Pythagoras auf Hawaii

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Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(11)
Zum Themengebiet Satzgruppe des Pythagoras
(erstellt in Zusammenarbeit mit der
Gesamtschule Guxhagen)
Vorschlag 11.1: Biographisches zu Pythagoras.................................................3
In einem kurzen Text, der auf Kassette gesprochen werden sollte, stellt sich Pythagoras selbst
den Schülern vor. Ein zusätzlicher Text enthält weiterführende Informationen
Vorschlag 11.2: Pythagoras auf Hawaii............................................................5
Für die Schwimmstrecke beim IronMan auf Hawaii werden günstige und ungünstige Routen
erarbeitet
Vorschlag 11.3: Pythagoras auf dem Sportplatz...............................................7
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können verschiedene Problemstellungen auf dem Sportplatz
bearbeitet werden
Vorschlag 11.4: Entfernungen auf dem Stadtplan............................................8
Längenberechnungen auf dem Stadtplan, die eine Berechnung im Koordinatensystem vorbereiten können
Vorschlag 11.5: Wie weit kann man sehen?......................................................9
Variation der bekannten Leuchtturm-Aufgabe, in der die Mathematisierung bewusst den Schülern überlassen wird
Vorschlag 11.6: Beweise des Satzes des Pythagoras........................................12
Vorgestellt werden vier Beweise, die die Schüler zur aktiven Auseinandersetzung mit dem Satz
des Pythagoras anregen sollen
Vorschlag 11.7: Pyramiden.............................................................................18
Die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens soll durch Modelle unterstützt werden
Vorschlag 11.8: Kürzeste Wege ......................................................................21
Eine Fliege und eine Spinne sitzen auf den Eckpunkten eines Quaders. Die Frage nach dem kürzesteten Weg ermöglicht zahlreiche Variationen
Vorschlag 11.9: Die ägyptischen Seilspanner..................................................22
Das Knotenseil steht repräsentativ für historische und aktuelle Anwendungen des Satz des Pythagoras. Durch Streichhölzer sollen die Schüler aktiv die Besonderheiten der pythagoreischen
Zahlentripel erkunden
Vorschlag 11.10: Der Satz von Fermat ...........................................................23
Zeitungsartikel zum Beweis des Satzes, der Mathematiker Jahrhunderte beschäftigte
Vorschlag 11.11: Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras ........25
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras
Vorschlag 11.12: Pythagoras und Vernetzungen............................................29
Kaum ein Themengebiet ermöglicht eine solche Fülle von Verknüpfungen zwischen früheren,
aktue llen und zukünftigen Unterrichtsinhalten wie die Satzgruppe des Pythagoras
Vorschlag 11.13: Das Tunnelproblem.............................................................31
Die Frage, ob ein LKW gefahrlos durch einen Tunnel fahren kann, dient zur Einführung des Höhensatzes
Vorschlag 11.14: Eine Wandzeitung und andere Projekte .............................32
Kaum ein mathematisches Themengebiet bietet eine solche Materialfülle wie der Satz des Pythagoras. Hier werden verschiedene projekt- bzw. produktorientierte Zugänge vorgestellt
Vorschlag 11.15: Vermischtes zur Satzgruppe des Pythagoras ......................35
Vermischte, kürzere Anregungen zur Satzgruppe des Pythagoras
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2
Vorschlag 11.1: Biographisches zu Pythagoras
Ich heiße Pythagoras, eigentlich Pythagoras von Samos, und
lebte wahrscheinlich von 580 bis 496 vor Christus. So genau
kann ich das leider nicht sagen, da es doch schon sehr lange
her ist.
Wenn ich gewusst hätte, dass du dich heute noch für mich
interessierst, hätte ich meine Daten aufzeichnen lassen.
Ich glaube schon, dass ich von mir behaupten kann, ein vielseitiger Gelehrter zu sein. In Oberitalien habe ich die Schule
der Pythagoreer gegründet. Meine Anhänger lebten nach
strengen Vorschriften. Wir glaubten an die Unsterblichkeit der
Seele und an Seelenwanderungen. Wir waren überzeugt, dass Gott die Welt nach Zahlen und Zahlverhältnissen geordnet hat! Von den Leuten aus unserer Umgebung wurden wir als eine Art "Hippies" angesehen. Der Nachwelt haben wir aber etwas sehr Bedeutsames hinterlassen: einen Satz, der Weltgeschichte schrieb. Vielleicht hast du
schon von ihm gehört? Der Satz sagt Folgendes aus: Im rechtwinkeligen Dreieck haben
die Quadrate über den Katheten zusammen den gleichen Inhalt wie das Quadrat über
der Hypotenuse. Ich sehe ein, das sind jetzt zu viele Fremdwörter. Du musst verstehen,
ich bin ein gehbürtiger Grieche und nenne deshalb die längste Seite in dem rechtwinkli gen Dreieck Hypotenuse. Die beiden anderen Dreiecksseiten, die den rechten Winkel
einschließen, werden Katheten genannt. Hast du alles behalten? Ich gebe dir eine Hilfe:
Nimm ein Blatt und biege eine Ecke um! Streife die Faltkante aus! Weißt du, wie ich
diese Seite genannt habe? Richtig, das ist die Hypotenuse!
Nun muss ich aber Schluss machen. Die Seelen meiner Schüler warten schon a uf mich.
Sie knobeln noch immer an meinem Lehrsatz herum. Und du hoffentlich auch! Sollte er
dir Probleme machen, mus st du dich aber nicht zu mir in die Antike beamen. Du hast ja
deine eigene Lehrerin oder deinen eigenen Lehrer!
Quelle: mathematik lehren 97 (1999), S. 69 (leicht verändert).
Biographisches zu Pythagoras: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Historische Einbettung des Satzes des Pythagoras
• Erleichterter und motivierender Zugang zu den (schwierigen) Begriffen des Satzes
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Als Einstieg oder kurz danach
Bemerkungen:
• Eine Abwechslung im Mathematikunterricht erreicht man, wenn man den Gelehrten selbst zu
Wort kommen lässt. Dazu müssen Sie eine männliche, interessante Stimme gewinnen, die den
ersten Text pathetisch auf Tonband spricht.
Alternativen:
• Ein weiterer Text zur Biographie von Pythagoras findet sich auf der folgenden Seite (vgl.
auch Hinweise zu Vorschlag 11.13). Interessante Informationen zu Pythagoras finden sich
auch in dem empfehlenswerten Buch von Simon Singh: Fermats letzter Satz, S. 31ff (als Taschenbuch 19,50 DM). Dort ist z.B. auch beschrieben, dass Pythagoras einen seiner Schüler
ertränken ließ als dieser entdeckte, dass 2 nicht als Bruch dargestellt werden kann. Dies
widersprach Pythagoras Vorstellung, dass alle natürlichen Phänomene mit einfachen Zahlen
zu beschreiben wären (vgl. S. 75). Die biographischen Angaben sind allerdings in der Literatur sehr unterschiedlich.
3
Pythagoras - sein Leben und Wirken
Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos als Sohn
eines Goldschmieds geboren. Er hatte das Glück, von einem guten Lehrmeister, dem Pherekydes, unterrichtet und gefördert zu werden. Nach dessen Tod
lebte Pythagoras geraume Zeit in Ägypten und beschäftigte sich mit den dortigen Wissenschaften, insbesondere der Mathematik und den Mysterien. Nach
diesem Aufenthalt folgten ausgedehnte Reisen, u.a. zu den Persern und Phöniziern.
Nach seiner Rückkehr auf die Insel Samos unterrichtete Pythagoras den Sohn
des dort herrschenden Tyrannen Polykrates. Die Gründe, die Pythagoras dazu
bewegten, seine Heimat um 532/531 v. Chr. - als Vierzigjähriger - endgültig zu
verlassen und nach Unteritalien in den Ort Kroton (das heutige Crotone in Kalabrien) überzusiedeln, sind nicht mehr nachvollziehbar.
Den Einwohnern von Kroton kam Pythagoras sehr gelegen, denn sie suchten jemanden, der die Kinder
und Jugendlichen des Ortes in griechischer Weisheit unterrichten konnte. Er benutzte seine Lehrtätigkeit
aber schon bald auch dazu, sich eine getreue Anhängerschaft heranzuziehen, was schließlich in der
Gründung einer „Schule“ mündete. Ihre Mitglieder nannten sich „Pythagoreer“, und heute würde man
diese „Schule“ wohl eher als Sekte bezeichnen.
Zur Lebensweise der Pythagoreer
Die Pythagoreer lebten - obwohl sowohl Männer als auch Frauen in ihren Bund aufgenommen wurden wahrscheinlich klosterartig in einer Gütergemeinschaft und fühlten sich als geistige Elite, die über ein
Geheimwissen verfügte. Sie hatten ihre eigene, nur den Eingeweihten verständliche Sprache, die u.a.
aus Zahlencodes und Symbolen bestand. Zu ihren Erkennungszeichen untereinander gehörten z.B. das
Pentagramm und der Satz „Bleib gesund“.
Bei ihrer Aufnahme mussten die Schüler/innen mehrere Dinge geloben: zum Beispiel Gehorsam, Verschwiegenheit, Enthaltsamkeit, Bescheidenheit und kein Tier zu töten, das den Menschen nicht angreift.
Da die Lehre von der Seelenwanderung für die Pythagoreer eine ihrer esoterischen Basen war, der zufolge
die Seelen verstorbener Menschen im Tier weiterleben, lebten sie als strenge Vegetarier.
In der „Schule“ des Pythagoras herrschte das Führerprinzip, und er selbst lehrte jeden Abend in Form einer
Vorlesung. Seine Zuhörerschaft, die oft von weit her
angereist kam, teilte er in zwei Kategorien ein: Die
„Mathematiker“ waren jene, die das Recht hatten, Wissen „mathematha", zu erwerben; die andere Gruppe,
die „Akusmatiker“, durften nur zuhören. Pythagoras
begann seine Reden stets mit dem Satz „Nein, bei der
Luft, die ich atme, nein, bei dem Wasser, das ich trinke, ich gestatte keinen Widerspruch zu dem, was ich sage". Die Redewendung „autos epha“ („er hat es
selbst gesagt“) führte auch in Diskussionen dazu, dass diesem Argument nicht widersprochen werden
durfte. Bei seinen Vorträgen verbarg er sich stets hinter einem Vorhang. Nur wenige bekamen ihn je direkt zu Gesicht.
Zur Lehre des Pythagoras
Die geistigen Vorstellungen der Pythagoreer standen in einem Spannungsfeld, gebildet aus einem grundlegenden Ordnungsprinzip, magischen Vorstellungen, einer harmonischen Lebensführung sowie der Musik. Die Zahlen und die Mathematik stellten für Pythagoras dabei die Bausteine der Welt dar und dienten
ihm als Erklärungsgrundlage aller Dinge, also als oberstes Ordnungsprinzip. Zahlenspielereien und deren
postulierte Mystik bildeten infolge dieser grundlegenden Annahme somit einen Hauptpunkt der Esoterik
seiner „Schule“. Entscheidend für das Gedankengebäude der Pythagoreer und ihre Esoterik war außerdem die Beziehung zwischen der Mathematik und der Musik. Sie waren wohl die ersten, die eine Harmonielehre betrieben. Die in der Musik offenbarte Harmonie verkörperte für sie wiederum die mathematische
Grundlage allen Seins.
Das Ende des Pythagoras
Auf Grund des Selbstverständnisses der Pythagoreer - und ihres Absolutheitsanspruches - kam es um
497/496 v. Chr. zu einem tragischen Ende: Sie wurden in ihrem damaligen Haupthaus, das des Athleten
Milon, eingeschlossen und verbrannt. Nur wenigen gelang die Flucht. Der 73jährige Pythagoras selbst
soll in den Musentempel von Metapont geflüchtet sein, dann das Essen verweigert haben und schließlich
verhungert sein.
Quelle: Fraedrich, Rolf: Praxis Schule 5-10, 1 (1994), S. 8.
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Vorschlag 11.2: Pythagoras auf Hawaii
Mitte Oktober findet alljährlich die Weltmeisterschaft im Triathlon („IronMan“) auf Big Island
(Hawaii) statt. Dabei müssen folgende
Distanzen zurückgelegt werden:
3,8 km Schwimmen im Meer,
180,0 km Radfahren und
42,2 km Laufen (Marathon).
Die Schwimmstrecke ist ein Rechteckkurs.
Alle 1400 Teilnehmer starten gleichzeitig von
der 70 m breiten Bucht. Nachdem sie die
beiden Wendebojen passiert haben, gehen sie
im Ziel wieder an Land.
Boje
Boje
200 m
1800 m
Zeichnung ist nicht
maßstabsgerecht!
Start in der Bucht
70 m
Ziel
5
Pythagoras auf Hawaii: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung
• Vertikale Vernetzung
Variationen der Aufgabe:
• Schüler entwickeln eigene Aufgabenstellungen.
• (1) Wie viele Teilnehmer stehen auf einem Meter, wenn sich beim Start alle gleichmäßig auf
die Bucht verteilen?
• (2) Wie lang ist die Strecke auf der Ideallinie? Zeic hne alternative Strecken und berechne
deren Länge.
• (3) Welche Strecke legt ein Schwimmer zusätzlich zurück, der (linksstartend) zunächst
1500 m geradeaus schwimmt und dann Kurs auf die erste Wendeboje nimmt?
• (4) Wie viel Zeit verliert dieser Schwimmer wenn er 100m durchschnittlich in
1:30 min schwimmt?
• (5) Wie viel Prozent macht dieser Zeitverlust gegenüber seiner theoretisch erreichbaren Zeit
(Schwimmen auf der Ideallinie) aus?
• (6) Wie groß ist der Zeitverlust, wenn ein Teilnehmer vom linken Rand der Bucht direkt die
erste Boje ansteuert?
• (7) Wie wirkt sich das Gedränge auf einen Schwimmer aus? Oder: Finde mögliche mathematische Beschreibungen des Vorteils nicht im Gedränge schwimmen zu müssen (z.B. höhere
konstante Geschwindigkeit oder prozentualer Vorteil) und berechne jeweils die Gesamtze iten.
• (8) Wie viel schneller müsste der Schwimmer außerhalb des Gedränges mindestens sein, damit er den Nachteil der längeren Strecke ausgleichen kann?
(Mögliche) Lösungen:
• (1) 20 Teilnehmer pro Meter bei gleichmäßiger Verteilung. Allerdings Häufung auf der rechten Seite zu erwarten.
• (2) Schwimmen auf der Ideallinie: Strecke = 3800 m.
•
•
•
•
(3) Länge der Alternativroute: 70 2 + 300 2 ≈ 308,1 ; also zusätzliche Strecke von ca. 8,1 m.
(4) Zeitverlust: 90 ⋅ 0,081 = 7,29 ; also rund 7 Sekunden.
(5) Insgesamt benötigte Zeit = 1,5 ⋅ 38 = 57 (min). Damit ein Zeitverlust von ca. 0,2%.
(6) Zusätzliche Strecke: 1,36 m; dies entspricht einem Zeitverlust von ca. einer Sekunde. Es
stellt sich allerdings die Frage, ob die Diagonalstrecke frei ist.
• (7) z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers verringert sich im Gedränge so, dass er
durchschnittlich für 100m 1: 40 min braucht. Dann benötigte Zeit auf Ideallinie (nur bis zur
ersten Boje): 53 ⋅ 18 = 30 ; also 30 Minuten. Benötigte Strecke bis zur ersten Boje mit Umweg
(wie 3): 1808,1m; also Zeit: 1,5 ⋅ 18,081 ≈ 27,1 ; also 27 Minuten und 7 Sekunden.
• (8) z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers, der den Umweg schwimmt sei x. Der
Schwimmer auf der Ideallinie legt 100m in 90 sek zurück. Dann gilt:
90 ⋅ 18 = x ⋅ 18,081 ⇔ x ≈ 89,6 ; also ungefähr genauso lange, falls der Schwimmer 100 m
durchschnittlich in 89,6 sek zurücklegt.
Bemerkungen:
• Kleiner Aussprachehinweis: Das „r“ in IronMan wird nicht ausgesprochen (also so ähnlich
wie „Eienmän“).
• Die Angaben für die verschiedenen Geschwindigkeiten im Beispiel sind recht ungewöhnlich
und könnten zu Missverständnissen führen.
6
Vorschlag 11.3: Pythagoras auf dem Sportplatz
Ein rechteckiger Sportplatz ist 100 m lang und 50 m breit. Ulli startet direkt
zur gegenüberliegenden Ecke. Frank läuft an der Außenlinie entlang.
Pythagoras auf dem Sportplatz: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung
• Vertikale Verknüpfungen
• (1) Wie viel Prozent des Weges spart Ulli?
• (2) Wie viel m ist Frank noch vom Ziel entfernt, wenn Ulli ankommt? (Was muss man hierbei
voraussetzen? Gleiche Geschwindigkeit)
• (3) Mit welcher Geschwindigkeit muss Frank laufen, um gleichzeitig mit Ulli anzukommen?
• (4) Wann treffen sie sich wieder, wenn sie auf ihren Wegen dauernd hin- und herlaufen?
• (5) Wo begegnen sie sich, wenn Ulli Frank entgegenläuft?
•
•
•
•
•
(1) Diagonale: 100 2 + 50 2 ≈ 111,8 A 74,5% des Außenweges.
(2) Entfernung: 150 – 111,8 = 38,2m.
(3) Frank muss ca. 1,34 mal so schnell laufen wie Ulli.
(4) Nach 900 bzw. 894,4m wird es relativ knapp. Gilt das als Treffpunkt?
(5) Begegnung ca. 19,1m von der Eckfahne entfernt.
7
Vorschlag 11.4: Entfernungen auf dem Stadtplan
Ein Kästchen auf der Karte entsprechen 100 m in der Realität.
Berechne die Luftlinienentfernungen.
Quelle: Mat(h)erialien 7 - 10 Geometrie, Schroedel (1996), S. 118 (leicht abgewandelt).
Entfernungen auf dem Stadtplan: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung in die Längenberechnung im Koordinatensystem
• Verwendung eines lokalen Stadtplans
• Vorgabe markanter Punkte durch Koordinaten. Wie könnte ein Computer-Programm aussehen, das die Luftlinienentfernung zweier vorgegebener Punkte bestimmt?
• Schule – Bahnhof: 640,31 m
• Schule – Schloss: 781,02 m
• Schule – Museum: 447,21 m
• Rathaus – Museum: 1208,30 m
•
•
•
•
Rathaus – Bahnhof: 223,61 m
Bahnhof – Museum: 1081,67 m
Bahnhof – Schloss: 1104,54 m
Bahnhof – Denkmal: 1118,03 m
Bemerkungen:
• Da die Kästchenlänge gerade 1 cm beträgt, werden die Schüler zunächst versuchen zu messen. Dies ergibt hinreichend genaue Ergebnisse.
• Die Aufgabe ist recht unrealistisch, da die Punkte nur „zufällig“ auf dem Gitter liegen. Ist dies
nicht der Fall, kann die rechnerische Methode nicht angewendet werden. Andererseits liegt
der Übergang zum Koordinatensystem nahe.
Alternativen:
• Ein alternatives (bzw. vorbereitendes) Arbeitsblatt zum Hinkelsteinweitlauf findet sich in den
MAT(H)ERIALIEN 7-10 Geometrie, S. 119 (liegt jeder Modellversuchsschule vor). Hier sind
die Unterschiede so gering, dass eine Berechnung der Längen sinnvoll erscheint.
8
Vorschlag 11.5: Wie weit kann man sehen?
In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:
Quelle: Schnittpunkte 9 (1995), S. 130.
Wie weit kann man sehen?: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Modellbildung
• Anwendung des Satzes des Pythagoras
• Bewusst auf die Vorgabe der Zeichnung verzichten. Statt dessen: Nicole und Patrick besuchen
in den Ferien in der Bretagne einen Leuchtturm. Verträumt schaut Nicole aufs unendliche
Meer hinaus. „Wie weit“, fragt sie nachdenklich, „sehen wir wohl?“ (vgl. mathematik lehren
86 (1998), S. 58)
• Mögliche Fortführung durch den Leuchtturm von Alexandria (siehe übernächste Seite)
• Annahmen: Die Sichtweite sei L; der Betrachter hat die Augenhöhe h und der Erdradius r sei
6360 km. Dann lässt sich die Aufgabe auf verschiedene Weisen lösen
(vgl. PM 33 (1991) H. 3, S. 136-138):
Halbkreisdurchmesser Angewendeter Satz
2 h + 2r
Höhensatz
1h + 2r
0h + 2r
Euklid
Sek.-Tang.-Satz
1h + 1r
Pythagoras
Führt zur Gleichung
L2 = h (h + 2r )
L2 = h (h + 2r )
L2 = h (h + 2r )
L2 = (h + r ) 2 − r 2
9
• Eine interessante Anmerkung zu dieser Lösung findet sich bei Kirsch (vgl. PM 34 (1991) H.
3, S. 136-138):
In der Ergebnisformel L = 2rh + h 2 verhält sich der zweite Summand im Radikanden
zum ersten wie h zu 2r; er beträgt also, wenn h ≤ 125 m angenommen wird, höchstens
0,125/12720 <10-5, d.h. weniger als ein Tausendstel Prozent des ersten Summanden.
Seine Streichung bewirkt, da noch die Wurzel zu ziehen ist, im Ergebnis einen Fehler
kleiner als 1/2000 %. Angesichts der naturgemäßen Ungenauigkeit ist somit sinnvollerweise als Lösung L = 2rh anzugeben.
Der Taschenrechner liefert mit h = 0,125 km die Ergebnisse
2rh + h 2 = 39,875000 km
und 2 rh = 39,874804 km . Selbst bei hundertfacher Höhe unterscheiden sich die Ergebnisse um weniger als 200 m.
Bemerkungen:
• Walter Bächtold plädiert (vgl. mathematik lehren 86 (1998), S. 58) nachdrücklich für den
Verzicht auf die Zeichnung:
In einer Klasse (in der der Satz des Pythagoras bekannt sein muss) beginnt die Suche
nach der Antwort meist mit einer Diskussion über Sichtweite aufgrund atmosphärischer
Gegebenheiten (Tageszeit, Luftfeuchtigkeit, Luftverschmutzung) und die Grundgesetze
des Sehens. Allmählich kommt dann die Frage nach der Entfernung des Horizontes ins
Spiel, und nach und nach entsteht eine geeignete Zeichnung zur Beschreibung der Situation: das Wesentliche überzeichnend-hervorhebend und ganz und gar nicht maßstabsgerecht - und zwar als Blick „aus dem Weltraum“, denn aus der Sicht des Menschen „vom
Leuchtturm aus“ lässt sich die Aufgabe wohl kaum lösen. Genau diese alles erklärende
Figur mit Erde, Turm, Sehlinie und Horizont findet sich bereits in der Aufgabenstellung
des Schulbuches. Natürlich kann man Aufgaben so stellen, aber gerade dieses Problem ist
zu faszinierend, als dass es so gleichsam ‚verheizt‘ werden sollte!
• Da in den meisten Klassen noch unbekannt sein dürfte, dass die Tangente an einen Kreis immer senkrecht auf dem Radius steht, muss dieser Zusammenhang der Anschauung entno mmen werden.
• Erarbeitung der „Faustformel“: Sichtweite (in km) ≈ 3,5 ⋅ Höhe (in m) . Dazu setzt man den
Erdradius in die Ergebnisformel ein und nutzt den Faktor 1000 um die Höhe in Metern angeben zu können: L ≈ 2rh = 2 ⋅ 6,360 ⋅ 1000 ⋅ h ≈ 3,5 ⋅ 1000 ⋅ h .
10
1. Lies dir zunächst den
nebenstehenden Text
durch.
2. Im Text sind falsche
Werte für die Sichtweiten von diversen Türmen
angegeben worden.
Korrigiere sie!
Der Leuchtturm von Alexandria
Im Altertum gab es sieben Bauwerke, die man als
»Weltwunder« bezeichnete. Eines dieser sieben
Weltwunder war der Leuchtturm von Alexandria. Alexandria ist eine Hafenstadt in Ägypten, sie wurde 331
v. Chr. von Alexander dem Großen gegründet und
war eine der bedeutendsten Großstädte der alten
Welt. Damals gehörte Ägypten zum griechischen
Weltreich, das sich über Persien bis Indien erstreckte.
Der berühmte Leuchtturm stand auf einer kleinen
Felsinsel vor der Hafeneinfahrt, die Insel nannte sich
Pharos. Mit der Zeit hat sich der Name der Insel so
mit dem Turm verknüpft, dass man von dem Bauwerk
selbst als dem »Pharos von Alexandria« sprach. Das
französische Wort »Phare« für Leuchtturm kommt
daher. Gebaut wurde der Turm ab 290 v. Chr., 279
wurde er dann feierlich eingeweiht.
Ursprünglich war das Bauwerk allerdings gar nicht als
Leuchtturm gedacht, sondern als Wahrzeichen der
neuen Stadt, als Künder der Weltmacht des griechisch-morgenländischen Reiches. Seine enorme
Höhe deutet das an, er war mehr als 120 m hoch.
Schon im Altertum war bekannt, dass die ideale Höhe
eines Leuchtturms bei etwa 40 m liegt. Sein Leuchtfeuer hat nämlich durch die Erdkrümmung nur eine
begrenzte Reichweite. Ein Feuer auf der Spitze eines
10m hohen Turms leuchtet 20km weit. Baut man ihn
doppelt so hoch, leuchtet das Feuer nicht etwa doppelt so weit: Die Sichtweite eines in 20 m Höhe angebrachten Lichts beträgt nur 25 km. Und ein Turm von
110 m Höhe strahlt nicht einmal 1 km weiter als einer
von 100 m. Der Bau eines allzu hohen Leuchtturms
bedeutet folglich nur Verschwendung von Zeit und
Material. Da der riesige Turm aber nun schon mal
stand, ging man um das Jahr 150 (also rund 400 Jahre nach seiner Vollendung) dazu über, auf der Turmspitze ein nächtliches Feuer zu schü ren und das
Bauwerk fortan auch als Leuchtturm zu benutzen.
Nach der Vermutung und Berechnung von August Thiersch
sah der Pharos so aus.
11
Vorschlag 11.6: Beweise des Satzes des Pythagoras
(1) Tischlein deck dich
Problemstellung
Da die Kinder von Familie Schneider häufig ihre Freunde einladen, wurde ein neuer
quadratischer Tisch angeschafft, der doppelt so groß ist wie der alte, der ebenfalls
quadratisch war. Da neue Tischdecken teuer sind, beschließt Familie Schneider, aus je
zwei alten Tischdecken eine neue zu nähen.
Stationen auf dem Weg zum Satz des Pythagoras
1. Da die alten Tischdecken für denselben Tisch bestimmt waren, geht man davon aus,
dass beide die gleiche Größe hatten.
Man zerschneidet beide Tischdecken längs einer Diagonalen
und setzt die vier rechtwinkligen Dreiecke so zusammen, dass
sich ihre rechten Winkel zu 360° e rgänzen.
Begründung:
Alle Teildreiecke sind rechtwinklig-gleichschenklig und zueina nder kongruent. Deshalb entsteht ein Viereck mit rechten Winkeln und gleichlangen Seiten, also ein Quadrat.
2. Wenn nun aber die eine Tischdecke einen größeren Überhang hat als die andere, die Tischdecken also nicht gleich
groß sind, muss man anders zuschneiden. Aber wie?
Das Verfahren von 1. führt zu einer Tischdecke, die nicht
quadratisch ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Missstand zu beheben.
Möglichkeit 1:
Es stört, dass H1 und H2 nicht zusammenfallen. Das
Dreieck CDH1 ist zu groß und das Dreieck FEH2 zu
klein. Das große Dreieck muss zu Gunsten des kleinen
verkleinert werden. Man kann das Dreieck CDH1 verkleinern, indem man von C aus zu einem Punkt X auf AB
schneidet, der zwischen A und B liegt. Systematisches
Probieren kann zu dem gesuchten Punkt X führen.
Möglichkeit 2:
Clevere Schülerinnen und Schüler werden zunächst
einmal ausrechnen, wie lang die Seite des neuen Quadrats werden wird und dann diese Seite von C aus so einfluchten, dass ihr Endpunkt auf AB liegt. So finden sie
experimentell den Punkt X.
Möglichkeit 3:
Da die neue Tischdecke quadratisch sein soll, muss bei
X ein rechter Winkel auftreten. Durch Probieren, z.B. mit
dem Geodreieck, oder mit Hilfe des Thalessatzes wird
der Punkt X gefunden.
12
3. Dass der gefundene Punkt X wirklich zum Ziel führt, muss jetzt begründet werden.
Im Einzelnen ist zu zeigen:
(1) BX = b
(2) CHFX ist ein Quadrat.
(1) Zu zeigen: BX = b
H1 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung von Dreieck
CXB um -90° um C. => AH1 = a + BX
H2 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung von Dreieck
XFG um +90° um F. => AH 2 = b + XG
H1 = H2 gilt nur dann, wenn a + BX = b + XG
Mit BX + XG = a + b folgt daraus:
a + BX = b + a + b − BX ⇔ BX = b
(
)
(2) Zu zeigen: CHFX ist ein Quadrat.
Da sich die beiden spitzen Winkel jedes rechtwinkligen Dreiecks zu 90° ergänzen, folgt die Rechteckseigenschaft aus der Konstruktion (Drehungen). Nach
Konstruktion sind die Strecken CX und CH gleich
lang, analog FX und FH .
Aus XB = b und XG = a folgt CX = FX .
4. Übergang zum Satz des Pythagoras
Möglichkeit 1:
Man lässt die Schülerinnen und Schüler die Tischdeckenfigur mit einer vorgegebenen "Pythagoras-Figur"
vergleichen.
Möglichkeit 2:
Im Zusammenhang mit der Beweisführung von (2) werden die Seitenlängen der 4 kongruenten rechtwinkligen
Dreiecke, die beim Beweis eine zentrale Rolle spielen,
bewusst gemacht und aus der Figur die Beziehung
a 2 + b 2 = c 2 abgelesen.
Quelle: Modellversuchsband Rheinland-Pfalz (1999), S. 25ff (liegt jeder Modellversuchsschule vor). Auch
unter http://berater.bildung-rp.de/reichelstein/sinus/unterrichtsreihen.htm. Dort finden sich jeweils auch
weitere Anregungen zum Satz des Pythagoras.
13
(2) Ein Pythagoras Puzzle
Quelle: Steudel, H: Der Satz des Pythagoras - ein Legespiel. In: mathematik lehren (1994) H. 62. S. 66f.
14
(3) Und er sagte sein einziges Wort...
Quelle: Fraedrich, A.M.: Die Satzgruppe des Pythagoras. BI-Wiss.-Ver., 1995, S. 251f.
(4) Wie lang ist die Diagonale im Rechteck
Zunächst wird an die vorangegangene Unterrichtseinheit angeknüpft und die Länge der
Diagonalen im Quadrat bestimmt. (Teilen von zwei identischen Quadraten durch Diagonalschnitt). Wichtig ist, dass die Schüler begründen, warum beim Zusammenlegen alles
passt.
Nun kann die Frage gestellt werden, ob sich zur Bestimmung der Diagonalenlänge im
Rechteck nicht analog zwei kongruente Rechtecke zerlegen lassen. Die Schülerinnen
und Schüler erhalten dazu Papier und Schere, damit sie experimentieren können.
Die naheliegende Figur (die Raute) löst das Problem nicht, aber weiteres Probieren
dürfte mit ziemlicher Sicherheit in jeder Klasse auf die dem indischen Mathematiker
15
Bhaskara (12 Jh.) zugeschriebene Konfiguration führen: Die
vier rechtwinkligen Teildreiecke bilden ein Quadrat mit einem
quadratischen Loch. Das Quadrat hat die Seitenlänge c, das
Loch die Seitenlänge (a - b).
2
Damit lässt sich die Gleichung c 2 = 4 ⋅ 12 ⋅ ab + (a − b ) aufstellen und unter Benutzung der zweiten binomischen Formel in
den Satz des Pythagoras umformen.
Die Beweislast liegt im Nachweis, dass wirklich Quadrate
entstehen. Hierzu muss man wie im Spezialfall die Kongruenz
der Teildreiecke, den rechten Winkel in jedem Teildreieck und
die Tatsache heranziehen, dass die restlichen Winkel jedes Teildreiecks zusammen
einen rechten Winkel bilden. Kritisch ist die Stelle, wo drei rechtwinklige Dreiecke bereits zusammengesetzt sind und bewiesen werden muss, dass das vierte Dreieck wirklich eingepasst werden kann.
Quelle: Wittmann, E.: Vom Tangram zum Satz des Pythagoras. In: mathematik lehren (1997) H. 83. S.
18ff (leicht ve rändert).
Beweise des Satzes des Pythagoras: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
• (1) Einkleidung mit Tischdecken weglassen und rein geometrisch vorgehen. Mögliche Alternative für Quadratve rdopplung: Einkleidung als Amasis Problem (siehe folgende Seite).
• (2) Arbeitsauftrag: „Lege die weißen und die schwarzen Puzzleteile jeweils zu Quadraten
zusammen. Was fällt dir auf?“
Beim Legen sollte die Frage diskutiert werden, warum die Te ile zusammenpassen müssen
(gleiche Längen und rechte Winkel).
• (3) Die Überschrift „Und er sagte kein einziges Wort...“ ist irreführend, da sehr wohl einige
Erläuterungen erforderlich sind. So muss begründet werden, warum die Höhe der schraffierten Fläche (z.B. Bild 4) gerade gleich der Quadratseitenlänge ist.
Bemerkungen:
• (2) Ein ähnliches Puzzle und zwei weitere finden sich auch in den MAT(H)ERIALIEN 7-10
Geometrie, S. 115ff.
• Weitere Beweise und viele andere wertvolle Hinweise finden sich bei: Fraedrich, A.M.: Die
Satzgruppe des Pythagoras. BI-Wiss.-Ver., 1995 und Baptist, P: Pythagoras und kein Ende.
Klett, 1998.
• Das Thema Satz des Pythagoras bietet auch gute Möglichkeiten mehrere (voneinander unabhängige) Zugänge nacheinander zu bearbeiten. Neben dem Vorteil so verschiedenen Lernt ypen gerecht werden zu können, besteht so auch die Möglichkeit, mehrere Beweise zu beha ndeln und diese miteinander zu vergleichen. Positive Rückmeldungen aus dem gymnasialen
Bereich liegen bereits vor.
16
Amasis' Problem
Es begab sich im alten Ägypten, dass der reiche Kaufmann Potiphar nach reiflicher Überlegung der Vermählung seiner Tochter zugestimmt hatte. Nun wollte er
dieses große und wunderbare Ereignis in der ganzen Stadt bekannt geben. Sein
Schreiber sollte die freudige Neuigkeit in schönsten Hieroglyphen auf feines Papyrus schreiben. Zu diesem Zwecke benötigte Potiphar Papyrusrollen der besten
Qualität.
So ging er zu dem Papyrushändler Amasis und erklärte ihm sein Anliegen. Amasis
zeigte ihm die feinsten Papyrusblätter, die alle von quadratischer Form waren. Sie
gefielen Potiphar durchaus, jedoch war ihm seine Tochter sehr kostbar, und deshalb wünschte er sich für die Bekanntgabe ihrer Vermählung noch größere Papyrusblätter. So sprach er: „Edler Amasis, du wirst doch gerühmt für deine geometrischen Fähigkeiten. Könntest du nicht Papyrusblätter konstruieren, deren Fläche
jeweils genau doppelt so groß ist wie die des hier vorliegenden Papyrus, und die
ebenso quadratisch sind?" „Aber selbstverständlich, guter Potiphar", antwortete
Amasis sichtlich geschmeichelt. „Ich werde gerne quadratische Papyrusblätter
nach deinen Wünschen konstruieren. Das ist für mich eine der leichteren Übungen. Gib mir einen Tag Zeit. Morgen um die gleiche Stunde kannst du die Papyrusblätter abholen." Worauf Potiphar sich gebührend bedankte und ging.
Zurück blieb der arme Amasis, der in jener Nacht viele Stunden schwitzend über
Papyrusrollen gelehnt zubrachte. Sein leichtfertig gegebenes Versprechen war
doch nicht so einfach einzuhalten, wie er zunächst geglaubt hatte. Ihm wollte keine Lösung zur Konstruktion von Papyrusblättern in der von Potiphar gewünschten
Größe einfallen. Vielleicht kannst du ihm helfen.
17
Vorschlag 11.7: Pyramiden
Wie viel Zeltstoff benötigt
man für die Herstellung des
Zeltes?
Quellen:
Abbildung rechts: Mathematik Heute 9
(1996), S. 116 (leicht verändert),
Abbildung unten: Wir basteln geometrische Körper, Verlag an der Ruhr, S. 31.
18
Pyramiden: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Längenberechnungen im Raum
• Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögen
• (1) Wie kann man die Nahtzugabe berücksichtigen?
• (2) Wie lang ist jeder der vier Zeltstäbe?
• Bezeichnungen am Pyramidenmodell weglassen und zusammen mit den Schülern geeignet
beschriften (z.B. „s“, „hs“ und „h“).
• Stoffbedarf 15m2 (ohne Berücksichtigung der Bodenfläche und einer Nahtzugabe)
• (2) Länge eines Zeltstabs: 2,92 m
Bemerkungen:
• Die Pyramidenmodelle gibt es auch mit rechteckiger Grundfläche (liegt im Modellversuchsraum vor)
• (Noch) schönere Pyramidenmodelle gibt es z.B. bei: Arnulf Betzold GmbH, Lehrmittelverlag,
Schulversand, 73479 Ellwangen, Tel.: 0130-73 45 41.
19
Informationen: Pyramiden (Bauwerke)
Monumentalbauten einiger früher Hochkulturen, die man
in ihrer idealtypischen Form in Ägypten, aber ganz ähnlich auch bei den Maya- und Azteken-Kulturen Mesoamerikas findet. Die Pyramiden des alten Ägypten stehen
jedoch in keinem Bezug zu den Bauten in Mittel- und
Südamerika, obgleich es Theorien gab, die versuchten,
aus der Ähnlichkeit ihrer Funktion ägyptische Einflüsse
bei der Entstehung der Hochkulturen der Neuen Welt
abzuleiten.
Ägypten
Die ägyptischen Pyramiden entstanden seit der dritten Dynastie des
Alten Reiches, etwa zwischen 2700 v. Chr. und 1000 v. Chr., als
massiv ausgeführte Grabbauten für die Pharaonen und den damit
verbundenen aufwendigen Totenkult. Ihre Errichtung war mit einem
ungeheuren Aufwand an Arbeitskräften und Material verbunden, das
Hantieren mit den gewaltigen Steinblöcken kostete zahlreiche Menschenleben. Mit dem Übergang in das Neue Reich wurden Felsengräber bevorzugt, doch Nubier und Ptolemäer griffen diese Bauform –
allerdings in erheblich verkleinerten Ausführungen – später wieder
auf.
Bestimmendes Merkmal der ägyptischen Pyramiden ist eine streng
geometrische Form (Pyramidenform) mit anfänglich rechteckiger,
später quadratischer Grundfläche. Die vier dreieckigen Seitenflächen
treffen sich in einer gemeinsamen Spitze. Die berühmteste und am besten erhaltene Pyramide, die im
Gegensatz zur späteren klassischen Pyramidenform noch auf einer rechteckigen Grundfläche errichtet
wurde, ist die Stufenpyramide des Königs Djoser in Sakkara bei Kairo aus der Zeit um 2700 v. Chr. Die
ungewöhnlichste Anlage findet sich bei Gise in der Nähe von Kairo. Die größte ihrer drei Pyramiden beherbergt die Grabkammer des Pharaos Cheops und wurde in der Antike zu den Sieben Weltwundern
gezählt. Diese so genannte „Große Pyramide“ war ursprünglich 147 Meter hoch, ihr Grundriss maß etwa
230 × 230 Meter. Im Inneren der ägyptischen Pyramiden
befand sich meist ein labyrinthisches System aus verwinkelten Gängen, das den Zugang zu den mit reichhaltigen
Schätzen ausgestatteten Grabkammern erschweren sollte. Nicht selten wurden auch Blindwege, Fallgruben und
Geheimtüren angelegt. Selbst die überlieferte Androhung
eines Fluches, der ungebetene Besucher treffen sollte,
konnte in den folgenden Jahrhunderten jedoch nicht verhindern, dass das wertvolle Innere der Pyramiden nahezu
vollständig ausgeplündert wurde. Nicht wenige der geraubten Kunstschätze landeten in europäischen Museen.
Im Innern einer Pyramide
Die Grabkammern im Innern einer
Pyramide enthielten den Sarkophag des Pharaos und reiche
Grabbeigaben für sein Leben nach
dem Tod. Die Kammern befinden
sich am Ende langer Korridore, die
verschlossen werden konnten oder
auch in einer Weise angelegt wurden, die Grabräuber verwirren sollte. Dieser Schnitt durch die Große
Pyramide von Gise zeigt die Anordnung von Gängen und Grabkammern beispielhaft.
Quelle: Microsoft Encarta
20
Vorschlag 11.8: Kürzeste Wege
Gegeben sei ein quaderförmiger Körper
mit a = 20cm, b = 10cm und c = 15 cm.
Auf dem Eckpunkt S sitzt eine Spinne,
auf F eine Fliege. Die Spinne will auf
kürzestem Weg - auf den Begrenzungsflächen des Körpers laufend - zur Fliege
gelangen.
Quelle: Walsch, W: „Aufgabenfamilien 9“ /1/. In: MiS 33
(1995) H. 3, S. 142 (leicht verändert).
Kürzeste Wege: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
• (1) Angenommen, die Kantenlängen seien verschieden und es gilt a > b > c. Wie ist dann der
kürzeste Weg?
• (2) Zwei Kantenlängen seien gleich, etwa a = b.
• (3) Alle Kantenlängen seien gleich a.
• (4) Übertragung auf Kreiskegel bzw. Kreiszylinder
• Sicher muss man irgendwie „schräg“ über jeweils zwei
Begrenzungsflächen laufen. Um die genaue Lage dieses
Weges zu ermitteln, kann man die Seitenflächen geklappt vorstellen. Für die Abbildung ergibt sich so:
l1 = (a + b ) + c 2 ; l1 = 33,5cm . Damit ist die Aufgabe
aber noch nicht gelöst, da die Spinne ja auch über andere Begrenzungsflächen laufen kann. So findet man hier:
2
l2 =
(a + c )2
+ b 2 ; l 2 = 36,4cm und l 3 =
• (1) Dann ist stets: l =
(b + c ) 2 + a 2
(b + c )2 + a 2 ; l3
die Länge des kürzesten Wegs.
• (2) Dann ist l1 = 4a 2 + c 2 , wenn c > a bzw. l 2 =
• (3) Kürzester Weg =
= 32,0cm .
(a + c )2 + c 2 , wenn c < a .
5 ⋅a
• Für leistungsstärkere Schüler
Bemerkungen:
• Mit einem Holzquader bzw. einer Pappschachtel und einer Schnur lassen sich sehr schön experimentell Wege ermitteln.
21
Vorschlag 11.9: Die ägyptischen Seilspanner
Die ägyptischen Seilspanner (um 2000 v. Chr.) hatten eine sehr genaue
Methode um rechte Winkel zu konstruieren. Sie benutzten dazu ein Seil mit
Knoten in gleichen Abständen.
1. Warum soll es wichtig sein, genau rechte Winkel konstruieren zu können? Hast du eine Idee, wie das heute die Maurer machen?
2. Nimm ein langes Stück Bindfaden und markiere darauf 12 gleich große
Abschnitte. Finde möglichst viele Dreiecke, so dass jeder der drei Eckpunkte genau bei einem Knoten liegt. Welches haben wohl die ägyptischen Seilspanner benutzt und warum gerade dieses?
Quelle: MUED: Materialien für den Mathematikunterricht in der Sek. I – Nr. 5, S. 40.
Die ägyptischen Seilspanner: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras
• Auch: Einführung des Satzes des Pythagoras
• Selbst eine Schnur herstellen und Schülern nur sagen, dass dies im alten Ägypten benutzt
wurde. Dann Schüler weitere pythagoreische Tripel finden lassen.
• „Warum nimmt man gerade ein Seil mit 12 Knoten? Geht es nicht mit weniger (mehr) Knoten?“ Schüler alle 15 Knoten-Dreiecke finden lassen, die man mit weniger als 12 Knoten legen kann. Erst dann weitere pythagoreische Tripel sammeln.
• Statt durch Knoten kann man die Abschnitte auch durch Isolierband oder mit Farbstiften markieren. Sehr gut geeignet sind auch Streichhölzer und Nagelbretter.
• (1) Neueinteilung der Felder nach der jährlichen Nilschwemme. Maurer nutzen oft eine analoge Lattenkonstruktion.
• (2) 12 verschiedene Tripel.
Bemerkung:
• Wird der Satz des Pythagoras auf diesem Wege eingeführt, besteht die Gefahr, dass die Schüler Satz und Umkehrung nicht klar voneinander trennen (können).
• Interessante Informationen zur Geschichte dieser Tripel finden sich auch in mathematik le hren (1996), H. 74, Beilage Mathe-Welt (liegt im Modellversuchs-Raum vor). Eine ausgearbeitete Unterrichtseinheit ist im Modellversuchsband Rheinland-Pfalz abgedruckt. Auch im Internet unter http://berater.bildung-rp.de/reichelstein/sinus/unterrichtsreihen.htm.
22
Vorschlag 11.10: Der Satz von Fermat
Lies die folgenden Zeitungsartikel.
Erkläre, worum es geht.
Ein Artikel enthält Fehler.
23
Der Satz von Fermat: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Mathematik als kulturhistorische Errungenschaft
• Spannendes und Unerforschtes in der Mathematik
• Schüler zunächst selbst (ganzzahlige) Tripel für den dreidimensionalen Fall finden lassen.
• In der HNA vom 11.7.93 wird der Satz auf den dreidimensionalen Fall beschränkt.
• Als kleines Projekt, im Rahmen der Wandzeitung oder für interessierte als Lesetext. Die zum
Fermat-Problem erschienenen Taschenbücher sind relativ preiswert und auch für Schüler geeignet. Gerade mathematisch weniger Interessierte empfinden das Buch oft als spannend und
willkommene Abwechslung von der Schulmathematik: Simon Singh: Fermats letzter Satz
(19,50 DM) oder Amir D. Aczel: Fermats dunkler Raum (15 DM).
24
Vorschlag 11.11: Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras
(1) Anwendungen des Satzes des Pythagoras
1
Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an.
2
Berechne die Länge der
Diagonalen des Rechtecks
ABCD.
3
Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen.
4
Bei der Festlegung der Bestellmaße für eine rechtwinkligdreieckige Isolierglasscheibe wurde vergessen, das Maß einer Seitenlä nge anzugeben.
5
6
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete r = 6 cm und die Hypotenuse t = 15 cm.
Berechne die Länge der anderen Kathete s und den Flächeninhalt des Dreiecks.
In einem Dreieck ABC sind gegeben:
a)
a = 10 dm
c = 6 dm
α = 90°
b) a = 8 m
b = 12 m
β = 90°
Berechne die dritte Dreiecksseite.
7
In einem Wohnraum werden Fußsockelleisten montiert.
Wie viele Meter dieser Leisten werden in der Kalkulation
verrechnet, wenn die beiden Türen ausgespart werden
und ein Verschnittzuschlag von 15 % einbezogen wird?
25
1
Elfmeter! Olaf knallt den Ball in einer Höhe von 1,50 m an den Pfosten.
Welche Strecke legt der Ball dabei mindestens zurück?
Das Tor ist 7,32 m breit und 2,44 m hoch.
2
a) Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz).
Auf einem Streckenabschnitt von 1130 m Länge überwindet sie
gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489 m.
Wie lang erscheint dieser Steckenabschnitt auf
einer Karte im Maßstab 1 : 25 000?
b) Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf
einer Karte 12 cm lang (Maßstab 1 : 10 000). Die
wirkliche Streckenlänge beträgt 1 250 m.
Wie groß ist der Höhenunterschied?
3
4
5
6
Wie lang muss die Feuerwehrleiter sein, falls
es im obersten Stockwerk des Hochhauses
brennen sollte?
Beim großen Brand von London im September 1666
wurden 45 der City vernichtet. Als Mahnmal wurde ein
Säule (genannt Monument) errichtet, deren Höhe
genau der Entfernung vom Fuß der Säule zu der
Stelle entspricht, an der das Feuer ausbrach (einer
Bäckerei in der Pudding Lane). Ein Londonbesucher
misst die noch zugänglichen Strecken. Bestimme
damit die Höhe der Säule.
Man benutzt das Echolot, um die Meerestiefe zu messen.
Das funktioniert folgendermaßen:
In A wird ein Schallsignal erzeugt. Dieses breitet sich aus und
wird am Meeresboden zurückgeworfen. In B wird der reflektierte Schall nach einiger Zeit wieder empfangen. Aus der
Schalldifferenz zwischen Schallempfang in B und Schallerzeugung in A rechnet man die Tiefe t aus.
Bestimme die Meerestiefe für den vorliegenden Fall:
Das Schiff ist 16 m breit. Der Schall legt in einer Sekunde
1510 m im Wasser zurück. Die Schalldifferenz an der Stelle
sei 0,4 Sekunden. Ergänze und beschrifte die Skizze so,
dass dein Rechenweg erkennbar wird.
Eine Boje kann 0,5 m senkrecht über die
Wasseroberfläche emporgehoben oder 2
m zur Seite bewegt werden, bis das Halteseil straff gespannt ist. Wie tief ist das
Wasser?
26
1
Ein 3,40 m hoher Baum ist umgeknickt. Er ragt jetzt genau
über den 2 m breiten Fluss. In welcher Höhe ist der Baum
umgeknickt?
2
Kann das mittlere Auto noch ausparken?
Es ist 4,80 m lang und 1,80 m breit; der
Abstand zum vorderen und hinte ren Fahrzeug beträgt jeweils 30 cm.
3
Zwischen zwei Pfählen mit einem Abstand von 3,80 m ist waagerecht eine dehnbare
Wäscheleine straff gespannt.
a) Hängt man z.B. in die Mitte der Leine einen Bügel mit einem nassen Wäschestück,
senkt sich die Wäscheleine um 20 cm. Wie stark hat sich die Wäscheleine gedehnt?
b) Die Wäscheleine ist bis zu 8% ihrer Länge dehnbar. Um wie viel cm dürfte sich die
Wäscheleine höchstens senken, ohne zu zerreißen?
4
Berechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren. Jeder Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen.
5
Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit
man ihn wie angegeben aufstellen kann?
6
7
Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60
Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch. Ihr Abstand beträgt 100 Fuß. Für die beiden Vögel ist der Weg von
der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den
Türmen gleich weit. Wie weit ist der Brunnen von den
Türmen entfernt?
Eine Schnur ist symmetrisch um einen Stab gewickelt. Die Schnur windet sich genau 4 mal um
den Stab. Der Umfang des Stabes ist 4 cm und
die Länge des Stabes ist 12 cm.
Wie lang ist die Schnur?
27
Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990); Mathematik Heute 9 (1996); Lambacher Schweizer 9 (1997);
Schnittpunkt 9 (1995); Unterlagen der MUED;TIMSS (POP 3).
Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung / Anwendung
• Vertikale Vernetzung
• Blatt (1):
• (2) Diagonale = 13cm
• (3) a) x ≈ 9,43cm; b) y ≈ 9,22cm; c) z ≈ 11,18cm; d) u ≈ 35,23cm; e) v ≈ 8,94cm
• (4) Maß ≈ 978,27
• (5) Kathete s ≈ 13,75 cm; Flächeninhalt ≈ 41,24cm2
• (6) a) b = 8dm; b) c ≈ 8,94 m (wie 3e)
• (7) U ≈ 17633,26; Mit Verschnitt ≈ 20278,25
• Blatt (2):
• (1) Strecke (min.) ≈ 11,69m
• (2) a) Strecke ≈ 1018,71m; Auf der Karte ≈ 4,07 cm; b) Höhenunterschied =350m
• (3) Feuerleiter ≈ 25,71m
• (4) Höhe der Säule ≈ 61,59m
• (5) Meerestiefe ≈ 301,89m
• (6) Wassertiefe = 3,75m
• Blatt (3):
• (1) Knick in Höhe ≈1,11m (Voraussetzung: Baum steht direkt am Fluss)
• (2) Diagonale ≈ 5,13m; das klappt schon...
• (3) a) Dehnung ≈ 2,1cm; b) Senkung (max.) ≈ 60cm
• (4) Sparrenlängen a) = 5,4m; b) ≈ 9,05m; c) ≈ 9,67 m
• (5) Schrankhöhe (max.) ≈ 2,32m
• (6) Entfernung Brunnen - Turm = 64m bzw. 36m
• (7) Handlungsvorstellung: Küchenpapierrolle längs aufschneiden; Schnur = 20cm
28
Vorschlag 11.12: Pythagoras und Vernetzungen
29
Pythagoras und Vernetzungen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Vertikale Vernetzungen
Bemerkungen:
• Kaum ein Themengebiet bietet eine solche Fülle von Verknüpfungen zwischen früheren, aktuellen und zukünftigen Unterrichtsinhalten wie die Satzgruppe des Pythagoras. So finden
sich im Vorschlag 11.11 schon mehrere Aufgaben, die Vernetzungsmöglichkeiten zur Prozentrechnung und der Arithmetik aufweisen.
Einen guten Überblick über die Vielfalt des Stoffgebiets gibt der Artikel von Winter (Winter,
H.: Satzgruppe des Pythagoras. In: mathematik lehren (1984) H. 2, S. 42-48). Neben einer
theoretischen Auseinandersetzung, bietet der Artikel praktische Anwendungsübungen.
• In der ursprünglichen Version war an dieser Stelle auch der Artikel abgedruckt. Hier haben
wir und auf ein Arbeitsblatt beschränkt.
(Mögliche) Lösung:
30
Vorschlag 11.13: Das Tunnelproblem
Unterwegs nach Hamburg: Das Tunnelproblem
1,1 m
Gehsteig
6m
Straße
1,1 m
Gehsteig
Stellt euch vor, ihr seid mit einem Transporter auf dem Weg nach Hamburg. Immer auf
der A7 Richtung Norden. Kurz hinter Göttingen geratet ihr in einen langen Stau und
entscheidet euch deshalb, bei der nächsten Abfahrt die Autobahn zu verlassen. Weiter
geht's auf der Land straße. In einer kleinen Ortschaft stellt sich euch allerdings ein
schwieriges Problem: die Straße, auf der ihr euch befindet, führt durch einen Tunnel,
der euch sehr, sehr niedrig erscheint. Ob der Transporter hindurchpassen wird? Leider
haben böse Buben, die in der Gegend ihr Unwesen treiben, das Verkehrsschild zur Höhenbegrenzung, das normalerweise über jeder Straßenunterführung oder Brücke befestigt ist, entwendet. Ein Blick in die Wagenpapiere bringt keine Erleichterung, denn es
stellt sich heraus, dass der Transporter 2,70 m hoch ist. Ganz schön hoch! Das Risiko,
auf gut Glück loszufahren, erscheint euch zu groß, zumal das Verkehrsaufkommen auf
der Gegenspur sehr groß ist, ihr also auf eurer Fahrspur bleiben müsst.
Aber schließlich erinnert ihr euch an den Matheunterricht. Wenn sich die Höhe der Tunneldurchfahrt an der kri tischen Stelle berechnen ließe, hättet ihr ja tatsächlich etwas
Nützliches gelernt! Immerhin wisst ihr, dass der Querschnitt des Tunnels halbkreisfö rmig ist. Außerdem habt ihr ein einfaches Maßband bei euch, mit dem ihr zumindest die
Breite der Straße und des schmalen Gehsteigs messen könnt (Maße siehe Zeichnung).
Quelle: Ursprüngliche Aufgabe: Mathematik Heute (1996), S. 122; Text: Dagmar Seuberlich: Staatsexamensarbeit (1997) (verändert).
Das Tunnelproblem: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung bzw. Anwendung des Höhensatzes
• Aufgabe auf aktuellen Ausflug der Klasse umschreiben.
• Aufstellen von drei Gleichungen nach Satz des Pythagoras. Lösung des linearen Gleichungssystems. Allgemeine Lösung liefert Höhensatz. Kritische Höhe ≈ 2,79m; Durchfahrt möglich.
31
Vorschlag 11.14: Eine Wandzeitung und andere Projekte
Quelle: Melani Geyer: Staatsexamensarbeit (1999) (verändert).
32
Eine Wandzeitung und andere Projekte: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Produktorientierung
• Selbständige Sicherung der Inhalte
• Gruppenarbeit
• Am Ende der Einheit, insbesondere zur Vorbereitung der Klassenarbeit
Bemerkungen:
• Aufgrund seiner großen Vielfältigkeit eignet sich das Thema Satzgruppe des Pythagoras besonders für projekt- bzw. produktorientierte Zugänge. Interessant erscheint insbesondere die
gemeinsame Herstellung einer Wandzeitung, durch die die Schüler ihre Ergebnisse präsentieren können und die gleichzeitig eine sinnvolle Übung und eine gute Vorbereitung der Klassenarbeit ermöglicht.
Mögliche Themen der Wandzeitung:
§
Koordination – Übergeordnete Gestaltung der Wandzeitung
§
Das Leben des Pythagoras
§
Satzfindung
§
Beweis(e)
§
Pythagoraspuzzle
§
Darstellung des Satzes des Pythagoras
§
Anwendungsaufgaben
§
Historische Anwendungsaufgaben
§
Lustige und kuriose Pythagorasfiguren
§
Berechnungen in räumlichen Figuren
§
Die ägyptischen Seilspanner
§
Der Satz von Fermat
§
Das Tunne lproblem
Alternativen:
• Arbeitsblätter zum Lernen an Stationen für das Thema Satz des Pythagoras gibt es von der
MUED und vom Verlag an der Ruhr (im Modellversuchsraum vorhanden).
• Ein Theaterstück über Pythagoras und die Irrationalzahlen findet sich bei Mattheis, M. In:
Praxis Schule 5-10, 9 (1998), H. 5, S. 53-57 (liegt leider nicht im Modellversuchs-Raum vor).
• Ein Märchen „Wie Pythagoras seinen Lehrsatz entdeckte“ findet sich bei Hauck, G. In: mathematik lehren (1993), H. 61, S. 76-77 (liegt im Modellversuchs-Raum vor).
• Fast schon ein kleines Projekt wäre die Planung einer Seilbahn in der näheren Umgebung.
Dabei müssen sich die Schüler zunächst mit der Landkarte vertraut machen, die Höhenverläufe erkennen und sich für einen möglichen Verlauf in der Horizontalaufsicht entscheiden. Danach müssen sie eine Vertikalschnitt der Trasse entwickeln, den entstehenden Polygonzug triangulieren und dessen Länge mittels des Satzes des Pythagoras bestimmen (vgl. Köhler, R.:
TIMSS und die Folgen: Was kann man in der Praxis ändern? In: TIMSS und der Mathematikunterricht. Schroedel (1998), S. 40-45.
• Ein Vorschlag den Satz des Pythagoras von Schülern selbständig als Internet Recherche zu
erarbeiten, stammt von Eckhard Müller (GCLS). Eine mögliche Arbeitsanweisung ist auf der
folgenden Seite abgedruckt.
• Interessante Internetseiten zum Thema Satz des Pythagoras sind leicht zu finden. Eine Zusammenstellung findet sich aber auch bei Schwarze, M. In: mathematik lehren (1998), H. 92,
S. 52-54. Auch unter:
http://www.ham.nw.schule.de/projekte/swmathe/Uonline/material/mat.htm
33
• Geometrieprogramme und Java-Applets bieten gute Veranschaulichungsmöglichkeiten. Angeführt seien hier die Megallan Demo CD-Rom von Klett sowie das Programm Euk lid, das als
Shareware erhältlich ist.
• Eine Fülle von Informationen und Anregungen rund um die Satzgruppe des Pythagoras (insbesondere Biographie, Harmonielehre und verschiedene Beweise) finden sich auch bei
Schwengeler, C.: Geometrie experimentell, Orell Füssli, S. 103-116 (liegt im Modellversuchs-Raum vor).
Internet Recherche zum Satz des Pythagoras
Ihr sollt in Zweiergruppen eine Recherche im Internet zum Satz des Pythagoras machen und eure Ergebnisse dokumentieren. Die Dokumentation wird bewertet. Die folgenden Aufgaben geben eine Leitlinie für Recherche und Dokumentation. Die Dokumentation kann handschriftlich erfolgen.
1. Benutzt eine deutsche Suchmaschine, z.B. www.altavista.de oder
www.fireball.de um geeignete Webseiten zu finden. Hinweis: Verwendet das Zeichen + und Anführungszeichen z.B. bei "Satz des Pythagoras" (warum?).
2. Was besagt der Satz des Pythagoras? Gebt drei unterschiedliche von
euch gefundene Formulierungen an. Formuliert den Satz auch in euren
eigenen Worten.
3. Schwerpunkt: Findet Beweise zum Satz des Pythagoras und vollzieht sie
für euch selbst nach (Mitschrift, Zeichnungen ins Matheheft) Dokumentiert zwei unterschiedliche Beweise (es gibt z.B. arithmetische, Zerlegungs-, Ergänzungs- oder Scherungsbeweise).
4. Was besagt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras?
(Zusatz: Warum muss man die Umkehrung extra beweisen?)
5. Dokumentiert einige unterschiedliche Anwendungen des Satzes des
Pythagoras und dessen Umkehrung.
6. Findet biografische Daten über Pythagoras und dokumentiert Wesentliches.
7. Gebt maximal drei Webadressen (URL) an, bei denen das Thema eurer
Meinung nach am besten dargestellt wird.
8. Zusatz: Findet Anekdoten, Witze, Cartoons und sonstiges „Schräges"
zum Thema und dokumentiert diese.
34
Vorschlag 11.15: Vermischtes zur Satzgruppe des Pythagoras
Quelle: Baptist, P.: Pythagoras und kein Ende, S. 26.
35

Pythagoras auf Hawaii

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