Gerhard König: Bibliographische Rundschau

40
41
sowie auf
zahlreiche
Bibliographische Rundschau
graue
In
diesem
Heft
letzten
bringen
wir
eine
Monaten
des
Jahres
Zeitschriftenaufsätze
zum
Thema
alphabetisch nach
bungen
sollen
den Autoren
dem
Leser
Auswahlhibliographie
1982
erschienenen
Stochastik.
angeordnet.
ein
Urteil
Die
Kurze
der
BUchel'
Reiträge
in
und
hingewiesen.
Li teraturstellen
Stichworten
den
Literatur
beschreibende
zum
Thema
Statistik,
Dabei
wird
Stochastik
Markow-Ketten,
Statistik, wahrscheinlichkeitstheoretische
Wahrscheinlichkeitstheorie hingewiesen.
auch
auf
unter
den
schlieqende
Grundbegriffe,
weitere
sind
Inhal tsbeschrei-
ermöglichen,
ob
die
von
KÜTTING, H.: Zur Behandlung unabhängiger Ereignisse im Stochastikunterricht. In: Didaktik der Mathematik v. 10(4), S.315-329
uns ausgewählten Titel fUr seine Zwecke relevant sind.
Es werden drei verschiedene Wege zur Behandlung des Themenkreises
BARNETT,
the
V.
World.
(Editor).
Published
wi th the financial
Teaching
by
the
Statistics
in
International
Schools
Statistical
throughout
Institute
assistance of Unesco, 428 Prinses Beatrixlaan,
Multiplikationsregeln
und
unabhängige
bzw.
nichtunabhängige
Ereignisse dargestellt und unter didaktischen Gesichtspunkten
kommentiert.
2270 AZ Voorburg, The Netherlands.
Übersichtsberichte
Uber
den
Statistikunterricht
in
verschiedenen
van der LINDE, B.: Mini-Black-Jack. In: MNU v. 35(8), S. 469.
Ländern Europas und Amerikas.
Ein
INEICHEN,
R.:
Wie
könnte
man
auf
der
Oberstufe
des
Gymnasium
in die schließende Statistik einfUhren? In: Didaktik der Mathematik
den
fUr
einen
Leh';:gang
zum
Thema
"Schließende
Statistik"
mit Hinweisen auf typische Schwierigkeiten, die bei einer EinfUhrung
in
die
induktive
Statistik
auftreten
können.
Ferner
werden
das
aber noch gut
dem
Casino-Spiel
berechenbares
GlUcksspiel
mit
"Black-Jack"
nahesteht,
wird
mit seinen Spielregeln vorgestellt. Ausgehend von einigen elementaren
v. 10(3), S. 165-182.
Entwurf
komplexes,
\~Urfeln,
Wahrscheinlichkei ten
Spieler
dargestellt
wird
und
dieser Strategie berechnet.
eine
der
optimale
Erwartungswert
Strategie
bei
fUr
Anwendung
Der Autor meint, daß die Untersuchung
des Spieles sich als EinfUhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
in der Sekundarstufe 11 eignet.
anhand von konkreten Beispielen Wege aufgezeigt, um diese Schwierigkeiten zu umgehen oder doch zu minimalisieren.
SC HOLZ ,
tischer
KAISER,
G.
et
alii:
Dokumentation
Literatur
aus~ewählter
anwendungsorientierten Mathematikunterricht .
Karlsruhe:
zum
Fachinfor-
R.: Stochastische Problemaufgaben - Analysen aus didakund
psychologischer Perspektive.
Bielefeld:
Institut
fUr Didaktik der Mathematik (IDM), IDM-~'aterialien und Studien
Band 23.
mationszentrum Energie Physik Mathematik (751 4 Eggenstein-Leopoldshafen 2).
Die
Eine Auswahl von 19 Aufgaben wird vorustell t,
Bibliographie
englischer
vante
oder
Beispiele
tischen
erfaßt
ausgewählte
französischer
fUr
Disziplinen
Sprache,
Anwendungen
thematisiert
von
Literatur
in
der
~lathematik
werden,
sofern
in
cleutsch~r,
unterrichtsrelein
die
auRermathemaAusfUhrunr:en
fUr den Mathematikunterricht der Sekundarstufe ßeei~net sind.
Es wird auf Monographien, Aufsdtze in Periodika, Konferenzbeiträge
die aus verschie-
denen Perspektiven analysiert werden. Dabei sind die Aufgaben
so ausgewähl t , daß zentrale Probleme bei der Aufgabenhearbei tung
mit
dem
Wahrscheinlichkeitsbegriff
oder
der
stochastischen
Natur der Information zusammenhängen. Der Leser kann hei, vielen
von
ihnen
Fehl-
vorgestellten
oder
TrugschlUsse
Problemaufgaben
wurde
beohachten.
in
Ein
Teil
experimentellen
der
lInter-
43
42
suchungen verwendet, um die Beschränktheit menschl icher IJrteilsbildung bei
der Verarbeitung
stochastischer Information und
beim Schätzen von Wahrscheinlichkeiten nachzuweisen.
Bei der
Aufgabendiskussion werden einerseits die Resultate der empirischen
Befunde knapp referiert, andererseits werden theoretische Ansätze,
die zur Erklärung dieser Befunde entwickelt wurden, ausführlicher
J.:
Anwendungsbereiche
für
Kleincomputer,
Paderborn:
Schöningh, 1982.
Paderborn
1982,
131
S.,
ISBN
3-506-37461-
Mit dem Buch will der Autor für die Sekundarstufe I eine abgeschlos-
Sammlung von elementaren Unterrichtsbeispielen für die Mittelstufe.
Anwendungsbezug,
richtspraktisch aufzubereiten
Neben
einen
Kri te.rien für die Auswahl der Unterrichtsbeispiele waren vorrangig
ihr
Ferdinand-Schöningh,
sene Einführung in die elementaren Fragestellungen der Statistik,
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
geben.
Kombinatorik
und
der
Hauptanliegen des Buches ist es, den entspreChenden Stoff' unter-
erörtert.
ZIEGENBALG,
Hermann Brämer: Stochastik in der S I
aber
auch
eine
gewisse
Unterrichtsnähe.
Ein ganzes Kapitel dieses Buches beschäftigt sich mit Unterrichtsbeispielen zu stochastischen Simulationen.
einleitenden
"Abriß
des
Bemerkungen enthält das Buch zwei Kapitel,
Themas
aus
fachwissenschaftlicher
Sicht"
(16 S.) und die "Planung der Unterrichtsreihe" (105 S.). In
dem fachlichen Teil soll Lesern mit geringen Stochastik-Kenntnissen
eine
kurze verständliche Einführung
in
fachliche
Grundlagen
gegeben werden. Im unterrichtspraktischen Teil, dem Kernstück
des Buches, wird die Unterrichtsplanung zu den angesprochenen
Themen ausführlich dargestellt. Beide Teile sind in Abschnitte
zur
Statistik,
Kombinatorik
und
Wahrscheinlichkeitsrechnung
gegliedert. Dabei wird die Kombinatorik, abgelöst von Fragen
aus der Wahrscheinlichk.e~ tsrechnung,
kreis behandelt.
als
eigenständiger
Themen-
Zu Beginn des fachlicnen Teils wird ein kurzer Einblick in
Fragestellungen und Probleme der beschreibenden und der beurteilenden Statistik gegeben. Der Abschnitt "Kombinatorik" (Produktregel)
sowie
Permutationen,
Variationen
und
Kombinationen.
In
diesem
Zusammenhang behauptet der Autor, daß es keine sinnvollen Fragestellungen gibt, die auf ungeordnete Stichproben mit Wiederholung
führen (S. 13). Dies ist natürlich
Einstein-Statistik).
Im Rahmen der
nicht
richtig
(vgl.
Rose-
Wahrscheinlichkeitsrechnunr,
wird in den Laplaceschen \o/ahrscheinlichkeitsbegriff, den statistischen Wahrscheinlichkei tsbegri ff und den axiomatischen
Aufbau
der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein~enjhrt.
Nebenbei erläutert
der Verfasser Operationen auf der 1.1enge der Ereignisse. r~'ii. t
einfachen
Folgerungen
aus
den
Kolmogoroffschen
Axiomen
und
der Definition von Unabhängigkeit für zwei Ereignisse (ohne
14otivation)
schließt
dieser Abschni tt.
Befremdl ich ist
hier
die offenbare Vermischung der Begriffe Ergebnismenge (Grundmenge)
und Ereignisalgebra (S. 16/17). Auch ist nicht einleuchtend,
warum für das sichere Ereignis und die Ergebnismenge verschiedene
Symbole ~ewählt werden.
I
,i
44
Das
Hauptgewicht
des
Buches
liegt auf dem unterrichtspraktischen
Kapitel
"Planung
einer Unterrichtsreihe" .
Zuntichst
begründet
der .~t.:tor die Wahl der 8., 9. und 10. Jahrgangsstufe für die
erste systematische Behandlung stochastischer Themen mit dem
intellektuellen Entwicklungsstand der Schüler und den benötigten
Vorkenntnissen
Hier muß man
aus
anderen
Themenbereichen
der
dem Autor beipflichten. Allerdings
Mathematik.
sollte man
die
Kombinatorik
und
die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
nicht
wie
der Autor
als
interessantes
Anwendungs- und Übungsfeld
einfacher mengensprachlicher Begriffe ansehen (S. 25). Es giht
lohnendere Lernziele in einem Stochastik-Unterricht. In weiteren Abschni tten werden bekannte methodische Mi ttel für den StochastikUnterricht referiert, und mit einer Erörterung zur Systematisierung der Themen, zur Auswahl der Aufgaben, zu Darstellungsformen
(Baudiagramme usw.) und zur Stoffauswahl wird der wichtigste
Abschnitt des Buches vorbereitet. Diesen Abschnitt, die Verlaufsplanung" , werden Lehrer, die zum ersten Mal Stochastik zu unterrichten haoen, mit Gewinn lesen.
Getrennt fUr die Themenbereiche Statistik (beschreibend), Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung wird die Planung jeweils
einer
Unterrichtssequenz
detailliert
dargestellt.
Der
Autor
1
I
45
Zur
vom
Einführung
Versuch
in
"Wurf
die
eines
\';ahrscheinlichkei tsrechnung
Reißnagels"
ausgehend
der
etwa
Begriff
wird
der
"statistischen
Wahrscheinlichl<eit" erarbeitet.
Dabei
ist eine
eingeplant.
In
der
nächsten
Stunde
soll
Laplacesche
Wahrscheinlichkeitsbegriff
eingeführt
werden
Experimentierpha~e
der
(Würfeln beim Spiel Mensch-ärgere-dich-nicht) und mit dem statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff in Zusammenhang gebracht
werden. Daneben soll der Schüler die Begriffe Elementarereignis,
Ereignis, unmögliches Ereignis, sicheres Ereignis und Grundmenge
kennenlernen. Für den weiteren Verlauf der Unterrichtssequenz
werden Aufgaben angegeben, bei deren Behandlung Gegenereignisse,
Baumd i ag ramme
und
der
sogenannte
Additionssatz
thematisiert
werden.
Bei der Einführung von Baumdiagrammen (vgl.
S 110)
wird der Leser eine Begründung für die explizit
und später ausgiebig benutzte Pfadregel vermissen.
formulierte
Zu sämtlichen Aufgaben werden recht ausfUhrl iche Lösungen angegeben. Erstaunlicherweise sind in den Lösungen einige der wei tverbreiteten Fehler bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
zu finden. So werden in der Lösung von Aufgabe 31 (5.120) unvereinbare Ereignisse als unabhängig bezeichnet, die Disjunktheit
geht dabei in folgenden Schritten vor:
von drei Ereignissen (E () E 2 () E 3 = ~) als hinreichend für die
1
Gültigkeit des Additiqpssatzes angesehen (Aufgabe 5,
S. 128)
Planung der Einführungsstunde(n)
und
Sachanalyse (nur bei Wahrscheinlichkeitsrechnung)
- Intentionen, Lernziele
lieh behandelt
falsch) .
nicht
gleichwahrscheinliche
(Aufgabe
44,
S.
Ereignisse als gleichwahrschein125, die Lösung ist deshalb
- Didaktische Vorüberlegungen
- Sozial- und Aktionsformen
- Unterrichtsverlauf
- Vorschlag fUr die zeitliche Planung
Nachfolgende Stunden
Für die nachfolgenden Stunden werden im wesentlichen Beispiele
und Aufgaben angegeben. Anhand der Beispiele werden neue fachliche
Abschließeno folgen "vermischte Aufgaben"
Inhal te
eingefUhrt.
und zu den beiden Themen Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung je ein Vorschlag fUr eine Klassenarbeit.
Es muß vielleicht noch auf eine Fehlinterpretation hingewiesen
werden, die bei der Fragestellung und Lösung einiger Aufgaben
naheliegt. In Aufgabe 45 (S.125) etwa geht es um ein schiefes
Gal ton-Brett mit 5 Auffangfächern, bei dem Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 nach rechts fallen. Eine Frage lautet nun:
Wie verteilen sich 162 Kugeln auf die einzelnen Fächer? Mit
dieser
(deterministischen)
Formulierung
wird
nach
implizit
Erwartungswerten gefragt.
Nun sind aber Erwartungswerte
(die
Zahl 162 ist so gewählt, daß die Erwartungswerte mögliche \verte
sind) eben nichtals die zu erwartenden Werte zu interpretieren.
Eher wird man solche Werte
lichkeit haben.
erwarten,
die die größte 1/lahrschein-
47
46
Zum Schluß sei noch eine formale Kritik vorgebrRcht. Die Feingliederung
durch
kursive
und
halhfette
Uberschriften
ist
schlecht
zu verfolgen, da diese Uberschrifttypen uneinheiclich eingesetzt
werden.
Zu guter Letzt wäre ein Stichwortverzeichnis hilfreich
gewesen.
Fazit:
Das
der
Dem
Buch ist eine nützliche Quelle für Aufgaben aus dem Bereich
Stochastik in der Sekundarstufe I
(über 100 Aufgaben).
Lehrer
werden
außerdem
detaillierte
Planungshilfen
fiir
den
Unterricht
Buch
Lehrer,
geeigneter
gegeben.
die
Weise
wenig
in
die
die im Buch enthaltenen
des Buches als Lehrbuch.
Allerdings
ist
Vorkenntnisse
Thematik
GUnter Fillbrunn / Heinz Frey: Folienvorlagen
(Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung)
in
einführt.
Ungenauigkeiten
oder
Überdies
Fehler
mindern
den
Wert
Stochastik
Ernst-Klett-Verlag, Stuttgart 1981
Die !.1appe enthält Vorlagen zum Fotokopieren auf Folien (insgesamt
68 Darstellungen aus 17 Themengruppen) und ein 31seitiges ßegleitheft.
Inhalt des Begleitheftes:
technische Hinweise zum Anfertigen und Beschriften der Folien
-
zu
bezweifeln, ob das
Stochastik haben, in
zur
Beschreibung der Unterrichtseinheit "Von der
zur Normalverteilung"
Binomialverteilun~
Darstellung der fachwissenschaftlichen Zusammenhänge
- Beschreibung des Einsatzes der Folien im Unterricht
- durchgerechnete Beispiele
Folienvorlagen
einwandfrei
Die
sind
technisch
hergestellt.
Die Zusammenstellung der Vorlagen entspricht den Erfordernissen
der im Begleitheft dargestellten Unterrichtseinheit.
Die Auswahl der Beispiele ist geschickt und erscheint den Problemstellungen angemessen.
Auch
wenn
die
Zusammenstellung
der
Folien
speziell
auf
den
im
Begleitheft
dargestellten
Unterrichtsgang
zugeschnitten
ist, können die Folien auch in einem anders konzipierten Stochastik
unterricht nützlich sein.
Aus dem Untertitel wird deutlich, für welchen Abschnitt des Stochastikunterrichts die Sammlung zur Verfügung gestellt wird: Es
geht um die EinfÜhrung der lokalen und integralen Nährungsformel
für die Binomialverteilung sowie um die Behandlung des Zentralen
Grenzwertsatzes.
Die Autoren beschreiben im Begleitheft eine
Unterrichtseinheit, die mit Erfolg erprobt wurde.
Im
Vorwort
ist
angegeben,
welche
Auswahl
man bei
Zei tknapphei t
bzw. im Grundkurs vornehmen kann.
Der
1.
Teil
der
Unterrichtseinheit
getragen (Themengruppe 1 - 7):
wird
von
folgenden
Ideen
48
-
49
Stabdiagramme von Binomialverteilungen mit gleicher und hinreichend großer Standardabweichung stimmen ungefähr überein,wenn
man sie in horizontaler Richtung 50 verschiebt, daß die Maxima
der Verteilungen
Haben
die
(Erwartungswerte)
Binomialverteilungen
Standardabweichungen,
dann
ist
an
derselben
verschiedene
die
Größe
Stelle
liegen.
hinreichend
der
Maxima
große
ungefähr
umgekehrt proportional zu den Standardabweichungen der Verteilungen.
- Da die "Breite" von verschiedenen Binomialverteilungen proportional ist zu den Standardabweichungen, lassen sich schließlich
verschiedene Binomialverteilungen durch geeignete Verschiebungen
in
horizontaler
Richtung
und
Streckungen
in
horizontaler
und vertikaler Richtung "standardisieren".
probability Kit (Wahrscheinlichkeitskasten)
Der
Wahrscheinlichkeitskasten
enthält
ein
Lehrerhandbuch,
10
Arbei tSkarten, 10 verschlossene Plastikröhrchen, 12 Plastikröhrchen, die geöffnet werden können, sowie eine Auswahl von Münzen,
Plättchen und Würfeln, außerdem 100 Stück STIRLHIGschen Auf'zeichnungsblätter.
In Heft 2/82 wurde in "Stochastik in der Schule" das STIRLINGsche
Aufzeichnungsblatt vorgestellt. Mit diesem Blatt können RERNOllLLIVersuche mit (bis zu) 50 Stufen protokolliert werden. Jederzeit
lassen sich vom Aufzeichnungsblatt die relativen Häufigkeiten
für einen "Erfolg" bzw. "Mißerfolg" ablesen.
Der Probalili ty
Kit bietet nun die Möglichkeit, praktische Untersuchun,gen mit
Diese Eigenschaften werden durch passende Beispiele sehr gut
verdeutlicht;
die Benutzung der Folienvorlagen erscheint für
den vorgeschlagenen Weg unerläßlich
(Beispiel:
Der Vergleich
der Verteilungen von p=O, 2; n=400 und p=O,4 n=267 - in beiden
BERNOULLI-Ketten durchzuführen.
Fällen ist ~ = 8 - kann ohne die vorbereiteten Folien im Unterricht
kaum erfolgen).
gefärbte Kugeln, verschiedenartige Würfel, Münzen bzw. Plättchen.
Zu jedem Röhrchen gehört eine Arbeitskarte, auf der Jeweils
3 BERNOULLI-Versuche angegeben sind, die man mit den Röhrchen
Ergänzt wird der 1.
Teil des Unterrichtsabschnitts durch Darstel-
lungen, aus denen der Funktionsterm der GAUSSschen Dichtefunktion
gewonnen werden kann (Themengruppe 8,9). Danach folgen Beispiele
zu der integralen Näherüngsformel (10 - 12).
Die
10
von
3
verschlossenen
cm
Der
2.
17).
An
Teil
des
der
Unterrichtseinheit
Zentralen
mehreren
beschäftigt
Grenzwertsatzes
Beispielen
mit
sich
(Themengruppe
verschiedenartigen
und
7,5
cm
HÖhe)
(durchsichtige
enthalten
Zylinder
verschieden
durchführen kann.
Beispiel:
Röhrchen Nr.
Gewinnung
Durchmesser
Plastikröhrchen
2 enthält 2 schwarze, 2 silberfarbene und 2 goldfar-
der
bene Kugeln. Im Boden des Röhrchen ist eine ringförmige Mulde
eingepreßt. Das RÖhrchen soll geschüttelt und wieder aufp;estell t
Würfeln
werden.
Als "Erfolg" wird dann z.B.
der Ausganp, anp:esehen,
daß die beicen schwarzen Kugeln nebeneinander liegen. Man kann
sich vorstellen, daß auch Schüler sich hierzu leicht andere
Das
Lehrerhandbuch
gibt
BERNOULLI-Versuche
ausdenken
können.
hierzu einige Anregungen. Darüber hinaus kann man mit dem 12
Zufallsgeräte
können,
selbst
Röhrchen,
die
geöffnet
werden
mit
13
(echte, gezinkte) wird die Approximation eindrucksvoll beschrieben.
zusammenstellen. Auch hierfür findet man Hinweise im Lehrerhandbuch.
in verschiedenen Altersstufen
1-1 an
kann
den Probabili ty Ki t
erfolp:reiche
IJnterrichtseins~tze
kann
über
einsetzen.
Hier
in der Orientierungsstufe und in Sekundarstufe 11 herichtet
werden:
50
51
GEOMIX-Math IX, Galton Brett
Art. -tlr. 3.6099
Ein Einsatz des Kastens erscheint sinnvoll
-
bei
der Einführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
(Empirisches
Hersteller: RATEC, Körberstr. 1S, D-6000 franl:furt/n.'l. 50
Gesetz der Großen Zahlen, Übungen zur LAPLACE-Regel/Kombinatorik)
bei
der
Einführung
von
Fragestellungen
der
Beurteilenden
Statistik
Binomialverteilung
die
'IIichti~ste
WahrscheinlichkeitsDie
Fi.r:>t
verteilung in einem Stochastikkurs der Sekundarstufe 2
sich
Die Schüler sollen dabei vor dem Experimentieren
die
-
Vermutungen über Häufigkei ten für bestimmte Ausgänge aufstellen
über
Wahrscheinlichkei ten
für
einer
dem
bestimmte
Ausgänge
nach dem Experimentieren die Ergebnisse diskutieren
dem
Gal ton-Gerät
in
sind.
Zufallsversuche
lassen sich
rasch
durchführen und mi t
Hi lfe
des
hervorragend konzipierten Aufzeichnungsblatts elegant
schnell protokollieren. So ist es ohne weiteres möglich,
in
einer
50mal
von
schließend
Einzelstund~
Schülern
mehrere
(z. B.
diskutiert
in
werden.
Versuche
2er
Gruppen)
In
diesem
der
und
daß
Arbeitskarten
durchgeführt
Zusammenhang
und
sei
je
annoch
einmal auf die beiden Aüfsätze zum STIRINGschen Aufzeichnungsblatt
hingewiesen.
nach
Wahrscheinlichkeitskasten
(der
früher
von
der
Firma
Oliver
& Boyd vertrieben wurde) kann zum Preise von t 8.25 (Versandkosten
im Preis enthalten) bei Prof. Geoff Giles, Dime Projects, llniversity
of
Stirling,
Stirling/Scotland,
ist der Bestellung beizufügen.
bestellt
werden;
das
Geld
Sein
für den Spezialfall
Binomialverteilun~
im
trifft
durch
sie
auf
rechts
nach
ab.
die
links
Danach
trifft
einem
Brett,
lIinoernj sse
Öffnung
Mitte
der
und
aus
Weise
die
:.u t
Hindernisses.
dann
wesentlichen
bestimmter
Kugel
lichkeit 0,5 nach
nach
der
In
-
Bezugsbedingungen
verqnschaulichen,
r::al ton verdanken.
des
am
anp;ebr'lcht
oberen
in
Teil
der ersten
Wahrscheinlichkei t
mit
die
der
auf
ries
'Zeile
0,5
roll t
Wahrscheinlichl<ei t
Kugel
in
der
zweiten
0,5
Zeile
wiederum mitten auf ein Hindernis, von dem sie mit der '4ahrscheinrechts
links
abrollt.
im unteren Teil
jeder
ein
Der
so
Kugel
in
eine
befindlichen
die
besteht
n-Zeilen
Fällt
Brettes,
- ggfl. Vermutungen über zugrundeliegende Wahrscheinlichkeiten.
und
F.
p = q = 0,5 gezeigt werden kann.
Das
- Abweichungen vom Erwartungswert
realisieren
'laturforscher
Apparat ist unter dem namen Gal ton-Brett bekannt, mit dem anschF'.U-
machen,
Die
Einrichtune
englischen
lieh die Entwic!<lung einer
(mit oder ohne Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten),
Aussagen
bei
wir
der
und mit
n-Hinderniszellen
Bernoulli-Experiment
Demnach
den
ist
Llinge
das
n
wird
Fächern
von
der
links
beim
durchp;eführt.
Durchlaufen
und
bis oie Kugel
in eines
des Brettes befindlichen (n+1 )-Fhcher HilI t.
'rechts' können auch durch '0' -
der
der gleiChen Wahrscheinlichkeit
Das geht so weiter,
Durchfallen der
Dessen
Aus~~np;e
'1' gekennzeichnet werden.
einer
Kugel
eine
Treffwahrscheinlichkeit
an
KURel
'links'
gerechnet
die
Rernoulli-Kette
0,5.
~ummern
0,
Geben
1,
wir
2,
n, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit B ;0,5
(k), daf3 eine
n
Kugel in das Fach mit der >~u'llmer 1< fällt, naß also die Treffhäufigkeit k ist, nach der Bernoullischen Formel:
Das
hier
zur
Verfügung
steheneie
(;eo'llix-ßrett
Hindernisreihen. Auf das eigentliche nrett k'lnn ein
Rufgesetzt
werden,
dessen
Roden
als
schiefe
hesteht
aus
A
Vorratsbeh~lter
~hene
Rus~ebilrlet
53
52
(1)
ist, so daß nie Kugeln sowohl im Einzelwurf, als auch in schneller
Folge
hintereinander
Äußerste
Präzision
in
Gerät
das
und
eine
weroen
einp,er,eben
1';xaktheit,
"riie
rlem
S.:
Simulation
eines
entspricht", verspricht der Prospekt flir riie Ausfiihrunr;
(2)
der
vorgestellten
BUS. (Juli 1980) H. 3, S. 44-47.
eben
Apparatur.
Leider
hat
es
sich
Praxis
In:
der
l~athematik
bei unserem Ger:it ergehen,
"Gal tonbretts" .
der Hathematik. 23 (Sept. 1981) H. 9, S. 270-273.
kiinnen.
Exakten
LINDNER,
jerloch
BAUER,
H.:
Das
Galtonbrett.
Eine
Computer-Simulation.
In:
rlaß hin und wieder einir,e der' m"itp,elie-
ferten KUBeln in ihrem Lauf behindert wurden und zwischen einzelnen
(3)
Hindernissen steckenblieben. Yoffentlich ist dies eine Ausnahme.
des
stochastisches Denken anhand
EinfUhrung
in
H. :
SCHUPP,
Galton-Brettes. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 1976.
Hannover: Schroedel, 1976, S. 202-205.
Die
angestrebte
verlangt
wohl
Schulpreis
in
der
die
Präzision
auch
ohne
bei
seinen
der Herstellung der Gal ton-Eretter
Preis.
Mehrwertsteuer.
Literatur
öfter
Oll
So
nimmt
Abläufe
an
ihm
es
Programmvorschläge
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
die
simuliert
ist
538,--
nicht
empfohlene
wunder,
auftauchen,
eines
werden
der
mit
rlaß
rlenen
Galton-Brettes
können.
Die
und
Hinweis
Verteilung
Seit
der Kugeln in den Fächern des Brettes kann z.R. mit Zufallszahlen
für
ermittelt werden (Siehe z.B. die Beiträge in (1) und (2».
Januar
1.
die
1983
r·laterialien
des
gelten
veränderte
Deutschen
Bezugsmöglichl<eiten
Instituts
für
Fernst.udien
(DIFF). Weiterhin ist es einzelnen Lehrern kaum möglich, die
Dami t
es
ist das Gal ton-Brett aber noch nicht abp;eschrieben,
p.ibt
noch
andere
in
der von
der
sind
Einsatzmöglichkeiten.
Firma
Geomix
":inige
mi tgeli eferten
sondern
von
Hefte zu beziehen. Aber:
ihnen
"Arbe i tsgruppen
Sachinformation
zuständigen
in
Schulen
Schulverwaltung
können
nach
RUcksprache
'ni t
der
des
gew;.inschl~en
rlem Stempel
jhrpr C;chllle
mehrere
Siit.ze
enthalten, andere sind von Schupp (3) veröffentlicht worden.
llaterials
Das Galton-Brett wird bei ihm als Mittel benutzt, um nacheinanrler
ebenf'alls gegen eine SchutzgebUhr von 1,-- DM zuzii.~lich VerSetn0-
die folgenden Leitziele
Situation;
bessere
mi t
Analyse
Information
Er~ebnissen
Sieht
[,lan
Aspekt
das
durch
stochastischen
ErGebnisse;
als
auch
den
Aspekte
stochastische
einer
SchlUsse;
Einstellungen
gegenüber
rien
so
das
aufp;runrl
Wir empfehlen inshesondere die Stuoienbriefe:
der
11S1 Beschreihende Statistik (nr. 01?81\)
stochastischen
:"iS2 Zugänge zur "!ahrscheinl ichl<ei tsrechnlln,,; ('Jr. r)l?83)
Lehrmittel
Realisierung
englischen
~in
Briefhogen oder mit
kosten direkt beim DTFF bestellen ....
Prohlem16sunr;
VerhaI tensänderung
dem
~ituation;
anderer.
dem
Brett
behandeln: Erkennen einer stochastischen
!,Iethoden;
kritische
der
von
~u
stochastischer
auf
Dal ton-Brett
einer
n"icht
nur
Bernoulli-Kette,
so
Naturforscher
nUtzliches
Lehrmittel
Biologieunterricht)
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für
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sollte sich also fUr größere Schulen lohnen.
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