Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Jürgen Roth
Didaktik der
Zahlbereichserweiterungen
Modul 5: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.1
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
1
Ziele und Inhalte
2
Natürliche Zahlen ℕ
3
Ganze Zahlen ℤ
4
Rationale Zahlen ℚ
5
Reelle Zahlen ℝ
6
Komplexe Zahlen ℂ
7
Hyperkomplexe Zahlen
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.2
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Inkommensurabilität
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.3
Einführung reeller Zahlen
Kirsch, A. (1997). Mathematik wirklich verstehen. Köln: Aulis Verlag Deubner, S. 90
Einführung reeller Zahlen
Lässt sich nicht aus praktischen Messaufgaben rechtfertigen.
In realen Situationen (z. B. bei Messungen) treten irrationale
Zahlen niemals direkt auf.
Entscheidung, ob eine Maßzahl/Gleichungslösung rational ist
Kann nicht experimentell-empirisch erfolgen.
Kann nicht durch Ausrechnen mittels Computer erfolgen.
Nur mit theoretischen Argumentation möglich.
Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen
Eine theoretische zweckmäßige Erweiterung des Zahlbereichs.
Sichert, dass für manche geometrische und algebraische
Probleme anschaulich vorhandene Lösungen auch in der Theorie
als wohlbestimmte Objekte existieren (z. B. Bestimmung der
Länge der Diagonalen eines Quadrats oder des Kreisumfangs).
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.4
Reelle Zahlen
Kirsch, A. (1997). Mathematik wirklich verstehen. Köln: Aulis Verlag Deubner
Die reellen Zahlen
entsprechen eineindeutig
den sämtlichen Punkten
der Zahlengeraden.
Arnold Kirsch
2
0
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
1
2
2
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.5
Irrationalität von 𝟐
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.6
o. B. d. A. heißt
„ohne Beschränkung
der Allgemeinheit“.
Existenz
irrationaler Zahlen
 Es gibt o. B. d. A. einen Bruch
Definition
Eine reelle Zahl 𝑥 heißt
rational, wenn sie sich in der
𝑚
Form 𝑥 = mit 𝑚 ∈ ℤ und
𝑛
mit 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ für den gilt:
𝑚 2
=2
𝑛
𝑛 ∈ ℕ schreiben lässt,
 𝑚2 = 2𝑛2
andernfalls irrational.
 𝑚⋅𝑚 =2⋅𝑛⋅𝑛
Satz
Es gibt keine rationale
Zahl 𝑥 mit 𝑥2 = 2.
Beweis (Widerspruchsbeweis)
„Wenn 𝑥2 = 2 ist, dann gilt für alle
Lösungen 𝑥 dieser Gleichung 𝑥ℚ.“
Annahme: 𝑝 𝑥  𝑞(𝑥)
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
𝑚
𝑛
In der Primfaktorzerlegung von
𝑚 ⋅ 𝑚 tritt die Zahl 2 in einer
geraden Anzahl auf, in der von
2 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑛 tritt die Zahl 2 dagegen
in einer ungeraden Anzahl auf.
Widerspruch zur Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung!
 Es kann keine rationale
Zahl 𝑥 mit 𝑥2 = 2 geben.

Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.7
Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung
Beweis
Annahme:
Es gibt natürliche Zahlen mit
mehreren unterschiedlichen
Zerlegungen. Dann gibt es
darunter eine kleinste Zahl 𝑛.
𝑛 kann keine Primzahl sein
(Warum?).
Zwei Zerlegungen von 𝑛 können
keinen gemeinsamen Primfaktor
𝑛
𝑝 enthalten, da dann auch 𝑝
zwei verschiedene Zerlegungen
hätte und kleiner als 𝑛 wäre.
 Widerspruch zu „𝑛 ist minimal“.
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Es gilt also:
𝑛 =𝑝⋅𝑎 =𝑞⋅𝑏
mit 𝑝, 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏
Das letzte Argument ist das
Lemma von Euklid: Teilt eine
Primzahl ein Produkt, so auch
mindestens einen der Faktoren.
𝑝 𝑎 ⋅ 𝑏 ⇒ 𝑝 𝑎 ∨ 𝑝|𝑏
Da 𝑛 durch 𝑝 teilbar ist, muss
einer der Faktoren der anderen
Zerlegung durch 𝑝 teilbar sein
und das ist 𝑏, denn 𝑞 ist prim.
Also taucht ein beliebiger
Primfaktor stets in beiden
Zerlegungen auf und damit
sind sie identisch.

Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.8
Existenz
irrationaler Zahlen
o. B. d. A. heißt
„ohne Beschränkung
der Allgemeinheit“.
Definition
Eine reelle Zahl 𝑥 heißt
rational, wenn sie sich in der
𝑚
Form 𝑥 = mit 𝑚 ∈ ℤ und
𝑛
Es gibt o.B.d.A. einen vollständig
𝑚
gekürzter Bruch 𝑛 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ mit:
𝑚 2
𝑛
=2
 𝑚2 = 2𝑛2
𝑛 ∈ ℕ schreiben lässt,
 𝑚2 ist gerade.
andernfalls irrational.
 𝑚 ist gerade.
 𝑚 = 2 ⋅ 𝑘 mit 𝑘 ∈ ℕ
Satz
Es gibt keine rationale
Zahl 𝑥 mit 𝑥2 = 2.
Beweis (Widerspruchsbeweis)
„Wenn 𝑥2 = 2 ist, dann gilt für alle
Lösungen 𝑥 dieser Gleichung 𝑥ℚ.“
Annahme: 𝑝 𝑥  𝑞(𝑥)
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
 𝑚2 = 4 ⋅ 𝑘 2
 4 ⋅ 𝑘 2 = 2𝑛2
 2 ⋅ 𝑘 2 = 𝑛2
 𝑛2 ist gerade. ⇒ 𝑛 ist gerade.

𝑚
𝑛
ist nicht vollständig gekürzt. 
 Es gibt kein 𝑥 ∈ ℚ mit 𝑥2 = 2.

Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.9
Inkommensurabilität
Pentagon
Es gibt kein gemeinsames Maß für die Diagonale 𝑑 und die Seite 𝑎
des regelmäßigen Fünfecks.
𝑑 = 1 ∙ 𝑎 + 𝑑1
𝑎 = 1 ∙ 𝑑1 + 𝑎1
Im zweiten Fünfeck:
𝑑1 = 1 ∙ 𝑎1 + 𝑑2
𝑎1 = 1 ∙ 𝑑2 + 𝑎2
Im dritten Fünfeck:
𝑑2 = 1 ∙ 𝑎2 + 𝑑3
𝑎2 = 1 ∙ 𝑑3 + 𝑎3
𝑑 = 1 ∙ 𝑎 + 𝑑1
𝑎 = 1 ∙ 𝑑1 + 𝑎1
…
Wäre 𝑒 ein gemeinsames Maß von 𝑑 und 𝑎, dann auch für jedes
Paar 𝑑𝑛 , 𝑎𝑛 . Die Längen nehmen aber bei jedem Schritt um mehr
als die Hälfte ab und werden damit sicher kleiner als jedes 𝑒. 
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.10
Heron-Verfahren
(Wurzelberechnung)
Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren:
An die Straße grenzende Grundstückslänge
(Frontmetermaßstab).
Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen
als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.
Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen.
Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage
Straßenreinigungsgebühren
werden aus der Seitenlänge
eines zum Grundstück
flächeninhaltsgleichen
Quadrats berechnet.
A
B
Frage: Wie findet man die
Seitenlänge dieses Quadrats?
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.11
Heron-Verfahren
(Wurzelberechnung)
http://www.juergen-roth.de/dynageo/heronverfahren/
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.12
Heron-Verfahren
(Wurzelberechnung)
http://www.juergen-roth.de/excel/
Gesucht:
𝑎0 = 4
𝐴
Anfangswert: 𝑎0
𝐴
𝑏𝑛 =
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
𝐴
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛
=
=
2
2
𝐴
24
𝑏0 =
=
=6
𝑎0
4
𝐴 = 24
𝐴
𝑏1 =
= 4,8
𝑎1
𝑎0 + 𝑏0
𝑎1 =
=5
2
Schnell konvergierende
Intervallschachtelung.
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.13
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
1
Ziele und Inhalte
2
Natürliche Zahlen ℕ
3
Ganze Zahlen ℤ
4
Rationale Zahlen ℚ
5
Reelle Zahlen ℝ
6
Komplexe Zahlen ℂ
7
Hyperkomplexe Zahlen
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.14
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 6: Komplexe Zahlen ℂ
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.15
Komplexe Zahlen im Unterricht?
http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/zahl_i/roth_zahl_i.pdf
Vgl. hierzu folgenden Artikel:
Roth, J. (2003). Die Zahl i – phantastisch, praktisch, anschaulich.
mathematik lehren, Heft 121, S. 47-49
Komplexe Zahlen im Unterricht?
Beim Lösen von Gleichungen mit Computeralgebrasystemen
tauchen komplexe Zahlen auf – hierfür sollte man den
Schülerinnen und Schülern eine befriedigende Erklärung anbieten.
Die nach dem Spiralprinzip angelegte Vermittlung der Idee der
Zahlbereichserweiterung beim Erreichen einer Grenze des
aktuellen Zahlbereichs wird unterstützt, wenn man beim
Gleichungslösen und Wurzelziehen an Grenzen stößt und sich
Gedanken über eine mögliche Zahlbereichserweiterung macht.
Komplexe Zahlen sind praktisch, weil sie die mathematische
Aufarbeitung von vielen inner- und außermathematischen
Problemen deutlich vereinfachen oder erst möglich machen.
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.16
Gauß’schen Zahlenebene
Die Deutung von Punkten der „Zahlengeraden“ als reelle Zahlen
wird geometrisch erweitert auf die Punkte der Ebene, die als
„komplexe Zahlen“ gedeutet werden.
Komplexe Zahlen werden durch Zeiger repräsentiert, die im
Koordinatenursprung beginnen.
Alle Zeiger 𝑧 = (𝑟𝑧, 𝜑𝑧) werden
eindeutig festgelegt durch ihre
Länge 𝑟𝑧 und den Winkel 𝜑𝑧,
den sie mit der positiven reellen
Achse einschließen.
Dabei ist 𝑟𝑧 eine positive reelle Zahl und für 𝜑𝑧 gilt 0° ≤ 𝜑𝑧 < 360°.
– 2 = (2, 180°)
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
3 = (3, 0°)
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.17
𝑧 =𝑥∙𝑦

Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen


Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.18
𝑧 =𝑥±𝑦



𝑧 =𝑥+𝑦
𝑧 =𝑥−𝑦
= 𝑥 + −𝑦
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.19
Die Zahl 𝑖
Die Richtung der zweiten Koordinatenachse wird durch den Zeiger
1, 90° festgelegt.
Wegen der Bedeutung für diesen Zahlenbereich erhält er einen
Namen, nämlich 𝑖 = 1, 90° .
(Vgl. die Achsenbeschriftungen in den bisherigen Darstellungen.)
Wenn man 𝑖 mit sich selbst multipliziert, ergibt sich:
𝑖2 = 𝑖 ⋅ 𝑖
= 1, 90° ⋅ 1, 90°
= 1 ⋅ 1, 90° + 90°
= 1, 180°
1, 180° ist ein Zeiger auf der reellen Achse, nämlich die Zahl −1.
In diesem Zahlensystem ist die Gleichung 𝑥 2 = −1 also lösbar.
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.20
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Mit der Zeigeraddition kann jeder Zeiger 𝑧 als
Summe dargestellt werden aus
einem auf der reellen Achse liegenden Zeiger 𝑥
und einem auf der durch 𝑖 festgelegten Achse
(wir nennen sie 𝑖-Achse) liegenden Zeiger 𝑦.
Damit ergibt sich:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 = 𝑟𝑥 , 0° + 𝑟𝑦 , 90°
= 𝑟𝑥 , 0° + (𝑟𝑦 ⋅ 1, 0° + 90°)
= 𝑟𝑥 , 0° + 𝑟𝑦 , 0° ⋅ 1, 90°
= 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 ⋅ 𝑖
Dabei sind 𝑟𝑥 und 𝑟𝑦 reelle Zahlen.
Beispiel: Für den Zeiger in der Abbildung ergibt sich: 𝑧 = 3 + 1,5𝑖
Auf dieser Grundlage lassen sich alle Rechenregeln für Zahlen
(die Körperaxiome) relativ einfach herleiten.
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.21
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
1
Ziele und Inhalte
2
Natürliche Zahlen ℕ
3
Ganze Zahlen ℤ
4
Rationale Zahlen ℚ
5
Reelle Zahlen ℝ
6
Komplexe Zahlen ℂ
7
Hyperkomplexe Zahlen
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.22
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 7: Hyperkomplexe Zahlen
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.23
Hyperkomplexe Zahlen
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperkomplexe_Zahl
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperkomplexe_Zahlen.svg
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.24
Quaternionen
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen
Grundlegende Aspekte
Quaternionen erlauben eine rechnerisch elegante Beschreibung
des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume.
Verwendungsbeispiel:
Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen
Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form
𝑥 = 𝑥0 + 𝑥1 ⋅ 𝑖 + 𝑥2 ⋅ 𝑗 + 𝑥3 ⋅ 𝑘
mit 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ∈ ℝ und 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 = 𝑖 ⋅ 𝑗 ⋅ 𝑘 = −1.
Ein Quaternion kann auch als vierdimensionaler Vektor
𝑥0 , 𝑥Ԧ = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
aufgefasst werden.
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.25
Quaternionen
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen
Einige Rechenoperationen
𝜆 ⋅ 𝑥 = 𝜆 ⋅ 𝑥0 + 𝜆 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑖 + 𝜆 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑗 + 𝜆 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑘 mit 𝜆 ∈ ℝ
𝑥 + 𝑦 = 𝑥0 + 𝑥1 ⋅ 𝑖 + 𝑥2 ⋅ 𝑗 + 𝑥3 ⋅ 𝑘 + 𝑦0 + 𝑦1 ⋅ 𝑖 + 𝑦2 ⋅ 𝑗 + 𝑦3 ⋅ 𝑘
= 𝑥0 + 𝑦0 + 𝑥1 + 𝑦1 ⋅ 𝑖 + 𝑥2 + 𝑦2 ⋅ 𝑗 + 𝑥3 + 𝑦3 ⋅ 𝑘
𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥0 , 𝑥Ԧ ⋅ 𝑦0 , 𝑦Ԧ
= 𝑥0 𝑦0 − 𝑥Ԧ ⋅ 𝑦,
Ԧ 𝑥0 ⋅ 𝑦Ԧ + 𝑥Ԧ ⋅ 𝑦0 + 𝑥Ԧ × 𝑦Ԧ
𝑥ҧ = 𝑥0 − 𝑥1 ⋅ 𝑖 − 𝑥2 ⋅ 𝑗 − 𝑥3 ⋅ 𝑘
Skalarteil:
𝑥+𝑥ҧ
2
Vektorteil:
𝑥−𝑥ҧ
2
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Kapitel 5: Reelle Zahlen ℝ • 5.26