Wohltemperiert in guter Stimmung - Plauderei zu Mathematik und

Transcription

Wohltemperiert in guter Stimmung
Plauderei zu Mathematik und Musik
Johannes Huber, Markus Mayrock
Lehrstuhl für Informationsübertragung
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Tonleiter C–Dur
7 Töne in einer Oktave
5 Ganzton–, 2 Halbtonschritte
12 Halbtöne in einer Oktave
Konsonanz ?
Dissonanz ?
Weshalb ist das so und nicht ganz anders?
Hat das was mit Mathematik zu tun?
2
Ton: akustische Welle
periodische Schwankungen von Luftdruck und Luftteilchen
Luftdruckschwankung
(-Gleichdruck)
T0
p(t)
t
Periodendauer: T0
Kammerton a
Tonhöhe:
f0 = 440 Hz
Frequenz f0 = 1/T0
T0 = 0,002272 s
Klangfarbe: Kurvenform
Versuch:
Aufnahme von Tönen, Zeitbereichsdarstellung
3
Fourieranalyse periodischer Funktionen: Fourier–Reihe
(Joseph Fourier 1768 – 1830)
Eine periodische Funktion mit der Frequenz f0 kann als Summe von
Cosinus–Schwingungen mit den Frequenzen:
f0:
Grundschwingung
2f0: 2. Oberschwingung
usw.
dargestellt werden:
∞
p (t ) = ∑ Ci cos ( 2π (if 0 ) t + ϕi )
i =1
4
Beispiel: periodische Rechteckfunktion
p(t)
2
0
-2
0
T0=10
t
2
4
6
8
10
12
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2
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6
8
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t [ms]
12
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20
Fortlaufende
Verbesserung
der
Approximation
2
0
-2
0
5
p(t)
2
0
-2
0
T0=10
t
2
4
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-2
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t [ms]
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Fortlaufende
Verbesserung
der
Approximation
2
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-2
0
6
p(t)
2
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-2
0
T0=10
t
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Fortlaufende
Verbesserung
der
Approximation
2
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-2
0
7
p(t)
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-2
0
T0=10
t
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20
Fortlaufende
Verbesserung
der
Approximation
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-2
0
8
p(t)
2
0
-2
0
T0=10
t
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t [ms]
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Fortlaufende
Verbesserung
der
Approximation
2
0
-2
0
9
Begründung für die Fourier–Analyse von Tönen:
a)
Unser Gehörsinn macht das so!
Bis ca. 15 Schwingungen/Sekunde: zeitliche Wahrnehmung
ab ca. 15 Schwingungen/Sekunde: spektrale Wahrnehmung als Ton
Gehörsinn: Kurzzeit–Spektralanalysator
Versuch: zeitliche/spektrale Auflösung
b)
Die Überlagerung von Cosinus–Schwingungen gleicher Frequenz ergibt
wieder Cosinus–Schwingungen, z.B. Überlagerung von Echos
n
∑ Ci cos ( 2π f 0 (t − τ i )) = C ⋅ cos ( 2π f 0 (t + γ ))
i =1
Damit ist die Cosinus–Funktion Eigenfunktion der Faltungsoperation
+∞
∫ h(τ ) ⋅ x (t − τ ) dτ und damit Eigenfunktion aller linearen,
−∞
zeitinvarianten, dispersiven Systeme (LTI–Systeme)
10
(Betrags–) Spektrum eines Tones:
Darstellung der Spektralanteile (hier: Fourierkoeffizienten) über der Frequenz
| X( f )|
| Ci |
f
f0
2f0
3f0
4f0
5f0
Ein einzelner Ton besteht bereits aus vielen Cosinus–Schwingungen, deren
Frequenzen Vielfache der Grundfrequenz sind!
Versuch: Spektraldarstellung eines Tones
11
Wahrnehmung zweier Cosinus–Schwingungen
| X( f )|
f
f1
f1+f2
f2
2
Additionstheorem:
( ( )t )⋅ cos (2π ( )t )
cos(2π f1t ) + cos(2π f 2t ) = 2 cos 2π
f 2 − f1
2
f 2 + f1
2
1
f2−f1
12
Wahrnehmung zweier Cosinus–Schwingungen
1
f2−f1
Für | f2 − f1| < 15 Hz ist anstatt von zwei Tönen ein Ton bei der Mittenfrequenz
hörbar, der sich in der Lautstärke mit der Differenzfrequenz verändert.
Schwebung ⇒ Dissonanz
Dissonanz: Eng benachbarte Spektralkomponenten, die zu einer zeitlich
modulierten Wahrnehmung führen.
Versuch: Wahrnehmung zweier Cosinus–Schwingungen, Schwebung
13
Konsonanz zweier Töne
Vermeidung von eng benachbarten Spektralkomponenten durch
Koinzidenz der Oberschwingungen
| X1( f ) |
f2 = 2 f1
Oktave
| X2( f ) |
f
f1
f2
Schwebung
f3 = 3/2 f1
Quinte
| X1( f ) |
| X2( f ) |
unreine Quinte
| X3( f ) |
| X4( f ) |
f
f1
f3
f4 = 4/3 f1
Quarte
Versuch: Stimmen eines Cellos (reine Quinten)
14
Die natürlichen musikalischen Intervalle:
Frequenzverhältnisse innerhalb eines einzigen Tones
| X( f )|
f0
1:2
2:3
3:4
4:5
Oktave
Quinte
Quarte
5:6
große Terz kleine Terz
6:7
f
???
oder: Schwingungsmoden einer schwingenden Saite,
bzw. einer schwingenden Luftsäule im Rohr
1:2
2:3
3:4
4:5
Oktave
Quinte
Quarte
große Terz
Flageolett–Töne, bzw. Naturtöne beim Blasinstrument
Versuch: Flageolett–Töne, Naturtöne
15
Tonhöhenempfindung
Oktave: Frequenzverdopplung;
2 Oktaven: Frequenzvervierfachung
Tonhöhe ~ log (Frequenz)
Intervall
~ log (Frequenz 2/Frequenz 1)
(allg. Weber–Fechnersches Gesetz der logarithmischen Wahrnehmung)
Intervalle addieren → Frequenzverhältnisse multiplizieren
Beispiel: Quinte + Quarte = Oktave
3/2 • 4/3 = 4/2 = 2
große Terz + kleine Terz = Quinte
Aber: Fourier–Analyse
5/4 • 6/5 = 3/2
f0, 2 f0, 3 f0, 4 f0 … Addition der
Grundfrequenz
Ö Widerspruch zur log. Wahrnehmung
Ö Ursache grundlegender Stimmungsprobleme!!
16
Saitenlänge bzw. Rohrlänge l0 und Schwingungsfrequenz f0
sind indirekt proportional
f0 =
Intervalle:
c
l0
c: „Schallgeschwindigkeit“
Verhältnis der Saitenlängen =
1
Verhältnis der Schwingungsfrequenz
l2
l1
f2
f1
Oktave
1/2 : 1
2:1
Quinte
2:3
3:2
Quarte
3:4
4:3
Arithmetische Mittel zweier Größen a und b:
Harmonisches Mittel zweier Größen a und b:
mA =
mH =
a+b
2
1
1/2 (1/a + 1/b)
Dem arithmetischen Mittel zweier Frequenzen entspricht das
harmonische Mittel der Längen und umgekehrt.
17
Das Stimmungssystem der Pythagoreer
Philolaos (ca. 450 v. Chr.)
Harmonie: Frequenzverhältnis soll ein Bruch mit kleinem Zähler und Nenner sein!
Oktave:
Halbierung der Saitenlänge
Quinte:
Harmonisches Mittel der Oktave
l2 =
1
2
=
l1
1(1 + 1 )
3
l /2
2 l
1
Verdopplung der Frequenz
Arithmetisches Mittel der Oktave
f2 =
f1 + 2 f1 3
= f1
2
2
1
Quarte: Arithmetisches Mittel der Oktave
l2 =
Ö
l1 + l1 / 2 3
= l1
2
4
Harmonisches Mittel der Oktave
f2 =
1
4
=
f
1( 1 + 1 ) 3 1
2 f
2f
1
1
18
Aus „Mathematik in den Geisteswissenschaften“ von Knut Radbruch
19
Das Stimmungssystem des Philolaos (ca. 450 v. Chr.)
Quinte:
arithmetisches Mittel der Oktave 3 : 2
Quarte:
harmonisches Mittel der Oktave 4 : 3
Definition: zwischen Quinte und Quarte sei ein Ganzton 9 : 8
C
D
E
F
G
A
1
9
8
81
64
4
3
3
2
27
16
9
8
9
8
256
243
9
8
9
8
c
d
e
c´
243
128 2
9
4
81
32
4
H
9
8
256
243
9
8
9
8
Oktave (2 : 1) = 5 × Ganztöne (9 : 8) + 2 × Halbtöne (256 : 243)
Quinte (3 : 2) = 3 × Ganztöne + 1 Halbton
Quarte (4 : 3) = 2 × Ganztöne + 1 Halbton
20
Eigenschaften:
Pro:
alle Quarten und Quinten stimmen exakt!
Kontra: — zu kleine Halbtöne 256/243,
2
⎛ 256 ⎞ < 9 !
zwei Halbtöne ergeben keinen Ganzton ⎜
⎟
8
⎝ 243 ⎠
2
⎛ 9 ⎞ = 81 ≠ 5 = 80
— die große Terz ist zu groß ⎜ ⎟
64 4 64
⎝8⎠
große Terz wird zur Dissonanz
4 und 5 Oberschwingungen verfehlen sich um Faktor 81/80: Schwebung!
81/80: Syntonisches Komma
Ö Das System des Philolaos widerspricht zum Teil der natürlichen
Harmonie!
Versuch: Quinte, große Terz im Stimmungssystem des Philolaos
21
„Nun Danket Alle Gott“ in C Dur
22
Das Stimmungssystem des Philolaos (ca. 450 v. Chr.)
Quinte:
arithmetisches Mittel der Oktave 3 : 2
Quarte:
harmonisches Mittel der Oktave 4 : 3
Definition: zwischen Quinte und Quarte sei der Ganzton 9 : 8
eis
C Cis D Dis E
F Fis G Gis A Ais H
c
cis d
dis e
2187 9 1968381
1 2048 8 1638464
4 729 3 6561 2759049243
3 512 2 4096 1632768128 2
9
4
81
32
9
8
9
8
256
243
9
8
9
8
9
8
256
243
9
8
9
8
f
177129
65536 = 2,702774
c´
fis
8 729
3 256
8
f=
3
4
= 2,66666..
23
Die Quintenspirale (nach außen)
his 312/219
311/217 eis
c1
g 3/2
F 2/3
310/215
59049
32768
ais
B 16/9
19687
dis
16284
Es 32/27
gis
6561
4096
27
(3 / 2)11
Halbton!
As 128/81
Wolfsquinte
Wolfsquinte:
d 9/8
Des 256/243
Ges 1024/729
cis
2187
2048
=
218
311
Das fundamentale Problem
der pythagoreischen
E 81/64 Stimmung :
12 Quinten = 7 Oktaven
h 243/128
fis 729/512
= 1,47981... =
a 27/16
Pythagoreisches Komma:
729 1024 312
=
= 1,013433...
:
512 729 219
3
− 0,0202
2
24
Das pythagoreische Komma
12 Quinten ergeben mehr als 7 Oktaven
12
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
12 Quinten – 7 Oktaven =
= 129,74634 ...
312
12
2
: 2
7
=
= 128
27
312
19
2
= 1,013423
1,34 % Fehler
Da die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen eindeutig ist, gilt:
3l ╪ 2m ╪ 5n für alle l, m, n, ∈ IN
Quinten, Oktaven und Terzen können nie zusammenkommen!
Ö Annähernde Aufteilung der Oktave in 12 Halbtöne, da für l = 12, m = 19
der Fehler relativ klein ist:
Musikalische Stimmungssysteme erfordern immer faule Kompromisse!
Ö 2500 Jahre Geschichte der „temperierten“ Stimmung
Versuch: Wolfsquinte, Choral in C und As
25
26
Das Stimmungssystem des Archytas (ca. 420 – 350 v. Chr.)
auch nach Didymos (1. vorchr. Jahrhundert) benannt
Quarte und Quinte, Ganztondefinition wie bei Philolaos, aber
große und kleine Terz als arithmetisches und harmonisches Mittel
aus der Quinte
große Terz:
f2 =
kleine Terz:
f2 =
f1 + 23 f1
2
1( 1
2 f1
5
f1
4
=
1
6
=
f1
+ 3 / 12 f ) 5
vereinbar mit Obertonreihe
vereinbar mit Obertonreihe
1
c
d
e
f
g
a
h
c‘
1
9
8
5
4
4
3
3
2
5
3
15
8
2
diatonische oder auch „reine“ Stimmung
27
Das Stimmungssystem des Archytas
wiederentdeckt durch Gioseffo Zarlino (1517-1590)
Pro:
− alle Intervalle sind bezüglich des Kriteriums
„kleine Zähler und Nenner“ so harmonisch wie möglich.
− Dur–Dreiklänge auf der 1., 4., 5. Stufe sind rein (1, 5/4, 3/2)
− Moll–Dreiklänge auf der 3. und 6. Stufe sind rein (1, 6/5, 3/2)
Kontra: − Ganztonintervalle unterschiedlich 3 × 9/8; 2 × 10/9 !Synt. K.!!
2
16 ⎞
9
10
⎛
− zwei Halbtöne ergeben keinen Ganzton ⎜ ⎟ >
>
8
9
⎝ 15 ⎠
− Moll - Dreiklang auf der 2. Stufe ist grob unrein! !Synt. K.!!
( 1, 32 = 1,185 = 1,2 !, 40 = 1,481 = 1,5 )
27
27
Ö auch die „reine“ Stimmung ist problembehaftet
Ö keine Halbtöne vorhanden, kein Tonartwechsel möglich
Ö Subdominante in Moll ist grob unsauber
Versuch: große Terz, Dreiklang, Kadenz, d–moll Akkord
28
29
Die mitteltönige Stimmung
Gioseffo Zarlino (1539), Michael Praetorius (1619)
Ö Verkleinerte, unreine Quinten zugunsten reiner großer Terzen
Fehler der großen Terz beim System des Philolaos:
81/80 „syntonisches Komma“
4 reine Quinten = große Terz mit Fehler + 2 Oktaven
Ö Verminderung der Quinte um ein Viertel des syntonischen Kommas
1/ 4
80
Quinte: qm = 3 / 2 ⋅ ⎜⎛ ⎞⎟
⎝ 81 ⎠
= 1,495388 ...
def
Ö reine große Terzen
< 1,5
Aber: 12 mitteltönige Quinten ergeben wiederum nicht 7 Oktaven
12
⎛ 3 ⎛ 80 ⎞1 / 4 ⎞
⎜ ⋅ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ 2 ⎝ 81 ⎠ ⎟
⎝
⎠
= 125 < 128 = 27
Versuch: Terz, Quinte, Dreiklang
30
Die mitteltönige Quintenspirale (nach innen)
0
c 1 = qm
2
1 / qm
F
g qm
his
eis
2
B
2 / qm
2
d qm / 2
ais
3
2 / qm
Es
9
3
a qm
/2
dis qm / 32
W
fs
ol
i
qu
8
gis qm / 16
nt
e:
e qm / 4 = 5 / 4
4
7
cis qm / 16
6
fis qm / 8
Wolfsquinte
5
h qm
/4
8 / qm3 128
3
=
=
1
,
531237
...
=
+ 0,031237
2
qm8 / 16 q11
m
Versuch: Wolfsquinte, Choral
31
32
33
Subsemitonische Instrumente
Tasteninstrumente mit Unterteilung der Halbtonschritte,
z.B. doppelte schwarze Tasten
Cis
C
Dis
D
Fis
E
F
Italienisches Cembalo mit „gebrochenen Obertasten“
Gis
G
B
A
H
C
Rekonstruktion des „Cembalo universale“
Gebräuchlich ca. 1450 – 1700
(Gottfried Fritzsche: Orgel für die kurfürstliche Schloßkapelle Dresden, 1612)
34
Das Stimmungssystem von Euler (1702 – 1783)
(Tentamen novae theoriae musicae, 1739)
Eindeutige Definition von Halbtönen zum diatonischen System des Archytas:
Jedem Ton wird eine ganze Zahl, bestehend nur aus den Primfaktoren 2, 3, 5,
zugeordnet:
Zi = 2αi • 3βi • 5γi αi, βi, γi, ∈ IN
Ziel: rationale Verhältnisse mit relativ kleinem Zähler und Nenner,
Vermeidung einer Koinzidenz beim 7., 11., 13. usw. Oberton
Des
Es
C
Cis
D
27•3
24•52
24•33
Dis
Ges
E
2•32•52 25•3•5
F
29
Gradus–Funktion einer rationale Zahl
Fis
As
G
Gis
23•33•5 26 • 32 23•3•52
B
A
Ais
H
C
27•5
33•52
24•3•3
26•3
z
⎛ KGV( z, n ) ⎞
: G⎜
⎟
n
z
n
GGT
(
,
)
⎝
⎠
mit G (m) = 1 + 2 (α – 1) + 3 (β – 1) + 5 (γ – 1) mit m = 2α • 3β • 5γ
Versuch: Dreiklänge in verschiedenen Tonarten, Choral
Mathematisch höchst ästhetisch, aber musikalisch furchtbar!
35
„Nun Danket Alle Gott“ in Es Dur
36
Die gleichschwebende Stimmung
(Gioseffo Zarlino: Sopplimenti musicali, 1588)
Zwangsweise, gleichmäßige Schließung des Quintenzirkels
Def.: 12 gleiche Quinten ergeben 7 Oktaven
12 2 7 = 1,4983 = 3 − 0,0017
12
7
q
=
q =2
2
12
( )
q11/64
eis
Halbton:
g q
c
q10/32
q9/32
q /128
his 1
ais
p =
12 2
= 1,0594631
d q2/2
dis
a q3/2
Oktaven math. eine Gruppe!
Ö Mathematisch höchst ästhetisch!
e q4/4
gis
q8/16
h q5/4
cis
Die 12 Halbtöne bilden bzgl.
Multiplikation und Reduktion um
fis q6/8
q7/16
!!Gruppenzwang!!
C
Cis
D
Es
E
F
Fis
G
Gis
A
B
H
C
1
p
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
p10
p11
p12
37
Die gleichschwebende Stimmung
+ Vorteile:
– Fehler (pyth. Komma) geometrisch gleichmäßig verteilt
– keine Wölfe
– gleiche Stimmungsverhältnisse für allen Tonarten
– Nachteile: – kein Intervall (außer Oktave) ist rein (= Deckung von Obertönen)
– alle Frequenz– (bzw. Längen–) verhältnisse sind irrational
– Tonarten verlieren ihre Eigenarten, ihre Charaktereigenschaften
Approximationsprobleme der alten Meister
Definition der Tonhöhe in Cent (Hundertster Teil eines Halbtons)
⎛ f ⎞
⎟ Cent
C = 1200 ⋅ log2 ⎜
⎜f
⎟
⎝ Bezug ⎠
C
Cis
D
Es
E
F
Fis
G
Gis
A
B
H
C
1
p
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
p10
p11
p12
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
38
Versuch:
Vergleich: gleichschwebende, „reine“, Philolaos (Quinten) –
Stimmung
Es gibt unüberschaubar viele weitere Vorschläge für Stimmungssysteme in
der Musikgeschichte, z.B.:
Werckmeister I bis VII
Silbermann I bis V
Kirnberger I und II
Neidhardt I bis III
Malcolm, Huygens, Kepler, Mattheson………….
???Bach???
39
Einige Stimmungssysteme im Vergleich
Differenz zur gleichschwebenden Stimmung
in Cent (Oktave 1200c, Halbton 100 c)
+ 30
15, 6
13, 7
0
Philolaos
11,7
9, 78
7,82
5,87
3, 91
1, 96
0
0
-1,96
-3,91
-5, 87
- 30
10,3
6, 8
mitteltönig
3, 4
0
0
-3, 4
-6, 8
-10, 3
-13, 7
-17, 1
-20, 5
-24
Werckmeister III
Silbermann II
-27,4
0
0
-2
-10
-8
Archytas
-4
-8
-10
-12
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
-10
-12
-16
0
0
0
0
-2
-4
-8
-6
-10
-5
- 10
- 10
3, 9
2
0
1
0
-2
-13
-14
Euler
-8
-12
6
0
-14
„Bach“
-4
-6
3, 9
2
1
0
0
-2
- 10
- 13
- 14
- 13
- 17
- 25
- 29
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
h
b
c
40
Approximation der gleichschwebenden Stimmung
– Vincenzo Galilei (ca. 1520 – 1591), Schüler von Zarlino, Vater von Galileo Galilei
Halbton 18/17 = 1,05882; zu
12 2
nur 0,06 % Fehler !
(18/17)12 = 1,98556
Problem: Die Oktave wird deutlich verfehlt
– Die Laute des Daniel Strähle (1743)
24 Teile
408 + 14 x
f
=
f0
408 − 10 x
x ∈ { 0, 1, ... 12 }
7
12
x
Fehler (in Cent) zur gleichschwebenden Stimmung
C
Cis
0
+1,37
D
Es
+1,93 +1,85
E
F
+1,30 +0,46
Fis
G
Gis
A
B
H
C
-0,51
-1,46
-2,22
-2,62
-2,51
-1,69
0
41
Das iterative Verfahren des Christoph Gottlieb Schröter (1754)
(Mitglied der „Societät der Musicalischen Wissenschaften“,
gemeinsam mit Händel, Telemann, Bach usw.)
1
1
1
1
1
+
12 → 13
14
15
16
+
210 → 222 235 249 264
1 1,047 1,119 usw.
Reihe
p
1
p2
1
17
280
1
18
297
1
19
315
1
20
334
1
21
354
1
22
375
1
23 ( 24 )
397 ( 420 )
p3…mit p = 12 2 nach wenigen Iterationen sehr gut angenähert!
Fehler in Cent
1. Iteration
39 67 86 98 103 101 96 84 68
− 3,8 − 5,2 − 5,1 − 3,8 − 1,96 0,09 1,96 3,35 4,0
49
3,8
26
2,5
0
0
...
0
2. Iteration 0
0
0,03 0,06 0,07 0,07 0,06 0,03 0,0065−0,02 −0,04 −0,04 −0,03
...
4. Iteration
6. Iteration
| • | < 0,001 Cent
42
Das iterative Verfahren des Christoph Gottlieb Schröter (1754)
(Mitglied der „Societät der Musikalischen Wissenschaften“,
gemeinsam mit Händel, Telemann, Bach usw.)
r
r
r
r
ir
T
Mathematischer Hintergrund: xi = A xi −1 oder xi = A x0 mit x0 = ( 1, 1, 1, ...)
⎛1
⎜
⎜2
A=⎜2
⎜
⎜2
⎜
⎝M
1
1
2
2
M
1
1
1
2
M
1
1
1
1
M
1
1
1
1
M
1
1
1
1
M
1
1
1
1
M
1
1
1
1
M
L⎞
⎟
L⎟
L⎟
⎟
L⎟
O ⎟⎠
Dominierender Eigenwert λ max = 1 +
Mit Eigenvektor
r
e1 = c ⋅ ( p 0 , p1, p 2 , ... p n −1 )T
n
2
p=n2
43
Wie stimmte Bach sein Klavier
(Clavichord)
in weniger als 15 min ??
Leider nicht überliefert.
(Kontroverse der Bach–Schüler
Kirnberger und Marpurg)
44
Girlande auf dem Titelblatt zu Bachs Wohltemperierten Klavier,
Teil 1, von 1722
Bei der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1999 stellte
Andreas Sparschuh die (gewagte) These auf:
45
Girlande auf dem Titelblatt zu Bachs Wohltemperierten Klavier,
Teil 1, von 1722
46
Isenheimer Altar
Matthias Grünwald
(Mathis Gothart Nithardt )
Engelskonzert
47
Bildquellen:
Archytas:
http://it.wikipedia.org/wiki/Immagine:Architabr.JPG
Gioseffo Zarlino:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino
Italienisches Cembalo mit „gebrochenen Obertasten“
http://de.wikipedia.org/wiki/Mitteltönige_Stimmung, Urheber: Alexander Kerschhofer
Rekonstruktion des „Cembalo universale“:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mitteltönige_Stimmung, Urheber: Wikiwal
Die Laute des Daniel Strähle:
Aus G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues: Mathematik und Musik, Seite 58, Fig. 3.3
Girlande auf dem Titelblatt zu Bachs wohltemperierten Klavier:
http://delphi.zsg-rottenburg.de/muslekt8.html
Titelblatt zu Bachs wohltemperierten Klavier:
http://sites.google.com/site/bachtuning/
Isenheimer Altar:
http://www.meisterwerke-online.de/gemaelde/mathis-gothart-gruenewald/2357/
isenheimer-altar-zweite-schauseite-mittelbild.html
48
Literaturverzeichnis
G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues: Mathematik und Musik – A Diderot Mathematical Forum;
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002;
Mark Lindley: Stimmung und Temperatur;
Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie; Bd. 6, 1987, S. 109-332,
Darmstadt 1987 S. 109-332;
Knut Radbruch: Mathematik in den Geisteswissenschaften;
Vandenhoeck u. Ruprecht, Göttingen, 1989, (Kleine Vandenhoeck-Reihe: 1540);
Ambros P. Speiser: Musikalische Akustik;
VCH Verlagsgesellschaft mbH, Weinheim; Physik in unserer Zeit, 20. Jahrgang 1989, Nr. 5, S.138-143;
E. Zwicker, R. Feldtkeller: Das Ohr als Nachrichtenempfänger;
S. Hirzel Verlag Stuttgart 1967, 2. Auflage
49
Vielen herzlichen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!
Herzlichen Dank an Frau Susi Koschny für die
Unterstützung bei der Erstellung der Präsentation!
50

Wohltemperiert in guter Stimmung - Plauderei zu Mathematik und

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