Binomialverteilung mit dem TI 84 - Johannes-Kepler

%LQRPLDOYHUWHLOXQJPLWGHP7,
Die folgende Darstellung soll erläutern, wie man den TI84+ zum Berechnen einzelner Werte einer
Binomialverteilung und zur graphischen Darstellung ganzer Verteilungen in verschiedenen brauchbaren Formen nutzen kann.
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkiet von k Treffern bei einem n-stufigen Zufallsversuch mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
P(Tk) = P(X = k) =
 Q  k n-k
  Âp Âq =
N 
Q k
  Âp Â(1 – p)n-k
N 
In unserem als Modell verwendeten Galtonbrett ist das die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel
nach n Stufen im Kasten k (k=0, ... , n) landet, wenn die Wahrscheinlichkeit nach rechts abgelenkt zu
werden, in jeder Stufe den Wert p hat.
$QPHUNXQJ,QGHQIROJHQGHQ(UOlXWHUXQJHQZHUGHQGLHHQJOLVFKVSUDFKLJHQ0HQVGHV7,YHUZHQ
GHWGDVLHJXWHUOlXWHUWYLHOHLQIDFKHU]XYHUVWHKHQVLQGDOVGLHGHXWVFKVSUDFKLJHQ
3UREOHP*HVXFKWLVWGHU:HUWYRQ37NZHQQQNSJHJHEHQVLQG
Im TI84 ist die Binomialverteilung als Funktion fest programmiert. Die Syntax (=Schreibweise) ist
ELQRPSGIQS>N@
Wie ist das zu verstehen? Zur Berechnung müssen die tatsächlichen Werte in der angegebenen Form
in der Anzeige des TI84 stehen. Die eckigen Klammern bedeuten, dass der Wert k auch fehlen darf!
Man muss wissen (=lernen), dass
alle Verteilungen im Menü ',675
zu finden sind!
(',675ibution = Verteilung)
Die Abbildungen zeigen die Vorge- Tastenfolge [2nd]
hensweise hier für die
[DISTR]
Werte n=10, p=0.5, und k=5
Cursor runter bis
ELQRPSGI
Achtung: man darf das Komma
zwischen den Werten nicht vergessen und muss auf die abschließende Klammer achten.
[ENTER]
LVWDOVRGLH
:DKUVFKHLQOLFKNHLW
GDIUGDVVLP
VWXILJHQ*DOWRQEUHWW
HLQH.XJHOLP.DV
WHQPLWGHU1XPPHU
ODQGHW
Werte für n, p und k [ENTER] und das
eingeben
Ergebnis erscheint
An dieser Stelle sei daran erinnert, dass frau/man nicht den ganzen Vorgang wiederholen muss, wenn
man die letzte Eingabe mit anderen Werten ausführen lassen will. Es hilft die Tastenkombination [2nd]
[ENTRY] (entry = Eingabe), die die letzte Zeile erneut auf den Bildschirm ruft. Dann kann mann mit
Hilfe der Cursortasten und mit [2nd] [INS] (insert = einfügen) die Werte zwischen den Kommas ändern
und mit [ENTER] (enter = eingeben; enter [key] = Eingabetaste) eine neue Berechnung durchführen
3UREOHP:LUZROOHQGLH:HUWHIUDOOHNYRQELVQEHUHFKQHQ
Das Problem ist schnell gelöst,
weil man nur den Parameter k in
binompdf(n,p[,k]) weglassen muss.
Es erscheint eine Liste von Werten, die von {...} umgeben ist und ... nur n und p ...
[ENTER]
mit den Cursortasten durchlaufen .ODPPHU]X
werden kann.
Cursor nach rechts,
es werden weitere
Werte sichtbar
Bleibt zu erklären, wie die Abkürzung binompdf() zu verstehen ist? Ein Blick in die englischsprachige Fachliteratur schafft Klarheit: ELQRPial Srobability Gistribution Iunction
... und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im 10-stufigen
Versuch eine Kugel im „Kasten“ 5
oder 6 landet?
Beachte: DFKMDGDVZDU
GLH3IDGUHJHO
Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren – JG12 – 2005/06 - MERS
3UREOHP:LUZROOHQHLQH%LQRPLDOYHUWHLOXQJJUDILVFKGDUVWHOOHQ
Um dieses Problem zu lösen muss man sich ein paar Dinge in das Gedächtnis zurückrufen, die schon
einmal gelernt wurden, als Funktionen grafisch darzustellen waren:
[GRAPH] erzeugt eine grafische Darstellung
[WINDOW] legt die Achsen und dargestellten Koordinatenbereiche fest
[TRACE] erlaubt das Anzeigen einzelner Werte
[Y=] erlaubt die Eingabe von Funktionen und legt fest, welche davon grafisch dargestellt werden
Bisher wurde mit [Y=] die Funktion festgelegt, mit [WINDOW] der darzustellende Bereich des Koordinatensystem und mit [GRAPH] die Anzeige erzeugt. Bei Binomialverteilungen sind die x-Werte aber
ganze Zahlen, weshalb die Darstellung geringfügig anderen Regeln gehorcht.
1. Die x-Werte sind k=0, ... ,n
2. Die y-Werte sind binompdf(n,p,k) für k=0, ... ,n
Also die darzustellenden Werte sind kein „klassischer“ Funktionsgraf, sondern eine endliche Menge
von Wertepaaren (Punkten), die als Histogramm (Balkendiagramm) oder als Punkte im Koordinatensystem darzustellen sind. Einzelwerte dieser Art werden vom TI84 in Statistik-Listen verwaltet, die
man über die Menüs STAT (STATistics, STAT = Statistik) und LIST (LIST = Liste) erreicht.
Listen ansehen und bearbeiten
Es gibt 6 Listen (L1 bis L6), in die
man Zahlen beliebig eintragen
kann.
Cursortasten, [DEL], [INS]
[STAT]
[ENTER]
Ausprobieren:
- Wert einfügen
- Wert löschen
- Liste löschen
(STAT EDIT = Statistik bearbeiten)
Die zugehörigen
Einstellungen im
[WINDOW]-Fenster
für n=10 und p=0.5
sind:
Unser Ziel ist die nebenstehende
grafische Darstellung:
Auf der x-Achse werden für die
Werte k=0, ... , n jeweils ein Balken in der Höhe der Wahrscheinlichkeit gezeichnet (= „y-Wert“)
[ENTER]
in die Klammer von
seq() gehört das
Bildungsgesetz der
Folge. Syntax:
seq(Variable, Term,
Anfangswert, Endwert)
[STO>] [2nd] [LIST]
[ENTER] [ENTER]
[2nd] [DISTR] ...
… (siehe oben)
[STO>] [2nd] [LIST]
L2 [ENTER] [ENTER]
[2nd] [STAT PLOT]
[ENTER]
Einstellungen !!!
[GRAPH]
Schritt 1: Die „x-Werte“ in
Liste L1 speichern:
Für n=10 sind das die Werte
0, 1, 2, 3, ... , 10
[OPS] = Operations
seq( = sequence = Folge
[2nd][LIST] [OPS] seq(
Am Ende der Operation kann
man sich mit [STAT] [EDIT]
davon überzeugen, dass die
Werte 0 bis 10 in L1 stehen.
Genau so bringen wir die Werte der Binomialverteilung in
Liste L2.
$P(QGHPLW>67$7@>(',7@
EHUSUIHQGDVVGLH:DKU
VFKHLQOLFKNHLWHQLQ/VWHKHQ.
.Umstellen der Grafikanzeige
auf Histogramm
Einstellungen:
Xlist: [2nd] [LIST] L1
Freq: [2nd] [LIST] L2
()UHT=frequency=Häufigkeit)
Den „Grafen“ zeichnen lassen
Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren – JG12 – 2005/06 - MERS