Satzgruppe des Pythagoras - Hu
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Satzgruppe des Pythagoras - Hu
Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Dr. I. Lehmann: Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Cornelia Schulz 16.12.2008 Satzgruppe des Pythagoras 1. Satz des Pythagoras 2. Kathetensatz 3. Höhensatz 4. Umkehrungen 5. Satz des Thales 6. Pythagoreische Tripel 7. Vermischte Aufgaben 0. Einführung Rahmenlehrplanbezug: Jahrgangsstufe 7/8: Satz des Thales Jahrgangsstufe 9/10: Satzgruppe des Pythagoras Eine Alltagsanwendung „Ihr wollt zum Beispiel ein Badminton-Netz aufstellen. Weil das Netz ja gespannt wird, müssen die Pfosten, die das Netz halten, durch Fäden gestützt werden. Auf einem Beilagezettel von dem BadmintonNetz steht, damit die Fäden durch die große Kraft der Spannung nicht reißen, müssen sie mindestens 2 Meter von dem Pfosten entfernt in den Boden gesteckt werden. Du willst nun also los und solche Fäden kaufen. Damit du nun aber nicht zu kurze Fäden kaufst, könntest du dir mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras die Mindestlänge der Fäden ausrechnen. Die Pfosten selbst sind 1,3 Meter hoch. Also rechnen wir die Mindestlänge mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus: (Mindestlänge des Fadens)² = (Höhe des Pfostens)² + (Mindestabstand)² Ergebnis wäre also: Die Fäden müssten mindestens 2,4 Meter lang sein. Dies wäre ein sehr triviales Beispiel, aber es ist auch auf andere Bereiche übertragbar. Bei einem Badminton-Netz ist es nicht so ausschlaggebend, ob das Seil nun etwas zu kurz ist oder nicht, es kann sein, dass es auch hält, wenn es etwas zu kurz ist. Aber man stelle sich vor, ein Brückenpfeiler soll durch Stahlseile gestützt werden, da kann ein kleiner Rechenfehler tödlich enden. Siehst du, Mathematik kann sogar Leben retten, wer hätte das gedacht ;)“ 1.Satz des Pythagoras Satz: In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel bei C gilt: a2 + b2 = c2. A F c h B a b C Beweis: Es gibt viele Möglichkeiten, z. B.: Anwendung des Kosinussatzes (mit γ = 90°) oder aber den grafischen Beweis. Aufgabe: Stelle einen geometrischen Beweis des Satzes von Pythagoras mit GSP dar. Beispiellösung: b c b a c a b a c a b b c 2. Kathetensatz des Euklid Satz: In einem rechtwinkligen Dreieck (A,B,C) mit γ=90° gilt: a2 = |BF|c, bzw. b² = |AF|c. Die Quadratfläche über einer Kathete ist flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus dem Hypotenusenabschnitt an dieser Kathete und der Hypotenuse selbst. A F c h B a b C Beweis: Satz des Pythagoras anwenden (rechnerisch). Aufgabe: Konstruiere eine Zeichnung, die die Aussage des Kathetensatzes verdeutlicht. Beispiellösung: F c B A b a C 3. Höhensatz des Euklid Satz: In einem rechtwinkligen Dreieck (A,B,C) mit γ=90° gilt: h² = |AF| |BF| Das Quadrat aus der Höhe ist flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. A F c h B a b C Beweis: Anwendung des Satzes von Pythagoras oder des Kathetensatzes. Aufgabe: Konstruiere eine Zeichnung, die die Aussage des Höhensatzes verdeutlicht. Beispiellösung: 4. Umkehrungen Gelten die folgenden Umkehrungen? Pythagoras: Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c a2 b2 c2 gilt, dann handelt es sich um rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Kathetensatz: Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Hypotenusenabschnitten |BF| und |AF| a2 BFc und b2 AFc gilt, dann handelt es sich um rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Höhensatz: Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, den Hypotenusenabschnitten p und q sowie der Höhe h auf der Seite c h2 pq gilt, dann handelt es sich um rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Aufgabe: Untersuche die Umkehrungen der Sätze auf ihre Gültigkeit. (Nutze GSP!) „Vorgehensweise“ mACB = 117,84 a = 5,10 cm aa = 25,98 cm2 FE = 9,06 cm FB = 4,31 cm FBFE = 39,01 cm2 a C a B b A c F E γ= 117,84° a² = 25,96 cm² |FB|·|FE| = 39,01 cm² - mit Flächeninhaltsannäherung, nähert sich γ auch 90° an - Flächeninhalte erst gleich, wenn γ=90° mACB = 90,02 a = 2,72 cm aa = 7,37 cm 2 FE = 6,19 cm FB = 1,19 cm FBFE = 7,38 cm 2 C a b A B c F E a 5. Satz des Thales Satz: Ist der Durchmesser eines Kreises gleich der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, so liegt der Eckpunkt mit dem rechten Winkel auf dem Kreisbogen. oder auch: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck. Aufgabe: Konstruiere, das rechtwinklige Dreieck mitsamt seinen Katheten- und Hypotenusenquadraten so, dass man die Ecke mit dem rechten Winkel auf dem Thaleskreis herumziehen kann. (Lasse die Flächen berechnen.) Beispielkonstruktion: C a b c A B 6. Pythagoreische Tripel Definition: Ein Tripel (a, b, c) natürlicher Zahlen heißt pythagoreisches Tripel, falls a2 + b2 = c2 gilt. Offenkundig ist mit (a, b, c) auch jedes Tripel der Form (ka, kb, kc) mit k є N ein Pythagoras-Tripel. Wir nennen (a, b, c) ein primitives pythagoreisches Tripel, falls die Zahlen a, b, c keinen gemeinsamen Teiler ungleich 1 haben. Es ist nicht schwer Pythagoras-Tripel anzugeben. In der Tat, sind u < v zwei natürliche, teilerfremde Zahlen, und sind nicht beide dieser Zahlen ungerade, so wird a:= v2 – u2 ,b:= 2uv, c:= v2 +u2 ein primitives Pythagoras-Tripel. u v x y Z 2 1 3 4 5 4 1 15 8 17 3 2 5 12 13 6 1 35 12 37 5 2 21 20 29 7. Vermischte Aufgaben: 1. Aufgabe zum Pythagoreischen Tripel Aufgabe: Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen aus einem der angegebenen pythagoreischen Tripel. 2. Möndchen des Hippokrates Gilt der Satz des Pythagoras nur für quadratische Flächen über den Seiten? Aufgabe: Setze an die Dreiecksseiten eines rechtwinkligen Dreiecks Halbkreise an. Addiere die Flächen über den Katheten und lasse die Halbkreisfläche über der Hypotenuse berechnen. (Wiederhole die Aufgabe mit gleichseitigen Dreiecken anstelle der Halbkreise.) Welche Bedingung muss erfüllt sein? --> Ähnlichkeit der Figuren über den Dreiecksseiten Zu den Möndchen des Hippokrates Aufgabe: Zeichne in die Variante mit den Halbkreisen denjenigen über der Hypotenuse vollständig ein. Addiere die Flächen der entstandenen Möndchen und vergleiche sie mit der Dreiecksfläche. 3. Pythagoras am Kreis i) In einem Kreis k(M, r) ist eine Sehne |AB| der Länge 10cm gegeben. |MF| sei die Lotstrecke vom Kreismittelpunkt M auf die Sehne |AB|. Die Verlängerung dieser Lotstrecke treffe die Kreislinie im Punkt Q. Es sei |FQ| = 2 cm. Bestimme anhand einer Konstruktion in GSP den Kreisradius (lasse ihn messen). ii) Eine Kugel vom Durchmesser d = 1,0 m rollt auf ein Loch vom Durchmesser l = 70cm zu. Wie tief sackt die Kugel in das Loch ein? (Nutze GSP!) 4. Flächenumwandlungen i) Verwandle ein Quadrat der Seitenlänge 7,5 cm in ein inhaltsgleiches Rechteck, dessen eine Seite 5,5 cm lang ist. ii) Verwandle das Rechteck ABCD mit den Seitenlängen 6 cm und 3 cm mit Hilfe des Kathetensatzes in ein flächengleiches Quadrat. iii) Verwandle das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 4 cm unter Verwendung des Höhenensatzes in ein flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite 6 cm lang ist. 5. Bonusaufgabe Ein Satellit S befindet sich in der Höhe h = 230 km über der Erdoberfläche. Die Erdkugel vom Radius R = 6370 km erscheint von S aus betrachtet als eine Kreisscheibe. Entwerfe eine Skizze und bestimme dann den Radius r dieser Kreisscheibe! Skizzen-Ansatz: 8. Literatur und Quellen: - www.btmdx1.mat.unibayreuth.de/smart/wp/index.php (Zugriff am 7.12.2008) - www.sunsite.univie.ac.at/Projects/kaufmann/#4.1 (Zugriff am 7.12.2008) - www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/history/pythagoras/site1.html (Zugriff am 9.12.2008) - Elementargeometrie, Agricola & Friedrich, ViewegVerlag, 2005, Wiesbaden - Mathematik, compact-Verlag, 2007, München - Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I, Berlin - www.mathe-trainer.de/Klasse9/Pythagoras/ Block4/Aufgaben.htm (Zugriff am 9.12.2008) - http://www.lebendigemathematik.net/Klasse4/Streifl4/LM4_F28.pdf (Zugriff am 11.12.2008)