blatt 5 - Die ganze Welt ist Mathematik
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blatt 5 - Die ganze Welt ist Mathematik
Hinweise: Der Doppelstrich // steht für eine Kommentarzeile. Tipp- und Rechtschreibfehler können trotz mehrfacher Kontrolle nicht hundertprozentig vermieden werden. Die selbst erstellten Lösungsansätze orientieren sich an die Syntax sowie Konventionsvorgaben der Vorlesung. Zur Bearbeitung wurde u.a. folgende Literatur verwendet: - T. Bröcker „Analysis 1“ - Morgan „Real Analysis“ - H. Junek „Analysis“ - Fritsche „Analysis 1“ - Modler/Kreh „Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1“ - Walter „Analysis 1“ Königsberger „Analysis 1“ - Forster „Analysis 1“ „Übungsbuch zur Analysis 1“ - Behrends „Analysis Band 1“ - Rolf Walter „Einführung in die Analysis 1“ - Varga „Mathematische Logik für Anfänger: Aussagenlogik“ - G. Fanghänel, H. Vockenberg „Arbeiten mit Mengen“ -M. Wohlgemuth „Mathematisch für Anfänger“ - Hairer, Wanner „Analysis in historischer Entwicklung“ - Schäfer, Georgi, Trippler „Mathematik Vorkurs“ – H. Neunzert „Analysis 1“ … Kontakt: www.mathematikwelt.npage.de Abb. 1 Aufgabe 1: [Beschränktheit] Behauptung: Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn es zu beliebigem y ein M existiert mit Nachdem ich am Samstag ungefähr 8 Stunden recherchiert und überlegt habe (16 Seiten verschiedene Ansätze ausprobiert habe) kam ich auf die Idee, mit der allgemein gültigen Definition aus fast jeder Literatur, wie u. a. von Otto Forster in Kapitel §4, zu arbeiten. Dort steht: Definition: Die Folge heißt genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Konstante sodass für alle n. gibt, Beweis: Mit einer allgemein gültigen Fallunterscheidung will ich nun die Behauptung beweisen. Angenommen ist beschränkt. Falls immer positiv oder 0 ist, dann gibt es aufgrund der Definition ein mit . Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten das y. Danach folgt dann , da immer positiv. Da nur ein M existieren braucht, definieren wir hier . Hieraus folgt die Beschränktheit von . Falls nicht immer positiv oder 0 ist, dann gibt es aufgrund der Definition wieder ein mit . Nun addieren wir auf beiden Seiten das y. Danach folgt dann , da nicht immer positiv. Weil nur ein M existieren braucht, definieren wir hier . Hieraus folgt die Beschränktheit von . Damit ist die Behauptung gezeigt. Hierfür wurde auch die Definition für den Beweis angewendet. q.e.d 1 Definition [Beschränktheit] heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S Eine Folge gibt mit . Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl s gibt mit Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. . Aufgabe 2: [Monotonie] Definition [Monotonie von Folgen] Eine reelle Folge heißt monoton wachsend, falls für alle n heißt streng monoton wachsend, falls alle n Eine reelle Folge gilt, dass gilt, dass . Sie . heißt monoton fallend, falls für alle n streng monoton fallend, falls alle n gilt, dass gilt, dass . Sie heißt . Das lassen wir erstmal nicht so stehen, denn es gibt mehrere Möglichkeiten, Monotonie zu zeigen. Wir beschränken uns auf den Fall, die wachsende Monotonie der Folge zu zeigen. Analog folgt die fallende Monotonie zu zeigen. Monoton wachsend heißt, dass gilt. Dies ist aber vollkommen äquivalent zu: !"# ! a) & $ , falls % // explizite Bildungsvorschrift // nun sollen erst einmal die ersten Folgenglieder bestimmt werden $ ( * + , - . / 0 $ $$ $( $* $+ $, $- $. $/ $0 ( ($ (( (* (+ (, (' ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ( * + , - . / 0 $ $$ $( $* $+ $, $- $. $/ $0 ( ($ (( (* (+ (, (- (. Die Folge ist streng monoton wachsend, denn es gilt 2 . Beweis: 2 (z.z.) // auf einen Hauptnenner bringen und vereinfachen. 3 2 34 2 2 // Klammern auflösen 4 342 2 2 //Zusammenfassen! // dies gilt , da 1 > 0. Damit ist streng monoton wachsend. Ebenfalls wäre konvergieren. b) & $, 2 & $ und für * mit & 4 5 beschränkt und würde gegen 1 42 Mit der rekursiven Bildungsvorschrift wird die Fibonacci-Folge beschrieben. Sie ist sehr berühmt. Die Fibonacci-Zahlen gehören sogar zu den berühmtesten und am meisten benutzten Zahlen in der Mathematik. Fibonacci oder Leonardo von Pisa hat im Jahre 1202 das berühmte Buch "Liber abaci" geschrieben, welches auch das "Kaninchen - Problem" behandelt. Wenn 2 Kaninchen jeden Monat ein neues Paar Kaninchen zur Welt bringen, dieses neue Paar aber erst im Alter von 1 Monat selbst zeugungsfähig ist und die Kaninchen niemals sterben, wie viele Kaninchenpaare sind dann jeden Monat am Leben? Die Antwort sind die Fibonacci-Zahlen! Die Abbildung 1 verdeutlicht die Fibonacci-Zahlen. Die Fibonacci-Folge ist streng monoton steigend, denn es gilt: 4 42 4 , weil 42 //Behauptung: Dies gilt bestimmt. mit // Die Zwischenbehauptung wird mit einer äquivalenten Aussage beweisen: 4 Diese Ungleichung ist sicher eine wahre Aussage, weil 4 *. ist! Ergänzungen: Beschränktheit: Diese Folge ist nach unten beschränkt z.B. mit der unteren Schranke c = 0. Da die Folge streng monoton steigend ist, ist a1 = 1 das kleinste Folgenglied. Konvergenz: Diese Folge ist divergent sie ist streng monoton steigend (die Folge steigt sogar sehr stark an!) und nicht nach oben beschränkt. & $) $) () *) ,) /) $*) ($) *+) ,,) /0) $++) 6 Das sind die ersten Glieder der Folge. Würde man auch die ersten beiden Glieder von $) $) () *) ,) /) $*) ($) *+) ,,) /0) $++) 6 für die Monotonie berücksichtigen, dann wäre die Fibonacci Folge „nur“ „normal“ monoton steigend, aber oben galt ja *. http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/fibonacci.htm 3 Aufgabe 3: [Limes] Es sei eine konvergente Folge. Behauptung: Es gilt für jedes feste 7 8 9:; <= & > Beweis: Zuerst wenden wir dazu die Regel für das Rechnen mit Grenzwerten bei Subtraktion an. Der Beweis hierfür erfolgt analog zu den Beweisen aus Aufgabe 5. Es gilt also für jedes feste 7 8 9:; <= & 9:; <= 9:; <= > > // Es wurden aus dem Limes der Differenz // Hinweis: Limites ist der Plural von Limes. > zwei einzelne Limites gemacht. Bevor wir weitermachen, bilden wir bilden wir zuerst noch eine Teilfolge von . //Wozu das sinnvoll ist, wird man später noch sehen. Es ist nun ? @ A B & ? CB eine Teilfolge von , wobei D8 < eine streng A A monoton wachsende (auch injektiv) Abbildung mit A & D E ist. Man sieht nach diesem kleinen Exkurs sofort, dass > für jedes feste natürliche k eine Teilfolge der Folge ist. Damit dies wirklich stimmt, werde ich gleich noch im Anhang einen wichtigen Satz beweisen. (***) Um uns das noch einmal beispielhaft klar zu machen, sage ich einfach mal, dass als konstante Folge definiert sei, also wie folgt: & . Bei der Teilfolge setzen wir nun das k einfach mal auf 3, d.h. ? C B & A F A , wobei A & E *, welches definitiv eine Teilfolge A ist. Nun schreiben wir noch einmal die Folgenglieder auf: & $)()*)+),)-).) 6 ) sowie & +),)-) 6 . A F Da aufgrund unsrer Annahme eine konvergente Folge ist, legen wir nun 9:; <= & fest. Wir haben also lediglich den Grenzwert der Folge als a festgelegt. Damit jetzt aber auch 9:; <= 9 : ; & gilt, muss der Grenzwert von > <= > ebenfalls a sein. Dies werden wir nun zeigen. Zwischenbehauptung: Ist konvergent, so auch jede Teilfolge mit demselben Grenzwert. Beweisidee: Ist eine Folge, und > > eine Folge natürlicher Zahlen, sodass 2 & # ) H ) I ) 6 eine Teilfolge von so heißt die Folge ? G B . Es soll nun folgendes > 6, gezeigt werden, falls 9:; & und J K < injektiv, dann ist 9:; ? L M & . Den Fall der Teilfolge erhält man, wenn man J 7 & > setzt. Hier wird auch ausgesagt, dass man Folgenglieder auch beliebig umordnen darf, ohne dass sich ihr Grenzverhalten ändert. Beweis: < heißt: Für jedes ist NO für fast alle n, also für alle bis auf etwa P$) () 6 ) Q. Weil R injektiv ist, gibt es höchstens K Zahlen n, sodass R P$) 6 ) Q, also für fast alle n gilt: R S P$) 6 ) Q . Also für fast alle n ist L NO , und das heißt ? L B < . Das Grenzverhalten von folgen ist im gewissen Maße mit der Anordnung der reellen Zahlen verträglich. 5 Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. Mit der Zwischenbehauptung folgt schließlich 9:; <= > & , da der Grenzwert der Teilfolge gleich dem Limes der konvergenten „Ausgangs“-Folge ist. Ferner gilt: 9:; <= 9:; <= & & > //weil aufgrund der Körperaxiome – a das „Negative“ zu a. Hiermit ist alles gezeigt, d.h. die Kernbehauptung bewiesen. 4 q.e.d. Anhang: Sätze: i. Jede konvergente Folge ist beschränkt, d.h. die Menge P beschränkt. ii. Q der Folgenglieder ist [Satz von Bolzano-Weierstraß] Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge, das heißt mindestens einen Häufungspunkt. Beweis_(i): siehe „Analysis 1“ von Theodor Bröcker Beweis_(ii): Für dieses Übungsblatt trivial, denn (ii) wurde mit dem Intervallschachtelungsprinzip in der Vorlesung bewiesen. Definition [Teilfolge] Seien eine beliebige Folge und T K < eine streng monoton wachsende Abbildung, das heißt, es gelte T U T für alle m, n mit m > n, dann nennen wir die Folge V > >W eine Teilfolge von V > >W . In den meisten Fällen setzen wir . Aufgabe 4: [Endlich viele Abänderungen] > T 7 und schreiben G >W statt Behauptung: Eine Folge sei Konvergent zum Grenzwert g und X sei eine Folge mit % X für höchstens endlich viele n , dann konvergiert auch die Folge X gegen g. Vorüberlegung: In jeder Umgebung von a liegen fast alle Glieder ; das sind aber auch fast alle Glieder X . Dieser Satz ist unmittelbar klar, da eine Folge genau dann konvergent ist, wenn fast alle Glieder in einer beliebigen Umgebung um den Grenzwert liegen. Die endlich vielen Ausnahmen, also die Abänderungen, spielen in Folge dessen keine Rolle. Wir haben erneut den Begriff Teilfolge benutzt ohne auf ihn erneut eingegangen zu sein. Beweis-Exposition: Da gegen g konvergiert, gibt es zu jedem Y ein Z mit [ Y für Z . Wir brauchen aber X [ Y. Ab welchem Index kann man in der Differenz X [ statt X genauso gut schreiben. Das heißt, wie groß muss n hierfür mindestens sein? Dazu wählen wir nach langer Überlegung^^ einfach ; \]PZ ) Z2 Q, d.h. mit ; \]PZ ) Z2 Q ist das n größer als Z und Z2 . Beweis: Weil gegen g konvergiert, gibt es zu jedem Y ein Z mit [ Y für Z. Weil die Folgenglieder fast überall gleich sind, gibt es ein Z2 derart, dass es für Z2 immer X & . Damit folgt, dass X [ & [ Y ; \]PZ ) Z2 Q. q.e.d. 5 Aufgabe 5: [Grenzwerte - Rechenregeln] und X X Seien die Folgen konvergente Folgen mit 9:; , ^X konvergent. & <= und 9:; X konvergiert zum Grenzwert a + b. a) Behauptung: Es gilt Beweis: Zu gegebenem Y wählen wir die Zahlen D_ und D__ so, dass D_ bzw. X X für alle 2 Ungleichungen und für diese n folgt O D__. Für die Indizes X X D )D ` b) Behauptung: Es gilt ^X konvergiert zum Grenzwert a ^ b. Beweis: Wir verwenden die Identität X X& X X X Zu Y wählen wir nun N so, dass für alle Z zugleich gilt: O O ; :ab ) $d X X . 2c 2 2 Aus der ersten Ungleichung folgt zunächst (**) schließlich X X $ 2 O 2 2 X O 2c `` <= X & X. Es sind dann O 2 für alle bestehen die beiden X X Y. 5 (**) $ und aus beiden mittels Y für n > N. 5 2 g hh X % i zum Grenzwert . c g hh X & Beweis: Zu j X wählen wir zunächst ein Z_ so, dass X X j ist für Z_. Für 2 diese n gilt dann X X j ), X . Zu gegebenem Y wählen wir ferner ein Z Z_ derart, dass außerdem für alle n die Ungleichung X X Y X 2 gilt. Für Z folgt damit c) Behauptung: Gilt zudem X % , so konvergiert e k c! c k& c! 4c c! c Y. Dies beweist zunächst c! 6 ! mit e & fc! 2 < . Zusammen mit b. folgt c. allgemein. c 5 Aufgabe 6: [Grenzwerte bestimmen] & a) H4 3 & 3 2 4 3 & & 2 l2 # m ! & l( m // Es wurde die Definition der Folgenglieder vereinfacht, indem zuerst die binomische Formel im Zähler angewendet wurde, danach wurde der Zähler zusammengefasst. Anschließend wurde n ausgeklammert und gekürzt. Nun wollen wir den Grenzwert der Folge bestimmen: $ 9:; & 9:; '( 1&( //Dies gilt, weil 9:; & b) 34 F n 2 2 <= ( o <= & ( und aus der Vorlesung als Nullfolge bekannt ist. # # H m !n p m !n nl! 4 !3 & <= H !3 I lF & # # l! 4 !3 lF H !3 H m !n p m !n // Es wurde auch hier wieder der Bruch vereinfacht, damit der Grenzwert bestimmt werden kann. 9:; & 9:; q <= <= l $ $ 3 ( 3 l* ( m n r& + m n * & * & // Es wurden hierfür die in Aufgabe 5. bewiesenen Regeln erneut angewendet. Wenn man eine Null im Zähler eines Bruchs hat, dann resultiert für den Wert des Bruchs eine Null. c) 9:; & <= ! & ^ ^ ^ ^6 ^ ^ & t>u2 $ ( * + $ ^ 1& & 9:; ' ^ ^ ^ ^ 6 ^ 2 <= F o 4 ( 9:; ' 1 ^ 9:; ' 1 ^ 6 ^ 9:; ' <= $ s <= <= > $ 1 ^ 9:; $ & <= //Achtung, das ist ungenau, weil obige Aussage falsch ist, also nicht so rechnen! Es gibt keinen Grenzwert von einem unendlichen Produkt. Nun das ganze noch einmal richtig: Um zu zeigen, dass die Folge gegen null konvergiert, reicht es wenn ich zeigen kann das ich einen Faktor beliebig klein bekomme, bzw. ich kann die ganze Folge durch den ersten Faktor abschätzen. s ! v 9:; <= & ist aber konvergent gegen null, nach dem Majorantenkriterium muss damit auch der andere Bruch konvergent sein und desen Grenzwert muss 0 sein. Da der Bruch immer positiv ist, ist der Grenzwert = 0. Damit ist nun alles gezeigt. Ergänzung: Für "sehr große" n gilt die Stirling-Näherung: n! ist ungefähr ^ y 4 . In obigen Term eingesetzt ergibt sich dann: 9:; <= ?w( ^ x ^ w( ^ x ^ ^ 7 ^ y4 B & d) & 2 F & 6 # 3l!3 H !3 6 # m ! &l 2 6 F m 3 3 3 3 3 //nach dieser mathematischen Zusammenfassung kann erneut der Grenzwert gebildet werden: Achtung: folgende Aussage ist falsch, denn man kann nicht einfach den Limes einer unendlichen Summe (Nenner) bilden. Deshalb haben wir die nach Gauß benannte Summenformel angewandt. 9:; & 9:; z' <= <= // Dies ist also falsch! $ 3 ( 3 $ $ 6 1{ & * & * & $ $ 3 l$ m l$ m 3 & & & ( ( 3 3 ( So, nun machen wir das ganze noch einmal richtig: |>u 7 & & 3 9:; <= ( 3 & 9:; q <= l$ ( & $ m ( 3 r& $ $ & ), ( Der korrekte Grenzwert der Folge beträgt also 0,5. Exkurs -Historisches: Nach Eulers Tod im Jahr 1783 folgte eine Periode des Stillstands in der Mathematik. Er hatte virtuell jedes Problem gelöst: zwei übertroffene Abhandlungen über die Analysis des Unendlichen und der Differentiale (Euler 1748, 1755), lösbare Integrale gelöst, lösbare Differentialgleichungen gelöst (Euler 1768, 1755), die Geheimnisse der Flüssigkeiten (Euler 1755b), der Mechanik (Euler 1736b, Lagrange1788), des Variationskalküls (Euler 1744), der Algebra (Euler 1770) alle offenbart. Es schien, als bliebe keine Aufgabe mehr übrig, die Euler nicht schon in 30.000Seiten seines Lebenswerkes abgearbeitet hätte. Die „Théorie des fonctions analytiques“ von Lagrange (1797), „befreit von allen Überlegungen zu unendlich kleinen Werten, verschwindenden Zahlen, Grenzwerten und Fluxionen“, die Doktorarbeit von Gauß (1799) über den „Fundamentalsatz der Algebra“ und die Studien zur Konvergenz der hypergeo-metrischen Reihe (Gauß 1812) markierten den Beginn einer neuen Epoche. Source: www.york.ac.uk 8 Bolzano bemerkte, dass es Gauß’ erstem Beweis an Strenge gemangelt hatte; er gab sodann 1817 einen „rein analytischen Beweis des Satzes, dass zwischen zwei Werten, die Verschiedene Vorzeichen hervorbringen, mindestens eine Wurzel der Gleichung existieren muss“. 1821 etablierte Cauchy neue Maßstäbe an die Strenge in seinem berühmten „Cours d’Analyse“. Die Fragen lauten wie folgt: Was ist eine Ableitung in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert. Was ist ein Integral in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert. 6 in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert. Was ist eine unendliche Reihe 2 F Dies führt zu: Was ist ein Grenzwert? Antwort: Eine Zahl. Und schließlich die letzte Frage: Was ist eine Zahl? Weierstraß und seine Mitstreiter (Heine, Cantor), sowie Méray, beantworteten diese Fragen um 1870 – 1872. Sie füllten auch viele Lücken in Cauchys Beweisen, indem sie die Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz, der gleichmäßigen Stetigkeit, der termweisen Integration einer Reihe und der termweisen Ableitung einer unendlichen Reihe klärten. „Man sagt, eine Größe ist der Grenzwert einer anderen Größe, wenn die zweite sich der ersten bis auf jede beliebig kleine Größe nähert …“ (D’Alembert 1765, Encyclopédie, tome neuvieme, à Neufchastel.) „Wenn eine variable Größe gegen einen festen Grenzwert konvergiert, ist es oftmals nützlich, diesen Grenzwert durch eine besondere Notation zu bezeichnen, was wir durch das Setzten der Abkürzung lim vor die betroffene Variable erzielen wollen …“ (Cauchy 1821, Cours d‘ Analyse) Letztes Update: Freitag am 20. 05. 2011 um 16: 16 (2438 Wörter) . 9