Satz des Thales – Wikipedia

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Satz des Thales
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Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall des Umfangswinkelsatzes. Der erste
Beweis wird dem antiken griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. In
empirischer Form war der Satz bereits den Ägyptern und den Babyloniern bekannt.
Inhaltsverzeichnis
1
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Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung
Beweise
Verallgemeinerung
Anwendungen
Literatur
Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung
Kurzformulierung: Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte
Winkel.
Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden
Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und
einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein
rechtwinkliges Dreieck.
Oder: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis
über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C immer einen
rechten Winkel.
Halbkreis mit rechtwinkligen
Dreiecken
Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks
liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der (längsten) Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel
gegenüber liegt.
Beweise
Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales bewiesene Sätze benötigt:
1. Die beiden Winkel an der Grundseite (Basiswinkel) eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß.
2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
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ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit [AB] als
Kreisdurchmesser und dem Radius r. Dann ist der Mittelpunkt M der
,
Strecke [AB] auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen
und
sind also gleich dem Radius r.
Die Strecke [CM] teilt das Dreieck ABC in zwei Dreiecke AMC und
BCM auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke,
also die Winkel an der Grundseite [AC] bzw. [BC], sind daher
jeweils gleich (α und β in der Abbildung).
Halbkreis mit Dreieck und
Mittelpunkt M
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
Dividiert man diese Gleichung durch 2, so ergibt sich
.
Damit ist gezeigt, dass der Winkel α + β mit Scheitel C ein rechter Winkel ist.
Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich zurückführen auf die Aussage, dass die Diagonalen
eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.
Beweis der Umkehrung:
Die Umkehrung ergibt sich einfach daraus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Umkreismittelpunkt auf
der Hypotenuse liegt. Nach dem Satz über die Mittelsenkrechte im Dreieck schneiden sich die
Mittelsenkrechten eines Dreiecks im Mittelpunkt des Umkreises. Man zeigt, dass dieser Mittelpunkt die
Hypotenuse halbiert. Sei E der Mittelpunkt der Seite BC. Die Mittelsenkrechte durch E schneide AB im
Punkt D. Zu zeigen ist, dass D die Seite AB halbiert, und damit Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist. Da
<BED ein rechter Winkel ist, können wir die Strahlensätze anwenden.
Es gilt | BD | : | BA | = | BE | : | BC | = 1 : 2, womit D die Seite AB halbiert.
Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv.
Verallgemeinerung
Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes (Umfangswinkelsatzes).
Allgemein lässt sich sagen: Im Halbkreis ist jeder Peripheriewinkel ein rechter Winkel.
Anwendungen
Eine wichtige Anwendung des Thaleskreises ist die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k
durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt P:
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Da die obere durch P verlaufende Tangente den
Kreis k genau im Punkt T berührt, muss das Dreieck
OPT einen rechten Winkel im Punkt T haben, oder
anders formuliert: Die Strecke [OT] muss senkrecht
auf der Geraden TP stehen.
Die beiden Punkte O und P sind gegeben. Vom
Punkt T wissen wir nur, dass er irgendwo auf der
Kreislinie k liegen muss. Würde man nur diese
Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich
viele Dreiecke OPT einzeichnen.
Um ein Dreieck OPT zu finden, das auch
Konstruktion der Kreistangenten
rechtwinklig ist, ermitteln wir durch Schnitt mit der
Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) den
Mittelpunkt H der Strecke [OP], zeichnen einen Halbkreis (mit Mittelpunkt H) über der Strecke [OP] und
machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite [OP], deren dritter
Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck OPT.
Der Berührpunkt T kann deshalb nur am Schnittpunkt des Kreises k mit dem hellgrauen Thaleskreis liegen.
Durch Verbinden von P und T erhält man nun die gesuchte Tangente (in der Zeichnung rot).
Es existiert eine zweite, symmetrische Lösung in der unteren Hälfte des Kreises. Die Tangente T'P (ebenfalls
rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt T'.
Eine weitere Anwendung ist die Quadratur des Rechtecks.
Literatur
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN
978-3-540-49327-3.
H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.41
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