dy) =
cAx + dAy = 0) darstellt.
Seien x und y Lösungen eines inhomogenen LGS. Dann ist 0 = Ax − Ay =
A(x − y) und damit x − y eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS. Die
Lösungsgesamtheit des inhomogenen LGS läßt sich also als Summe einer (beliebigen) Lösung des inhomogenen LGS, einer sogenannten Partikular-Lösung, mit
der Lösungsgesamtheit des zugehörigen homogenen LGS gewinnen.
Die Lösung des inhomogenen LGS ist eindeutig, wenn das homogene LGS nur
die triviale Lösung hat, wenn also die Zeilen von A l.u. sind.
◦
Bem. Die Cramersche Regel wie auch die im folgenden vorgestellten Verfahren,
wie Gauß45 sches Eliminations-, verkettetes Gauß- und Stifel46 sches AustauschVerfahren sind gleichermaßen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit
reellen wie komplexen Koeffizienten geeignet.
◦
3.4.1
Gauß’sches Eliminationsverfahren
Die Lösungsmenge eines LGS bleibt unverändert, wenn man
a) Gleichungen vertauscht,
b) Unbekannte durch Umbenennen vertauscht,
c) Gleichungen mit einem Skalar-Faktor multipliziert oder
d) Vielfache einer Gleichung zu einer anderen Gleichung addiert.
Das Eliminationsverfahren von Gauß besteht nun darin, die Matrix A eines LGS
durch die oben genannten Maßnahmen a) bis d) in Dreiecksgestalt oder – anders
45
ausgedrückt – das LGS mit n Unbekannten in ein LGS mit n − 1 Unbekannten, dieses in eines mit n − 2 Unbekannten usw. bis zuletzt in eines mit einer
Unbekannten zu überführen.
numerik.pdf
Sei o.B.d.A. a11 6= 0 (sonst a)). Multiplikation der ersten Gleichung mit 1/a11
und Addition des −ai1 -fachen der (neuen) ersten Gleichung zur i-ten Gleichung,
i = 2, . . . , m liefert (im ersten Schritt) ein äquivalentes LGS, also ein LGS mit
(1)
(1)
derselben Lösungsgesamtheit, in der Form (mit neuen Koeffizienten aij und bi )
(1)
(1)
(1)
x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
(1)
(1)
(1)
a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..
..
.
.
(1)
(1)
am2 x2 + . . . + amn xn = b(1)
m
Die Unbekannte x1 wird so in dem LGS der unteren m−1 Gleichungen eliminiert.
Nochmalige Anwendung dieses Verfahrens auf dieses reduzierte LGS liefert im
(1)
zweiten Schritt, wobei o.B.d.A. a22 6= 0
(2)
(2)
(2)
(2)
x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1
(2)
(2)
(2)
x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2
(2)
(2)
(2)
a33 x3 + . . . + a3n xn = b3
..
..
.
.
(2)
(2)
am3 x3 + . . . + amn xn = b(2)
m
Wiederholte Anwendung dieses Verfahrens eliminiert solange Unbekannte aus
dem restlichen LGS, bis es keinen Koeffizienten aik 6= 0 mehr gibt. Das in r
Schritten gewonnene System hat dann die Form
(r)
x1 + a12 x2 +
...
(r)
...
x2 + a23 x3 +
(r)
x3 + a34 x4 . . .
(r)
(r)
+ a1n xn = b1
(r)
(r)
+ a2n xn = b2
(r)
(r)
+ a3n xn = b3
..
..
.
.
(r)
xr + . . . + arn xn = b(r)
r
(r)
0 = br+1
..
.
0 = b(r)
m
r ≤ min(m, n) heißt Rang des LGS. Das LGS ist lösbar genau dann, wenn für
(r)
die Koeffizienten br+1 = 0, . . . , b(r)
m = 0 gilt. In einem lösbaren LGS sind n − r
Unbekannte frei wählbar. Die Lösungsgesamtheit ist dann (n − r)-parametrisch.
Die restlichen Unbekannten xr , xr−1 , . . . , x1 ergeben sich in dieser Reihenfolge
45
46
Michael Stifel (1486-1567)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Stifel.html
heath.pdf
46
durch Einsetzen. Man kann nämlich, beginnend mit der r-ten Gleichung, die
Unbekannte xν in der ersten bis (ν−1)-ten Gleichung eliminieren (ν = r−1, . . . , 2)
(r)
und erhält so sowohl die Lösbarkeitsbedingung br+1 = 0, . . . , b(r)
m = 0 als auch
die Abhängigkeit der xν für ν = 1, . . . , r von den frei wählbaren Parametern
xr+1 , . . . , xn
x1
(r)
(r)
(r)
+ a1,r+1 xr+1 + . . . + a1n xn = b1
(r)
(r)
(r)
x2
+ a2,r+1 xr+1 + . . . + a2n xn = b2
(r)
(r)
(r)
x3 + a3,r+1 xr+1 + . . . + a3n xn = b3
..
..
.
.
(r)
(r)
xr + ar,r+1 xr+1 + . . . + arn xn = b(r)
r
(r)
0 = br+1
..
.
0 = b(r)
m
Folgerung: Der Vektorraum von Lösungen eines homogenen LGS hat die Dimension n − r. Die Vektoren x(ν) für ν = 1, . . . , n − r mit
(r)
(r)
(r)
(r)
(r)
x(ν) = (b1 − a1,r+ν , b2 − a2,r+ν , . . . , br(r) − ar,r+ν , δ(r+1)(r+ν) , . . . , δn(r+ν) )
sind nämlich n − r linear unabhängige Lösungen.
Für n = r hat ein homogenes LGS also nur die triviale Lösung x = 0.
Folgerung: Ein LGS mit n Gleichungen ist genau dann für jede rechte Seite eindeutig lösbar, wenn das homogene LGS nur die triviale Lösung hat.
Falls das LGS für jede rechte Seite eindeutig lösbar ist, ist es erst recht für den
Null-Vektor als rechte Seite eindeutig lösbar. Damit ist das homogene System
eindeutig, also nur trivial lösbar. Wenn umgekehrt das homogene System nur die
triviale Lösung hat, so hat das LGS den Rang n. Damit liefert der Gaußsche
Algorithmus zu jeder rechten Seite eine Lösung.
Anwendungen des Gauß’schen Eliminationsverfahrens sind etwa Schnitt zweier
Geraden, einer Geraden mit einer Ebene oder Schnitt zweier Ebenen, Überführen der Parameter-Darstellung einer Ebene in die Ebenengleichung, Invertieren
einer Matrix, lineare (Un-) Abhängigkeit, Polynom-Interpolation usw.
Z.B. Bestimme den Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene, allgemein ax +
by + c = 0 und dx + ey + f = 0 oder speziell y = x − 1 und y = −x + 3 mit
dem Schnittpunkt (2, 1). Die parallelen Geraden y = x + 1 und y = x − 1 haben
keinen Schnittpunkt.
c
Z.B. Bestimme den Schnitt zweier Ebenen im Raum, allgemein ax+by+cz+d = 0
und ex + f y + gz + h = 0 oder speziell x + y + z = 1 und −x + y + z = 1 mit der
Schnittgeraden r(t) = (0, 1, 0) + t(0, −1, 1). Die parallelen Ebenen x + y + z = 1
und 2x + 2y + 2z = 1 haben keinen Schnittpunkt.
c
47
z.H. Zeige: Schnitt der beiden Ebenen x + y + z = 1 und 6x + 3y + z = 2 ist die
Schnittgerade r(t) = 13 (−2, 5, 0) + 3t (1, −4, 3).
o
Z.B. Die Kraft F = (16, 3, −6) soll in Komponenten mit den Richtungen a =
(5, 2, −1), b = (−3, 7, 1) und c = (4, 8, −2) zerlegt werden. Gesucht sind also α,
β und γ, so daß F = αa + βb + γc gilt. Mit dem Gauß-Algorithmus ergibt sich
α = 23/31, β = −55/31 und γ = 54/31.
c
Z.B. Interpolation der Funktion f (x) = sin x durch die Parabel p(x) = ax2 +bx+
c in den Stützstellen (0, sin 0), (π/2, sin(π/2)) und (π, sin π) liefert die Parabel
p(x) = −4π −2 x2 + 4π −1 x mit den Nullstellen 0 und π und dem Scheitel (π/2, 1).
Interpolation der Funktion f (x) = sin x durch die kubischen Polynome p(x) =
ax3 + bx2 + cx + d in den Stützstellen (0, sin 0), (π/2, sin(π/2)) und (π, sin π)
liefert die einparametrige Lösungsgesamtheit {p(x) = (2cπ −2 − 8π −3 )x3 + (8π −2 −
3cπ −1 )x2 + cx : c ∈ R}, die auch als Lösungsgesamtheit {p(x) = 2cπ −2 x3 −
3cπ −1 x2 + cx : c ∈ R} des homogenen Systemes plus eine partikuläre Lösung,
also etwa p(x) = −8π −3 x3 + 8π −2 x2 oder ebenso gut p(x) = −4π −2 x2 + 4π −1 x
aufgefaßt werden kann.
c
!
a b
z.H. Bestimme die Inverse der Matrix M =
, also die Matrix Minv = M−1
c d
mit M M−1 = E2 = M−1 M.
o
3.4.2
verketteter Gauß-Algorithmus – LU-Zerlegung
Der Gauß’sche Algorithmus transformiert die Matrix A eines LGS Ax = b in
eine obere Dreiecksmatrix







(r)
a11
(r)
...
a1n
(r)
(r)
a22 . . . a2n
.
..
. ..
0
a(r)
nn







x1
x2
..
.
xn












=
c1
c2
..
.






cn
Der Algorithmus von Gauß kann auch dazu benutzt werden, die Matrix A eines
LGS Ax = b in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L (lower), in deren
Hauptdiagonale nur Einsen stehen, mit einer oberen Dreiecksmatrix U (upper)
zu zerlegen: Ax = L Ux = b. Zerlegt wird unabhängig von der rechten Seite. Für
jede beliebige rechte Seite errechnet sich dann die Lösung in zwei Schritten
48
aus L Ux = Ly = b und Ux = y.
1
`21
..
.
1
u11 u12 . . . u1n
u22 . . . u2n
.
..
. ..
0
unn
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
..
..
.
.
0
...
`n1 `n2 . . . 1
an1 an2 . . . ann
Aus der Produkt-Darstellung L U für A ergibt sich die Berechnungsvorschrift für
die Elemente ìj von L und uij von U zu
u1j = a1j
i1
ì1 = ua11
für j = 1, . . . , n
für i = 2, . . . , n
und mit aij = nk=1 ìk ukj = ik=1 ìk ukj = jk=1 ìk ukj (da ìk = 0 für k > i
und ukj = 0 für k > j) für die Elemente in der i-ten Zeile47 aus denen der
vorangehenden Zeilen (die ìm und uim bestimmen sich nur aus schon berechneten
ìk und ukm .)
P
P
P
1
i-te Zeile von L ìm = umm
aim − m−1
k=1 ìk ukm
Pi−1
i-te Zeile von U uim = aim − k=1 ìk ukm
P
für m = 2, . . . , i−1
für m = i, . . . , n
Das Zwischenergebnis y berechnet sich dann (von oben nach unten) aus
y 1 = b1
und yi = bi −
i−1
X
ìk yk für i = 2, . . . , n
k=1
und das Endergebnis x (von unten nach oben) aus
yn
xn =
unn

und

n
X
1 
uik xk  für i = n − 1, . . . , 1
xi =
yi −
uii
k=i+1
Hinweis zur Numerik: x(0) als numerische Lösung von Ax = b weist den Rundungsfehler r = Ax(0) − b, das sogenannte Residuum auf. Die verbesserte Lösung
x(1) = x(0) +v genügt Ax(1) = Ax(0) +Av = b und damit gilt Av = −r. Falls x(0)
per verkettetem Gauß-Algorithmus, falls also schon A = L U berechnet wurde,
ergibt sich die Korrektur v einfach durch Einsetzen.
47
Die Elemente von L und U können statt zeilenweise auch spaltenweise berechnet werden
(vgl. Brauch/Dreier/Haacke, S.202ff).
49
Z.B. Bei verschwindenden Koeffizienten hilft es, Gleichungen umzustellen, z.B.
u11 u12
0 u22
0
0
1
0 0
0
2
`21 1 0
1
1
`31 `32 1
1
2
daß das Verfahren nicht
u13
u11 u12 u13
u23
0 u22 u23
u33
0
0 u33
in
zu überführen, so
3
1
0 0
1
1
1
1
`21 1 0
1
2
3
3
`31 `32 1
0
2
3
mehr aufgrund der Division durch Null abbricht.
c
z.H. Wieso läßt sich unter Verwendung des Multiplikationssatzes für Determi-
nanten aus den Diagonal-Elementen von U die eindeutige Lösbarkeit ablesen?
Was passiert im Fall homogener
Gleichungssysteme
mit
 linearer 

 nicht-trivialer
1 2
3
1 1 1



1
Lösungsgesamtheit, etwa A = 3 2
 oder A = 2 2 2 und was beim
2 0 −2
1 2 3
Auflösen für beliebige rechte Seiten?
o
3.4.3
Stifelsches Austauschverfahren (Auflösen und Einsetzen)
Das Austauschverfahren von Stifel reduziert das gegebene LGS Ax = b mit n
Unbekannten wie der Gauß’sche Algorithmus schrittweise auf ein LGS mit n − 1
Unbekannten. Austauschen besteht nun darin, etwa die erste Gleichung (falls
P
a11 6= 0) nach x1 aufzulösen: x1 = a111 (b1 − nk=2 a1k xk ) und in allen anderen
Gleichungen x1 durch diesen Ausdruck zu ersetzen, ’die Unbekannte x1 durch die
Konstante b1 austauschen’. Falls der Koeffizient von x2 nicht verschwindet, liefert
Auflösen etwa der zweiten Gleichung nach x2 einen Ausdruck für x2 , in dem x1
nicht mehr vorkommt. Einsetzen dieses Ausdruckes in allen anderen Gleichungen
’tauscht x2 gegen b2 aus’. Iteration dieses Verfahrens drückt bei Lösbarkeit zuletzt
die xi als Linearkombinationen der bj aus. Einsetzen der aktuellen Werte der bi
liefert die aktuelle Lösung, Rechnen mit den Symbolen bj die zu A inverse Matrix
A−1 .
Rechenschema: das Verfahren läßt sich gut formalisieren. Austauschen von xj stifel.cpp
gegen bi bedeutet
Auflösen der i-ten
Gleichung ai1 x1 + . . . + ain xn = bi nach xj ,
Pn
1
also xj = aij bi − k=1,k6=j aik xk und Ersetzen dieses Ausdruckes für xj in allen
anderen Gleichungen liefert in der ersten Gleichung
)x1 + . . . +
(a11 − a1j aai1
ij
a1j
b
aij i
+ . . . + (a1n − a1j aain
)xn = b1
ij
und in der letzten Gleichung
(an1 − anj aai1
)x1 + . . . +
ij
anj
b
aij i
+ . . . + (ann − anj aain
)xn = bn .
ij
50
Diese Operation überführt damit das Schema (vgl. Schema nach Falk)
b1
bi
x1 x2 . . . x j . . . x n
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
..
..
.
.
ai1 ai2 . . . aij . . . ain
..
..
.
.
bn an1 an2 . . . anj . . . ann
in das äquivalente Schema (invariant ist der Spaltenvektor links gleich der Matrix
multipliziert mit dem transponierten Zeilenvektor der Überschrift)
b1
x1
a11 − a1j aai1
ij
x2
a12 − a1j aai2
ij
...
...
..
.
bi
a1j
aij
...
xn
. . . a1n − a1j aain
ij
..
.
xj
− aai1
ij
− aai2
ij
...
..
.
1
aij
...
..
.
an2 − anj aai2
...
bn an1 − anj aai1
ij
ij
anj
aij
. . . ann − anj aain
ij
− aain
ij
Wiederholt man den Austauschschritt so oft, bis alle Unbekannten gegen ’Konstanten’ ausgetauscht wurden, so ergeben sich schließlich die Unbekannten xi als
Linearkombination der Konstanten bj .
Def. Die Spalte mit der auszutauschenden Veränderlichen, hier die j-te Spalte
heißt die Pivot-Spalte, die Zeile mit der auszutauschenden Konstanten, hier die ite Zeile, die Pivot-Zeile. Das in der Pivot-Zeile und Pivot-Spalte stehende MatrixElement heißt der Pivot48 . xj kann nur dann gegen bi ausgetauscht werden, wenn
der Pivot p := aij 6= 0.
Die folgende Rechenverfahren für den Austauschschritt speichert in der sogenannten Keller-Zeile die Quotienten − apiν für ν 6= j: so wird die mehrfache Berechnung
derselben Ausdrücke vermieden.
1. Setze pivot=a[i,j] und
setze Keller-Zeile keller[k]=-a[i,k]/pivot für k=1..n mit k!=j
2. Inkrementiere die Elemente außerhalb der Pivot-Zeile und außerhalb der
Pivot-Spalte um das Produkt aus dem gleichzeiligen Element der PivotSpalte und dem gleichspaltigen Element der Keller-Zeile
a[u,v]=a[u,v]+a[u,j]*keller[v] für u,v=1..n mit u!=i und v!=j
3. Setze Pivot-Element a[i,j]=1/pivot
4. Setze Pivot-Spalte a[k,j]=a[k,j]/pivot für k=1..n mit k!=i
48
Dreh-/Angelpunkt
51
5. Setze Pivot-Zeile a[i,k]=keller[k] für k=1..n mit k!=j
Bem. Geschickte Wahl des Pivot verbessert die Rechengenauigkeit des Verfahrens: so etwa geordnet nach absteigendem Betrag. Die Austauschregeln sind
unabhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten der das LGS beschreibenden
Matrix: das Austauschverfahren kann auch zur Lösung von LGS mit m Gleichungen in n Unbekannten verwendet werden.
◦
Z.B. Zum Invertieren von Matrizen, löst man das LGS y = Ax mithilfe des
Austauschverfahrens nach x auf. Sobald alle Unbekannten ausgetauscht sind,
enthält das Schema die inverse Matrix A−1 .
c
!
a b
c d
Z.B. Die Matrix A =
A
−1
=
w x
y z
sei zu invertieren. Gesucht ist also die Matrix
!
!
−1
mit A A
=E=
1 0
. Es ist also das lineare Gleichungs0 1
= 1 = b1
ax
+ bz = 0 = b2
system
in den Unbekannten w, x, y und z zu
cw
+ dy
= 0 = b3
cx
+ dz = 1 = b4
lösen. Austauschen der symbolischen Konstanten b1 gegen die Unbekannte w lie1
− ab y
=w
a
ax
+ bz = 0
fert w = a1 − ab y und damit c
, Austauschen von b2
ad−bc
+ a y
= 0
a
cx
+ dz = 1
aw
+ by
− ab y
1
a
gegen x liefert x = − ab z und damit
=
− ab z =
+ |A|
y
=
a
ad−bc
z=
a
c
a
w
x
, Austauschen
0
1
bc
+ a|A|
1
a
=w
= x
−c
von b3 gegen y liefert y = |A|
und damit
und letztlich
c
− |A|
= y
|A|
z = 1
a
a
Austauschen von b4 gegen z liefert z = |A| und damit das nach w, x, y und z auf− ab z
1
a
gelöste Gleichungssystem
bc
+ a|A|
b
− |A|
c
− |A|
a
|A|
=
=
=
=
w
x
, also insgesamt die Inverse
y
z
!
A
−1
=
1
|A|
d −b
.
−c a
c

52



1 −2 1
0 −2 3




z.H. Invertiere A = 2 3 −3. Zeige also A−1 = 15 −5 −5 5.
3 2 −2
−5 −8 7
−1


o

1+j
j
1−j
−4−14j −9−5j
1+30j


1 
3j 2+j  = 53 −11−12j 15−27j −37+3j 
z.H. Zeige  2
.
1−2j 1+j 1−j
1+30j −11−12j 13+19j
o
Bem. Wenn das Stifelsche Austausch-Verfahren also Ax = b für jede rechte
Seite löst, so insbesondere auch für b(i) = (δ1i , . . . , δni )0 mit i = 1, . . . , n. Es gibt
dann also Lösungen x(i) mit Ax(i) = b(i) für i = 1, . . . , n. Diese n Gleichungen
für Vektoren können als eine Gleichung A(x(1) , . . . , x(n) ) = (b(1) , . . . , b(n) ) = E
für Matrizen geschrieben werden. Also ergibt sich die Inverse A−1 von A zu
A−1 = (x(1) , . . . , x(n) ).
◦
!
a b
Z.B. Die Inverse von A =
c d
Verfahren, indem man x1 in
b1
b2
ergibt sich mit dem Stifelschen Austauschx1
a
c
Keller
gegen b2 mit d − bca =
|A|
a
x2
b
gegen b1 und x2 in
d
− ab
austauscht, so daß sich
x1
x2
1
a
b1
x1
b2
Keller
1
a
c
a
x2
− ab
bc
d−
a
− ac
b1
b2
bc
b
+ a|A| − |A|
und damit
c
a
− |A|
|A|
Keller
!
die Inverse A−1 =
3.4.4
1
|A|
d −b
ergibt.
−c a
c
Gauß-Seidel’sches Iterationsverfahren
Das Gauß49 -Seidel50 sche Iterationsverfahren ist ein Verfahren zur numerischen
Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dazu wird das LGS Ax = b nach jeder
der n Unbekannten in der Hauptdiagonalen aufgelöst:


n
X
1 
bi −
xi =
aij xj 
aii
j=1,j6=i
für i = 1, . . . , n
Ausgehend von einem Startvektor x(0) , werden damit jetzt iterativ verbesserte
Lösungen x(k) berechnet, wobei die im aktuellen Schritt schon verbesserten Komponenten auch gleich verwendet werden dürfen (Einzelschritt vs Gesamtschritt): numerik.pdf

(k+1)
xi
49
50
=
i−1
X
n
X
1 
(k+1)
(k)
bi −
aij xj
−
aij xj 
aii
j=1
j=i+1
Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896)
heath.pdf

für i = 1, . . . , n .
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Seidel.html
53
Das Verfahren konvergiert, wenn – möglicherweise nach Umordnung des Gleichungssystemes – die Hauptdiagonal-Elemente ’die Zeile dominieren’, d.h. wenn
P
|aii | > nj=1,j6=i |aij | für i = 1, . . . , n gilt.

(k+1)
xi
=
(k)
xi

i−1
n
X
X
1 
(k+1)
(k)
+
bi −
aij xj
−
aij xj 
aii
j=1
j=i+1
für i = 1, . . . , n .
Die Konvergenz des Verfahrens kann übrigens für bestimmte Typen von Matrizen
verbessert werden: in die sogenannten Korrekturform

(k+1)
xi
=
(k)
xi

i−1
n
X
X
1 
(k+1)
(k)
(k)
(k)
bi −
aij xj
−
aij xj  = xi + di
+
aii
j=1
j=i
wird der sogenannte Relaxationsparameter 0 < ω < 2 eingeführt. Die Iteration
(k+1)
xi
(k)
(k)
= xi + ω di
kann für 1 < ω < 2 (Überrelaxation, successive overrelaxation, SOR)
Konvergenzgeschwindigkeit erhöhen.
die
z.H. Programmiere das Gauß-Seidel-Verfahren für verschiedene Abbruch-Krite-
rien, z.B. |x(k+1) − x(k) | < ε, und den Startwert x(0) und vergleiche die eigenen
Lösungen mit den Lösungen von Bibliotheksfunktionen. Zur Numerik vgl. auch
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/heath.pdf
o
3.5
Def. Sei A eine reelle n × n-Matrix. Dann heißt 0 6= x ∈ Rn Eigenvektor zum
Eigenwert λ ∈ C genau dann, wenn Ax = λx.
Bem. Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache eindeutig bestimmt: mit
x ist für jedes c ∈ R auch c x Eigenvektor zum Eigenwert λ.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ bilden einen Unter-Vektor-Raum des Rn .
A aufgefaßt als Transformationsmatrix operiert sehr einfach auf Eigenvektoren:
A streckt oder staucht Eigenvektoren.
◦
Bem. Eigenvektoren sind Lösungen von (A − λI)x = 0. Nicht-triviale Lösungen dieses LGSs existieren nur, wenn p(λ) = |A − λI| = 0. Das Polynom p(λ)
heißt charakteristisches Polynom von A. p hat den Grad n. Eigenwerte sind also
Nullstellen von p.
◦
!
z.H. Berechne Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren zu I, c I,
tationsmatrizen, Diagonal-Matrizen usw.
0 1
, Ro1 0
o
4
54
Funktionen
Funktionen sind das Hilfsmittel zur Beschreibung physikalischer und technischer
Vorgänge: die Temperatur ist eine Funktion von Ort und Zeit, der Strom ist eine
Funktion von Spannung und Widerstand, etc.
BDH 2, 37
BHW Bd.I 1.3, 48
BrSe 2, 35
Pap Bd.1 III 1,109
Sti 1.4, 20
Stö A1 4, 58
Stö TB 5, 125
Def. Eine Funktion f : D → B ist eine Abbildung einer Definitionsmenge D in
eine Bildmenge B, die jedem Element x ∈ D genau ein Element f : x 7→ y =
f (x) ∈ B zuordnet.
Eine Funktion heißt surjektiv genau dann, wenn f (D) = B.
Eine Funktion heißt injektiv genau dann, wenn f (x) = f (y) ⇒ x = y.
Eine Funktion heißt bijektiv, eineindeutig oder umkehrbar eindeutig genau dann,
wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Z.B. Vektoren, Determinanten, n-te Primzahl, n-te Stelle der Dezimalbruchdar-
√
√
stellung von π, sgn x, |x|, x2 , + x und − x, sin x, tan x, ex , ln x usw. oder auch
komplexwertig ejt , z 2 , ez usw.
c
y
6
y = f (x)
y5
y4
y3
y2
y1
-
x1
x2
x3
x4
x5
x
In der Darstellung einer Funktion f durch die explizite Funktionsgleichung y = numerik.pdf
heath.pdf
f (x) heißt y die abhängige Variable und x die unabhängige Variable.
Eine Funktion f kann auch durch implizite Funktionsgleichungen F (x, y) = 0
oder in Parameter-Form x = u(λ) und y = v(λ) mit λ ∈ L ⊂ R (vgl. Darstellung
durch einen Plotter), als Wertetafel yi = f (xi ) für i = 1, . . . , n oder durch ein
Diagramm, den Funktionsgraphen {(x, f (x)) : x ∈ D} dargestellt werden. Man
unterscheidet Cartesische und Polar-Koordinaten-Systeme.
Z.B. y = Anstieg x+ Ordinatenabschnitt,
55
y
x
+ Ordinatenabschnitt
Abszissenabschnitt
= 1 oder
Hesse sche Normalform (x, y) · (nx , ny ) − ρ = 0, allgemeine Geraden-Gleichung
ax + by + c = 0, Parameter-Darstellung p(t) = (x(t), y(t)) = (xo , yo ) + t(dx, dy),
usw.
c
51
Pn
xi , gebrochene oder rationale numerik.pdf
Funktionen f (x) =
mit Polynomen p und q, f (x) = xc mit 0 < c ∈ R, heath.pdf
dagegen Exponential-Funktionen f (x) = cx mit 0 < c ∈ R, trigonometrische
Funktionen sin, cos, tan und cot mit ihren Umkehr-Funktionen arcsin, arccos,
arctan und arccot, hyperbolische Funktionen sinh, cosh, tanh und coth mit ihren
Umkehr-Funktionen arsinh, arcosh, artanh und arcoth.
c
Z.B. Monome f (x) = xn ,Polynome p(x) =
p(x)
q(x)
i=0 ci
Bestimme jeweils den (maximalen) Definitionsbereich jeder der obigen
Funktionen.
o
z.H.
Z.B. Transformation etwa zwischen Polar√ und Cartesischen Koordinaten durch
(r, ϕ) → (r cos ϕ, r sin ϕ) und (x, y) → ( x2 + y 2 , arctan(y/x))
c
z.H. Was entspricht in Polar-Koordinaten dem Cartesischen Gitter?
o
z.H. Skizziere die in Polar-Koordinaten gegebenen Funktionen r = f (ϕ) = c,
r = ϕ für ϕ ∈ [0, 2π), r = eϕ für ϕ > 0.
o
√
2
2
2
Z.B. y = ± r2 − x2 , x + y = ro , r = f (ϕ) ≡ ro und in Parameter-Darstellung
x = ro cos ϕ und y = ro sin ϕ für 0 ≤ ϕ < 2π
c
√
y2
p
x2
b
2
2
Z.B. y = ± a a − x , a2 + b2 = 1, r = f (ϕ) = 1+ cos ϕ mit Exzentrizität
0 < < 1 und Parameter-Darstellung x = a cos ϕ und y = b sin ϕ für 0 ≤ ϕ < 2π. c
z.H. Stelle r = f (ϕ) = cϕ, r = f (ϕ) = cϕ + d (Archimedische Spirale) sowie
r = f (ϕ) = ϕc (hyperbolische Spirale) graphisch dar.
Stelle r = f (ϕ) = a| cos ϕ| für a > 0 und ϕ ∈ 2π (dreiblättrige Rose) graphisch
dar.
Bestimme Funktionsgleichungen in Cartesischen Koordinaten.
o
x
−x
Die hyperbolischen Funktionen sind durch sinh(x) = e −e
, cosh(x) =
2
sinh(x)
ex +e−x
ex −e−x
1
ex +e−x
, tanh(x) = cosh(x) = ex +e−x und coth(x) = tanh(x) = ex −e−x definiert.
c
2
Z.B.
z.H. Skizziere die Funktionsgraphen von quadratischen (Parabeln) und kubi-
schen Polynomen, der hyperbolischen Funktionen sowie
( diejenigen der charakte1 falls x ∈ M
ristischen Funktionen χM , definiert durch χM (x) =
für einige
0 sonst
Mengen M ⊂ R, also etwa M = [a, b], M = R+ = [0, ∞) oder M = Q.
o
z.H. Wie sieht χM (z) für M ⊂ C aus?
o
Def. Eine Funktion f : C, R ⊃ D → B ⊂ R, C heißt gerade bzw. ungerade genau
dann, wenn f (−x) = f (x) bzw. f (−x) = −f (x) für alle x ∈ D gilt.
Eine Funktion f : R ⊃ D → B heißt periodisch mit der Periode L genau dann,
wenn f (x + L) = f (x) für alle x ∈ D.
51
56
Z.B. f1 (x) = x2n , f2 (x) = x2n+1 , f3 (x) = sin x, f4 (x) = cos x, f5 (ϕ) = ejϕ .
c
z.H. Sind die Funktionen sinh x, cosh x, tanh x und coth gerade oder ungerade?
Sind sie periodisch?
o
Die Hintereinanderausführung von Funktionen g : B → C und f : D → B liefert
die Funktion g ◦ f : D → C mit g ◦ f : x 7→ g(f (x)).
Nur für eine bijektive Funktion ist die Umkehrfunktion oder inverse Funktion
f inv : B → D definiert, derart daß f inv ◦ f = IdD , also f inv (f (x)) = x für alle
x ∈ D und f ◦ f inv = IdB , also f (f inv (y)) = y für alle y ∈ B.
Die Umkehrfunktionen wird durch Vertauschen von abhängiger und unabhängiger Variabler und Auflösen bestimmt. Den Funktionsgraphen der Umkehrfunktion von f gewinnt man durch Spiegelung des Funktionsgraphen von f an der
Hauptdiagonalen.
Z.B. f (x) = ax + b mit f inv (x) = a1 (x − b), f (x) = −x mit f inv (x) = −x,
√
f (x) = x3 mit f inv (x) = 3 x, f (x) = x1 mit f inv (x) = x1 ,
f (x) = ex mit f inv (x) = ln(x)
Die Inversen der trigonometrischen Funktionen heißen Arcus-Funktionen, diejenigen der hyperbolischen Funktionen Area-Funktionen.
c
Skizziere die Funktionsgraphen der Area-Funktionen arsinh = sinhinv ,
arcosh = coshinv , artanh = tanhinv sowie arcoth = cothinv .
o
Verifiziere cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 für jedes x ∈ R.
z.H.
Bem. Für B ⊂ R oder B ⊂ C ist {f : D → B} ein reeller bzw. komplexer
Vektorraum, wenn die arithmetischen Operationen auf Funktionen für f, g : D →
B und Konstanten c durch (f + g)(x) = f (x) + g(x), (cf )(x) = cf (x) und
(f g)(x) = f (x)g(x) für jedes x ∈ D definiert sind.
◦
Z.B. Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen stellen Gleichun-
gen zwischen Summen und Produkten trigonometrischer Funktionen dar, etwa
sin(2x) = 2 sin x cos x oder cos(2x) = cos2 x − sin2 x.
c
Z.B. Die Menge der Polynome p : R → R vom Grad n bilden einen reellen
Vektor-Raum. Die Monome x0 , x1 , x2 , . . . , xn bilden eine Basis.
c
Zeige: Die Menge der Polynome f : R → R, die Mengen der geraden,
ungeraden und der periodischen Funktionen f : R → R mit der Periode L bilden
reelle Vektorräume.
o
z.H.
Bem. Die bijektiven Funktionen f : D → D bilden eine Gruppe bzgl. der
Hintereinanderausführung g ◦ f : D → D mit g ◦ f : x 7→ g (f (x)).
◦
z.H. Summe und Produkt bijektiver Funktionen sind in aller Regel nicht wieder
bijektiv. Finde Beispiele.
o
52
Horner -Schema zur Auswertung von Polynomen: Zur Berechnung eines Polynomes p vom Grad n wird p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + ao umgeformt in
52
William George Horner (1786-1837)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Horner.html
57
p(x) = ...((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + . . . + a1 x + ao und an der Stelle xo im
Horner-Schema ausgewertet (Pfeile entsprechen Multiplikation mit xo ):
an
an−1
an−2
an x o
(an x+an−1 ) xo
%
+
%
+
%
an an xo +an−1 (an xo +an−1)xo +an−2
...
ao
... (..(an xo +an−1 )xo +...+a1 ) xo
...
+
... (..(an xo +an−1)xo +..+a1)xo +ao
Rechts unten im Horner-Schema wird also der Funktionswert p(xo ) mit nur n
Additionen und n Multiplikationen berechnet53 .
z.H. Werte p(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4 in x = 2 aus. Vergleiche den Rechenaufwand
beim Einsatzen mit demjenigen bei Verwendung des Horner-Schemas.
o
Beobachtung: bei beschränkter Rechengenauigkeit gilt nicht notwendig
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + ao = (...(an x + an−1 ) x + an−2 ) x + . . . + a1 ) x + ao .
Z.B. Die Addition von Gleitkomma-Zahlen ist schon nicht assoziativ, d.h. es numerik.pdf
gilt nicht notwendig x + (y + z) = (x + y) + z. Sei nämlich etwa x = 1.5 · 1038 , heath.pdf
y = −x und z = 1.0. Dann gilt im Rahmen der durch den Rechner gegebenen
Genauigkeit x + (y + z) = 1.5 · 1038 + (−1.5 · 1038 + 1.0) = 1.5 · 1038 − 1.5 · 1038 =
0.0 6= 1.0 = (1.5 · 1038 − 1.5 · 1038 ) + 1.0 = (x + y) + z.
c
Im Horner Schema gilt für Polynome q(x) und p(x) = q(x)(x − xo ) + p(xo )
an
an−1
an−2
...
ao
an xo (an x+an−1 ) xo ... (..(an xo +an−1 )xo +...+a1 ) xo
% +%
+
% ...
+
Koeffizienten von q(x)
p(xo )
Für eine Nullstelle xo von p(x) gilt damit p(x) = q(x)(x − xo ) oder eben q(x) =
p(x)/(x − xo ).
z.H. Dividiere p(x) = x3 + 2x2 + 3x − 22 durch (x − 2), ‘schriftlich’ und per
Horner.
o
z.H. Verifiziere durch Polynom-Division, daß sich in der letzten Zeile des Horner-Schemas die Koeffizienten von p(x) ergeben.
o
4.1
Folgen
Für das Konzept der Konvergenz und damit für Eigenschaften wie Stetigkeit,
Differenzierbarkeit oder Integrierbarkeit, eben für die Infinitesimalrechnung sind
Zahlenfolgen grundlegend und unverzichtbar.
53
Bestimmte Prozessoren, z.B. Signalprozessoren, DSP, können in einem Takt eine Multiplikation und eine Addition, multiply and accumulate, MAC abarbeiten.
BDH 2.3, 48
BHW Bd.I 1.6, 98
BrSe 2.1, 43
Pap Bd.1 III 4,130
Sti 7.1, 259
Stö A1 9, 109
Stö TB 5.1, 125
58
Def. Eine Abbildung (Funktion) a : N → B, also mit an = a(n) ∈ B, der
natürlichen Zahlen in eine Bildmenge B heißt Zahlen-Folge (an )n=1...∞ .
Für B ⊂ N, Z, Q, R bzw. C handelt es sich um natürliche, ganze, rationale, reelle
bzw. um komplexe Zahlenfolgen.
Eine Zahlenfolge (an ) heißt beschränkt, falls |an | < c für alle n ∈ N und eine
Konstante c.
Eine Zahlenfolge (an ) heißt monoton steigend bzw. monoton fallend, falls an ≤
an+1 bzw. an ≥ an+1 für alle n ∈ N.
Eine Zahlenfolge (an ) heißt alternierend, falls sgn(an ) = − sgn(an+1 ) für alle
n ∈ N.
i!, 21i , 2i , (−1)i i+1
, Augenzahl beim i-ten Wurf eines Würfels, ej/i , ejicπ ,
i
sin i, Intervallschachtelungen zur Erzeugung von R, i-te Messung, ...
c
Z.B.
1
,
i
Def. h heißt Häufungspunkt einer Folge (an ) genau dann, wenn in jeder Umgebung von h unendlich viele Elemente der Folge liegen.
Bem. Etwa durch alle ‘Kreise’ U (xo ) = {x : |x − xo | < } um xo mit Radius sind alle Umgebungen von xo gegeben.
◦
hat einen Häufungspunkt. Die Folgen (−1)n + n1 und (−1)n
haben zwei Häufungspunkte. Die Folge der Augenzahlen beim n-ten Wurf eines
Würfels hat 6 Häufungspunkte. Die Folge der n-ten Ziffer im Dezimalbruch von
π hat 10 Häufungspunkte.
c
Z.B. Die Folge
1
n
z.H. Es gibt Folgen mit unendlich vielen Häufungspunkten, so z.B. Aufzählung
von Q per Diagonalverfahren von Cantor ohne Entfernung der ‘Mehrfach-Nennungen’.
o
√•
Satz Eine beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.
Bew. Intervallhalbierung
Def. Eine Folge (an ) heißt konvergent genau dann, wenn sie nur einen Häufungspunkt a = limn→∞ an hat, sonst divergent. Die Zahl a heißt Grenzwert
oder Limes der Folge (an ). Bestimmte Divergenz liegt genau dann vor, wenn
limn→∞ an = +∞ bzw. limn→∞ an = −∞, d.h. wenn für jede Schranke C nämlich an > C bzw. an < C für fast alle n ∈ N gilt.
Die geometrische Folge cn ist konvergent für |c| < 1 und c = 1, sonst
divergent, und zwar limn→∞ cn = +∞ für c > 1.
c
Z.B.
Satz Eine Folge (an ) konvergiert genau dann gegen a, wenn in jeder Umgebung
von a fast alle an liegen, d.h. alle an bis auf endlich vielen Ausnahmen.
•
•
Satz Eine beschränkte, monotone Folge ist konvergent.
2n−1
n+2
2n−1
n+2
Z.B. Die Folge an =
ist beschränkt, da an > 0 und an < 2 ⇔
<2⇔
2n+1
2n−1 < 2n+4. an ist monoton, da an < an+1 ⇔ 2n−1
<
⇔
(2n−1)(n+3)
=
n+2
n+3
2
2
2n + 5n − 3 < 2n + 5n + 2 = (2n + 1)(n + 2). Also ist an konvergent.
c
Def. (an ) heißt Nullfolge genau dann, wenn limn→∞ an = 0.
59
Rechnen mit den Grenzwerten von Folgen ist möglich, falls die Operanden, also
die einzelnen Folgen konvergent sind.
Satz Wenn (an )n=1,2,... und (bn )n=1,2,... zwei konvergente Zahlenfolgen sind, falls
also a = limn→∞ an und b = limn→∞ bn existieren, so gilt für jede Konstante c
c + n→∞
lim an = n→∞
lim (c + an )
c lim an = lim (can )
n→∞
und
lim an · lim bn = lim (an · bn )
und
n→∞
limn→∞ an
an
= lim
n→∞ b
limn→∞ bn
n
lim an + n→∞
lim bn = n→∞
lim (an + bn )
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
falls b 6= 0 und bn 6= 0 für alle n ∈ N
an ≤ bn für fast alle n ∈ N ⇒ n→∞
lim an ≤ n→∞
lim bn
•
Der Umkehrschluß gilt im Allgemeinen nicht!
Z.B.
3n+2
,
4n+3
2n
,
n!
rationale Funktionen in n,
p(E) =
limn→∞ hnn(E)
c
54
Def. Die Euler sche Zahl e ist durch
e = lim
n→∞
1
1+
n
n
n
n
X
oder auch durch
e = lim
n→∞
n
X
1
i=0 i!
definiert.
Bem. Die Folge
en =
1
1+
n
=
!
n 1
k nk
k=0
n
X
n
X
Y
i
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
1 k−1
1−
= 1+
=
1
+
k
k! n
n
k=1
k=1 k! i=0
i
kn
ist beschränkt: wegen 0 ≤ 1 −
1+
Pn
1
k=1 2k−1
< 1+
wegen 0 ≤ 1 −
i
n
≤1
P∞
1
k=0 2
i
− n+1
≤
≤ 1 und
= 1+
1
1− 12
1
k!
≤
1
2k−1
folgt 1 ≤ en = 1 +
Pn
1
k=1 k!
≤
= 3. Zudem ist en monoton steigend:
1 gilt nämlich
k−1
n
k−1
X
1 Y
i
1 Y
i
en+1 −en =
1−
−
1−
n+1
n
k=1 k! i=0
k=1 k! i=0
n+1
X
X
Y
n n
k−1 k−1 Y
1
i
1 Y
i
i
=
1−
+
1−
−
1−
≥ 0.
(n+1)! i=0
n+1 k=1 k! i=0
n+1 i=0
n
"
#
Aus Beschränktheit und Monotonie von (en ) folgt die Konvergenz.
z.H. Zeige die Konvergenz von e = limn→∞ en mit en =
◦
Pn
1
i=0 i! ,
also Monotonie,
d.h. en < en+1 , und Beschränktheit, d.h. 0 < en ≤ 3 wegen i! > 2i für i > 3, der
Folge (en ).
o
54
4.2
60
Stetigkeit
Vorbemerkung: Stetigkeit ist definiert nur für Funktionen zwischen solchen Definitions- und Bild-Mengen, in denen überhaupt Grenzwerte definiert sind: hier
werden nur (stetige) Funktionen f : D → W mit D ⊂ R oder D ⊂ C und W ⊂ R
oder W ⊂ C betrachtet.
Def. Eine Funktion f : D → B heißt stetig in xo ∈ D genau dann, wenn für
jede Folge (xn ) ∈ D mit limn→∞ xn = xo
f (xo ) = f ( lim xn ) = lim f (xn )
n→∞
n→∞
gilt. Konvergieren also die Argumente – wie auch immer – gegen xo , so konvergieren die Funktionswerte gegen f (xo ), kurz
f (xo ) = f ( lim x) = lim f (x) .
x→xo
x→xo
f heißt stetig auf D genau dann, wenn f in jedem xo ∈ D stetig ist.
Polynome und rationale Funktionen sind wegen ’Grenzwert-Arithmetik’
stetig, trigonometrische Funktionen anschaulich wegen Projektion der Kreisbewegung.
c
Z.B.
Bem.
stetige Funktionen machen keine Sprünge,
die Graphen stetiger Funktionen haben keine Lücken!
◦
Z.B. f (x) = |x| und rechtsseitige bzw. linksseitige Stetigkeit.
Gegenbeispiele: die auf R definierten
Funktionen sgn, χ[0,1] , χN und χQ sind nicht
(
1 falls x ∈ M
überall stetig, wobei χM (x) =
die charakteristische Funktion
0 sonst
einer Menge M ⊂ R bezeichnet.
c
z.H. Wo sind f (x) = x χQ + 1 χR\Q und g(x) = x χQ + x2 χR\Q stetig?
(
o
falls x = 0 oder x ∈ R \ Q
∈ Q mit p, q ∈ Z, (p, q) = 1
ist unstetig in jedem xo ∈ Q, da limn→∞ xn = pq = xo und limn→∞ D(xn ) =
n
limn→∞ 0 = 0 6= 1q für etwa xn = pq n+π
gilt, und stetig in jedem xo ∈ R \ Q:
für jedes > 0 ist (−, ) eine Umgebung von D(xo ) = 0. Wähle 1/ < n ∈ N
und δ > 0 so, daß (xo − δ, xo + δ) ∩ n1 Z = ∅ gilt. Aus |D(x)| < für jedes
x ∈ (xo − δ, xo + δ) folgt die Stetigkeit von D in irrationalen xo .
c
Z.B. Die Dirichlet 55 -Funktion D(x) =
0
1
q
für x =
p
q
Bem. Für B ⊂ R oder B ⊂ C ist {f : D → B, f stetig} ein reeller bzw.
komplexer Vektor-Raum. Die Hintereinanderausführung stetiger Funktionen ist
stetig. Mit f ist auch die zu f inverse Funktion f inv stetig.
◦
55
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html
61
q
2
z.H. Aufgrund der Relativitätstheorie gilt für die Masse m = m(v) = mo / 1− vc2
bei einer Geschwindigkeit v mit der Ruhemasse mo und der Lichtgeschwindigkeit
c ≈ 300000km/s. Was gilt für limv→c m(v) ?
o
sin x
x
Z.B. Stetige Fortsetzung/Ergänzung von z.B.
in x = 0: Zur Bestimmung
von
verwende die Näherung sin x ≈ x für |x| 1 oder vergleiche
im Einheitskreis die Fläche des einbeschriebenen Dreieckes 12 cos x sin x mit der
des Kreissektors 21 x (x im Bogenmaß) und der des umbeschriebenen Dreieckes
1
tan x. Aus
2
limx→0 sinx x
1
1
1
cos x sin x < x < tan x folgt
2
2
2
cos x <
x
1
<
.
sin x
cos x
Für x → 0 konvergieren obere und untere Grenze gegen 1. Also ist limx→0
m.a.W. f (x) = sinx x läßt sich durch f (0) := 1 in 0 stetig ergänzen.
sin x
x
= 1,
c
Untersuche Stetigkeit und stetige Ergänzbarkeit der beiden Funktionen
2 −x−1
2
und g(x) = x x−4
.
o
f (x) = x −3x+2
x−1
z.H.
z.H. Wodurch ist die Funktion f (x) =
den Funktionsgraphen.
4.2.1
xn −xn
o
x−xo
in xo stetig ergänzbar? Skizziere
o
Exkurs: stetige Kurven
Bem. Vektor-wertige Funktionen f : R ⊃ D → Rm , d.h. Funktionen mit Werten
im Rm mit m > 1, eben f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) sind genau dann in
xo ∈ D stetig, wenn alle Koordinaten-Funktionen fi in xo stetig sind.
◦
Z.B. pS (t =) = po + tr (Gerade oder Strecke), pK (t) = r(cos t, sin t) ∈ R2 (Kreis
oder Kreis-Bogen), pE (t) = (a cos t, b sin t) ∈ R2 (Ellipse oder Ellipsen-Bogen)
h
oder pH (t) = (r cos t, r sin t, 2π
t) ∈ R3 (Schraubenlinie oder Helix) sind demnach
stetige Kurven in der Ebene bzw. im Raum.
c
Z.B. Fraktale Kurven entstehen, wenn jedes Segment eines Start-Polygons durch fractals.cc
ein Generator-Polygon ersetzt wird. Zur Darstellung wird das Verfahren nach fractals.exe
einer Anzahl Generationen, d.h. bei vorgegebener Rekursionstiefe abgebrochen,
oder wenn die Polygonzug-Segmente zu klein werden. Fraktale Kurven sind stetig.
@
@
@
@
@
@
@
@
Start-Polygon und Generator-Polygon
In ähnlicher Weise lassen sich stetige Raum-füllende Kurven p : [0, 1] → R2 mit
{p(t) : t ∈ [0, 1]} = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 definieren, z.B. die Peano56 -Kurve.
c
56
Guiseppe Peano (1858-1939)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Peano.html
4.2.2
62
Nullstellen stetiger Funktionen
Def. Für f : D → B heißt xo ∈ D mit f (xo ) = 0 eine Nullstelle von f .
Die Bestimmung von Nullstellen ist die Grundlage für die Bestimmung von Extremwerten, Wendepunkten usw. Nullstellen stellen Nulldurchgänge dar: zu welchem Zeitpunkt sind etwa elektrische Leitungen spannungsfrei usw.
Satz (Bolzano57 ) Sei f in [a, b] ⊂ D stetig. Es gelte sgn f (a) = − sgn f (b) oder
gleichbedeutend f (a) f (b) < 1. Dann existiert xo ∈ [a, b] mit f (xo ) = 0.
√•
Bew. Intervall-Schachtelung oder genauer -Halbierung
Der Satz von Bolzano garantiert also auf konstruktive Weise für stetige Funktionen f mit sgn f (a) = − sgn f (g) die Existenz (mindestens) einer Nullstelle. Er
hat die Folgerung
Satz (Zwischenwertsatz) Eine auf [a, b] stetige Funktion mit f (a) 6= f (b) nimmt
in [a, b] jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an.
•
Z.B. Nullstellen quadratischer, kubischer Polynome; Nullstellen von ex , ln(x);
c
Nullstellen der trigonometrischen Funktionen (Periodizität)
Nullstellen lassen sich also durch Intervall-Schachtelung bestimmen.
√
z.H. Berechne per Intervall-Halbierung 3 als Nullstelle von p(x) = x2 −3.
o
numerik.pdf
heath.pdf
Statt Intervall-Halbierung verwende besser die regula falsi zur näherungsweisen numerik.pdf
Bestimmung von Nullstellen: anstelle des Funktionswertes an der Intervall-Mitte heath.pdf
untersuche den Funktionswert am Schnittpunkt der Sekanten durch (a, f (a)) und
(a)
(a)
= f (b)−f
die Gleichung
(b, f (b)) mit der x-Achse: für f (a)f (b) < 0 ist y−f
x−a
b−a
f (a)(b−a)
der Sekanten und xs = a − f (b)−f (a) die Abszisse des Schnittpunktes.
y
y
6
xo
a
x
3 x2
6
z.H. Berechne per regula falsi
a
-
x1
x
!!
!!
!
!
!
!
!
!!
x2 !x!3 !
!
!! x
x
o
√
3 als Nullstelle von p(x) = x2 − 3.
1
x
o
Darstellung von Polynomen als Produkt von Linearfaktoren: Division eines Polynomes vom Grad n durch einen Linearfaktor, i.e. Polynom vom Grad 1 liefert
Polynom vom Grad n − 1 plus Divisionsrest. Bei Division durch (x − xo ) mit
Nullstelle xo verschwindet der Divisionsrest.
57
Bernard Bolzano (1781-1848)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bolzano.html
63
Folgerung: Jedes Polynom p vom Grad n mit p(x) = an xn + . . . a1 x + ao läßt sich
als Produkt der n Linearfaktoren x − xi zu seinen n Nullstellen xi darstellen als
p(x) = an (x − x1 ) (x − x2 ) . . . (x − xn ) .
Bem. iterative Bestimmung der Nullstellen eines Polynomes durch Bestimmung
einer Nullstelle und Division des Polynoms durch den zu dieser Nullstelle gehörenden Linearfaktor: das resultierende Polynom hat einen um eins verminderten
Grad und dieselben (restlichen) Nullstellen.
◦
5
64
Differenzierbarkeit
Beispiele für Ableitung oder Differential, d.h. relative Änderung der abhängigen
Variablen relativ zur Änderung der unabhängigen Variablen, sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Strom als Änderung der Ladung in der Zeit, induzierte
Spannung als Änderung des Magnetfeldes usw.
Anwendungen sind beispielsweise die Bestimmung von Extremwerten, Nullstellen, Schnittwinkeln, Grenzwerten usw.
Vorbemerkung: Differenzierbarkeit kann es nur für Funktionen zwischen Mengen geben, in denen Grenzwerte, Differenzen und Quotienten überhaupt definiert
sind. Hier werden (wieder) nur (differenzierbare) Funktionen f : R ⊃ D → R,
f : R ⊃ D → C oder f : C ⊃ D → C betrachtet.
Def. Eine Funktion f : D → B heißt differenzierbar in xo ∈ D genau dann, wenn
der Grenzwert des Differenzen-Quotienten, der sogenannte Differential-Quotient
f (x) − f (xo )
∆f
f (xo + h) − f (xo )
= x→x
lim
= x→x
lim
(xo )
o
o ∆x
h→0
h
x − xo
f 0 (xo ) = lim
df existiert. ddxf (xo ) = dx
= f 0 (xo ) heißt Ableitung von f in xo .
xo
f : D → B heißt differenzierbar in D mit der Ableitung f 0 : D → B mit f 0 (xo ) =
df
(xo ) genau dann, wenn f in jedem xo ∈ D differenzierbar ist.
dx
y
6
f
y−yo
x−xo
(xo )
= f (xo +h)−f
h
y−yo
= f 0 (xo )
%
f (xo +h)
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
yo = f (xo )
%
!!
% !!!
%!
!
!
!
%
!
%
!!
!
!
%
%
%
%
xo
!
!!
!
!
! x−xo
!!
-
xo +h
x
BDH 5.1, 244
BHW Bd.I 3.1,212
BrSe 6.1, 277
Pap Bd.1 IV 1,256
Sti 7.3, 271
Stö A1, 22, 250
Stö TB 12.1, 273
65
Bem. Die Ableitung f 0 (xo ) entspricht also dem Grenzwert der Sekantensteigung
und damit der Tangentensteigung in xo (vgl. Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit)
◦
ds
dt
als Grenzwert von ∆s
für
∆t
∆t → 0, also als Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall der
Länge ∆t.
c
Z.B. Durch eine Spule mit Selbstinduktionskoeffizienten L fließe ein Strom ı =
dı
induziert.
c
ı(t). Dann wird die Spannung u(t) = Lı̇ = L dt
Z.B. Momentane Geschwindigkeit v(t) = ṡ(t) =
Bem.
differenzierbare Funktionen sind glatt,
Graphen differenzierbarer Funktionen haben keine Knicke!
◦
Def. Eine Funktion f : D → B heißt zweifach differenzierbar in xo ∈ D genau
dann, wenn
f 0 (x) − f 0 (xo )
f 0 (xo + h) − f 0 (xo )
= lim
x→xo
h→0
h
x − xo
f 00 (xo ) = lim
2
d
existiert. dx
(f 0 )(xo ) = ddxf2 xo = f 00 (xo ) heißt zweite Ableitung von f in xo .
f : D → B heißt zweimal differenzierbar in D mit zweiter Ableitung f 00 : D → B
2
mit f 00 : xo 7→ ddxf2 (xo ) genau dann, wenn f in jedem xo ∈ D zweifach differenzierbar ist.
0
n Falls f (n) (xo ) := f (n−1) (xo ) exisitiert, so heißt ddxnf = f (n) (xo ) Ableitung
x=xo
n-ter Ordnung von f in xo . Die Funktion f ist dann in xo n-fach differenzierbar.
f : D → B heißt n-fach differenzierbar in D genau dann, wenn f in jedem xo ∈ D
n-fach differenzierbar ist. Man setzt f (0) = f .
Z.B. Momentane Beschleunigung a(t) = v̇(t) =
von
∆v
∆t
dv
(t)
dt
= s̈(t) =
für ∆t → 0
d2 s
dt2
als Grenzwert
c
Bem. Differenzierbare Funktionen sind erst recht stetig. Sei nämlich f in x
(x)
| ≤ c oder auch |f (x + h) − f (x)| ≤ c h.
differenzierbar. Dann folgt | f (x+h)−f
h
Damit ist f stetig in x. Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa f (x) = |x| zeigt. ◦
Z.B. f (x) = c ⇒ f 0 (x) = limh→0
Z.B. f (x) = x ⇒ f 0 (x) =
c−c
= 0.
h
limh→0 x+h−x
=
h
Z.B. f (x) = x2 ⇒ f 0 (x) = limh→0
c
c
1.
(x+h)2 −x2
h
= limh→0
2xh
h
0
c
= 2x.
Z.B. Der Binomische Lehrsatz ergibt f (x) = xn ⇒ f (x) = nxn−1 .
c
Die Ableitung ln0 (x) = 1/x des Logarithmus gewinnt man unter Verwendung der Tatsache, daß die Inverse einer stetigen Funktion wieder stetig ist,
n
andeutungsweise aus (nur limn→∞ (1 + n1 ) = e verwendet)
Z.B.
ln( xx )
ln(x)−ln(xo )
o
=
lim
x→x
o
x−x
x−xo
o
= limn→∞ xno ln 1 + n1 = limn→∞ x1o
n
(limn→∞ 1 + nx = ex verwendet)
ln0 (xo ) = limx→xo
oder
(
)
xo
, x = xo (1
x−xo
= x1o ln(e) = x1o
und mit n =
ln
1+
1
n
n + n1 )
ln0 (xo ) = limh→0
limh→0 ln (1 +
1/xo
66
1
ln(xo +h)−ln(xo ) = limh→0 h1 ln xox+h
h
o
h 1/h
h 1/h
= ln limh→0 1 + xo
= ln limn→∞
xo
(
)
)
(
)
= limh→0 h1 ln(1+ xho ) =
n
(1 + 1/xn o ) = ln e1/xo =
c
Z.B. Die Ableitung sin0 (x) = cos(x) gewinnt man aus dem Additionstheorem
sin0 (xo ) = limx→xo
= limx→xo
o ) cos( x+xo )
2 sin( x−x
2
2
x−xo
o
limx→xo cos( x+x
) = cos(xo )
2
sin(x)−sin(xo )
x−xo
o)
sin( x−x
2
x−xo
2
= limx→xo
o
o
o
o
mit x = x+x
+ x−x
und xo = x+x
− x−x
.
c
2
2
2
2
Z.B. Geschwindigkeit und Beschleunigung der Projektion der Kreisbewegung
ergeben sich als Ableitung von x(t) = r cos(t) und y(t) = r sin(t).
c
Bem. Gegenbeispiele sind etwa f (x) = |x|, Sägezahn, Fraktale wie z.B. die
Koch58 -Kurve etc.
◦
Def. Eine Funktion f : D → R hat in (der Extremwertstelle) xext ∈ D ein
relatives Extremum, d.h. ein lokales Maximum bzw. Minimum genau dann, wenn
f (x) ≤ f (xext ) bzw. f (x) ≥ f (xext ) für alle x in einer Umgebung (a, b) von
xext ∈ (a, b) gilt.
Satz Die Extremwertstellen einer differenzierbaren Funktion f sind Nullstellen
der Ableitung f 0 .
•
Z.B. Extremwerte von Parabeln sind die Scheitel-Punkte. Die Ableitung f 0 (x) =
3x2 der Funktion f (x) = x3 hat die Nullstelle 0, ohne daß 0 eine Extremwertstelle
c
von f wäre. Wegen ln0 (x) = x1 6= 0 hat der Logarithmus keine Extremwerte.
z.H. Bestimme die Extremwerte von f (x) = sin(x) und g(x) = cos(x).
o
Bem. Eine Funktion f hat in xext ein relatives Extremum genau dann, wenn
f 0 (xext ) = 0 und die Ordnung n der ersten Ableitung f (n) mit f (n) (xext ) 6= 0
gerade ist. Das Extremum ist ein lokales Maximum xmax , falls f (n) (xmax ) < 0
gilt, und ein lokales Minimum xmin , falls f (n) (xmin ) > 0 gilt.
◦
Def. Eine Funktion f hat in xsat einen Sattelpunkt genau dann, wenn f 0 (xsat ) =
0 und die Ordnung der ersten nicht verschwindenden Ableitung f (n) (xsat ) 6= 0
ungerade ist.
Bem. Eine auf (a, b) differenzierbare Funktion f mit f 0 (x) = 0 für alle x ∈ (a, b)
ist konstant.
◦
0
0
Bem. Eine auf (a, b) differenzierbare Funktion f mit f (x) ≥ 0 (f (x) > 0)
bzw. f 0 (x) ≤ 0 (f 0 (x) < 0) für alle x ∈ (a, b) ist (streng) monoton steigend bzw.
(streng) monoton fallend.
◦
z.H. Untersuche die Monotonie von xn .
o
z.H. Zeige: ln(1 + x) ≤ x für alle x > −1.
o
z.H. In welchen Intervallen ist p(x) = x3 +x2 −x−1 monoton steigend, monoton
fallend, konvex, konkav? Welche Extrema und Sattelpunkte hat p(x) ?
58
Helge von Koch (1870-1924)
o
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Koch.html
67
z.H. Zeige: Eine stetig differenzierbare Funktion f ist zwischen zwei benachbar-
o
ten Extremwertstellen monoton.
Def. Für eine zweimal differenzierbare Funktion f : D → R heißt ein xwen ∈ D
mit f 00 (xwen ) = 0 und Vorzeichenwechsel von f 00 in xwen (also f 000 (xwen ) 6= 0 oder
echter Nulldurchgang von f 00 in xwen ) ein Wendepunkt von f .
Bem. Wendepunkte trennen Argument-Bereiche, in denen die Funktion nach
oben konkav ist, in denen also der Graph der Funktion oberhalb der Tangente
in jedem Punkt liegt (‘Linkskurve‘), von solchen, in denen die Funktion nach
unten konkav ist, in denen also der Graph der Funktion unterhalb der Tangente
in jedem Punkt liegt (‘Rechtskurve’).
◦
Z.B. fo (x) = (x + 1)x(x −√1) = x(x2 − 1) = x3 − x hat drei
Nullstellen −1, 0
√
und 1, genau ein Minimum 33 (1, − 23 ), genau ein Maximum 33 (−1, 23 ) und genau
einen Wendepunkt (0, 0).
f1 (x) = x2 wie auch f2 (x) = ex oder f3 (x) = ln x haben keine Wendepunkte;
f4 (x) = x3 hat den Wendepunkt 0; f5 (x) = (x − 1)(x + 1)2 = x3 + x2 − x − 1
hat die doppelte NS −1 und die NS 1, ein Maximum bei −1, ein Minimum bei
1/3 und den Wendepunkt bei −1/3; die Wendepunkte von f6 (x) = sin x und
f7 (x) = cos x fallen mit den jeweiligen Nullstellen zusammen.
c
o
z.H. Zeige: Sattelpunkte sind Wendepunkte.
59
Satz (Rolle ) Sei f in [a, b] ⊂ R differenzierbar. Zwischen zwei Nullstellen
f (a) = 0 und f (b) = 0 gibt es xext ∈ [a, b] mit f 0 (xext ) = 0.
•
Bew. Sei o.B.d.A. f nicht identisch 0 auf [a, b] und nicht f (x) ≤ 0 für alle
x ∈ [a, b]. (Betrachte sonst −f .) Da f stetig ist, gibt es ein xext ∈ [a, b], so daß
f (xext ) maximal. Damit ist
f (x) − f (xext )
x − xext
(
≥ 0 für x < xext
.
≤ 0 für x > xext
Aus der Differenzierbarkeit von f in xext ∈ [a, b] folgt f 0 (xext ) = 0.
√
Z.B. p(x) = x(x + 1)(x√− 1) = x(x2 − 1)
= x3 − x hat wegen p0 (x) = 3x2 − 1
√
zwei Extrema xmax = − 33 und xmin = + 33 und zwar das lokale Maximum xmax
zwischen −1 und 0 und das lokale Minimum xmin zwischen 0 und 1.
c
z.H. Verallgemeinerung: Es reicht, f (a) = f (b) vorauszusetzen. Wende dazu den
Satz von Rolle auf g(x) = f (x) − f (a) an.
o
Satz
(Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Sei f in [a, b] differenzierbar.
f (b) − f (a)
Dann gibt es xz ∈ [a, b] mit f 0 (xz ) =
.
•
b−a
(a)
f (a)b−f (b)a
Bew. Wende auf g(x) := f (x) − c − d x mit c =
und d = f (b)−f
den
b−a
b−a
√
Satz von Rolle an.
59
Michel Rolle (1652-1719)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Rolle.html
68
Z.B. Für die Parabel f (x) = a2 x2 +a1 x+ao ist die Tangente in (xz , f (xz )) parallel
zur Geraden durch (a, f (a)) = (xz −r, f (xz −r)) und (b, f (b)) = (xz +r, f (xz +r))
für jedes r > 0. Die Tangente kann also konstruiert werden. Aus a2 (b + a) + a1 =
(a)
a2 (b2 −a2 )+a1 (b−a)
= f (b)−f
= 2a2 xmax + a1 folgt nämlich xz = 12 (a + b).
c
b−a
b−a
Folgerungen: Für xo = a, x = b und |x − xo | 1 gilt nun näherungsweise
f (x) ≈ f (xo ) + (x − xo )f 0 (xo ) sowie mit dy = f (x) − f (xo ) und dx = x − xo eben
dy
dy = f 0 (xo ) dx oder dx
= f 0 (xo ): der Quotient der Differentiale ist gleich dem
Differentialquotienten.
5.1
Differential-Rechnung
BDH 5.2, 255
BHW Bd.I 3.1, 212
BrSe 6.1, 277
Pap Bd.1 IV 2, 262
Sti 7.3, 271
Stö A1, 26, 261
Stö TB 12.2, 475
Die Differential-Rechnung ist sozusagen die Praxis der Differenzierbarkeit.
Satz Die Ableitung f 7→ f 0 , d.h. der Ableitungsoperator
d
dx
ist linear:
(f + g)0 = f 0 + g 0 und (cf )0 = cf 0
√•
für differenzierbare Funktionen f und g.
Bew. Grenzwert-Arithmetik
Z.B. Ableitung von Polynomen, wie etwa f (x) = 7x4 − 2x3 + x − 5, oder des
c
Logarithmus g(x) = n ln x.
Bem. Für B ⊂ R oder B ⊂ C ist {f : D → B, f differenzierbar in D’} für jedes
D0 ⊂ D ein reeller bzw. komplexer Vektor-Raum.
◦
Satz Produkt-Regel:
(f g)0 = f 0 g + g 0 f
•
Bew.
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
h
f (x+h)g(x+h)−f (x)g(x+h) + f (x)g(x+h)−f (x)g(x)
= lim
h→0
h
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
= lim
g(x + h) + lim
f (x)
h→0
h→0
h
h
= f 0 (x) g(x) + g 0 (x) f (x) .
0
lim
(f g) (x) = h→0
√
mit Grenzwert-Arithmetik und aufgrund der Stetigkeit von g.
Z.B.
0
(xn )0 = nxn−1 , (sin2 (x)) = 2 sin(x) cos(x), (x ln x)0 = ln x + 1 usw.
c
z.H. Für f (x) = (x2 − 7x + 5)(x3 − 1) berechne f 0 (x) per Produkt-Regel und
o
durch Ausmultiplizieren.
Bem. Produkt-Regel iteriert liefert
(
Qn
i=1
0
fi ) =
Pn
i=1
fi0
Q
j6=i
fj
◦
69
z.H. Leite f1 (x) = (x3 + x sin(x))(x4 + x2 cos(x)), f2 (x) = (x4 + x2 + 1)(ln(x) + 2)2
2
2
+3x+1
und f3 (x) = ( 5x
(x2 + 5x + 3) – jeweils auch ausmultipliziert – ab.
x2 +3x+5 )
Folgerung: für eine differenzierbare Funktion f 6= 0 und g =
Produkt-Regel 0 = (f
1 0
)
f
=
f 0 f1
+f
0
1
f
1
f
1
x
=−
−1
.
x2
f0
.
f2
Die Funktion ist also überall monoton
c
z.H. Bestimme allgemein die Ableitung von f (x) =
speziell diejenige von f (x) =
folgt mit der
und damit
!0
gilt also f 0 (x) =
fallend. Sie hat keine Extrema.
Z.B. Für f (x) =
1
f
o
1
q(x)
1
.
1+x2
mit Polynom q(x) und
o
Satz Quotienten-Regel:
f
g
!0
=
f 0g − g0f
g2
für differenzierbare
Funktionen f und g 6= 0.
0
0
0
f
1
Bew. g = f g = f 0 g1 − f gg2 .
0
Z.B. (x−n ) =
1
xn
0
=
−nxn−1
x2n
•
√
= −n x−n−1 ,
p(x)
mit Polynomen p und q,
q(x)
cos2 (x)+sin2 (x)
= cos12 (x) = 1+tan2 (x)
cos2 (x)
Ableitung von rationalen Funktionen f (x) =
tan0 (x) =
sin
cos
0
0
0
cos (x)
(x) = sin (x) cos(x)−sin(x)
=
cos2 (x)
z.H. Leite f (x) = cot(x) ab – zum einen als f (x) =
f (x) =
1
.
tan(x)
cos(x)
sin(x)
c
und zum anderen als
o
Satz Ketten-Regel:
0
(g ◦ f ) (x) = g0 (f (x)) f 0 (x)
•
) gilt zunächst lim
∗
0
y→f (xo ) g (y) = g (f (xo )), mit
stetiger Ergänzung also g (f (xo )) = g 0 (f (xo )), so daß g(y) − g (f (xo )) = (y −
f (xo ))g ∗ (y) oder g (f (x)) − g (f (xo )) = (f (x) − f (xo ))g ∗ (f (x)) und damit
Bew. Mit g ∗ (y) :=
(
g(y)−g f (xo )
y−f (xo )
∗
g (f (x)) − g (f (xo ))
x − xo
f (x) − f (xo ) ∗
= lim
g (f (x)) = g 0 (f (xo )) f 0 (xo )
x→xo
x − xo
0
lim
(g ◦ f ) (xo ) = x→x
o
folgt.
√
70
Z.B. Ableitung von f1 (x) = sin2 (x) bzw. von f2 (x) = cos−1 (x) per Ketten- und
Produkt- bzw. Quotienten-Regel.
0
Die Ketten-Regel liefert wieder f1 =
−f 0
.
f2
z.H. Leite f1 (x) = ln(2x + 5), f2 (x) =
c
q
x
,
1−x2
5
f3 (x) = (x3 + 4x2 + 3x2 − 1) ,
2
f4 (x) = tan( x2 ), f5 (x) = ln(ln(x)), f6 (x) = sin(x2 + 1), f7 (x) = sin(tan(x2 + 1)),
x+1 2
2
f8 (x) = ex −1 und f9 (x) = e( 2 ) sin(2x + 1) ab.
o
z.H. Vergleiche die Ableitungen von c ln x und ln xc .
o
Bem. Die Hintereinanderausführung differenzierbarer Funktionen ist also wieder
differenzierbar.
◦
Mehrfache Anwendung der Ketten-Regel liefert für differenzierbare Funktionen
f1 , . . . , fn mit um = fm ◦ fm+1 ◦ . . . ◦ fn für m = 1, . . . , n
0
(f1 ◦ f2 ◦ . . . ◦ fn ) (x) = f10 (u2 (x))f20 (u3 (x)) . . . fn0 (x) =
0
0
d f1 (u2 ) d f2 (u3 )
du2
du3
n (x)
. . . d fdx
.
0
Folgerung: Aus (f inv ◦f ) = id0 = 1 folgt (f inv ◦f ) (x) = (f inv ) (f (x))f 0 (x) = 1 und
damit für f 0 (f inv (x)) 6= 0
Z.B.
0
1
0
f inv (x) =
f0
(
1
= lninv (x)
ln0 (lninv (x))
ln(xc )
c ln(x)
e0 (x) = lninv (x) =
)
f inv (x)
.
= ex . Für beliebige Exponenten
0 < c ∈ R sei f (x) = xc = e
=e
. Also gilt f 0 (x) = ec ln(x) c x1 = xc c x1 =
c xc−1 .
1
1
1
1
= cos(arcsin(x))
=√
= √1−x
c
arcsin0 (x) = sin0 (arcsin(x))
2.
2
1−sin (arcsin(x))
z.H. Verifiziere ln0 (x) = x1 für die Ableitung des Logarithmus.
o
0
z.H. Bestimme die Ableitung der übrigen Arcus-Funktionen, also arccos (x),
arctan0 (x) und arccot0 (x).
o
0
0
z.H. Bestimme die Ableitung der Area-Funktionen, also arsinh (x), arcosh (x),
artanh0 (x) und arcoth0 (x).
o
Bem. Die Produkt-Regel ist eine Folge der Ketten-Regel: Differenzieren der
0
0
0
= ff + gg und MultiGleichung ln(f g) = ln f + ln g per Ketten-Regel liefert (ffg)
g
plizieren mit f g eben die Produkt-Regel (f g)0 = f 0 g + f g 0 .
◦
z.H. Auch die Quotienten-Regel ist eine Folge der Ketten-Regel.
o
Bem. Differentation von Funktionen in impliziter Darstellung: Sei F (x, y) = 0
gegeben, wobei y in Ausdrücken der Form h(y) auftritt. Dann berechnet sich
F 0 (x, y), indem gemäß der Ketten-Regel in F 0 (x, y) jedes h0 (y) durch d h(y)
=
dx
d h(y) 0
F (x,y)−F (xo ,yo )
F (x,y)−F (xo ,y)
d h(y) dy
= dy y ersetzt wird. Insgesamt gilt dann
=
+
dy dx
x−xo
x−xo
F (xo ,y)−F (xo ,yo )
x−xo
=
F (x,y)−F (xo ,y)
x−xo
(xo ,yo ) y(x)−y(xo )
+ F (xo ,y)−F
= 0 und daher F 0 (x, y) =
y−yo
x−xo
71
(xo ,y)
(xo ,yo )
o)
limx→xo F (x,y)−F
+ limx→xo F (xo ,y)−F
· limx→xo y(x)−y(x
. Mit den Abkürx−xo
y−yo
x−xo
zungen Fx (xo , yo ) und Fy (xo , yo ) für die beiden Grenzwerte gilt also F 0 (x, y) =
Fx (xo , yo ) + Fy (xo , yo ) · y 0 = 0. Auflösen liefert y 0 = − FFxy .
◦
1−x
x−2
ist implizit durch xy +x−2y −1 = 0 gegeben,
so daß sich gleichermaßen y = (x − 2)−2 und aus xy 0 + y + 1 − 2y 0 = 0 eben
1+y
y 0 = 2−x
ergibt.
c
Z.B. Die Funktion y = f (x) =
0
Z.B. Eine Cassini60 sche Kurve ist die Ortskurve der Punkte, deren Entfernungen
von den Punkten (−e, 0) und (e, 0) das festes Produkt a2 haben, in impliziter
Darstellung (x2 +y 2 )2 −2e2 (x2 −y 2 ) = a4 −e4 . Damit ist F 0 (x, y) = 2(x2 +y 2 )(2x+
2yy 0 )−2e2 (2x−2yy 0 ) = 0 und damit F 0 (x, y) = (x2 +y 2 )(x+yy 0 )−e2 (x−yy 0 ) = 0
2 +y 2 )2x−2e2 2x
2
2 −e2
= xy xx2 +y
.
c
oder gleichermaßen y 0 = 2(x
2(x2 +y 2 )2y+2e2 2y
+y 2 +e2
Bem. Die Ableitung einer Funktion f in Parameter-Darstellung x = g(t) und
dy
dy
o)
dt
= dx
, wobei – wie
y = h(t) in xo mit xo = g(to ) ergibt sich zu f 0 (xo ) = dx
= ḣ(t
ġ(to )
dt
in der Physik üblich – der Punkt die Ableitung nach t bezeichnet.
◦
z.H. Verifiziere
√ das obige Resultat am Einheitskreis, dargestellt durch die Funk-
tion f (x) =
1 − x2 bzw. y 2 + x2 = 1 bzw. x = cos t und y = sin t.
o
Satz (erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Seien f und g in [a, b]
differenzierbar mit g 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ [a, b]. Dann gilt
f 0 (xm )
f (b) − f (a)
= 0
.
g(b) − g(a)
g (xm )
für mindestens einen Zwischenwert xm ∈ [a, b].
•
Zur Veranschaulichung sei s(t) = (f (t), g(t)) als Parameter-Darstellung einer
Kurve in der Ebene aufgefaßt. Dann ist ṡ(t) = (f 0 (t), g 0 (t)) der Geschwindigkeitsvektor z.Zt. t. Laut erweitertem Mittelwertsatz gibt es einen (Zeit-) Punkt
tm , zu dem der Geschwindigkeitvektor ṡ(tm ) parallel zur Verbindung (f (b) −
f (a), g(b) − g(a)) vom Startpunkt (f (a), g(a)) zum Endpunkt (f (b), g(b)) ist.
Für im Grenzwert unbestimmte Ausdrücke der Form 00 und ∞
– Ausdrücke der
∞
(x)
Form 0·∞, 00 , 1∞ oder ∞−∞ sind geeignet umzuformen – kann limx→xo fg(x)
durch
0
0
(x)
(x)
bestimmt werden. Falls lim fg0 (x)
wieder im obigen Sinn unbestimmt
limx→xo fg0 (x)
ist, wird die folgende Regel erneut angewendet. xo = −∞ oder xo = +∞ sind
dabei zugelassen.
Satz (Regel von de l’Hospital61 ) Für die (a, b)\{xo } differenzierbaren Funktionen
f und g mit limx→xo f (x) = 0 und limx→xo g(x) = 0 gilt
lim
x→xo
60
61
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→xo g (x)
bzw. allgemein
lim
x→xo
f (x)
f (n) (x)
= lim (n)
.
g(x) x→xo g (x)
Giovanni Domenico Cassini (1625-1712)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cassini.html
Guillaume Françoise Antoine de l’Hospital (1661-1704)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_L’Hopital.html
72
Dabei ist auch x → ±∞ zugelassen (s.u.).
Bew. Falls limx→xo f (x) = 0 und limx→xo g(x) = 0, so gilt
lim
x→xo
•
f (x)
f (x) − f (xo )
f 0 (x)
= lim
= lim 0
x→xo g (x)
g(x) x→xo g(x) − g(xo )
√
mit dem erweiterten Mittelwertsatz.
Z.B.
|p(x)|
|q(x)|
ex −e−x
x
für x → 0,
ex +e−x −2
x−ln(1+x)
für x → 0,
für Polynome p und q mit gemeinsamer Nullstelle xo und x → xo
Bem. Der Fall xo = −∞ oder xo = +∞ wird mit x =
Fall zurückgeführt:
limx→∞
Z.B.
f (x)
g(x)
|p(x)|
|q(x)|
= limy→0
f ( y1 )
g( y1 )
= limy→0
f 0 ( y1 ) −1
2
y
g 0 ( y1 ) −1
y2
= limy→0
1
y
f 0 ( y1 )
g 0 ( y1 )
c
auf den vorstehenden
= limx→∞
f 0 (x)
g 0 (x)
für Polynome p und q und x → ∞
◦
c
Bem. Falls limx→xo f (x) = ∞ und limx→xo g(x) = ∞, so gilt für ein x̂ genügend
nahe bei xo mit dem erweiterten Mittelwertsatz
lim
x→xo
f (x)
=
g(x)
=
lim
x→xo
lim
x→xo
f (x)
g(x) − g(x̂) f (x) − f (x̂)
f (x) − f (x̂)
g(x)
g(x) − g(x̂)
1−
1−
g(x̂)
g(x)
f (x̂)
f (x)
f 0 (xm )
f 0 (x)
=
lim
.
g 0 (xm ) x→xo g 0 (x)
In diesem Fall ist wieder auch xo = −∞ oder xo = +∞ zugelassen.
◦
Z.B. Der Logarithmus ln(x) wächst langsamer als jede Potenz von x, da für jedes
c > 0 nämlich limx→+∞ lnxcx = 0 gilt.
c
Z.B. Die Exponentialfunktion ex wächst schneller als jede Potenz von x, da für
c
jedes c > 0 nämlich limx→+∞ xex = 0 gilt.
c
z.H. Leite die Regel von de l’Hospital für den Fall
∞
∞
und x → ±∞ her.
o
sinh(x)
= limx→∞ cosh(x)
= limx→∞ cosh(x)
. Die
sinh(x)
Regel von de l’Hospital führt also nicht weiter. Rückgriff auf die Definition liefert
x
−x
1−e−2x
aber limx→∞ tanh(x) = limx→∞ eex −e
= limx→∞ 1+e
−2x = 1 oder gleichermaßen
+e−x
x
−x
2x
−e
e −1
2e2x
limx→∞ tanh(x) = limx→∞ eex +e
c
−x = limx→∞ e2x +1 = limx→∞ 2e2x = 1.
Z.B. limx→∞ tanh(x) = limx→∞
sinh(x)
cosh(x)
x−sin x
x+sin x
1−cos x
= limx→∞ 1+cos
hilft die Regel von de l’Hospital
x
nicht weiter. Die Beobachtung || = | sin x| x für x → ∞ dagegen liefert
x
limx→∞ x−sin
= limx→∞ x−
= 1.
o
x+sin x
x+
z.H. Auch für limx→∞
z.H. Zeige: limx→∞
z.H. Untersuche
ln x
xc
= 0 sowie limx→∞
x
limx→∞ √1+x
2
xc
ex
→= 0 für jedes 0 < c ∈ R.
o
per l’Hospital.
Bem. Produkte f (x) g(x) werden in Quotienten
o
f (x)
1
g(x)
, Potenzen f (x)g(x) zunächst
in Produkte im Exponenten eg(x) ln f (x) und Differenzen f (x) − g(x) direkt in den
Quotienten
1
1
− g(x)
f (x)
1
f (x)g(x)
73
umgeformt, um die Regel von de l’Hospital anwenden zu
◦
können.
Z.B. limx→0 (sinh x cot x) = limx→0
sinh x
1/ cot x
= limx→0
cosh x
(1+cot2 x)/ cot2 x
=1
c
Z.B. Kurven-Diskussion für f (x) = e1/x liefert D = R \ {0}, limx→0+ e1/x =
+∞, limx→0− e1/x = 0 sowie limx→±∞ e1/x = 1. Wegen f 0 (x) = −x−2 e1/x hat f
keine Extremwerte und ist monoton fallend in jedem x ∈ D. Die Steigung im
2
‘Nulldurchgang’, also limx→0− f 0 (x) ist limx→0− −e1/x ( x1 )2 = limz→∞ − zez = 0.
hat f den einen Wendepunkt (− 12 , e−2 ).
c
Wegen f 00 (x) = e1/x 1+2x
x4
−1
1
−1
1
1
(x−1)2
x−1
x−1 = lim
z.H. lim
= lim+ 1 = 0, während
e
= lim+ 1
1
+
+
x→1 e x−1 −1
x→1 x − 1
x→1 e x−1
x→1 e x−1
(x−1)2
limx→1−
−1
1
e x−1
x−1
= −∞ und limx→±∞
−1
1
e x−1
x−1
Steigung von f (x) =
Wendepunkte von f .
−1
1
e x−1
x−1
= 0. Bestimme die rechtsseitige
in 1, limx→±∞ f (x), Extremwerte und die beiden
o
1
z.H. Bestimme limx→0 ( ln(1+x)
− x1 ) durch zweimalige Anwendung der Regel von
o
de l’Hospital.
1
z.H. Zeige limx→1 x x−1 = e und limx→∞ (1 +
1
x
1 x
x
) = e.
ln x
x
= limx→∞ e
= e0 = 1, da wie oben√limx→∞
f (x) = ex in 0 stetig ist. Insbesondere gilt also limn→∞ n n = 1.
Z.B. limx→∞ x
5.2
o
ln x
x
= 0 und da
c
Anwendungen der Differential-Rechnung
Als Anwendungen der Differential-Rechnung seien zunächst die numerische Bestimmung von Nullstellen und Fixpunkten vorgestellt. Nullstellen spielen ihrerseits eine wichtige Rolle bei der Kurven-Diskussion und der Lösung von Extremwert-Problemen. Die Nullstellen f (x) = 0 einer Funktion f sind genau die Fixpunkte φ(x) = x der Funktion φ(x) = f (x) + x. (Fixpunkte sind also genau die
Schnittpunkte des Funktionsgraphens mit der Hauptdiagonalen.) Häufig werden
daher Fixpunkte anstelle von Nullstellen und umgekehrt bestimmt.
Wenn für ein Problem eine analytische Lösung nicht existiert oder z.B. nur mit
nicht zu vertretendem Aufwand bestimmt werden kann, berechnet man die gesuchten Größen mit iterativen, approximativen oder Näherungsverfahren: Ausgehend von einem Startwert x1 sind nacheinander Nährungen xn zu berechnen, die
gegen die gesuchte Größe xo konvergieren.
Die Geschwindigkeit (und damit die Güte des Verfahrens) bestimmt die sogenannte Ordnung λ ∈ N der Konvergenz:
Def. Die Konvergenz der xn gegen xo eines Näherungsverfahrens ist von der
Ordnung λ ∈ N genau dann, wenn für 0 < c und jedes n ∈ N
|xn+1 − xo | ≤ c |xn − xo |λ
BDH 5.3, 274
BHW Bd.I 3.3,249
BrSe 6, 277
Pap Bd.1 IV 3,287
Sti 7, 259
Stö A1, 27, 277
Stö TB 12.7, 490
74
gilt. Damit folgt |xn+1 − xo | ≤ c c |xn−1 − xo |λ
1+λ+...+λn−1
(λn )
c
|x1 − xo |
n
c |xn − xo | für λ = 1.
5.2.1
=c
(1−λn )/(1−λ)
λ
(λn )
|x1 − xo |
= c1+λ |xn−1 − xo |(λ
2)
≤
für λ > 1 und |xn+1 − xo | ≤
Fixpunkte
Ein allgemeiner einsetzbares aber nur linear konvergierendes Näherungsverfah- fixpunkt.opt
ren zur Bestimmung von Fixpunkten xo einer Funktion g mit g(xo ) = xo liefert
xn+1 = g(xn ).
y
y
y =x
6
y =x
ϕ(x)
6
ϕ(x)
xo
-
x1
x2
x 3 x4
-
x
x x
xo 1 2
x3
x
Satz (Fixpunkt) Sei g : [a, b] → [a, b] differenzierbar auf [a, b] mit |g 0 (x)| ≤
c < 1 für alle x ∈ [a, b]. Dann konvergiert die Folge (xn ) mit xn+1 = g(xn ) und
Startwert x1 ∈ [a, b] gegen den (einzigen) Fixpunkt xo ∈ [a, b] von g.
•
0
0
Bew. Für f (x) = x − g(x) gilt f (a) ≥ 0, f (b) ≤ 0 und f (x) = 1 − g (x) > 0 für
alle x ∈ [a, b]. f hat also genau eine Nullstelle xo in [a, b]. Es gilt also
|xn+1 − xo | = |g(xn ) − g(xo )| = |(xn − xo )g 0 (ξn )| ≤ |xn − xo |c ≤ |x1 − xo |cn
aufgrund des Mittelwertsatzes.
√
Z.B. Die Funktion g(x) = x2 + x − a taugt wegen g 0 (x) = 2x + 1 > 1 nicht zur
√
Bestimmung von a, wohl aber die Funktion g(x) = 12 ( xa + x).
Bestimmung der zweiten Nullstelle neben xo = 0 von f (x) = x − 2 ln(1 + x) im
Intervall [2, 3] mit g(x) = 2 ln(1 + x), g 0 (x) = 2/(1 + x) und |g 0 (x)| ≤ 2/3 für
x ∈ [2, 3].
c
5.2.2
75
Nullstellen
Das Newton62 sche Näherungsverfahren dient zur näherungsweisen, iterativen Be- numerik.pdf
stimmung von Nullstellen einer auf [a, b] differenzierbaren Funktion f mit Funk- heath.pdf
tionswerten verschiedenen Vorzeichens in a und b, d.h. mit f (a)f (b) < 0. Sei x1 newton.cpp
ein Startwert und eben die erste Näherung der gesuchten Nullstelle. Berechne den
1)
der Tangente y = f 0 (x1 )(x − x1 ) + f (x1 ) an f im
Schnittpunkt x2 = x1 − ff0(x
(x1 )
Punkt x1 mit der x-Achse als zweite Näherung. Unter bestimmten Bedingungen
konvergiert die Folge (xn ) der Näherungen gegen die gesuchte Nullstelle xo .
y
y
f (x)
6
-
xo x3
x2
x1
6
HH
x
x1
HH
H
Z H H x2
x4 H
Z
Z
H
HHxo
x3 H
HH
-
x
f (x)
Satz (Newton) Sei f : [a, b] → R zweimal differenzierbar auf [a, b] mit f (a)f (b) <
0 und f 0 (x) 6= 0 sowie f 00 (x)f (x1 ) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] und Startwert x1 . Dann
konvergiert die Folge (xn ) mit xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) monoton gegen die
(einzige) Nullstelle xo von f in [a, b].
•
√
Z.B. Zur Berechnung von a mit a > 0 setze f (x) = x2 − a und x1 = a. Dann
2 −a
n
ist f 0 (x) = 2x und xn+1 = xn − x2x
= 12 (xn + xan ). Bei der Berechnung von z.B.
n
√
2 mit Startwert x1 = 2 ergeben sich x2 = 1.5, x3 = 17/12 und x4 = 577/408 ≈
1.414217 und damit schon fünf korrekte Stellen nach dem Komma.
c
z.H. Wieso ist das Newton-Verfahren zur Berechnung von π/2 als Nullstelle des
Cosinus oder des Cotangens ungeeignet?
o
Bem. Die Konvergenz des Newton-Verfahrens ist quadratisch.
◦
Bem. Das Newton-Verfahren in Verbindung mit dem erweiterten Horner-Schema bestimmt die Nullstellen eines Polynomes p(x) = pn (x) vom Grad n in
sehr praktischer Weise: aus pn (x) = pn−1 (x)(x − x1 ) + pn (x1 ) folgt p0n (x) =
62
Isaac Newton (1643-1727)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Newton.html
76
p0n−1 (x)(x − x1 ) + pn−1 (x1 ) und damit p0n (x1 ) = pn−1 (x1 ). Den für das NewtonVerfahren gebrauchten Wert p0n (x1 ) erhält man also, indem man mit dem HornerSchema erst pn (x1 ) und dann p0n (x1 ) bestimmt – für n = 4
a4
a3
a2
a1
ao
a4 x1
(a4 x1 +a3 ) x1
((a4 x1 +a3 )x1 +a2 )x1 (((a4 x1+a3)x1+a2)x1+a1)x1
% + %
+
%
+
%
+
a4 a4 x1 +a3 (a4 x1 +a3 )x1 +a2 ((a4 x1 +a3 )x1 +a2 )x1 +a1
p4 (x1 )
a4 x1
(2a4 x1 +a3 ) x1 ((3a4 x1 +2a3 )x1 +a2 )x1
% + %
+
%
+
a4 2a4 x1+a3 (3a4 x1+2a3)x1+a2 ((4a4 x1+3a3)x1+a2)x1+a1 = p3 (x1 ) = p04 (x1 )
◦
5.2.3
Kurven-Diskussionen
Kurven-Diskussion als schrittweises Verfahren, den Verlauf einer Funktion f :
D → R zu bestimmen, wo D aus einem oder mehreren Intervallen besteht.
1. Bestimme Definitionsbereich und Unstetigkeitsstellen von f mit den zugehörigen einseitigen Grenzwerten.
2. Bestimme das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereiches
(gegebenenfalls also auch für x → ±∞) sowie – falls vorhanden – die Asymptoten zu den Unstetigkeitsstellen xu , also ‘einfache’ Funktionen h(x) mit
limx→xu |f (x) − h(x)| = 0, meist Approximation durch Geraden, entweder
vertikale Geraden, wenn f in xu mindestens einen einseitigen unendlichen
und
Grenzwert hat, oder Geraden der Form y = ax + b mit a = limx→xu f (x)
x
b = limx→xu (f (x) − ax), falls diese Grenzwerte existieren. Für gebrochene
r(x)
Funktionen f (x) = p(x)
= h(x) + q(x)
ist die Asymptote h(x).
q(x)
3. Bestimme die Nullstellen von f in den Stetigkeitsintervallen.
4. Bestimme die Unstetigkeitsstellen von f 0 , also ‘Knick-Stellen’ von f , und
Nullstellen von f 0 (in den Stetigkeitsintervallen von f 0 ), also Stellen relativer
Extremwerte von f . Qualifiziere die Extremwerte als Minima oder Maxima.
Bestimme die Sattelpunkte von f .
5. Bestimme die Wendepunkte von f als Nullstellen von f 00 ; zwischen Wendepunkten ist f 00 > 0 bzw. f 00 < 0 und damit f konvex bzw. konkav, d.h.
Graph von f verläuft unterhalb bzw. oberhalb der Verbindungsstrecke von
(x1 , f (x1 )) nach (x2 , f (x2 )) für je zwei beliebige x1 und x2 im Stetigkeitsintervall.
Bem. Die Punkt-Menge {(x, y) : x ∈ I, y ≥ f (x)} ist für jedes Stetigkeitsintervall I mit f 00 (I) > 0, also f (x) auf I konvex, eine konvexe Menge, die
mit zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke enthält.
◦
77
6. Bestimme – soweit noch notwendig – weitere ausgezeichnete Punkte: z.B.
Schnittpunkte mit den Koordinaten-Achsen, den Asymptoten.
Z.B. f : R → R mit f (x) = x ex : ohne Asymptote, mit Wendepunkt
2 +3
Z.B. f : R\{1} → R mit f (x) = xx−1
: zwei Asymptoten, kein Wendepunkt
c
c
x4 −5x2 +2
Z.B. f : R\{0} → R mit f (x) =
: mit Nullstellen, zwei Extremwerten,
2x3
ohne Wendepunkte und mit einer Asymptote.
c
−1
1
x−1
ist rechtsseitig stetig ergänzbar in 1,
Z.B. f : R\{1} → R mit f (x) = x−1 e
mit einem Extremwert und zwei Wendepunkten
c
7
z.H. Diskutiere f (x) = xx−128
o
3 −8 .
ln x
x
−x
z.H. Diskutiere f (x) = x und g(x) = e + sin x sowie h(x) = e sin x.
o
1
1
1
−2
z.H. Diskutiere f1 (x) = ln x2 , f2 (x) = cosh x−1 , f3 (x) = cos x−1 und f4 (x) = x .
Existieren Tangenten in den Knick-Stellen, also in den Stellen, in denen eine
Funktion nicht differenzierbar ist?
o
n2 a
)(V
V2
− n b) = n R T ist die van der Waal’sche Zustandsgleichung
2
RT
− nV 2a
für reale Gase. Für jede Temperatur T wird der Druck p = fT (V ) = Vn−n
b
als Funktion des Volumens V dargestellt. Dabei sind a und b Stoffkonstanten, n
die Gasmenge und R die allgemeine Gaskonstante. Unterhalb der sogenannten
kritischen Temperatur Tkrit ist das Gas durch Erhöhung des Drucks verflüssigbar,
oberhalb nicht. fTkrit (V ) ist durch einen Wendepunkt (Vkrit , fTkrit (Vkrit ) mit waagerechter Tangente ausgezeichnet. Es ergibt sich Vkrit = 3 n b und Tkrit = 278baR
sowie pkrit = 27ab2 .
Mit x = V V und τ = T T sowie y = p p ergibt sich die dimensionslose GleiZ.B. (p +
krit
krit
krit
2
2
8 T
b
9b
n2 a
=
9
R
T
=
(p
+
)(V − n b) = 27 ba (p + nV 2a )(x − 13 ) =
3 Tkrit
a
na
V2
2 2
(y + 3 9 nV 2b )(x − 31 ) = (y + x32 )(x − 13 ). Wegen x, τ, y > 0 ist diese Gleichung nur
8τ
− x32 hat
für x > 13 physikalisch sinnvoll. Die explizite Funktion y = gτ (x) = 3x−1
chung 83 τ =
für τ ≥ 1 keine Extrema, für τ = 1 in (1, 1) einen Wendepunkt mit waagerechter
Tangente und für τ < 1 Extrema und Wendepunkte.
c
z.H. Diskutiere f (x) =
5.2.4
1
.
xln ln ln ln(1/x)−1
Untersuche f besonders nahe bei 0.
o
Extremwert-Probleme
In aller Regel besteht das Extremwert-Problem darin, ein (globales) Minimum
oder Maximum unter Einhaltung von Nebenbedingungen zu bestimmen. Dazu
sind zunächst für das Problem Ziel-Funktion und Nebenbedingung(en) – gegebenenfalls in mehreren Variablen – aufzustellen, ihr Extremwerte zu bestimmen
und Maxima und Minima zu identifizieren.
Z.B. Die maximale Fläche F (a, b) = ab eines Rechteckes bei festem Umfang
Uo = 2(a + b) bestimmt man aus F (a, b) = F (a) = a(Uo /2 − a). Das Maximum
ergibt sich aus F 0 (a) = Uo /2 − 2a = 0 und wird an der Stelle a = Uo /4 = b
angenommen.
c
78
Z.B. Der Zylinder mit vorgegebenem Volumen Vo = πr2 h und minimaler Ober-
fläche O(h, r) = 2π r h + 2π r2 =q2Vo /r + 2π r2 = O(r) mit O0 (r) = −2Vo /r2 +
Vo
4π r = 0 hat den Radius r = 3 2π
und liefert etwa eine Konserven-Dose mit
vorgegebenem Volumen und minimalem Weißblech-Verbrauch.
c
Z.B. Eine Spannungsquelle mit Quell-Spannung Uo und innerem Widerstand ρ
liefert dann maximale Leistung P (U, I) = U I am gesuchten Widerstand R, wenn
R = ρ gilt. Zunächst gilt I = Uo /(R+ρ) und damit U = (Uo −ρI) = Uo R/(R+ρ),
so daß P (R) = P (U, I) = Uo2 R (R + ρ)−2 und damit P 0 (R) = Uo2 (ρ − R) (R +
ρ)−3 = 0 für R = ρ.
c
Z.B. Das gleichschenklige Dreieck minimaler Fläche, das einem Kreis mit Radius
r umschrieben ist, ist gleichseitig: Die Seite xa + yb = 1 hat mit dem Kreis x2 +(y −
r)2 = r2 genau einen Schnittpunkt (Seite ist tangential), wenn b = 2ra2 /(a2 −r2 );
die Fläche F = F (a, b) = a b = 2a3 r/(a2 − r2 )√= F (a) des Dreieckes ist minimal
genau dann, wenn F 0 (a) = 0, wenn also a = 3r und damit b = 3r gilt; wegen
√
b2 + a2 = 2a ist das gesuchte Dreieck gleichseitig.
c
z.H. Gesucht ist der Stützbalken kürzester Länge über eine 10m hohe Mauer an
eine im Abstand von 8m dazu parallel verlaufende Wand.
o
z.H. Gesucht ist die Gerade durch (3, 4), die die Fläche des von ihr im ersten
o
Quadranten abgetrennten Dreieckes minimiert.
Z.B. Gesucht ist der Abstandqdes Punktes (4, 2) von dem Graphen der Parabel
√
√
f (x) = +2 2x. Statt a(x) = (x − 4)2 + (2 2x − 2)2 ist es hier günstiger, den
Abstand in Abhängigkeit von y zu bestimmen: y 2 = 8x bzw. x = 18 y 2 . Damit gilt
2
d 2
für den quadratischen Abstand a2 (y) = ( 18 y 2 − 4) + (y − 2)2 und dy
a (y) = 0 in
√
y = 4. Der (minimale) Abstand 2 2 wird im Punkt (2, 4) angenommen.
c
z.H. Für welchen Winkel ϕ ist die Fläche des Kreis-Sektors mit Radius r bei
gegebenem Umfang Uo maximal?
o
z.H. Minimiere das Volumen eines einer Kugel umbeschriebenen Kegels.
o
Bem. Regressionsgerade mit minimaler Summe der Fehlerquadrate: für n MessPunkte (xi , yi ) für i = 1, . . . , n wird ein linearer Zusammenhang y = mx + b
unterstellt. Wie sind m und b zu bestimmen, so daß die Summe S(m, b) :=
Pn
2
i=1 (mxi + b − yi ) der Fehlerquadrate minimal wird?
P
P
∂S(m,b)
= 2 ni=1 (mxi + b − yi ) xi = 0 und ∂S(m,b)
= 2 ni=1 (mxi + b − yi ) = 0
∂m
∂b
liefern als Lösung dieses linearen Gleichungssystemes
n
xi yi − ni=1 xi ni=1 yi
i=1 xi yi − n x̄ȳ
=
m =
P
Pn
P
n
2
2
2
n i=1 x2i − ( ni=1 xi )
i=1 xi − nx̄
P
P
Pn
P
n
n
n
2
i=1 xi
i=1 yi −
i=1 xi
i=1 xi yi
b =
= ȳ − m x̄
Pn
P
n
2
n i=1 xi − ( i=1 xi )2
n
Dabei sind x̄ =
1
n
Pn
Pn
i=1
i=1
P
xi und ȳ =
1
n
P
Pn
i=1
P
yi die jeweiligen Mittelwerte.
◦
6
79
Das Integral
Integrale verwendet man zur Berechnung von Flächen-Inhalten, z.B. der Größe nicht geradlinig berandeter Flächen (der Flächeninhalt von Polyedern, d.h.
von geradlinig berandeten Flächen ergibt sich als Summe der Flächeninhalte von
Dreiecken), zur Berechnung der Schwerpunkte von Flächen und Körpern, der Effektivwerte von Wechselströmen, der Verteilungsfunktionen mit ihren Momenten
wie Mittelwert oder Varianz, von Integral-Transformationen, usw.
Integrieren kann als Umkehrung des Differenzierens aufgefaßt werden.
Integration ist das Hilfsmittel zum Lösen von Differentialgleichungen.
6.1
Das bestimmte Integral
Die Fläche unter dem Graphen einer Funktion f ≥ 0 in [a, b] läßt sich vermittels Approximation durch Summe von Streifen-Flächen bzgl. jeder Zerlegung
a = xo < x1 < . . . < xn = b von [a, b] bestimmen, falls Infimum, d.h. größte
P
untere Schranke der Obersummen I xo ,...,xn = ni=1 ∆xi supxi−1 ≤x≤xi f (x) und entsprechend Supremum, d.h. kleinste obere Schranke der Untersummen I xo ,...,xn =
Pn
i=1 ∆xi inf xi−1 ≤x≤xi f (x) für n → ∞ und maxi=1...n ∆xi → 0 mit ∆xi = xi − xi−1
übereinstimmen.
y 6
f
-
a
x
b
Def. Falls für eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R Infimum der Obersummen
und Supremum der Untersummen übereinstimmen, so heißt dieser Wert I das
BDH 6.1, 317
BHW Bd.I 4.1,311
BrSe 8, 321
Pap Bd.1 V 1, 323
Sti 8, 367
Stö A1, 31, 330
Stö TB 15.1, 521
80
(Riemann63 -) Integral von f , geschrieben
I=
Z b
f (x) dx =
a
n
X
lim
n→∞
f (xi )∆xi
max ∆xi → 0 i=1
i=1...n
I ist der Flächen-Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f .
Bem. Für f 6≥ 0 ergibt sich die gesuchte Fläche als Summe derjenigen Flächenstücke unter dem Graphen von |f | ‘zwischen den Nullstellen’ von f (stückweise
Integration).
◦
= lim ni=1 ∆xic = c(b − a) und ab x dx = lim ni=1 xi ∆xi =
P
2
2
2
2
lim
− x2i−1 + (∆xi )2 = b −a
+ lim ni=1 (xi − xi−1 )2 = b −a
erge2
2
P
2
ben sich selbstverständlich auch direkt geometrisch. Daß lim (∆xi ) = 0 gilt,
P
macht etwa die äquidistante Zerlegung mit ∆xi = b−a
und damit lim (∆xi )2 =
n
2
P
lim ni=1 (b−a)
= (b − a)2 limn→∞ n1 = 0 plausibel.
c
n2
Rb
z.H. Zeige
Rb 2
x dx
a
R
P
a cdx
1 Pn
2
i=1 xi
2
Z.B.
=
1
3
(b3 − a3 ) mithilfe von
Pn
i=1
P
i2 = 16 n(n + 1)(2n + 1).
o
Aus der Definition ergibt sich unmittelbar die stückweise Integration.
Rc
a
f (x) dx =
Rb
a
f (x) dx +
Rc
b
Rb
f (x) dx
a
f (x) dx = −
Ra
b
f (x) dx
Das Integral existiert für jede stetige Funktion f , da dann Supremum und Inmax
∈ [xi−1 , xi ] existieren mit
fimum angenommen werden, d.h. da dann xmin
i , xi
min
max
f (xi ) = supxi−1 ≤x≤xi f (x) und f (xi ) = inf xi−1 ≤x≤xi f (x), so daß wegen
I xo ,...,xn − I xo ,...,xn =
=
n
X
i=1
n
X
!
∆xi
sup
f (x) −
xi−1 ≤x≤xi
inf
∆xi f (xmax
) − f (xmin
i
i ) ≤
i=1
f (x)
xi−1 ≤x≤xi
n
X
∆xi = (b − a)
i=1
Ober- gegen Untersumme konvergieren und damit das Integral existiert.
Also existiert das Integral auch für alle stückweise stetigen Funktionen.
Das Integral existiert ebenso für jede monotone Funktion f , da dann etwa für eine
monoton steigende Funktion das Supremum an der Stelle f (xi ) und das Infimum
an der Stelle f (xi−1 ) angenommen werden, so daß wegen
I xo ,...,xn − I xo ,...,xn =
n
X
∆xi (f (xi ) − f (xi−1 ))
i=1
≤ max ∆xi
i=1...n
n
X
i=1
(f (xi )−f (xi−1 )) ≤ max ∆xi (f (b)−f (a))
i=1...n
das Integral auch für monotone bzw. für stückweise monotone Funktionen existiert.
63
Bernhard Riemann (1826-1866)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Riemann.html
81
Bem. Das Integral ergibt sich auch als Grenzwert der Riemannschen Summen
I=
Z b
f (x) dx =
n
X
lim
n→∞
a
f (zi )∆xi
max ∆xi → 0 i=1
i=1...n
für beliebige zi ∈ [xi−1 , xi ].
◦
bm+1 − am+1
. Sei o.B.d.A. 0 < a < b. Bea
qm + 1
trachte die Zerlegung xi = ak i mit k = n b/a > 0 und i = 0, . . . , n, also xo = a <
x1 = ak < . . . < xn = b, und limn→∞ k = 1 sowie daher limn→∞ max1≤i≤n ∆xi = 0.
Mit der geometrischen Reihe berechnen sich die Untersummen zu
Z.B. Für alle m ∈ N gilt
I xo ,...,xn =
n
X
Z b
xm dx =
f (xi−1 ) ∆xi =
i=1
n
X
(a k i−1 )m a k i − a k i−1
i=1
= am+1
n
X
k m(i−1) k i−1 (k − 1) = am+1 (k − 1)
i=1
= am+1 (k − 1)
(k
) −1
= am+1
m+1
k
−1
Mit der Regel von de l’Hospital64 gilt limk→1
a
n X
k m+1
i−1
i=1
m+1 n
Z b
m
x dx = n→∞
lim I xo ,...,xn = lim
k→1
bm+1 −am+1
km+1 −1
k−1
m+1
b
a
−1
km+1 −1
k−1
km+1 −1
k−1
=
bm+1 − am+1
km+1 −1
k−1
.
= m + 1 und daher
bm+1 − am+1
bm+1 −am+1
=
=
.
m+1
m+1
limk→1 k k−1−1
c
Aus der Definition (und gemäß der geometrischen Anschauung) ergibt sich
Rb
a
cf (x) dx = c
Rb
a
f (x) dx
Rb
a (f
+ g)(x) dx =
Rb
a
f (x) dx +
Rb
a
g(x) dx
Damit können nun bestimmte Integrale beliebiger Polynome berechnet werden.
z.H. Berechne die Fläche zwischen f (x) = (x + 1)2 − 1 und g(x) = x + 2.
o
Z.B. Durch Herunterdrücken eines Kolbens mit Querschnitt A in einem U-Rohr-
Schenkel um x Längeneinheiten entsteht eine Höhen-Differenz der Flüssigkeitsspiegel von 2x. Die Flüssigkeitsmenge hat das Volumen 2Ax und die Gewichtskraft
2Axρg. Weiteres Herunterdrücken um den (kleinen) Weg ∆x ist also mit der
P
Arbeit ∆W = 2Axρg∆x verbunden.
Aufsummieren
liefert
W
=
lim
∆Wi =
Rh
P
2
2Aρg lim xi ∆xi = 2Aρg o x dx = Aρg h für die Arbeit, den Kolben um h
Längeneinheiten herunterzudrücken.
c
64
82
Bem. Für den Schwerpunkt (xs , ys ) eines starren Systems von Massepunkten
mi , konzentriert in den Punkten (xi , yi ) der Ebene gilt
mi · xi
P
mi
P
xs =
P
und ys =
mi · yi
.
mi
P
Zur Berechnung des Flächenschwerpunktes der durch Funktionen f und g mit
f < g auf [a, b] berandeten Fläche A wird A durch Rechtecke (als Teilmenge von
Streifen) approximiert. Ein solches Rechteck hat die Masse, d.h. bei gleichmäßiger Massenverteilung
die Fläche
∆xi (g(zi ) − f (zi )) für zi ∈ [xi−1 , xi ] und den
xi−1 +xi f (zi )+g(zi )
,
Schwerpunkt
. Ein solches Rechteck läßt sich auffassen als im
2
2
Schwerpunkt konzentrierter Massepunkt mit einer Masse proportional zur Fläche
des Rechteckes. Damit ergibt sich
P
xs =
∆xi (g(zi )−f (zi )) xi−12+xi
sowie ys =
P
∆xi (g(zi ) − f (zi ))
und im Grenzübergang n → ∞ mit zi =
1Zb
xs =
(g(x) − f (x))x dx
A a
Z b
1
ys =
g 2 (x) − f 2 (x) dx
2A a
xi−1 +xi
2
P
i)
∆xi (g(zi )−f (zi )) f (zi )+g(z
2
,
P
∆xi (g(zi ) − f (zi ))
und max1≤i≤n ∆xi → 0 also
mit
A=
Z b
a
(g(x) − f (x)) dx .
◦
Z.B. Der Schwerpunkt (xs , ys ) des durch x-Achse, x = 1 und f (x) = x gebildeten
Dreiecks mit Fläche A = o1 f (x) = 12 zu xs = 2 o1 x2 dx = 23 und ys = o1 x2 dx =
1
in Übereinstimmung mit der geometrischen Bestimmung des Schwerpunktes als
3
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
c
R
R
R
z.H. Bestimme den Schwerpunkt der durch g(x) = 1 − x2 und f (x) = 21 (x2 − 1)
o
berandeten Fläche.
◦
Bem. Schwerpunkte sind ’translationsinvariant’.
z.H. Zeige geometrisch:
Ra
Ra
g(x) dx = 2 o g(x) dx für jede gerade Funktion g
und −a u(x) dx = 0 für jede ungerade Funktion u.
o
Ra
−a
Aus der Definition ergibt sich unmittelbar
f ≤ g auf [a, b] ⇒
Rb
a
f (x) dx ≤
Rb
a
g(x) dx
Z
b
f (x) dx ≤ (b−a) sup |f (x)|
a
a≤x≤b
.
Folgerung:
Die Funktion I(x) = ax f (u) du ist stetig, da |I(x + h) − I(x)| =
R x+h
| x f (u) du| ≤ h sup f (x) und damit limh→0 I(x + h) = I(x) für x ∈ [a, b].
R
a≤x≤b
Bem. Der Mittelwert y von n (Meß-) Werten (yi )i=1,...,n ist das arithmetische
P
P
Mittel y = n1 ni=1 yi = ni=1 n1 yi , vulgo Durchschnitt.
83
Das gewichtete Mittel y w der yi mit Gewichten wi , d.h. 0 ≤ wi ≤ 1 und ni=1 wi =
P
1, ist durch y w = ni=1 wi yi gegeben, z.B. Diplom-Note.
Speziell für wi = n1 für i = 1, . . . , n entspricht das gewichtete dem arithmetischen
Mittel.
Der Mittelwert f einer (kontinuierlichen!) Funktion f in einem Intervall [a, b] wird
durch einen Grenzübergang bestimmt. Die Funktionswerte in Intervallen [xi−1 , xi ]
werden repräsentiert durch f (zi ) für ein zi ∈ [xi−1 , xi ] und gewichtet durch die
i−1
i
= ∆x
. Dann gilt
relativen Streifenbreite xi −x
b−a
b−a
P
f=
n
X
lim
n→∞
i=1
max ∆xi → 0
f (zi )
1 Zb
∆xi
=
f (x) dx
b−a
b−a a
wenn man die Summen wieder als Riemannsche Summen auffaßt.
◦
Z.B. Mittelwert der Funktion f (x) = 2x − x2 = −x(x − 2) im Intervall [0, 2] ist
f (xm ) =
1 R2
2 o
f (x) dx =
1
2
2
x2 − 13 x3 = 2 −
o
4
3
= 23 .
c
Satz (Mittelwertsatz der Integral-Rechnung) Für eine jede stetige Funktion f :
[a, b] → R existiert xm ∈ [a, b] mit
Z b
a
f (x) dx = f (xm )(b − a) .
•
Z.B. Bestimmung des flächengleichen Rechteckes, Bestimmung des Mittelwertes
von f oder Anwendung im Beweis des Hauptsatzes der Differential- und IntegralRechnung
c
Satz (verallgemeinerter Mittelwertsatz der Integral-Rechnung) Für zwei stetige
Funktionen f, p : [a, b] → R mit p > 0 auf [a, b] existiert xm ∈ [a, b] mit
Z b
a
f (x)p(x) dx = f (xm )
Z b
p(x) dx .
a
•
Bew. Für nicht konstantes f gilt min f (x) =: m < M := max f (x). Also folgt
a≤x≤b
a≤x≤b
m p(x) ≤ f (x) p(x) ≤ M p(x) für alle x ∈ [a, b]. Daher gilt
m
Z b
p(x) dx <
a
für c :=
Rb
f (x)p(x) dx
aR
b
Z b
a
f (x)p(x) dx = c
Z b
a
p(x) dx < M
Z b
p(x) dx
a
und somit m < c < M . Mit dem Zwischenwertsatz für die
√
stetige Funktion f gibt es daher ein xm ∈ [a, b] mit f (xm ) = c.
a
p(x) dx
6.1.1
84
Numerische Integration – Trapez-Regel
Soll ab f (x) dx numerisch berechnet werden, geht man bei Anwendung der TrapezRegel von einer äquidistanten Zerlegung xi = aR + i ∆x mit ∆x = b−a
aus und
n
xi
approximiert den Flächen-Inhalt des Streifens xi−1 f (x) dx durch den FlächenInhalt ∆x (yi−1 + yi ) /2 des Trapezes
mit yj = f (xj ). Damit ist im n-ten Schritt
Pn ∆x
Pn−1
∆x
In = i=1 2 (yi−1 + yi ) = 2 yo + 2 i=1 yi + yn , also
numerik.pdf
R
heath.pdf
Z b
a
f (x) dx ≈ In =
∆x
(yo + 2 y1 + . . . + 2 yn−1 + yn ) .
2
Das Verfahren konvergiert recht langsam. In jedem Fall ist es besser, im nächsten apprxint.cpp
Näherungsschritt zu den schon berechneten Ordinaten yi noch die Funktionswerte
f ( xi−12+xi ) in den Mittelpunkten hinzuzunehmen (also Übergang von n zu 2n)
anstelle sonst beim Übergang von n zu n + 1 alle Ordinaten f (a + i∆x0 ) mit
b−a
∆x0 = n+1
neu berechnen zu müssen.
Z.B. Die Trapez-Regel angewandt auf das Integral der Funktion f (x) = x muß
mit jedem In den korrekten Wert des Integrales liefern: ab x dx ≈ In = h2 (yo +
2y1 +. . .+2yn−1 +yn ) = h2 (a+2(a+h)+. . .+2(a+(n−1)h)+b) = h2 (a+2 (n−1) a+
P
h
b−a
2 n−1
i=1 i h+b) = 2 ((2 n−1) a+(n−1) n h+b) = 2n ((2n−1)a+(n−1)(b−a)+b) =
2
2
b−a
na + nb) = (b − a)(a + b)/2 = b −a
für jedes n ∈ N
c
2n (
2
R
z.H. Schreibe ein Programm zur Berechnung von bestimmten Integralen unter
o
Verwendung der Trapez-Regel.
6.1.2
Numerische Integration – Simpson-Regel
Zur numerischen Berechnung von ab f (x) dx mit der Simpson65 -Regel werden bei
äquidistanter Zerlegung xi = aR + i ∆x von [a, b] mit ∆x = (b − a)/n die Flächeni+1
f (x) dx durch die Fläche unter dem Graphen
Inhalte der ‘Doppel-Streifen’ xxi−1
der Parabel durch die drei Punkte (xi−1 , yi−1 ), (xi , yi ) und (xi+1 , yi+1 ) mit yj =
f (xj ) approximiert. Für p(x) = co + c1 x + c2 x2 gilt mit xi+1 − xi−1 = 2∆x
R
Z xi+1
xi−1
p(x) dx = 2 ∆x co +
=
c1 2
c2 3
xi+1 − x2i−1 +
xi+1 − x3i−1
2
3
∆x 6co + 3c1 (xi+1 + xi−1 ) + 2c2 (x2i−1 + xi−1 xi+1 + x2i+1 ) .
3
Der Ausdruck auf der rechten Seite kann direkt in Ordinaten angegeben werden,
i+1
ohne die Koeffizienten co , c1 und c2 explizit bestimmen zu müssen (xi = xi−1 +x
):
2
yi−1 = co + c1 xi−1 + c2 x2i−1
4 yi = 4 co + 4 c1 xi + 4 c2 x2i
65
Thomas Simpson (1710-1761)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Simpson.html
85
yi+1 = co + c1 xi+1 + c2 x2i+1
yi−1 + 4 yi + yi+1 = 6 co + c1 (xi+1 + 4xi + xi−1 ) + c2 x2i−1 + 4x2i + x2i+1
= 6 co + 3 c1 (xi+1 + xi−1 ) + 2 c2 x2i−1 + xi−1 xi+1 + x2i+1
Also gilt
Z b
a
R xi+1
xi−1
p(x) dx = ∆x
(yi−1 + 4 yi + yi+1 ) und somit für geradzahliges n
3
f (x) dx ≈ In =
numerik.pdf
heath.pdf
∆x
(yo + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . . + 4yn−1 + yn ) .
3
Bei ungeradem n wird üblicherweise durch die ersten vier Punkte (x
, y ) bis apprxint.cpp
R xo3 o
(x3 , y3 ) ein kubisches Polynom q(x) gelegt, dessen Integral man als xo q(x) dx
= 83 ∆x (yo +3y1 +3y2 +y3 ) bestimmt und das verbleibende Teilintegral mit der
Simpson-Regel berechnet.
Die Abschätzung eines Integrals durch Funktionswerte an vier Stellen ist die
sogenannte 3/8-Regel von Newton66 .
Z.B. Die Simpson-Regel angewandt auf das Integral der Funktion f (x) = x2
muß mit jedem In den korrekten Wert des Integrales liefern: ab x2 dx ≈ In =
∆x
a2 +4(a+∆x)2 +2(a+2∆x)2 +4(a+3∆x)2 +2(a+4∆x)2 +. . .+4(a+(n−1)∆x)2 +b2 )
3 (
Pn/2
= 13 i=0 ∆x (a + 2 i ∆x)2 + 4 (a + (2 i + 1) ∆x)2 + (a + (2 i + 2) ∆x)2
R
=
1
3
Pn/2
i=0
((a+2(i + 1)∆x)3 −(a+2 i∆x)3 ) = 31 (b3 −a3 ) für jedes n ∈ N.
c
z.H. Schreibe ein Programm zur Berechnung von bestimmten Integralen unter
Verwendung der Simpson-Regel.
o
z.H. Vergleiche die Konvergenzgeschwindigkeit der beiden Programme zur Be-
rechnung bestimmter Integrale einiger Beispielfunktionen.
6.1.3
o
weitere numerische Integrationsverfahren
Die Hermite67 -sche Trapezformel
Z b
a
f (x) dx ≈ In = h(
yn
h2
yo
+ y1 + . . . + yn−1 + ) + (yo0 − yn0 )
2
2
12
approximiert die zu integrierende Funktion f durch ein kubisches Polynom, das
f und f 0 interpoliert.
Quadraturformeln und weitere Integrationsverfahren sind etwa im Abschnitt 19.3
des Bronstein et al, online http://buchholz.hs-bremen.de/bronstein nur in der
HSB-Domäne, beschrieben.
6.2
86
Das unbestimmte Integral
Die Verbindung des Integrals mit dem Differential wird durch folgenden Ansatz
hergestellt:
Def. Für feste untere Grenze a kann man das bestimmte Integral als FunktiR
on der variablen oberen Grenze auffassen: die Funktion I(x) = ax f (u) du oder
Ia (x) =
Rx
a
f (u) du heißt für jedes a eine Integralfunktion von f .
ist Io (x) =
Rx 2
u du
o
=
1 3
x
3
Rx
2u du = x2 und I1 (x) = x2 − 1. Für f (x) = x2
und I1 (x) = 13 (x3 − 1).
c
Z.B. Für f (x) = 2x ist Io (x) =
o
Bem. Zwei Integralfunktionen Ia (x) und Ib (x) unterscheiden sich nur um eine
additiveRKonstante C,R die sogenannte
Integrationskonstante, nämlich C = Ia (x)−
R
Ib (x) = ax f (u) du − bx f (u) du = ab f (u) du.
◦
Rb
Bem. Für jede Integralfunktion I(x) von f gilt a f (x) dx = I(b) − I(a) =:
I(x)|ba . SeiR nämlich I Rdie Integralfunktion
von f mit der unteren Grenze ao .
R
Dann gilt ab f (x) dx = abo f (u) du − aao f (u) du = I(b) − I(a).
◦
Bem. Integralfunktionen
I(x) werden
häufig auch als unbestimmtes Integral, d.h.
R
R
als I(x) = f (x) dx oder I(x) = f (x) dx + C mit der beliebigen (additiven)
Integrationskonstanten C geschrieben.
◦
Satz Für die erste Ableitung I 0 (x) einer Integralfunktion I(x) = f (u) du einer
stetigen Funktion f gilt
R
I 0 (x) =
0
Z
f (u) du
= f (x)
R
Die abgeleitete Integralfunktion I(x) = f (x) dx ist ihr Integrand.
•
Bew. Sei I eine Integralfunktion von f zur unteren Grenze a. Dann gilt
!
Z x
1 Z x+h
1 Z x+h
f (u) du = lim
I (x) = lim
f (u) du −
f (u) du
h→0 h x
h→0 h
a
a
1
= lim h f (xm ) = lim f (xm ) = f (x) ,
h→0 h
h→0
0
da laut
Mittelwertsatz der Integral-Rechnung ein xm zwischen x und x+h existiert
R x+h
mit x f (u) du = h f (xm ). Mit h → 0 gilt auch xm → x und damit f (xm ) →
√
f (x) aufgrund der Stetigkeit von f .
Def. Jede Funktion F mit F 0 = f heißt (eine) Stammfunktion von f .
Z.B. Stammfunktion zur Geschwindigkeit v(t) = ṡ(t) =
ds
dt
ist der zurückgelegte Weg s(t), Stammfunktion zum elektrischen Strom ı(t) = q̇(t) = dq
ist
dt
die elektrische Ladung q(t), Stammfunktion zu der an einer Spule anliegenden
dı
Spannung u(t) = ı̇(t) = dt
ist der durch die Spule fließende Strom ı(t).
c
66
67
Isaac Newton (1643-1727)
Charles Hermite (1822-1901)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Newton.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hermite.html
BDH 6.2, 338
BHW Bd.I 4.1,326
BrSe 8.1, 321
Pap Bd.1 V 4, 336
Sti 8.2, 377
Stö A1 31.5, 339
Stö TB 15.1, 521
87
Bem. Zwei Stammfunktionen F1 und F2 derselben Funktion f unterscheiden
sich nur um eine additive Konstante, da aus (F1 − F2 )0 = F10 − F20 = f − f = 0
eben F1 − F2 = const folgt.
◦
Z.B. Eine Stammfunktion zu f (x) = 2x2 −1 ist F (x) = x3 −x+4711, eine solche
zu f (x) = cos x etwa F (x) = sin(x) + 0815 und eine solche zu f (x) =
etwa F (x) = arctan(x − 1) + 42.
1
1+(x−1)2
c
Der folgende Hauptsatz verknüpft Differential- und Integral-Rechnung:
Satz (Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung) Jede Integralfunktion
ist auch Stammfunktion und umgekehrt,
I(x) =
Z
f (x) dx ⇔ I 0 (x) = f (x) .
oder
Z
f 0 (x) dx = f (x) + C
Integration und Differentation sind also inverse Operationen.
•
Bem. Bestimmte Integrale lassen sich also durch Bestimmung und Auswertung
einer Stammfunktion berechnen:
Z b
a
f (x) dx = I(b) − I(a) = I(x)|ba = F (b) − F (a) = F (x)|ba
sicher die wichtigste Anwendung des Hauptsatzes.
Z.B.
R 1
R x
R
xc dx =
◦
b
Rb c
1
1
c+1
c+1 für c ∈ Z ∪ R+ ,
x
+
C
bzw.
x
dx
=
x
a
c+1
c+1
a
Rb 1
R
R
bzw. a x dx = ln x|ba , ex dx = ex + C bzw. ab ex dx = ex |ba ,
Rb
b R
dx = ln x + C
sin x dx = − cos x + C bzw. a sin x dx = − cos x|a , cos x dx = sin x + C bzw.
R
Rb
R
b
1
c
c+1
+ C, ecx dx =
a cos x dx = sin x|a usw. aber auch (x + d) dx = c+1 (x + d)
R 1
1 cx
e + C oder cx+d
dx = 1c ln(cx+d) + C
c
c
z.H. Berechne den Flächen-Inhalt der von den Graphen von sin x und cos x für
x ∈ [0, 23 π] begrenzten Fläche.
z.H. Berechne den mittleren Strom ıgal =
o
2 R T /2
ı̂
sin(ωt) dt,
wobei Kreisfrequenz
ω und Periodendauer T in Relation ω T = 2π zueinander stehen.
o
T
o
z.H. Berechne die mittlere Höhe (Abstand vom Boden) der Kettenlinie f (x) =
cosh x für |x| ≤ ln 10.
o
Bem. Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integral-Rechnung ergeben sich also eine Reihe von sogenannten Grundintegralen aus der Differentation
88
der elementaren Funktionen:
R
R
R
R
R
xm dx
1
dx
x
sin x dx
tan x dx
1
dx
sin2 x
1
= m+1
xm+1 + C falls m 6= −1
= ln x + C
= − cos x + C
= − ln | cos x| + C
= − cot x + C
(
R
R
R
R
R
R
artanh x + C
arcoth x + C
√ 1
dx = arcsin x + C
1−x2
1
dx = − arcoth x + C
x2 −1
sinh x dx = cosh x + C
tanh x dx = ln(cosh x) + C
1
dx = − coth x + C
sinh2 x
1
1−x2
dx
=
R x
e dx
R
= ex + C
cos x dx = sin x + C
R
cot x dx = ln | sin x| + C
R 1
dx = tan x + C
cos2 x
für |x| < 1 R
für |x| > 1
R
für |x| < 1
R
für |x| > 1
1
1+x2
dx = arctan x + C
√ 1
1+x2
√ 1
x2 −1
dx = arsinh x + C
dx = arcosh x + C
R
cosh x dx = sinh x + C
R
coth x dx = ln | sinh x| + C
R
1
dx = tanh x + C
cosh2 x
Integral-Tafeln z.B. in Bartsch (1974) S.319-320, 329-347, 353-356, Brauch/Dreyer/Haacke (1990) S.393-395 oder Bronstein/Semendjajew (1968) S.285, 296330, 350-354, Stöcker, Papula, . . .
◦
Bem. Integrale als Ergebnis einer inversen Operation sind häufig nicht geschlossen lösbar. Solche bestimmten Integrale können nur numerisch berechnet, d.h. nur näherungsweise bestimmt, also approximiert werden (beispielsweise
durch Trapez- oder Simpson-Integration oder auch durch Taylor-Entwicklung des
Integranden).
◦
Zu den nicht geschlossen
lösbaren Integralen gehören beispielsweise
der
R x sin t
Rx 1
Integral-Sinus Si(x) = o t dt, der Integral-Logarithmus Li(x) = o ln t dt oder
Rx
1 2
e− 2 t dt, also die Verteilungsfunkdas Gauß’sche Fehler-Integral F(x) = √12π −∞
tion der Normal-Verteilung.
c
Z.B.
6.3
Das uneigentliche Integral
Ein bestimmtes Integral heißt uneigentlich, wenn entweder der Integrand an einer der Integrationsgrenzen eine Unendlichkeitsstelle hat oder eine der Grenzen
unbeschränkt ist. In jedem Fall wird der Wert des uneigentlichen Integrales als
Grenzwert des bestimmten Integrales definiert.
Z v
u
Z.B.
R1 1
√
o
dagegen
f (x) dx = lim
a→u
Z b
f (x) dx
a
b→v
√ 1
√ 1
dx = lima→0 2 x|a = 2 x|o = 2
x
R1 1
o x
dx = lima→0 ln x|1a = ∞ oder
R 1 −2
x dx
o
1
= − x1 = ∞
o
c
Z.B.
R∞
o
R ∞ −2
x dx
1
b
89
Qo e−ct dt = limb→∞ − Qco e−ct = limb→∞
=
b
limb→∞ − x1 1
= 1 dagegen
Z.B. Die Funktion Γ : x → Γ(x) =
o
R∞
1
Funktion mit Γ(1) = 1.
1 − e−cb =
√ b
√1 dx = limb→∞ 2 x| = ∞
1
x
R ∞ −t x−1
e t
dt
o
Qo
c
Qo
c
oder
c
heißt (Euler68 sche) Gammac
Bem. Die Fourier69 -Transformierte oder auch Spektralfunktionen einer jeden
(Zeit-) Funktion
f (t) sind durch die uneigentlichenR Integrale gegeben, etwa durch
R∞
∞
f (t) cos(ω t) dt und φs (ω) = √1π −∞
f (t) sin(ω t) dt, aus denen
φc (ω) = √1π −∞
R
R
∞
∞
1
1
f (t) als f (t) = √π o φc (ω) cos(ω t) dω + √π o φs (ω) sin(ω t) dω durch die inverse Fourier-Transformierte zurückgewonnen werden kann.
∞
In komplexer Darstellung ist φ(ω) = √12π −∞
f (τ ) e−jωτ dτ ist die SpektralfunktiR∞
φ(ω) ejωt dω eben die inverse
on oder Fourier-Transformierte und f (t) = √12π −∞
Fourier-Transformierte.
◦
R
Bem. Ebenso ist als weitereR Integral-Transformationen die Laplace-Transformierte F (z) = L(f (t))(z) = o∞ f (t)e−zt dt einer Funktion f (t) durch ein uneigentliches Integral gegeben.
◦
Bem. Uneigentliche Integrale spielen aber auch in der WahrscheinlichkeitsrechnungR eine Rolle: für jede Dichte-Funktion f (p) einer reellwertigen Zufallsvariablen
∞
gilt −∞
f (p) dp = 1.
◦
68
69
Jean Baptiste Fourier (1760-1830)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fourier.html
7
90
Integral-Rechnung
Nicht zu jeden Funktion f kann eine Stammfunktion F angegeben werden. Ein
Integral heißt geschlossen lösbar genau dann, wenn die Stammfunktion zum Integranden aus endlich vielen elementaren Funktionen besteht. Die folgenden Methoden ermöglichen, Stammfunktionen wenigstens gewisser Typen von Integranden
zu bestimmen. Ein nicht geschlossen lösbares Integral kann – etwa mit der Trapezoder Simpson-Regel – nur numerisch berechnet, d.h. approximiert werden.
7.1
Produkt-Integration
Integration der Produkt-Regel (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 für die Differentation in der
Form f · g 0 = (f · g)0 − f 0 · g liefert die Produkt-Integration oder auch partielle
Integration für das unbestimmte Integral
Z
0
f · g dx = (f · g) −
Z
f 0 · g dx
und für das bestimmte Integral
Z b
0
f · g dx = (f ·
a
g)|ba
−
Z b
f 0 · g dx
a
x sin x dx = −x cos xR + cos x dx = −x cos x + sin
x,
R
R
1
x
2
2
sinR x dx = 2 − 4 sin 2x, da sin x dx = − sin x cos x+ cos2 x dx = − 12 sin 2x+
x
− sin2 xRdx gilt. Produkt-Integration
bzgl. des Faktors 1 ergibt:
R
R 1
ln x dx = 1 ln x dx = x ln x − x x dx = x (ln x − 1) + C und per Verifikation
√
R
R
dx
arcsin x dx = x arcsin x − √x1−x
1−x2 + C sowie
2 = x arcsin x +
R
R x dx
c
arctan x dx = x arctan x − 1+x2 = x arctan x − 12 ln(1+x2 ) + C
Z.B.
R
R
z.H. Berechne
R
sinh2 x dx und
R
cosh2 x dx.
o
Z.B. Für den Strom ı(t) = ı̂ sin(t) gilt 1 = ω =
1
2π
ı2eff
R 2π 2
ı (t) dt
=
o
damit ıeff =
√
=
ı̂2
2π
R 2π
o
2
sin (t) dt =
2
ı̂.
2
ı̂2 1
(t
2π 2
2π
T
oder ω T = 2π. Dann ist
ı̂2 1
1 2
− cos t sin t)|2π
o = 2π 2 2π = 2 ı̂ und
c
Verifiziere sinn x dx = n1R (− cos x sinn−1 x + sinn−2 x dx) und genauso
n
cos x dx = n1 (sin x cosn−1 x + cosn−2 x dx); werte die Rekursionsformeln für
n = 2 sowie n = 3 aus.
o
z.H.
R
R
R
sinhRn x dx, coshn x dx sowie
2
cosh x dx sowie ln2 x dx.
o
z.H. Leite entsprechende Rekursionsformeln für
R
lnn x dx her; berechne
R
sinh2 x dx,
R
R
R
R ∞ −t x−1
e t
dt
heißt (Euler70 sche) GammaFunktion. Partielle Integration liefert die Funktional-Gleichung Γ(x + 1) = xΓ(x).
Damit gilt wegen Γ(1) = 1 per Induktion Γ(n + 1) = n! für n ∈ N.
c
Z.B. Die Funktion Γ : x → Γ(x) =
70
o
BDH 6.3, 351
BHW Bd.I 4.2, 329
BrSe 8.1, 322
Pap Bd.1 V 8, 346
Sti 8.3, 383
Stö A1, 33, 349
Stö TB 15.3, 529
91
z.H. Führe eine Kurvendiskussion der Gamma-Funktion für x > 0 durch. Dabei
n
d
x−1
gilt Γ(n) (x) = o∞ e−t dx
) dt = o∞ e−t lnn (t) tx−1 dt, da uneigentliche Integran (t
tion und Differentation vertauscht werden dürfen.
o
R
z.H. Zeige
7.2
R
R ∞ −x2 2m+1
dx
e x
o
= 12 m! für m ∈ N.
o
Substitution
Wie sich die Produkt-Integration aus der Produkt-Regel der Differentation
abR
leitet, entspricht die Substitution der Kettenregel: Um F (x) = f (x) dx zu bestimmen, führt Ersetzen von x durch x = h(u) häufig zum Erfolg. Es gilt für
G(u) = F (h(u)) per Kettenregel G0 (u) = F 0 (h(u)) h0 (u). Der Übergang zur
R
R
Stammfunktion liefert f (x) dx = F (x) = G(u) = f (h(u)) h0 (u) du, also für
stetige Funktionen f , h und h0 das unbestimmte Integral
Z
f (x) dx =
Z
f (h(u)) h0 (u) du mit x = h(u)
wie ebenso das bestimmte Integral
Z b
f (x) dx =
Z k(b)
k(a)
a
f (h(u)) h0 (u) du mit x = h(u) und u = k(x) = hinv (x)
Z.B. Die Anwendung der Regel von ‘rechts nach links’ für die Funktion f (x) =
0
1
x
(u)
liefert hh(u)
du = f (x) dx = ln |x| + C = ln |h(u)| + C. So ergibt sich für
R
trigonometrischeRFunktionen z.B. tan x dx = − ln | cos x| + C, für hyperbolische
Funktionen
z.B. tanh x dx = ln cosh x + C oder für Funktionen des Logarithmus
R 1
etwa x ln x dx = ln | ln |x|| + C.
c
R
z.H. Berechne
mit Probe.
R
R
cot x dx = ln | sin x| + C und coth x dx = ln | sinh x| + C jeweils
o
R
h(u) h0 (u) du = x dx = 12 x2R = 12 h2 (u)
– wie im übrigen auch die partielle Integration – und es ergibt sich etwa lnxx dx =
1
ln2 x + C.
c
2
Z.B. Für f (x) = x liefert die Substitution
R
R
f (u2 ) u du = 12 f (u2 ) 2u du = 21 f (x) dxR = 21 F (x) =
1
2
F (u ) für eine Stammfunktion F der Funktion f ; also allgemein f (x) x dx =
2
√
R x2
R x dx
1
1 x2
1
2
√
F
(x
).
So
ergeben
sich
beispielsweise
e
x
dx
=
e
+C,
=
a+bx2
2
2
2
b
a+bx
R
R x dx
R
1
ln(a+bx2 ) + C (s. arctan x dx).
c
+C (s. arcsin x dx) oder a+bx2 = 2b
Z.B. Mit h(u) = u2 folgt
R
R
R
Für die Anwendung von ‘rechts nach links’ muß der Integrand erkennbar in der
Form f (h(u)) h0 (u) vorliegen. Für die Anwendung von ‘links nach rechts’ sei
g(u) = f (h(u)) mit invertierbarem h, d.h. mit Umkehrfunktion xR = h(u) ⇔
u = k(x), so daß f (x) = f (h(u)) = g(u). Substitution liefert f (x) dx =
R
g(k(x)) dx =
0
k 6= 0
Z
R
92
g(u) h0 (u) du und damit für stetige Funktionen g, k und k 0 mit
g(k(x)) dx =
Z
dh(u)
du
= g(u)
du mit u = k(x) bzw. x = h(u)
g(u) 0
k (x)
du
Z
und für das bestimmte Integral
Z b
g(k(x)) dx =
Z k(b)
a
dh(u)
du mit u = k(x) bzw. x = h(u) .
du
g(u)
k(a)
√
R
u−b
gilt ’von rechts nach links’
a
b)3 , was sich ebenso mit u = k(x)
ax + b dx
q
√
√
2
2
=
u du = 3a u3 = 3a (ax +
= ax + b
R√
1 R √
0
0
bzw. u = k (x) = a ’von links nach rechts’ aus
ax+b dx = a
u du ergibt.
Allgemein
gilt
nämlich
c
R
1 R
1
1
Bem. f (ax + b) dx = a f (u) du = a F (u) = a F (ax + b) für jede Stammfunktion F von f .
◦
R
1 R
folgt
sin(ωt
+
φ)
dt
=
sin(u)
du
=
Z.B. Mit u = ωt + φ bzw. t = u−φ
ω
ω
− ω1 cos u + C = − ω1 cos(ωt + φ) + C.
c
Z.B. Mit u = ax+b bzw. x = h(u) =
1
a
R
Bestimme, gegebenenfalls
auf mehrere Arten,
(ax + b)2 dx, eax+b dx,
R ax2 +bx+c
R
ln(ax + b) dx sowie e
(2ax + b) dx und ln(ax2 + bx)(2ax + b) dx.
o
R
z.H.
R
Z.B.
R
sin2 x dx =
1
2
R
(1−cos 2x) dx =
1
2
R
x − 12 sin 2x = 21 (x − sin x cos x) + C
und
cos2 x dx = 12 (1 + cos 2x) dx = 12 x + 21 sin 2x + C =
1
(x + sin x cos x) + C.
2
R1 √
1 − x2 dx bestimmt
sich mit der Substitution x =
Einheitskreis-Fläche I = 2√−1
R
R√
R
2 u dx du = −2 sin2 u du =
h(u) = cos u aus I = 2 1 − x2 dx = 2
1
−
cos
du
√
− (u − sin u cos u) = − arccos x − x 1 − x2 erwartungsgemäß zu π, nämlich
1
√
c
I = − arccos x − x 1 − x2 = π (Hauptwert des arccos)
R
R
−1
z.H. Bestimme
R
2
sinh x dx und
R
cosh2 x dx.
o
Rb
Bem. Merkregel zur Lösung von a f (h(x)) dx durch Substitution: erstens Ersetzen von h(x) durch die neue Integrationsvariable u = h(x), zweitens Berechnen
des
neuen Differentials du = h0 (x) dx oder eben dx = du/h0 (x), drittens
Lösen von
R
R
0
f (u)/h (x) du durch Bestimmen einer Stammfunktion G(u) = f (u)/h0 (x) dx
und Resubstituieren von u = h(x), so daß sich schließlich
(auch durch unbeRb
stimmte Integration und dann folgende Resubstitution) a f (h(x)) dx = G(h(b))−
G(h(a)) ergibt.
◦
Z.B. Mit x = tan u ergibt sich
und analog
R −dx
1+x2
R
dx
1+x2
= arccot x + C.
=
R tan0 u du
1+tan2 u
R
= du = u + C = arctan x + C
c
Einige Integrale sind durch geeignete Substitution zu lösen. Faustregel:
Stö 15.3
93
Integrand
Substitution
√
f (x, √a2 − x2 ) x = a sin u bzw. u = arcsin xa
f (x, √a2 + x2 ) x = a sinh u bzw. u = arsinh xa
f (x, x2 − a2 ) x = a cosh u bzw. u = arcosh xa
z.H. Bestimme erstens
R
√ dx
,
x2 −a2
R
drittens
√
R
a2 − x2 dx und
R
√
R
x2 +a2 dx und
√ dx
x2 +a2
√ dx
,
a2 −x2
mit
√
2
2
√a − x = a cos u
2
2
√a + x = a cosh u
x2 − a2 = a sinh u
zweitens
R
√
x2 −a2 dx und
sowie als Anwendung
R
−2
√x
x2 +2
dx. o
Z.B. Die Fläche des Hyperbel-Sektors A(x√o ), also die Fläche zwischen x = xo ,
dem Graphen der Hyperbel y = f (x)
x2 − a2 und der Geraden y = mx
q=
R √
o)
ist durch A(xo ) = x2o x2o − a2 − axo x2 − a2 dx gegeben. (Die
mit m = f (x
xo
√
Hyperbel x2 − y 2 = a2 bzw. y = f (x) = ± x2 − a2 hat die Asymptoten y = ±x.)
y
6
,
,
,
,
,
,
-
xo
x
Substitution x = a cosh u bzw. u = arcosh xa liefert
I(x) =
Z arcosh x
a
a sinh u a sinh u du = a
2
Z arcosh x
a
sinh2 u du
o
arcosh 1
und mit Produkt-Integration
Z
sinh2 x dx = sinh x cosh x −
Z
Z
cosh2 x dx = sinh x cosh x − (1+sinh2 x) dx,
da cosh2 x − sinh2 x = 1 und somit sinh2 x dx = 21 (sinh x cosh x − x) gilt. Also
folgt aus sinh(2x) = 2 sinh x cosh x für das Integral
R
I(x) = a
sinh(2u) u
−
4
2
2
!arcosh x
a
=a
2
o
1
x 1
x
.
sinh(2 arcosh )− arcosh
4
a 2
a
q
Da sinh(2 arcosh y) = 2 sin(arcosh y) cosh(arcosh y) = 2 cosh2 (arcosh y)−1 y =
√
2 y 2 − 1 y gilt, ergibt sich
I(x) = a
2
1
2
r 2
x
a
!
x
a
−1 −
1
2
arcosh
x
a
√
= 12 x x2 − a2 −
a2
2
arcosh xa
xo q 2
a2
xo
2
und so A(xo ) =
xo − a − I(xo ) =
arcosh . Die Funktion arcosh be2
2
a
schreibt also die Fläche eines Hyperbelsektors – daher der Name.
c
7.3
94
Partialbruch-Zerlegung
Partialbruch-Zerlegung
ist das Verfahren zur Integration rationaler Funktionen.
R (x)
Der Integrand in fg(x)
dx wird zunächst in eine ganze plus eine echt rationale
Funktion umgeformt, so daß
R p(x)
q(x)
p(x)
q(x)
dx mit grad(p) < grad(q) = n zu bestimmen
in eine Summe von leicht zu integrierenden
ist. Ziel ist, den Integranden
c
zu zerlegen. Dazu wird der Nenner
Partialbrüchen der Form (x−d)k oder (cx2ax+b
+dx+e)k
Qno
Qn
vν
q(x) = c i=1 (x − xi ) = c ν=1 (x − xν ) in seine n Linearfaktoren (x − xi ) zu
den Nullstellen xi zerlegt. Je nach Vielfachheit vν der Nullstellen xν wird die
Partialbruch-Zerlegung wie folgt angesetzt.
Für no reelle Nullstellen xν mit Vielfachheit vν des Polynoms q(x) im Nenner ist
P o Pvν
aν,i
dies der Ansatz p(x)
= nν=1
i=1 (x−xν )i mit den unbekannten Koeffizienten aν,i
q(x)
für ν = 1, . . . , no und i = 1, . . . , vν .
Komplexe Nullstellen treten immer paarig auf: mit der Nullstelle z = x + jy ∈
C, y 6= 0 ist auch die konjugiert komplexe Zahl z ∗ = x − jy Nullstelle des reellen
Polynomes q. Der Linearfaktor derartiger zueinander konjugiert komplexer, ein1
und geht
facher Nullstellen – also mit der Vielfachheit 1 – hat die Form x2 +px+q
mit Unbekannten a und b in den Ansatz zur Partialbruch-Zerlegung
als x2ax+b
+px+q
ein.
Zueinander konjugiert komplexe, mehrfache Nullstellen der Vielfachheit v haben
Pv
ai x+bi
1
die Form (x2 +px+q)
v und gehen als
i=1 (x2 +px+q)i mit Unbekannten ai und bi in
den Ansatz zur Partialbruch-Zerlegung ein.
Die unbekannten Koeffizienten bestimmt man per Koeffizientenvergleich oder
durch Auswerten der entstehenden Gleichungen für geeignete x, insbesondere
also Auswerten in den Nullstellen des Nenners.
1
a
b
= (x−1)(x−2)
= x−1
+ x−2
= a(x−2)+b(x−1)
. Identität der Zähler für jedes
(x−1)(x−2)
x liefert für x = 2 eben b = 1 und für x = 1 eben a = −1, insgesamt also die
1
1
1
Partialbruch-Zerlegung (x−1)(x−2)
= − x−1
+ x−2
.
c
Z.B.
1
q(x)
z.H. Bestimme die Partialbruch-Zerlegung von
1
x2 −x
und
1
.
x3 −x
o
2
a(x−2) +b(x−1)(x−2)+c(x−1)
1
a
b
c
= (x−1)(x−2)
. Identität
2 = x−1 + x−2 + (x−2)2 =
(x−1)(x−2)2
der Zähler für jedes x liefert für x = 2 eben c = 1 und für x = 1 eben a = 1.
Auswertung an einer weiteren Stelle, etwa für x = 0 liefert 1 = (−2)2 + 2b − 1
1
1
oder eben b = −1, insgesamt also die Partialbruch-Zerlegung (x−1)(x−2)
2 = x−1 −
1
1
+ (x−2)
c
2.
x−2
Z.B.
1
q(x)
2
(ax+b)(x−1)+c(x +1)
1
c
= (x2 +1)(x−1)
= xax+b
. Identität der Zähler
2 +1 + x−1 =
(x2 +1)(x−1)
1
für jedes x liefert für x = 1 eben c = 2 und für x = j eben 1 = (aj + b)(j − 1) =
−(a+b)+j(b−a) und damit für Realteil und Imaginärteil a = b = − 12 , insgesamt
2
1
also die Partialbruch-Zerlegung (x2 +1)(x−1)
= − xx+1
c
2 +1 + x−1 .
Z.B.
1
q(x)
z.H. Bestimme die Partialbruch-Zerlegung von
1
x2 +x
und
1
.
x4 +x2
o
95
Man kann nun das Integral jedes so bestimmten Partialbruches berechnen, und
zwar in den drei wichtigsten Fällen der Nullstellen des Polynoms im Nenner
(einfache und mehrfache reelle sowie einfache (zueinander konjugiert) komplexe
Nullstellen) zu
1.
2.
3.
Z
a
dx = a ln |x − xo | + C bei einer einfachen reellen Nullstelle xo ,
x − xo
Z
a
−a
dx =
+C
m
(x − xo )
(m − 1)(x − xo )m−1
bei einer m-fachen (m > 1)
reellen Nullstelle xo und
ax + b
a
2b − ap
2x + p
2
√
√
dx
=
ln
|x
+
px
+
q|
+
arctan
+C
x2 + px + q
2
4q − p2
4q − p2
bei zwei wegen 4q
> p2 zueinander konjugiert komplexen, einfachen Null√
stellen −p
± j 21 4q − p2 , da in diesem Fall der Nenner quadratisch zu
2
(x + 12 p)2 + (q − 41 p2 ) ergänzt werden kann.
Z
4. Zerlegung der Integrale der Partialbrüche zu mehrfachen komplexen NullR
R a2 (2x+p)
R
b− a2 p
ax+b
stellen (x2 +px+q)
dx
+
dx gestattet einerseits
i dx =
2
i
2
(x +px+q)
(x +px+q)i
die direkte Berechnung des ersten Integrales
a
a
2x + p
1
dx = −
+C
2
i
2
2 (x + px + q)
2(i − 1) (x + px + q)i−1
Z
Mit X = x2 + px + q und ∆ = 4q − p2 gilt andererseits
0
2x+p
( (i−1)∆X
i−1 ) =
0
1
X
=
( (i−1)∆
X i−1 )
2
2
2
1
X 0 (−i+1)X 0
2
1
+ (i−1)∆
= (i−1)∆
− 4x +4px+p
=
(i−1)∆ X i−1
Xi
X i−1
∆X i
2(2i−3)
p2 −4q
4
1
− ∆X i = − (i−1)∆X i−1 + X i , was integriert die folgende
∆X i−1
0
2
1
(i−1)∆ X i−1
−
Reduktion des zweites Integrales liefert.
Z
dx
=
2
(x +px+q)i
x+ p2
2
2(i−1)(q− p4 )(x2 +px+q)
+
i−1
2i−3
2
2(i−1)(q− p4 )
dx
Z
(x2 +px+q)i−1
Bew. Im dritten Fall liefert die Substitution z = x+ 12 p bzw. x = z − 21 p zunächst
R
ax+b
x2 +px+q
dx =
R az−a 21 p+b
z 2 +s2
dz = a
R z dz
+
z 2 +s2
R b−a 21 p
z 2 +s2
dz.
Die Substitution u = z 2 + s2 bestimmt das erste Integral zu a
a
ln |u| = a2 ln |x2 + px + q| + C.
2
Die Substitution v =
R b−a 12 p
z 2 +s2
dz =
c R
s2
1
1+(
z 2
s
)
z
s
R z dz
z 2 +s2
a
2
R du
u
=
mit c = b − a 12 p bestimmt das zweite Integral zu
dz =
c
s
R
1
1+v 2
dv =
c
s
arctan v = q
x+ 12 p
c
2
q− p4
√2b−ap arctan √2x+p + C.
2
2
4q−p
=
arctan q
2
q− p4
=
√
4q−p
R 6x2 −26x+8
Z.B.
x3 −3x2 −x+3
1
1
dx = 3 x−1
dx + 5 x+1
dx − 2
R
−1 und 3 jeweils einfache NS vorliegen, so daß sich
R
R
R
3 (x+1)5 5 ln |x+1| − 2 ln |x−3| = ln (x−1)
+ C ergibt.
(x−3)2
1
dx, da
x−3
6x2 −26x+8
x3 −3x2 −x+3
an den Stellen 1,
dx = 3 ln |x−1| +
c
R
Z.B.
dx
x3 −2x2 +x
daß sich eben
dx =
R dx R dx
−
x
dx
R
x3 −2x2 +x
(x2 +x−20) dx
x3 −5x2 +11x−15
+
x−1
R
dx
,
(x−1)2
96
da 0 einfache und 1 doppelte NS, so
x
−1
1
dx = ln|x| − ln |x − 1| + x−1
= ln x−1
− x−1
+ C ergibt.
c
R dx
+
R (2x+5) dx
R
x+1
(x−1)(x−2)
, da x2 − 2x + 5 keine reellen NS hat
x2 −2x+5
R (x2 +x−20) dx
und da 3 einfache NS ist, so daß
sich x3 −5x2 +11x−15 = − ln |x − 3| + ln |x2 −2x+
2
= ln x −2x+5
+ 72 arctan x−1
+ C ergibt.
c
5| + 27 arctan x−1
2
x−3
2
R
Z.B.
=−
x+1
x−3
z.H. Bestimme
R
z.H. Bestimme
R
z.H. Bestimme
R
z.H. Bestimme
R 7x2 −19x+30
z.H. Bestimme
R
1
x3 −x2 +x−1
z.H. Bestimme
R
4x−9
x2 −8 x+15
x2 −3x+2
dx =
x2
x3 −4x2 −3x+18
R
dx =
(x+1)2
x4 −5x3 +9x2 −7x+2
o
dx.
a
b
c
+ (x−3)
( x−3
2 + x+2 ) dx.
dx =
R
(x+1)2
(x−1)3 (x−2)
o
o
dx.
dx =
R
ax+b
+ xc ) dx.
( x2 −6x+10
o
dx =
R
1
(x−1)(x2 +1)
o
x3 −6x2 +10x
dx,
R
2x+3
x3 −x2 −x+1
dx.
dx und
R
3x+5
x3 +x2 +x+1
dx.
o
Z.B. Der magnetische Fluß Φ durch die Fläche der Länge l zwischen zwei un-
endlich langen, gegensinnig vom Strom
I durchflossenen
Leitern im Abstand δ
R
R
bestimmt sich als Integral Φ = B dA = µ H dA, wobei hier die GesamtI
δ
feldstärke durch H(x) = 2π
und damit der magnetische Fluß durch
x2 −(δ/2)2
R δ/2−R
δ/2−R
µo Iδl
dx
gegeben ist. Substitution u =
Φ = µo2πIδl −(δ/2−R) (δ/2)dx2 −x2 = π(δ/2)
2 o
1−(2x/δ)2
R du
2
x und Partialbruch-Zerlegung liefert für das unbestimmte Integral 2δ 1−u
2 =
δ
R du
R δ/2−R
δ
1+u
dx
δ R du
+ 1−u ) = 4 ln 1−u +C und für das bestimmte Integral o
=
4 ( 1+u
1−(2x/δ)2
δ
4
δ/2−R
1+2x/δ
ln 1−2x/δ
Φ=
o
µo Iδl δ
2
π(δ/2) 4
7.4
R
=
δ
4
δ/2−R
ln δ+2x
δ−2x
ln(δ/R − 1) =
o
µo Il
π
=
δ
4
ln δ−R
und somit den magnetischen Fluß
R
ln(δ/R − 1).
c
Anwendungen
Mit Hilfe der Integral-Rechnung bestimmt man Kurven-Längen, Oberflächen und
Volumen von (Rotations-) Körpern, Schwerpunkte, Mittelwerte, Momente, usw.
und – als wichtigste Anwendung – löst Differentialgleichungen.
7.4.1
Kurven-Längen
Der Graph einer Funktion f wirdqim Intervall [xmin , xmax ] durch Polygonzüge aus
Sehnen si mit der Länge |si | = (∆xi )2 + (∆yi )2 approximiert. Damit gilt für
die Kurven- oder Bogen-Länge s des Funktionsgraphen
s=
n
X
i=1
.
|si | =
n q
X
i=1
(∆xi
)2
+ (∆yi
)2
=
v
u
t
n u
X
i=1
∆yi
1+
∆xi
!2
∆xi
BDH 6.4, 369
BHW Bd.I 4.4,379
BrSe 8.2, 339
Pap Bd.1 V 10,371
Sti 8.5, 399
Stö A1, 35, 379
Stö TB 15.6, 544
97
y
f (x)
6
#
#
#
#
si
#
#
#
∆yi
#
#
#
#
#
#
#
∆xi
-
xi−1
xi
x
Aufgefaßt als Riemann’sche Summen ergibt sich im Grenzübergang
s=
Z xmax q
1+
(y 0 )2 (x) dx
=
Z xmax r
xmin
xmin
2
1 + (f 0 (x)) dx
√
Die Länge des Viertelkreisbogens
berechnet
sich
mit
y
=
r2 − x2 soq
√
√
R
2
r
1 + y 02 = 1 + r2x−x2 = √r2r−x2 zu s = o 1 + y 02 dx
wie y 0 = √r−x
2 −x2 und
r
R
R
R
= or √ r2dx 2 = or √ dx x 2 = o1 √r du 2 = r arcsin u|1o = r arcsin xr = r π2
c
Z.B.
r −x
1−u
1−( r )
o
z.H. Berechne die Länge des Graphens der Kettenlinie71 f (x) = cosh(x) für
x ∈ [−xo , xo ] und diejenige des Graphens der Normal-Parabel für x ∈ [0, 1].
o
3/2
Die Länge des Graphens von f (x) = x
etwa für x ∈ [0, 1] (manchmal fälschlicherweise auch als Neil72 sche Parabel bezeichnet) ist |graph(f |[0,π] )| =
Z.B.
R1q
o
1 + ( 32 x1/2 )2 dx =
R1q
o
24
(1
39
1 + 94 x dx =
1
+ 94 x)3/2 =
o
8
27
(3.253/2 − 1).
c
1 3 1
x + x für x ∈ [1, 2]
12
√
1
sowie diejenige des Graphens der Funktion f (x) = 3 x(3 − x) für x ∈ [0, 3]. o
z.H. Berechne die Länge des Graphens der Funktion f (x) =
Bem. Die Länge einer in Parameter-Darstellung x = x(t) und y = y(t) gegebenen Kurve von (x(tmin ), y(tmin )) nach (x(tmax ), y(tmax )) ergibt sich zu
s=
Z tmax q
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt
tmin
da
√
71
q
1+y 02 dx = ds = (dx)2 +(dy)2 =
q
( dx
)2 +( dy
)2 dt =
dt
dt
√ 2 2
ẋ + ẏ dt gilt.
◦
entdeckt von Johann I Bernoulli; Galilei hielt die Kettenlinie noch für eine Parabel!
Johann I Bernoulli (1667-1748)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Johann.html
72
William Neile (1637-1670)
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Neile.html
98
Die Länge einer Zykloide (Bahn eines Punktes auf dem Umfang eines
Kreises mit Radius r, der auf einer
Geraden abrollt), gegeben durch x = r(t−sin t)
R to q
R √
und y = r(1 − cos t), ist r o (1 − cos t)2 + sin2 t dt = r oto 2 − 2 cos t dt =
Z.B.
q
to
t
dt = 2 r oto sin 2t dt = −4 r cos 2t = 4 r(1 − cos t2o ) = 8 r sin2 ( t4o )
2 r oto 1−cos
2
o
und diejenige eines vollen Bogens eben 8 r.
c
R
R
z.H. Leite das Ergebnis ab und verallgemeinere es auf Kurven im Raum.
Berechne die Länge des Viertelkreisbogens x = r cos t und y = r sin t.
o
Bem. Von allen Parametrisierungen einer Kurve ist diejenige mit der Kurvenlänge ausgezeichnet,qso daß für eine solche Kurve (x(t), y(t)) (etwa in der Ebene)
R
eben t = s(t) = ot ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt für t ∈ [0, s] gilt, wobei die gesamte Kurvenlänge s mit einer beliebigen (anderen) Parametrisierung ermittelt sein kann.
◦
t
Z.B. Ausgezeichnete Parametrisierungen sind p + |q−p|
(q − p) mit t ∈ [0, |q − p|]
für die Strecke von p nach q oder m + r( cos rt , sin rt ) mit t ∈ [0, 2πr] für den
Kreis um m mit Radius r.
c
z.H. Bestimme die ausgezeichnete Parameter-Darstellung für die Normal-Parabel
o
vom Ursprung nach (1, 1).
Bem. Die Bogenlänge s der in Polar-Koordinaten gegebenen Kurve r = f (ϕ)
wird approximiert durch die Summe der Längen ds der Verbindungsstrecken von
f (ϕ) (cos ϕ, sin ϕ) nach f (ϕ + dϕ) (cos(ϕ + dϕ), sin(ϕ + dϕ)), also durch
(ds)2 = (f (ϕ+dϕ) cos(ϕ+dϕ)−f (ϕ) cos ϕ)2 +(f (ϕ+dϕ) sin(ϕ+dϕ)−f (ϕ) sin ϕ)2
2
= ([f (ϕ) + f 0 (ϕ) dϕ)][cos ϕ − sin(ϕ) dϕ] − f (ϕ) cos ϕ)
2
+ ([f (ϕ) + f 0 (ϕ) dϕ][sin ϕ + cos(ϕ) dϕ)] − f (ϕ) sin ϕ)
2
2
= (−f (ϕ) sin(ϕ) dϕ+f 0 (ϕ) cos(ϕ) dϕ) + (f (ϕ) cos(ϕ) dϕ+f 0 (ϕ) sin(ϕ) dϕ)
= f 2 (ϕ) + f 02 (ϕ) (dϕ)2 ,
R
so daß sich insgesamt die Bogen-Länge s = ds als
s=
Z ϕmax q
f 2 (ϕ) + f 02 (ϕ) dϕ
ϕmin
ergibt – und zwar unter der Annahme, daß s mit ϕ wächst.
◦
Z.B. Die√Bogenlänge s der √
Spirale
r = e2ϕ von
0 bis ϕ = 2π ist dann durch
√ϕ=
R 2π
R 2π 2ϕ
4π
s = o
e4ϕ + 4e√4ϕ dϕ = 5 o e dϕ =
ϕ
r = e durch s = 2(e2π − 1) gegeben.
5(e
− 1), diejenige der Spirale
c
7.4.2
99
Mantel-Fläche von Rotationskörpern
Die Mantel-Fläche Mx von zur x-Achse rotationssymmetrischen Körpern wird
durch schmale Kegel-Stümpfe mit der Mantel-Fläche π s (r + R) bei Seitenlänge
s und Radien r und R angenähert. Die Mantel-Fläche M eines Kegels mit Seitenlänge s und Radius r ist nämlich der Anteil 2πr
der Kreisfläche mit Radius s,
2πs
also M = π s r.
{
s }
σ z
r
Σ|
R
Die Mantel-Fläche des Kegelstumpfes mit Seitenlänge s sowie Radien r und R
ergibt sich als Differenz der Mantel-Flächen der Kegel mit Seitenlängen Σ bzw. σ
Σ
und Radien R bzw. r mit Σ − σ = s. Wegen σr = R
gilt für die Differenz πΣR −
πσr = π(ΣR−σr) = π(sR+σR−σr) = π(sR+Σr−σr) = π(sR+sr) = πs(R+r)
und daher für einen der approximierenden Kegel-Stümpfe Mi = πr∆si (yi−1 + yi ),
Pn
also Mx ≈
i=1
Mi =
Pn
i=1
π(yi−1 + yi )∆si = π
r
bzw. Mx ≈ π ni=1 (yi−1+yi )
gilt dann im Grenzübergang
P
Mx = 2π
Z xmax
xmin
∆xi
∆yi
r
f (x) 1 + (
2
Pn
i=1 (yi−1
+ yi ) 1+
∆yi 2
∆xi
∆xi
+1 ∆yi . Aufgefaßt als Riemann’sche Summen
2
f 0 (x)
) dx = 2π
Z ymax
r
y
ymin
2
(f inv 0 (y)) + 1 dy
wobei sich das zweite Integral mittels der Substitution x = f inv (y) ergibt.
√
Z.B. Die Oberfläche der Halbkugel berechnet sich q
mit y = r2 − x2 sowie y 0 =
√
2
√ −x
und damit wie beim Kreisbogen 1+y 02 = 1+ r2x−x2 = √r2r−x2 zu Mx =
r2 −x2
√
√
R
R
R
2
2
c
2π or y 1 + y 02 dx = 2π or r √rr2 −x
dx = 2π r or dx = 2π r2 .
−x2
Z.B. Die Oberfläche eines hyperbolischen Reflektors der Höhe h bestimmt sich
als Mantel-Fläche Mx des durch Rotation der Normal-Hyperbel x2 − y 2 = 1 für
1 ≤ x ≤ h um die x-Achse erzeugten Rotationskörpers
zu
q
R x2 √
Rh√
R √
x2
02
2
Mx = 2π x1 y 1+y dx = 2π 1 x −1 1+ x2−1 dx = 2π 1h 2x2 −1 dx und
√
√
mit cosh u = q 2x und ui = arcosh( 2xi ) zu
√
√ R
R
Mx = 2π uu12 cosh2 u − 1 22 sinh u du = π 2 uu12 sinh2 u du
√
√
u2
R
= 22 π uu12 (cosh(2u) − 1) du = 22 π ( 12 sinh(2u) − u)
√
=
=
2
π
2
√
2
π
2
u2
( sinh(u) cosh(u) − u)
√
(
√
2
π
2
u1
q
2
u2
u − 1 cosh(u) − u)
=
( cosh
u1
√
√
√
√
2h 2h2 − 1 − arcosh( 2h) − 2 + arcosh 2).
u1
c
z.H. Bestimme die Oberfläche des zur x-Achse drehsymmetrischen Ellipsoids
mit den Halbachsen a und b.
o
100
Bem. Die Mantel-Fläche Mx des durch Rotation einer in Parameter-Darstellung
gegebenen Kurve x = x(t) und y = y(t) für t ∈ [tmin , tmax ] um die x-Achse
erzeugten Rotationskörpers ist durch
Mx = 2π
Z tmax
q
y(t) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt
tmin
◦
gegeben.
Z.B. Die Oberfläche des Torus mit Radien r und R berechnet sich als Man-
telfläche Mx des durch Rotation der in Parameter-Darstellung gegeben Kurve x = x(t) = r cos t und y = y(t) = R + r sin
q t um die x-Achse erzeugR 2π
ten Rotationskörpers zu Mx = 2π o (R + r cos t) r2 (− sin t)2 + r2 (cos t)2 dt =
R
2
c
2π o2π (R + r sin t) r dt = 4π 2 r R + 2πr2 (− cos t)|2π
o = 4π r R.
z.H. Verifiziere dieses Ergebnis anhand der expliziten Darstellung des (erzeugen-
o
den) Kreises.
z.H. Verifiziere die Formel am Beispiel der Oberfläche von Halbkugel und Ellip-
o
soid.
Entsprechend wird die Mantel-Fläche My von zur y-Achse rotationssymmetrischen Körpern durch schmale Kegel-Stümpfe mit der Mantel-Fläche π s (r + R)
Pn
bei Seitenlänge s und Radienqr und R angenähert. Also gilt M
y ≈
i=1 Mi =
q
Pn
Pn
Pn
∆yi 2
2
2
∆xi + ∆yi (xi−1 +xi ) = π i=1 1+( ∆xi ) (xi−1+
i=1
i=1 π∆si (xi−1 +xi ) = π
xi )∆xi bzw. My ≈ π
My = 2π
Pn
q
i=1
Z xmax r
xmin
i 2
) +1(xi−1 +xi )∆yi und damit
( ∆x
∆yi
x 1+(
2
f 0 (x)
) dx = 2π
Z ymax
r
f
inv
(y)
ymin
2
(f inv 0 (y)) + 1 dy
wobei sich das zweite Integral mittels der Substitution x = f inv (y) ergibt.
Z.B. Die Oberfläche des Torus mit Radien r und R berechnet sich als Mantel-
fläche My des durch Rotation der Kreises (x −rR)2 + y 2 = r2 um die y-Achse
R R+r
R R+r x
2
erzeugten Rotationskörpers zu My = 4π R−r
x 1 + (x−R)
dx = 4π r R−r
dx.
y2
y
u
Mit der Substition u = x − R und dem ungeraden Integranden √r2 −u2 ergibt sich
dann My = 4π r
R r (u+R) du
√
−r
r2 −u2
= 4π r
Rr
−r
√R du
r2 −u2
= 4π r R arcsin u|r−r = 4π 2 r R.
c
Bem. Die Mantel-Fläche My des durch Rotation einer in Parameter-Darstellung
gegebenen Kurve x = x(t) und y = y(t) für t ∈ [tmin , tmax ] um die y-Achse
erzeugten Rotationskörpers ist durch
My = 2π
gegeben.
Z tmax
q
x(t) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt
tmin
◦
101
z.H. Verifiziere die Formel am Beispiel der Oberfläche von Halbkugel, Ellipsoid
o
und Torus.
Bem. Die Fläche A ‘unter’ der in Polar-Koordinaten gegebenen Kurve r = f (ϕ)
wird approximiert durch die Summe der Teilflächen Ai begrenzt durch die Radien
zu f (ϕi−1 )(cos ϕi−1 , sin ϕi−1 ) und zu f (ϕi )(cos ϕi , sin ϕi ) sowie den diese Punkte
verbindenen Abschnitt des Funktionsgraphen. Die Flächen Ai werden approximiert durch die Kreis-Sektoren mit Radius f (ϕi ) und Winkel ∆ϕi und damit der
i
= 21 f 2 (ϕi ) ∆ϕi . Damit ergibt sich im Grenzübergang
Fläche Ai = π f 2 (ϕi ) ∆ϕ
2π
A=
aus A ≈
Z.B.
Pn
i=1
Ai = 12
Pn
i=1
1
2
Z ϕmax
r2 (ϕ) dϕ
ϕmin
f 2 (ϕi ) ∆ϕi aufgefaßt als Riemann’sche Summe.
◦
Die Fläche der dreiblättrigen
Rose r = a cos
sich zu A =
3ϕ ergibt
R
3a2 π
1
2
2 π/6 1
c
cos (3ϕ) dϕ = 3a o 2 (1+cos(6ϕ)) dϕ = 2 6 + 6 sin π = π4 a2 .
R
6 21 oπ/6 a2
Bem. Die Mantel-Fläche Mp des durch Rotation der in Polar-Koordinaten gegebenen Kurve r = f (ϕ) von ϕmin bis ϕmax um die Polar-Achse,
also die xR
R ϕmax
Achse, entstehenden Rotationskörpers ist durch Mp = 2π y ds = 2π ϕmin y ds =
2π
R ϕmax
ϕmin
r sin ϕ ds = 2π
R ϕmax
ϕmin
q
f (ϕ) sin(ϕ) f 2 (ϕ)+f 02 (ϕ) dϕ zu bestimmen.
◦
Z.B. Die Mantel-Fläche Mp des durch Rotation der Lemniskate (Schleife) r =
√
a cos 2ϕ für ϕ = 0 bis ϕ = π/2 um die Polar-Achse entstehenden Rotations2
4
körpers ist wegenq(f 2 + f 02 )(ϕ) = a2 cos(2ϕ) + (− ar sin(2ϕ))2 = ar2 durch Mp =
R
R
R
2
2π ϕϕ12 f (ϕ) sin(ϕ) (f 2 +f 02 )(ϕ) dϕ = 4π oπ/4 r sin(ϕ) ar dϕ = 4a2 π oπ/4 sin(ϕ) dϕ
√
= 2a2 π(2 − 2) gegeben. Die Lemniskate ist dabei die Ortskurve der Punkte,
deren
Entfernungen
von (−a, 0) bzw. (a, 0) das konstante Produkt a2 haben:
q
q
(x − a)2 + y 2 (x + a)2 + y 2 = a2 oder eben ((x − a)2 + y 2 )((x + a)2 + y 2 ) =
(x2 − 2xa + a2 + y 2 )(x2 + 2xa + a2 + y 2 ) = x4 + 2x2 y 2 + y 4 − 2a2 (x2 − y 2 ) +
a4 = q
a4 und damit endlich bekanntermaßen (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ) oder
√
c
y = ± a a2 +4x2 −x2 −a2 für x2 ≤ 2a2 .
√
z.H. Zeige, daß die Parameter-Darstellung r = a 2 cos ϕ die LemniskatenGleichung erfüllt und berechne die Mantel-Fläche des durch Rotation der in
expliziter Darstellung gegebenen Lemniskate um die x-Achse erzeugten Rotationskörpers.
o
7.4.3
Volumen von Rotationskörpern
Volumen von rotationssymmetrischen Körpern werden entweder durch zur Rotationsachse konzentrische Scheiben (Zylinder) mit Volumen |S| = πr2 h oder
Hohlzylinder mit Volumen |H| = 2π rm h s bei mittlerem Radius rm , Höhe h und
Wandstärke s approximiert. Die erzeugende Funktion f habe die Umkehrfunktion
f inv (y) = x ⇔ y = f (x).
BDH 6.4, 369
BHW Bd.I 7.2,579
BrSe 8.2, 339
Pap Bd.1 V 10.3,385
Sti 8.5, 399
Stö A1, 35.1, 379
Stö TB 15.6, 544
y
y
ymax6
6
yi
102
∆xi
f (zi)
yi
∆yi
yi−1
ymin
-
xi−1 xi
xmin
xmax x
g(zi)
xi
-
x
Rotation der senkrechten oder der waagerechten Streifen entweder um die xAchse oder um die y-Achse erzeugt vier verschiedene Rotationskörper.
Rotation der senkrechten Streifen
• um die x-Achse: es entstehen Scheiben Si mit Höhe ∆xi und Radius
yi = f (xi ) und dem Volumen |Si | = π yi2 ∆xi . Das angenäherte Volumen
P
P
des Rotationskörpers Vxs ≈ i |Si | = π i yi2 ∆xi wird – aufgefaßt als
Riemannsche Summe – im Grenzübergang zu
Vxs
=π
Z xmax
2
f (x) dx
xmin
Rotation der durch x = xmax , den Graphen
von f , x = xmin und die x-Achse berandeten Fläche um die x-Achse
• um die y-Achse: es entstehen Hohlzylinder Hi mit mittlerem Radius
xi−1 +xi
, Wandstärke ∆xi und Höhe yi = f (xi ) und dem Volumen |Hi | =
2
π (xi−1 + xi ) yi ∆xi . Das angenäherte Volumen des Rotationskörpers
P
P
Vys ≈ i |Hi | = 2π i xi +x2 i−1 yi ∆xi wird – aufgefaßt als Riemannsche
Summe – im Grenzübergang zu
Vys
= 2π
Z xmax
x f (x) dx
xmin
Rotation der durch x = xmax , den Graphen von f , x = xmin und die x-Achse
berandeten Fläche um die y-Achse
Rotation der waagerechten Streifen
• um die x-Achse: es entstehen Hohlzylinder Hi mit mittlerem Radius
yi−1 +yi
, Wandstärke ∆yi und Höhe xi = f inv (yi ) und dem Volumen
2
|Hi | = π (yi−1 + yi ) xi ∆yi . Das angenäherte Volumen des RotationsP
P
körpers Vxw ≈ i |Hi | = 2π i (yi−1 + yi ) xi ∆yi wird – aufgefaßt als
Vxw
= 2π
Z ymax
ymin
y f inv (y) dy
Rotation der durch y = ymin , den Graphen von f , y = ymax und die y-Achse
berandeten Fläche um die x-Achse
103
• um die y-Achse: es entstehen Scheiben Si mit Höhe ∆yi und Radius
xi = g(yi ) und dem Volumen |Si | = π x2i ∆yi . Das angenäherte Volumen
P
P
des Rotationskörpers Vyw ≈ i |Si | = π i x2i ∆yi wird – aufgefaßt als
Vyw
=π
Z ymax
2
f inv (y) dy
ymin
Rotation der durch y = ymin , den Graphen
von f , y = ymax und die y-Achse berandeten Fläche um die y-Achse
Bem. Die Konsistenz der Ergebnisse bei Zerlegung in senkrechte bzw. waagerechte Streifen folgt mit Substitution, partieller
Integration und der Geometrie
ymax
R max
R max 2 0
2
2
g(ymax )−
y g(y) dy = 2π y2 g(y) −π yymin
y g (y) dy = πymax
aus Vxw = 2π yymin
ymin
max
2
πymin
g(ymin )−π xxmin
f 2 (x) dx mit g(y) = f inv (y): der Rotationskörper der waagerechten Streifen ergibt sich als ‘umschließender’ Zylinder minus ‘eingeschlossener’
Zylinder minus Rotationskörper der senkrechten Streifen und umgekehrt.
◦
R
z.H. Zeige analog die Übereinstimmung für die Rotation um die y-Achse.
o
Zeige, daß die Approximation des Rotationskörper-Volumens durch die
Summe von Kegelstumpf-Volumina dieselben Ergebnisse liefert.
o
√
Z.B. Das Volumen des Paraboloids zu f (x) = 3 x mit der Höhe h ergibt sich
R
einerseits als als Volumen rechts von f zu Vx = π oh x2/3 dx = 35 π h5/3 oder – an
der Hauptdiagonalen gespiegelt – als Volumen π h2/3 h des dem Paraboloid zu
f (x) = x3 umschriebenen Zylinder minus√Volumen des Rotationskörper zwischen
R 3
f und der x-Achse zu Vy = π h5/3 − 2π o h x4 dx = 35 π h5/3 .
c
z.H.
Z.B. Das Volumen der Halbkugel, aufgefaßt
√ als zur x-Achse rotationssymme-
trischen Körper erzeugt von y = f(x) = r2 − x2 , bestimmt sich zu Vx =
R
R
3 r
π or f 2 (x) dx = π or (r2 − x2 ) dx = π r2 x − x3 = 23 π r3 und ebenso mit g(y) =
o
√ 2
R
R √
R q
r − y 2 zu Vx = 2π or y g(y) dy = π or r2 − y 2 2y dy = π r3 or 1 − ( yr )2 2r2y dy
R √
R √
c
= π r3 o1 1 − u du = π r3 o1 v dv = 23 π r3 .
Das Volumen des zur y-Achse rotationssymmetrischen Kegels mit dem
Radius r und der Höhe h berechnet sich mit y = f (x) = h(1
− x/r) zu Vy =
r
Rr
Rr
2 3
2
2
2π o x f (x) dx = 2π h o (x − x /r) dx = π h x − 3 x /r = 13 π h r2 und
Z.B.
ebenso mit g(y) = r(1 − y/h) zu Vy = π
h
π r2 (y − y 2 /h + y 3 /(3h2 ))|o = 31 π r2 h.
Rh 2
g (y) dy
o
= π r2
R ho
o
(1 − y/h)2 dy =
c
Z.B. Der Torus mit den Radien r und R wird etwa durch
Rotation des Kreises
q
(x−R)2+y 2 = r2 um die y-Achse erzeugt. Mit f (x) = ± r2 − (x − R)2 berechnet
q
R+r
R+r
sich sein Volumen Vy zu Vy = 2 · 2π R−r
x f (x) dx = 4π R−r
x r2 − (x − R)2 dx.
√
Rr
2
2
Die Substitution
u
=
x
−
R
mit
du
=
dx
liefert
V
y = 4π −r (u + R) r − u du =
√
Rr √
4π R −r r2 − u2 du, da u r2 − u2 ungerade und [−r, r] zum Ursprung symmer
√
trisch ist. Das Torus-Volumen ist also Vy = 2·2π R 12 (u r2 − u2 + r2 arcsin ur )
−r
= 2π r2 R 2 arcsin 1 = 2π 2 r2 R.
c
R
R
104
z.H. Bestimme das Volumen des zur x-Achse rotationsymmetrischen Ellipsoids
o
mit den Halbachsen a und b.
73
Satz (Guldin sche Regeln) Das Volumen eines Rotationskörper
Vx = 2 π ys A
bzw.
Vy = 2 π xs A
ergibt sich auch als Produkt aus Flächeninhalt A und dem Weg des FlächenSchwerpunktes der erzeugenden Fläche bei Rotation um die entsprechende Achse.
Die Mantel-Fläche eines Rotationskörper
Mx = 2 π ys s
bzw.
My = 2 π xs s
ergibt sich auch als Produkt aus der Länge s der erzeugenden Kurve und dem
Weg des Kurven-Schwerpunktes bei Rotation um die entprechende Achse.
•
max 2
f 2 (x) dx folgt Vx = π xxmin
f (x) dx = 2 π ys A und aus
R
R
√
x
x
1
max
max
xs = A xmin x f (x) dx entsprechend Vy = 2 π xmin x f (x) dx = 2 π ys A.
Bew. Aus ys =
1 R xmax
2A xmin
R
z.H. Verifiziere die Guldin’schen Regeln für die Mantel-Flächen.
o
Z.B. Das Volumen des Torus (Ring), der durch Rotation eines Kreises mit Radius
r und Mittelpunkt (0, R) um die x-Achse erzeugt wird, ergibt sich so zu Vx =
2πRπr2 = 2π 2 Rr2 . Dasselbe Volumen ergibt sich bei Rotation des Kreises mit
Radius r und Mittelpunkt (R, 0) um die y-Achse.
c
z.H. Bestimme Volumen und Oberfläche eines Rettungsringes (Rotation einer
Ellipse), d.h. eines Toroids, mit Radius R und Halbachsen a und b.
o
Z.B. Mit den Guldin’schen Regeln können bei bekanntem Volumen des Rota-
tionskörper und Inhalt der zu rotierenden Fläche eben auch die SchwerpunktsVx
=
koordinaten berechnet werden, wie etwa die des Viertelkreises als ys = 2πA
3
2πr
4
4r
= 3π sowie xs = ys wegen Symmetrie.
c
3 2π πr2
7.4.4
Mittelwerte und Momente
Einige Beispiele aus der Elektrotechnik illustrieren die Berechnung von Mittelwerten und Momenten, i.e. Mittelwerte höherer Ordnung.
Z.B. Ein Drehspulgalvanometer mißt den über eine Halbperiode (Polarität) geT
mittelten Strom, den galvanometrischen Mittelwert ıgal = T2 o2 ı(t) dt, falls dessen
Frequenz groß gegenüber der Eigenfrequenz des Meßinstrumentes ist.
Ein Dreheiseninstrument, dessen Ausschlag proportional
zum Quadrat der Stromq R
1 T 2
stärke ist, mißt die effektive Stromstärke ıeff = T o ı (t) dt.
Der Mittelwert der momentanen
Leistung u(t) ı(t) ist die mittlere Leistung oder
R
Wirkleistung P = T1 oT u(t) ı(t) dt.
Der Wechselstrom ı(t) = ı̂ sin(ωt) mit ω = 2π/T hat den galvanometrischen
R
73
Paul Guldin (1577-1643)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Guldin.html
Mittelwert igal =
2 R T2
ı̂ o
T
sin(ωt) dt =
effektive Stromstärke ı2eff =
√
ı̂2 R T
T
o
ı̂
π
Rπ
o
105
π
ı̂
(−
cos
x)
π
o
2π
ı̂2
x
1
− 4 sin 2x 2π
2
o
=
sin x dx =
sin2 (ωt) dt =
2
ı̂
π
und die
= 12 ı̂2 und da-
mit ıeff = √ı̂2 = 22 ı̂.
Für u(t) = û Rsin(ωt + φ) und ı(t) = ı̂ sin(ωt) berechnet sich die mittlere Leistung P = ûTı̂ oT sin(ωt + φ) sin(ωt) dt mit dem Additionstheorem für sin, also
sin(ωt + φ) = sin(ωt) cos φ + cos(ωt) sin φ und Substitution wie oben zu
!
Z 2π
sin φ Z 2π
û ı̂
cos φ
sin2 x dx +
sin 2x dx
P =
2π
2 o
o


2π
2π
sin φ
x 1
û ı̂ 
cos φ
− sin 2x +
(− cos 2x) 
=
2π
2 4
4
o
o
û ı̂
= √ √ cos φ = ueff ıeff cos φ .
2 2
c
Der Faktor cos φ heißt Leistungsfaktor.
Z.B.
u(t) = û χ[−T /2,0] (1 + 2t/T ) + χ[0,T /2] (1 − 2t/T )
(‘Dreieck’) mit u2eff =
2
4 T2
dt = 2ûT T2 − 2T
+ 3T4 2
4
odische Spannung
2
2û2 R T /2
(1− 4tT + 4tT 2 )
o
T
(
z.H. u(t) = û − 12 χ[−T /2,0] + χ[0,T /2]
1 R T /2
u2 (t) dt
T −T /2
T3
= 13 û2 , also
8
)
beschreibt eine peri= T2 oT /2 u2 (t) dt =
ueff = √13 û.
c
R
beschreibt eine Periode der periodischen
Spannung u(t) (‘Rechteck’) mit der Periode T . Berechne ueff .
o
z.H. u(t) = û χ[−T /2,0] (1 + 2t/T ) − χ[0,T /2] (1 − 2t/T ) beschreibt eine Periode
der periodischen Spannung u(t) (‘Sägezahn’) mit der Periode T . Berechne ueff . o
7.4.5
Differentialgleichungen
Hier seien zunächst nur wenige, sehr einfache Beispiele für die wohl wichtigste
Anwendung der Integration, das Lösen von Differentialgleichungen angeführt.
dv
(t)
dt
der Geschwindigkeit
v(t),
die wiederum die änderung
ṡ(t) =
des Weges s(t) ist. Also gilt v(t) =
R
R
a(t) dt + Cv und s(t)
= v(t) dt + Cs oder als bestimmte Integrale v(t) =
Rt
Rt
a(τ
)
dτ
und
s(t)
=
to
to v(τ ) dτ .
Z.B. Die Beschleunigung a(t) ist die Änderung v̇(t) =
ds
(t)
dt
Beim senkrechten Wurf eines Körpers unter Vernachlässigung
der Reibung gilt
R
a(t) = −g mit der Erdbeschleunigung g und v(t) = a(t) dt = −g t + Cv . Die
Integrationskonstante Cv bestimmt sich aus der sogenannten Anfangsbedingung
v(to ) = vo , nämlich Vorgabe derjenigen Geschwindigkeit, mit der der Körper
zur
R
Zeit to startet. Also gilt v(t) = −g (t − to ) + vo und für den Weg s(t) = v(t) dt
folgt s(t) = − g2 (t − to )2 + vo t + Cs mit einer Integrationskonstanten Cs . Aus der
Anfangsbedingung s(to ) = so ergibt sich s(t) = − 21 g (t − to )2 + vo (t − to ) + so ,
wobei so den Ort des Körpers zur Zeit to bezeichnet.
c
106
Bem. Das Überlagerungsprinzip besagt, daß zueinander orthogonale Bewegungen auch unabhängig von einander betrachtet werden können. So ergibt sich
eine Parameter-Darstellung der Bahnkurve im Raum durch Lösen der drei Differentialgleichungen s¨x (t) = ax (t), sÿ (t) = ay (t) und s¨z (t) = az (t) mit ihren
entsprechenden Anfangsbedingungen.
◦
z.H. Wende das Überlagerungsprinzip auf den schiefen, d.h. nicht senkrechten
Wurf in der Ebene an: bei welcher Anfangsgeschwindigkeit vo mit gegebenem |vo |
ergibt sich die größte Wurfweite?
o
Z.B. Der Treibsatz verleihe einer Rakete für T Zeiteinheiten die konstante Be-
schleunigung ao . Aus
a(t) = ao χ[0,T ] (t) − g und der Anfangsbedingung v(0) = 0
Rt
ergibt sich v(t) = o a(t) dt = ao min(t, T ) − g t und aus s(0) = 0 weiterhin
R
c
s(t) = ot v(t) dt = ao min(t, T ) t − 21 min(t, T ) − 21 g t2 .
z.H. Wie kann der Abbrand des Treibsatzes berücksichtigt werden?
o
Z.B. Für den freien Fall mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes ergebe sich
v(t) = v∞ tanh( vg∞t ) (Fallschirm). Damit gilt limt→∞ v(t) = v∞ , was die Bezeichnung rechtfertigt. Die Beschleunigung a(t) ergibt sich zu a(t) = R v̇(t) =
−g (1 − tanh2 ( t)) folgt zutreffend a(0) = −g und a(∞) = 0. Aus s(t) = v(t) dt
2
folgt für die zurückgelegte Strecke s(t) = so − vg∞ ln cosh( vg∞ t), da allgemein
R
R sinh x
tanh x dx = cosh
dx = ln cosh x per Substitution folgt.
c
x
Die Arbeit, die notwendig ist, um eine Rakete mit der Masse m aus
2
dem Gravitationsfeld der Erde zu entfernen, ist wegen F = γ mr2M = g m Rr2
mit Erdradius R und Abstand r der Rakete vom
∞ Erdmittelpunkt gegeben durch
R r2
R∞
R2
2 −1 W = r1 F dr = R m g r2 dr = m g R r = m g R. Würde diese Arbeit
R
W = m g R allein in Form kinetischer √
Energie aufgebracht, so gilt für die sogec
nannte Fluchtgeschwindigkeit vFlucht = 2g R ≈ 11km/s.
Z.B.
8
107
Reihen
Reihen, z.B. Taylor- oder Fourier-Reihen, sind Hilfsmittel zur Darstellung und
Approximation (Näherung) von Funktionen. Sie sind zudem für die (näherungsweise) Bestimmung von Integralen oder zur Lösung von Differentialgleichungen
nützlich.
Folge (ai ) heißt Reihe. Dann heißt
Def. Die Summe ∞
i=1 ai der Elemente einer
P
P
sn = ni=1 ai die n-te Teilsumme der Reihe ∞
i=1 ai . Eine Reihe heißt konvergent
genau dann, wenn die Folge ihrer Teilsummen konvergiert, also wenn
P
∞
X
n
X
ai = lim sn = lim
n→∞
i=1
n→∞
ai ,
i=1
existiert, sonst heißt die Reihe divergent.
P∞
1
ci konvergiert gegen 1−c
für |c| < 1 und diverPn
n+1
giert sonst, da für die n-te Teilsumme sn = i=0 ci = 1−c
gilt.
c
1−c
Z.B. Die geometrische Reihe
i=0
P∞
1
1
konvergiert, da 0 < ni=1 i12 ≤ 1+ ni=2 1i i−1
= 1+ ni=2 i−1
− 1i =
c
1+1− n1 < 2 und daher die Teilsummen-Folge monoton und beschränkt ist.
Z.B.
1
i=1 i2
P
Z.B. Die harmonische Reihe
1 + 12 + 24 + 48 +
8
16
1+ −
1
16
= 1+
1
2
+
1
3
+ 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + . . . >
| {z }
P∞
+ . . . und 1 +
z.H. Berechne
i=1 i
P
|
+ . . . = 1 + 12 + 21 + 12 + 12 + . . . divergiert74 .
z.H. Veranschauliche
1
4
P∞ 1
P
P∞
−i
= 1. Bestimme
i=1 2
3
9
+ 4 + 27
+ . . ..
2
8
1
i=1 i(i+1)
{z
}
c
die Konvergenz der Reihen 4 −
o
1
.
n+1
als Grenzwert der Teilsummen-Folge sn = 1 −
o
P∞
1
= k=0 (x+k)(x+k+1)
für jedes 0 < x < ∞ durch induktive Bestimmung der Teilsummen.
o
z.H. Zeige
Satz Wenn
1
x
P∞
i=1
•
ai konvergiert, so ist (ai )i eine Nullfolge.
Bem. Die Bedingung ist nicht hinreichend, wie das Gegenbeispiel der harmonischen Reihe zeigt.
◦
Bem. Die Arithmetik konvergenter Folgen überträgt sich auf konvergente Reihen: für alle konvergenten Reihen gilt also
∞
X
i=1
(c ai ) = c
∞
X
ai ,
i=1
∞
X
(ai +bi ) =
i=1
∞
X
i=1
ai +
∞
X
i=1
bi ,
ai ≤ bi ⇒
∞
X
i=1
ai ≤
∞
X
bi
i=1
◦
P∞
Satz Eine Reihe i=1 ai konvergiert genau dann, wenn die Reihenreste
für jedes m mit m > n beliebig klein werden.
74
Pm
i=n
ai
•
BDH 7, 396
BHW Bd.I 5, 397
BrSe 7, 298
Pap Bd.1 VI 1,433
Sti 9, 469
Stö A2 8, 188
Stö TB 14, 508
Satz
Dann
Satz
Dann
108
(Majoranten-Kriterium) Sei |bi | ≤ ai für alle i.
P∞
P
konvergiert mit ∞
i=1 bi .
i=1 ai auch
(Minoranten-Kriterium) Sei 0 < ai ≤ bi für alle i.
P∞
P
divergiert mit ∞
i=1 bi .
i=1 ai auch
P∞ 1
Z.B.
i=0 i!
P∞ 1
Z.B.
i=1
√
i
konvergiert, da
divergiert, da
•
•
P∞
1
i=0 2i eine konvergente Majorante ist.
P∞ 1
i=1 i eine divergente Minorante ist.
c
c
Satz (Quotienten-Kriterium: die geometrische Reihe als Majorante bzw. MinoP
rante) Eine Reihe ∞
i=1 ai mit ai > 0 für alle i konvergiert, wenn für fast alle
i (also alle i bis auf endlich viele Ausnahmen) ai+1
≤ q < 1 für eine geeignete
ai
Konstante q gilt, also
(
ai+1 lim i→∞ ai
<1
>1
⇒
∞
X
i=1
(
ai
konvergent
.
divergent
Das Kriterium liefert keine Aussage, falls limi→∞ ai+1
= 1.
ai
•
limi→∞ ai+1
a
< 1, so existiert ein 0 < q < 1, so daß | ai+1
| < q für
ai
2
3
i
alle i ≥ io . Damit gilt |ai+1 | < q|ai | < q |ai−1 | < q |ai−2 | < . . . ≤ q |a1 | für alle
P
P∞
P∞
io −1
i−1
i ≥ io , so daß | ∞
|a1 | ≤ |a1 | q1−q < ∞ folgt. Die
i=io ai | ≤
i=io |ai | <
i=io q
geometrische Reihe stellt sich also in diesem Fall als konvergente Majorante und
√
im anderen Fall analog als divergente Minorante heraus.
Bew. Falls
i
Z.B. Die Reihe exp(x) =
P∞ xi
i=0 i!
konvergiert für jedes x ∈ R.
c
Z.B. Das Quotienten-Kriterium liefert keine Aussage zur Konvergenz der Reihe
P∞
1
i=1 i2
c
.
z.H. Untersuche mit Quotienten- und Majoranten-Kriterium die Konvergenz der
Reihen
P∞ (i+1)(i+2)
i=0
i!
und
P∞ i 2i
i=0 i!
sowie
i3
i=0 (ln 2)i .
P∞
o
Satz (Wurzel-Kriterium: die geometrische Reihe als Majorante bzw. Minorante)
P
Eine Reihe ∞
i konvergiert, wenn für fast alle i (also alle
i=1 ai mit ai > 0 für alle
√
i bis auf endlich viele Ausnahmen) i ai ≤ q < 1 für eine geeignete Konstante q
gilt, also
(
(
∞
q
X
konvergent
<1
i
lim |ai |
⇒
ai
.
i→∞
divergent
>1
i=1
q
Das Kriterium liefert keine Aussage, falls limi→∞ i |ai | = 1.
Bew. Falls limi→∞
q
i
|ai | < 1, existiert ein 0 < q < 1, so daß
P∞
P∞
•
q
i
|ai | < q oder eben
P∞
io
q
|ai | < q i für alle i ≥ io . Damit gilt | i=io ai | ≤ i=io |ai | < i=io q i ≤ 1−q
< ∞.
Die geometrische Reihe stellt sich also in diesem Fall als konvergente Majorante
√
und im anderen Fall analog als divergente Minorante heraus.
P∞
109
2
q i konvergiert laut Wurzel-Kriterium für |q| < 1, da dann
limi→∞ i |q i2 | = limi→∞ |q|i = 0 gilt, und divergiert für |q| > 1. Unabhängig vom
Wurzel-Kriterium divergiert die Reihe auch für |q| = 1.
c
Z.B. Die
q Reihe
i=0
z.H. Verifiziere dasselbe Ergebnis auch für q ∈ C.
√
n
o
√
n
Bem. Für c > 1 gilt limn→∞ c = 1. Sei nämlich c= 1+cn mit 0 < cn < 1
P
für genügend große n und damit c = (1 + cn )n = ni=0 ni cin ≥ 1 + n cn , so daß
c−1
≥ cn und damit notwendigerweise limn→∞ cn = 0 gilt.
◦
n
√
√
n
n
Bem. Es gilt limn→∞
n = 1+cn mit 0 < cn < 1 und damit
n = 1. Sei nämlich
P
n
n
n
i
2
n
n = (1+cn ) = i=0 i cn ≥ 1+n cn + 2 cn , so daß n−1
≥ cn + n−1
c2n ≥ n−1
c2n und
n
2
2
damit notwendigerweise limn→∞ cn = 0 gilt.
◦
√
√
n
Bem. Es gilt limn→∞ n n! = ∞,
2π n (Stirling75 sche
q√da nämlich n! ≈ (n/e)
√
n
Formel) und damit n n! ≈ n/e
2π n ≈ n/e gilt.
◦
Z.B. Das Wurzel-Kriterium liefert die Konvergenz der Reihen
P∞
i=1
i
i+1
i2
P∞ i−1 i2
i=1
i
und
unter Verwendung von limn→∞ (1 + nc )n = ec .
c
Z.B. Auch das Wurzel-Kriterium liefert keine Aussage zur Konvergenz der Reihe
P∞
1
i=1 i2 .
c
Untersuche mit Wurzel- und Majoranten-Kriterium die Konvergenz der
P∞
P
1
1
o
Reihen ∞
i=1 (ln i)i .
i=1 ii und
z.H.
Satz (Integral-Kriterium)
Die Reihe ∞
i=io ai konvergiert oder divergiert, je nachR∞
dem, ob io f (x) dx für eine nicht wachsende Funktion f und ein geeignetes xo
mit f (i) = ai für alle Z 3 i ≥ io existiert oder nicht.
•
P
Z.B. Die p-Reihe
b
limb→∞ 1−p 1
x1−p
=
P∞
1
i=1 ip
1
1−p
konvergiert für p > 1 und divergiert sonst, da
limb→∞ (b1−p − 1) =
1
1−p
für p > 1.
R ∞ dx
1
xp
=
c
Satz (Leibniz76 sches Konvergenzkriterium) Aus 0 ≤ ai , ai > ai+1 für alle i und
P
i
limi→∞ ai = 0 folgt die Konvergenz der Reihe ∞
•
i=0 (−1) ai .
Bew. Es gilt s2n = ao − a1 + a2 − a3 + − . . . = (ao − a1 ) + (a2 − a3 ) + . . . = ao −
(a1 −a2 )−(a3 −a4 )−. . . und daher wegen ai > ai+1 sowohl s2n > 0 als auch s2n <
ao . Die Folge s2n ist also monoton sowie beschränkt und daher konvergent mit
Grenzwert S := limn→∞ s2n . Da zudem limn→∞ s2n+1 = limn→∞ (s2n − a2n+1 ) =
limn→∞ s2n − limn→∞ a2n+1 = S − 0 = S, konvergieren sowohl s2n als auch s2n+1
√
gegen S, so daß damit auch die Reihe gegen S konvergiert.
Z.B. Die Reihen
P∞ (−1)i
i=1
i
oder etwa
z.H. Zeige: Für alternierende Reihen
eine monotone Nullfolge bilden, gilt
75
76
P∞ (−1)i
√
i=1 i i
konvergieren.
c
P∞
(−1)i ai , deren Glieder betragsmäßig
i
o
i=n (−1) ai < |an | für jedes n ∈ N.
P∞ i=0
James Stirling (1692-1770)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Stirling.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Leibniz.html
110
Bem. Die Güte der Approximation einer Reihe durch die m-te Teilsumme läßt
P
sich mit Abschätzungen des Reihenrestes ∞
i=m+1 ai beurteilen. Naheliegend sind
Abschätzungen durch die geometrische Reihe sowie solche anhand des Integralund Leibniz-Kriteriums.
◦
Z.B. Für −1 < c < 0 liefert diese Abschätzung
8.1
cm
1−c
=
P∞
i=m
ci ≤ |c|m .
c
Potenzreihen
k
Def. Potenzreihen sind Reihen der Form f (x) = ∞
k=0 ck (x − xo ) mit reellen
oder komplexen Koeffizienten ck und variablem x. Die Funktion f ist eine Reihenentwicklung um den Punkt xo . Der Konvergenzradius ρ einer Potenzreihe ist
der größte Kreis {x : |x − xo | < ρ} um xo , in dem die Potenzreihe konvergiert.
P
Satz Für den Konvergenzradius ρ der Potenzreihe f (x) =
ρ=
1
limk→∞
√
k
|ck |
oder auch
P∞
k=0 ck
(x − xo )k gilt
ck
ρ = limk→∞ ck+1
per Wurzel- oder per Quotienten-Kriterium und falls ck 6= 0 für fast alle k.
•
P∞
k
Bew. Die
Reihe
c
(x
−
x
)
konvergiert
laut
Wurzel-Kriterium,
wenn
1
>
o
k=0 k
q
q
k
k
limk→∞ |ck (x − xo ) | = |x − xo | limk→∞ k |ck |, also wenn |x − xo | < ρ und
divergiert, wenn |x − xo | > ρ. Die
Reihe konvergiert
laut Quotienten-Kriterium,
ck+1 (x−xo )k+1 ck+1 wenn 1 > limk→∞ ck (x−xo )k = limk→∞ ck |x − xo |, also wenn |x − xo | < ρ
√
und divergiert für |x − xo | > ρ.
4
√
√
k
k
Z.B. Wegen limk→∞ k 4 = limk→∞ k = 1 ist ρ = 1 der Konvergenzradius
P
4 k
von ∞
c
k=0 k x .
z.H. Bestimme die Konvergenzradien von
von
xk
k=0 k!
P∞
(Quotienten-Kriterium) und
P∞
k m xk (für welche festen m) sowie
o
k=0 kk .
k=0
P∞
xk
Satz Innerhalb des Durchschnittes der Konvergenzkreise dürfen auf Potenzreihen die elementaren Rechenoperationen gliedweise angewandt werden. Innerhalb
des Konvergenzkreises bestimmen sich auch Differentation und Integration einer
Potenzreihe gliedweise.
•
k
Bem. Für zwei Potenzreihen f (x) = ∞
k=0 ck (x − xo ) mit Konvergenzradius ρf
P∞
und g(x) = k=0 dk (x − xo )k mit Konvergenzradius ρg lassen sich Summe
P
(f + g) (x) =
∞
X
(ck + dk ) (x − xo )k
k=0
und Produkt
(f · g) (x) =
∞
X
k
X
k=0
ν=0
!
cν dk−ν (x − xo )k
111
◦
darstellen als Potenzreihen mit Konvergenzradius ρ = min(ρf , ρg ).
P
k 2
∞ x
k=0 k!
x 2
=
2x
Vorgriff (e ) = e .
Z.B.
1
1
k
i=0 i! (k−i)! x
k=0
2
P
∞
k=0
2
Z.B.
1
(1−x)2
z.H.
Bestimme die Potenzreihe von
1
und 1−x
.
1
(1−x)2
=
1
1−x
P∞ Pk
=
xk
=
k
P∞
=
k=0
2k xk! =
P∞ Pk
k=0
1
(1−x)3
i=0
P∞
1 xk =
k=0
(2x)k
k!
P∞
und damit im
c
+ 1) xk .
k=0 (k
c
als Produkt der Potenzreihen von
o
Bem. Potenzreihen dürfen aber nicht nur gliedweise addiert und ihr Produkt
einfach durch Ausmultiplizieren und Umsortieren nach Potenzen von x − xo berechnet werden, sie dürfen auch gliedweise differenziert und integriert werden. Für
P
k
die Ableitung einer Potenzreihe f (x) = ∞
k=0 ck (x − xo ) mit Konvergenzradius
ρ gilt nämlich
0
f (x) =
∞
X
!0
k
ck (x − xo )
=
k=0
∞
X
ck k (x − xo )k−1
k=1
bzw. für eine Stammfunktion
Z
f (x) dx =
∞
X
ck
k=0
(x−xo )k+1
+C
k+1
bzw.
Z b
∞
X
f (x) dx =
a
ck
k=0
(x−xo )k+1b
k+1 a
jeweils für |x − xo | < ρ bzw. für |a − xo | < ρ und |b − xo | < ρ.
Z.B. Für f (x) =
xk
k=0 k!
P∞
xk
k=0 k!
P∞
gilt f 0 (x) =
P
k 0
∞ x
k=0 k!
=
P∞
k=1
◦
k xk−1
k!
=
xk−1
k=1 (k−1)!
P∞
x
= f (x) und f (0) = 1. Daher ist f (x) ≡ e .
Bestimme eine Stammfunktion von f (x) =
1
d x
= (1−x)
geometrischen Reihe dx
2.
1−x
z.H.
=
c
xk
k=0 k! .
P∞
Verifiziere mit der
o
k
Satz (Identitätssatz) Falls zwei Potenzreihen f (x) = ∞
k=0 ck (x − xo ) und
P∞
k
g(x) = k=0 dk (x − xo ) in einer Umgebung von xo übereinstimmen, so stimmen
die Koeffizienten gliedweise überein, d.h. ck = dk für alle k ≥ 0.
•
P
Bem. Die Darstellung einer Funktion durch ihre Potenzreihe ist also eindeutig.
P
k
Aus ∞
◦
k=0 ak x ≡ 0 folgt insbesondere ak = 0 für alle k ≥ 0.
Bew. Aus f (x) = g(x) folgt f (k) (xo ) = g (k) (xo ) und daher mit gliedweiser Diffe-
√
rentation ck = dk für alle k.
Bem. Der Beweis des Identitätssatzes liefert nebenbei ck =
Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung um xo .
e ex−1 oder
1
1−x
=
P∞
k=0
xk =
P∞
k=0
xk
k=0 k!
P
z.H. Zu einer Potenzreihe f (x) bestimme die reziproke Potenzreihe
dest die ersten beiden Glieder).
für die
◦
e
k
= ∞
k=0 k! (x − 1) =
1
(x + 1)k (Konvergenz-Bereich?).
c
2k+1
Z.B. Entwicklung um verschiedene xo liefert ex =
P∞
1 (k)
f (xo )
k!
1
f (x)
(zumino
112
z.H. Zu Potenzreihen f (x) und g(x) bestimme die Potenzreihe f (g(x)) (zumin-
o
dest die ersten beiden Glieder).
8.2
Taylor-Reihen
Potenzreihen stellen Funktionen dar. Umgekehrt können bestimmte Funktionen
als Potenzreihen dargestellt werden. Die Entwicklung einer Funktion f in eine
Reihe um xo liefert die Taylor77 -Reihe
f (x) = ao + a1 (x − xo ) + a2 (x − xo )2 + . . . + an (x − xo )n + Rn+1 (x)
mit dem Restglied Rn+1 (x). f wird also durch Polynome approximiert.
Sei die Funktion f in einer Umgebung von xo mindestens (n+1)-mal differenzierbar. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integral-Rechnung gilt dann
f (x) − f (xo ) =
Z x
f 0 (t) dt .
xo
Also gilt mit mehrfacher partieller Integration
f (x) = f (xo ) +
Z x
xo
x
(x − t)0 f 0 (t) dt = f (xo ) − (x − t)f 0 (t)|xo +
Z x
(x − t) f 00 (t) dt
xo
und
Z x
x
1
1
2 00
f (x) = f (xo ) + (x−xo ) f (xo ) − (x−t) f (t) +
(x−t)2 f 000 (t) dt
xo
2
xo 2
Z x
1
1
= f (xo ) + (x−xo ) f 0 (xo ) + (x−xo )2 f 00 (xo ) +
(x−t)2 f 000 (t) dt
2
xo 2
0
usw. Mit n-facher partieller Integration ergibt sich so die Taylor’sche Formel
f (x) = f (xo)+f 0 (xo)(x−xo )+
f 00 (xo)
f (n) (xo)
(x−xo )2 + ... +
(x−xo )n +Rn+1 (x)
2!
n!
mit dem Restglied Rn+1 (x) = n!1 xxo (x−t)n f (n+1) (t) dt. Aufgrund des verallgemeinerten Mittelwertsatzes der Integral-Rechnung,
der zu auf
[a, b] stetigen FunktioR
R
nen f und p > 0 ein xm ∈ (a, b) mit ab f p dx = f (xm ) ab p dx garantiert, gibt es
R
(n+1)
ein xm zwischen xo und x mit Rn+1 (x) = f n!(xm ) xxo (x − t)n dt und damit gilt
R
Rn+1 (x) =
f (n+1) (xm )
(x − xo )n+1
(n + 1)!
Im (häufig auftretenden) Spezialfall der Entwicklung um 0 ergibt sich also
f (x) = f (0) + f 0 (0) x +
77
Brook Taylor (1685-1731)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x + ... +
x + Rn+1 (x)
2
n!
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Taylor.html
BDH 7.2, 401
BHW Bd.I 5.2, 409
BrSe 7.3, 309
Pap Bd.1 VI 3, 449
Sti 9.1, 469
Stö A2 9, 201
Stö TB 14.3, 511
mit dem Restglied Rn+1 (x) =
113
f (n+1) (xm ) n+1
x
für xm zwischen 0 und x.
(n + 1)!
Bem. Funktionen werden in ihre Taylor-Reihe entwickelt und so durch Taylor(i)
P
Polynome pn (x) = ni=0 f i!(xo ) (x − xo )i approximiert. Das Restglied Rn+1 (x) =
f (x)−pn (x) bestimmt die Güte |f (x)−pn (x)| < der Approximation im Intervall
|x − xo | < δ.
Die Taylor-Entwicklung liefert einen Algorithmus zur Berechnung von Funktionswerten einer Funktion, das Restglied liefert das Abbruchkriterium für die Approximation der Funktion durch das Taylor-Polynom. (Der Absolut-Betrag der
Reihenglieder ist als Abbruchkriterium ungeeignet, vgl. harmonische Reihe.)
Die Taylor-Entwicklung erlaubt, das lokale Verhalten von Funktionen durch geeignete Polynom-Approximation (linear, quadratisch usw.) zu bewerten: Erstens
bestimmt man durch Abschätzen von |Rn+1 (x)| für |x − xo | < δ, oder zweitens δ
aus |Rn+1 (x)| < so, daß die Güte der Approximation im Intervall |x − xo | < δ
ist, oder drittens den Mindest-Grad n aus |Rn+1 (x)| < so, daß die Güte der
Approximation im Intervall |x − xo | < δ ist.
◦
sei um xo = 1 zu entwickeln. Es gilt f (n) = (−1)n n!x−(n+1) und
P
1
k
damit f (x) = n=0 (−1)n (x−1)n = ∞
k=0 (1−x) = 1−(1−x) mit der geometrischen
Reihe. In erster Näherung ist also x1 ≈ 1−(x−1) = 2−x und in zweiter Näherung
1
≈ 2 − x + (x − 1)2 = (x − 23 )2 + 34 für x nahe bei 1, d.h. für |x − 1| 1.
c
x
Z.B. f (x) =
1
x
P
∞
sei um xo = 0 zu entwickeln. Es gilt f (n) = 2 n!(1 − x)−(n+1)
P
1
n
2
x
=
1
+
2
und damit f (x) = 1 + ∞
−
1
= 1+x
sowie für x nahe bei 0
n=1
1−x
1−x
2
in erster Näherung f (x) ≈ 1 + 2x und f (x) ≈ 1 + 2x + 2x = 2((x + 21 )2 + 14 ) in
zweiter Näherung.
c
Z.B. f (x) =
1+x
1−x
z.H. Leite die Taylor-Reihe für beliebig oft differenzierbare Funktionen f direkt
aus dem Identitätssatz für Potenzreihen ab.
o
8.2.1
Exponential- und Logarithmusfunktion
Entwicklung der Exponentialfunktion um 0 liefert wegen e0 = e und e0 = 1
ex = 1 + x +
mit Rn+1 (x) =
alle x ∈ R.
exm
xn+1
(n+1)!
∞
X
1 2
1
xk
x + . . . + xn + Rn+1 (x) =
2!
n!
k=0 k!
für ein xm zwischen 0 und x. Die Reihe konvergiert für
Z.B. Funktionalgleichung und gute Konvergenz um 0 liefert effiziente Programme
für die Exponentialfunktion: es gilt ex = ebxc ex−bxc und für x > 0 und d = x − bxc
läßt sich das Restglied Rn+1 (d) der Taylor-Entwicklung von ed durch |Rn+1 (d)| =
exm
e dn+1
e
dn+1 ≤ (n+1)!
≤ (n+1)!
abschätzen.
c
(n+1)!
114
Z.B. An der Reihenschaltung des Widerstandes R mit der Induktivität L liegt
ab t = 0 die Spannung u(t) = ct an. Dann gilt für den Strom die Differentialgleichung L ddtı + R ı(t) = ct mit der Anfangsbedingung ı(0) = 0, also fließt der Strom
ı(t) = Rc t + RcL2 (e−tR/L − 1). Für kleine R
t, also kleine R oder kleine t wird unter
L
Verwendung der ersten drei Glieder der Taylor-Entwicklung von e−tR/L der Strom
2
c 2
t + 12 R
t2 − 1) = 2L
t näherungsweise bestimmt. Der
durch ı(t) ≈ Rc t + RcL2 (1 − R
L
L2
R
Strom ı(t) ist also für | L t| 1, d.h. für kleine t oder für kleines R unabhängig
vom Widerstand R.
c
z.H. Entwirf ein Programm zur Berechnung der Exponentialfunktion mit vorge-
gebener Genauigkeit und effizienter Berechnung der Reihenglieder.
o
Der Logarithmus kann nicht um 0 entwickelt werden. Entwicklung des verschobenen Logarithmus f (x) = ln(1 + x) um 0 liefert f (0) = 0 und wegen f (n) (x) =
−(−1)n (n − 1)! (1 + x)−n und so f (n) (0) = (−1)n+1 (n − 1)!
ln(1 + x) = x −
∞
X
xn
xk
x2 x3
+
− . . . + (−1)n+1 + Rn+1 (x) =
(−1)k+1
2
3
n
k
k=1
n
n+1
x
mit Restglied Rn+1 (x) = (−1)
für ein xm zwischen 0 und x. Die Reihe
n+1 (1+xm )n+1
konvergiert für −1 < x ≤ 1. Diese Reihe alterniert für x > 0 (numerisch ungünstig) und konvergiert langsam. Sie ist daher zur Programmierung des Logarithmus
ungeeignet.
P∞
k+1 1
k=1 (−1)
k
k
(vgl. harmonische Reihe). Damit
ist ln x = ln 2 −
− 2) die Taylor-Entwicklung des Logarithmus um
2 mit Konvergenzradius 2 (Quotienten-Kriterium).
c
Z.B. Insbesondere gilt ln 2 =
(−1)k
k=1 k 2k (x
P∞
Bem. Eine für die Programmierung geeignetere Darstellung des Logarithmus
1+z
ergibt die Transformation x = 1−z
bzw. z = x−1
. Dann gilt nämlich ln x =
1+x
P∞
P
k
1+z
k+1 z k
k+1
(−1)k zk , also
ln 1−z = ln(1 + z) − ln(1 − z) = k=1 (−1)
− ∞
k=1 (−1)
k
P
z 2k+1
ln x = 2 ∞
k=0 2k+1 . Diese Reihe gestattet eine effektive Berechnung von ln x für
x nahe bei 1. Für alle anderen x, also sehr kleine oder sehr große x nutzt man die
Funktionalgleichung des Logarithmus ln(x) = ln(en x e−n ) = ln(en ) + ln(x e−n ) =
n + ln(x e−n ) mit n ∈ Z derart, daß |x e−n − 1| minimal, d.h. x e−n möglichst nahe
bei 1 ist.
◦
z.H. Implementiere obiges Verfahren zur Bestimmung des Logarithmus und ver-
gleiche Genauigkeit und Effizienz mit der Bibliotheksfunktion.
8.2.2
o
Binomialfunktion
Die Entwicklung der Binomialfunktion f (x) = (1+x)m um 0 liefert wegen f (0) =
1 und f 0 (x) = m (1 + x)m−1 und f 00 (x) = m(m − 1) (1 + x)m−2 und f 000 (x) =
115
m(m − 1)(m − 2) (1 + x)m−3 usw., also für jedes n > 0 allgemein f (n) (x) =
m(m − 1) · · · (m − n + 1) (1 + x)m−n und damit
∞
X
m 2
m 3
m n
m k
(1+x) = 1+mx+
x +
x +. . .+
x +Rn+1 (x) =
x
2
3
n
k=0 k
!
!
!
!
m
mit Restglied Rn+1 (x) =
wobei
m
n
=
1
n!
m
n+1
xn+1 (1 + xm )m−(n+1) für ein xm zwischen 0 und x,
m
0
Qn−1
k=0 (m − k) und
= 1. Die Reihe konvergiert für alle |x| < 1.
q
Relativistisch gilt m(v) = mo / 1 + (v/c)2 mit Ruhemasse mo und der
2
Lichtgeschwindigkeit c. Also gilt m(v) ≈ mo (1 + 21 vc2 ) in erster Näherung (v c)
für die Masse bei der Geschwindigkeit v.
c
√
1
z.H. Berechne Reihen und Näherungen für f (x) = 1 + x und g(x) = √1+x
. o
Z.B.
Welche anderen Verfahren neben der Verwendung der obigen ReihenDarstellung gibt es, um f (x) bzw. g(x) numerisch zu bestimmen? Vergleiche
Vor- und Nachteile anhand des jeweiligen Rechenaufwandes.
o
z.H.
z.H. Entwickele f (x) =
√ 1
1+x2
Für welche Polynome p(x) läßt sich f (x) = (p(x))
Taylor-Reihe um 0 entwickeln?
z.H.
8.2.3
o
in die Taylor-Reihe um 0.
m
problemlos in die
o
trigonometrische Funktionen
Entwicklung der trigonometrischen Funktion f (x) = sin x um 0 liefert wegen
f (4n) (x) = sin x, f (4n+1) (x) = cos x, f (4n+2) (x) = − sin x und f (4n+3) (x) = − cos x
sin(x) = x−
∞
X
x2k+1
x2n−1
x3 x5
+ − . . . +(−1)n−1
+Rn+1 (x) =
(−1)k
3! 5!
(2n−1)!
(2k+1)!
k=0
Das Restglied Rn+1 (x) =
|Rn+1 (x)| ≤
|x2n+1 |
(2n+1)!
± cos xm
(2n+1)!
x2n+1 für ein xm zwischen 0 und x kann durch
abgeschätzt werden. Die Reihe konvergiert für alle x ∈ R.
Entwicklung der trigonometrischen Funktion f (x) = cos x um 0 liefert wegen
f (4n) (x) = cos x, f (4n+1) (x) = − sin x, f (4n+2) (x) = − cos x und f (4n+3) (x) = sin x
cos(x) = 1 −
∞
X
x2 x4
x2n−2
x2k
+
− . . . + (−1)n
+ Rn+1 (x) =
(−1)k
2!
4!
(2n−2)!
(2k)!
k=0
Das Restglied Rn+1 (x) =
|Rn+1 (x)| ≤
|x2n |
(2n)!
± cos xm
(2n)!
x2n für ein xm zwischen 0 und x kann durch
abgeschätzt werden. Die Reihe konvergiert für alle x ∈ R.
116
Z.B. Mit den ersten Näherungen sin(x) ≈ x und cos(x) ≈
1 fürnx nahe bei 0,
also |x| 0 ergibt sich mit Moivre78 und ex = limn→∞ 1 +
x
n
die Euler79 -
n
Identität ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ aus cos ϕ + j sin ϕ = cos( ϕn ) + j sin( ϕn )
limn→∞
cos( ϕn )
+j
n
sin( ϕn )
= limn→∞ 1 + j
ϕ n
n
= ej ϕ
Z.B. Reihen-Entwicklung ergibt sin(−x) = − sin(x) und sin0 x = cos x.
=
c
c
z.H. Zeige die Euler-Identität cos ϕ + j sin ϕ = ejϕ unter Verwendung komplex-
wertiger Reihen, also Reihen ci (z − zo )i mit ci , z, zo ∈ C.
z.H. Zeige cos(−x) = cos(x) und cos0 x = − sin x.
P
o
o
Z.B. Ein Bimetallstreifen der Länge L besteht aus zwei miteinander verbun-
denen Metallstreifen (verklebt, vernietet, gewalzt) der Dicke d mit unterschied∆L
lichen Ausdehnungskoeffizienten80 α = L1o ∆T
. Aufgrund der unterschiedlichen
Ausdehnungskoeffizienten bewirkt eine Temperatur-Änderung ∆T eine LängenÄnderung ∆L, die hier der Einfachheit halber nur einem Streifen zugeschlagen
wird. Dem Bimetallstreifen bleibt nichts anderes übrig, als sich Kreisbogen-förmig
zu verbiegen.
ϕ
Subtrahieren von ϕ(R + d2 ) = L und ϕ(R − d2 ) = L + ∆L liefert ϕd = ∆L oder
eben ϕ = ∆L/d. Da ϕ im Bogenmaß gemessen wird, gilt zudem ϕ = L/R.
Die (rot markierte) Auslenkung a ist
a = |(R, L) − R(cos ϕ, sin ϕ)| =
=
q
q
R2 (1 − cos ϕ)2 + (L − R sin ϕ)2
q
R2 (1 − cos ϕ)2 + R2 (ϕ − sin ϕ)2 = R (1 − cos ϕ)2 + (ϕ − sin ϕ)2
∆L
ϕ = ∆L/d ist klein. Wegen α = L1o ∆T
gilt für einen 1cm langen (Lo = 1cm)
Bimetallstreifen aus Stahl und Zink ∆L = α(αZn − αF e )Lo = 23 · 10−6 · 1cm =
0.23 · 10−6 m = 0.23µm pro Grad Temperaturänderung bei ca 20o C.
cos ϕ und sin ϕ lassen sich durch ihre Taylor-Entwicklungen um 0 approximieren.
Die Taylor-Polynome ersten Grades liefern cos ϕ ≈ 1 und sin ϕ ≈ ϕ für |ϕ| 1, was zur wenig hilfreichen Approximation a ≈ 0 führt. Die Taylor-Polynome
78
Abraham de Moivre (1667-1754)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Moivre.html
∆L
80
Der Ausdehnungskoeffizient α = L1o ∆T
beträgt etwa für Stahl αF e = 13 · 10−6 /o K, für
Zink αZn = 36 · 10−6 /o K oder für Messing αCuZn = 18 · 10−6 /o K jeweils bei 20o C.
79
117
nächst höheren Grades, nämlich cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 /2 und sin ϕ ≈ ϕ − ϕ3 /6, liefern
dagegen
a≈R
q
1 4
ϕ
4
+
1 6
ϕ
36
≈
1
Rϕ2
2
q
1 + 91 ϕ2 ≈ 12 Lϕ = 12 L∆L/d = α2 L2 ∆T /d
a ist plausiblerweise direkt proportional zu L2 und ∆L und indirekt proportional
zu d. 1/d ist ein Verstärkungsfaktor: je dünner der Bimetallstreifen umso größer
die Auslenkung bei fester Temperatur-Änderung.
c
Zur numerischen Berechnung der Funktionen f (x) = tan x und g(x) = cot x kann
x
sin x
bzw. cot x = cos
verwenden. Der Vollständigkeit halber seien
man tan x = cos
x
sin x
hier die Potenzreihen von Tangens und Cotangens angegeben. Zur Darstellung
werden die Bernoulli81 schen Zahlen Bk verwendet, die durch
Bo = 1
und
n
X
k=0
!
n+1
Bk = 0 für n ∈ N
k
1
, B6 =
rekursiv definiert sind, mit etwa B1 = − 12 , B2 = 16 , B4 = − 30
usw. Damit gilt für |x| < π/2
1
, B8
42
1
= − 30
∞
X
1
2
17 7
22k (22k − 1)
tan(x) = x + x3 + x5 +
x +. . . =
(−1)k+1
B2k x2k−1
3
15
315
(2k)!
k=1
z.H. Zeige B2k+1 = 0 für alle k ∈ N.
o
Die Reihen-Entwicklung der Arcus-Sinus-Funktion f (x) = arcsin xum 0 ergibt
√
P
−1/2
sich aus f (0) = 0 und f 0 (x) = 1/ 1 − x2 = (1 − x2 )−1/2 = ∞
(−x2 )k
k=0
k
und damit f (x) = C + f 0 (x) dx = C +
R
P∞ −1/2
R P∞ −1/2
(−1)k x2k dx,
k=0
k P
2k+1
so daß also
−1/2
f (x) = C + k=0 k (−1) x2k dx = C + ∞
(−1)k x2k+1 . Aus f (0) = 0
k=0
k
1
1
1
P
2k+1
(− 2 )(− 2 −1)···(− 2 −(k−1))
folgt C = 0 und eben f (x) = ∞
(−1)k x2k+1 =
k=0
k!
1 3
P∞ (− 12 )(− 32 )···(− 2k−1
P
P
)(−1)k x2k+1
··· 2k−1
1·3···(2k−1) x2k+1
x2k+1
2
2 2
2
= ∞
= ∞
,
k=0
k=0
k=0
k!
2k+1
k!
2k+1
k! 2k
2k+1
R
k
∞
X
1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7
(2k)! x2k+1
arcsin(x) = x+
+
+
+. . . =
2k
2
2 3 2·4 5 2·4·6 7
k=0 2 (k!) 2k+1
Die Reihe konvergiert wie die binomische Reihe für alle |x| < 1.
k
(−1)
2k+1
Der Konvergenzradius von f (x) = ∞
ist ρ = limk→∞ 2k+3
= 1. Es
k=0 2k+1 x
2k+1
P
P∞
1
0
k 2k
2 k
gilt f 0 (x) = ∞
(−1)
x
=
(−x
)
=
=
arctan
(x).
Wegen
f (0) =
k=0
k=0
1+x2
0 = arctan(0) folgt f = arctan, d.h.
P
arctan(x) = x −
81
∞
X
x3 x5
x2n+1
x2k+1
+
− . . . + (−1)n
+ ... =
(−1)k
3
5
2n+1
2k + 1
k=0
118
z.H. Bestimme den Konvergenz-Bereich der Taylor-Reihe für arctan x.
o
Aus tan π4 = 1 bzw. π4 = arctan(1)
ergibt sich eine Näherungsformel
1
1
1
π
für π als 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + . . . . Diese sogenannte Leibniz-Reihe konver-
Z.B.
giert allerdings langsamer als
√ P
(−1)k
π=2 3 ∞
k=0 (2k+1)3k .
π
6
√
= arctan(
3
)
3
=
P∞
√
2k
√
3
3
k
k=0 (−1) (2k+1) 3 32k oder eben
c
z.H. Die Reihe für arctan x liefert weitere Näherungsformeln82 für π, etwa unter
1
(John Machin83 ) mit unvergleichVerwendung von π = 16 arctan 51 − 4 arctan 239
lich besserem Konvergenz-Verhalten.
o
8.2.4
Hyperbelfunktionen
Wie im Fall der trigonometrischen Funktionen ergibt die Taylor-Entwicklung der
hyperbolischen Funktionen für alle x ∈ R
∞
X
x3 x5
x2n−1
x2k+1
sinh(x) = x +
+
+ ... +
+ Rn+1 (x) =
3!
5!
(2n−1)!
k=0 (2k+1)!
mit Rn+1 (x) =
x2n+1
(2n+1)!
cosh xm für ein xm zwischen 0 und x sowie
cosh(x) = 1 +
mit Rn+1 (x) =
x2n
(2n)!
∞
X
x2 x4
x2n−2
x2k
+
+ ... +
+ Rn+1 (x) =
2!
4!
(2n−2)!
k=0 (2k)!
cosh xm für ein xm zwischen 0 und x.
Verifiziere anhand der Reihen-Entwicklungen 2 sinh x = ex − e−x und
2 cosh x = ex + e−x .
o
z.H.
Für tanh x und coth x gilt entsprechendes wie für tan x und cot x. Daher sei auch
hier nur die Reihen-Entwicklung für |x| < π/2 angegeben.
∞
X
1
2
17 7
22k (22k − 1)
tanh(x) = x − x3 + x5 −
x + −... =
B2k x2k−1
3
15
315
(2k)!
k=1
Exemplarisch seien hier die Reihen-Entwicklungen der beiden AreaFunktionen
arsinh und artanh angegeben, die beide für |x| < 1 konvergieren.
∞
2k+1
X
1 x3 1·3 x5 1·3·5 x7
k 1·3· · ·(2k−1) x
arsinh(x) = x−
+
−
+. . . = (−1)
2 3 2·4 5 2·4·6 7
2·4· · ·(2k) 2k+1
k=0
82
Zur Geschichte der Entdeckung und Bestimmung von π siehe
David Blatner: The Joy of π; Penguin 1998 oder http://www.joyofpi.com
83
John Machin (1680-1751)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Machin.html
119
sowie
∞
X
x3 x5 x7
x2k+1
artanh(x) = x +
+
+
+ ... =
3
5
7
k=0 2k + 1
o
z.H. Entwickele arcosh und arcoth in Taylor-Reihen um 0.
8.3
Integration durch Reihen-Entwicklung
Wo keine geschlossene Stammfunktion gefunden wird, kann die Integration der
Reihen-Entwicklung des Integranden sinnvoll sein.
Z.B.
P∞
k=0
Für die Normalverteilung ergibt sich
P
(−1)k R 2k
(−1)k x2k+1
x dx = ∞
k=0 k! 2k+1 .
k!
R −x2 /2
e
dx
=
R P∞
k=0
(−x2 )k
k!
dx =
c
dx (Integral-Sinus) und oπ cosx x dx (Integral-Cosinus)
sind nicht geschlossen lösbar. Integriere durch Reihen-Entwicklung.
o
R π sin x
z.H. Die Integrale
o
R
x
Z.B. Sei der Umfang U einer Ellipse mit Halbachsen a < b zu berechnen. Die
Ellipse
2
x2
+ yb2
a2
= 1 hat die Parameter-Darstellung x =qa cos t und y = b sin t (skaR 2π q
lierter Kreis) mit U =
4
o
ẋ2 (t)+ ẏ 2 (t) dt = 4
R π/2
o
a2 sin2 (t)+b2 cos2 (t) dt =
R π/2 q
b2 − (b2 − a2 ) sin2 (t) dt. Mit der Konstanten ε =
o
fang U = 4 b
R π/2
q
1−
ε2
o
R π/2 P∞ 1/2
fert U = 4 b
i=0
n−1
o
i
√
b2 −a2
b
gilt für den Um-
2
sin (t) dt. Entwicklung in die Binomische Reihe lie-
(−ε2 sin2 (t))i dt. Partielle Integration liefert allgemein
t cos t + n−1
sinn−2 t dt und damit hier oπ/2 sin2n (t) dt =
sinn t dt = − n1 sin
nR
R
Qn−1 2n−2i−1 R π/2
2n−1 π/2
2n−1 2n−3 π/2
2n−2
2n−4
sin
(t)
dt
=
sin
(t)
dt
=
dt =
i=0 2n−2i
o
o
o
2n
2n 2n−2
π Qn−1 2(n−i)−1
i=0 2(n−i) , so daß sich durch Vertauschen von Integration und Summati2
R
on U = 4b
2bπ 1−
P∞
n=0
1/2
1
1/2
n
ε2 21 +
R
(−ε2 )n
1/2
2
R π/2
o
R
ε4 34 12 + ... = 2bπ
Q
2(n−i)−1
1/2
(−ε2 )n π2 n−1
i=0 2(n−i) =
n=0
n
2 2 2 4 2 6
1− 12 ε1 − 12 34 ε3 − 21 34 56 ε5 − ...
sin2n (t) dt = 4b
P∞
c
√
Z.B. Unter Verwendung der expliziten Darstellung y = f (x) = + ab a2 − x2
R q
bestimmt sich der Umfang U = 4 oa 1 + f 02 (x) dx mit der Substitution x =
ergibt.
mit auf U =
Darstellung.
Raq
b 2 x2
dx =
o
a2 a2 −x2
R π/2 √
4 o
a2 sin2 u + b2 cos2
a cos u zu U = 4
1+
4
R π/2 q
o
1+
b2 a2 cos2 u
a sin u du
a2 a2 (1−cos2 u)
und da-
u du wie bei Verwendung der Parameterc
√
2
64−3 l
z.H. Leite Näherungsformeln U ≈ π(1.5(a + b) − ab sowie U ≈ π(a + b) 64−16
l2
mit l = a−b
her.
o
a+b
Durch geeignetes Vertauschen von Integration und Reihen-Entwicklung lassen
sich auch (Potenz-) Reihen bestimmen.
P∞
1
k=1 k(k+1)
R 1 R x P∞
k−1
dy
k=1 y
o o
Z.B.
=
1
P∞ R 1 xk
xk+1 k=1 k(k+1) o =
k=1 o k dx =
R 1 R x P∞
R1Rx
k
k=0 y dy dx = o o 1/(1
o o
P∞
dx =
P∞ R 1 R x k−1
dy dx
k=1 o o y
R1
− y) dy dx = −
o
=
ln(1 −
120
y)|xo dx = − o1 ln(1 − x) dx = − o1 ln y dy = (x − x ln x)|1o = 1, da nach der Regel
von de l’Hospital84 limx→0 x ln x = 0.
c
R
R
z.H. Zeige analog
P∞
1
k=1 k(k+1)(k+2)
= 14 .
o
Durch Integration von Potenz-Reihen lassen sich auch Differentialgleichungen
lösen. Der Ansatz der Lösung als Potenzreihe überführt nämlich die DGl in algebraische Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten der Potenzreihe.
P∞
c xk
P∞k=0 k
Z.B. Für die DGl y 0 = y liefert der Ansatz y =
P∞
k
0 P∞
Potenzreihen y = k=0 ck x = y
ck−1
ck
co
ck+1 = k+1
= (k+1)k
= . . . = (k+1)!
.
k=1 ck
kx
k−1
=
die Identität von
k
k=0 ck+1 (k + 1)x und damit
c
Z.B. Die DGl y 00 = y mit y(0) = 2 und y 0 (0) = 0 löst y = 2 + x2 + x4 /12 + . . . +
2x2n /(2n)! + . . . = 2 cosh x.
c
Z.B. Die DGl y 00 = −y mit y(0) = 1 und y 0 (0) = 1 löst y =
1 3
x
3!
84
+ 4!1 x4 + 5!1 x5 − − + + . . ..
1 0
x
0!
+
1
x
1!
−
1 2
x
2!
−
c
Index
π, 16, 118
e, 16, 17, 24, 108, 111
Überrelaxation, 53
Bedingung
hinreichend, 11
notwendig, 11
Bernoulli, Jakob (I.), 18, 107, 117
Abel, Niels Henrik, 14
Bernoulli, Johann I, 97
Additionstheorem, 21, 22, 66, 105
Beschleunigung, 105
Adjunkte, 38
Betrag, 17, 31
Advanced Encryption Standard, 25, 29 Beweis, 11
Äquivalenz, 10
indirekt, 11, 16
AES, siehe Advanced Encryption Stankonstruktiv, 62
dard
Bijunktion, 10
Algorithmus
Bogen
approximativ, 73
Länge, 96, 98
Newton, 75
Bolzano, Bernard, 62
Ordnung, 73
Boole, Georg, 9
Euklid, 27
Caesar, Gaius Julius, 25
iterativ, 27
Cantor, Georg, 15
rekursiv, 27
Cassini, Giovanni Domenico, 71
Anordnung, 12
Cauchy, Augustin Luis, 18
Approximation, 79
charakteristisches Polynom, 53
Approximation, polynomial, 113
Chiffrieren, 25
Arcus Cosinus, 55
Chrominanz, 43
Arcus Cotangens, 55
Codieren, 25
Arcus Sinus, 55
Cosinus, 20, 55, 115
Arcus Tangens, 55
Cosinus hyperbolicus, 55
Arcus-Funktionen, siehe
Cotangens, 20, 55, 117
Funktionen, ArcusCotangens hyperbolicus, 55
Area Cosinus, 55
Cramer’sche Regel, 44
Area Cotangens, 55
Cramer, Gabriel, 41
Area Sinus, 55
Area Tangens, 55
Darstellung
Area-Funktionen, siehe
Exponential-, 24
Funktionen, AreaGenauigkeit, 14
Asymptote, 76
IEEE 754, IEEE 854, 15
Ausdruck, 9
Polar-, 30
äquivalent, 10
Data Encryption Standard, 25, 27
Erfüllungsmenge, 10
Dechiffrieren, 25
Aussage, 9
Decodieren, 25
Authentifizierung, 25
Definition, rekursiv, 117
Authentizität, 29
Definitionsbereich, 76
Axiom, 9
DES, siehe Data Encryption Standard
Peano, 11
Determinante, 38, 39
121
Entwicklung, 38
Multiplikationssatz, 42
Vandermonde’sch, 40
Determinanten-Rechnung, 133
Dezimalbruch
122
Hesse’sche Normalform, 33
Parameter-Darstellung, 33
Richtungsvektor, 33
ECC, siehe Elliptic Curve Cryptography
Echtheit, 29
nicht abbrechend, nicht periodisch, 15, Eigenfrequenz, 104
16
Eigenvektor, 43
abbrechend, 14
Eigenvektoren, 53
periodisch, 14
Eigenwert, 43, 53
Diagonal-Verfahren, 15
Einheit, imaginäre, 19
Differential-Quotient, 64
Einheitsintervall, 18
Differential-Rechnung, 68, 73
Einheitskreis, 20, 71, 92
Differentialgleichung, 120
Einheitsmatrix, 36
Differentialgleichungen, 96, 105
Einheitsquadrat, 18
Anfangsbedingung, 105
Element
Eins-, 20
Differenzen-Quotient, 64
Diffie, Whitfield, 25
invers, 14
Dirichlet, Peter Gustav, 60
Null-, 14, 20
Disjunktion, 9
Ellipse, 43, 61, 104, 134
Drehmoment, 34
Bogen, 61
Dreieck, 34
Brennpunkt, 134
Exzentrizität, 55, 134
Flächeninhalt, 34
gleichschenklig, 78
Flächeninhalt, 134
Pascal’sch, 12
Gleichung, 119
rechtwinklig, 20
Halbachsen, 134
Dreiecksungleichung, 18, 23, 32
Parameter-Darstellung, 55, 119
e-commerce, 25
Pol, 134
Ebene, 135
Tangente, 134
Achsen-Abschnitte, 135
Umfang, 134
Ellipsoid, 99–101, 104, 135
Neigungswinkel, 30
Tangential-Ebene, 135
schief, 30
Elliptic Curve Cryptography, 25, 29
Schnitt-Gerade, 46
Entschlüsselung, 13, 25
Ebene, R2 , 131
Euklid, 25, 27, 31
Ebenen, 33, 35
Euler, Leonhard, 13, 17, 23, 25, 27, 28,
allgemeine Gleichung, 33
59, 89, 90, 116
drei Achsenabschnitte, 33
Euler-Funktion, siehe Funktion, ExpoGleichung, 35
nentialdrei Punkte, 35
Euler-Gleichung, 131
Punkt & zwei Richtungsvektoren, Extremwert-Problem, 73, 77
35
zwei Punkte & Richtungsvektor, Fakultät, 12
35
Falk, 37
Feld
Gravitations, 106
Magnet-, 34
FEM, siehe finite-Elemente-Methode
Fermat, Pierre de, 25, 28
Fibonacci, Leonardo, 13
finite Elemente Methode, 35
Fläche
B-Spline-, 136
Bézier-, 136
bikubische Spline-, 136
Freiform-, 136
Flächen
Inhalt, 79, 104
Ober-, 96
Schwerpunkt, 79, 82, 104
Fluchtgeschwindigkeit, 106
Folge
geometrisch, 58
Null-, 58, 107, 109
Folgen, 57, 58, 107
alternierend, 58
beschränkt, 58
bestimmt divergent, 58
divergent, 58
Grenzwert, 58
Häufungspunkt, 58
konvergent, 58
monoton fallend, 58
monoton steigend, 58
Formel
Moivre’sch, 23, 116
Taylor’sche, 112
Fourier, Jean Baptiste, 89
fractals, siehe Kurve oder Körper
Freiform-Fläche, 136
Freiform-Kurve, 136
Funktion
ϕ-, 13, 27
Binomial-, 114
Dichte-, 89
Dirichlet, 60
Dreieck, 105
Euler’sche ϕ-, 13, 27
123
Exponential-, 23, 24, 55, 62, 70, 72,
77, 87, 92, 108, 111, 113
Gamma-, 89, 90
invers, 56
periodisch, 105
Rechteck, 105
Sägezahn, 105
Spektral-, 89
Umkehr-, 56
Wurzel-, 24
Funktionen, 54
n-fach differenzierbar, 65, 112
abhängige Variable, 54
Ableitung, 64
Ableitung n-ter Ordnung, 65
Arcus-, 56, 70, 90, 117
Area-, 56, 70, 118
bijektiv, 54
Bildmenge, 54
charakteristisch, 55, 60
Definitionsbereich, 54
Definitionsmenge, 54
differenzierbar, 64
eineindeutig, 54
explizit dargestellt, 54
Extremum, 66, 77
global, 66
lokal, 66
Extremwert, 73, 76
Extremwertstelle, 66
Fixpunkt, 73, 74
gebrochen, 55
gerade, 55, 82
Graph, 54
höhere Ableitung, 65
Hintereinanderausführung, 56
differenzierbar, 70
stetig, 60
hyperbolisch, 55, 72, 90–92, 118
implizit dargestellt, 54
Ableitung, 70
injektiv, 54
invers, 70, 101
stetig, 60
konkav, 66, 76
konvex, 66, 76
Maximum, 66, 67, 76, 77
mehrfach differenzierbar, 65
Minimum, 66, 67, 76, 77
monoton, 73, 80
fallend, 66
steigend, 66
Nullstelle, 62, 73, 75, 76
Parameter-Darstellung, 54, 71, 97
periodisch, 21, 55
rational, 55, 60, 69, 77, 87, 94, 113
relatives Extremum, 66
Sattel, 66
Sattelpunkt, 76
stückweise stetig, 80
stetig, 60, 68, 80
Ergänzung, 61
Fortsetzung, 61
stetig ergänzbar, 77
surjektiv, 54
trigonometrisch, 20, 23, 55, 60, 62,
68, 69, 77, 87, 90, 91, 115
Umkehr-, 70, 101
umkehrbar eindeutig, 54
unabhängige Variable, 54
Unendlichkeitsstelle, 88
ungerade, 55, 82
Unstetigkeitsstelle, 76
Wendepunkt, 67, 73, 76, 77
Werte-Tabelle, 54
Wertebereich, 54
124
Zwei Punkte, 133
Geraden, 32, 61
Achsen-Abschnitte, 33
allgemeine Gleichung, 32
Hesse’sche Normalform, 33, 55
Orts- & Richtungsvektor, 33
Punkt & Steigung, 33
Schnitt-Punkt, 46
Steigung & Ordinatenabschnitt, 32
Steigungswinkel & Ordinatenabschnitt,
32
zwei Ortsvektoren, 33
zwei Punkte, 33
Geschwindigkeit, 105
Gesetz
de Morgan’sch, 10
Distributiv-, 10
ggT, siehe Teiler, größter gemeinsamer
Gleichung, 13–15
Euler’sch, 23, 116
Gleichungssystem
eindeutig lösbar, 44
homogen, 44
inhomogen, 44
lösbar, 44, 45
Lösung per Austausch, 44, 49
Lösung per Elimination, 44, 133
Lösung per Gauß, 44, 133
Lösung per Gauß-Seidel, 52
Überrelaxation, 53
SOR, 53
Gauß’sches Eliminationsverfahren, 44
successive overrelaxation, 53
Gauß, Carl Friederich, 19, 44, 88
Lösung per LU-Zerlegung, 47, 133
Gauß-Seidel’sches Iterationsverfahren, 52
Lösung per Stifel, 44, 49
Geheimhaltung, 25
Lösung per verkettetem Gauß, 47
Gerade, 42, 133, 135
linear, 35, 37, 43, 133
Achenabschnitt, 133
Rang, 45
allgemeine Geraden-Gleichung, 133
überbestimmt, 44
unterbestimmt, 44
Normalen-Vektor, 133
Grassmann, Hermann, 34
Parameter-Darstellung, 133, 135
Grenzübergang, 97, 99, 101
Punkt-Normale, 133
Grenzwert, 64, 65, 71, 81, 88, 107
Punkt-Steigung, 133
Grenzwert-Arithmetik
Steigung-Ordninatenabschnitt, 133
Ableitungen, 68
Folgen, 59, 60
Produkt-Regel, 68
Reihen, 107
Grundintegrale, 87
Guldin, Paul, 104
125
Untersumme, 79
Integral-Rechnung, 90
Integration
approximativ, 90
Konstante, 86
numerisch, 88, 90
Hangabtrieb, 30
Simpson-Regel, 84, 88, 90
Helix, 61
Trapez-Regel, 84, 88, 90
Hellmann, Martin E., 25
Partialbruch-Zerlegung, 94, 95
Hermite, Charles, 85
partiell, 90, 112
Hesse, Ludwig Otto, 55
Produkt-, 90, 112
Hohlzylinder, 101
Reihen-Entwicklung, 119
Horner, William George, 56
Stammfunktion, 86, 87, 90
Horner-Schema, 75
Substitution, 91, 93, 95, 99, 100, 103,
Hyperbel, 134
105, 106, 119
Normal-, 99
Faustregel, 92
Parmeter-Darstellung, 134
International Data Encryption Algorithm,
Sektor, 93
25
Tangente, 134
Interpolation
Hyperboloid, 99, 135
Polynom-, 43, 47
Stützstelle, 43
IDEA, siehe Data Encryption Algorithm
Intervall, 18
Identität
abgeschlossen, 18
Lagrange, 34
offen, 18
IFS, siehe Iterative Function System
Intervall-Schachtelung, 16, 58, 62
Imaginärteil, 19, 131
Inverses, modular, 28
Implikation, 10
Iterative Function System, 37
Induktion, magnetisch, 34
Induktion, vollständig, 12, 18, 22, 40, Julia, Gaston Maurice, 24
107
Körper
Infimum, 79
Integral, 79
Rotations-, 96
-Cosinus, 119
Mantel-Fläche, 99, 100
-Logarithmus, 88
Schwerpunkt, 96
-Sinus, 88, 119
Kasiski, Friedrich W., 25, 27
bestimmt, 79, 87, 88
Kegel, 78, 103
Stumpf, 99
Fehler-, 88
Funktion, 86, 87
Kegel-Schnitt, 134
geschlossen lösbar, 88, 90
Keller-Zeile, 50
nicht geschlossen lösbar, 88, 90
Kettenlinie, 87, 97
Obersumme, 79
Kettenschluß, 10
Riemann’sche Summe, 80, 81
Kirchhoff, Gustav Robert, 43
Knoten-Vektor, 136
stückweises, 80
unbestimmt, 86
Koeffizienten
uneigentlich, 88
Binomial-, 12
Koeffizientenvergleich, 94
komplexe Rechnung, 131
konjugiert komplex, 131
Konjunktion, 9
Kontraposition, 11
Kontroll-Punkt, 136
Koordinaten, 31
Achsen, 31
Cartesisch, 131
Polar-, 22, 131
System, 31
Koordinaten-System
Cartesisch, 54
Polar-, 54
Kräfte-Parallelogramm, 30,
Kreis, 42, 61, 78, 134
Bogen, 61
Bogen-Länge, 97
Flächeninhalt, 134
Mittelpunkt, 134
Parameter-Darstellung,
Radius, 134
Sektor, 78
Tangente an, 134
Thales-, 134
Umfang, 134
Kreisfrequenz, 87, 90, 104
Kreuz-Produkt, 131
Kronecker, Leopold, 33
Kryptographie, 13, 25
Kugel, 99–101, 103, 135
Oberfläche, 135
Rauminhalt, 135
Tangential-Ebene, 135
Kurve
B-Spline-, 136
Bézier-, 136
Cassini, 71
Freiform-, 136
Koch, 66
kubische Spline-, 136
Peano, 61
126
Polar-Darstellung, 98, 101
Kurven
fraktal, 61, 66
Länge, 96, 104
Raum-füllend, 61
stetig, 61
Kurven-Diskussion, 73, 76
43
98
134
135
100
l’Hospital, Guillaume Françoise Antoine de, 71, 81, 120
Lagrange, Joseph Louis, 34
Lambert, Johann Heinrich, 16
Laplace, Pierre Simon, 38, 89
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 109
Lemniskate, 101
Limes, siehe Grenzwert
Linearfaktor, 62, 94
Linearkombination, 33, 38, 44, 50, 131
Logarithmus, 17, 24, 62, 66, 68, 70, 72,
77, 91, 92, 114
Ableitung, 65
dekadisch, 17
dual, 17
natürlich, 17
Logik, 9
Aussagen-, 9
modus ponens, 10
zweiwertig, 9
Luminanz, 43
Machin, John, 118
Mandelbrot, Benoit, 24
Matrix, 35, 36, 132
charakteristisches Polynom, 133
Diagonal-, 36
Eigenvektor, 42, 133
Eigenwert, 42, 133
Einheits-, 36, 37, 132
Hauptdiagonale, 36
Identitäts-, 132
Inverse, 37, 47, 51, 132
invertierbar, 37
Koeffizienten, 36
Null-, 36, 37
Produkt-, 37, 132
quadratisch, 36, 132
regulär, 37
Rotations-, 132
Scherungs-, 132
singulär, 37
Skalierungs-, 132
Spalte, 132
symmetrisch, 36, 133
Transformation, 37
Transformations-, 132
Translations-, 132
transponiert, 36, 132
Transvektions-, 132
Typ, 36
Vandermonde’sch, 40
Zeile, 132
Matrizen-Rechnung, 131, 132
Maximum, 18
Menge, 9
Antinomie, 9
Differenz, 9
Durchschnitt, 9
Element, 9
fraktal, 24, 37
Julia, 24
Komplement, 9
konvex, 76
leer, 9
Mandelbrot, 24
Produkt-, 10
selbstähnlich, 24
Vereinigung, 9
minimale Summe der Fehlerquadrate, 78
Minimum, 18
Mittel
arithmetisch, 18, 82
geometrisch, 18
gewichet, 83
harmonisch, 18
quadratisch, 18
Mittelwert, 79, 82, 96, 104
effektiv, 104
galvanometrisch, 104
modulo, 13
Moivre, Abraham de, 23, 116
127
Moment, 79, 96, 104
Monom, 55, 56
Monotonie, 18
NAND, 10
Negation, 9
Nenner
polynomial, 94
reell, 20
Newton, Isaac, 75, 85
non repudiation, 25, 29
NOR, 10
Normalform, Hesse’sche, siehe Geraden
oder Ebenen
Nullstelle, 94
komplex, 94
einfach, 94, 95
mehrfach, 94, 95
reell, 94
einfach, 95
mehrfach, 95
Vielfachheit, 94
Operationen
assoziativ, 14, 17, 20, 31, 32, 34, 36,
37, 57
Boole’sch, 9
distributiv, 14, 17, 20, 31, 32, 37
invers, 88
kommutativ, 14, 20, 31, 32, 36, 37
Ortsvektor, 31
Parabel, 43, 55, 66, 68, 134
Kegel-Schnitt, 134
Normal-, 97, 98
Scheitel, 66, 134
Paraboloid, 103
Parallelepiped, 35
Partikular-Lösung, 44
Pascal, Blaise, 12
Peano, Guiseppe, 61
Periode, 55, 104, 105
Dauer, 87
PGP, siehe Pretty Good Privacy
Pivot, 50
Polygonzug, 96
128
Polynom, 19, 55, 56, 60, 62, 68, 72, 87, Regressionsgerade, 78
112
regula falsi, 62
Bernstein-, 136
Reihe
charakteristisch, 42
geometrisch, 81, 107
Nullstelle
harmonisch, 107
Vielfachheit, 94
Leibniz-, 118
Taylor-, 113
Reihen, 107
Potenz, 17, 24
alternierend, 109
Pretty Good Privacy, 25
divergent, 107
Primfaktorzerlegung, 28
Fourier, 107
Prisma, 35
Integral-Kriterium, 109
Volumen, 35
konvergent, 107
Produkt
Konvergenz, 107
äußeres, 34
Leibniz-Kriterium, 109
inneres, 31
Majoranten-Kriterium, 108
Minoranten-Kriterium, 108
Kreuz-, 34
Skalar-, 31
Potenz-, 110
Spat
Arithmetik, 110
antikommutativ, 35
Differentation, 110
Spat-, 35, 39
Entwicklung, 110
distributiv, 35
Identität, 111, 113, 120
Integration, 110
Vektor-, 34, 39
antikommutativ, 34
Konvergenzradius, 110
distributiv, 34
Quotienten-Kriterium, 108, 110
nicht assoziativ, 34
Rest, 107
public key, 27
Taylor-, 107, 112
Punkt
Entwicklung, 88, 112–115, 118
Kontroll-, 136
Restglied, 112
Pythagoras, 20
Teilsumme, 107
Wurzel-Kriterium, 108, 110
Raum, R3 , 131
rekursiv, 12, 90
Realteil, 19, 131
Relation, 10
Rechteck, 77
Residuum, 48
Rechtssystem, 31, 34
RGB, 43
Regel
Riemann, Bernhard, 80
3/8-, 85
Rivest/Shamir/Adleman, 13, 25, 27
Cramer, 41, 44
Rolle, Michel, 67
de l’Hospital, 71, 81, 120
Rose, 55, 101
Guldin, 104
Rotation, 36
Ketten-, 69
RSA, siehe Rivest/Shamir/Adleman
Produkt-, 68
Quotienten-, 69
Sarrus, 39
Sarrus, 39
Satz
Binomischer Lehr-, 13, 18, 65
Simpson, 84
Trapez-, 84
Bolzano, 62
Euler, 28
Fermat, 28
Grassmann, 34
Haupt- der Differential- und Integral-Rechnung, 87, 112
Identitäts-, 111, 113, 120
Laplace, 38, 39
Mittelwert-, 67, 74
erweitert, 71, 112
Integral-Rechnung, 83, 86
verallgemeinert, 83
Newton, 75
Pythagoras, 20
Rolle, 67
Zwischenwert-, 62
Scheffers’scher Strich, 9
Schema, Horner, 56
Schlüsselwort-Länge, 27
Schraubenlinie, 61
Schwarz, Hermann Amandus, 32
Secure Electronic Transaction, 25
SET, siehe Secure Electronic Transaction
Signatur, digital, 29
Signieren, 25
Signum, 17
Simpson, Thomas, 84
Sinus, 20, 55, 115
Sinus hyperbolicus, 55
Skalar-Produkt, siehe Produkt, Skalar, 131
SOR, 53
Spat, 35
Volumen, 35
Spirale, 98
Archimedisch, 55
hyperbolisch, 55
Steigung
Sekanten-, 65
Tangenten-, 65
Stellenwertsystem, 14
Stifel’sches Austauschverfahren, 49
Stirling, James, 109
Strecke, 61, 98
Streifen, 79, 102
129
senrecht, 102
waagerecht, 102
Subjunktion, 10
successive overrelaxation, 53
Supremum, 79
Symbol
Kronecker, 33
Tangens, 20, 55, 117
Tangens hyperbolicus, 55
Taylor, Brook, 112
Teiler, 9, 11
größter gemeinsamer, 27
Tetraeder, 35
Volumen, 35
Toroid, 104
Torus, 100, 101, 103, 104
Transformation
Fourier-, 89
invers, 89
Integral-, 79
Laplace-, 89
Matrix-, 132
Trapezformel, Hermite’sch, 85
Trithemius, Johannes, 25, 26
tupel, 30
Turing, Alan M., 25
Überlagerungsprinzip, 106
Umgebung, 58
Ungleichung
Bernoulli’sche, 18
Schwarz’sche, 32
Ursprung, 31
Vaktor-Raum, 131
Vandermonde, Alexandre Théophile, 40
Varianz, 79
Vektor, 30, 131
(Euklidische) Länge, 131
Basis-, 131
Ergebnis-, 44
erzeugend, 33
frei, 31
kollinear, 33, 34
komplanar, 33
Länge, 30, 31
linear abhängig, 33, 43, 131
linear unabhängig, 33, 43, 131
normiert, 32
Null-, 31
Richtung, 30
Spalten-, 30, 131
Störungs-, 44
Zeilen-, 30, 131
Vektor-Produkt, siehe Produkt, Vektor, 131
Vektor-Raum, 30, 56, 60, 68
Basis, 33, 56
orthonormiert, 33
Euklid’sch, 31
Transformation, 35
Vektor-Rechnung, 131
Verschlüsselung, 13, 25
Versor, 24
Verteilung
Normal-, 88, 119
Vigenère, Blaise de, 25, 27
Volumen, 96, 101
Wahrheitstafel, 9
Wahrscheinlichkeitsrechnung, 89
Wiles, Andrew, 28
Wurf
schief, 106
senkrecht, 105
YUV, 43
Zahl
Euler’sch, 17, 59
Zahlen
überabzählbar, 16
abzählbar, 15
Bernoulli’sch, 117
Ebene, 19
ganz, 13
Gleitkomma-, 15
irrational, 15
Körper, 14, 17, 19
komplex, 19
konjugiert komplex, 19
natürlich, 11
Prim-, 9, 11, 13, 28
rational, 14
reell, 15
Zahlen-Folgen, siehe Folgen
Zahlen-Strahl, 11, 16, 19
Zahlentheorie, 9
Zerlegung, 79
Zimmermann, Philipp, 25
Zufallsvariable, 89
Zykloide, 98
Zylinder, 78, 101
Oberfläche, 78
Volumen, 78
130
A
131
Formelsammlung zur linearen Algebra
und analytischen Geometrie
d.h. komplexe, Vektor- und Matrizen-Rechnung als Ergänzung z.B. der Klappentexte aus Stöcker: Taschenbuch Mathematischer Verfahren; Verlag Harri Deutsch
A.1
komplexe Rechnung
z = x +j y ∈ C mit Realteil <z = x ∈ R, Imaginärteil =z = y ∈ R und j 2 = −1 ,
konjugiert komplex z ∗ = x − jy, so daß <z = 12 (z + z ∗ ) und =z = 2j1 (z − z ∗ ) gilt.
z = r ej ϕ ∈ C mit 0 ≤ r ∈ R, so daß sich wegen ej ϕ = cos ϕ + j sin ϕ (Euler) die
Cartesischen Koordinaten aus
= r cos ϕ und y = =z = r sin ϕ bzw. die
√ 2x = <z
2
Polar-Koordinaten aus r = x + y und ϕ = arctan xy ergeben, also z ∗ = r e−j ϕ .
Mit zk = xk + j yk ist z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 ) und rz = rx + j ry für r ∈ R
sowie z1 z2 = (x1 + j y1 ) (x2 + j y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + j (x1√
y2 + y1 x2 ) bzw.
√ z1 z2 =
r1 ej ϕ1 r2 ej ϕ2 = r1 r2 ej(ϕ1 +ϕ2 ) (Moivre). Betrag |z| = r = x2 + y 2 = z z ∗ .
A.2
Vektor-Rechnung – hier für Zeilen-Vektoren
reeller (ri ∈ R)
Rn
Vektor im n . Z.B. ist r = (x, y) ∈ R2
komplexer (ri ∈ C)
C
Vektor/Punkt der Ebene und r = (x, y, z) ∈ R3 Vektor/Punkt des Raumes.
Beispielsweise r1 + r2 = (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) und
cr = c(x, y, z) = (cx, cy, cz) für c ∈ R oder c ∈ C zeigen, daß Rn bzw. Cn VektorRäume über R bzw. C sind. Vektoren lassen sich eindeutig als Linearkombination
von linear unabhängigen, l.u. Basis-Vektoren darstellen: etwa r = (x, y) = xex +
yey ∈ R2 in der Ebene oder r = (x, y, z) = xex + yey + zez ∈ R3 im Raum.
Mit beispielsweise ri = (xi , yi , zi ) ∈ R3 heißt r1 · r2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ∈ R
Skalar-Produkt. Das Skalar-Produkt ist bilinear.
gilt r2 = r · r = (x, y, z)2 =
√ 2 Es
2
2
2
2
2
x + y + z = |r| , wenn |r| = |(x, y, z)| = x + y + z 2 die (Euklidische) Länge
von r bezeichnet. Und r1 · r2 = |r1 | |r2 | cos ∠(r1 , r2 ), also r1 ⊥ r2 ⇐⇒ r1 · r2 = 0.

>
e
y1 z2 − z1 y2
x ey ez r = (x1 , y1 , z1 )


Mit 1
heißt r1 × r2 = x1 y1 z1 = z1 x2 − x1 z2  ∈ R3 Vektorr2 = (x2 , y2 , z2 )
x2 y2 z2 x1 y 2 − y 1 x2
3
Produkt von r1 , r2 ∈ R . Es gilt r1 ⊥ (r1 × r2 ) ⊥ r2 , die Vektoren r1 , r2 und
r1 × r2 bilden ein Rechts-System und |r1 × r2 | entspricht dem Flächeninhalt des
durch r1 und r2 aufgespannten Parallelogramms. Das Vektor-Produkt ist bilinear
und mit r1 × r2 = −r2 × r1 anti-kommutativ. Es gilt r1 × r2 = 0 ⇐⇒ r1 k r2
(kollinear). Anwendungen in der Physik, Computer-Graphik etc.
r = (r1 , . . . , rn ) heißt
A.3
132
Matrizen-Rechnung


a11 · · · a1m
nm
 .
reelle oder
.. 

 ∈ R
A = (aij ) i = 1, ..., n =  ..
n × m-Matrix
. 
nm heißt
C
komplexe
j = 1, ..., m
an1 · · · anm
mit n Zeilen und m Spalten. Mit A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) und
cA = c(aij ) = (caij ) bilden die n × m-Matrizen einen Vektor-Raum über R bzw.
über C.
Zeilen- bzw. Spalten-Vektoren sind ein-zeilige bzw. ein-spaltige Matrizen.
Sei
) eine n × l-Matrix und B = (bkj ) eine l × m-Matrix. Dann ist A B =
P A = (aik l
eine n × m-Matrix (’Zeile mal Spalte’). Das Matrix-Produkt ist
k=1 aik bkj
i,j
bilinear und nicht kommutativ. Quadratische Matrizen E = I = (δij ) heißen
Einheits oder Identitätsmatrizen und A−1 mit A A−1 = E heißt Inverse der
quadratischen Matrix A. Die Inverse A−1 existiert ⇐⇒ |A| =
6 0.
>
Die transponierte Matrix A = (aj,i )j=1..m,i=1..n entsteht aus A = (ai,j )i=1..n,j=1..m
durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Es gilt (A + B)> = A> + B> und
(AB)> = B> A> .
A.4
Matrix-Transformationen
Jede reelle n × n Matrix T stiftet durch r 7→ T (r) = Tr eine Transformation T : Rn → Rn , falls r als Spalten-Vektor geschrieben wird, bzw. durch
r 7→ T (r) = rT eine solche, falls r als Zeilen-Vektor geschrieben wird. Beispiele:
Translation (nur in homogenen Koordinaten), Skalierung, Scherung, Rotation.
Beispielsweise
die Translation
um den Translationsvektor (tx , ty ) in der Ebene


1 0 0

= (x, y, 1) 
 0 1 0 = (x + tx , y + ty , 1) ≡ (x + tx , y + ty ) demonstriert, daß
tx ty 1
auch Translationen bei Verwendung von homogenen Koordinaten als MatrixTransformationen aufgefaßt werden können.
Beispielsweise die Skalierung um Skalierungsfaktor !sx bzw. sy in x- bzw. ys 0
Richtung der Ebene (x, y) 7→ (x, y)S = (x, y) x
= (sx x, sy y) ist ebenfalls
0 sy
eine Matrix-Transformation.
Scherungen oder auch Transvektionen der Ebene mit der Abszisse als Fixgeraden
!
1 0
sind durch die Matrix-Transformationen (x, y) 7→ (x, y)S = (x, y, )
=
m 1
(x + my, y) beschrieben.!
cos % ∓ sin %
R% =
stiftet die Rotation der Ebene um den Ursprung und
± sin % cos %
um den Winkel % für Argumente geschrieben als Spalten- bzw. Zeilen-Vektoren.
A.5
133
Lineare Gleichungssysteme
Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b vermittels des Gauß-Verfahrens,
eindeutig ⇐⇒ |A| =
6 0, LU -Zerlegung oder vermittels spezieller Verfahren z.B.
für symmetrische Matrizen A = A> . (Pivotisierung sorgt für numerische Stabilität, vgl. http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/heath.pdf.)
A.6
Determinanten-Rechnung
Determinanten quadratischer Matrizen löst man per Gauß oder Laplace’schem
Entwicklungssatz. |A| = det(A) = |A> |. Da sich die Determinante unter zulässigen Zeilen- oder Spalten-Operationen nicht ändert, kann man die Matrix
A in obere Dreiecksgestalt (oder sogar in Diagonal-Form) überführen, um dann
Q
|A| = |diag(d1 , . . . , dn )| = ni=1 di zu berechnen.
A.7
Wenn Ax = λx, dann ist x 6= 0 ist Eigenvektor, EV zum Eigenwert, EW λ ∈ C
der (quadratischen) Matrix A. Wegen Ax = λx ⇐⇒ (A − λI)x = 0 ⇐⇒
(A − λI)(cx) = 0 für jedes c ∈ R ⇐⇒ p(λ) = |A − λI| = 0, d.h. Eigenwerte sind
genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) = pA (λ) = |A − λI|.
Zu gegebenem EW λ bestimmt man zugehörige EVen durch Lösen des (überbestimmten) linearen Gleichungssystems (A − λI)x = 0.
B
B.1
B.1.1
Formelsammlung analytische Geometrie
analytische Geometrie der Ebene
Gerade
• Ax + By + C = 0 allgemeine Geraden-Gleichung mit Normalen-Vektor (A, B)
wegen A(x − xo ) + B(y − yo ) = 0 für einen Punkt (xo , yo ) auf der Geraden
• y = mx + b Steigung-Ordinaten-Abschnittsform
• xa + yb = 1 Achsenabschnittsform
y−yo
• x−x
= m Punkt-Steigungsform
o
y−y1
1
• x−x1 = xy22 −y
Zwei-Punkte-Form
−x1
• (p − po ) ⊥ n ⇐⇒ (p − po ) · n = 0 Punkt-Normalen-Form
1
• p · nn = d Hesse’sche Normalform mit normiertem Normalen-Vektor nn = |n|
n
für einen Normalen-Vektor n und mit dem Abstand d der Geraden vom Ursprung
• p(t) = po + t r Parameter-Darstellung in Punkt-Richtungsvektor-Form, t ∈ R
• p(t) = po + t(p1 − po ) Parameter-Darstellung in Zwei-Punkte-Form, t ∈ R
B.1.2
B.1.2.1
134
Kegel-Schnitte ax2 + bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
Parabel
• y = p(x) = c2 x2 + c1 x + co Parabeln sind Graphen von Polynomen zweiten Grades
• y = p(x) = c2 (x − xs )2 + ys Parabel mit Scheitel-Punkt (xs , ys ) (quadr. Ergänzung)
y−y1
y−y2
1
2
• x−x
− x−x
= xy33 −y
− xy33 −y
Parabel durch pi = (xi , yi ) für i = 1, 2, 3
−x1
−x2
1
2
2
2
2
• y = 2px + (ε − 1)x für ε ≥ 0 ist Kegelschnitt mit Scheitel in (0, 0), x-Achse
als Symmetrie-Achse und Scheitelkrümmungskreis-Radius p. ε = 0 ergibt Kreis,
0 < ε < 1 ergibt Ellipse, ε = 1 ergibt Parabel und ε > 1 ergibt Hyperbel.
B.1.2.2
Kreis
• (x − xm )2 + (y − ym )2 = r2 Kreis um m = (xm , ym ) mit Radius r
• p(t) = m + r(cos t, sin t) Parameter-Darstellung des Kreises um m mit Radius r
• (m − t) · (p − t) = 0 ⇐⇒ (t − m) · (x − m) = r2 beschreibt die Punkte p ∈ R2
der Tangenten an den Kreis um m mit Radius r im Berührpunkt t.
• (p − d1 ) · (p − d2 ) = 0 beschreibt die Punkte p ∈ R2 des Kreises mit den beiden
Endpunkten d1 und d2 eines Durchmessers (Thales)
• Umfang |U | = 2πr, Flächeninhalt |A| = πr2
B.1.2.3
•
Ellipse
(x−xm )2 (y−ym )2
+ b2
a2
= 1 Ellipse um (xm , ym ) mit Achsen-parallelen Halbachsen a und b
• p(t) = m + (a cos t, b sin t) Parameter-Darstellung der Ellipse um m = (xm , ym )
mit Achsen-parallelen Halbachsen a und b
• in Polar-Koordinaten (Hauptachse waagerecht, Polarachse auf Hauptachse nach
a2 −e2
rechts, Pol im rechten (+) bzw. linken (–) Brennpunkt) r(ϕ) = a±e
= 1±εpcos ϕ
cos ϕ
√
b2
a2 − b2 , numerische Exzenmit Halbparameter
p
=
,
lineare
Exzentrizität
e
=
a
√
2
2
trizität ε = ae = a a−b und großer Halbachse a > b
m)
m)
+ (yo −ymb)(y−y
= 1 Tangente an Ellipse um m = (xm , ym ) mit
• (xo −xma)(x−x
2
2
Achsen-parallelen Halbachsen a und √
b im Berührpunkt (xo , yo )
• Umfang |U | ≈ π(a + b), |U | ≈ π 2|(a, b)| etc., vgl. http://onlinelibrary.
wiley.com/doi/10.1002/zamm.19560361112/pdf, Flächeninhalt |A| = πab
B.1.2.4
Hyperbel
2
(x−xm )2
− (y−yb2m )
a2
•
= 1 Hyperbel um (xm , ym ) mit Asymptoten y = ym ± ab (x−xm )
• p(t) = m + (a cosh t, b sinh t) Parameter-Darstellung der Hyperbel um m mit
Asymptoten y = ym ± ab (x − xm )
m)
m)
− (yo −ymb)(y−y
= 1 Tangente in (xo , yo ) an Hyperbel um (xm , ym )
2
2
b
mit Asymptoten y = ym ± a (x − xm )
B.2
B.2.1
135
analytische Geometrie im Raum
Gerade
Geraden im Raum sind Schnitte von zwei Ebenen im Raum.
• p(t) = po + t r Parameter-Darstellung in Punkt-Richtungsvektor-Form
• p(t) = po + t(p1 − po ) Parameter-Darstellung in Zwei-Punkte-Form
B.2.2
Ebene
• Ax + By + Cz + D = 0 allgemeine Ebenen-Gleichung mit Normalen-Vektor
(A, B, C) wegen A(x − xo ) + B(y − yo ) + C(z − zo ) = 0 für einen Punkt (xo , yo , zo )
auf der Ebenen
• xa + yb + zc = 1 Achsenabschnittsform
1
• p · nn = d Hesse’sche Normalform mit normiertem Normalen-Vektor nn = |n|
n
für einen Normalen-Vektor n und Abstand d der Ebene vom Ursprung
• p(s, t) = po + s r1 + t r2 Parameter-Darstellung Punkt-zwei-Richtungsvektor-Form
• p(s, t) = po + s(p1 − po ) + t(p2 − po ) Parameter-Darstellung in Drei-Punkte-Form
B.2.3
Kugel
• (x − xm )2 + (y − ym )2 + (z − zm )2 = r2 Kugel um m = (xm , ym , zm ) mit Radius r
• p(ϕ, ψ) = m+r(cos ψ cos ϕ, cos ψ sin ϕ, sin ψ) Parameter-Darstellung der Kugel
um m = (xm , ym , zm ) mit Radius r
• (p − t) · (t − m) = 0 beschreibt die Punkte p ∈ R3 der Tangential-Ebenen an
die Kugel um m mit Radius r = |t − m| im Berührpunkt t
• Oberfläche |A| = 4πr2 , Rauminhalt |V | = 43 πr3
B.2.4
Ellipsoid
2
2
2
m)
• (x−x
+ (y−yb2m ) + (z−zc2m ) = 1 Ellipsoid um m = (xm , ym , zm ) mit Achsen-paa2
rallelen Halbachsen a, b und c
• p(ϕ, ψ) = m + (a cos ψ cos ϕ, b cos ψ sin ϕ, c sin ψ) Parameter-Darstellung des
Ellipsoids um m = (xm , ym , zm ) mit Achsen-parallelen Halbachsen a, b und c
m)
m)
m)
+ (yo −ymb)(y−y
+ (zo −zmc)(z−z
= 1 Tangential-Ebene an Ellipsoid
2
2
2
um m = (xm , ym , zm ) mit Achsen-parallelen Halbachsen a, b und c im Berührpunkt (xo , yo , zo )
B.2.5
Hyperboloid
2
2
2
m)
• (x−x
+ (y−yb2m ) − (z−zc2m ) = ±1 für a, b, c > 0 ein- bzw. zwei-schaliges Hypera2
boloid um m = (xm , ym , zm )
C
C.1
136
Freiform-Kurven
Bézier-Kurven
= nk=0 Bk,n (t)pk für t ∈ [0, 1] mit den Bernstein-Polynomen Bk,n (t) =
n k
t (1 − t)n−k und Kontroll-Punkten po , p1 , . . . , pn in der Ebene oder im Raum
k
• p(t) für t ∈ [0, 1] liegt in der konvexen Hülle der Kontroll-Punkte.
• p(t)
C.2
P
Kubische Spline-Kurven
Ein kubischer Spline p(t) ist stückweise definiert durch n kubische PolynomAbschnitte, die Punkte po , . . . , pn so interpolieren, daß benachbarte PolynomAbschnitte glatt zusammenstoßen, was auf ein lineares Gleichungssystem führt.
C.3
B-Spline-Kurven
• B-Spline-Basisfunktionen Ni,p,τ für i = 0, . . . , n − p − 2 mit Ordnung p ∈ N und
Knotenvektor τ = (τ0 , . . . , τn−1 ) wo n ≥ 2 p sind rekursiv definiert:
τi+p+1 −t
t−τi
Ni,p−1,τ (t) + τi+p+1
Ni+1,p−1,τ (t).
Ni,0,τ = χ[τi ,τi+1 ) und Ni,p,τ (t) = τi+p
−τi
−τi+1
Die Elemente von τ müssen τi ≤ τi+1 und τi < τi+p erfüllen.
Dann ist
P
N
(t)p
für
t
∈
[τ
,
τ
]
B-Spline
Kurve
mit
Kontroll-Punkten
• p(t) = n−p
i,p,τ
i
p n−p+1
i=1
pi für i = 1, . . . , n − p und zum Knoten-Vektor τ
D
D.1
Freiform-Flächen
Bézier-Flächen
2
• p(s, t) = ni=0 m
j=0 Bi,n (s) Bj,m (t)pi,j für (s, t) ∈ [0, 1] liegt in der konvexen
Hülle der Kontroll-Punkte pi,j für i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , m.
P
D.2
Bikubische Spline-Flächen
• p(x, y) =
D.3
P
P3
i=0
P3
j=0
aij xi y j bicubic patches, die glatt zusammengefügt werden.
B-Spline-Flächen
m−q
• p(s, t) = n−p
i=1
j=1 Ni,p,τ (s) Nj,q,µ (t)pij für (s, t) ∈ [τp , τn−p+1 ] × [µq , µm−q+1 ]
ist B-Spline-Fläche der Ordnung p und q zum 1. Knoten-Vektor τ = (τ1 , . . . , τn )
für n ≥ 2p, zum 2. Knoten-Vektor µ = (µ1 , . . . , µm ) für m ≥ 2q und mit den
Kontroll-Punkten pi,j für i = 1, . . . , n − p und j = 1, . . . , m − q.
P
P

Mathematik fuer Informatiker - Weblearn

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