Rechenweg

Berechnung der ungefähren Sprunghöhe eines Astronauten auf dem Mond.
Ausgangswerte
2
Fallbeschleunigung auf der Erde ( g E ): 9,81 m/s
Fallbeschleunigung auf dem Mond ( g M ): 1,64 m/s
2
Annahmen
Masse des Astronauten in Sportbekleidung ( ms ) / mit Raumanzug und voller Ausrüstung ( ma ): 75 kg / 156 kg
Beschleunigungsstrecke in Sportbekleidung ( ss ) / mit Raumanzug und voller Ausrüstung ( sa ): 50 cm / 20 cm
Sprungvermögen des Astronauten bezogen auf seinen Körperschwerpunkt ( hs ): 52 cm
(Anmerkung: Die Bestmarke des Skispringers Sven Hannawald liegt bei 51,6 cm)
Der Astronaut springt auf der Erde aus dem Stand in Sportbekleidung:
Erforderliche
v0 für einen 52 cm hohen
Sprung (aus dem Stand) auf der Erde
Beschleunigung ( a ) auf
v0 über 50 cm.
(Hockstellung bis Absprung)
Kraft ( FbE ), um die Masse des Astronauten
auf
v0 über 50 cm zu beschleunigen.
Kraft ( Fg E ), um die Erdanziehung zu
überwinden
Kraft insgesamt ( Fges )
v0 = hS ⋅ 2 ⋅ g E = 0,52m ⋅ 2 ⋅ 9,81
m
m
= 3,19
2
s
s
2
m

 3,19 
2
v
m
s
a= 0 =
= 10,18 2
2 ⋅ sS
2 ⋅ 0,5m
s
FbE = mS ⋅ a = 75kg ⋅10,18
m
= 763,5 N
s2
Fg E = mS ⋅ g E = 75kg ⋅ 9,81
m
= 735,75 N
s2
Fges = FbE + Fg E = 763,5 N + 735,75 N = 1499,25 N
Der Astronaut springt auf dem Mond aus dem Stand in Sportbekleidung (Turnhalle erforderlich):
Kraft ( Fg M ), um die Mondanziehung zu
überwinden
Verbleibende Kraft ( FbM ) für die
FgM = mS ⋅ g M = 75kg ⋅1,64
m
= 123 N
s2
FbM = Fges − Fg M = 1499,25 N − 123 N = 1.376,25 N
Beschleunigung
Erreichbare Beschleunigung ( aM )
v0 beim Absprung
aM =
FbM
mS
=
1.376,25 N
m
= 16,58 2
75kg
s
v0 = 2 ⋅ aM ⋅ s S = 2 ⋅16,58
m
m
⋅ 0,50m = 4,07
2
s
s
2
Erreichbare Sprunghöhe auf dem Mond
hM =
v0 M
2
2⋅ gM
m

 4,07 
s
=
= 5,05m
m
2 ⋅1,64 2
s
Der Astronaut springt auf dem Mond aus dem Stand mit Raumanzug und voller Ausrüstung:
Kraft ( Fg M ) um die Mondanziehung zu
überwinden
FgM = mA ⋅ g M = 156kg ⋅1,64
m
= 255,84 N
s2
Verbleibende Kraft ( FbM ) für die
Beschleunigung
FbM = Fges − Fg M = 1.499,25 N − 255,84 N = 1.243,41N
FbM
1.243,41N
m
= 7,97 2
156kg
s
Erreichbare Beschleunigung ( aM )
aM =
v0 beim Absprung
v0 = 2 ⋅ aM ⋅ s S = 2 ⋅ 7,97
=
mS
m
m
⋅ 0,2m = 1,79
2
s
s
2
Maximal erreichbare Sprunghöhe auf dem
Mond für einen Astronauten im
Raumanzug
2
hM =
v0
2 ⋅ gM
m

1,79 
s
=
= 0,98m
m
2 ⋅1,64 2
s
Eine Verringerung der Anziehungskraft kann bei Sprunghöhen unter 10 m unberücksichtigt bleiben!
Wie hoch müsste man sich über der Oberfläche befinden, damit die Anziehungskraft sich um 1% verringert?
x ist der Faktor der Änderung.
r0 ist der Radius des Himmelskörpers
h die Höhe über der Oberfläche
In welcher Höhe ( hE 99 ) über der
Erdoberfläche wird der Astronaut um 1%
leichter?
In welcher Höhe ( hM 99 ) über der
Mondoberfläche wird der Astronaut um 1%
leichter?
2
 r 
r
x =  0  nach h umgestellt h = 0 − r0
x
 r0 + h 
hE 99 =
6371km
− 6371km = 32,1km
0,99
hM 99 =
1738km
− 1738km = 8,76km
0,99