Der Satz von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras
Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner
Technische Universität München
17. Oktober 2013
W. Kinzner (TUM)
Der Satz von Pythagoras
17. Oktober 2013
1/9
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches zu Pythagoras
2
Der Satz von Pythagoras
3
Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Geometrischer Beweis
4
Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
W. Kinzner (TUM)
Der Satz von Pythagoras
17. Oktober 2013
2/9
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches zu Pythagoras
2
Der Satz von Pythagoras
3
Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Geometrischer Beweis
4
Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
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1
Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches zu Pythagoras
2
Der Satz von Pythagoras
3
Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Geometrischer Beweis
4
Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches zu Pythagoras
2
Der Satz von Pythagoras
3
Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Geometrischer Beweis
4
Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
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2/9
Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches
Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit
pythagoreischen Zahlentripeln
Das sind Tripel der Form
a2 + b 2 = c 2
In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von
Pythagoras benutzt
Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden
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Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches
Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit
pythagoreischen Zahlentripeln
Das sind Tripel der Form
a2 + b 2 = c 2
In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von
Pythagoras benutzt
Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden
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Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches
Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit
pythagoreischen Zahlentripeln
Das sind Tripel der Form
a2 + b 2 = c 2
In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von
Pythagoras benutzt
Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden
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Einleitung
Historische Entwicklung
Historisches
Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit
pythagoreischen Zahlentripeln
Das sind Tripel der Form
a2 + b 2 = c 2
In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von
Pythagoras benutzt
Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden
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3/9
Einleitung
Historisches zu Pythagoras
Historisches zu Pythagoras von Samos
* um 570 v. Chr. auf Samos;
„ nach 510 v. Chr. in Metapont
griechischer Philosoph,
Mathematiker und
Naturwissenschaftler
gründete die Schule der Pythagoreer
gehört zu den rätselhaftesten
Persönlichkeiten der Antike
gilt als erster, der den nach ihm
benannten Satz bewies (ist
allerdings umstritten!)
W. Kinzner (TUM)
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4/9
Einleitung
Historisches zu Pythagoras
Historisches zu Pythagoras von Samos
* um 570 v. Chr. auf Samos;
„ nach 510 v. Chr. in Metapont
griechischer Philosoph,
Mathematiker und
Naturwissenschaftler
gründete die Schule der Pythagoreer
gehört zu den rätselhaftesten
Persönlichkeiten der Antike
gilt als erster, der den nach ihm
benannten Satz bewies (ist
allerdings umstritten!)
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Einleitung
Historisches zu Pythagoras
Historisches zu Pythagoras von Samos
* um 570 v. Chr. auf Samos;
„ nach 510 v. Chr. in Metapont
griechischer Philosoph,
Mathematiker und
Naturwissenschaftler
gründete die Schule der Pythagoreer
gehört zu den rätselhaftesten
Persönlichkeiten der Antike
gilt als erster, der den nach ihm
benannten Satz bewies (ist
allerdings umstritten!)
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Einleitung
Historisches zu Pythagoras
Historisches zu Pythagoras von Samos
* um 570 v. Chr. auf Samos;
„ nach 510 v. Chr. in Metapont
griechischer Philosoph,
Mathematiker und
Naturwissenschaftler
gründete die Schule der Pythagoreer
gehört zu den rätselhaftesten
Persönlichkeiten der Antike
gilt als erster, der den nach ihm
benannten Satz bewies (ist
allerdings umstritten!)
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Einleitung
Historisches zu Pythagoras
Historisches zu Pythagoras von Samos
* um 570 v. Chr. auf Samos;
„ nach 510 v. Chr. in Metapont
griechischer Philosoph,
Mathematiker und
Naturwissenschaftler
gründete die Schule der Pythagoreer
gehört zu den rätselhaftesten
Persönlichkeiten der Antike
gilt als erster, der den nach ihm
benannten Satz bewies (ist
allerdings umstritten!)
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Einleitung
Historisches zu Pythagoras
Historisches zu Pythagoras von Samos
* um 570 v. Chr. auf Samos;
„ nach 510 v. Chr. in Metapont
griechischer Philosoph,
Mathematiker und
Naturwissenschaftler
gründete die Schule der Pythagoreer
gehört zu den rätselhaftesten
Persönlichkeiten der Antike
gilt als erster, der den nach ihm
benannten Satz bewies (ist
allerdings umstritten!)
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Der Satz von Pythagoras
Der Satz von Pythagoras
Satz (Pythagoras)
Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die Längen der Katheten,
und c die Länge der Hypotenuse, so gilt
a2 + b 2 = c 2 .
Bemerkung
In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die
Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Geometrische Veranschaulichung
W. Kinzner (TUM)
Der Satz von Pythagoras
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Der Satz von Pythagoras
Der Satz von Pythagoras
Satz (Pythagoras)
Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die Längen der Katheten,
und c die Länge der Hypotenuse, so gilt
a2 + b 2 = c 2 .
Bemerkung
In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die
Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Geometrische Veranschaulichung
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Der Satz von Pythagoras
Der Satz von Pythagoras
Satz (Pythagoras)
Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die Längen der Katheten,
und c die Länge der Hypotenuse, so gilt
a2 + b 2 = c 2 .
Bemerkung
In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die
Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Geometrische Veranschaulichung
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Vorbemerkungen zum Beweis
Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz
mehr als 400 verschieden Beweise bekannt
darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales
von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer
und James A. Garfield.
alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz,
Ähnlichkeit, Scherung etc.)
Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in
Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht.
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Vorbemerkungen zum Beweis
Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz
mehr als 400 verschieden Beweise bekannt
darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales
von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer
und James A. Garfield.
alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz,
Ähnlichkeit, Scherung etc.)
Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in
Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht.
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Vorbemerkungen zum Beweis
Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz
mehr als 400 verschieden Beweise bekannt
darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales
von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer
und James A. Garfield.
alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz,
Ähnlichkeit, Scherung etc.)
Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in
Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht.
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Vorbemerkungen zum Beweis
Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz
mehr als 400 verschieden Beweise bekannt
darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales
von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer
und James A. Garfield.
alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz,
Ähnlichkeit, Scherung etc.)
Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in
Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht.
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Vorbemerkungen
Vorbemerkungen zum Beweis
Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz
mehr als 400 verschieden Beweise bekannt
darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales
von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer
und James A. Garfield.
alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz,
Ähnlichkeit, Scherung etc.)
Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in
Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht.
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Geometrischer Beweis
Geometrischer Beweis durch Ergänzung (1)
Beweis
In ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b werden vier gleiche (kongruente)
rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, b und c (Hypotenuse) eingelegt.
Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie es in den folgenden beiden
Zeichnungen dargestellt ist.
a2 b a
b2
BB
B
B
2
B
c
B
b
B
B
BB
a
Abbildung : Beide Quadrete besitzen die Seitenlängen a + b
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Geometrischer Beweis
Geometrischer Beweis durch Ergänzung (2)
Beweis (Forsetzung)
Das linke besteht aus den vier
rechtwinkligen Dreiecken und einem
Quadrat mit Seitenlänge c.
a2 Das rechte aus den gleichen
Dreiecken sowie einem Quadrat mit
Seitenlänge a und einem mit
Seitenlänge b.
BB
B
B
2
B
c
B
b
B
B
BB
b b2
a
a
Die Fläche c 2 entspricht also der Summe der Fläche a2 und der Fläche b 2 ,
also
a2 + b 2 = c 2 .
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Geometrischer Beweis
Geometrischer Beweis durch Ergänzung (2)
Beweis (Forsetzung)
Das linke besteht aus den vier
rechtwinkligen Dreiecken und einem
Quadrat mit Seitenlänge c.
a2 Das rechte aus den gleichen
Dreiecken sowie einem Quadrat mit
Seitenlänge a und einem mit
Seitenlänge b.
BB
B
B
2
B
c
B
b
B
B
BB
b b2
a
a
Die Fläche c 2 entspricht also der Summe der Fläche a2 und der Fläche b 2 ,
also
a2 + b 2 = c 2 .
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Beweis des Satzes von Pythagoras
Geometrischer Beweis
Geometrischer Beweis durch Ergänzung (2)
Beweis (Forsetzung)
Das linke besteht aus den vier
rechtwinkligen Dreiecken und einem
Quadrat mit Seitenlänge c.
a2 Das rechte aus den gleichen
Dreiecken sowie einem Quadrat mit
Seitenlänge a und einem mit
Seitenlänge b.
BB
B
B
2
B
c
B
b
B
B
BB
b b2
a
a
Die Fläche c 2 entspricht also der Summe der Fläche a2 und der Fläche b 2 ,
also
a2 + b 2 = c 2 .
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Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
Ergänzungen zum Satz von Pythagoras
Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:
Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den
Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig,
wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt.
Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar:
Für ein beliebiges Dreieck mit
den Seiten a, b, c und den
jeweils gegenüberliegenden
Winkeln α, β, γ gilt:
c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ).
Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem
Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.
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Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
Ergänzungen zum Satz von Pythagoras
Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:
Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den
Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig,
wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt.
Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar:
Für ein beliebiges Dreieck mit
den Seiten a, b, c und den
jeweils gegenüberliegenden
Winkeln α, β, γ gilt:
c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ).
Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem
Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.
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Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
Ergänzungen zum Satz von Pythagoras
Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:
Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den
Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig,
wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt.
Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar:
Für ein beliebiges Dreieck mit
den Seiten a, b, c und den
jeweils gegenüberliegenden
Winkeln α, β, γ gilt:
c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ).
Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem
Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.
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Ergänzungen
Umkehrung und Kosinussatz
Ergänzungen zum Satz von Pythagoras
Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:
Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den
Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig,
wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt.
Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar:
Für ein beliebiges Dreieck mit
den Seiten a, b, c und den
jeweils gegenüberliegenden
Winkeln α, β, γ gilt:
c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ).
Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem
Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.
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