Algebra und Zahlenbereiche

Algebraische Strukturen
Ugs.: Eine algebraische Struktur ist eine Menge, mit deren Elementen man rechnen kann: IN -, +,*
Def.: Eine algebraische Struktur ist ein Paar (M, ○), bestehend aus einer Menge M und einer
Abbildung ○:
M x M → M´ mit M Í M´
BSP: (IN, +), (IN,*) +(3, 4) = 7 oder 3+4=7 , (IN, -) -(3,7) = 3-7 = -4 gehört nicht IN
IN Î Z, Z ist Obermenge von IN
Def.:Eine algebraische Struktur heißt abgeschlossen, wenn ○: M x M → M ist.
BSP: Abgeschlossen: (IN, +), (IN,*), (Z, -) – Erweiterung von IN, (Q*, :) – Erweiterung von IN, Z
Nicht abgeschlossen: (IN, -), da die Subtraktion in Z hineinführt, (IN*, :), da in Q hineinführt
Def.: Es sei (M, ○) eine algebraische Struktur:
1) (M, ○) heißt assoziativ, wenn für alle a, b, c Î M gilt: a ○ (b ○ с) = (a ○ b) ○ c
BSP: a + (b+ c) = (a + b)+ c
2) (M, ○) heißt kommutativ, wenn für alle a, b Î M gilt: a ○ b = b ○ a
BSP: a + b = b + a
3) (M, ○) heißt regulär, wenn für alle a, b, cÎ M gilt: a ○ c = b ○ c oder c ○ a = c ○ b, so
gilt : a = b (Kürzungsregel), nicht regulär heißt: es gibt mehr als eine Lösung
BSP: In (IN, +) kann man aus 5 + x = 5 + y schließen, dass x = y ist.
Def: Es sei (M, ○) eine algebraische Struktur:
1) Falls es ein Element e Î M gibt mit a ○ e = e ○ a = a für alle a Î M, so heißt e ein
Neutralelement von (M, ○)
2) Es sei a Î IN. Falls es ein a´Î M gibt mit a ○ a´= a´○ a= e, so heißt a´ ein Inverses zu a.
BSP zu 1): In (Z, +) ist das Neutralelemnt 0, in (Q,*) ist das Neutralelement 1
Es sei M eine Menge. Dann ist (Pot(M), È ) eine algebraische Struktur mit {} als Neutralelement.
Pot ({1,2}) = {{}, {1}, {2}, {1,2}}
{1} È {2}={1,2} {1,2} È ? = {1,2,3}
Mögliche Lösungen: {1,2,3},{3}{2,3},{1,3}
Mengen mit ihren Inversen:
- In (Q,*): Inverses zu 3 ist
1
1
, da 3 · = 1
3
3
- In (Z,+): Inverses zu 5 ist -5, da 5 + (- 5) = 0
- (IN, +) hat kein Inverses, da 3+ x = 0 In IN nicht lösbar ist.
Def: Es sei (G, ○) eine abgeschlossene algebraische Struktur. Dann heißt (G, ○) eine Gruppe,
wenn gilt:
1) Für alle a, b, cÎ G gilt: a ○ (b ○ с) = (a ○ b) ○ c – assoziativ
2) Es gibt ein e Î G mit a ○ e = e ○ a = a – Neutralelement (Es gibt ein Neutralelement)
3) Für jedes a Î G gibt ein a´ mit a ○ a´= a´○ a= e (Es gibt ein Inverses)
BSP: (Z, +) ist eine Gruppe: Assoziativ, 0 ist das Neutralelement, – a ist Inverses zu a
Algebraische Strukturen:
Struktur
(N,+)
(Z,+)
(Z,*)
Assoziativ
Ja
Ja
Ja
Kommutativ
Ja
Ja
Ja
NE
0
1
1
Inverses
Ja: -a zu a
Kaum: 1 und -1
(Z*,*)
(Q,*)
(N,-)
(Pot(M), U)
Ja
Ja
Nein
Ja
Ja
Ja
Nein
Ja
1
1
0
{}
Zu 1 und -1
Zu a 1/a
-
Regulär
ja
Ja
Nein: 5x=3, x=3/5, 0x=0,
x-beliebig
Ja
Ja
Ja
Nein
Gruppe
Nein kein Inverses
ja
Nein. Inverses nicht zu
jedem Element
nein
ja
nein
nein
Satz: Ist (M, ○) regulär, so ist jede Gleichung der Form a ○ x = b nach x eindeutig lösbar, sofern sie
überhaupt lösbar ist.
Beweis: Die Gleichung a ○ x = b sei lösbar und habe die Lösungen x1 und x2, d.h. es gilt a ○ x1 = b
und a ○ x2 = b. Durch Gleichsetzen erhält man a ○ x2 = a ○ x1. Da (M, ○) regulär ist, folgt
daraus x2 = x1. Also es gibt nur eine Lösung.
Def: Es sei (G, ○) eine Gruppe.
1) Ist die Menge G endlich, so heißt (G, ○) endlich
2) |G| nennt man die Ordnung von (G, ○)
BSP: (IN,+) hat die Ordnung ¥ , da |IN| = ¥ ist.
({-1,1}, *) hat die Ordnung 2, da |({-1,1}| = 2 ist.
Satz: Es sei (G, ○) eine Gruppe
1) Das Neutralelement e von (G, ○) ist eindeutig bestimmt
2) Ist a´ das Inverse zu a Î G, so ist a´ eindeutig bestimmt
Beweis:
1) Man nehme an, es gebe zwei Neutralelemente e1 und e2. Da e1 ein Neutralelement ist, gilt: e2 =
e1○e2. Da e2 ein Neutralelement ist, gilt: e1 = e1○e2. Also gilt: e1 = e1○e2 = e2
Also gibt es nur ein Neutralelement.
Satz: Ist (G, ○) eine Gruppe, so ist jede Gleichung der Form a ○ x = b (mit a, b Î G) eindeutig
nach x lösbar
Beweis: a ○ x = b /○ a´ - existiert, da (G, ○) eine Gruppe ist
a´○ a ○ x = b ○ a´ x = b ○ a´
Das ist die einzige Lösung, da a´ nach dem vorangegangenen Satz eindeutig bestimmt ist.
BSP: 3x = 5
1
1
×3× x = ×5
3
3
®
x=
5
3
Prominente Gruppen:
-
Permutationsgruppen
Deckabbildungen (Spiegelung, Drehung)
Restklassengruppe
Permutationsgruppen
Def: Es sei M eine Menge. Ist f: M → M eine bijektive Abbildung, so nennt man f Permutation
von M.
Erinnerung:
f: M → M ist bijektiv
Û f ist injektiv und surjektiv
Û surjektiv: für jedes y in M gibt es ein x in M mit f(x) = y
f(1)
f(2)
f(3)
2
3
1
f (3) = f (2), aber 3 ≠ 2
Auf jeden Element von M kommt ein Pfeil an
1
2
3
1
2
3
1
2
3
M
M
Abb.1: surjektive Abbildung
1
2
3
M
M
Abb.2: nicht bijektive Abbildung
Û injektiv: für alle x1 und x2 Î M gilt: Ist f(x1) = f(x2), so ist x1 = x2
1
2
3
1
2
3
Abb. 3: injektive Abbildung: Bei einem Element kommt nicht mehr als ein Pfeil an.
Def: Ist M = {1,2,3,…, n}, so bezeichnet man mit Sym (n) die Menge der Permutationen
über M.
Für die Elemente aus Sym (n) schreibt man
3 ... n ö
æ 1 2
÷÷
çç
è f (1) f (2 ) f (3) ... f (n )ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 2 1 3ø
Zu der Abbildung 3:
Satz: Die Menge Sym(n) besteht aus n! Permutationen
æ1 2 3 ö
÷÷
Beweis: çç
è 2 3 1ø
Elementare Kombinatorik: Anschaulich: An der ersten Stelle gibt es n Möglichkeiten, einen
Funktionswert auszuwählen; an der zweiten Stelle (n-1) Möglichkeiten …. und an der letzten Stelle
nur eine.
Also insgesamt: n · (n-1) · (n-2) ·….· 3 · 2 · 1 = n! Möglichkeiten.
Def: Die Verknüpfung ○ sei auf Sym (n) folgendermaßen definiert.
Es seien f, g Î Sym (n). Dann ist f ○ g das Element aus Sym (n), für das
f ○ g = f(g(x))
Diese Verknüpfung nennt man auch das Hintereinanderausführen von Abbildungen.
BSP:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 2 3 1ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 2 1 3ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
2
3
1
ø
è
æ1 2 3 ö
÷÷ ○
Also ist çç
2
3
1
ø
è
æ1 2 3 ö æ1 2 3 ö
÷÷ = çç
çç
÷÷
2
1
3
2
3
1
ø è
è
ø
ìæ1 2 ö æ1 2 öü
÷÷ý
÷÷, çç
Sym (2) = íçç
îè1 2 ø è 2 1øþ
Verknüpfungstafel:
○
æ1
çç
è1
æ1
çç
è2
2ö
÷
2 ÷ø
2ö
÷
2 ÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è1
2ö
÷
1÷ø
æ1 2 ö
÷÷
çç
2
1
ø
è
2ö
÷
2 ÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è2
2ö
÷
1÷ø
2ö
÷
1÷ø
æ1 2 ö
÷÷
çç
1
2
ø
è
æ1
Das Neutralelement ist çç
è1
a o e = aü
æ1
ý und für e = çç
e o a = aþ
è1
2ö
÷
2 ÷ø
2ö
÷ erfüllt
2 ÷ø
Def: Die Permutation, die jedes Element auf sich selbst abbildet, also die Permutation
æ1 2 3 ... n ö
÷÷ nennt man die identische Abbildung, sie ist das Neutralelement
çç
è1 2 3 ... n ø
bezüglich dem Hintereinanderführen von Abbildungen.
Def: Es sei (G, ○) eine Gruppe. Eine Teilmenge U ≤ G heißt Untergruppe von (G, ○), wenn
(U, ○) eine Gruppe ist.
BSP: ({-1,1},*) ist eine Untergruppe von (Q*, *)
-
*
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
abgeschlossen, da in der Tafel nur Elemente aus {-1,1}auftreten
Inverse erkennt man an den Stellen an denen das Neutralelement in der Tafel steht.
Satz: U ≤ G ist genau dann eine Untergruppe von (G, ○), wenn gilt:
1) Für alle u, v Î U ist u ○ v Î U (Abgeschlossenheit)
2) Für alle u Î U ist das Inverse (u´Î U)
Beweis:
a) Assoziativität ist gegeben, da G insgesamt assoziativ ist
b) Inverse gibt nach 2)
c) Abgeschlossen ist U nach 1)
d) Das Neutralelement liegt in U, denn: Es sei u Î U. Dann ist nach 2) auch u´Î U. Nach 1) ist
auch u ○ u´ Î U, und es ist u ○ u´= e. Also e Î U.
Folgerung:
Wenn U endlich ist, reicht es zu prüfen, ob U abgeschlossen ist (denn dann tritt irgendwo in jeder
Zeile der Verknüpfungstafel das Netralelment auf; und an dieser Stelle steht das Inverse in der
Spalte)
(G, ○) =ˆ G (U, ○) =ˆ U
….
….
u
….
….
….
….
….
….
….
….
….
u´
….
e
….
Sym(3)
○
æ1
çç
è1
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
2 1÷ø
2 3ö
÷
1 3 ÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
3 1÷ø
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
2 1÷ø
2 3ö
÷
2 1÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
1 3 ÷ø
2 3ö
÷
1 3 ÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
3 1÷ø
2 3ö
÷
3 1÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
2 3ö
÷
2 1÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
2 3ö
÷
3 1÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
3 1÷ø
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
3 1÷ø
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
2 1÷ø
2 3ö
÷
1 3 ÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
1 3 ÷ø
2 3ö
÷
3 1÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
2 3ö
÷
2 1÷ø
æ1
çç
è2
æ1
çç
è2
2 3ö
÷
3 1÷ø
2 3ö
÷
1 3 ÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
æ1
çç
è3
æ1
çç
è3
2 3ö
÷
2 1÷ø
2 3ö
÷
1 2 ÷ø
æ1
çç
è1
æ1
çç
è1
2 3ö
÷
3 2 ÷ø
2 3ö
÷
2 3 ÷ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 3 1 2ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 2 1 3ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è1 3 2 ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 3 2 1ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è1 2 3 ø
æ1 2 3 ö
÷÷
çç
è 2 3 1ø
Ist neutrales Element oder id
Aus der Verknüpfungstafel erkennbar:
1) Inverses
2) ist eine Gruppe, wenn in jeder Zeile (Spalte) jedes Element genau einmal auftritt
3) Ist kommutativ, wenn die Tafel zur Diagonale symmetrisch ist.
Def: Es sei (G, ○) eine Gruppe und g Î G. Wenn es eine natürliche Zahl k mit gk = e gibt, so heißt
die
kleinste dieser Zahlen die Ordnung von g. Man schreibt dann |g| = k. Gibt es keine natürliche
Zahl k ≠ 0 mit gk = e, so hat g unendliche Ordnung.
æ1 2 3 ö
÷÷ = 2, da
BSP: çç
è1 3 2 ø
æ1 2 3 ö æ1 2 3 ö
÷÷ = id
÷÷ o çç
çç
è1 3 2 ø è1 3 2 ø
3 = 5 in (Z15, Å ), da 3 Å 3 Å 3 Å 3 Å 3 = 0 ist und 3 Å 3 Å 3 ¹ 0
Was ist 2 in (Z15, Ä )? 2 2 = 2 Ä 2 = 4 ¹ 1 , 2 3 = 2 Ä 2 Ä 2 = 8 ¹ 1 , 2 4 = 2 Ä 2 Ä 2 Ä 2 = 16 = 1 , also
ist 2 = 4
(Z15, Ä ), 15 ist keine Primzahl, also es einen Nullteiler gibt. Für Nullteiler g ist die Gleichung gk = 1
nie erfüllt.
gk = 1 (wäre erfüllt)
g Ä gk-1 = 1
Ausweg: Man betrachtet statt Z15 nur die Einheiten von Z15
{
}
Einheiten: 1, 2, 4,7, 8,11,13,14 , ggT (a, 15) = 1
Ä
1
2
4
7
8
11
13
14
1
1
2
4
7
8
11
13
14
2
2
4
8
14
1
7
11
13
4
4
8
1
13
2
14
7
11
7
7
14
13
4
11
2
1
8
8
8
1
2
11
4
13
14
7
11
11
7
14
2
13
1
8
4
13
13
11
7
1
14
8
4
2
14
14
13
11
8
7
4
2
1
2
11 = 1 , also 11 = 2
8 ist das multiplikative Inverse zu 2
2 · x =1
Û 2x + 15k = 1 ¬ Diophantische Gleichung
Û 15 = 7 · 2 + 1 , 1 – ggT Û 1 = 15 – 7 · 2
- 7 =8
Û2=2·1+0
Untergruppen: Jedes Element bildet eine eigene Untergruppe.
Weitere Untergruppen von (Z15, Ä ):
1,11 , 1, 4 , 1,14 - Inverse zu sich selbst
{ }{ }{ }
{1, 4,11,14} - Inverse zu sich selbst – nicht zyklisch, kein Erzeuger
{1, 2, 4, 8}- zyklisch, Erzeuger 2
{}1
{1, 4, 7,13}- zyklisch
Untergruppengraph (Einheiten von Z15)
{1, 2, 4,7, 8,11,13,14}
{1, 2, 4, 8}
{1, 4, 7,13}
8
{1, 4,11,14}
4
{1, 4} {1,11} {1,14}
2
{}1
1
Def: Es sei M eine Menge. Eine Äquivalenzrelation R ist eine Relation (d.h. eine Teilmenge von
M x M), sodass gilt:
1) Symmetrie: Für alle x, y Î M gilt: x ~ yÞ y ~ x
2) Reflexivität: Für alle x, y Î M gilt: x ~ x
3) Transitivität: Für alle x, y, z Î M gilt: x ~ y Ù y ~ z Þ x ~ z
[x] ~ = {y Î M| x~y}
Satz: Für alle x, y Î M gilt:
1) [x] ≠ Ø
2) [x] Ç [y] ≠ Ø für [x] ≠ [y]
3) U[x] = M (U - Vereinigungsmenge)
Beweis:
1) Da x ~ x, ist x Î [x]
2) Es sei [x] Ç [y] = S ≠ Ø. Dann gibt es ein u Î [y], also x ~ u und u ~ y. Wegen der Transitivität
ist dann x ~ y, d.h. [x] = [y]
Satz von Langrage: Es sei (G, ○) eine Gruppe und U eine Untergruppe von U. Ist G endlich, so ist
auch |U| ein Teil von | G |.
Beweis: Es sei die Relation ~ auf G definiert durch g ~ h Û g ○ h´ Î U. Das ist eine
Äquivalenzrelation, denn:
1) Reflexivität, da g ~ g wegen g ○ g´ = e Î U
2) Symmetrie: Es sei g ~ h, d.h. g ○ h´ Î U. Da U eine Gruppe ist, enthält U dadurch das Inverse
zu g ○ h´, nämlich g´ ○ h. Also h ~ g.
3) Transitivität: Klar!
Anzahl der Äquivalenzklassen
G
h
U
|g| = min {k Î IN * | gk = e } falls ein k Î IN * gibt mit gk = e, sonst |g| = ¥
BSP:
æ1 2 ö
÷÷ = 2 , da
çç
è 2 1ø
æ1 2 ö 2
÷÷ =
çç
è 2 1ø
æ1 2 ö
÷÷
çç
è1 2 ø
Satz: Es sei (G, ○) eine endliche Gruppe mit |G| = n als Ordnung. Für alle g gilt |g| ein Teiler von
|G| ist.
Beweis: Es sei k die Ordnung von g (d.h. k = |g|). Dann ist ({g1, g2, … ,gk},○) eine Untergruppe von
(G, ○) mit der Ordnung k. Nach Lagrange gilt: k| |G|.
Deckabbildungen
In der Ebene: Es sei F eine Figur. Eine Deckabbildung von F ist eine Bewegung (bijektiv, länglichund weinkeltreue Abbildung, die F auf sich selbst abbildet). In der Ebene gibt es zwei Typen von
Deckabbildungen:
- Drehung
- Spiegelung
Algebraische Interpretation: Deckabbildungen bilden mit dem Hintereinanderführen als
Verknüpfung eine Gruppe (hier: bezüglich eines regelmäßigen n-Ecks).
Deckabbildungen des Quadrates
(verallgemeinerbar auf regelmäßige n-Ecke)
s1, s2
4
α.
Deckdrehung: dα ist die Drehung um den Mittelpunkt und den Winkel
3
1
2
Hier: d0, d90, d180, d270
D(4) = {d0, d90, d180, d270}
d0 = e, | d90| = 4, | d180| = 2, | d270| = 4
s1
Spiegelung: Sn ist die Spiegelung an der Achse durch den Punkt n
(dabei werden für n der kleinere der beiden möglichen Werte
verwendet): s1, s2, sa,b ist die Spiegelung an der Achse durch den
Mittelpunkt der Punkte a und b (wieder a und b möglichst klein
wählen): s12, s23
Deckdrehungen:
Die Menge der Deckdrehungen D(n) des regelmäßigen n-Ecks bilden eine Untergruppe der
Deckabbildungen A(n) des regelmäßigen n-Ecks.
d90: d290 = d180, d390 = d270 d490 = d360 = d0
d180: d2180 = d360 = d0
d270: d2270 = d540, d3270 = d810 d4270 = d1080 = d360·3 = d3360 = d0
Unformal:
dkα = d0 (NE), wenn ka ein Vielfaches von 360 ist, da dkα = dαk und dαk = d0 Û kα º 0 mod 360
Damit gilt: | dα | = min {360| kα | k Î IN*}
BSP: d90: 360 teilt nicht 90, 360 teilt nicht 2 · 90 = 180, 360 teilt nicht 3 · 90 = 270, 360 teilt 4 · 90 =
360, also | d90| = 4.
Zyklische Gruppe
Def: Eine Gruppe (G, ○) heißt zyklisch, wenn es ein c Î G gibt mit G = {ck|k Î Z}
Falls G endlich ist und die Ordnung n hat, genügt: G = {ck|1 ≤ k ≤ n}
BSP: d90 in D(4) | D(4)| = 4
{dk90|1≤k≤n} = {d190, d290, d390, d490} = {d90, d180, d270, d0}
Auch d270 ist ein Erzeuger (Erzeugendes Element) von D(4), da
{d1270, d2270, d3270, d4270} = {d270, d540=d180, d810 =d90, d1080=d0}
Def: Es sei k Î N, dann bezeichnet man Ck abstrakt als zyklische Gruppe der Ordnung k mit c als
erzeugendem Element.
C = {ci|1≤i≤n}={c1, c2, c3……, ck}
Es ist C ¥ die unendliche Gruppe, d.h.
C ¥ = {c1, c2, c3…}U{c-1, c-2, c-3…}={ck| kÎ Z}
BSP: Konkret: D(4) = {d0, d90, d180, d270}
Abstrakt: C4 = {c1, c2, c3, c4}
BSP für eine unendliche zyklische Gruppe ist (Z, +) mit dem Erzeuger 1 (oder -1)
Z = {..,-2, -1, 0, 1, 2, …} = {..,-2·(1), -1·(1), 0·(1), 1·(1), 2·(1), …}= {k·1| kÎ Z}
Bei addierten Gruppen werden Vielfache des Erzeugers betrachtet, nicht Potenzen (im Prinzip ist
dasselbe: Mit k potenzieren heißt k-mal multiplizieren (Grundverknüpfung) und mit k multiplizieren
heißt k-mal Addieren (Grundverknüpfung)).
(C, o ) endlich und zyklisch, d.h.:
C = {c1, c2, c3, c4, …., cn-2, cn-1, cn} für einen Erzeuger c. Was ist
die Ordnung von ck?
Drehungen des 6-Ecks:
D(6) = {d60, d120, d180, d240, d300, d360}=
{d160, d260, d360, d460, d560, d660}
C6 = {c1, c2, c3, c4, c5, c6} – abstrakt
Potenzen von c2: c2, c4, c6, daher | c2|=3
Für k £ n gilt: Suche das kleinste a Î N mit cak= cn
ak ist kgV (k, n)
ak º n mod n
ak ist kleinste Vielfache von n
Potenzen von c4: c4, c8, c12
c8 = c2 , c12= c6 = e
c12= c6 ·c6 = e · e = e
c8 = c2·c6 = e · c2= c2
k · n = ggT(k,n) · kgV (k, n)
(c)kgV(k,n)= e
k ×n
c
ggT ( k , n )
=e
Also gilt:
ck =
n
ggT (k , n)
Ordnungen:
C6 = {c1, c2, c3, c4, c5, c6}
6
c2 =
ggT (2,6)
Satz: Es sei (C, o ) zyklisch mit der Ordnung n, dann gibt es zu jedem Teiler von n genau eine
Untergruppe.
n
t
n
t
Beweis: Es sei c ein Erzeuger und t ein Teiler von n. Dann hat c die Ordnung t und c erzeugt eine
Untergruppe der Ordnung t.
T6 = {1, 2, 3, 6} – gesamte Gruppe, 1 = e
Untergruppe der Ordnung 3 gesucht.
n
6
Verwende c t , hier also: c 3 = c2. Die Potenzen von c2 sind c2, c4, c6. Das ist eine Untergruppe der
Ordnung 3, da ({c2, c4, c6}, -) abgeschlossen.
Untergruppe der Ordnung 2 (U2) gesucht:
c6/2 =c3 erzeugendes Element, also ist ({c3 ,c6}, ○ ) eine Untergruppe der Ordnung 2.
U6 = { c1, c2, c3, c4 , c5 ,c6} = C6
U3 ={ c2, c4 ,c6} = {d120, d240, d0}
U2 ={ c3 ,c6} = {d180, d0}
U1 = {c6}
Dies gílt allgemein: Ist P(n) die
← Das sind ein regelmäßiges 6-
Drehgruppe des regelmäßigen n-
Eck und regelmäßiges Dreieck,
Ecks und t ein Teiler von n, so
das ins 6-Eck eingeschrieben ist.
ist Ut (Konstruktion rechts) die
U3 ist die Drehgruppe eines (im
Drehgruppe eines (im n-Ecks
6-Eck als Teilfigur enthalten)
enthaltenen) t-Ecks.
Dreiecks
Satz: Ist c ein Erzeuger von Zyklischer Gruppe C mit |C| = n, so ist auch jedes ck ein
Erzeuger von C mit ggT (k,n) =1.
Beweis: Wenn ck ein Erzeuger von c sein soll, dann muss ck n unterschiedliche Potenzen haben, d.h. ck
muss die Ordnung n haben. Die Ordnung von ck ist
n
. Also hat ck nur für ggT(n, k) = 1 die
ggT (k , n )
Ordnung n.
c5, c10 = c4 , c15= c3, c20 = c2 , c25= c1, c30 = c6
c5 · c5 = c5+5 = c10 = c6+4 = c6 · c4 = e · c4
Untergruppengraphen
Def.: Der Untergruppengraph einer Gruppe ist das Hassediagramm der Untergruppen
bezüglich Í .
Beispiel: C12, T12={1, 2, 3, 4, 6, 12}
Es gibt 6 Untergruppen:
U12 = { c1, c2, c3 , c4 ,c5, c6 , c7, c8, c9 , c10 ,c11, c12 }
U6 = { c2, c4, c6 , c8 ,c10, c12 }
U4 = { c3, c6, c9, c12 }
U3 ={ c4, c8 ,c12}
U2 ={ c6 ,c12}
U1 = {c12}
Untergruppengraph
Untergruppen von (C, o ) sind zyklisch
n
n
×1
(Z15, Å ), 1 erzeugt c t
t
Untergruppen:
U1 = 0
U3
{}
= {5,10, 0}
= {3, 6, 9,12, 0}
U5
U15 = Z15
Keine weiteren Untergruppen existieren.
Satz: Ist (C, o ) eine zyklische Gruppe, so ist jede Untergruppe von (C, o ) auch zyklisch.
BSP: C6 = { c1, c2, c3, c4 , c5 ,c6}
U3 = {c2, c4 ,c6}
Beweis: Es sei U eine Untergruppe von C. Da C zyklisch ist, besteht U aus irgendwelchen Potenzen
von c (den Erzeuger von C). Es sei m = {k Î IN* ck Î U}.
Behauptung: cm ist ein Erzeuger von U. Es sei cl (ein weiteres) Element aus U. Da m und l natürlichen
Zahlen sind (und m £ l) erhält man durch Division mit Rest l = s·m + r mit 0 £ r <m. s·m – d.h.
alle Elemente von U lassen sich als Potenzen von cm darstellen, also ist cm Erzeuger und U ist
zyklisch.
Es gilt: cl = csm + r
Û cl = csm o cr / o c-sm
Û cl o c-sm = csm o cr o c-sm
Û cl o (cm)-s = cr
Û cl o (cm)-s = cr , cm Î U, cl Î U, crÎ U, also cl o (cm)-s cr Î U
Da m das Minimum ist, ist der Fall 0 £ r <m ausgeschlossen. Es gilt daher r = 0. Daher l = sm bzw.
cl = csm = (cm)s, d.h. cl ist eine Potenz von cm.
Satz: Ist eine Gruppe (C, o ) eine zyklische und unendlich mit |c| = n und ist Ut eine Untergruppe
mit t|n, so ist U eindeutig bestimmt.
Beweis: Es seien Ut und Ut´ zwei unterschiedliche Gruppen der Ordnung t. Beide sind nach dem
n
vorangegangenen Satz zyklisch. Ut werde von c t erzeugt, U´t hat ebenfalls einen Erzeuger, etwa cl
mit |cl| = t. Dann gilt:
n
Û ( c t )t = (cl)t
Û cn= (cl)t
n
t
Û c = cl
Restklassenstrukturen
Def: Es sei m Î IN* und a, bÎ Z, dann heißen a und b kongruent modulo m, wenn a und b beim
Teilen durch m denselben Rest haben. In Zeichen:
a º b mod m
Man nennt m den Modul.
BSP: 7 º 2 mod 5
7 = 1*5 + 2
2 = 0*5 +2
-3 = -1 *5 +2
-3 º 2 mod 5
Satz: Es gilt a º b mod m genau dann, wenn m| a-b gilt.
Satz: Die Relation º ist eine Äquivalenzrelation auf Z x Z.
Beweis:
Eine Äquivalenzrelation R ist eine Relation (d.h. eine Teilmenge von M x M),
sodass gilt:
1) Symmetrie: Für alle x, y Î M gilt: x ~ yÞ y ~ x:
Es sei a º b mod m , d.h. m a – b, also s · m = a – b mit s Î Z Û - s · m = b – a ® m b – a
2) Reflexivität: Für alle x, y Î M gilt: x ~ x:
a º a mod m , da m a – a = 0 "a Î Z
3) Transitivität: Für alle x, y, z Î M gilt: x ~ y Ù y ~ z Þ x ~ z
a º b mod m und b º c mod m ® s · m = a – b und k · m = b – c mit s, k Î Z Û
a – c = a – b + b – c = s · m + k · m = m (s + k) ® m a – c ® a º c mod m
Schreibweise : º bildet (wie jede Äquivalenzrelation) Äquivalenzklassen, man nennt sie bezüglich
º auch Restklassen, sie beinhalten jeweils die Zahlen, die dieselben Reste haben.
Zm ist die Menge der Restklassen modulo m.
Z5 :
[0]5 = 0 = {...,-10,-5,0,5,10}
[1]5 = 1 = {...,-9,-4,1,6,11}
[2]5 = 2 = {...,-8,-3,2,7,12}
[3]5 = 3 = {...,-7,-2,3,8,13}
[4]5 = 4 = {...,-6, -1, 4,9,14}
Def: Auf Zm seien zwei Verknüpfungen definiert, nämlich eine Addition:
a Å b := a + b
und eine Multiplikation:
a Ä b := a × b
Beweis: In Z5 gilt:
3 Å 4 := 3 + 4 = 7 = 2 2 Ä 3:= 2 × 3 = 6 = 1
Verknüpfungstafeln zu den allgemeinen algebraischen Strukturen (Z5, Å ) und (Z5, Ä )
Å 0 1 2 3 4
Ä 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0
1
0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1
2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2
3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3
4 0 4 3 2 1
(Zn, Å ) ist für alle m Î IN eine zyklische Gruppe
mit dem Erzeuger 1 (es wird immer 1 dazu
addiert). Erzeuger sind alle a Î Zm mit ggT(a, m)=1
Erinnerung: Ist (G, o )eine endliche Gruppe, so tritt in jeder Zeile (und Spalte) jedes Element von G
genau einmal auf (wegen der Regularität von Gruppen).
(Z5, Ä ) ist keine Gruppe, da 0 ziemlich häufig auftritt. (Q, *) – keine Gruppe, (Q*, *) – Gruppe.
Es sei Z*5 = Z5/ {0} . Ist (Z*5, Ä ) eine Gruppe? Ist (Z*m, Ä ) für jedes m eine Gruppe?
Ä 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1
0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 0
(Z*4, Ä ) ist keine Gruppe, da 2 Ä x = 2 hat 2 Lösungen nämlich 1 und 3 , also nicht regulär und daher
keine Gruppe.
Def: Es seien a und b Î Zm. Gilt a Ä b := 0 mit a ¹ 0 b ¹ 0 , so heißen a und b Nullteiler.
BSP: Z6
Ä
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Was kann man an dieser Tafel ablesen?
- (Z6, Ä ) ist abgeschlossene und kommutative (Symmetrie zur Diagonale) algebraische Struktur
- Neutralelement 1
- Invertierbare Elemente 1 und 5: Invertierbare Elemente: a ist invertierbar, wenn es ein a´ gibt
mit a o a´ = e, hier e = 1 – Zeilen, wo 1 steht
- Nullteiler: 2, 3 und 4 – Zeilen, in denen 0 steht (Ausnahme – die zu 0 gehörigen Zeilen)
- (Z6, Ä ) ist keine Gruppe, da
o In (Z6, Ä ) nicht jedes Element ein Inverses hat
o 3 Ä x = 3 Þ x = 1 oder x = 3 oder x = 5, also ist (Z6, Ä ) nicht regulär: L = {1,3,5}
Def: Es sei a Î Zm. Ist a bezüglich Ä invertierbar, so heißt a Einheit
Satz: Die Einheiten von Zm bilden mit Ä eine Gruppe
Beweis: Zu zeigen (Es sei E die Menge der Einheiten):
- Abgeschlossenheit
- Assoziativität: klar, da (Z6, Ä ) insgesamt assoziativ ist
- Neutralelement ist in E
- Existenz von Inversen
Abgeschlossenheit: Es seien a, b Î E. Zu zeigen ist, dass auch a Ä b Î E ist, d.h. auch a Ä b
invertierbar ist.
a Ä b Ä a-1 Ä b-1 = a Ä a-1 Ä b-1 Ä b = 1 · 1 = 1
Inverses zu a Ä b
Neutralelement: 1 Î E, klar 1 Ä 1 = 1, also ist 1 invertierbar
Existenz von Inversen: klar, weil E gerade, die invertierbaren Elemente enthält
Satz: Es sei a Î Zm. Dann ist a genau dann ein Nullteiler, wenn a und m nicht teilerfremd sind. D.h.
wenn
ggT(a,m)≠1
Def: Ein Ring ist ein Trippel (R,+,·) mit zwei Verknüpfungen einer Addition und einer
Multiplikation
über einer nichtleeren Menge R, sodass gilt:
1) (R,+) ist eine kommunikative Gruppe mit 0 als Neutralelement
2) (R,·) ist eine abgeschlossene algebraische Struktur mit 1 als Neutrallement
3) Es gilt das Distributivgesetz, d.h. für alle a, b, c Î R gilt: a · (b+c) = ab + ac und (b+c) · a=
ba + ca
(2 Distributivgesetze, da nicht angegeben ist, dass die Multiplikation kommutativ ist).
BSP:
1) (Zm,+,·)
2) (Z,+,·). Die Einheiten davon sind 1 und -1.
3) Matrixringe
Def: Es seien (G, o ) und (H, *) Gruppen. Es sei h: G ® H. Die Abbildung h heißt Homomorphismus,
wenn für alle g, k Î G gilt: h(g o k) = h(g) * h(k)
Z = { …, -2, -1, 0 , 1 ,2,…} (Z,+)
1 1
ì
ü
M = í...,1, , ,1,3,9,27,...ý (M, ·)
9 3
î
þ
h: Z ® M: z a 3z – Homomorphismus
h(2 + 3) = h(5) = 35 = 243 : M = { ..3-2, 3-1, 30, 31 , 32 ,33, …}
h(2) * h(3) = 32 * 33 = 9 * 27 = 243
Ist h bijektiv, so nennt man h Isomorphismus
{
}
BSP: 0, 1, 2, 3
D(4) = {d 0 , d 90 , d180 , d 270 }
C4 = { c0 ,c1, c2, c3 }
ì d0 ® c0
ï
1
ï d 90 ® c
Die Abbildung h: D(4) ® C4 í
ist ein Homomorphismus
2
ïd 180 ® c
ïîd 270 ® c 3
Def: Gruppen, zwischen denen es einen Isomorphismus gibt, nennt man isomorph.
Bemerkung:
1) Isomorphe Gruppen verhalten sich in allen algebraischen Strukturen gleich
2) Isomorphe endliche Gruppen haben Verknüpfungstafeln, die „strukturgleich sind“, d.h. man
kann sie durch Umbenennung der Elemente in einander überführen.
Å
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
d0
d120
d240
o
d0
d0
d120
d240
2
0
d120 d120 d240
d0
d0
d240
d0
d120
1
(Z3, Å )
(D(3), o )
Satz: Es sei a Î Zm. Dann ist a genau dann ein Nullteiler, wenn a und m nicht teilerfremd sind, d.h.
ggT(a,m) ¹ 1.
Beweis: Es sei ggT (a, m) = k > 1
a o b º 0 mod m
Û m a·b
Û a·b ist ein Vielfaches von m
Man betrachte:
Das kgV(a,m). Das ist die kleinste mathematische Zahl, sodass a und m gemeinsame Teiler sind:
a×m
kgV(a,m) =
= kgV (a,m) · ggT (a,m) = a·m
ggT (a, m)
Satz: Es sei m Î IN* und a Î IN mit 0<a<m. Dann gilt:
1) a ist Nullteiler in (Zm, Å,Ä ) Û ggT (a, m) > 1 (und b mit b=
m
ist die kleinste
ggT (a, m)
natürliche Zahl mit a Ä b = 0 )
2) a ist eine Einheit von (Zm, Å,Ä ) Û ggT (a, m) = 1.
0 ist kein Nullteiler und keine Einheit.
Beweis zu 1): Es sei a ein Nullteiler Û es gibt ein b Î Zm mit b ¹ 0 , sodass a Ä b = 0 . ( 3 Ä 4 = 0
in Z12)
m
m
am
=
= kgV (a, m)
Man setze b=
. Dann ist a × b = a ×
ggT (a, m)
ggT (a, m) ggT (a, m)
Da kgV(a,m) ein Vielfaches von m, daher m| kgV(a,m) und somit kgV (a, m) = 0 , also gilt:
a Ä b = kgV (a, m) = 0
ggT(a, m) > 1ist, ist
m
m
¹0
kein Vielfaches von m und daher b =
ggT (a, m)
ggT (a, m)
Beweis zu 2)
a ist eine Einheit von (Zm, Å,Ä ) Û Es gibt ein a´ Î IN mit a Ä a ¢ = 1 Û a × a ¢ º 1 mod m Û
a × a¢ -1 º mod m
Û m| a × a¢ -1
Û Es gibt ein s Î Z mit sm= a × a¢ -1 Û 1 = a × a¢ +sm. a und s gegeben.
Das ist eine diophantische Gleichung (ax + by + c = 0). Sie ist lösbar, wenn ggT(a, m) = 1 ist.
(Man erhält das Inverse zu a nämlich a´ als Lösung der diophantischen Gleichung 1 = a × a¢ +sm).
BSP: Gibt das Inverse zu 31 in Z162 an.
Da 31 eine Primzahl ist, ist ggT(31,162) = 1 und daher 31 ist invertierbar.
162 = 5 · 31 +7 Û 7 = 162 - 5 · 31
31 = 4 · 7 +3 Û 3 = 31 - 4 · 7
7 = 2 · 3 + 1 (ggT)
3=3·1+0
1 = 7 - 2 · 3 = 7 - 2 · (31 - 4 · 7)
= 9 · 7 - 2 · 31
= 9 · (162 - 5 · 31) - 2 · 31
= 9 · 162 - 47 · 31
1 = 9 · 162 - 47 · 31, also a = 31, a´= 47, s = 9 und m = 162.
Also ist - 47 = 115 das multiplikative Inverse zu 31 in Z162.
(31 · 47) : 162 = 1 !!!!
9 · 162 +155 · 31 lässt denselben Rest wie 9 · 0 +155 · 31
Satz: Die Abbildung h: Z ® Zm: a a a ist bezüglich + und * ein Homomorphismus, d.h.:
1) h(a + b) = h(a) Å h(b) bzw. a + b = a Å b
2) h(a · b) = h(a) Ä h(b) bzw. a + b = a Ä b
Beweis: Hier ist nichts zu beweisen, weil a Å b gerade als a + b definiert, * analog.
Daher gilt: h(9 · 162 +155 · 31) = h(9) Ä h(162) Å h(155) Ä h(31) =
= 9 Ä 162 Å 155 Ä 31 = 9 Ä 0 Å 155 Ä 31 = 155 Ä 31
BSP: Lässt sich 634 durch 2 teilen? Ja, da die Endziffer durch 2 teilbar ist.
Begründung: Es ist 634 = 6 · 100 + 3 ·10 + 4. Man betrachtet nun h: Z ® Z2: a a a . Daher h(634) =
h(6 · 100 +3 · 10 + 4) = h(6) Ä h(100) Å h(3) Ä h(10) Å h(4) =
6 Ä 100 Å 3 Ä 10 Å 4 = 6 Ä 0 Å 3 Ä 0 Å 4 = 4
h(a2) = h(a) Ä h(a) = h(a)2
Also reicht es, die letzte Stelle zu berücksichtigen, da alle Potenzen von 10 (ab 101) den Rest 0 bei der
Division durch 2 lassen.
Warum? Es ist 10 = 2 · 5 und daher 10k = 2k · 5k, also h (10k) = h (2k) Ä h (5k) = h (2)k Ä h (5)k =
0 Ä 5k = 0
Teilbarkeitsregeln (für das Dezimalsystem)
1) Endstellenregeln:
Mit der Homomorphieigenschaft von h erhält man: Ist h (10k) = 0 für ein k Î IN*, so ist h (10k+i) = 0
für alle i Î IN (da h (10k+i) = h (10k) Ä h (10i) = 0 Ä h (10i) = 0 ), d.h. alle Stellen zu 10-Potenzen ab
10k kann man gleich Null setzen.
BSP:
Zehnerpotenz
100 = 1
101 = 10
102 = 100
Rest modulo 4
1
2
0
In Z4 gerechnet
1
2
4=0
k
k
Da h ein Homomorphismus ist, gilt: (10 ) = h (10) , d.h. es reicht 10 zu berechnen (nämlich 10 = 2 )
k
und dann das Ergebnis ( 2 ) in Zn zu potenzieren. Der kleinste Wert k mit 2 = 0 gibt an, wie viele
Stellen bei der Endregeln zu berücksichtigen sind.
Zehnerpotenz
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
In Z8 gerechnet
1
2
2
2 =4
3
2 =8=0
2) Quersummenregeln:
Wenn 10 º 1 mod m gilt, so gilt:h (10k) = 1 für alle k Î N (da h (10k) = h (10)k = 1 × 1 × 1 × 1 × ...1 = 1 )
k-mal
Daher reicht es für eine Teilbarkeitsuntersuchung in diesem Fall die Quersumme zu bilden, z.B. in Z3
2
242 = 2 × 10 2 + 4 ×10 + 2 = 2 × 10 + 4 × 10 + 2 = 2 × 1 + 4 ×1 + 2 = 2 + 4 + 2 = 8 = 2
3) Altenierende Quersummenregeln:
Im Dezimalsystem: 11 hat eine altenierende Quersummenregel
Normale Quersumme: Q(5421) = 5+4+2+1=12
Altenierende Quersumme: Qalt = (-5+4-2+1) = -2
Quersummeregel. Begründung:
10k º 1 mod 11 für 2|k
10k º -1 mod 11 für 2 teilt nicht k
Homomorphismus
mod 11
10 = -1 in Z11
1
1
10 102 103 104 …
…
-1 1
-1 1
Übersicht für eine beliebige Basis q und eine Zahl m, d.h. gibt es im q-System eine Teilbarkeitsregel
für die Division durch m?
a) Endstellregel:
1. Gibt es, falls es ein k Î IN gibt mit qk º 0 mod m bzw. q = 0 in Zm
2. Ist k die kleinste natürliche Zahl mit qk º 0 mod m, so braucht man nur die ersten k Stellen auf
Teilbarkeit durch m zu prüfen
b) Quersummenregel: (3, 9):
1. Gibt es, wenn qk º 1 mod m ist.
2. Eine natürliche Zahl n ist durch m teilbar Û die Quersumme Q(n) ist durch m teilbar.
c) Altenierende Quersummenregel (11):
1. Gibt es, wenn qk º 1 mod m ist
2. m|n Û m|Qalt (n)
BSP:
5 Å 3 = 8 = 0 in Z4
1 Å 3 = 4 = 0 in Z4
x1 2 + 1 y1
3 2
4 2
x2 + y2
6 4
Def: Es sei X eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf X und o eine Verknüpfung auf
der Menge der Äquivalenzklassen von ~. Dann heißt o wohldefiniert oder representanten
unabhängig, wenn für alle x*1, x*2, y*1, y*2 Î X gilt: Ist x1 ~ x2 und y1 ~ y2, so gilt auch
x1 o x2 und y1 o y2
Satz: Å ist in Zn wohldefiniert.
Beweis: Es sei x1 º x2 mod m und y1 º y2 mod m.
Nun ist zu zeigen, dass x1+y1 º x2 + y2 bzw. x1 Å y1= x2 Å y2 gilt.
Zunächst: x1 und x2 haben denselben Rest, d.h. es gibt s1, s2, r mit x1 = s1m + r und x2 = s2m + r
Ebenso y1 = k1m + t und y2 = k2m + t
Nun gilt x1 Å y1 = s1 m + r Å k1 m + t = (s1 + k1 )m + r + t
x 2 Å y 2 = s 2 m + r Å k 2 m + t = (s 2 + k 2 )m + r + t
(s 2 + k 2 )m
fällt weg, da durch m teilbar ist.
Also: x1 Å y1 = s1m + r Å k1m + t = r + t
x2 Å y2 = s 2 m + r Å k 2 m + t = r + t
Also wohldefiniert, da die Summe in beiden Fällen dieselbe ist.
Zahlbereiche
(IN, +, ·) (Z, +, ·) (Q, +, ·) (IR, +, ·) (C, +, ·)
Def: Ein Ring ist ein Trippel (R, +, ·) mit zwei Verknüpfungen einer Addition und einer Multiplikation
über einer nichtleeren Menge R, sodass gilt:
1) (R,+) ist eine kommutative Gruppe mit 0 als Neutralelement
2) (R,·) ist eine abgeschlossene algebraische Struktur mit 1 als Neutralelement
3) Es gilt das Distributivgesetz, d.h. für alle a, b, c Î R gilt: a · (b+c) = ab + ac und
(b+c) · a= ba + ca
(2 Distributivgesetze, da nicht angegeben ist, dass die Multiplikation kommutativ ist).
(K, +, ·) ist Körper, sodass gilt:
1) (K,+) ist eine kommutative Gruppe mit 0 als Neutralelement
2) (K*,·) ist eine kommutative Gruppe mit 1 als Neutralelement und 1 ¹ 0
3) Es gilt das Distributivgesetz, d.h. für alle a, b, c Î K gilt: a · (b+c) = ab + ac
Algebraischer
Typ
(X,+)
(X*, · )
Vorteil
Nachteil
(IN, +, ·)
-
Abgeschlossene
algebraische
Struktur
-
-
(Z, +, ·)
Ring
Gruppe
Abgeschlossene
algebraische
Struktur
Abgeschlossene
algebraische
Struktur
a + x = b immer lösbar
Kein Prinzip des
kleinsten Elementes
(Q, +, ·)
Körper
Gruppe
Gruppe
Keine
Teilbarkeitstheorie
(IR, +, ·)
(C, +, ·)
Körper
Körper
Gruppe
Gruppe
Gruppe
Gruppe
a · x = b immer lösbar
in K*
ax = b immer lösbar
anxn + an-1xn-1+…+1=b
immer lösbar
Keine ≤-Relation
Natürliche Zahlen
Satz: (Rechenregeln): Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:
1) a + (b+c) = (a+b)+c und a · (b · c) = (a · b) ·c - Assoziativgesetze
2) a + b = b + a und a · b = b · a – Kommutativgesetz
3) a · (b + c) = a · b + a · c – Distributivgesetz
4) a + c = a + b Þ b = c und a · c = a · b Þ b = c - Regularität
5) a + 0 = a und a · 1 = a (Neutralität von 0 und 1)
6) a · b = 0 Þ a = 0 oder b = 0 (Nullteilerfreiheit)
Die Ordnung der natürlichen Zahlen
Def: Es seien a, b Î IN: a ≤ b Û Es gibt ein n Î IN, sodass gilt: Û $ n Î IN: a + n = b
a<b Û a≤b Ù a ¹ b
Zahlenbereicherweiterung:
Konstruiere einen höheren Zahlenbereich durch einen niedrigen
|
|
|
|
|
|
Methoden der Zahlenbereicherweiterung:
a) Äquivalenzklassen von Intervalschachtelungen
b) Äquivalenzkalssen von GAUCHY-Folgen
c) Dedekindsche Schnitte
M, Menge M x M = {(a,b)|aÎ M, bÎ M} = M2
{1,2}≠ {2,1}, sondern ={1, 2, 1, 1}
(1, 2) ≠ (2,1)
Übergang von IN zu Z
Gutschein-Schuldschein-Modell:
Kontostand (a, b) a – Anzahl aller Gutscheine, b – Anzahl aller Schuldscheine
+ 1 =ˆ (3,2) ← „+“ 1 Gutschein mehr 3 – 2 = 1
+ 1 =ˆ (4,3) ← „+“ 1 Gutschein mehr 4 – 3 = 1
- 1 =ˆ (3,2) ← „-“ 1 Schuldschein mehr 2 – 3 = -1
(a, b) ~ (c, d) Û a – b = c – d (+1) / + b +d
Ûa+d=b+c
Def: Die Relation ~ sei auf IN x IN definiert durch (a, b) ~ (c, d) Û a + d = b + c
Satz: Die Relation ~ ist eine Äquivalenzrelation auf IN x IN
Beweis:
1) Reflexivität: Zu zeigen ist: Für alle (a, b) Î IN2 gilt: (a, b) ~ (c, d).
Es gilt für alle a, b Î IN a + b = b + a wegen der Kommunitativität von „+“. Also gilt (a, b) ~ (c, d)
für alle (a, b) Î IN2
2) Symmetrie: Zu zeigen ist: Wenn (a, b) ~ (c, d) gilt, dann gilt auch (c, d) ~ (a, b).
Dazu: Es gelte (a, b) ~ (c, d), d.h. a + d = b + c, also auch b + c = a + d (wegen der Symmetrie der
=-Relation) und daher auch c + b = d + a (wegen derKommutativität), also auch (c, d) ~ (a, b).
3) Transitivität: Zu zeigen ist: (a, b) ~ (c, d) und (c, d) ~ (e, f) gilt, dann auch (a, b) ~ (e, f).
Es gelte (a, b) ~ (c, d), also a + d = b + c, und (c, d) ~ (e, f), also c + f = d + e. Nun ist zu zeigen, dass
(a, b) ~ (e, f), also a + f = b + e gilt.
a+d=b+c
c + f = d + e + Û a + d + c + f = b + c + d +e
Û a + f + (d + c)= b +e + (c + d)
Û a + f = b +e
Û (a, b) ~ (e, f)
( ) ( ) (
Def: Auf Z wird die Addition Å definiert durch a, b Å c, d := a + c, b + d
( ) ( ) (
)
) ( ) ( )
BSP: 2,3 Å 5,1 := 2 + 5,3 + 1 = 7,4 = 3,0
=ˆ - 1 =ˆ 4
=ˆ 3
=ˆ 3
Satz: Die Addition Å auf Z ist wohldefiniert (bzw. repräsentantenunabhängig)
Beweis: Es gelte (a, b) ~ (u, v) und (c, d) ~ (x, y)
Zu zeigen ist (a + c, b + d) ~ (u + x, v + z) bzw. (a, b) Å (c, d) ~ (u, v) Å (x, y)
Dazu: (a, b) ~ (u, v) Û a + u = b + v
+ (c, d) ~ (x, y) Û c + x = d +y Û a + u + c + x = b + v + d +y
Also ist die Wohldefiniertheit von Å gezeigt
Def: Auf Z wird die Multiplikation Ä definiert durch (a, b) Ä (c, d) = (a · c + b · d, b · c + a · d)
Für natürliche Zahlen gilt a · c: (a, 0) · (c, 0) = (a · c, 0)
BSP: 2 · 8 = 2 · (9 + (- 1)) = 2 · 9 + 2 · (-1)
2 Ä 8 = (2, 0) Ä ((9, 0) Å (0, 1)) = (2, 0) Ä (9, 0) Å (2, 0) Ä (0, 1)
(0, 2) = (18,2) ~ (16,0)
=(16,0)
=
(18,0)
Å
(a - b) · (c, d) = ac – ad – bc + bd = ac + bd – (bc + ad)
æaö æc ö æa + c ö
÷÷
Transrelation: çç ÷÷ + çç ÷÷ = çç
èb ø è d ø èb + d ø
æ ab ö æ c ö æ ac + bd ö
÷÷
Dilatation: çç ÷÷ × çç ÷÷ = çç
è ba ø è d ø è bc + ad ø
{( )
}
Satz: Die Menge N = n,0 n Î IN ist isomorph zu IN bezüglich Addition und Multiplikation
Beweis (nur für die Addiotion):
Man betrachte die Abbildung h: IN → IN: n a n,0
Nun ist zu zeigen, dass h ein Homomorphismus ist, also bijektiver Homomorphismus
( )
a) Homomorphismus, d.h. zu zeigen ist:
Für alle n, m Î IN gilt: h (n + m) = h(n) Å h(m)
Dazu: h (n + m) = n + m,0
(
)
h (n) Å h(m) = (n,0 ) Å (m,0 ) = (n + m,0)
( )
b) Bijektivität: h-1: n,0 a n ist eine Umkehrabbildung
Bemerkung: So hat man gezeigt, dass es ein N Î Z gibt, sodass (N, Å , Ä ) und (IN, +, ·) in allen
algebraisch relevanten Eigenschaften gleich sind (isomorph eben). Daher kann man N mit IN
identifizieren und IN Í Z schreiben. Man nennt so was Einbettung.
Rationale Zahlen
Wie einführen?
Vorüberlegung: Gleichungen in Z
3 · x = 6 / · 3-1
3-1· 3 · x = 6 · 3-1
x = 6 · 3-1
x=2
a · x = b → (b, a)
3 ·x=5
Verwende x als Streckenverhältnis der Streckenlängen a und b
Def: Auf Z x Z* sei die Relation definiert durch
a c
(a,b) ~ (c,d) Û =
b d
(a,b) ~ (c,d) Û a · d = b · c
Satz: Relation ~ ist eine Äquivalenzrelation auf Z x Z*
Beweis:
1) Reflexiv: Für alle (a, b) Î Z x Z* gilt: ab = ba (wegen der Kommutativität in Z), also auch
(a,b) ~ (a,b).
2) Symmetrie: Es gelte (a, b) ~ (c, d), also ad = bc (wegen der Kommutativität in Z und der
Symmetrie der =-Relation) und auch cb = da und daher auch (c, d) ~ (a, b).
3) Transitivität: Es gelte (a, b) ~ (c, d) und (c, d) ~ (e, f), also gilt ad = bc und cf = de
Zu zeigen ist, dass auch (a, b) ~(e, f) (Merke b ≠ 0, d≠ 0, f≠ 0)
×f
ad = bc Û adf = bcf
×b
cf = de Û bcf = bde
Û adf = bdc
Re gularität
Û
wegen
d ¹0
af = be, also gilt (a,b) ~(e,f).
Äquivalenzklassen graphisch:
Die Elemente einer Äquivalenzklasse sind die Gitterpunkte auf Z x Z*, die auf Ursprungsgeraden
liegen und zwar mit einem Steigungsdreieck der Kathetenlänge a auf der x-Achse und der
Kathetenlänge b auf der y-Achse zur Klasse a, b
( )
( )
Z.B. 1,1
(1,2): (1,2) ~(c, d) Û 1 · d = 2 · c, z.B. (2,4)
{( )
}
Def: Es sei Q = a, b a Î Z Ù b Î Z * . Man nennt die Elemente von Q Bruchzahlen.
Dagegen sind Brüche die Elemente der Menge B = {(a, b ) a Î Z Ù b Î Z *}
1
2
und
sind unterschiedliche Brüche, aber dieselben Bruchzahlen.
2
4
Def: Es sei für a, b Î Q und c, d Î Q definiert:
( )
( )
(a, b ) Å (c, d ) := (a + c, b + d , bd )
(a, b) Ä (c, d ) := (a × c, b × d )
a c ad + bc
+ =
b d
bd
Satz: (Q*, Ä ) ist eine Gruppe.
Beweis: Zu zeigen ist:
1) (Q*, Ä ) ist abgeschlossen
2) (Q*, Ä ) ist assoziativ
3) Existenz eines Neutralelementes
4) Jedes Element hat ein Inverses
Dazu:
1) Es seien a, b und c, d Î Q*, dann ist a, b Ä c, d := a × c, b × d ← Q*, da ac Î Z und bd
Î Z*, da b ≠ 0 und d ≠ 0 und daher auch bd ≠ 0 ist (Nullteilerfrei von Z)
( )
( )
( ) ( ) (
)
[(a, b)Ä (c, d )]Ä (e, f ) = (ac, bd )Ä (e, f ) = [[ac] , [bd ] ] = (a[ce], b[df ]) =
(a, b) Ä (ce, df ) = (a, b) Ä [(c, d ) Ä (e, f )]
Neutralelement ist (1,1) , denn für alle (a, b )Î Q gilt: (a, b ) Ä (1,1) = (1 × a,1 × b ) = (a, b )
Es sei (a, b )Î Q. Dann ist (b, a ) das Inverse von (a, b ) , denn es gilt: (a, b ) Ä (b, a ) = (ab, ab ) =
(1,1), da ab · 1 = 1 · ab und daher (ab, ab) ~ (1,1), also (ab, ab) = (1,1)
Z assoy
2)
3)
4)
e
f
3 4 12 1
× =
~ ← Sinn der Äquivalenzklassen
4 3 12 1
Darstellung rationaler Zahlen (Bruchzahlen) als gemeine Brüche und als Dezimalbrüche
BSP:
1) Umrechnung von einem Bruch in eine Dezimalzahl:
1
. Man teilt den Zähler schriftlich durch den Nenner:
8
1
= 0.125:
8
-1: 8 = 0.125
-10
8
-20
16
-40
40
0
Wandelt man Brüche in Dezimalzahlen um, treten drei verschiedene Fälle auf:
1. Fall: Das Divisionsverfahren endet mit Rest Null. Man erhält dann einen endlichen
Dezimalbruch (Das ist genau dann der Fall, wenn es eine Zahlenpotenz gibt, die durch
den Nenner teilbar ist, bzw. die Primfaktorenzerlegung des Nenners erhält nur die
Primfaktoren 2 oder 5)
2. Fall: Das Divisionsverfahren endet nicht, sondern wiederholt sich nach n Schritten.
Man erhält dann einen unendlich-periodischen Dezimalbruch (Das ist genau dann der
Fall, wenn in der PFZ des Nenners außer 2 und 5 noch andere Primzahlen vorkommen):
a1) rein-periodisch: Die Periode beginnt unmittelbar nach dem Komma ( Û in der PFZ des Nenners
kommen 2 und 5 nicht vor)
a2) gemischt-periodisch: Die Periode beginnt nicht direkt hinter dem Komma ( Û In der PFZ des
Nenners kommen 2 oder 5 und noch andere Primzahlen vor).
2) Umrechnung von Dezimalbrüchen zu gemeinen Brüchen
3
4
34 17
+
=
=
10 100 100 50
Vorüberlegung zu den periodischen Dezimalbrüchen:
BSP: 0.34 =
0.7 =
7
7
7
7æ
1
1
ö
+
+
+ ... = ç1 + +
+ ...÷ = Q
10 100 1000
10 è 10 100
ø
Zwischenüberlegung: Geometrische Reihe:
Es sei q Î Q, dann gilt:
n
q n+1 - 1 1 - q n +1
i
=
q =
å
1- q
q -1
i =0
¥
åq
i =0
i
æ n
ö
ç
÷
qi ÷
ç
n®¥è i = 0 ø
= lim å
æ 1- q n +1 ö
÷
ç
÷
ç
n ® ¥ è 1- q ø
= lim
1 - lim( q n +1 )
n®¥ = 1
=
1- q
1- q
i
7æ
1
1
7 10 7
7
1
ö 7 ¥ æ1ö
+ ...÷ = × å ç ÷ = ×
= × =
Q=
ç1 + +
10 è 10 100
ø 10 i =0 è 10 ø 10 1 - 1 10 9 9
10
i
¥
253
1
1
23
253 æ
23
253
253
ö 23
æ 1 ö
+
+
+ ... =
+
+
+ ...÷ =
+
× åç
0.23253 =
ç1 +
÷ =
100 100000 è 1000 1000000
100 10000 100000000
ø 100 100000 i =0 è 1000 ø
23
253
1
23
253 1000 23
253
23
253
23230 2323
+
×
=
+
×
=
+
=
+
=
=
1
100 100000
100 100000 999 100 100 × 999 100 99900 99900 9990
11000
Für die Schule:
0, 23 × 100 = 23, 23
23 = 23, 23 - 0, 23 = 100 × 0, 23 - 1 × 0, 23 = 99 × 0, 23 / ¸ 99
23
= 0, 23
99
( ) ( )
Def: Es gilt: a, b £ c, d Û ad £ bc
a c
£ ³ bd
b d
Zum Vergleich in Z: a £ b : Û $ n Î IN: a + n = b
a c
e
a e c
£ :Û $
: + =
b d
f
b f d
ü
ìe
Q+ = í Î Q e, f Î IN Ù f Î IN *ý
îf
þ
Folgen
Def: Eine Abbildung f: IN ® Q : n a an nennt man (rationale) Folge. Man schreibt abkürzend:
(an)n Î IN bzw. (an)
1
1
1
BSP: f: IN* ® Q : n a , Abkürzung: ( ) oder an mit an:=
n
n
n
1 1 1
Werte: 1, , , ...
2 3 4
Die Werte dieser Folge „nähern“ sich immer dichter an 0 an.
Def: Eine Folge (an) konvergiert gegen a Û "e > 0: $n Î IN : "m ³ n : a - a n > e mit e Î Q und
m Î IN.
Skizze zu (an) konvergiert gegen a
Behauptung: (
1
) konvergiert gegen 0
n
Zu zeigen ist:
Û "e > 0: $n Î IN : "m ³ n : 0 -
1
<e
m
1 1
<
m 5
1 1
Û - <
m 5
Û 0-
Û5<m
D.h.: Wenn e =
1 1
1
ist, dann gilt 0 - < für alle m mit m>5
5
m 5
Das Heronverfahren
Def: Es sei a Î Q und s Î Q. Dann heißt die über
a2 + a
a0 = s und an+1= n
2a n
rekursiv (= induktiv) definierte Folge Heronfolge zu a und s (man nennt s Startwert)
BSP: Es sei a = 4 und s = 1
a0 = 1
a 2 + 4 12 + 4 5
a1= 0
=
= = 2,5
2a0
2 ×1
2
a2=
a12 + 4 2,5 2 + 4
=
= 2,05
2a1
2 × 2,5
a3=
a 22 + 4 2,05 2 + 4
=
= 2,0006098 Q
2a 2
2 × 2,05
Vermutung: (an) konvergiert gegen 2.
Idee dazu: Wenn g der Grenzwert von (an) ist und (an) rekursiv definiert ist, dann ergibt die
Rekursionsformel den Wert g, wenn man g einsetzt
a 2 + 4 Einsetzen
22 + 4
Q n
¾¾ ¾
¾® a n = 2
=2
2a n
2×2
Verallgemeinerung: Falls die Heronfolge mit a0 = s und an+1=
a n2 + a
überhaupt konvergiert, so
2a n
konvergiert sie gegen a .
Begründung: Ist g der Grenzwert der Folge, so gilt: g = BSP: Es sei a = 4 und s = 1
a0 = 10
a02 + 4 10 2 + 4
a1=
=
= 5,2
2a0
2 × 100
a12 + 4 5,2 2 + 4
a2=
=
= 2,9846
2a1
2 × 5,2
g 2 + a ×2 g
Û 2g 2 = g 2 + a Û g 2 = a
2g
a 22 + 4 2,9846 2 + 4
a3=
=
= 2,16241
2a 2
2 × 2,9846
a32 + 4 2,162412 + 4
a4=
=
= 2,0061
2a 3
2 × 2,16241
Def: Zwei rationale Folgen (an) und (bn) sind Cauchy – äquivalent
Û $e > 0: $n Î N : "m ³ m : a m - bn < e
Zweite Beobachtung an Heronverfahren:
a2 + 2
scheint zu konvergieren: (a0 = 2, a1 = 1,5, a2 = 1, 416 , a3 = 1,414216, a4
Die Folge a0 = 2, an+1= n
2a n
= 1,414216). Das tut sie aber in Q nicht, denn falls sie konvergierte, dann würde sie gegen
2 konvergieren und 2 ist keine rationale Zahl.
Def: Eine rationale Folge (an) ist eine Cauchyfolge
Û $e > 0: $n Î N : "m ³ n : a n - a m < e
a n - g < e , g ist der Grenzwert
Satz: Jede konvergierende rationale Folge ist auch eine Cauchyfolge (aber nicht umgekehrt)
Beweis: Es sei g der Grenzwert von (an). Es sei e >0. Dann gibt es ein n Î IN mit a m - g <
m ≥ n. Ebenso für k ≥ n ist a n - g <
e
e e
. Daher ist a m - a n = a m - g + g - a k £ + = e
2
2 2
g+
e
g-
e
m
e
für alle
2
g+ e
2
g -e
2
k
Konstruktion der reellen Zahlen
1) Die Cauchyäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der rationalen Folgen
2) Man definiert die Verknüpfung (an) Å (bn) und (an) · (bn) für Folgen komponentenweise (d.h.
(an) Å (bn) = a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2,….)
3) Man definiert IR als die Äquivalenzklasse bezüglich der Cauchyrelation.
Ergebnis: IR hat einige andere Eigenschaften Q:
1) Jede reelle Cauchyfolge konvergiert (während es rationale Cauchyfolgen gibt, die nicht
konvergieren)
2) In IR ist Integral- und Defferenzialrechnung möglich.
3) Man kann jede reelle Zahl durch eine rationale Folge beliebig gut annähern (da reelle Zahlen
nichts anderes als Äquivalenzklassen rationaler Folgen sind, braucht man nur eine dieser
rationalen Folgen auszuwählen, um damit die reelle Zahl der Klasse anzunähern).
Behauptung: 2 ist eine rationale Zahl.
Beweis 1: Man nehme an, 2 sei eine rationale Zahl, also gibt es ganze Zahlen p und q (mit q ≠ 0),
p
sodass gilt: 2 = (Darstellung rationaler Zahl als Bruch): Man kann annehmen, dass p und q
q
p
teilerfremd sind und dass vollständig gekürzt ist.
q
Dann gilt:
p
p2
2=
Û
2= 2
Û
2q 2 = p 2
Û
2 p2
Û
2p
Û
$u Î Z mit 2u = p
q
q
Û
( )
2q 2 = 2u 2
Û
2q 2 = 4u 2 : 2
Damit widerspricht 2 q Ù 2 p der Wahl von
Beweis 2: Man nehme an,
Û
q 2 = 2u 2
Þ
2 q2
Þ
2q
p
als vollständig gekürzten Bruch.
q
2 sei eine rationale Zahl, d.h. es gebe p Î Z und q Î Z* mit
2=
p
und
q
ggT(p, q) = 1.
p
2 = | ()2, · q
q
Û 2q2 = p2
Man kann p, q Î IN annehmen. Also haben p und q eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Die PFZ von
2q2 und p2 müsste identisch sein. Das ist sie aber nicht. In der PFZ von p2 und q2 ist jeder Exponent
gerade (wegen des Quadrierens). Nun ist daher der Exponent von 2 in der PFZ von 2q2 ungerade.
Daher ist die PFZ von 2q2 und p2 nicht identisch. WIDERSPRUCH!
BSP: (gemischt-periodische Brüche)
32
0,32175 = 0,32 + 0,00175 =
+ 0,00175 = 0,00175 × 100000 = 175,175; 175 = 175,175 - 0,175
100
175
175 = 100000 × 0,00175 - 100 × 0,00175 175 = 99900 × 0,0175
= 0,0175 =
99900
32
175
1 æ
175 ö
1 æ 31968 + 175 ö 32143
+
=
× ç 32 +
×ç
=
÷=
÷=
100 99900 100 è
999 ø 100 è
999
ø 99900
Aufbau einer mathematischen Sprache
(am BSP der Arithmetik für IR)
1) Syntax: Ziel: Man klärt, welche Zeichenfolgen gültige Ausdrücke sind:
a) Alphabet festlegen:
a1) Konstanten/Namen sind „1“, „2“, „ p “,…
a2) Variablen sind „x“, „y“, “a”,….
a3) Operatoren sind “+”, „-“, „:“, „·“,“ Ù “,…
a4) Funktionskonstanten sind „ln“, „sin“
a5) Funktionsvariablen sind „f“, „g“
a6) Gleichungszeichen ist „=“
b) Erklären, was ein Term ist:
b1) Variablen und Konstanten sind Terme
b2) Verknüpfungen von Termen mit Operationen und Funktoren sind wiederum Terme (x, 2): (x+2, sin
(x))
c) Erklären, was eine Gleichung ist:
Ist T1 ein Term und T2 ein Term, so ist T1 = T2 eine Gleichung.
2) Semantik: Ziel: Man ordnet den Termen Werte über einer Grundmenge G zu und davon
abhängig den Gleichungen Wahrheitswerten, und zwar durch Belegungen.
Ist 2x + 4y = 7 lösbar? Hängt von der Grundmenge G ab.
In IR: 2x + 4y = 7
in Z nicht lösbar, 2 teilt nicht 7 (ggT(2, 4) = 2)
Û 4y = -2x + 7
1
7
Û y=- x+
2
4
Dabei legt man fest:
a) Ist k eine Konstante, so gilt für jede Belegung α und β, dass α (k) = β (k) ist
b) Die Gleichung t1 = t2 hat bezüglich der Belegung α den Wahrheitswert w, wenn α (t1) und α
(t2) gleich sind.
BSP:
1) Die Gleichung 2 = 2 hat unter jeder Belegung den Wahrheitswert w, weil α (2) = α (2) ist.
2) …2 = 3.. Wahrheitswert f
3) 2 + x = 3 hat genau dann den Wahrheitswert w, wenn für eine Belegung α gilt: α (x) = 1
Algorithmisieren von Lösungsmethoden
1) Man weiß (bzw. hat definiert), dass die Gleichung bezüglich der Belegung α den Wahrheitswert w
hat, wenn
α (t1) = α (t2) ist.
(Z.B. 2 + x = 3 hat genau dann den Wahrheitswert w, wenn für eine Belegung α gilt: α (x) = 1)
2) Problem: Wenn t1 und t2 Variablen enthalten, dann ist es nicht so einfach zu erkennen, für welche
Belegung α (t1) = α (t2) gilt.
(z.B.: bei x2 + 4x + 1 = 7x - 3)
3) Lösungssatz: Forme t1 und t2 so um, dass sich eine passende Belegung α leicht ablesen lässt (d.h.
reduziere das semantische Problem der passenden Belegung auf die syntaktische Operation der
Termumformung):
x2 + 4x + 1 = 7x – 3 | +3
x2 + 4x + 1 = 7x |-7x
x2 – 3x + 1 =0
3
7
7
(x - )2 + =0| 2
4
4
3
7
(x - )2 = 2
4
Dazu:
1) Wertebereich eines Terms t. Formal:
W(t) = {α(t)|α ist Belegung über Grundmenge G}
W(t) ist die Menge der Werte, die t unter allen erdenklichen Belegungen über der Grundmenge G
annehmen kann.
BSP:
Term
2
x2
sin (x)
(sin (x))2 +( cos (x)2)
1
x
W(t) über G =IR
{2}
+
IR È {0}
[-1,1]
{1}
IR\{0}
W(t) über G = IN
{2}
{n Î IN| $ x Î IN: x2 = n}
Interessante Frage
{1}
1
{ n Î IN }
n
x2 + 2x + 4 =0
Lösungen der Gleichung ist ein semantisches Problem (hier: z.B.: finde Belegungen, die x einen Wert
zuordnen, sodass die Gleichung erfüllt ist).
Dieses Problem versucht man weitgehend auf syntaktische Verfahren zu reduzieren (hier: Forme die
Gleichung so zulässig um, dass man aus einer Aussage der Art „x = …“ die passende(n) Belegunge(n))
für x unmittelbar ablesen kann).
Dabei muss geklärt werden: Was ist eine Umformung? Welche sind zulässig? Was heißt eigentlich
„zulässig“? Alle diese Fragen kann (und muss) man für Terme und Gleichungen getrennt bearbeiten.
Zur Erinnerung:
a) Term: Verknüpfung von Konstanten und Variablen durch Funktions- und
Operationssymbole, z.B.:
1 + sin( x - 3)
p + 7y
b) Gleichung T1 und T2,
wobei T1 und T2 Terme 1 + sin( x - 3) 3 x + y 2
=
+ tan( x )
sind, z.B.:
4
p + 7y
Semantische Rolle von Termen und Gleichungen:
a) zulässige Terme haben bezüglich Belegungen die Eigenschaft: Belegt man die Variablen mit
Werten, so entsteht ein neuer Term.
Belegung
Schema: Term1 ® Term2
x + 3 Belegungn 1 + 3
BSP:
®
x =1
y
7
y =7
Eine Belegung ist unzulässig, wenn den Variablen eines Terms Werte zugeordnet werden, für die im
Term vorkommenden Funktionen oder Operationen nicht definiert sind:
BSP:
x + 3 Belegungn 1 + 3
®
ist unzulässig, da die Division durch 0 nicht definiert ist.
x =1
y
0
y=0
Def: Wird der Term T über der Grundmenge G interpretiert, so ist der Definitionsbereich Dr von T
die maximale Teilmenge von G, sodass jede Belegung von T über Dr zulässig ist.
Term
1
x
1
x2 -1
x
3
Definitionsbereich für G = IR
IR\{0}
Definitionsbereich für G = IN*
IN*
IR\{-1, 1}
IN\{1}
IR+ È {0}
IN*
IR
IN*
Def: Der Wertebereich eines Terms T über der Grundmenge G ist die Menge aller Werte, die T
durch alle (erdenklichen) Belegungen für die Variabeln aus dem Definitionsbereich von T über
G in T annimmt.
Term
1
x
1
x2 -1
x
3
Zu
Wertebereich über IR
IR\{0}
{y Î IR| y ≥ -1}\{0}
IR+ È {0}
1
1
1
=ˆ
=ˆ
® {y Î IR| y ≥ -1}
x -1 x -1 x -1
2
Termumformungen:
Def: Ist T ein Term und t1 ein Teilterm von T, so ist eine Termumformung von T eine Einsetzung
von t1 durch einen Term t2, sodass sich der Definitionsbereich von T nicht ändert.
1 + x Einsetyung 1 + sin( x)
®
von x durch
2 y ein
2y
( x)
1 + x Einsetyung 1
®
von x durch 2 y
2 y leeren
Term
1 + x Einsetyung 1 + x
®
- unzulässig, da sich der Dr ändert
2 y 7von 2 y durch 7
Def: Die Terme T1 und T2 sind wertverlaufsgleich, wenn für jede Belegung α gilt:
α (t1) = α (t2)
BSP: 2x und x + x
(x + y)2 und x2 + 2xy + y2
x(a + b) und ax + bx (jedenfalls über IR)
Def: Ersetzt man einen Term durch einen wertverlaufsgleichen, so spricht man von einer
Äquivalenzumformung von Termen.
b) Gleichungen T1 = T2
1) Definitionsmenge: Die Definitionsmenge von T1 = T2 ist die Schnittmenge der
Definitionsbereiche von T1 und T2 über der Grundmenge G. Kurz:
D T1 = T2 = DT1 Ç DT2
BSP:
1
1
DT1 : IR \{0}, DT2 : IR \{-1},
=
x x +1
DT1= T2 = IR \{0} Ç IR \{-1}= IR \{0, -1}
2) Lösungs-, Ergebnis- oder Erfüllungsmenge einer Gleichung T1 = T2 ist die maximale Teilmenge
L aus DT1= T2, sodass die Aussagenform T1 = T2 durch alle Belegungen über L wahr ist.
BSP: G = IR
x – 2 = 3, D = IR, L = {5}
1
1
=
Û x +1 = 1 Û 1 = 0 Þ L = Ø
x x +1
1
1
=
Û 2 x - 1 = x 2 Û x 2 - 2 x + 1 = 0 Þ x = 1 ± 1 - 1 Û x = 1 Þ L = {1}
2
2x - 1
x
1- x2
=1
x 2 - 2x + 1
Gesucht: Definitionsmenge und Lösungsmenge über der Grundmenge IR
(Beim Einsetzen von x darf Nenner nicht 0 werden)
x2 – 2x + 1
Definitionsmenge
Û x = x = 1 ± 1 -1 Û x = 1
D = IR \{1}
Gleichung
1- x2
= 1 / · (x2 – 2x + 1)
x 2 - 2x + 1
Û 1 – x2 = x2 – 2x + 1 / - (x2 – 2x + 1)
Û -2x2 + 2x = 0
1
1
± ( )2 )
2
2
L = {0} (und nicht L = {0, 1}, da 1 nicht zur Definitionsmenge der Gleichung gehört)
x (x-1) = 0 Þ x = 0 oder x = 1
(p,q : x1, 2 =
Û ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn an dieser Stelle beide Terme der Gleichung nicht
mit 0 multipliziert werden (also x2 – 2x + 1 ≠ 0, d.h. x ≠ 0 ist).
Vorab: Multiplikation mit Null entspricht nicht einer Anwendung einer injektiven Funktion auf die bei
den Terme der Gleichung, dadurch vergrößert sich die Lösungsmenge L.
Abbildung f: A → B
- f ist surjektiv Û für jedes b Î B gibt es ein a Î A mit f(a) = b.
Gegenbeispiel: f: IR → IR: x → x2
BSP: f: IR → IR: x → 2x
-
f ist injektiv Û für alle a1, a2 Î A gilt: Falls f(a1) = f(a2), dann auch a1 = a2
BSP: f: IR → IR: x → ex
-
Gegenbeispiel: f: IR → IR: x → x2
f ist bijektiv Û f ist surjektiv und injektiv (d.h. jedem Element aus B ist genau ein Element aus
A als Urbild zugeordnet) (x – Urbild, x3 - Bild)
Gegenbeispiel: f: IR → IR: x → ex
BSP: f: IR → IR: x → x3
nicht surjektiv
nicht injektiv
also auch nicht bijektiv
Umkehrfunktion
Ist eine Funktion injektiv (d.h. findet man zu einem Funktionswert f(x) höchstens ein Urbild x), so
kann man die Zuordnung x → f (x) zu f (x) → x umkehren. Dadurch ist die Umkehrfunktion f-1 von f
definiert.
Ermitteln von Umkehrfunktion:
f: IR → IR: x → x3 + 2
1) Funktionswert ablesen:
x3 + 2
2) Funktionsgleichung aufstellen:
f(x) = x3 + 2
3) Ersetze f(x) durch eine Variable:
y = x3 + 2
4) Umstellen nach x:
y = x3 + 2 Û y -2 =x3
Û 3 y-2 = x
5) Umkehrfunktion aufschreiben:
f-1: IR→ IR: x → 3 x - 2
1
BSP: Umkehrfunktion von f: IR+ → IR: x → 2
x
Also Einschränkung des Definitionsbereiches:
1
1
y = 2 Û yx 2 = 1 Û x 2 =
y
x
1
1
Ûx=
y
y
1
f-1: IR+ → IR+: x →
x
Û Diese Äquivalenz gilt nur, wenn der Definitionsbereich von y auf positive reelle Zahlen
eingeschränkt wird.
Das ist auch aus der Sicht der Funktion klar:
Da f nur positive Werte hat (d.h. insbesondere nicht surjektiv ist), gibt es nur
zu positiven reellen Zahlen Urbilder, d.h. nur für die ist die Umkehrfunktion
definiert.
Û x=
Definitionsbereiche von Umkehrfunktionen
Ist f : A → B injektiv, so hat f eine Umkehrfunktion f-1. Aber die Umkehrfunktion ist nicht f-1: B → A,
sondern f-1: Wf → A, wobei Wf die Wertemenge von f in B ist (da man nur dann von x → f(x) nach f(x)
→ x umkehren kann, wenn es f(x) überhaupt gibt). Nur bei bijektiven Funktionen gilt: Wf = B und
damit f-1: B → A.
Äquivalenzumformungen von Gleichungen
Def: Es sei T1 = T2 eine Gleichung. Eine Äquivalenzumformung ist eine Ersetzung der Terme T1
durch T1/ und T2 durch T2/ , so dass die Lösungsmenge von T1/ = T2/ dieselbe ist wie von T1 = T2.
Problem: Wenn man Äquivalenzumformungen als Hilfsmittel zum Lösen von Gleichungen benutzen
möchte, muss man vorab klären (d.h. rein syntaktisch), welche Umformungen
Äquivalenzumformungen sind.
Antwort:
Äquivalenzumformungen von Termen sind auch Äquivalenzumformungen von Gleichungen:
Zwei wichtige Typen:
1)
Forme T1 (oder T2) zu einem äquivalenten, d.h. werteverlaufsgleichen Term um:
2
2x = x – 1
(x-1)2 ist zu (x - 1)(x + 1) verlaufsgleich
Û 2x = (x - 1)(x + 1)
x + x ist zu 2x verlaufsgleich
Û x + x = x2 – 2x + 1
2)
Ist T1 = T2 und hat T1 die Form f(T1*) und ist f eine injektive Abbildung, dann
hat T1 = T2 dieselbe Lösungsmenge wie T1* = f-1(T2) bezüglich des
DEFINITIONSBEREICHES von f-1.
BSP: 2x = 6 über G = IR
Überlegung: der Term 2x kann aufgefasst werden als T*1, auf die Abbildung f: IR → IR: x → 2x
angewendet wird:
1
2x = 6
f-1: IR → IR: x → x
2
Û f(x) = 6
Û x = f-1 (6)
1
Ûx= 6
2
Ûx=3
BSP: x2 = 9
Man kann x2 als f(x) mit f: IR → IR: x a x2 auffassen. f ist nicht injektiv, d.h. (auf ganz IR) es gibt
keine Umkehrfunktion zu f.
Abhilfe: Man zerlegt die Grundmenge G = IR so, dass f auf den Teilmengen injektiv ist und bleibt für
jede Teilmengen eine gesonderte Umkehrung.
f1: IR+ È {0} → IR: x → x2
f: IR → IR: x → x2
G2
f2: IR- → IR: x → x2
G1
f-11 : IR+ È {0} → IR+ È {0}: x →
f-12 : IR- → IR-: x → - x
x
x2 = 9
Û f(x) = 9
f ( x ) = 9 Û x = f1-1 (9) Û x = 3
Û 1
f 2 ( x ) = 9 Û x = f 2-1 (9) Û x = -3
x2 + 4x + 3 = 0
(x+2)2
=1
Wie sieht f: Z8 ® Z8: x a x2 aus?
x
0
1
2
3
4
5
2
x
0
1
4
1
0
1
x + 2 =1
x = -1 Û x = 7
x+2=3
x =1
Û
+6Û
x+2=5
x=3
x+2=7
x=5
6
4
7
1
x4 + 4x2 – 7 = 0
x2 = z
Û z2 + 4z – 7 = 0
Û (z + 2)2 – 11 = 0
Û (z + 2)2 = 11
Û (z + 2) = ± 11
Û z = - 2 ± 11
Û x = ± - 2 ± 11
- 2 - 11 < 0 ® ± - 2 - 11 ist nicht definiert, deswegen ist x = ± - 2 + 11 einzige Lösung.
L=
{ -2+
11 ,- - 2 + 11
}