12-3 Gravitation

LZ F12.3/B12.6 Gravitation
6.
1
Gravitation
6.1. Einleitung
6.1.1 Geschichtlicher Hintergrund
ca. 2700 v.u. Z.
ca. 350 v.u. Z.
ca. 265 v.u. Z.
ca. 220 v.u. Z.
ca. 150
1543
1600
1609
1609
1687
1809
1859
1915
1923
Sternbilder erhalten Namen
Aristoteles: Kugelgestallt der Erde
Aristarch von Samos: spricht vom heliozentr. Weltbild
Eratosthenes: Berechnung des Erdumfangs
Ptolemaios: Begründer des geozentr. Weltbildes
Copernicus: Begründung des heliozentr. Weltbildes
G. Bruno: Bekenntnis zum heliozentr. Weltbild – Inquisition/Scheiterhaufen
Kepler: Gesetze der Planetenbewegung
Galilei: intensive Himmelsbeobachtung – Inquisition
Newton: Gravitationsgesetz für Planetenbewegung
Gauß: Methode zur Berechnung der Planetenbahnen
Kirchhoff: Begründer der Spektralanalyse
Einstein: Relativitätstheorie
Hubble: misst Galaxienentfernung
6.1.2. Astronomische Daten und deren frühere Messung
Vermessung des Sonnensystems
6.1.2.1. Geographische Länge / Geographische Breite
Die geographische Länge wird als Winkelmaß
ausgehend vom Nullmeridian angegeben. Die
geographische Breite ist die im Winkelmaß angegebene
nördliche oder südliche Entfernung eines Ortes der
Erdoberfläche vom Äquator. Gegenüber der Angabe im
Dezimalsystem erfolgt jedoch die Angabe im
Sexagesimalsystem (Grad, Minute, Sekunde; 1° ̂ 60')
Kelheim:
Längengrad
Breitengrad
11.8667° / 11° 52' 0''
48.9167° / 48° 55' 0''
Ein Sterntag (eine Erdrotation um die eigene Achse) hat 23 Stunden 56 Minuten. Da sich die Erde
während ihrer Eigenrotation auf der Bahn um die Sonne weiter bewegt, sieht man am nächsten
Tag die Sonne 4 Minuten später (1 Sonnentag hat 24 Stunden)!
Bestimmung der Längengrade:
genaue Uhr; Kenntnis der Zeit von Greenwich
Bildquelle: http://www.kowoma.de/gps/astronav/laenge_mittagsmethode.htm
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2
6.1.2.2. Bestimmung des Erdradius und -umfang
150 Jahre nach Aristoteles machte der Grieche Eratosthenes folgende Überlegung die im Prinzip
richtig war.
Die Entfernung Alexandrien - Assuan beträgt 850 km;
Die Sonnenstrahlen verlaufen angenähert parallel!
Am 21.6. sieht man die Sonne im Wasser des
Brunnens sich spiegeln und zur gleichen Zeit wirft der
Obelisk in Alexandrien einen Schatten mit einem
Winkel von 7,5°
Mit diesen Daten kann man den Erdumfang und
-radius berechnen.
3600 : 7,50 = 48; u = 48 · 850 km = 40800 km
mit u  2    rE  rE 
u
 6494km
2 
( genauer Wert rE  6386km )
Von Pythagoras wird berichtet, dass er der Ansicht war, dass die Erde der Mittelpunkt der Welt sei
und dass sie Kugelgestalt hat. 200 Jahre später: Aristoteles 384 - 322 v. Chr. erkannte, dass bei
Mondfinsternis der Schatten den die Erde auf den Mond wirft immer kreisförmig ist!
Heutige Verfahren: fotografisch und mit Radarverfahren von Satelliten aus vermessen.
6.1.2.3. Bestimmung des Abstandes Erde-Mond
Im 18. Jahrhundert wurde die Entfernung zum Mond trigonometrisch bestimmt. In Berlin
(geogr. Breite φ1 = 52,52°) wie auch am Kap der Guten Hoffnung (geogr. Breite φ2 = –33.93°),
die auf demselben Längenkreis liegen, wurde der Mond zur selben Zeit angepeilt. Es ergaben sich
δ1 = 57,92° und δ2 = 34,28°.
Nordpol
Berlin
δ1
zum Mond
φ1
Äquator
φ2
δ2
Kap
Südpol
Quelle: Müller-Fonfara: Mathematik verstehen, Falken-Verlag, 1994, S. 326
Mittlerer Mondbahnradius RM = 384 · 103 km = 60,3 · rE
1969 Astronaut Armstrong: Spiegel auf Mond - Radarsignal E-M-E Messung der Laufzeit - daraus
Entfernung auf 10cm genau berechnet!
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3
6.1.2.4. Bestimmung des Mondradius
1m
1cm Scheibe
Mond
Auge
RM
Aus bekannter Mondentfernung: Mondradius bestimmbar
rM
R
 M
0,5cm 1m
 rM  1738km ;
rM  0,273 rE
6.1.2.5. Entfernung der Sonne (Erdbahnradius) nach Aristarch von Samos
Bei Halbmond stehen die Linien a und b
genau senkrecht aufeinander.
Der Winkel wurde mit  = 87° gemessen.
Das Prinzip ist richtig. Der errechnete Wert
von rE war jedoch ungenau.
Tatsächlicher Winkel  = 89°51´
RE = 149,6 · 106 km
6.1.2.6. Sonnenradius
Die Sonne erscheint am Himmel so groß wie der Mond (Sonnenfinsternis)
bekannt : Abstand Erde Mond, Monddurchmesser, Erdbahnradius.
Erde
RM
Mond
Sonne
RE
Sonnenradius: rS 109  rE
Ähnlich wurden die Daten der Planeten bestimmt.
Mit dem freien Auge sind 5 Planeten sichtbar: Merkur - Venus - Mars - Jupiter - Saturn
+ Mond und Sonne ...........heilige Zahl 7:
später entdeckt: 1781 Uranus, 1840 Neptun, 1930 Pluto, ?
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4
6.1.3. Die Keplerschen Gesetze, Weltbilder
Kosmos....gr. Weltall; gea....gr. Erde, centrum....lt. Mittelpunkt
6.1.3.1. Geozentrisches Weltbild von Ptolemaios (85- 165 n.Chr.)
 Im Mittelpunkt der Welt befindet sich die kugelförmige Erde
 Die Hohlkugel der Fixsternsphäre ist so weit von der Erde entfernt, dass die Fixsterne nur als
Punkte erkennbar sind. Die Fixsternsphäre dreht sich im Laufe eines Tages einmal um die Erde.
 Sonne, Mond und die Planeten beschreiben Bahnen, die sich aus Kreisbahnen zusammensetzen
lassen.
Ptolemaios bevorzugte die Kreisbahn als die vollkommene Bahn, die den himmlischen Gestirnen
am besten angemessen ist! Dieses Weltbild blieb fast 1500 Jahre unverändert Die Kinematik der
Planetenbewegung war jedoch kompliziert.
Nachdem das Fernrohr erfunden wurde, beobachtete Galilei (Prof. in Pisa), dass die Venus
manchmal als Sichel erkennbar war. Er folgerte, dass sie sich um die Sonne drehen muß. Auch die
anderen Planeten drehen sich um die Sonne.
6.1.3.2. Heliozentrisches Weltbild von Kopernikus und Kepler
helios....gr Sonne
 Die Sonne ruht im Mittelpunkt des Weltalls
 Die Erde ist ein Planet Die Planetenbewegung wird durch die Keplerschen Gesetze
beschrieben.
 Der Fixsternhimmel ruht. Die Erde rotiert im Laufe eines Tages einmal um ihre Drehachse.
Nikolaus Kopernikus:
Domherr in Frauenburg, 1473 - 1543; „Über die Bewegung der Himmelskörper“
Tycho Brahe (Däne) war Hofastronom bei Kaiser Rudolf II
Johannes Kepler (1571 - 1630) war Gehilfe und Nachfolger von Brahe. Er diente drei Kaisern in
Prag: Rudolf II, Mathias und Ferdinand II. Zugleich war er Professor in Linz. Lebte auch
zeitweise in Regensburg. Er starb bei einem Besuch in Regensburg, als er vom Kaiser
wiederholt sein Gehalt einforderte (Reichstag - Reformationszeit)
Aus dem riesigen Zahlenmaterial und der Aufgabe der Kreisbahn (Aristoteles) nahm er als
Bahn die Ellipsenform an. Er hatte damit Erfolg und schrieb darüber zwei Bücher.
1609... „Neue Astronomie“; 1619... „Die Harmonie der Welt“
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5
6.1.3.3. Die drei Gesetze von Kepler
1. Kepler-Gesetz:
Gesetz von der Gestalt der Bahn
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne
befindet.
Perihel P
Sonnennähe
2. Kepler-Gesetz:
Sonne
Aphel A
Sonnenferne
Gesetz der Flächen
Der von der Sonne nach einem Planeten gezogene Ortsvektor überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen.

v

v
3. Kepler-Gesetz:
Gesetz der Umlaufzeiten
Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der
großen Halbachsen a der Bahnellipsen
Halbachsen = mittlere Entfernung von der Sonne - in Näherung = Kreisbahnen! a  R
2
3
 T1   R1 
    
 T2   R2 
T2
 CS  konst.
R3
T ... Umlaufdauer; R ... mittlerer Bahnradius
CS ... Keplerkonstante des Sonnensystems
Die Konstante C ist für alle Satelliten (Planeten, ...), die dasselbe Zentralgestirn umlaufen, gleich.
z.B.: Die Erde ist Zentralgestirn für den kreisenden Mond und für die Satelliten.
Die Sonne ist Zentralgestirn für alle Planeten des Sonnensystems.
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6
6.1.3.4. Aufgaben und Übungen
LB. S. 220 Nr. 1
Weitere Aufgaben
1.1
Berechnen Sie aus der Umlaufzeit des Merkur und den Bahnradien des Mars und Merkur die
Umlaufzeit des Mars! Wie verhalten sich die Bahngeschwindigkeiten von Merkur und Mars
zueinander?
1.2
(1,88a; ca. 2:1)
Berechnen Sie die Konstante CS des 3. Kepler Gesetzes für die Sonne als Zentralgestirn aus
der Bewegung des Merkur um die Sonne!
2.1. Berechnen Sie die Konstante CE des 3. Kepler Gesetzes für die Erde als Zentralgestirn aus
der Bewegung des Mondes um die Erde!
2.2. Was lässt sich über diese Konstante CE für künstliche Erdsatelliten aussagen? Der erste
künstliche Erdsatellit, Sputnik I, hatte eine Umlaufdauer von 96 Minuten. Berechnen Sie
seinen mittleren Bahnradius!
2.3. Welche mittlere Bahngeschwindigkeit hatte Sputnik I ?
( 9,9 1029  a 2  m3 ; 7,0 106 m; 7,6km  s 1 )
3.0. Ein künstlicher Satellit umläuft die Erde in der Zeit T nahezu auf einer Kreisbahn.
3.1. Von welchen weiteren Größen hängt der mittlere Abstand h (Höhe) von der Erdoberfläche
ab? Stellen Sie die Funktion h(T) in Form einer Gleichung auf!
3.2. Welche Umlaufzeit muss demnach ein Erdsatellit mindestens haben?
3.3. In der Nähe der Erdoberfläche ist die Fallbeschleunigung 9,8m  s 2 . Die in 3.2. berechnete
Umlaufzeit erhält man auch, wenn man ansetzt, dass die Gewichtskraft des Erdsatelliten
zugleich die Zentralkraft ist. Berechnen Sie auch auf diese Art die Mindestumlaufdauer
eines Erdsatelliten!
(1,4h; 1,4h)
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7
6.2. Das Gravitationsgesetz von Newton
6.2.1 Herleitung des Gravitationsgesetzes
Sir Isaac Newton:
Anekdote - Newton sitzt unter einem Apfelbaum und beobachtet das Herunterfallen eines Apfels.
Warum fällt der Mond nicht auf die Erde?
Die wirksame Zentralkraft die den Mond auf seine Umlaufbahn zwingt ist die gleiche Kraft, die
einen fallenden Apfel zu Boden beschleunigt. Die Ursache dieser ist Kraft die Eigenschaft aller
Körper sich anzuziehen - Gravitationskraft.
Aus der Mondbewegung, den Gesetzen der Kreisbewegung, den Newtonschen Gesetzen und dem
3. Kepler-Gesetz  Schlussfolgerung auf die Planetenbewegungen!
4  2
Newton war bekannt:
FZ  m aZ mit aZ  r    r  2
T
bekannte Daten des Mondes:
RM , TM , mM
2
Theoretische Überlegung:
4  2
FZ  mM  RM  2
TM
TM 2
2
3
mit 3. Kepler-Gesetz CE  3 bzw. TM  CE  RM
RM
4  2
4  2 1
FZ  mM  RM 
 mM 

CE  RM3
CE RM2

FZ ~ mM 
mit
4  2
= konstant
CE
1
RM2
Mit dem 3. Satz von Newton (Wechselwirkungsgesetz) folgt:
mE

FME

FEM
mM


FME = - FEM
FME = FEM
RM
1
1
FME ~ mE  2
2 , so ist
RM
RM
1
1
F  G  mE  mM  2
und damit folgt: F ~ mE  mM  2 
RM
RM
ist FZ  FEM ~ mM 
allgemein
FG  G 
m1  m2
r2
G ... Gravitationskonstante, Naturkonstante
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8
6.2.2. Bestimmung der Gravitationskonstanten G - nach Cavendish
(1731 - 1810) (Beschleunigungsmethode)
6.2.2.1. Aufbau der Gravitationsdrehwaage und Herleitung
Newton war es mit den damaligen experimentellen Einrichtungen nicht möglich die
Gravitationskonstante G zu ermitteln. Erst 1798 gelang es Cavendish mit der unten beschriebenen
Methode diese Konstante zu ermitteln.
Spiegel, Torsionsfaden
m2
m1

FG

FDrill
Skala
0
Lichtzeigereinrichtung
m1 = 1,5g; m2 = 1,5kg
Ausgangspunkt der Messung: Nullpunkt für Lichtzeiger wird markiert, wenn angelegte große
Kugeln und kleine bewegliche Kugeln (hängen mit einer Stange an einem Torsionsfaden) im
Gleichgewicht sind. Es gilt: FDrill = FG ; FG ... Gravitationskraft, FDrill ... Torsionskraft
s
S
l
L
...
...
...
...
Weg der kleinen Kugel
Lichtzeigerweg
Kugelabstand von der Achse
Abstand Spiegel/Schirm
m1 ... Masse der kleinen Kugel
m2 ... Masse der großen Kugel
r ....... Anstand der beiden Kugeln
vor Beginn der Bewegung
s
S
und tan 2  und mit der Näherung: für  sehr klein gilt: tan 2  2  tan
l
L
S l
s
S
s
folgt:

Weg der kleinen Masse

2 L
l 2 L
Es gilt tan 
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9
Erschütterungsfreies Umlegen der großen Kugeln um 1800. Die kleinen Kugeln werden zu
den großen Kugeln hin beschleunigt!
Es gilt zu Beginn des entstehenden Einschwingvorganges:

FBeschl  2  FG

a
S l
L  t2
m1  m2
m m
 m1  a  2  G  1 2 2 
2
r
r
G
a  r2
2  m2
FBeschl = FDrill + FG mit FDrill = FG
a
2
und mit s  t 2 und s 
S l
2 S l
 a
2 L
2  L  t2
mit FBeschl  m1  a und FG  G 
G

S  l  r2
2  L  t 2  m2
Experimentelle Ermittlung:
Die Beschleunigung wird zu Beginn des
Einschwingvorgangs experimentell ermittelt.
Die Schwingungsdauer des Systems beträgt
T  10 Minuten, so dass von 0 bis t1 = 0,1·T die
Bewegung als gleichmäßig beschleunigt
angesehen werden kann. a = konstant
6.2.2.2. Auswertung einer Messung
Messtabelle
t
s
0
15
30
45
60
75
90
S
cm
0
0,30
1,00
2,00
3,10
5,10
7,30
s
105 m
0
t2
s2
0
Hausaufgabe:
Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von Seite 8 unten , den Lichtzeigerweg auf dem
Schirm S, in den „Fallweg“ s der kleiner Kugeln um.
Gegeben sind weitere Daten der Versuchseinrichtung:
1 = 5,0cm; r = 4,6cm; L = 5,3m;
Tragen Sie s in Abhängigkeit von t2 in folgendes Diagramm ein und ermitteln Sie daraus
zeichnerisch die Beschleunigung a.
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10
Auswertung mit Hilfe des Graphen: t 2  s  Diagramm
Folgerung:
s
t2 ;
a  r2
m
; mit G 
 G=
s2
2  m2
a
mit s  t 2  a 
2
genauer Wert:
absoluter Fehler:
Bedeutung der Steigung ..............................................
G=
1011  m3  kg 1  s2
G=
6,673 · 1011·m3 ·kg 1·s 2
1011·m3 ·kg 1·s 2
G =
relativer Fehler in Prozent:
Übung: LB.S. 220 Nr. 2
G
=
GSoll
=
%
(= GSoll)
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11
6.2.4 Anwendungen des Gravitationsgesetzes
6.2.4.1 Berechnung von Satellitenbahnen
 Satellitenbahnberechnungen beruhen auf der Überlegung von Newton, dass die
Gravitationskraft diejenige Kraft ist, die Satelliten in die Kreisbahn „zwingt“.
Vereinbarung über die Radienschreibweise:
r ... Radius des Himmelskörpers
R ... Bahnradius des Himmelskörpers
FZ  FG
Ansatz:
mZ  mS
RS 2
4 2
mZ
2  G
TS
RS 3
mS  RS  S 2  G 
TS 2 4   2

 CZ
RS 3 G  mZ
TS  2   
RS 3
G  mZ
Keplerkonstante CZ Umlaufdauer TS
2
 T 
RS  3  S   G  mZ
 2 
Bahnradius RS
mZ 
4   2  RS 3
G  TS 2
Masse mZ des
zentralen Gestirns
Bahngeschwindigkeit vS :
Ansatz:
FZ  FG
vS 2
m m
mS 
 G Z 2 S
R
RS
G  mZ
vS 
RS
 „Erdnähe“; 1. Kosmische Geschwindigkeit
Der Bahnradius eines Satelliten ist RS  rE  h . Für h  rE kann in Näherung RS  rE
gesetzt werden. Es ist dann die Gravitationskraft auf der Erdoberfläche gleich der
Gewichtskraft!
vS 2
Fg  FZ  mS  g  mS 
 vS  g  rE
rE
vS  7,90  km  s1
1. Kosmische Geschwindigkeit
Mindestgeschwindigkeit für einen Satelliten, damit er sich auf einer Kreisbahn um die Erde
bewegt!
Übung: Berechnen Sie die Gravitationskraft auf der Erdoberfläche und die Gewichtskraft, die
auf einen Probekörper der Masse m = 1,00 kg wirken. Vergleiche beide Werte durch
Berechnung der Abweichung in 0/00 .
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
12
geostationäre Bahn; „Synchronsatellit“
Ein Synchronsatellit (Satelliten für Nachrichtenübertragung) der in der Äquatorebene um die
Erde kreist, erscheint einem Beobachter auf der Erde „stillstehend“, d.h. er hat die gleiche
Winkelgeschwindigkeit.
N
Beobachter
Satellit
Äquatorebene
h
S
Übung: Berechnen Sie den Bahnradius eines Synchronsatelliten und seine Höhe über dem
Äquator!
6.2.4.2 Gravitationsfreier Punkt zwischen zwei Massen – 1. Lagrange-Punkt
Im „Gravitationsfreier“ Punkt P heben sich die Gravitationskräfte beider Massen auf einen
Probekörper auf, d.h. die resultierende Kraftwirkung ist Null.
m1 ; m2 verursachen die Gravitationskräfte; m1 ; m2  mP ... Probekörper



F1P
F2 P
m1
F1P ... Kraft von Körper 1 auf
m2
Probekörper in P
mP

F2 P ... Kraft von Körper 2 auf
P
Probekörper in P
r2
r1
r
Es gilt:
(1) r  r1  r2
F1P  F2P
(2)
Übung:
1.
bzw.
G
m1  mP
m m
 G 2 2 P
2
r1
r2
Zeigen Sie, das folgende Gleichung gilt: r2  r 
[alternative Lösung: r1 
2.
3.
1

m1 
1 

m2 

m1  r  r  m1  m2
aus AP FOS 1973/AII]
m1  m2
Berechnen Sie den gravitationsfreien Punkt im System Erde-Mond
mit m1  mE ; m2  mM ; mE  81,3  mM ; r  RM  60,3  rE .
[Ergebnis:
1. r1 =54,3· rE ; r2 =6,0· rE
2. r1 =67,8· rE ; r2 = -7,5· rE ]
Interpretieren Sie die Ergebnisse.
LZ F12.3/B12.6 Gravitation
13
6.2.4.3 Massenbestimmung von Himmelskörpern
 Die Fallbeschleunigung auf dem Himmelskörper ist bekannt
mP

FG

g
Auf der Erdoberfläche eines Himmelskörpers wirkt auf einen Probekörper die Gewichtskraft,
die gleich groß wie die Gravitationskraft im Anstand rE ist.
Fg  FG
mZ  mS
RS 2
g  RS2
mZ 
G
mS  g  G 
Übung:
Berechnen Sie damit die Masse der Erde und machen Sie die Einheitenkontrolle!
[ mE  5,96 1024 kg ]
 Ermittlung der Masse eines Himmelskörpers der einen Trabanten (z.B. Mond) besitzt
mZ 
Übung:

1.
2.
4   2  RS 3 4   2

(Herleitung siehe 6.2.4.1)
G C Z
G  TS 2
Berechnen Sie die Masse der Sonne!
[ mS  2,00 1030 kg ]
Berechnen Sie die Masse der Erde mit den Daten des Mondes!
Zweikörperproblem - Massenbestimmung des Mondes
Da die Fallbeschleunigung des Mondes nicht bekannt war und der Mond auch keinen
Begleiter hat, sind die bereits genannten Methoden zur Massenbestimmung des Mondes nicht
geeignet.
Da die Mondmasse gegenüber der Erdmasse bei der Bewegung dieses Zwei-Massen-Systems
um die Sonne, nicht vernachlässigt werden kann, wird diese Tatsache zur Massenbestimmung
des Mondes verwendet.
Von der Sonne aus gesehen, bilden Erde und Mond eine „Gesamtmasse“. Diese Masse mit
dem gemeinsamen Schwerpunkt S bewegt sich auf einer Kreisbahn (angenähert
Erdbahnradius RE ) um die Sonne. Beide Himmelskörper wirken jeweils mit dem gleichen
Betrag der Gravitationskraft aufeinander. Sie stürzen nicht aufeinander, da sie sich um den
gemeinsamen Schwerpunkt S drehen und dadurch eine Fliehkraft erhalten die betragsgleich
den Gravitationskräften ist.
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14
RE Bahn des Schwerpunktes
um die Sonne
Erde
Mond
S

FFE

FME

FEM

FFM
r2
r1
RM
FFE = FME  FFM = FEM  FME = FEM = FG
4 2
4 2
mit TE  TM

m

r

M
2
TE 2
TM 2
mE r2

Hebelgesetz:
mM r1
mE  r1 



FFE = FFM

mE  r1  mM  r2
Die Abstände (Radien) vom gemeinsamen Schwerpunkt S verhalten sich umgekehrt wie die
Massen der beiden Körper!
Aufstellen des Gleichungssystems:
(1)
(2)
mE  r1  mM  r2
RM  r1  r2
(3)
FME  FEM  FG  G 
(4)
FFM  FG
(5)
FFM  mM  r2 
Übung:
mE  mM
RM 2
4 2
TM 2
RM 3  4   2
 mE
G  TM 2
1.
Zeigen Sie, dass für die Masse des Mondes gilt: mM 
2.
Berechnen Sie mit Hilfe der Gleichungen (1) und (2) jeweils die Abstände r1
und r2 !
Gegeben sind: mE ; mM ; RM
[ r1  4700km , d.h. der Schwerpunkt liegt noch innerhalb des Erdkörpers]
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15
6.2.4.4. Beschleunigung auf der Oberfläche von Himmelskörpern;
Gravitationsfeldstärke
Die Gravitationskraft, mit der ein Körper von einem Himmelskörper angezogen wird, ist
abhängig vom Abstand zu seinem Massenmittelpunkt und seiner Masse. Diese Kraft sorgt
gleichzeitig für die Beschleunigung ( ̂ Gravitationsfeldstärke) zu seinem Massenmittelpunkt.
Fa  FG
mZ  mK
RS 2
m
a(RS )  G  Z2
RS
mK  a(RS )  G 
Übung:
Berechnen Sie die Oberflächenbeschleunigung auf dem Mars, dem Mond, der
Sonne und dem Jupiter!
6.2.4.5. Aufgaben und Übungen
LB. S. 220 Nr. 3;4;5
6
7
8;9
11
12;13;14
- Bahn- und Massenberechnung; Gravitationsgesetz
- Gravitationsfreier Punkt
- Fallbeschleunigung
- Bahn- und Massenberechnung; Fallbeschleunigung
- Fallbeschleunigung
- Bahn- und Massenberechnung; Gravitationsgesetz
Aufgaben:
1.0
1.1
2.0
2.1
2.2
3.1
Mit dem Hubble Space Telescope (HST) können Fotoaufnahmen ferner
Himmelsobjekte in bislang unerreichter Qualität gemacht werden.. Das HST umläuft
die Erde einmal in 96,7 min auf einer kreisähnlichen Bahn.
Berechnen Sie die mittlere Flughöhe über der Erdoberfläche und die durchschnittliche
Bahngeschwindigkeit.
( 6,1102 km; 7,56km  s1 )
Der deutsche Wissenschaftssatellit ASTRO-SPAS umlief die Erde auf einer Kreisbahn
in 300km Höhe.
Berechnen Sie die Umlaufzeit und die Bahngeschwindigkeit. Vergleichen Sie letztere
mit der Schallgeschwindigkeit.
(90,3min; 7,73 km  s1 ; 23fach)
Um wie viel Prozent ist die Gravitationsfeldstärke in dieser Höhe geringer als an der
Erdoberfläche in Deutschland?
(8,8%)
Berechnen Sie die 1. Kosmische Geschwindigkeit für den Planeten Mars! (3,55km·s1
)
Abschlussprüfungsaufgaben
FOS 1984/I
FOS 1997/II
FOS 1992/III
FOS 1998/I
FOS 1994/I
FOS 1996/II
LZ F12.3/B12.6 Gravitation
16
Abschlussprüfung 1986 - Nachtermin
1.0
Es wird angenommen, dass eine Raumfähre radial von der Erde wegfliegt. In der

Fähre wird mit Hilfe eines Fallversuches der Betrag der Fallbeschleunigung g(h) in
Abhängigkeit von der Höhe h bezüglich der Erdoberfläche untersucht.
In den Messintervallen t kann die jeweilige Fallbeschleunigung als konstant
angesehen werden, die Reibungskräfte sind vernachlässigbar klein.
Für die Fallzeit t der Kugel in Abhängigkeit von der Höhe h ergibt sich folgende
Messreihe:
Messung Nr.
1
0,00
h in rE
t in s
0,451
Dabei ist rE der mittlere Erdradius.
2
0,50
0,677
3
1,00
0,903
4
2,50
1,58
1.1.1 Warum setzt eine sinnvolle Versuchsdurchführung voraus, dass die Raumfähre
während jeder Messung jeweils mit konstanter Geschwindigkeit fliegt?
(3BE)
1.1.2 Beschreiben Sie die Durchführung des Versuchs.
(5BE)
1.2

Berechnen Sie für die Höhen von 1.0. jeweils den Betrag der Fallbeschleunigung g(h)
und zeigen Sie, dass für h  0 g(h) nicht direkt proportional zu
1.3.0 Bezogen auf den Erdmittelpunkt muss gelten: g(r) ~
1
ist.
h2
(6BE)
1
.
r2
1.3.1 Bestätigen Sie diesen Zusammenhang durch graphische Auswertung der Messreihe.
Maßstab:
1
m
, 2 = 1cm
2  10cm; 100
rE
s
(6BE)
1.3.2 Ermitteln Sie unter Verwendung Ihres Diagramms von 1.3.1 die Höhe über der
Erdoberfläche, in welcher der Betrag der Fallbeschleunigung 4,9
m
ist.
s2
1.3.3 Bestimmen Sie mit Hilfe der Messung Nr. 4 die Masse mE der Erde.
(6BE)
(4BE)
Arbeitszeit ca. 55 Minuten; Punkte 30 gesamt
Abschlussprüfungsaufgaben Lösungen:
3
1996: 1.3 k=3,6·108 m
s
; 1,9·1027kg; 1.4.1 1,6·108m; 28,2 km·s-1 1.5.1 3. Kepler-Gesetz 1.5.2 6,60·1010J
1997: 1.2 6,39·1023kg; 1.3.2 6,69·107J; 1.4.2 2,69·1010J
29 Punkte, 52 Minuten.
27 Punkte; 49 Minuten
1994: 2.2 7,68 km·s-1; 8,73 m·s-2; 2.3.2 3,07 km·s-1; 42,2·103km 2.3.3 1,41·1010J;
2.4.1 24,5·103km; 2.4.2 1,91·104s
33 Punkte; 60 Minuten
1998: 1.1 FG=FZ; 1.2 1,988·1030kg; 1.3 273,5Nkg-1; 1.4.1.87,9d; 1.4.2 Energie nicht im LP
31 Punkte; 55 Minuten
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Ende Kapitel 6.
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