Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau

Transcription

Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen
Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau
Version 1.1
Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys. Andreas Malcherek
Institut für Wasserwesen
Werner-Heisenberg-Weg 39
85577 Neubiberg
Tel.: 089 / 6004 3876
email: [email protected]
Inhaltsverzeichnis
1 Kräfte in ruhenden Flüssigkeiten
1.1 Dichte und Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Die Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Der Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die hydrostatische Druckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Ein Polygonzugverfahren zur Druckbestimmung . . . . . . . .
1.3.2 Die Orientierung der z-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Die Druck- oder Standrohrspiegelhöhe . . . . . . . . . . . . .
1.4 Druckkräfte auf Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Die Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche . . . . . . .
1.4.2 Druckkraft auf ebene vertikale Flächen . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Flächenmomente ersten und zweiten Grades . . . . . . . . . . .
1.4.4 Der Inhalt von allgemeinen Flächen im dreidimensionalen Raum
1.4.5 Flächenintegral und Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Der Angriffspunkt der hydrostatischen Druckkraft . . . . . . .
1.4.7 Druckkraft auf eine beliebige, ebene Rechteckfläche . . . . . .
1.5 Anwendungen auf Stauanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Statik einer geschlossenen Hubschütze . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Druckkraft auf eine geschlossene Segmentschütze . . . . . . .
1.5.3 Die Gleitsicherheit einer Gewichtsstaumauer . . . . . . . . . .
1.6 Ruhende Flüssigkeiten in beschleunigten Gefäßen . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Das gleichmäßig beschleunigte Gefäß . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Die rotierende Zentrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Der hydrostatische Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Schwimmstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Schiffshebewerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
INHALTSVERZEICHNIS
Seite II
2 Grundlagen der Hydraulik
2.1 Der Massenfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Durchfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die Impulsbilanz bei stationären Strömungen . . . .
2.3.1 Das Stromröhrenkonzept . . . . . . . . . . .
2.3.2 Die Impulsbilanz bei Querschnittsänderungen
2.3.3 Die Impulsbilanz bei Richtungsänderungen .
2.4 Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz . .
2.5 Die Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Freispiegel und Freistrahlen . . . . . . . . .
2.5.2 Die Toricellische Ausflussformel . . . . . . .
2.5.3 Das Venturirohr . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Das Pitotrohr . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Die Grenzen der reibungsfreien Hydraulik . .
2.6 Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Stationäre Rohrströmungen
3.1 Stationäre Rohrhydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Kontinuierliche Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lokale Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Querschnittsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Ein- und Auslaufverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Umlenkverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Verschlussorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Das universelle Fließgesetz der Rohrströmung . . . . . . . . . . .
3.5 Der hydraulische Durchmesser für Rohre beliebigen Querschnitts
3.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Die Hydraulik der Gerinne
4.1 Die Grundgleichungen . . . . . . . . . .
4.1.1 Die Kontinuitätsgleichung . . . .
4.1.2 Die Bernoulligleichung . . . . . .
4.1.3 Das Gesetz von Darcy-Weisbach .
4.1.4 Das Gesetz von Colebrook-White
4.1.5 Lokale Verluste . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.1.6 Das Energieliniengefälle . . . . . .
4.1.7 Die Impulsgleichung . . . . . . . .
4.1.8 Der hydraulische Durchmesser . . .
Rechenanlagen . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Ausführungen von Rechen . . . . .
4.2.2 Bemessungsgrößen eines Rechens .
4.2.3 Hydraulische Verlustberechnung . .
4.2.4 Experimentelle Verlustbestimmung
Strömen und Schießen . . . . . . . . . . .
Fließwechsel . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontrollbauwerke . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Unterströmte Bauwerke . . . . . .
4.5.2 Überströmte Bauwerke . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seite III
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5 Strömungsmaschinen
5.1 Kenngrößen von Strömungsmaschinen . . . . . . . . .
5.2 Energieumsetzung im Laufrad . . . . . . . . . . . . .
5.3 Francisturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Kaplanturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Freistrahl- oder Peltonturbinen . . . . . . . . . . . . .
5.6 Dimensionierung von Pumpen . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Die Gesamtförderhöhe oder Anlagenkennlinie
5.6.2 Die Pumpenkennlinie oder Drosselkurve . . .
5.6.3 Regelung von Pumpen . . . . . . . . . . . . .
5.7 Wasserkraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Das Prinzip der Wasserkraftnutzung . . . . . .
5.7.2 Bauelemente einer Wasserkraftanlage . . . . .
5.7.3 Die Auswahl des Turbinentyps . . . . . . . . .
5.7.4 Der Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Die Auswahl der Drehzahl . . . . . . . . . . .
5.7.6 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7 Pumpspeicherwerke . . . . . . . . . . . . . .
5.7.8 Wasserkraft und Umwelt . . . . . . . . . . . .
5.7.9 Wasserkraft in Brasilien . . . . . . . . . . . .
5.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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144
Seite IV
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Kräfte in ruhenden Flüssigkeiten
Eine Flüssigkeit bestimmten Volumens strebt immer einen Ruhezustand an, in dem es einen
vorgegebenen Raum so ausfüllt, daß sich die Flüssigkeitsoberfläche im Schwerefeld horizontal
ausrichtet. Diese Eigenschaft definiert die Flüssigkeiten grundlegend und unterscheidet sie von
den Gasen, die den ihn vorgegebenen Raum vollständig ausfüllen oder den Festkörpern, die
sich in dem ihnen vorgegebenen Raum u.U. verkeilen würden.
Der Ruhezustand ist mit einem Gleichgewicht der Kräfte verbunden, d.h. in ihm werden die
äußeren Kräfte d.h. das Schwerefeld durch die inneren Kräfte kompensiert. Der Ruhezustand
erzählt also etwas über das innere Wesen einer Flüssigkeit, dieses kann man physikalisch mit
dem Begriff des Drucks beschreiben.
Das Material dieses Kapitels beginnt bei den molekularen Eigenschaften der Fluide, um die die
Begriffe Dichte und Druck auf dieser Ebene zu verstehen. Dabei werden Beziehungen gewonnen, die es ermöglichen, die Verteilung des Druckes in einem ruhenden Fluid raumdeckend zu
bestimmen.
Darauffolgend wird die Druckkraft auf Flächen bilanziert, womit wir lernen müssen, Flächen
mathematisch zu beschreiben und auf ihnen zu rechnen und vor allem über sie zu integrieren.
Man kann die Hydrostatik also auch als Repetitorium und Vertiefung der Rechentechniken zur
Flächenintegration verstehen.
1.1 Dichte und Druck
Eine gewisse Masse einer Flüssigkeiten oder eines Festkörpers hat bei gegebener Temperatur einen ganz bestimmtes Volumen, während Gase den ihn zur Verfügung stehenden Raum
einnehmen.
Wir wollen dieses Abgrenzungstheorem der Gase von den anderen Aggregatzuständen einmal
aus molekularer Sicht analysieren. Es besagt, daß die Moleküle einer Flüssigkeit oder eines
Festkörpers einen Gleichgewichtsabstand zueinander einnehmen. Möchte man die Moleküle
näher aneinander bringen, den flüssigen oder festen Stoff komprimieren, so ist sehr viel Arbeit
1
1.1. Dichte und Druck
Seite 2
10
Wechselwirkungspotential V(R)/@
8
6
4
Gas
2
0
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
Flüssigkeit/Festkörper
-2
Molekülabstand R/R m
Abbildung 1.1: Das Potential der zwischenmolekularen Wechselwirkung für eine Flüssigkeit
bzw. einen Festkörper und ein Gas.
aufzuwenden, da es scheinbar intermolekulare Kräfte gibt, die Molekülpaare unterhalb des
Gleichgewichtsabstands wieder voneinander wegdrücken.
Sind zwei Moleküle weiter als dieser Gleichgewichtsabstand voneinander entfernt, so ziehen
sie sich, wenn auch durch sehr kurzreichweitige Kräfte, an. Dabei sind die Abstoßungskräfte
bei einer Unterschreitung des Gleichgewichtsabstands weitaus größer als die Anziehungskräfte
bei einer Überschreitung desselben.
Die zwischen den Molekülen wirkenden intermolekularen Wechselwirkungen kann man durch
ein Kraftpotential V (R) als Funktion des Molekülabstandes darstellen, man betrachte dazu
Abbildung 1.1. Es ist natürlich davon abhängig, welche Molekülarten jeweils miteinander in
Wechselwirkung treten. Eine allgemeine Funktion, die die Wechselwirkung sehr vieler unerschiedlicher Molekülpaare beschreibt, ist das Lennard-Jones-Potential:
Rm
V (R)
=
R
12
Rm
−2
R
6
Die hierin erscheinenden Parameter und Rm sind zwei grundlegende Größen, die in der
Physik der molekularen Wechselwirkungen eine wichtige Rolle spielen. R m ist der Gleichgewichtsabstand, ist die Gleichgewichts- oder Bindungsenergie zwischen den beiden Molekülen. Sie wird frei, wenn sich zwei Moleküle aus dem Unendlichen aneinander annähern
und ist aufzubringen, wenn man die beiden Moleküle wieder trennen will.
Die in einem Potential wirkende Kraft F erhält man aus der negativen Steigung des Potentials
Seite 3
∂V
∂R
d.h. fällt das Potential, dann wirkt die Kraft abstandserweiternd oder repulsiv, steigt das Potential, dann wirkt die Kraft abstandsvermindernd oder attraktiv.
Die Potentialfunktion hat eine sehr anschauliche Interpretation. Stellt man sich den einen Molekülpartner als Kugel im Koordinatenursprung vor, dann rollt das andere Molekül auf der
Potentialfunktion in den Gleichgewichtsabstand.
Wir wollen mit diesem Verständnis das Wechselwirkungspotential von Gasen betrachten, die ja
jeden ihn zur Verfügung stehenden Raum einnehmen wollen. Das Wechselwirkungspotential
zwischen je zwei Gasmolekülen ist also überall repulsiv, ein typisches Wechselwirkungspotential zweier Gasmoleküle ist ebenfalls in Abbildung 1.1 skizziert.
Der Unterschied zwischen Flüssigkeit und Festkörper besteht nun in der Tiefe des sogenannten
Potentialtopfes bzw. der Bindungsenergie zwischen den Molekülen. In einer Flüssigkeit ist die
Bindungsenergie relativ niedrig, sie liegt im Bereich der kinetischen Energie der thermischen
Bewegung der Einzelmoleküle. Dies bedeutet, daß ein Molekül einzig durch seine thermischen
Bewegungen von einem zum anderen Nachbar wandern kann. In einem Festkörper ist die
Bindungsenergie so hoch, daß die thermische Bewegung ein Einzelmolekül nicht mehr in die
Lage versetzt, von einem Platz zum anderen zu wandern.
Wird durch eine Gewichtskraft Druck auf ein Material ausgeübt, so verringern sich die
Abstände zwischen den einzelnen Molekülen. Diese wollen jedoch wieder den Gleichgewichtsabstand zueinander einnehmen. Die damit auf der makroskopischen Ebene verbundene
Rückstellkraft bezeichnet man als Druckkraft.
Bei ihrem Bestreben, wieder einen Gleichgewichtsabstand zu finden, haben die Moleküle keine Vorzugsrichtung, hauptsächlich weg von den sie bedrängenden Nachbarn. Die intermolekularen Abstoßungskräfte wirken also (statistisch gesehen) in alle Richtungen gleich. Dasselbe
gilt auch für ihr makroskopisches Analogon, die Druckkraft. Daher breiten sich die Druckkräfte in einem Fluid in alle Richtungen gleichmäßig aus.
F =−
1.1.1 Die Dichte
Der physikalische Begriff Dichte als Masse pro Volumen ist sicherlich jedem Leser aus dem
Physikunterricht der Schule ein Begriff. Es wäre daher sehr langweilig, hier seine Definition
und eine einfache Dichtetabelle aufzuführen.
Und die Sache etwas spannender, wollen wir den Begriff aus molekularer Sicht betrachten. Er
sagt etwas über die Ausgefülltheit des Raums mit Materie aus.
Dort wird das Gewicht von Atomen und Molekülen aus dem Produkt der atomaren Masseneinheit
1mu = 1.66 · 10−27 kg
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Stoff / Material
Große Leere im All
Wasser (H2 O)
Methanol (C H3 OH)
äthanol (C2 H5 OH)
Siliziumdioxid (Si O2 )
Oktan (C8 H18 )
Chloroform (CH Cl3 )
Quecksilber (Hg)
Schwarze Löcher
Atomare
Masseneinheiten Dichte [kg/m3]
1
10−30
18
1000
32
791
46
789
60
2650
114
703
119.35
1630
200.59
13600
1
1018 - 1025
Teilchenabstand R
11.8 m
3.1 · 10−10 m
4.06 · 10−10 m
4.59 · 10−10 m
3.35 · 10−10 m
6.46 · 10−10 m
4.95 · 10−10 m
2.91 · 10−10 m
10−15 - 10−18 m
Tabelle 1.1: Die Dichte verschiedener Stoffe.
und der Anzahl derselben im Atom bzw. Molekül berechnet. Die Anzahl der atomaren Masseneinheiten findet sich in jedem Periodensystem der Elemente, die ihr am nächsten liegende
ganze Zahl gibt die Anzahl der Protonen und Neutronen im Atomkern an. Das Gewicht eines Moleküls durch Addition der in der stöchiometrischen Formel angegebenen Einzelatome
berechnet. So findet man heraus, daß ein Wassermolekül 18 mu schwer ist.
Gehen wir davon aus, daß die Moleküle jeweils ein quaderförmiges Volumen einnehmen, in
dessen Mittelpunkt das Molekül selbst sitzt. Dann entspricht die Kantenlänge des Quaders bei
genau dem Teilchenabstand R, den wir uns somit aus Molekülgewicht M mol und Dichte als
R=
3
Mmol
bestimmen können. Bei Flüssigkeiten und Festkörpern ist dieser Teilchenabstand genau der
Gleichgewichtsabstand. So entstehen die Angaben in Tabelle 1.1.
Die geringsten Dichten findet man in den als große Leere bezeichneten Gebieten am Rande
unseres Weltalls, die extrem massenarm sind. Dennoch scheinen sie nicht vollständig leer zu
sein. Nehmen wir dort die Existenz vereinzelter Wasserstoffatome an, so trifft man rein rechnerisch alle 11.8 m auf eines von ihnen.
Auf dem anderen Ende des Dichtespektrums stehen die schwarzen Löcher, also Sterne mit
einer so hohen Masse, daß Lichtteilchen bzw. Photonen nicht in der Lage sind, ihr Schwerefeld
zu verlassen. Nehmen wir an, daß ihre Dichte durch ein Plasma aus Protronen bzw. Neutronen
erzeugt wird. Diese haben einen Radius von ca. R = 1.4 · 10−15 m. Damit können wir nun
ungefähr die Dichte eines schwarzen Loches abschätzen, sie läge bei MM ol /(4/3π)R3 1.44·1017 kg/m3. Da unsere Abschätzung mehrere Größenordnungen zu klein ist, kann dies nur
bedeuten, daß auch Protonen und Neutronen in schwarzen Löchern so nicht mehr existieren.
Seite 5
Doch zurück zu den irdischen Stoffen. Bei diesen liegen die Teilchenabstände im Bereich
einiger Angström, d.h. zehn hoch minus zehn Metern.
1.1.2 Der Druck
Um das Phänomen Druck zu quantifizieren, betrachten wir eine in einem Gefäß ruhende
Flüssigkeit, die durch einen Stempel der Fläche A mit einer Auflast F belastet wird. Diese Auflast bewirkt eine Verringerung des molekularen Abstandes, so daß die repulsive Kraft
zwischen den Molekülen der Auflast entgegenwirken kann. Die Verringerung des molekularen
Abstandes ist umso größer, desto weniger Molekülpaare die Auflast entgegen nehmen müssen,
sie ist also umgekehrt proportional zur Aufnahmefläche A und proportional zur Auflast F . Der
Begriff Druck mit seiner Definition
p=
F
A
sollte also ein Maß dafür sein, was den Molekülen untereinander zugemutet wird.
Steht die Auflast F nicht senkrecht zur Aufnahmefläche A, dann kann bekommt man die normale Komponente des Druckes durch die Multiplikation mit dem Normaleneinheitsvektor n
und der Druck ist:
p=
n
F
A
Die SI-Einheit des Drucks ist das Pascal, wobei die Bezeichnungen Hektopascal und Bar z.B.
in Wetterberichten ebenfalls gebräuchlich sind:
1 Pa
1 hPa
1 bar
1 Torr
1 atm
1 at
=
=
=
=
=
=
1 N/m2
100 Pa
105 Pa
1 mmHg = 133 Pa
101330 Pa
98100 Pa
Zur Druckmessung dienen ganz allgemein Manometer in Flüssigkeiten und Gasen, diese bezeichnnet man als Barometer, wenn man den Luftdruck in der Wetterkunde bestimmt.
Die Hydromechanik beschränkt sich im Gegensatz zur Aerodynamik eigentlich auf inkompressible Fluide. Daher mag es verwundern, daß wir die Druckkraft mit einem physikalischen
Modell erklären müssen, welches eine Annäherung der Moleküle und damit eine Kontraktion
des Volumens beinhaltet. In der Realität ist diese Annäherung als Reaktion auf äußere Belastungen allerdings so gering, daß ihr Einfluß auf das Gesamtvolumen nicht meßbar ist. Dies
ist deshalb so, weil der Anstieg des repulsiven Astes der intermolekularen Wechselwirkungen
so stark ist, daß geringe Abstandsreduktionen große Abstoßungskräfte verursachen.
1.2. Die Druckkraft
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D z
p
p + D p
D y
D x
Abbildung 1.2: Druckinduzierte Kräfte in einem Fluid
1.2 Die Druckkraft
Auf unseren Schreibtisch legen wir einen quaderförmigen Gegenstand, wie z.B. ein dickes
Buch. Mit den Handkanten auf dem Tisch drücken wir von beiden Seiten gegen das Buch.
Dies wird sich nicht bewegen, falls wir mit beiden Händen denselben Druck auf das Buch
ausüben. Drückt die eine aber kräftiger als die andere Hand, fängt es sich zu bewegen an.
Diese kleine Gymnastik verdeutlicht, daß sehr großer Druck vorhanden sein kann, ohne eine
Bewegung zu erzielen. Erst ein Druckunterschied erzeugt eine Kraftwirkung.
Im Unterschied zu diesem einfachen Experiment haben wir es in der Hydrostatik nicht mit
zwei einzelnen Händen zu tun, die Drücke auf einen Gegenstand ausüben, sondern mit Druckfeldern, bei denen an jedem Ort (x, y, z) ein ganz bestimmter Druck p(x, y, z) wirkt. Sind
in einem solchen Druckfeld Druckdifferenzen vorhanden, dann wirkt eine Kraft auf die dazwischen befindlichen Fluidmoleküle. Dies heißt aber nicht unbedingt, daß diese sich dann
zu bewegen beginnen, also beschleunigt werden: Ist eine gleich große Gegenkraft vorhanden,
dann heben sich Druck- und Gegenkraft gegenseitig auf und das Fluid bleibt in Ruhe.
Treffen wir also irgendwo auf ein ruhendes Fluid, so fragen wir uns spontan:
1. Wie sieht das Druckfeld in diesem Fluid aus ?
2. Welche Druckkräfte wirken in diesem Fluid ?
3. Welche Gegenkraft kompensiert die Druckkraft in diesem ruhenden Fluid ?
Wir beginnen mit der Beantwortung der zweiten und dritten Frage und betrachten dazu die in
Abbildung 1.2 dargestellten Druckkräfte auf ein quaderförmiges Fluidvolumen. Auf die linke
Begrenzungsfläche wirkt die Druckkraft
FxD = pΔyΔz
1.2. Die Druckkraft
Seite 7
auf das Kontrollvolumen. Auf der rechten Seite wirke der Druck p + Δp in negativer xRichtung:
D
Fx+Δx
= −(p + Δp)ΔyΔz
Die Addition beider liefert die resultierende Kraft
D
= −ΔpΔyΔz
Fres,x
auf den quaderförmigen Körper des Volumens ΔxΔyΔz.
Obwohl man sicherlich in vielen Anwendungsfällen mit solchen quaderförmigen Problemen
zu tun hat, ist die hergeleitete Formel nicht allgemein genug, um die Druckkraft auf beliebig
geformte Körper oder Teilchen im Druckfeld zu berechnen. Zur Verallgemeinerung kommt
man mit Hilfe der Differentialrechnung, indem die Kraft auf ein infinitesimales Volumen, d.h.
auf einen Punkt als
D
∂p
Fres
=−
ΔxΔyΔz→0 ΔxΔyΔz
∂x
lim
berechnet wird. Damit haben wir allerdings nun eine Kraft pro Volumen berechnet.
In der Hydromechanik benötigt man meistens die Kraft pro Masse, welche durch Division mit
der Dichte gewonnen wird:
fxD = −
1 ∂p
∂x
Entsprechendes gilt auch für die anderen beiden Raumrichtungen:
1
fD = − grad p
Damit das Fluid in Ruhe bleibt, also hydro-statische Bedingungen vorliegen, muß die Summe aus der Druckkraft und den äußeren Kräften f Null sein. Dann lautet die Kraftbilanz in
vektorieller Form:
1
0 = f − grad p
Man verdeutliche sich, daß diese Schreibweise lediglich drei Gleichungen für die drei Raumrichtungen zusammenfaßt. Sie werden lösbar, sobald die Kraftdichte f der äußeren Kraft spezifiziert ist. In den folgenden Kapiteln werden diese Gleichungen weiter zu den grundlegenden
Impulsgleichungen der Hydromechanik ausgebaut.
1.3. Die hydrostatische Druckverteilung
Seite 8
1.3 Die hydrostatische Druckverteilung
Taucht man von der Oberfläche unseres Testgefäßes in tiefere Bereiche, dann wirkt dort als
zusätzliche Auflagerkraft noch die Gewichtskraft der darüber liegenden Flüssigkeitsschichten,
es gilt also
p = p0 +
gV
= p0 + gh
A
Hierin ist p0 der Druck an der Fluidoberfläche, g die Gravitationsbeschleunigung
g = 9.81 m/s2
V das Fluidvolumen, A sein Querschnitt, die Dichte des Fluides und h die Tauchtiefe.
1.3.1 Ein Polygonzugverfahren zur Druckbestimmung
Nachdem wir die Entwicklung des Druckes in Abhängigkeit vom vertikalen Abstand zur Wasseroberfläche bestimmt haben, wollen wir diesen nun an Orten eines Gefäßes bestimmen, die
keinen direkten vertikalen Kontakt zur Wasseroberfläche haben. Hierzu setzen wir in der soeben hergeleiteten Kräftebilanz als äußere Kraft nur die Gravitationskraft
fz = gez
an. In dieser Darstellung kann die z-Achse in vertikaler Richtung nach oben oder unten orientiert sein. Der Vektor g hat dabei den Betrag 9.81 m/s2 und weist in vertikaler Richtung zum
Erdmittelpunkt.
In vertikaler Richtung entwickelt sich der hydrostatische Druck dann nach der Beziehung:
∂p
= gez
∂z
Diese Differentialgleichung enthält nur einen einzigen Ableitungsterm. Solche Gleichungen
kann man immer durch Integration lösen. Dabei muß über die Variable integriert werden, nach
der abgleitet wird. Als Integrationsgrenzen setzen wir zwei beliebige Höhen im Fluid z 1 und z2
an. Auf den Ableitungsterm wendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
an; die linke Seite wird also zu:
z2
z1
∂p
dz = p(z2 ) − p(z1 ) := Δp
∂z
Die rechte Seite ist in unserer Gleichung besonders einfach geartet, sie ist nämlich konstant:
z2
z1
gez dz = gez
z2
z1
dz = gez (z2 − z1 ) = gez Δz
Seite 9
Dz1
hD
Dz2
Abbildung 1.3: Druckbestimmung aus einem
Polygonzug aus horizontalen und vertikalen
Strecken.
Wir bekommen als Resultat für die vertikale Veränderung des hydrostatischen Drucks:
Δp = gez Δz
Die horizontalen Gesetzmäßigkeiten des hydrostatischen Druckes werden dann:
∂p
∂p
= 0 und
=0
∂x
∂y
Mit diesen Beziehungen können wir die Druckverteilung in beliebigen ruhenden, miteinander
kommunizierenden Flüssigkeiten bestimmen. Dazu konstruiert man sich eine Verbindungslinie von einem Ort bekannten Druckes durch die Flüssigkeit zu dem Ort, an dem man den
Druck bestimmen will. Diese Verbindungslinie sollte ein Polygonzug aus horizontalen und
vertikalen Linien bestehen. Auf jeder horizontalen Linie bleibt nun der Druck konstant, auf
jeder vertikalen Linie ändert er sich um den Wert Δp = gez Δz.
Für den Fall des in Abbildung 1.3 dargestellten Gefäßes bedeutet dies, daß der Druck auf
der gesamten Sohlfläche den Wert ghD annimmt. Somit ist die Druckkraft auf dessen Sohle durch ghD A gegeben. Sie ist also so groß, als läge über ihr ein vollständig mit Wasser
gefülltes Prisma der Höhe hD . Die Druckkraft auf den Boden kann also wesentlich größer
oder kleiner als das Gewicht des tatsächlich darüber liegenden Wasser sein. Man bezeichnet
diesen Sachverhalt als hydrostatisches Paradoxon. Dieses Paradoxon löst sich schnell auf,
wenn man bedenkt, daß die Druckkraft eben keine Gewichtskraft ist, sondern durch diese nur
induziert wird.
Wir wollen uns merken, daß der Druck nicht etwa eine andere Form der Gewichtskraft ist,
sondern in der Hydrostatik nur durch diese induziert wird. Vielmehr ist das Phänomen Druck
das makroskopische Analogon zu den intermolekularen Wechselwirkungen der Moleküle auf
der mikroskopischen Ebene.
1.3.2 Die Orientierung der z-Achse
In der Hydrostatik ist es am zweckmäßigsten, die z-Achse in Richtung der Gravitation nach
unten zu orientieren und ihren Ursprung an die Wasseroberfläche zu legen. Dann nimmt der
hydrostatische Druck die sehr einfache Form
Seite 10
p(z) = gz
an.
In allen Anwendungen, in denen Georeferenzierungen notwendig sind, ist diese Wahl allerdings nicht sinnig. Hier ist die z-Achse in vertikaler Richtung nach oben orientiert. Ihr Nullpunkt richtet sich nach dem NN-Niveau, welches allerdings nicht die Wasseroberfläche in
irgendeinem beliebigen Gefäß treffen wird. Diese liege auf dem Niveau zS , S für Spiegel oder
engl. Surface. Die Gravitationsbeschleunigung nimmt dann die Form
fz = gez = −g
an und die hydrostatische Druckverteilung ist durch
p(z) = pS + g(zS − z)
gegeben, wobei pS der Druck an der Wasseroberfläche, in der Regel also der Luftdruck ist.
1.3.3 Die Druck- oder Standrohrspiegelhöhe
Aus der Druckverteilung der Hydrostatik kann man eine Meßvorrichtung ableiten, die zur
Druckbestimmung dient, man bezeichnet sie als Standrohr. Dieses ist ein an eine Strömung
angeschlossenes vertikales Rohr, in dem sich das Fluid auf- und abwärts bewegen kann. Dabei
steigt es in diesem Standrohr auf die Standrohrspiegel- oder Druckhöhe:
hD =
p
g
Diese Beziehung kann man ganz allgemein auch dazu verwenden, den Druck an einem Ort
durch eine über ihm gedachte Wassersäule der Druckhöhe hD zu quantifizieren.
Dazu sucht man für den Ort, an dem der Druck zu bestimmen ist, den vertikalen Abstand zur
Wasseroberfläche, damit die Druckhöhe hD und berechnet mit
p = ghD
dann den Druck. Dieses Verfahren ist dann falsch angewendet, wenn man etwa nur den vertikalen Abstand zu einer geschlossenen Gefäßoberkante nimmt.
1.4. Druckkräfte auf Flächen
Seite 11
y
A
dA
x
(xp,yp)
Dy(x)
y1(x)
y2(x)
Abbildung 1.4: Druckkraft auf ebene horizontale Fläche. Der Flächeninhalt wird durch das
Abfahren des ’Breitenfühlers’ Δy(x) = y2 (x) − y1 (x) über die Ausdehnung der Fläche in
x-Richtung bestimmt.
1.4 Druckkräfte auf Flächen
Aus der Druckkraft auf die Berandungsfläche eines Fluides kann man die Belastung derselben berechnen, indem man die dortige Verteilung des Druckes über die Fläche integriert. Die
Druckkraft ist also eine Belastungsgröße der Berandung, die in der Konstruktion derselben
berücksichtigt werden muß. Eine solche Berandung kann z.B. eine Staumauer sein. Wir wollen daher lernen, ihren Betrag, ihre Richtung und ihren Angriffspunkt für beliebige Flächen zu
bestimmen.
1.4.1 Die Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche
Beginnen wir dazu mit dem einfachsten Fall einer ebenen, aber sonst beliebig berandeten
Fläche A (Abbildung 1.4). Zudem soll diese Fläche horizontal sein, der Druck ist auf ihr also
überall konstant und hat den Wert p = ghD = const.
Die Druckkraft ist somit:
FD = ghD A
Wir wollen noch den Ort bestimmen, an dem die Druckkraft angreift. Dazu addiert man die
Druckkräfte aller Teilflächen dA so, daß ihr Gesamtmoment nicht verändert wird. Man sucht
also einen Ort (xD , yD ), an dem das Drehmoment der Druckkraft gleich dem Drehmoment der
Summe aller Einzelteilflächen ist. Die bedeutet für die x-Koordinate:
xD FD =
xi pi dAi
i
Betrachtet man immer kleiner werdende Teilflächen dAi , dann geht die Summe in ein Integral
über:
Seite 12
xD FD =
xpdA ⇒ xD ghD A = ghD
A
A
1
xdA ⇒ xD =
A
xdA = x
A
Ebenso bekommt man für die y-Koordinate des Druckschwerpunkts:
1
yD =
A
ydA = y
A
Die Gesamtdruckkraft greift in diesem Fall also im Flächenschwerpunkt an.
Die Kunst der Druckkraftbestimmung besteht also hier im wesentlichen in der Berechnung des
Inhaltes beliebig berandeter Flächen sowie deren Flächenschwerpunkte.
Die einfachste Methode dazu ist die Parametrisierung der Fläche in kartesischen Koordinaten. Dazu wird die Ausdehnung in y-Richtung als Funktion der x-Koordinate dargestellt. Der
Flächeninhalt ist dann:
x2 y2 (x)
x2
x1 y1 (x)
x1
dydx =
A=
Δy(x)dx
Voraussetzung für diese Methode ist allerdings, daß der Breitenabtaster Δy(x) vollständig in
der Fläche liegt, was z.B. bei konvexen Flächen immer der Fall ist.
Mit dieser Parametrisierung sind auch die Koordinaten des Druckschwerpunkts recht einfach
zu bestimmen:
x2 y2 (x)
1
xD =
Ax
1
y1 (x)
x2
1
xdydx =
(y2 (x) − y1 (x))xdx
Ax
1
x2 y2 (x)
x2
1 1 1 2
ydydx =
y2 (x) − y12 (x) dx
yD =
Ax
Ax 2
1
y1 (x)
1
Man studiere dabei sehr genau den Unterschied in der Bestimmung der x- und y-Koordinate
des Druckschwerpunktes.
Fassen wir das Gelernte in einem Lehrsatz zusammen:
Die Druckkraft auf eine horizontale Fl äche greift im Flächenschwerpunkt an. Ihr Betrag berechnet sich aus der Druckhöhe der Fläche.
1.4.2 Druckkraft auf ebene vertikale Flächen
Gehen wir nun zu einer ebenen vertikalen Fläche über, welche in der xz-Ebene bei y = 0 liege.
Der Abbildung 1.5 kann man entnehmen, daß im Vergleich zur horizontalen Fläche alles ganz
anders wird, denn der Druck ist über die Fläche nicht mehr konstant, sondern nimmt mit der
x
x2
Seite 13
x1
A
Dz(x)
z
p(z)
Abbildung 1.5: Druckkraft auf eine ebene vertikale Fläche. Der Flächeninhalt wird durch
das Abfahren des ’Höhenfühlers’ Δz(y) über
die Ausdehnung der Fläche in y-Richtung bestimmt.
Tiefe zu. Legen wir den Nullpunkt der z-Achse an die Wasseroberfläche und ihre Richtung in
die negative Vertikale, dann wird die Druckkraft zu:
FD = g
zdA := gAzC := gAhC
A
Der dritte Teil dieser Gleichung enthält den Abstand zwischen der Wasseroberfläche und der
vertikalen Koordinate des Flächenschwerpunktes zC , diese Höhe wird im vierten Teil der Gleichung als Wassertiefe im Flächenschwerpunkt hC bezeichnet. Wir bekommen folgenden Lehrsatz:
Der Druck auf ebene vertikale Flächen berechnet sich aus dem hydrostatischen Druck im
Flächenschwerpunkt multipliziert mit dem Fl ächeninhalt.
Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, daß wir eine Parametrisierung der Flächentiefe Δz(x) als Funktion der x-Koordinate gefunden haben.
Der Angriffspunkt der Gesamtdruckkraft bestimmt sich wieder aus den beiden Integralen
xD FD =
zD FD =
pxdA = g
x2 z2 (x)
z(x)xdzdx
A
x1 z1 (x)
x2 z2 (x)
A
pzdA = g
z 2 (x)dzdy
x1 z1 (x)
Seite 14
die wieder erst dann ausgewertet werden können, wenn eine Flächenparametrisierung vorgegeben ist.
1.4.3 Flächenmomente ersten und zweiten Grades
In der Ingenieurpraxis besteht häufig der Bedarf, die Berechnungen zur Gesamtdruckkraft und
deren Angriffspunkt für beliebige geometrische Grundfiguren durchführen. Um diese Berechnungen einfacher zu gestalten, bedient man sich des Formalismus der Flächenmomente. Diese
sind für eine durch die Koordinaten x und z parametrisierten Fläche A folgendermaßen definiert. Als statische oder Flächenmomente ersten Grades Si bezeichnet man die bestimmten
Integrale
Sx =
Sz =
zdA
A
xdA
A
und als Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente zweiten Grades Iij :
Ixx =
2
z dA
Izz =
A
2
x dA
Ixz = Izx =
A
xzdA
A
Die Flächenträgheitsmomente werden normalerweise auf ein Schwerpunktkoordinatensystem
(x , y ) bezogen, da sie sich durch die Steinerschen Sätze
Ixx = Ix x + AzC2
Ixz = Ix z + AxC zC
Izz = Iz z + Ax2C
direkt auf ein beliebiges Koordinatensystem umrechnen lassen, in dem der Flächenschwerpunkt bei (xC , zC ) liegt.
Ganz analog werden diese Momente für mit anderen Koordinaten gebildete Flächen definiert.
Mit ihnen werden z.B. die Koordinaten des Druckmittelpunktes auf eine vertikale Fläche zu:
xD =
Ixz
Ix z =
+ xC
AzC
AzC
zD =
Ixx
Ix x
=
+ zC
AzC
AzC
Hierbei liegt die Wasseroberfläche wieder bei z = 0.
Der Vorteil der Herangehensweise mit Flächenmomenten besteht darin, daß diese in Bautabellen tabelliert sind.
Seite 15
Beispiel: Vertikale Rechteckfläche
Wir wollen den Formalismus an einem rechteckigen Flächenstück der Breite B konkretisieren.
Es habe die Höhe H, der Flächenschwerpunkt liege bei zC . Die Druckkraft berechnet sich aus
dem Druck im Flächenschwerpunkt als:
FD = gBHzC
Für die x-Koordinate des Angriffspunktes gilt:
xD =
Ix z + xC = xC
AzC
Wie nicht anders zu erwarten, greift der Druck in der vertikalen Symmetrieachse der Fläche
an, da er auf beiden Seiten derselben gleich groß ist.
Wir suchen nun die vertikale Koordinate zD des Druckangriffspunktes. Für sie gilt in diesem
Fall:
zD =
BH 3
H2
+ zC =
+ zC
12AzC
12zC
Das Ergebnis wird dann besonders prägnant, wenn die Bezugsfläche bis zur Wasseroberfläche
reicht. Dann ist zC = H/2 und es folgt:
2
zD = H
3
Der Druckangriffspunkt auf eine vertikale, rechteckige, sich bis zur Wasseroberfl äche erstreckende Fläche liegt auf einem Drittel der H öhe über der Unterkante der Fläche auf ihrer
vertikalen Symmetrieachse.
Eine Kraft bezeichnet man als exzentrisch, wenn sie nicht im Zentrum eines Körpers angreift;
sie übt dann ein Moment auf den Körper aus. Als Exzentrität e wird dann der Abstand des
Angriffspunktes vom Zentrum bezeichnet, sie ist also der Hebelarm der Kraft auf den Körper.
Im Fall der vertikalen Rechteckfläche ist die Exzentrität der Druckkraft e = h/6.
1.4.4 Der Inhalt von allgemeinen Flächen im dreidimensionalen Raum
Zu einem gegebenen Flächenstück im dreidimensionalen Raum wollen wir nun den Flächeninhalt bestimmen. Dazu zerlegen wir die Fläche in viele kleine ebene Teilflächen Ai , deren
Anzahl wir in einem Grenzwertprozeß gegen Unendlich streben lassen. Hierdurch wird die
Approximation der unebenen Fläche durch ebene Teilflächen perfekt:
A = lim
i→∞
i
Ai
Seite 16
A
A
i
A
i
A
x
z
A
Abbildung 1.6: Zur Integration über Flächen. Links: Zerlegung einer Fläche in nahezu ebene
Teilflächen. Rechts: Bestimmung des Flächeninhalts durch Projektion und Anwendung des
Satzes von Pythagoras.
Nach dem Satz von Pythagoras berechnet sich der Flächeninhalt der ebenen Teilstücke als
Ai =
A2x + A2y + A2z
wobei
Ax der Flächeninhalt der Projektion der Fläche A auf die yz-Ebene
Ay der Flächeninhalt der Projektion der Fläche A auf die xz-Ebene
Az der Flächeninhalt der Projektion der Fläche A auf die xy-Ebene
sind.
Um fortzufahren, benötigen wir wieder eine Parametrisierung der Fläche. Von dieser nehmen
wir an, daß ihre geodätische Höhe zB (B für Boden) als Funktion der horizontalen Koordinaten x und y bekannt ist, zB = zB (x, y). Die vertikale Projektion der ebenen, rechteckigen
Teilfläche Ai sei:
Az = dxdy
Dann sind die Flächeninhalte der Projektionen auf die yz-Ebene
Ax =
∂zB
dxdy
∂x
Ay =
∂zB
dxdy
∂y
und auf die xz-Ebene
so daß der Flächeninhalt der Teilfläche zu
Ai =
⎛
2
⎜ ∂zB
⎝
∂x
+
∂zB
∂y
2
⎞
⎟
+ 1⎠ dxdy
Seite 17
wird. Die Summe der Teilflächeninhalte wird im Grenzfall unendlich vieler, kleiner Teilflächen
zu:
A=
x0+Δx y0+Δy
x0
y0
∂zB
1+
∂x
2
∂zB
+
∂y
2
dxdy
der Flächeninhalt der durch die Sohlkoordinaten (x0 , y0 ), (x0 + Δx, y0 ), (x0 , y0 + Δy) und
(x0 + Δx, y0 + Δy) Sohlfläche.
1.4.5 Flächenintegral und Druckkraft
Wir wollen nun die Druckkraft auf ein beliebig geartetes Flächenstück berechnen. Da der
Druck gleich Kraft pro Fläche ist und die Druckkraft überall senkrecht zur Fläche, also in
Richtung der äußeren Flächennormalen n wirkt, ist die Definition
F =
:=
p(x, y, z)dS
A
p(x)n(x)dA
A
sinnvoll. Sie stellt uns nun vor die Aufgabe, das Integral einer (beliebigen) Funktion über eine
Fläche zu bestimmen. Dieses ist genauso wie das klassische Riemannintegral definiert, bloß
daß hier eine Funktion nicht mehr über eine Achse, sondern über eine Fläche bilanziert wird.
Dazu denken wir uns die im Raum liegende Fläche S in viele kleine disjunkte Teilflächen
Si zerlegt. Diese Zerlegung soll für i → ∞ immer feiner werden, so daß der Flächeninhalt
der Teilflächen gleichmäßig gegen Null geht. Dann ist das Flächenintegral über die Funktion
p(x, y, z) definiert als:
F =
= lim
p(x, y, z)dS
i→∞
A
Ai p(xi , yi , zi )ni
i
Verwenden wir nun für den Druck die hydrostatische Druckbeziehung und beachten, daß die
Projektion der Teilfläche Ai auf den Normaleneinheitsvektor der Vektor der drei Projektionsflächen ist, dann bekommt man für die Druckkraft:
⎛
⎞
Ax
⎜
⎟
F = lim
Ai p(xi , yi , zi )ni = lim
ghD (xi , yi , zi ) ⎜
Ay ⎟
⎝
⎠
i→∞
i→∞
i
i
Az
Ersetzen wir nun die infinitesimalen Teilsummen durch Integrale
F =
⎛ ⎜ Ax
⎜ ⎜
g ⎜
⎜ Ay
⎜ ⎝
Az
hD dA
hD dA
hD dA
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Seite 18
und führen die über die Flächen gemittelten Druckhöhen als
hCx
1 =
hD dA
Ax
hCy
Ax
1 =
hD dA
Ay
hCz
Ay
1 =
hD dA
Az
Az
ein, dann bekommen wir schließlich für die drei Komponenten der hydrostatischen Druckkraft:
⎛
⎞
Ax hCx
⎜
⎟
⎜
F = g ⎝ Ay hCy ⎟
⎠
Az hCz
Die horizontalen Komponenten der Druckkraft berechnen sich also aus dem Druck im Flächenschwerpunkt multipliziert mit den entsprechenden Flächeninhalten der projizierten Flächen.
Die vertikale Komponente entspricht der Gewichtskraft der darüber liegenden gedachten Wassersäule.
1.4.6 Der Angriffspunkt der hydrostatischen Druckkraft
Nachdem Betrag und Richtung der Druckkraft bekannt sind, bleibt ihr Angriffs- bzw. Druckmittelpunkt (xD , yD , zD ) auch für den Fall beliebig gearteter Flächen zu bestimmen.
Da der Druck über das Flächenstück nicht gleich verteilt ist, sondern mit der Tiefe ansteigt,
geht die Druckkraft nicht durch den Flächenschwerpunkt, sondern greift unterhalb desselben
an. Um diesen Angriffspunkt zu bestimmen, kann man die verschiedenen Techniken aus der
Statik nichtebener, nichtzentraler Kräfte verwenden. Wir wollen hier folgenden Weg beschreiten. Wir berechnen zunächst die Angriffspunkte der Druckkraftkomponenten F x , Fy und Fz
und daraus den Gesamtangriffspunkt. Dabei bezeichnen wir mit
• (yDx , zDx ) den Angriffspunkt der Druckkraft Fx
• (xDy , zDy ) den Angriffspunkt der Druckkraft Fy und mit
• (xDz , yDz ) den Angriffspunkt der Druckkraft Fz .
Bestimmen wir zunächst den Druckkraftangriffspunkt der Horizontalkraft F x . Die Fläche A
werde dazu mit den Koordinaten y und z parametrisiert, d.h. ihre x-Koordinate ist als Funktion
xA (y, z) bekannt. Für die y-Komponente des Druckmittelpunktes y Dx gilt dann die Mittlungsbeziehung:
yDx Fx = g
Ax
yzdA ⇒ yDx =
1
Ax hCx
yzdA
Ax
Genauso bekommt man für die z-Komponente des Druckmittelpunktes z Dx :
Seite 19
zDx
1
=
Ax hCx
z 2 dA
Ax
Vollkommen analog dazu ergeben sich die Koordinaten des Druckkraftangriffspunktes der Horizontalkraft Fy auf die mit den Koordinaten x und z parametrisierte Fläche A als:
xDy
1
=
Ay hCy
zDy =
1
Ay hCy
xzdA
Ay
z 2 dA
Ay
Es bleibt noch der Angriffspunkt (xzD , yzD ) der Vertikalkomponente Fz der Druckkraft zu
bestimmen. Dazu sei die Fläche mit den horizontalen Koordinaten x und y parametrisiert, also
z = z(x, y). Es gilt dann:
xDz =
yDz =
1
Az hCz
1
Az hCz
xz(x, y)dA
Az
yz(x, y)dA
Az
Wir haben es hier also mit einer etwas diffizilen Situation zu tun: Während für die horizontalen Komponenten lediglich die vertikalen Flächenprojektionen parametrisiert werden müssen,
muß für die Berechnung der Vertikalkomponente eine explizite Parametrisierung der Originalfläche vorhanden sein.
Sind alle drei Druckkräfte und der Angriffspunkte bestimmt, dann wird die Gesamtdruckkraft
aus der vektoriellen Summe der drei Teilkomponenten und der Gesamtdruckangriffspunkt so
bestimmt, daß in ihm die Verschiebungsmomente der drei Einzelkräfte aufheben.
Diese Beziehungen sollen für das folgende wichtige Beispiel ausgewertet werden.
1.4.7 Druckkraft auf eine beliebige, ebene Rechteckfläche
Wir wollen die Zerlegung der Druckkraft in horizontale und vertikale Kräfte üben, indem wir
nochmal eine ebene Fläche betrachten: Diesmal sei die rechteckige Fläche allerdings beliebig
im Raum orientiert.
Das Koordinatensystem sei so gelegt, daß die x-Achse die Wasseroberfläche ist und die
Verlängerung der Fläche den Koordinatenursprung schneidet (Abbildung 1.7). Eine Parametrisierung dieser Fläche z(x, y) ist also
z(x, y) = ax
Seite 20
x0 +Dx
x0
x
z0
Fx
z0 +Dz
Fres.
Fz
z
Abbildung 1.7: Die Druckkraft auf eine geneigte Rechteckfläche.
mit der Flächensteigung a. Die Projektion des Flächenstückes auf die horizontale Ebene liege
zwischen den Koordinaten [x0 , x0 + Δx] und [y0 , y0 + Δy].
Die Vertikalkraft entspricht der Gewichtskraft der darüber gedachten Wassersäule, ist also:
Fz = g z0 + a
Δx
ΔxΔy
2
Sie greift im Punkt
Δx2
Δx
Δy
+
, y0 +
(xDz , yDz ) = x0 +
2
12x0 + 6Δx
2
an. Die Horizontalkomponente Fx berechnet sich aus dem Druck im Flächenmittelpunkt der
Projektionsfläche Ax = ΔzΔy = aΔxΔy:
Δx
Fx = g z0 + a
aΔxΔy
2
Sie greift nach der Regel für vertikale Rechteckflächen am Punkt
Δz 2
Δy
Δz
(yDx , zDx ) = y0 +
, z0 +
+
2
2
12z0 + 6Δz
und damit am selben Ort wie die Vertikalkomponente F z an. Damit können wir die beiden
Kraftkomponenten als zentrales Kräftesystem direkt vektoriell addieren und dann den Betrag
der Gesamtkraft bestimmen. Ihre Richtung steht senkrecht zur Fläche.
1.5. Anwendungen auf Stauanlagen
Seite 21
A
Ax
Az
Abbildung 1.8: Die Zerlegung der Druckkraft auf die horizontale und die vertikale Projektionsfläche.
1.5 Anwendungen auf Stauanlagen
Seit vielen Jahrtausenden errichtet der Mensch Stauanlagen, um lebensnotwendiges Wasser
zu speichern oder lebensbedrohendes Wasser zurückzuhalten. Als Stauanlage bezeichnet man
dabei die Anlage in ihrer Gesamtheit, d.h. sowohl das Absperrbauwerk, welches den Stau
erzeugt, als auch das Staubecken, welches den vom Absperrbauwerk und dem Gelände umschlossenen Raum zum Stauen des Wassers umfaßt.
Die DIN 4048 unterscheidet dabei folgende Arten von Stauanlagen:
• Talsperren (Abbildung 1.9) sperren eine ganzen Talquerschnitt ab. Sie dienen zum Speichern von Wasser oder der darin enthaltenen Energie. Talsperren bewirken durch die
Speicherung des zufließenden Wassers einen Vergleichmäßigung des natürlichen Wasserdargebotes im Unterlauf des Fließgewässers.
• Staustufen sperren nur den Fluss und nicht die ganze Talbreite ab. Sie haben daher wesentlich kleinere Abmessungen als Talsperren und unterliegen anderen Bemessungsvorschriften. Sie dienen zumeist der Einhaltung eines Mindestwasserstandes für die Schifffahrt, aber auch der Erhöhung der Fallhöhe für die Wasserkraftnutzung, dem Schutz des
Flussbetts vor Erosion oder der Hebung des Grundwasserspiegels.
• Hochwasserrückhaltebecken dienen dem vorübergehenden Rückhalt von Hochwasser.
• Pumpspeicherbecken dienen der Bereitstellung von Wasser für die Pumpspeicherung.
• Sedimentationsbecken dienen dem Rückhalt absetzbarer Schwebstoffe.
Seite 22
Abbildung 1.9: Die Edertalsperre erzeugt einen künstlichen See mit 202 Millionen Kubikmetern Fassungsvermögen. Sie dient der Schiffbarmachung von Oberweser und Fulda und speist
den Mittellandkanal mit Wasser. Als Nebeneffekt wird Energie erzeugt.
• Stauteiche sind kleinere Stauanlagen, die z.B. der Fischzucht dienen.
• Geschiebesperren (Abbildung 1.10) dienen dem Rückhalt von Geschiebe.
Bei den meisten Staustufen wird der Stau durch ein bewegliches Wehr als Absperrbauwerk
erzeugt, deren Statik wir anhand von zwei Beispielen studieren wollen.
1.5.1 Statik einer geschlossenen Hubschütze
In Bächen werden oft Hubschützen (Abbildung 1.11) zur Regulierung von Wasserstand und
Abfluss eingesetzt. Wir wollen die Kräfte auf die geschlossene Schütze berechnen, um diese
statisch zu bemessen. Dabei sind die statischen Wasserdruckkräfte W o und Wu , der Auftrieb A
und das Schützengewicht G zu berücksichtigen (Abbildung 1.12), die von den Lagerreaktionen
B und C aufgefangen werden.
Das Schützengewicht bestimmt sich aus den Abmaßen der Schütze, zusätzlich zu ihrer Breite
Ly habe sie die Höhe Lz und die Stärke Lx . Ist sie aus homogenen Material der Dichte S
gefertigt, folgt für das Schützengewicht:
G = S gLx Ly Lz
Die Summe der an die Hubschütze angreifenden Kräfte in x-Richtung ist:
1
Fx = Wo − Wu = gLy h2o − h2u
2
Seite 23
Abbildung 1.10: Die Geschiebesperre im Wimbachtal (Nationalpark Berchtesgaden) hindert
den bis zu 300 m mächtigen Schuttstrom aus dem hinteren Talbereichen am Weiterwandern.
Das Wasser des Wimbachs bewegt sich bis hierhin in den Geschiebemassen und tritt erst an
der Sperre aus.
Abbildung 1.11: Baufällige Hubschütze.
Seite 24
G
B
h
Wo
Wu
rgh
A
C
Abbildung 1.12: Kräftegleichgewicht an der geschlossenen Hubschütze.
In vertikaler Richtung greift neben der Gewichtskraft noch die Auftriebskraft A unter der
Schütze an. Gehen wir davon aus, daß die anstehende Sohle wasserdurchlässig ist und der
Porenwasserdruck dem hydrostatischen entspricht, dann fällt der Bodenwasserdruck im Oberwasser vom Wert gho über die Schützenstärke Lx auf den Wert ghu . Bei einem linearen
Abfall gilt dann für die hydrostatische Auftriebskraft durch das Porenwasser auf der Unterseite der Schütze
1
A = g (ho + hu ) Lx Ly
2
und die Summe der angreifenden Kräfte in der Vertikalen ist:
1
(ho + hu ) − S Lz
Fz = A − G = Lx Ly g
2
Da die Halblänge (ho + hu )/2 kleiner als die Schütztafelhöhe Lz ist, weist die Vertikalkraft Fz
in Richtung der Gewichtskraft, wenn die Dichte S des Schütztafelmaterials größer als die des
Wassers ist.
Damit ist die resultierende Kraft Fres :
Fres =
(Wo − Wu )2 + (A − G)2
Sie ist um den Winkel
tan α =
A−G
Wo − Wu
gegenüber der Horizontalen in Bodenrichtung geneigt.
Seite 25
Um den Angriffspunkt der resultierenden Kraft zu bestimmen, legen wir den Ursprung eines
kartesischen Koordinatensystems an den unteren Berührungspunkt der Hubschütze mit der
Sohle. Die angreifenden Kräfte bewirken dort ein Moment von:
My =
1
(Wu hu − Wo ho )
3
Durch die Parallelverschiebung der resultierenden Kraft um den Betrag
r=
Wu hu − Wo ho
1
My
= |Fres |
3 (Wo − Wu )2 + (A − G)2
und das Zurückverfolgen der Wirkungslinie dieser Kraft bekommen wir die Angriffshöhe der
resultierenden Kraft als:
zF = r cos α =
1
Wu hu − Wo ho
cos α
3 (Wo − Wu )2 + (A − G)2
Die Lagerreaktion B muß in dieser Höhe angreifen, sie ist betragsmäßig gleich der Horizontalkraft Fx . Neben der Bemessung der Lagerung benötigt man die wirkenden Kräfte noch zur
Bestimmung der Antriebskraft zum Heben der Schütze, die sich aus Haft- und Gleitkräften
zusammensetzt.
1.5.2 Druckkraft auf eine geschlossene Segmentschütze
Um größere Gewässer zu stauen, werden Segmentschütze verwendet, die ihren Namen aus der
Gestaltung ihrer wasserseitigen Oberfläche als Kreissegment haben. Damit haben wir es mit
der Berechnung der Druckkräfte auf eine gekrümmte Oberfläche zu tun. Um den Überblick
zu behalten, sollte die nicht schwierige, aber langwierige Berechnung ordentlich gegliedert
werden.
Wahl des Koordinatensystems und Parametrisierungen
Als Koordinatenursprung bietet sich zweckmäßigerweise der Mittelpunkt des Wehrkreises an.
Die z-Achse weise in Schwerkraftrichtung (Abbildung 1.15).
Zur Parametrisierung des Kreissegmentes werde der Winkel θ von der x-Achse gegen den
Urzeigersinn gemessen, das Kreissegment ist dann durch seinen Radius R und die Winkel θ o
und θu geometrisch vollständig bestimmt. Die Wasseroberfläche liegt dann bei
zS = R sin θo
und die Koordinaten der Segmentoberfläche werden durch
x = R cos θ
mit θo ≤ θ ≤ θu
Seite 26
Presslager
hydr.
Presse
Staublech
Drehlager
Dreharm
Tragkasten
Tosbecken
Abbildung 1.13: Bauelemente einer ölhydraulischen Drucksegmentschütze.
B
G
h
W
A
P
Abbildung 1.14: Die Druckkraft auf eine geschlossene Segmentschütze.
Seite 27
X
qo
A
qu
Z
Dx(z)
Abbildung 1.15: Die Bezeichnungen zur hydrostatischen Berechnung der Segmentschütze.
z = R sin θ
mit θo ≤ θ ≤ θu
beschrieben.
Grundsätzlich sollte jede Wahl des Koordinatensystems zum richtigen Ergebnis führen. Die
Zweckmäßigkeit eines Koordinatensystems erkennt man aber an der Kürze und Anschaulichkeit der Rechnungen. Werden diese zu umfangreich, so kann die Wahl eines anderen Koordinatensystems manchmal Wunder wirken.
Bestimmung der Druckkraft
Bestimmen wir nun die Komponenten der Druckkraft, die auf eine Segmentschütze der Breite
B wirken. Deren Horizontalkomponente Fx berechnet sich aus der Druckkraft im Flächenschwerpunkt der vertikalen Projektionsfläche des Kreissegments:
1
Fx = gh2 B
2
Die Vertikalkomponente Fz berechnet sich aus der über dem Kreissegment liegenden Wassergewicht:
Fz = −gAB
Da sie unter die Segmentschütze greift, ist sie eine Auftriebskraft und bekommt in dem
gewählten Koordinatensystem ein negatives Vorzeichen. Daher muß die Segmentschütze durch
eine Presse nach unten gedrückt werden (Abbildung 1.13).
Etwas kniffelig ist die Berechnung der über dem Kreissegment liegenden Fläche A. Um das
Rechnen mit parametrisierten Flächen zu üben, sei diese Berechnung hier detailliert vorgeführt. Ist Δx(z) die horizontale Ausdehnung der Fläche, die mit der Höhe über dem Boden
zunimmt und daher eine Funktion von z ist, dann gilt:
Seite 28
zS A=
dxdz =
zB Δx(z)
zS
Δx(z)dz
zB
Für den Abstandsfühler Δx(z) gilt:
Δx(z) = R cos θ(z) − R cos θu
Ferner kann man die geodätischen Höhen der Wasseroberfläche zS und des Bodens zB als
Funktionen der segmentdefinierenden Winkel darstellen:
A=R
R
sin θo
(cos θ(z) − cos θu ) dz
R sin θu
Führt man letztlich die Variablentransformation
z = R sin θ ⇒ dz = R cos θdθ
ein, dann wird das Integral zu
A=R
2
−θ
o
(cos θ − cos θu ) cos θdθ
−θu
und bekommt mit dem Additionstheorem des Sinus den Wert:
1
1
A = R2 (θu − θo ) − sin θu cos θu + 2 sin θo cos θu − cos θo
2
2
Damit kann man nun die vertikale Druckkraft
1
1
Fz = −gB R2 (θu − θo ) − sin θu cos θu + 2 sin θo cos θu − cos θo
2
2
und abschließend für die resultierende Druckkraft Fp =
Fx2 + Fz2 bestimmen.
Angriffspunkte der Druckkraft
Zur Bemessung der hydraulischen Presse, die die Segmentschütze zu Boden drückt, ist schließlich noch der Angriffspunkt der Druckkraft zu bestimmen, damit man ihre Wirkungslinie
kennt. Den Angriffspunkt zDx der Horizontalkomponente Fx hatten wir schon bestimmt, er
liegt in der Mitte der Wehrbreite bei einem Drittel der Wassertiefe über dem Boden:
zDx
1
1
2
sin θu + sin θo
= R sin θu − h = R
3
3
3
Seite 29
Um den Angriffspunkt der Vertikalkraft zu bestimmen, muß die Horizontalprojektion der Segmentfläche parametrisiert werden. Sie ist rechteckig, ihre y-Koordinate reicht von 0 bis B, die
x-Koordinate von R cos θu bis R cos θo . Somit ist der Flächeninhalt der Horizontalprojektion:
Az = BR(cos θo − cos θu )
Damit können wir die über die Fläche gemittelte Druckhöhe hCz als
hCz
1
=
Az
hD dA =
Az
B R cos θo
1
BR(cos θo − cos θu )
(R sin θ(x) − R sin θo ) dxdy
0 R cos θu
R (sin θo cos θo + sin θu cos θu + θo − θu ) − 2 sin θo cos θu
= −
2
(cos θo − cos θu )
bestimmen. Da ferner die z-Koordinate der Segmentschütze durch z(x, y) =
stimmt ist, bekommt man:
xDz =
R2 − x2 be-
1 xz(x, y)dA
Az hCz
Az
1
=
R(cos θo − cos θu )hCz
R
cos θo
R cos θu
√
x R2 − x2 dx
1
1
− (R2 − x2 )3/2
=
R(cos θo − cos θu )hCz
3
=
√
R2 sin3 θu − sin3 θo
R cos θo
R cos θu
3(cos θo − cos θu )hCz
sin3 θu − sin3 θo
2
= − R
3 (sin θo cos θo + sin θu cos θu + θo − θu ) − 2 sin θo cos θu
Wir wollen die Zusammensetzung der beiden Einzelkräfte hier nicht weiterverfolgen. Die
Rechnung zeigt allerdings, daß schon einfache geometrische Anordnungen zu recht komplexen Druckkraftberechnungen führen können.
1.5.3 Die Gleitsicherheit einer Gewichtsstaumauer
Die konstruktive Herausforderung bei einer Staumauer ist es, der enormen angreifenden
Druckkraft des Wassers etwas entgegen zu setzen. Damit eine Staumauer standsicher ist, sind
dabei folgende Nachweise zu erbringen:
• Da eine Staumauer im Gegensatz zu einem Staudamm aus Beton ist, dürfen an keiner
Stelle Zugspannungen auftreten.
Seite 30
h
L
rgh
mrgh
Abbildung 1.16: Zur Gleitsicherheit einer Staumauer.
• In der Stauermauer müssen die zulässigen Druckspannungen eingehalten werden, damit
der Beton nicht versagt.
• Unterhalb der Staumauer müssen die zulässigen Bodenpressungen eingehalten werden.
• Als massives Bauwerk muss die Sicherheit gegen Kippen geprüft werden.
• Als massives Bauwerk muss die Sicherheit gegen Gleiten geprüft werden.
Bei einer Gewichtsstaumauer wird durch das Gewicht der Staumauer der Scherwiderstand in
der Kontaktfläche zwischen Mauer und anstehendem Fels so erhöht, dass dieser der Wasserdruckkraft widerstehen kann.
Eine Staumauer ist dann gleitsicher, wenn die horizontalen Wasserkräfte nicht in der Lage
sind, sie wegzuschieben, wenn also die Reibungskräfte zwischen anstehendem Fels und der
Staumauer größer als die schiebenden Wasserkräfte sind. Wie betrachten eine Staumauer der
Breite B mit dreiecksförmigen Querschnitt der Höhe h und der Bodenlänge L.
Die Reibungskräfte zwischen Staumauer und anstehendem Fels sind umso größer, desto größer
das Gewicht M der Staumauer ist:
1
FR = μMg = μB gLBh
2
Der Koeffizient μ heißt Gleitreibungskoeffizient, B ist die Dichte des verwendeten Betons.
1.6. Ruhende Flüssigkeiten in beschleunigten Gefäßen
Seite 31
Diese Gleichung berücksichtigt allerdings noch nicht den durch den Porenwasserdruck entstehenden Auftrieb der Staumauer, den man als Sohlenwasserdruck bezeichnet. Der Sohlenwasserdruck ist auf der Wasserseite der Staumauer der dort wirkende hydrostatische Druck
gh, denn er setzt sich stetig in die anstehenden Poren fort. Auf der Landseite nimmt er Luftdruck an, wenn dort kein Wasser steht. Nehmen wir an, dass der Sohlenwasserdruck unter der
Staumauer der Grundlänge L linear abnimmt, dann gilt für den Auftrieb durch den Sohlenwasserdruck 12 ghLB, wenn die Anlage rein auf Porenwasser schwimmen würde. Auf felsigem Untergrund wird allerding nur ein gewisser Teil der Grundfläche LB von Sohlenwasser
berührt. Im anderen, von fester Felsmatrix kontaktiertem Teil herrscht ein kleinerer als der
Sohlenwasserdruck. Dies wird durch einen Abminderungsbeiwert m berücksichtigt, der nach
DIN 19702 bestimmt werden muss. Somit gilt für die Reibungskräfte:
1
FR = μghLB (B − m)
2
Diese Kräfte müssen also den horizontalen Druckkräfte 12 ghhB resistieren:
1
h
1
μghLB (B − m) > ghhB ⇒ L >
2
2
μ (B − m)
Damit ergibt sich eine Bedingung für die Mindestgrundlänge einer Staumauer, die umso größer
ist, desto höher die Staumauer ist.
1.6 Ruhende Flüssigkeiten in beschleunigten Gef äßen
Eine Verallgemeinerung des bisher Gelernten besteht in der Betrachtung ruhender Flüssigkeiten in beschleunigten Gefäßen. Als Anwendungen kann man dabei an die Kaffeetasse in einem
anfahrenden Zug denken; auf geophysikalischen Maßstab ist sogar jedes Gefäß, jeder See und
jedes Ozeanbecken einer Beschleunigung ausgesetzt, die durch die Rotation der Erde und der
sie beschreibenden Corioliskraft verursacht wird.
1.6.1 Das gleichmäßig beschleunigte Gefäß
Denken wir uns ein Koordinatensystem, welches sich mit dem Gefäß mitbewegt. Da wir uns
damit in einem beschleunigten Bezugssystem befinden, welches kein Inertialsystem ist, verliert die Newtonsche Bewegungsgleichung in der Grundform ihre Gültigkeit.
Um das körperfeste Koordinatensystem zu einem Inertialsystem zu machen, müssen wir die
Trägheit als Reaktion auf die Beschleunigung a berücksichtigen, diese also von den äußeren
Kräften abziehen.
Wir betrachten zuerst den Fall einer konstanten Beschleunigung a = du/dt = const in xRichtung. Der Kraftdichtevektor f ist dann
Seite 32
⎛
⎞
−a
⎜
⎟
⎟
f = ⎜
⎝ 0 ⎠
−g
und die Kraftbilanz ist in diesem Fall:
⎛
⎞
−a
⎜
⎟
⎟
grad p = f = ⎜
⎝ 0 ⎠
−g
Damit hat man zwei nicht-triviale (d.h. von Null verschiedene) Gleichungen. Die Integration
der Bilanz in x-Richtung ergibt:
∂p
= −a ⇒ p(x, z) = cx (z) − ax
∂x
Man beachte, daß die Integrationskonstante cx (z) eine Funktion von z sein kann. Die Kraftbilanz in z-Richtung bleibt wie in der Hydrostatik:
p(x, z) = cz (x) − gz
Auch hier ist eine Integrationskonstante zu berücksichtigen, die noch von x abhängig sein
kann. Die Integrationskonstanten müssen nun so gewählt werden, daß die beiden Lösungen zu
einer verschmelzen. Dies ist durch den Ansatz
p(x, z) = c − gz − ax
gewährleistet, wobei eine konstante Integrationskonstante c zu berücksichtigen bleibt. Um diese zu bestimmen, benötigt man den Druckwert an einem einzigen bekannten Punkt. Dazu
nehmen wir an, daß der Druck an der Flüssigkeitsoberfläche Null sein soll und wählen den
Bezugspunkt (x = 0, zS (x = 0)) := (0, zS,0):
p(0, zS ) = c − gzS,0 = 0 ⇒ c = gzS,0
Somit haben wir folgende Gesamtdrucklösung:
p(x, z) = (gzS,0 − gz − ax)
Auf jeder horizontalen Ebene im Gefäß nimmt der Druck also linear in x-Richtung ab, da die
Flüssgkeitsoberfläche in diese Richtung geneigt ist. Die Form der Flüssigkeitsoberfläche erhält
man schließlich aus der Bedingung:
Seite 33
a
p(x, zS (x)) = 0 = (gzS,0 − gzS (x) − ax) ⇒ zS (x) = zS,0 − x
g
Sie ist also eben und um das Verhältnis von horizontaler zu Gravitationsbeschleinigung gegen
die Horizontale geneigt.
Das Ergebnis kann man auch durch einfachere, mehr heuristische Überlegungen gewinnen.
Worauf hier allerdings der Augenmerk gelenkt werden sollte, ist die akribische Arbeit mit
Integrationskonstanten, die im Mehrdimensionalen Integrationsfunktionen sind. Nur so kann
man mehrere partielle Differentialgleichungen ordentlich lösen.
1.6.2 Die rotierende Zentrifuge
Es soll nun die sich in einer rotierenden Zentrifuge einstellende Flüssigkeitsoberfläche bestimmt werden. Auch hier ruht die Flüssigkeit nicht sondern bewegt sich mit der Geschwindigkeit
uθ = ωr
um die Rotationsachse z. Hierbei ist ω die Winkelgeschwindigkeit und r der Abstand von der
Rotationsachse. Mit der kreisförmigen Bewegung ist die Beschleunigung
ar = ω 2 r
verbunden, die die Flüssigkeit an die Außenwände der Zentrifuge treibt.
Wir wollen das Koordinatensystem in die Achse der Zentrifuge legen und es mit dieser rotieren lassen. In diesem Bezugssystem ruht die Flüssigkeit. Das Bezugssystem ist aber kein
Inertialsystem. Um es zu einem zu machen, müssen wir die Beschleunigungen in den Bewegungsgleichungen abziehen:
∂p
= ω 2 r
∂r
∂p
= −g
∂z
Auch diese Gleichungen sind unter sorgfältiger Verwendung von Integrationskonstanten zu
integrieren. Man bekommt für den Druck die Lösung
1
p(r, z) = ω 2 r 2 + g(zS,0 − z)
2
wobei zS,0 die Höhe der Flüssigkeitsoberfläche auf der Rotationsachse ist.
Die Form der Flüssigkeitsoberfläche erhält man wieder aus der Randbedingung, daß der Druck
auf ihr der zu Null angenommene Luftdruck ist:
1 2 2
1 ω2 2
r
p(r, zS ) = 0 = ω r + g(zS,0 − zS (r)) ⇒ zS (r) = zS,0 +
2
2 g
Man erkennt in ihr also die Form einer Parabel.
1.7. Der hydrostatische Auftrieb
Seite 34
1.7 Der hydrostatische Auftrieb
Wir wollen nun die hydrostatische Druckkraft auf einen im Fluid befindlichen Körper berechnen. Dieser wird durch eine geschlossene Fläche A beschrieben. Die auf ihn wirkende Kraft
ist also
FA = −
pdS
A
Die Lösung dieses Problems ist dank des Gaußschen Integralsatzes für skalare Funktionen sehr
einfach.
Satz: Auf einem Gebiet Ω mit glattem Rand ∂Ω sei eine skalare Größe f gegeben. Dann gilt
für den Skalar:
grad f dΩ =
Ω
f dS
(1.1)
∂Ω
Neu eingeführt wurden hier die Symbole Ω und ∂Ω. Ersteres bezeichnet in der Mathematik
einen Teilbereich des betrachteten n-dimensionalen Raumes, im dreidimensionalen Raum also
ein gewisses Volumen V . Die Umrandung wird mit ∂Ω bezeichnet, bei einem Volumen ist dies
die es umschließende Oberfläche A. Damit haben wir
FA = −
grad pdV = −(g ez )ez
V
dV = −(g ez )ez V = gV ez
V
wobei ez ein Einheitsvektor in z-Richtung ist. Erst im letzten Gleichungsteil wurde angenommen, daß die z-Achse entgegengesetzt der Gravitationskraft ist. Die resultierende Druckkraft
auf einen Körper ist gleich dem Gewicht der von ihm verdrängten Wassermenge. Da sie immer nach oben weist, bezeichnet man sie als Auftrieb. Anders ausgedrückt verliert jeder in
eine Flüssigkeit getauchte Körper soviel von seinem Gewicht, wie die von ihm verdrängte
Flüssigkeitsmenge wiegt.
Die Formel für den Auftrieb wurde von Archimedes (287 bis 212 v.Chr.) entdeckt.
Greift die Auftriebskraft nicht im Körperschwerpunkt an, dann ist mit ihr ein Drehmoment verbunden, welches nun bestimmt werden soll. Mit dem Gaußschen Integralsatz für die Rotation
folgt:
A = −
M
A
=
x × pdS
rot (px)dΩ
V
Die entsprechende Produktregel liefert:
A =
M
V
(p rot x + grad p × x)dΩ =
V
grad p × xdΩ = −
V
gez × xdΩ = −gez ×
xdΩ
V
1.8. Schwimmstabilität
Seite 35
M
G
G
B
B
G
M
M
B
Abbildung 1.17: Stabilitätsmodi eines Schiffes; links: Stabil, Mitte: Indifferent, Rechts: Labil.
Auf der rechten Seite des letzten Vektorprodukts erscheint nun der Schwerpunkt V xS :
A = −gez × V xS = xS × gV ez = xS × FA
M
Man kann die Wirkung der Auftriebskraft also im Schwerpunkt zusammenfassen.
1.8 Schwimmstabilit ät
Wir wollen das Gelernte über hydrostatische Kräfte und den Auftrieb am Beispiel der
Schwimmstabilität von Schiffen vertiefen. Ein Schiff schwimmt, wenn seine Gewichtskraft
kleiner als seine Auftriebskraft ist. Diese Bedingung ist natürlich nicht hinreichend, um ein sicheres Wasserfahrzeug zu konstruieren. Eine zweite, überlebenswichtige Anforderung ist die,
daß es nicht kielauf schwimmt, also schwimmstabil ist.
Um zu verstehen, wann dies passiert, oder besser, wann dies nicht passiert, betrachten wir die
Abbildung 1.17. Dort sind für ein leicht geneigtes Schiff der Massenschwerpunkt G, in dem die
Gravitationskraft vertikal nach unten angreift und der Angriffspunkt B (von engl.: buoyancy)
der Auftriebskraft eingetragen, die das Schiff vertikal nach oben schiebt. Die rechte Skizze
zeigt eine stabile Konstruktion, denn das Drehmoment von Auftriebs- und Gravitationskraft
wirken dem Störmoment entgegen, welches das Schiff in seine geneigte Lage gebracht hat. In
der linken Teilabbildung ist der gegenteilige Fall skizziert, hier wirken das Drehmoment des
Kräftepaares aus Auftriebs- und Gewichtskraft so, daß sie das Störmoment unterstützen und
die Neigung des Schiffes erhöhen. Das Schiff ist bezüglich der Schwimmstabilität labil. Im
mittleren Bild haben Auftriebs- und Gewichtskraft kein Moment, das Schiff würde in diesem
Fall in seiner geneigten Lage verbleiben, es ist bezüglich der Schwimmstabilität indifferent,
was aber ebenfalls nicht sonderlich günstig ist.
Aus dem Vergleich der drei Abbildungen bekommt man sehr schnell ein geometrisches Kriterium für die Schwimmstabilität des Schiffes heraus: Entscheidend ist dabei die Lage des
sogenannten Metazentrums M, was der Schnittpunkt der Wirkungslinie der Auftriebskraft
mit der vertikalen Achse des Schiffes ist. Liegt das Metazentrum M oberhalb des Massen-
1.8. Schwimmstabilität
Seite 36
y
dA
x
x
O
xq
Abbildung 1.18: Zur Berechnung des Auftriebsmoments bei einem um den Winkel θ geneigten
Schiff.
schwerpunkts G, dann ist das Schiff schwimmstabil, liegt es unterhalb des Massenzentrums
dann ist es labil.
Um den Sachverhalt zu quantifizieren, wird die Höhen dieser Punkte über Kiel K bestimmt.
Als metazentrischen Radius hm bezeichnet man dann die Differenz der Höhen des Metazentrums hM und des Massenschwerpunkts hG über Kiel auf der vertikalen Achse:
hm := hM − hG = hM − hB − e
Im letzten Teil ist e die Höhendifferenz zwischen Massen- und Auftriebsschwerpunkt (Abbildung 1.19). Da diese Höhe direkt aus der Massenverteilung des Schiffes ermittelt werden kann,
bleibt nur noch die Höhe des Metazentrums über dem Auftriebsschwerpunkt zu bestimmen.
Die Schwimmstabilität eines Schiffes ist somit stabil, wenn h m > 0, labil, wenn hm < 0 und
indifferent, wenn hm = 0 ist.
Das das Schiff stabilisierende Moment kann man auf zwei Wegen berechnen: Bei dem in
Abbildung 1.18 dargestellten, um den Winkel θ geneigten Schiff ist die rechte Seite tiefer als
die linke Seite eingetaucht, die Auftriebskraft ist auf der rechten also größer als auf der linken
Seite. Diese Differenz der Kräfte führt zu einem Drehmoment um den Punkt O, welches wir
nun berechnen wollen. Dazu betrachten wir ein Flächenelement dA auf dem Schiffsdeck. Zu
ihm gehört bei einem Neigungswinkel θ das zusätzliche eingetauchte Volumen dV = θxdA
und damit die Auftriebskraft dF = gθxdA, die ein rückstellendes Moment dM = xgθxdA
produziert. Insgesamt wird das Schiff also durch das Moment
M=
A
xgxθdA = gθIyy
1.9. Schiffshebewerke
Seite 37
M
hm
G
e
B
a
Abbildung 1.19: Der Hebel der Auftriebskraft am Schiff.
in die Gleichgewichtslage zurückgetrieben. Das Moment läßt sich aber auch aus der versetzten
Lage des Angriffpunktes B der Auftriebskraft (Abbildung 1.19) und dem damit verbundenen
Hebel a als
M = V ga = V g(hm + e) sin θ V g(hm + e)θ
berechnen. Gleichsetzen der letzten beiden Beziehungen liefert die folgende Bedingung für
die Schwimmstabilität eines Schiffes:
hm =
Iyy
−e>0
V
Mit dieser Gleichung hat man einen Rechenweg zur Hand, um die Schwimmstabilität eines
Schiffes zu bestimmen. Dazu benötigt man nur Abstand zwischen Massen- und Auftriebsschwerpunkt e und das Flächenträgheitsmoment I yy der Schiffsoberfläche.
1.9 Schiffshebewerke
Um einen durchgehenden Schiffsverkehr zwischen zwei Meeren zu gewährleisten, müssen
Schiffe irgendwie über die dazwischen liegende Wasserscheide transportiert werden und dabei einen u.U. erheblichen Geländesprung überwinden. Aber auch andere Geländesprünge wie
natürliche Wasserfälle oder künstliche Talsperren sind Hindernisse für die Schifffahrt mit erheblichem Höhenunterschied.
An Wasserstraßenkreuzen wird eine über die andere Wasserstraße mittels einer Wasserstraßenbrücke geführt. Will ein Schiff von der unteren auf die obere Wasserstraße abbiegen, muß
ebenfalls ein Höhenunterschied durch irgendeine Art von Fahrstuhl überwunden werden.
So haben die Wikinger von der Nordsee kommend Schleswig-Holstein vermutlich mit Schiffen
gequert; über die Eider und Treene, dann 8 km auf dem Landweg zur oberen Schlei, um von
Seite 38
Abbildung 1.20: Wasserstraßenbrücke des Mittellandkanals über die Elbaue bei Magdeburg.
dort stromab zu der bei Schleswig liegende ehemalige Wikingerstadt Haithabu zu gelangen.
Das Schiffshebewerk war dabei der Mensch selbst [13].
Man bezeichnet diese Art der Schiffstransports als Trockenförderung, da das Schiff dabei aus
seinem gewohnten Element genommen wird. Im Gegensatz dazu verbleibt das Schiff bei der
Naßförderung im Wasser, welches zusammen mit dem Schiff in einem Trog gehoben wird.
Die ersten Schiffshebewerke arbeiteten fast ausschließlich in Trockenförderung, da hier lediglich das zu transportierende Schiff und nicht auch noch der wassergefüllte Trog als zusätzlicher
Balast bewegt werden muußte. Die Hubhöhen betrugen nur wenige Meter und die Schiffe oder
eher Kähne waren im Vergleich zu dem, was wir heute als Schiff bezeichnen, noch sehr leicht.
Die Hubhöhe wurde dabei auf einer schiefen Ebene überwunden, die zur Reduktion der Gleitreibung durch Einfetten oder durch Aufbringung von Schlick möglichst rutschig gemacht wurde. Später erfolgte der Transport auf in den Boden eingelassenen Rollen, dann in einem auf
Schienen fahrenden Transportwagen. So konnten immer größere Schiffe über immer höhere
Geländesprünge transportiert werden.
Ein wesentlicher Fortschritt bestand im Ausgleich der Gravitationskraft des zu hebenden Gewichts durch den Zwillingsbetrieb: Auf zwei nebeneinander angebrachten Förderwegen wurde auf der einen Seite ein Transportwagen berab und auf der anderen Seite ein Transportwagen
bergauf befördert, die über ein Seil un eine auf der Bergspitze angebrachte Rolle sich gegenseitig in der Waage hielten. Das Prinzp funktioniert natürlich umso besser je ausgeglichener
das Gewicht der beiden Waagen ist.
Im 18. Jahrhundert wurden so Kohle in kastenförmigen Kähnen aus den höher gelegenen Bergwerken Englands und Irlands in die Industriezentren an den Küsten auf dafür extra angelegten
Werkskanälen transportiert. Da die Kähne alle dieselben Abmaße besaßen, konnten die Schie-
-
SHW
Seite 39
Trockenförderung
-
Rutschige
schiefe Ebene
-
Rollen
-
Transportwagen
-
Kran
-
Längs
-
Tauchschleuse
-
Quer
-
SchwimmerHW
-
Senkrecht
-
DruckwasserHW
-
WasserkeilHW
-
GegengewichtsHW
-
-
Nassförderung
Abbildung 1.21: Einteilung der Schiffshebewerke.
Seite 40
Trog mit Schiff
Schwimmer
Schwimmerschächte
Abbildung 1.22: Prinzip des Schwimmerhebewerks.
nenwagen direkt auf sie zugeschnitten werden. Der Transport ging zudem bergab, so daß die
mit den schwereren beladenen Schiffen belasteten Wagen den unbeladenen im Zwillingsbetrieb wieder bergauf ziehen konnte [13].
Das immer größer werdende transportierbare Gewicht begünstigte den Übergang zur
Nassförderung aus zwei Gründen: Zum einen müssen die Schiffe auf trockenen Transportwagen für die Halterungen normiert sein, ein freier Schiffsverkehr mit irgendwie gearteten
Fahrzeugen, für die lediglich die Maximalmaße festgelegt wurden, war so nicht möglich. Der
zweite Grund war der Ausgleich des Gewichts im Zwillingsbetrieb, der mit leeren gegen volle
Schiffe nicht so leicht herstellbar war.
Werden die Schiffe aber in einem Trog auf einer Schienenbahn über den Geländesprung transportiert, so kann ein Gewichtsausgleich direkt durch die Wasserfüllhöhe im Trog stattfinden,
bei gleichem Wasserstand haben beide Tröge des Zwillingsbetriebs dank des Archimedesschen
Auftriebsprinzips dasselbe Gewicht, egal ob sie ein Schiff enthalten, dieses be- oder entladen
ist.
Bei geringer Neigung des Geländes wurden die Tröge so gestaltet, daß die Schiffe längs zur
Schiene ausgerichtet wurden. Dazu darf das Gelände allerdings nicht zu steil (kleiner 1:15)
oder das Schiff nicht zu lang sein. Bei größeren Neigungen muss der Trog so ausgerichtet
sein, daß das Schiff quer zur Transportrichtung befördert wird.
Bei modernen Schiffshebewerken wird aber der raumsparende senkrechte Transport bevorzugt. Beim Schwimmerhebewerk wird dabei das zu hebende Gewicht durch die Erzeugung
von Auftrieb reduziert. Dazu befinden sich in wassergefüllten, in den Boden eingelassene
Schwimmerschächte luftgefüllte Schwimmerkörper, die so bemessen sind, daß sie das Gewicht des wassergefüllten Troges und der beweglichen Anlagenteile genau ausgleichen (siehe
Seite 41
Abbildung 1.23: Zur Überwindung eines Geländesprungs von 36 m auf dem Schiffahrtsweg
von Berlin nach Stettin ist 1934 das Schiffshebewerk Niederfinow gebaut worden. Links die
Gesamtansicht des Bauwerks, rechts die oberstromige Einfahrt. Das Hebewerk stellt aber heute
einen Engpass dar, da sein Trog die Länge der Schiffe auf rund 80 m begrenzt. Damit können
moderne Großmotorgüterschiffe mit bis zu 110 m Länge Niederfinow nicht passieren. Zudem kann die Ladekapazität vieler Fahrzeuge nicht ausgenutzt werden, da die Trogwassertiefe
nur 2 m Tiefgang zuläßt. Daher plant die Wasser- und Schifffahrtsverwaltung hier ein neues
Schiffshebewerk mit 115 m Troglänge.
Abbildung 1.22). Zur Bewegung wird ein leichtes Ungleichgewicht erzeugt, indem bei einer
Talfahrt der Trog mit etwas mehr Wasser und bei einer Bergfahrt mit etwas weniger Wasser gefüllt wird. Die exakte vertikale Position des Trogs wird durch Spindeln gesteuert. In
Deutschland ist das Schiffshebewerk Rothensee am Wasserstraßenkreuz Magdeburg mit einer
solchen Hubvorrichtung ausgestattet.
Beim Druckwasserhebewerk befindet sich jeder der beiden Zwillingströge auf einem Preßkolben. Diese befinden sich in Druckzylindern, zwischen denen über ein verschließbares Rohr
Wasser ausgetauscht werden kann. Je nach Fließrichtung senkt sich dann der eine Kolben,
während der andere sich hebt. Haben die beiden Kolben und die darauf montierten Tröge die
Gewichte M1 und M2 , dann gilt für die beiden Eintauchtiefen (Bezeichnungen nach Abbildung
1.24),
(p0 + gh1 ) A = M1 g
(p0 + gh2 ) A = M2 g
wobei ihre Summe konstant ist:
h1 + h2 = Hges = const
Aus diesen drei Gleichungen lassen sich die Gesamtgewichte der beiden Tröge durch Wasserzufuhr so steuern, daß sich diese in die gewünschten Höhen bewegen.
1.10. Zusammenfassung
Seite 42
M1
M2
po
h1
A
h2
Abbildung 1.24: Prinzip des Druckwasserhebewerks.
Druckwasserhebewerke kann man in Großbritannien, Frankreich, Belgien und Kanada bestaunen. Bei uns werden in den letzten Jahrzehnten lediglich Schiffshebewerke nach dem
Schwimmer- oder Gegengewichtsprinzip gebaut. Letzteres ist in Niederfinow realisiert, hier
wird das Troggewicht durch Gegengewichte ausgeglichen.
1.10 Zusammenfassung
Druck als physikalisches Phänomen ist die innere Reaktion eines Fluides auf äußere Kräfte.
Bedrängen diese das Fluid, so werden die Fluidmoleküle näher aneinander gedrückt, ihr Bestreben, sich wieder in den Gleichgewichtsabstand zu begeben, wird mit dem Druck gemessen.
Auf ruhende Fluide im Schwerefeld der Erde wirkt nur deren Gravitationswirkung, es gilt dann
1
0 = f − grad p
Diese Gleichung wird in den folgenden Kapiteln auf den Fall sich bewegender Fluide ausgedehnt.
Die Berechnungen der hydrostatischen Kräfte auf eine Fläche sind immer dreiteilig: Zunächst
muß die hydrostatische Druckverteilung auf der Fläche bestimmt werden, dann die Druckkraft
und schließlich ihr Angriffspunkt.
1.11. Übungen
Seite 43
}Dh
h
r
ru
Abbildung 1.25: zu Aufgabe 3: Δ h = 1cm, h =
5cm.
1.11 Übungen
1. Das Gesamtgewicht aller bewegten Teile am Schiffshebewerk Rothensee beträgt 5000 t,
der Durchmesser der zwei zylindrischen Schwimmer beträgt 10 m. Wie hoch müssen
die Schwimmerkörper sein ?
2. Die beweglichen Tröge (nebst Kolben) eines Druckwasserhebewerks haben je 125 t Gewicht. Die beiden Druckzylinder haben eine Tiefe von 15 m und werden von den Kolben mit 1 m Durchmesser über die volle Höhe durchfahren. Auf welchen Maximaldruck
muss die Kolbenbewandung bemessen werden ?
3. Mit Hilfe eines U-Rohres (Abbildung 1.25) und einer Vergleichsflüssigkeit der Dichte
v = 1000 kg/m3 soll die Dichte einer Messflüssigkeit bestimmt werden.
4. In den beiden Schenkeln eines U-Rohres (Abbildung 1.26) ist über einer Flüssigkeit der
Dichte b eine Flüssigkeit der Dichte a (< b ) geschichtet. Die Schichthöhen sind h1
und h2 . Man berechne die Differenzen Δha und Δhb in den Höhen der Flüssigkeitsmenisken.
5. Zwei mit Flüssigkeit der Dichten a bzw. b gefüllte Behälter sind in der in Abbildung
1.27 skizzierten Weise über ein U-Rohr-Manometer verbunden. Die Dichte der Manometerflüssigkeit ist c . Wie groß ist die Druckdifferenz Δ p = p1 - p2 ?
6. a) Welche Druckkraft F wird von dem im Behälter (Abbildung 1.28) befindlichen Wasser
auf den Behälterboden ausgeübt?
b) Wie groß ist die Lagerreaktion FL ?
1.11. Übungen
Seite 44
Dha
ra
h1
ra
h2
Dhb
Abbildung 1.26: zu Aufgabe 4: h1 = 3 cm, h2
= 5 cm, a = 1 g/cm3 (Wasser) b = 1,26 g/cm3
(Glyzerin).
h1
ra
Dh1/2
Dh1/2
rb
h2
p1
rc
rb
p2
2m
4m
Abbildung 1.27: zu Aufgabe 5: h1 = 5 m, h2 =
15 m, Δ h = 0,72 m, a = 1 Mg/m3, b = 1,26
Mg/m3, c = 13,55 Mg/m3, g = 9,81 m/s2.
2m
2m
F
1m
FL
FL
8m
Abbildung 1.28: zu Aufgabe 6: Behälterbreite
1 m.
1.11. Übungen
Seite 45
p
p0
h
h2
h1
p1
Hg
Abbildung 1.29: zu Aufgabe 7: h = 5,0 m, h1 = 1,3 m, h2 = 1,1 m.
7. Ein geschlossenes Gefäß (Abbildung1.29) ist mit Wasser gefüllt, dessen Spiegel in der
Höhe h unter einem Überdruck p steht. An das Gefäß ist ein Quecksilbermanometer angeschlossen, an dem man die Höhen h1 und h2 ablesen kann. Gesucht ist der Überdruck
p an der Wasseroberfläche sowie der Druck p1 am Boden des Gefäßes.
8. Bei der dargestellten (Abbildung 1.30) hydraulischen Presse wirkt auf den Kolben K1
die Druckkraft F1 .
a) Man berechne die auf den Kolben K2 wirkende Kraft F2 .
b) Man berechne den Hubweg ΔL2 des Kolbens K2 unter der Voraussetzung, dass ΔL1 ,
der Hubweg des Kolbens K1 , bekannt ist.
9. Die kreisförmige Klappe der in Abbildung 1.31 dargestellten Behälterwand soll sich
öffnen, wenn das Wasser die Höhe a erreicht.
a) Wie groß muss das verschiebbare Gewicht G sein, wenn es vom Drehpunkt den Abstand c hat?
b) Wie weit muss das Gewicht G verschoben werden, wenn sich der Ausfluss erst beim
Wasserstand b öffnen soll?
10. a) Man bestimme den Betrag der resultierenden Druckkraft auf die in Abbildung 1.32
dargestellte Klappe.
b) Man bestimme die Koordinaten xD und yD des Druckmittelpunktes von dem Wasserdruck auf die Klappe.
11. Bestimmen Sie die Größe und die Wirkungslinie des resultierenden Wasserdrucks auf
die Wand A-B des in Abbildung 1.33 dargestellten Behälters!
1.11. Übungen
Seite 46
A2, K2
F2
h
rw
F1
Abbildung 1.30: zu Aufgabe 8: Querschnittsflächen der Kolben A1 = 3,2
cm2 , A2 = 326 cm2 , F1 = 3,9 kN, w
= 1000 kg/m3 , h = 1 m g = 9,81 m/s2 .
A1, K1
rw
c
b
a
G
d
e
Abbildung 1.31: zu Aufgabe 9: a =
0,80 m, b = 1,00 m, c = 0,55 m, d =
0,30 m, e = 0,19 m.
x
hs
h
2a
y
x
a
a
b
Abbildung 1.32: zu Aufgabe 10: a =
1,00 m, b = 2,00 m, h = 1,00 m, α =
30o .
1.11. Übungen
Seite 47
A
2,0
6,0
4,0
6,0
B
Abbildung 1.33: zu Aufgabe 11:
Wandbreite b = 1,0 m.
12. Gegeben ist ein kreisbogenförmiges Wehr (Abbildung 1.34) mit der Breite b. Berechnen
Sie die Auflagerkräfte FA , FB und Fv .
ZUSATZAUFGABE: Wie ändern sich die Auflagerkräfte, wenn das Wehr von der Rückseite durch Wasserdruck belastet wird?
13. Bestimmen Sie die resultierende Kraft des Wassers auf die Staumauer (Abbildung 1.35)
und das Moment bezogen auf den Punkt A.
14. Eine Passagierfähre hat eine Länge von 120 m, eine Breite von 11 m und ein Leergewicht von 2500 t. Der Schwerpunkt des leeren Schiffes befindet sich 5,5 m über dem
Schiffsboden. Passagiere und Besatzung werden für die Bemessung zusammen mit 200
t angesetzt. Im Normalbetrieb kann von einer gleichmäßigen Verteilung der Personen
über die Decks 1 bis 5 ausgegangen werden. Der Schwerpunkt eines Menschen kann dabei zu 1 m über Decksboden angesetzt werden. Im Falle eines Rettungsmanövers muss
hingegen davon ausgegangen werden, dass sich alle Personen auf dem obersten Deck 5
einfinden.
(a) Bestimmen Sie Tiefgang und Schwimmlage des leeren Schiffs.
(b) Beurteilen Sie die Schwimmstabilität im Normalbetrieb sowie im Rettungsfall.
1.11. Übungen
Seite 48
FA
R
FB
FV
FA
R
FB
FV
Abbildung 1.34: zu Aufgabe 12: b =
1,0 m, R = 3,0 m.
L1
x
Parabel
h
Scheitel
H
z
Dz
A
L
Abbildung 1.35: zu Aufgabe 13:
Beton = 2.500 kg/m3, L = 17,55 m,
L1 = 10 m, Δz = 3 m, h = 12 m, H =
18 m.
1.11. Übungen
Seite 49
Abbildung 1.36: zu Aufgabe 14.
15. Berechnen Sie die Grundbreite, das Gewicht und das erforderliche Betonvolumen einer
Gewichtsstaumauer aus Normalbeton (B = 2400 kg/m3) von 65 m Höhe und einem
Reibungsbeiwert von μ = 0.65 für die Reibung zwischen Beton und anstehendem Fels.
Der Abminderungsbeiwert für den Sohlenwasserdruck sein m = 0.6.
Seite 50
1.11. Übungen
Kapitel 2
Grundlagen der Hydraulik
Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel mit den wichtigsten Eigenschaften eines Fluids
in Ruhe beschäftigt haben, kommen wir nun zur eigentlichen Hydrodynamik und betrachten
sich bewegende Fluide. Die dabei auftretenden Phänomene sind allerdings sehr vielfältig, so
daß wir den Weg von der Hydrostatik zur vollständigen Hydrodynamik in mehreren Schritten
machen sollten.
Im ersten Schritt beschränken wir uns auf stationäre Strömungen. Dies sind solche, bei denen wohl etwas fließt, sich das Geschwindigkeitsfeld aber nicht ändert. Der Begriff wurde
von Daniel Bernoulli (1700 – 1782) in seinem 1738 erschienenen Buch ’Hydrodynamics sive de viribus et motibus fluidorum commentarii’ eingeführt. Dort leitet er auch die nach ihm
benannte Bernoulligleichung in integraler und differentieller Form her, die ein Hauptergebnis
dieses Kapitels sein wird. Sie stellt den fundamentalen Zusammenhang zwischen Druck und
Geschwindigkeit in einem Strömungsfeld her.
Doch bevor Daniel Bernoulli sich der Hydromechanik widmete, machte er eine Kaufmannslehre, um dann Medizin zu studieren, widmete sich schließlich aber doch der Mathematik. Diesen
Irrweg hat er dem Drängen seines Vaters Johann (1667 – 1748) zu verdanken, der wundersamerweise selbst ein bekannter Naturwissenschaftler war. Er schloss sich den Bemühungen der
Pariser Akademie an, die geometrischen Deduktionen in Newtons Principia durch moderne
analytische Formulierungen zu ersetzen [8]. Anwendungen fanden diese Bemühungen in der
Ballistik und der Strömungslehre, die er in seinem Buch ’Hydraulica’ umfassend beschreibt.
Heute versteht man unter Hydraulik eher das, was dann der Sohn gemacht hat, die auf einzelne
Punkte bezogene Betrachtungen stationärer Strömungen. Solche Punktbetrachtungen bezeichnet man in der Mathematik als nulldimensional, da hier die Strömungseigenschaften nicht
entlang einer Achse beschrieben wird, wie es in eindimensionalen Modellen der Fall ist.
51
2.1. Der Massenfluss
Seite 52
A1
u1
A2
u2
Kontrollvolumen
Abbildung 2.1: Die Massenerhaltung eines inkompressiblen Fluids in einer zulaufenden
Stromröhre führt zu einer Erhöhung der mittleren Durchflussgeschwindigkeit.
2.1 Der Massenfluss
Um die Erhaltung der Masse in der Strömungsmechanik zu formulieren, wollen wir zunächst
den Massenfluss ṁ in kg/s durch eine Fläche A bestimmen. Er ist natürlich umso größer,
desto größer die Dichte des Fluides ist, desto größer die Fläche A ist und desto größer die
Durchflussgeschwindigkeit u ist. Es sollte also
ṁ = uA
gelten. Daß dies auch bezüglich der Einheiten korrekt ist, bestätige der Leser selbst.
In einem Kontrollvolumen mit N offenen Grenzen gilt somit für die Massenänderung:
ṁKV =
N
ṁi
i=1
Als Anwendung dieses Satzes betrachten wir die in Abbildung 2.1 dargestellte, in Strömungsrichtung zulaufende Stromröhre als Kontrollvolumen. Ist sie vollkommen mit Fluid ausgefüllt,
dann kann sich in ihr die Masse nicht mehr ändern, ṁ KV = 0. Somit ist der einlaufende Massenfluss gleich dem auslaufenden, ṁ1 = ṁ2 . Ist die Dichte des Fluides zudem noch konstant,
dann gilt:
u1 A1 = u2A2
Oder in Worten: Die Durchflussgeschwindigkeit erhöht sich in dem Maße, wie der Querschnitt
abnimmt. Dieser recht einfache Zusammenhang ist praktischen Strömungsberechnungen von
unschätzbarer Bedeutung.
Nun liegt aber die Fläche A nicht notwendig senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit, die
selbst ein Vektor u im dreidimensionalen Raum ist. Um diesen allgemeineren Fall ebenfalls zu
berücksichtigen, bestücken wir die Fläche A wieder mit ihrem Normaleneinheitsvektor n und
bekommen für den Massenfluss
2.2. Der Durchfluss
Seite 53
ṁ = unA
Das Skalarprodukt aus Geschwindigkeits- und Normaleneinheitsvektor berücksichtigt sogar
den Spezialfall, bei dem die Fläche parallel zur Strömung ausgerichtet ist, und somit sie kein
Massenfluss durchdringt.
Will man die Überlegung auch auf beliebig geformte, nicht notwendig ebene Flächen erweitern, dann muß die Bilanzierung für unendlich viele infinitesimal kleine Teilflächen durchgeführt werden, was der Flächenintegration gleichkommt:
ṁ =
undA
A
Die unter dem Integral stehende Größe u bezeichnet man auch als Massenfluss(vektor):
Φ = u
(2.1)
Sie hat die Einheit mkg2 s , gibt also an wieviel Masse pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche
fließt. Sie wäre uns schon in Gleichung (??) begegnet, wenn wir für f die Dichte eingesetzt
hätten.
2.2 Der Durchfluss
Wir wollen nun eine wichtige Größe der Hydromechanik kennenlernen, der Volumenfluss oder
einfach Durchfluss Q. Er gibt an, wieviel Fluidvolumen ΔV einen gegebenen Querschnitt A
pro Zeit Δt durchfließt:
Q=
ΔV
Δt
Der Durchfluss Q hat somit die Einheit m 3 /s.
Ist die Strömungsgeschwindigkeit u senkrecht zum Bezugsquerschnitt A orientiert, dann kann
man den Durchfluss aus der einfachen Beziehung
Q = uA
berechnen. Diese ist sofort einsichtig, da die Geschwindigkeit der Quotient aus zurückgelegter
Wegstrecke Δx pro Zeit Δt und V = ΔxΔyΔz ist.
In einem inhomogenen Strömungsfeld berechnet man den Durchfluss durch die Integration der
Strömungsgeschwindigkeit u über den Querschnitt A:
Q=
A
udA
2.3. Die Impulsbilanz bei stationären Strömungen
Seite 54
A2
A1
Abbildung 2.2: Zum Konzept der Stromröhre.
In Natur und Technik ist auch der Durchfluss eine Größe, die einen enormen Wertebereich
aufweist. So entmünden jede Sekunde 190.000 m 3 dem Amazonas, von den 5 l Blut, die das
menschliche Herz pro Minute verlassen, werden die Niere jede Minute von 1.5 l, die Leber
von 1.6 l durchströmt.
2.3 Die Impulsbilanz bei station ären Strömungen
Nachdem wir das Gesetz der Massenerhaltung sowohl für kompressible als auch für inkompressible Strömungen formuliert haben, wollen wir schrittweise uns an die Impulsbilanz heranwagen.
2.3.1 Das Stromröhrenkonzept
Wir führen den Begriff der Stromröhre (Abbildung 2.2) in einer stationären Strömung ein.
In ihr sind eine Menge von nebeneinanderliegenden Stromlinien gebündelt. Durch die Stirnoder Eintrittsfläche tritt also pro Zeiteinheit genauso viel Fluid ein, wie an der Austrittsfläche
entweicht. Damit findet kein Volumenfluss durch die Mantelfläche der Stromröhre statt.
Mit dem Stromröhrenkonzept lassen sich sowohl die Strömungen in Rohren als auch Gerinnen
beschreiben, solange keine Abzweigungen oder Verluste (etwa durch Verdunstung in einem
Gerinne) von Fluid auf dem Weg zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt stattfinden.
Wir beginnen mit einer stationären Strömung durch die Stromröhre, in der keine äußeren
Kräfte wirken, etwa deshalb, weil die Röhre horizontal im Gravitationsfeld ausgerichtet ist.
Das zweite Newtonsche Axiom gilt auch für die Ein- und Austrittsfläche der Stromröhre. Nach
diesem ist die zeitliche änderung des Impulses gleich der Summe der äußeren Kräfte:
F =
dm
du
d
(mu) =
u + m
dt
dt
dt
In der stationären Strömung gibt es keine zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Es bleibt:
F =
dm
u
dt
Die durch die Eintrittsfläche strömende Wassermasse ist dm/dt = Q, somit folgt:
F =
Seite 55
(Qu)
Als weitere angreifende Kraft ist der Druck zu berücksichtigen.
F = Qu + pAn
Damit die Stromröhre sich nicht von ihrem Platz wegbewegt, muß die Summe der angreifenden Kräfte Null sein, d.h. auf der Ein- und der Austrittsfläche sollen die betragsmäßig gleichen
Kräfte wirken. Es gilt somit die folgende Kräftebilanz für die Stromröhre:
Qu1 + p1 A1n1 = Qu2 + p2 A2n2
2.3.2 Die Impulsbilanz bei Querschnittsänderungen
Der Impuls I ist das Produkt aus Masse V und Geschwindigkeit u. Eine senkrecht angeströmte Fläche A durchfließt in einer stationären Strömung pro Zeit die Masse ṁ = Au. Der
Impulsfluss I˙ durch diese Fläche A ist also:
I˙ = ṁu = (uA)u = Qu
Die Terme in der Klammer stellen den Massenfluss durch die Fläche dar, der mit der Geschwindigkeit multipliziert wird.
Wir wollen diese Formel auf die Verengung in Abbildung 2.1 anwenden. Da der Durchfluss
am Ein- und Ausstromrand gleich ist, folgt für die Bilanz von einund ausströmenden Impuls:
I˙ein − I˙aus = Q2
1
1
−
Aein Aaus
=
F
Da die Eintrittsfläche größer als die Austrittsfläche ist, verliert die Strömung im Kontrollvolumen Impuls, deren Bilanz ist negativ. Diese kontinuierliche Impulsänderung ist nach dem
zweiten Newtonschen Axiom mit einer dauernden Kraft auf das Fluid entgegen der Strömungsrichtung verbunden (Vorzeichen negativ). Diese Kraft muss von der Berandung aufgefangen
werden, sie reagiert nach dem Actio-gleich-Reaction-Prinzip eine Kraft in Strömungsrichtung,
die in die konstruktive Bemessung einfließen muss.
2.3.3 Die Impulsbilanz bei Richtungsänderungen
Ändern sich bewegende Körper ihre Richtung, dann wirkt ebenfalls (mindestens) eine Kraft,
da der Impuls ein Vektor in Bewegungsrichtung ist, I = mu. In der Hydromechanik ist der
Impulsflussvektor durch eine senkrecht durchflossene Fläche dann:
Seite 56
˙
I = Qu
Die auf das Fluid in einem Kontrollvolumen wirkenden Kräfte sind somit:
F = I˙ein − I˙aus = Q
uein
uein
−
Aein Aaus
Im allgemeinsten Fall muß die Fläche A aber nicht senkrecht zur Strömung orientiert sein,
ferner ist der Impuls selbst ein Vektor parallel zur Geschwindigkeit. Die Verallgemeinerung
ist:
˙
I = u(nu)A
Will man wieder die Impulsänderung in einem Kontrollvolumen Ω bestimmen, welches durch
die Fläche ∂Ω berandet ist, dann geht die Multiplikation mit dem Flächeninhalt A in eine
Flächenintegration über:
˙
I =
u(nu)dA
∂Ω
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist eine Änderung des Impulses immer mit einer
Kraftwirkung verbunden, im Fall des Kontrollvolumens Ω bewirkt die Summe aller angreifenden Kräfte die Impulsänderung:
u(nu)dA =
F
∂Ω
In der Strömungsmechanik ist es zweckmäßig, die Druckkräfte getrennt von den sonstigen, an
einem Kontrollvolumen angreifenden Kräften zu betrachten. Für sie hatten wir in Kapitel 1 die
Beziehung
F D = −
pndA
∂Ω
hergeleitet. Extrahieren wir sie aus dem Konzert der sonstigen Kräfte und schlagen sie der
linken Seite zu, so bekommt man die Impulsbilanz für ein mit einer stationären Strömung u
beaufschlagtes Kontrollvolumen:
(u(nu) + pn) dA =
F
∂Ω
Die Summe der Kräfte auf der rechten Seite besteht dabei im wesentlichen aus der Gewichtskraft des Kontrollvolumens sowie die es haltenden Stützkräfte.
2.4. Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz
Seite 57
2.4 Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz
Die soeben abgeleitete Gleichung gilt für ein Kontrollvolumen. Dieser Begriff ist nicht so
abstrakt, wie er zunächst erscheinen mag; hinter ihm kann sich ein Rohrstück, ein Teil eines
Flusses, ein Tragflügel oder eine angeströmte Turbine verbergen.
Bei der differentiellen Betrachtungsweise will man die Impulsbilanz für einen einzelnen Punkt
in der Strömung, also ein infinitesimal kleines Kontrollvolumen formulieren. Um dies zu bewerkstelligen, bedarf es eines weiteren Werkszeugs aus der Tensoralgebra, dem Tensorprodukt. Es wird durch das Zeichen ⊗ dargestellt und ordnet zwei Vektoren u und v einen Tensor
(bzw. eine Matrix) durch die Rechenvorschrift
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
u1
v1
u1 v1 u1 v2 u1 v3
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ u ⎟⊗⎜ v ⎟=⎜ u v u v u v ⎟
2 2
2 3 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 1
u3
v3
u3 v1 u3 v2 u3 v3
(2.2)
zu. Man rekapituliere an dieser Stelle, daß es also mindestens drei Möglichkeiten gibt, Produkte von Vektoren zu bilden, das Ergebnis kann dabei ein Skalar, ein Vektor oder ein Tensor
sein.
Für das Tensorprodukt kann man die Rechenregel
(u ⊗ u) n = (un) u
durch stumpfes Einsetzen herleiten. Mit ihr wird die Impulsbilanz optisch zu der Form
(u ⊗ u + p) ndA =
F
∂Ω
aufgefrischt.
Für die Kraftsumme auf der rechten Seite verwenden wir dazu die auf die Masse bezogene
Kraftdichte, die sich für eine über das Volumen V homogen verteilte Masse als F = fm =
fV darstellt. Im Fall einer über das Kontrollvolumen Ω beliebig verteilten Masse bekommt
man:
∂Ω
(u ⊗ u + p) ndA =
fdΩ
Ω
Um zu einer differentielle Formulierung zu gelangen, wird das Randintegral zu einem Integral
über das Kontrollvolumen Ω umgeformt und dann weggelassen. Für den Druckterm hilft hier
der Gaußsche Integralsatz (1.1) weiter. Aber auch für die aus dem Tensorprodukt entstehende Matrix existiert eine Erweiterung des Gaußschen Integralsatzes, die unter Ausnutzung der
folgenden Definition für die Divergenz einer matrixwertigen Funktion P (x, y, z)
2.4. Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz
Seite 58
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
⎟
p23 ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
∂p32 ⎟
⎟
⎟
∂z ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂p33 ⎠
⎞
p11 p12 p13
∂
⎜
⎟
⎟
⎜ ∂x ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟⎜
=
div P := ∇P
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂
∂y
∂
∂z
p21 p22
∂p11 ∂p21 ∂p31
+
+
⎜
∂y
∂z ⎟
⎜ ∂x
⎟
=
p31 p32 p33
∂p12 ∂p22
+
+
∂x
∂y
∂p31 ∂p23
+
+
∂x
∂y
∂z
auch das Randintegral des Tensorproduktes in ein Oberflächenintegral verwandelt:
(div (u ⊗ u) + grad p) dΩ =
Ω
fdΩ
Ω
Damit können wir die Integration fortlassen, da sie in allen Termen auftaucht. Der Mathematiker würde hier folgendermaßen argumentieren: Da die Gleichung für jedes beliebige Volumen
Ω gilt, müssen die Integranden gleich sein.
div (u ⊗ u) + grad p = f
Als weitere Einschränkung wollen wir annehmen, daß die Fluiddichte überall gleich ist und
teilen durch dieselbe:
1
div (u ⊗ u) + grad p = f
Gehen wir davon aus, daß das äußere Kraftfeld konservativ ist, d.h. ebenfalls ein Potential
besitzt, welches die Form
f = −grad φf
haben soll. Ein solches Potential existiert für die Gravitationskraft, es ist bis auf eine additive
Konstante z0 eindeutig bestimmt und lautet:
φf = g(z − z0 ) mit g = 9.81 m/s2
Damit bekommt die Impulsbilanz im Schwerefeld der Erde das Aussehen:
1
div (u ⊗ u) + grad p + grad (gz) = 0
Mit Hilfe der Produktregel für die Divergenz eines Tensorproduktes
u
u ⊗ v ) = u∇
v + v ∇
div (u ⊗ v ) = ∇(
(2.3)
2.5. Die Bernoulligleichung
Seite 59
und der sogenannten Webertransformation
1
grad u2 − u × rot u
2
bekommt die Impulsbilanz nun die äquivalente Form:
u grad u =
u+
u∇
(2.4)
1
1
grad u2 − u × rot u + grad p + grad (gz) = 0
2
Wir werden später noch beweisen, daß die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes immer Null
ist, damit fällt der erste Term weg. Um den komplizierten dritten Term wegzubekommen,
schränken wir den Gültigkeitsbereich der folgenden Berechnungsverfahren auf solche Geschwindigkeitsfelder ein, deren Rotation Null sind:
rot u := 0
Nun enthält die Impulsbilanz
grad
p
u2
+ grad + grad (gz) = 0
2
in jedem Term ein Gradienten.
2.5 Die Bernoulligleichung
Für die stationäre Potentialströmung gilt somit:
p
u2
+ gz + = const
2
Für zwei beliebige Orte 1 und 2 gilt somit die berühmte reibungsfreie Bernoulligleichung:
u1 2
u22
p1
p2
+ gz1 +
=
+ gz2 +
2
2
Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung
A1 u1 = A2 u2
bildet sie die Grundlage der Hydraulik reibungsfreier Strömungen. Deren Kochrezept zur
Lösung hydromechanischer Probleme geht davon aus, daß an einem Ort 1 Druck, Geschwindigkeit und geodätische Höhe bekannt sind. Aus der Kontinuitätsgleichung kann man dann
an einem zweiten Ort die Geschwindigkeit und mit der Bernoulligleichung auch den Druck
bestimmen.
Seite 60
A1
u1
h(t)
u2
Abbildung 2.3: Ausfluss aus einem Gefäß: Bezeichnungen zur Ausflussformel von Toricelli.
A2
2.5.1 Freispiegel und Freistrahlen
Hat ein Fluid Kontakt mit der Umgebungsluft, so herrscht an der Kontaktfläche Luftdruck.
Diese Kontaktfläche bezeichnet man bei Oberflächengewässern auch als Freispiegel, da ihre
Lage sich frei ausrichten kann.
Unterhalb des Freispiegels bestimmt man den Druck in der Hydraulik mit den Gesetzen der
Hydrostatik.
Tritt ein Wasserstrahl wie bei einem Gartenschlauch in die Umgebungsluft, so nimmt man
an, daß auch im Inneren des freien Wasserstrahls überall Luftdruck herrscht. Man bezeichnet
diesen Strahl dann als Freistrahl.
2.5.2 Die Toricellische Ausflussformel
Ein alltägliches hydromechanisches Problem besteht in der Bestimmung des Ausflusses Q A
aus einem Gefäß. Wir betrachten ein wassergefülltes Gefäß mit einer freien Oberfläche A1 . In
der Wassertiefe h unterhalb der freien Oberfläche befindet sich eine Öffnung der Fläche A2 .
Da sowohl an der freien Oberfläche als auch am Ausfluss und somit auch im Ausflussstrahl
Luftdruck herrschen, wird die Bernoullgleichung zwischen Wasseroberfläche und Ausflussquerschnitt in diesem Fall zu:
u2
u2
u2
u21
+ z1 = 2 + z2 ⇒ 1 + h = 2
2g
2g
2g
2g
Mittels der Kontinuitätsgleichung
u1 A1 = u2A2
bekommt man für die Ausflussgeschwindigkeit
u2 =
2gh
1 − (A2 /A1 )2
u1, A1, p1
Seite 61
r
u2, A2, p2
rT
Abbildung 2.4: Venturirohr.
bzw. für den Ausfluss:
QA = A2 u2 =
A2 2gh
1
:=
μA
2 2gh mit μ =
2
1 − (A2 /A1 )
1 − (A2 /A1 )2
Dies ist die Toricellische Abflussformel mit dem Abflussbeiwert μ. Er ist für große Behälteroberflächen (A1 → ∞, Reservoire) oder kleine Aussflussöffnungen (A2 /A1 → 0) eins. Dann
wird die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Fallgeschwindigkeit eines aus der Höhe h fallenden Körpers.
Wird also ein Behälter durch einen Ausfluss entleert, so sinkt mit sinkender Restfüllhöhe auch
die Ausflussgeschwindigkeit. Während also der Entleerungsvorgang am Anfang sehr schnell
abläuft, wird er zum Ende hin immer langsamer.
2.5.3 Das Venturirohr
Um den Durchfluss Q in einer Rohrleitung zu bestimmen, kann man dieses stellenweise verengen, so eine Druckdifferenz zwischen verengten und unverengtem Bereich erzeugen. Diese
Druckdifferenz wird durch die sich in einem mit einer Testflüssigkeit der Dichte T gefüllten
Röhrchen einstellende Flüssigkeitsspiegeldifferenz hydrostatisch gemessen. Dieses Messprinzip ist im Venturirohr verwirklicht.
Die einfach zu verwirklichende Messvorrichtung des Venturirohr hat zwei Nachteile. Zum
einen muss gewährleistet sein, daß der Durchfluss nicht so groß wird, daß Testflüssigkeit in
das Förderrohr eintritt. Zum anderen stellt die Drossel einen Energieverlust dar.
2.5.4 Das Pitotrohr
Während das Venturirohr den Gesamtdurchfluss in einer Leitung mißt, kann man mit dem Pitotrohr (eng. Pitot tube) die Strömungsgeschwindigkeit an einem bestimmten Ort in einer Rohr-
Seite 62
Dh
u¥
Abbildung 2.5: Pitotrohr.
oder Gerinneströmung bestimmen und damit auch Aussagen über die Geschwindigkeitsverteilung über den durchflossenen Querschnitt bekommen.
Das Pitotrohr ist ein L-förmig Steigrohr, welches mit dem kurzen Ende in die Strömung getaucht wird und mit dem langen Ende aus der Strömung herausgeführt wird (Abbildung 2.5).
Aus der Steighöhe der Flüssigkeitssäule läßt sich der Staudruck und damit die Anströmgeschwindigkeit u∞ bestimmen:
u∞ = K gΔh
Der Korrekturfaktor K liegt etwa zwischen 0.95 und 1, je nach Ausführung des Anströmbereiches des Meßrohrs.
2.5.5 Die Grenzen der reibungsfreien Hydraulik
Wir wollen die Bernoulligleichung schließlich auf ein Fließgewässer an zwei Orten an der
Wasseroberfläche anwenden. Nehmen wir an, daß der Luftdruck über den von uns betrachteten
Gewässerabschnitt konstant ist, können wir ihn aus der Gleichung herausnehmen.
Nehmen wir als ersten Ort unserer Betrachtung die Gewässerquelle, an der wir ferner annehmen, daß das Quellwasser nahezu impulsfrei entfleucht, so hat das oberflächennahe Wasser an
einem Ort 2 die Geschwindigkeit
u2 =
2g(z2 − z1 )
was der Fallgeschwindigkeit im Gravitationsfeld entspricht. Ein Fluß, der in 100 m geodätischer Höhe einer Quelle entspringt, erreicht auf Meeresniveau die sagenhafte Fließgeschwindigkeit von 44 m/s bzw. 160 km/h. Daß dieses erste Ergebnis für die Strömungsgeschwindigkeit in Fließgewässern nicht den empirischen Tatsachen entspricht, kann nur daran liegen, daß
2.6. Reibungsverluste
Seite 63
die Idealisierungen (Reibungsfreiheit, Rotationsfreiheit und Stationarität der Strömung) uns
zu weit von der Realität weggeführt haben.
2.6 Reibungsverluste
Bei der experimentellen Überprüfung der Bernoulligleichung stellt man immer wieder zu hohe
Werte für die rechte Seite der Gleichung, d.h. die stromab liegende Energie fest. Dieser systematische Fehler entsteht durch die Nichtberücksichtigung der Umsetzung von Strömungs- in
Wärmeenergie durch die Reibung an der Fluidbewandung und der inneren Reibung im Fluid.
Diesen Energieverlust kann man durch die Einführung einer Verlusthöhe h V berücksichtigen:
p1
p2
u1 2
u2 2
+
+ z1 =
+
+ z2 + hV
2g
g
2g
g
Diese Verlusthöhe ist nicht leicht zu quantifizieren, da sie von verschiedensten Faktoren
abhängig ist. Wie jeder Reibungsverlust steigt die dissipierte Energie mit dem Quadrat der
Geschwindigkeit u2 und natürlich mit der von der Strömung zurückgelegten Weglänge l. Ferner ist die Reibung umso geringer, desto weniger Einfluss die Bewandung der Strömung hat,
umso größer also der durchflossene Querschnitt ist. Tatsächlich zeigt eine Dimensionsanalyse,
dass hier nicht der durchflossene Querschnitt, sondern der sogenannte hydraulische Durchmesser dHyd des durchflossenen Querschnitts maßgebend ist. All dies wird in dem Gesetz von
Darcy-Weisbach zusammengefaßt:
hV = λ
l
u2
Q2
=λ
dHyd 2g
dHyd 2gA2
l
Die darin enthaltene Proportionalitätskonstante λ heißt Reibungsbeiwert. Sie wird nach dem
Gesetz von Colebrook-White
2.51
ks
1
√ +
√ = −2 log
λ
Re λ 3.71dHyd
iterativ berechnet. Darin beschreibt die äquivalente Wandrauheit ks die Rauheit der Bewandung. Sie ist für verschiedene Anwendungen tabelliert.
Die Reynoldszahl Re berücksichtigt die Fließfähigkeit d.h. Viskosität des Fluids, sie ist als
Re =
udHyd
ν
definiert. Dabei ist die dynamische Viskosität von Wasser ν = 1 · 10 −6 m2 /s.
Die graphische Darstellung des Gesetzes von Colebrook-White bezeichnet man als Moodydiagramm, es ist in Abbildung 2.6 zu sehen. Die Formel von Colebrook-White und das Moodydiagramm sind die Synthese der Forschungsarbeiten vieler Wissenschaftler zur Grenzschicht
2.6. Reibungsverluste
Seite 64
0,08
0,07
ks /dhyd
0,06
0.032
0,05
0.016
l
0,04
0.0083
0,03
0.004
0.002
0.001
0.0004
0.0002
0.0001
0,02
0,01
0.0
0
1,00E+03
1,00E+04
1,00E+05
1,00E+06
1,00E+07
Reynoldszahl
Abbildung 2.6: Die Darstellung des Reibungsbeiwertes von Colebrook-White nach Moody
[10].
an rauhen Wänden. Die Kurve für hydraulisch glatte Bewandungen (ks = 0) entspricht einer
1913 von Blasius veröffentlichten Funktion, die 1933 von Prandtl zum universellen Geschwindigkeitsprofil in Grenzschichten erweitert wurde. Der vollkommen rauhe Bereich wurde von
Prandtl (1931) und von Kàrmàn (1930) mit experimenteller Unterstützung von Nikuradse beschrieben. Colebrook und White füllten mit ihrem Gesetz den Übergangsbereich ab und überdecken mit ihrer Formel auch die Bereiche früherer Formeln (aus [?]).
Wegen der enormen Wichtigkeit dieses Beiwertes wurden in der Literatur zahlreiche explizite Formen zur Approximation des Gesetzes von Colebrook-White vorgeschlagen. Ein sehr
einfaches geht dabei auf Moody [10] zurück, es lautet:
⎡
ks
106
λ = 0.0055 ⎣1 + 20 000
+
dHy
Re
1/3 ⎤
⎦
Diese Gleichung liefert mit dem Taschenrechner recht einfach Startwerte für die weiteren Iterationen der Colebrook-White-Funktion. Barr [2] konzentriert sich in seiner Approximation
auf den Reynoldsanteil; er schlägt
5.1286
ks
1
√ = −2 log
+
0.89
Re
3.71dHy
λ
vor. In der Regel liefert dieses Verfahren bessere Schätzwerte als das von Moody.
(2.5)
2.8. Übungen
Seite 65
2.7 Zusammenfassung
Mit dem aus der Kontinuitäts- und der Bernoulligleichung bestehenden Gleichungssystem
u1 A1 = u2 A2
u1 2
u22
p1
p2
+ gz1 +
=
+ gz2 +
2
2
lassen sich viele Strömungen berechnen.
Diese Grundgleichungen der Hydraulik reibungsfreier Strömungen als auch die hydrostatische
Grundgleichung lassen sich aus
1
div (u ⊗ u) + grad p = f mit
f = −g
herleiten. Man kann diese Differentialgleichungen somit als Grundgesetze der stationären Hydromechanik von Fluiden ohne innerer Reibung betrachten.
2.8
Übungen
1. An einem Wasserreservoir sind drei Kreisrohre angeschlossen. Der Zufluss im Rohr (1)
erfolgt mit der Geschwindigkeit v1 . Der Abfluss in Rohr (2) ist mit dem Massenstrom
m2 ebenfalls vorgegeben.
(a) Wie groß ist der zeitliche Massenzuwachs m0 im Reservoir? m0 ist zunächst mit
dem gegebenen Kontrollraum zu ermitteln. (Zusatzfrage: Wie muss der Kontrollraum gewählt werden, damit die gleiche Rechnung stationär erfolgt?).
(b) In welcher Zeitspanne Δt steigt der Wasserspiegel im Reservoir Δz bis zur Höhe
des Rohres (3) an?
(c) Wie hoch ist die Durchflussrate Q3 , wenn im Rohr (3) das überschüssige Wasser
abfließt ?
Mit welcher Geschwindigkeit v3 fließt es ab?
2. Aus einer Düse tritt ein Wasserstrahl mit der Geschwindigkeit v aus und trifft auf eine
Peltonschaufel, die sich für den zu betrachtenden Zeitraum in Richtung des Strahls mit
der konstanten Geschwindigkeit u bewegt. Berechnen Sie den Massenstrom m der an
der sich bewegenden Schaufelwandung umgelenkt wird.
3. Ein horizontaler Wasserstrahl fließt gegen eine senkrechte Platte.
Wie groß ist die von der Wand aufzubringende horizontale Kraft F?
2.8. Übungen
Seite 66
3
Q3
A3
Dz
A0
1
r = const.
u1
2
.
m2
A1
Kontrollraum
Abbildung 2.7: zu Aufgabe 1: Δ z = 3 m, A0 = 10 m2 , A1 = 0.5 m2 , A3 = 0.1 m2 , ṁ2 = 40 kg/s,
v1 = 0.1 m/s.
1/2 m
A
Q
u
v
Abbildung 2.8: zu Aufgabe 2: A = 0.004 m2 , v
= 30 m/s, u = 10 m/s.
1/2 m
A = 0,0025 m2
v = 20 m/s
F
2.8. Übungen
Seite 67
v
F
v
z
r
A
Abbildung 2.10: zu Aufgabe 4: A = 0.01 m2 , v
= 2 m/s, p = 104 N/m2 , β = 1.02.
x
j1
A
B
j2
Abbildung 2.11: zu Aufgabe 5: φ1 = 60o , φ1 =
30o , A1 = A2 = 3 m2 , Q = 30 m3 /s, pA = pB =
1900 kPa (Absolutdruck).
4. Berechnen Sie die Lagerreaktion F im Fundament, (Abbildung 2.10) die von dem mit der
Geschwindigkeit v im Rohr (konstanter Querschnitt A) fließenden Wasser hervorgerufen
wird. Die Flüssigkeit weist den Überdruck p auf.
5. Für den Vertikalkrümmer des Druckrohres eines Hochdruckkraftwerkes ist die resultierende Umlenkkraft auf den Ankerklotz zu berechnen. (Hinweis: Draufsicht: Das Eigengewicht kann vernachlässigt werden.)
6. Unter der Annahme, daß der Freispiegelbehälter eine sehr große Oberfläche habe, berechne man die Höhe h1 der Flüssigkeit im Steigrohr und die Geschwindigkeit v 1 , mit
der die Flüssigkeit ausströmt.
7. Ein Behälter (s. Skizze) ist bis zur Höhe h mit Wasser gefüllt. Ein Ausflussrohr der
Länge l wird einmal horizontal, einmal vertikal an den Behälter angeschlossen.
(a) Mit welcher Geschwindigkeit v1 und v2 fließt die Flüssigkeit in beiden Fällen aus?
(b) Man skizziere für beide Fälle den Druckverlauf im Behälter und im Ausflussrohr.
2.8. Übungen
Seite 68
h0
h1
u
A1
A2
Abbildung 2.12: zu Aufgabe 6: h0 = 1 m, A1 = 10 cm2 , A2 = 2 cm2 .
p0
p0
h
h
L
v2
L
v1
2.8. Übungen
Seite 69
ra
h1
rb
h2
Abbildung 2.14: zu Aufgabe 8: h1 = 5 m, h2 =
0.6 m, a = 1000 kg/m3, b = 792 kg/m3.
v2
A1
A2
a
Abbildung 2.15: zu Aufgabe 9: z1 = z2 (geringe
pot. Energie), A1 = 10 cm2 , A2 = 2.5 cm2 , a =
20 cm.
8. Mit einem Heber wird Flüssigkeit der Dichte a in eine andere Flüssigkeit der Dichte b
eingeleitet.
(a) Mit welcher Strahlgeschwindigkeit v2 tritt die Flüssigkeit a in die ruhende Flüssigkeit b ein?
(b) Wie groß muss bei gegebener Höhe h2 die Spiegelhöhe h1 mindestens sein, damit
der Heber auch dann funktioniert, wenn b > a ist?
9. Der Auslaufstutzen einer Wasserleitung ist rechtwinklig abgebogen. Sein Querschnitt
verjüngt sich von A1 auf A2 . Berechnen Sie die Schnittkräfte (Längskraft, Querkraft,
Biegemoment), für die der Flansch bemessen werden muss, wenn Q = 5 l/s durch die
Leitung fließen soll.
(ohne Reibung)
Seite 70
2.8. Übungen
Kapitel 3
Stationäre Rohrströmungen
Flüssigkeiten können grundsätzlich in folgenden Systemen transportiert werden:
• Druckrohrleitungen (Rohrleitungen, Pipelines, Druckstollen)
• Freispiegelleitungen (Flüsse, Kanäle, teilgefüllte Rohrleitungen)
• Behältertransport (Tankwagen, Tankschiffe, Container, Fässer)
Wegen der normalerweise sehr großen Mengen sind praktisch nur die ersten zwei Transportarten relevant. Dabei strömt die Flüssigkeit selbst infolge eines natürlich vorhandenen oder
künstlich erzeugten Energieliniengefälles. Die wesentliche Aufgabe der Hydromechanik besteht in der zuverlässigen Bestimmung dieses Gefälles bzw. der notwendigen Transportenergie.
Gegenüber offenen Gerinnen haben Druckrohrleitungen den Vorteil, daß sie auch in der Vertikalen beliebig führbar sind, also in der Linienführung einen Freiheitsgrad mehr besitzen. Der
in der Regel kreisförmige Querschnitt kann leicht gefertigt werden und ist hydraulisch optimal. Die Betriebssicherheit ist in der Regel größer als bei offenen Gerinnen (kein Überströmen,
gasdicht), ebenso sind die hydraulischen Kenngrößen (Druck, Durchsatz, Strömungsgeschwindigkeit) einfacher zu bestimmen, da der durchflossene Querschnitt begrenzt ist. Rohre eignen
sich vor allem dann, wenn der Förderstrom gesteuert oder geregelt werden soll.
3.1 Stationäre Rohrhydraulik
Die Grundlage zur Berechnung stationärer Rohrströmungen bilden die Kontinuitätsgleichung,
die Bernoulligleichung und die Impulserhaltungsgleichung. Erstere besagt in diesem Fall, daß
der Durchfluss Q1 an einem Rohrquerschnitt 1 gleich dem Durchfluss Q2 an einem anderen
Querschnitt 2 sein muß:
71
3.1. Stationäre Rohrhydraulik
Seite 72
Q1 = Q2
bzw. u1 A1 = u2 A2
(3.1)
Die Kontinuitätsgleichung drückt sofort einsichtiges aus: Verringert sich der Rohrquerschnitt,
dann muß die Durchflussgeschwindigkeit größer werden, damit durch alle Querschnitte dieselben Wassermengen pro Zeiteinheit fließen.
Dieser Gleichung folgend wäre es ökonomisch und ökologisch sinnvoll, möglichst enge Rohre
bei größerer Durchflussgeschwindigkeit zum Flüssigkeitstransport zu verwenden, da so Rohrberandungsmaterial und Raum gespart werden könnten. Dem widerspricht aber die zweite
Gleichung zur Berechnung von Rohrströmungen, die Bernoulligleichung:
u2 2
p1
p2
u1 2
(3.2)
+
+ z1 =
+
+ z2 + hV
2g
g
2g
g
Darin ist eine Verlusthöhe hV enthalten, die kontinuierliche und lokale Verluste beinhaltet. Kontinuierliche Verluste entstehen durch die überall vorhandene Wandreibung. Sie sind
proportional zur durchflossenen Rohrlänge l und umgekehrt proportional zum hydraulischen
Rohrdurchmesser. Für sie gilt das Gesetz von Darcy-Weisbach,
l
u2
Q2
=λ
(3.3)
dHyd 2g
dHyd 2gA2
wobei hier die Verwendung der über den Rohrquerschnitt gemittelten Strömungsgeschwindigkeit u praktisch ist.
Zu dem darin enthaltenen Reibungsbeiwert λ kommen wir noch.
Betrachtet man die Bernoulligleichung für ein gleichförmiges Rohr auf konstanter geodätischer Höhe, Δp = ghV dann wird klar, warum man Rohrströmungen auch als
Druckströmungen bezeichnet: Die Druckdifferenz zwischen zwei Punkten ist es, die eine
Rohrströmung antreibt. Lapidar gesprochen drückt man ein Fluid durch ein Rohr. Dabei nimmt
der Innendruck im Fluid im Laufe der Strömung kontinuierlich ab.
Soll Fluid durch ein Rohr konstanten auf eine höhere geodätische Lage gepumpt werden, so ist
laut Bernoulligleichung die Druckdifferenz Δp = ghV +Δz erforderlich. Das lebenswichtigste Beispiel für Rohrströmungen über eine gewisse geodätsche Höhe ist der Blutkreislauf : So
benötigt der menschliche Organismus eine Druckdifferenz von 135/80 mm Hg, um Blut gegen die kontinuierlichen Verluste in den Adern und gegen den Höhenunterschied zum Gehirn
zu pumpen. Da zwischen Herz und Hirnbasis bei der Giraffe bei aufrechter Kopfhaltung ca.
2.50 m liegen, besitzt sie vermutlich den höchsten Blutdruck aller Säuger. Damit ihr Herz in
einer Minute ca. 60 l Blut durch ihren Organismus pumpen kann, benötigt sie eine Blutdruckdifferenz von 353/303 mm Hg. Deswegen sind die Blutgefäße sehr dickwandig und erreichen
am Stamm der Lungenschlagader und an der linken Herzkammer eine Dicke von 7.5 cm.
Problematisch wird die Sache für die Giraffe, wenn sie zum Wassertrinken den Kopf senkt.
Zunächst einmal befinden sich in den Venen besondere Rückflussklappen, die den Rückfluss
hV = λ
l
3.1. Stationäre Rohrhydraulik
Seite 73
des Blutes in das Gehirn verhindern. Dadurch sammelt sich das Blut beim Wassertrinken allerdings in der Vene an. Hebt die Giraffe dann wieder den Kopf, dann öffnen sich die Rückflussklappen langsam wieder, sie stellen aber zunächst einen so großen Strömungswiderstand
dar, daß das Blut nicht mit zu großer Geschwindigkeit zum Herzen zurück fließt.
Der aktuelle Blutdruck wird bei den meisten Säugern über ein spezielles Zentrum im Gehirn
sowie durch Rezeptoren überwacht, die in Herznähe liegen. Bei der Giraffe liegen diese Rezeptoren dagegen an der Gehirnbasis und bewirken so, daß normale Haltungsänderungen des
Kopfes nur geringe Änderungen des Blutdruckes im Kopf und der Herzfrequenz hervorrufen.
Ferner wird das Gehirn gegen möglichen Überdruck dadurch geschützt, daß feinverzweigte
Kopfarterien ein sogenanntes ’Wundernetz’ bilden. Dieses kann das Blut beim Senken des
Kopfes wie ein Schwamm aufnehmen.
Bei konstantem Durchfluss Q fällt die Verlusthöhe mit der dritten Potenz des Rohrdurchmessers, wenn man einmal annimmt, das λ konstant bleibt. Dieser Überlegung folgend ist
es ökonomisch und ökologisch sinnvoll, bei der Konstruktion von Pipelines möglichst große
Rohrdurchmesser zu verwenden, da die Verlusthöhe proportional zur erforderlichen Pumpenleistung ist.
Lokale Verluste entstehen durch lokale Besonderheiten des Rohrverlaufs, wie z.B. plötzliche Querschnittsaufweitungen oder Rohrkrümmungen. Sie sind daher nicht proportional zur
durchflossenen Rohrlänge. Man beschreibt den an ihnen stattfindenen Energieverlust durch
Verlustbeiwerte ζi und setzt für die Summe aus kontinuierlichen und lokalen Verlusten:
hV = λ
l
dHyd
+
i
ζi
u2
2g
Die Summe geht dabei über alle lokalen Verluste, die zwischen dem Ort 1 oberstrom und dem
Ort 2 unterstrom auftreten. Die Verlustbeiwerte ζi sind genauso wie λ dimensionslos.
Die Bernoulligleichung kann man graphisch durch sogenannte Energielinien- oder Energiehöhendiagramme darstellen. Diese basieren auf der Konstruktionsidee, daß alle Terme
der Bernoulligleichung die Einheit einer Höhe haben. Die Energiehöhe ist dann die Summe
aus potentieller Höhenenergie, der Druckenergie und der kinetischen Energie. Abbildung 3.1
zeigt ein solches Energieliniengefälle für eine Strömung in einem Auslaufrohr: Im Reservoir
am Ort 0 setzt sich die Energie aus der potentiellen Höhenenergie, sowie einem kleinen Anteil
an Bewegungsenergie aus der Wasserspiegelabsenkung zusammen. Dieser Anteil kann dann
vernachlässigt werden, wenn das Reservoirvolumen sehr groß gegenüber der auslaufenden
Wassermenge ist. Über den Verlauf des Rohres nimmt die Verlusthöhe mit der Rohrlänge linear zu. Die kinetische Energiehöhe bleibt dabei aufgrund der Kontinuitätsbedingung konstant,
so daß die Druckhöhe absinken muß.
Zur Herleitung der Impulsgleichung können wir das Stromröhrenkonzept in der Form
−u21 A1 +
∂Ω
= −u2 A2
(p − P ) dS
2
3.2. Kontinuierliche Verluste
Seite 74
2
v0 /2g
Energiehorizont
1
0
hv
2
Ene
v1 /2g
p1/rg
Dru
a
rgie
ckli
0
linie
hv
nie
2
H0
va /2g
s
Bezugshorizont
0
l
z1
za
Q
a
1
Abbildung 3.1: Energieliniendiagramm für eine Strömung in einem Auslaufrohr.
anwenden. Bezieht man die Kontinuitätsgleichung Q = A 1 u1 = A2 u2 ein und führt alle
Druckintegrale wieder zusammen, erhält man
Q(u2 − u1 ) +
(p − P ) dS = 0
∂Ω
Die inneren Spannungen werden nur an den Wänden in Form der Wandschubspannung wirksam. Die Komponente der Impulsgleichungen in x-Richtung wird somit zu:
Q(u2 − u1 ) +
pdAx +
∂Ω
τW dAx = 0
Rohrwand
Vernachlässigt man den Reibungsverlust an der Rohrbewandung, dann schreibt sich die Impulsgleichung als
Q(u2 − u1 ) +
pdAx = 0
∂Ω
Nimmt man ferner an, daß der Druck jeweils über die Eintritts- und die Austrittsfläche konstant
ist, dann folgt:
A1
Q(u2 − u1 ) − p1 A1 + p2 A2 = 0 ⇒ p2 =
A2
Q2
A1 A2
A2
− 1 + p1
A1
3.2. Kontinuierliche Verluste
Rohrart
Stahlrohre
Leitungen aus gezogenem Stahl
Geschweißte Rohre von handelsüblicher Güte
neu
nach längerem Gebrauch gereinigt
mäßig verrostet, leichte Verkrustung
schwere Verkrustung
Genietete Leitungen mit Längs- und Quernähten:
Blechdicke unter 5 mm
Blechdicke 5 bis 12 mm
Blechdicke über 12 mm
Blechdicke 6 bis 12 mm mit verlaschten Nähten
Blechdicke über 12 mm mit verlaschten Nähten
in ungünstigem Zustand bis
Gußeisenrohre
Neue Leitungen mit Flansch und Muffenverbindungen
Gußeiserne Rohre
inwendig bitumiert
neu
angerostet
verkrustet
Beton und Druckstollen
in Stahlbeton mit sorgfältig handgeglättetem Verputz
Neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz
Betonrohre, Glattstrich
Druckstollen mit Zementverputz
Betonrohre, roh
Beton, schalungsrauh
Sonstige Rohre
Asbest-Zement-Rohre
Holzrohre
Seite 75
ks [mm]
0.01 ... 0.05
0.01 ... 0.05
0.15 ... 0.2
0.4
3
0.65
1.95
3
3
5.5
50
0.15 ... 0.3
0.12
0.25 ... 1
1 ... 1.5
1.5 ... 3
0.01
0.16
0.3 ... 0.8
1.5 ... 1.6
1 ... 3
10
0.1
0.2 ... 1
Tabelle 3.1: Äquivalente Rauheit ks für rauhe Rohre (nach [12]).
3.3. Lokale Verluste
Seite 76
3.2 Kontinuierliche Verluste
Die kontinuierlichen Verluste sind mit der überall vorhandenen Wandreibung verbunden und
werden nach dem Gesetz von Colebrook-White
ks
2.51
1
√ +
√ = −2 log
λ
Re λ 3.71dHy
iterativ berechnet. Die äquivalente Wandrauheit ist für typische Rohrwandbeschaffenheiten in
Tabelle 3.1 wiedergegeben.
3.3 Lokale Verluste
Auf einer geraden, sich im Querschnitt nicht ändernden Rohrstrecke stellt sich ein Gleichgewichtsgeschwindigkeitsprofil im Rohr ein. Wird dieses in irgendeiner Form z.B. durch
Krümmungen des Streckenverlaufs oder Querschnittsänderungen gestört, so braucht es erst einer gewissen Laufstrecke, bis sich ein neues Gleichgewichtsgeschwindigkeitsprofil eingestellt
hat. Obwohl diese Änderungen nicht unmittelbar erfolgen und sich erst nach einer gewissen
Wirklänge einstellen, werden die Verluste in der technischen Berechnung der Rohrströmung
an der Verluststelle zusammengefaßt und als lokale Verluste bezeichnet.
Als maßgebende Geschwindigkeit wird in der Berechnung mit Ausnahme von Verzweigungen
stets diejenige hinter der Verluststelle eingesetzt.
Prinzipiell sind alle Verlustbeiwerte auch von der Reynoldszahl abhängig. Meist ist dieser
Einfluss jedoch in Relation zu den Unsicherheiten, welche ohnehin bei der Ermittlung dieser
Werte auftreten, relativ gering, so daß in der Praxis normalerweise von konstanten ζ-Werten
ausgegangen wird. Wir wollen einige lokale Verlustquellen der Rohrströmungen genauer betrachten.
3.3.1 Querschnittsänderungen
Generell haben allmähliche Querschnittsveränderungen geringere Verluste als plötzliche zu
Folge. Ferner bringen Querschnittserweiterungen wegen der Druckzunahme in Strömungsrichtung und der möglichen Ablösungen größere lokale Energieverluste als Querschnittsverengungen mit sich.
Diese Aussage darf aber nicht damit verwechselt werden, daß die kontinuierlichen Verluste in
einem weiteren Rohr wesentlich kleiner als in einem engeren sind. Querschnittserweiterungen
haben zwar einen lokalen Verlust zur Folge, werden aber sehr schnell durch die geringeren
kontinuierlichen Verluste amortisiert.
Wir betrachten den in Abbildung 3.2 dargestellten Fall einer unmittelbaren Querschnittsaufweitung eines horizontal gelagerten Rohres. Für die Verlusthöhe gilt laut Bernoulligleichung
in diesem Fall:
Seite 77
p2
p1
p1
u1
u2
A1
A2
p1
1
Ablösungszone
2
Abbildung 3.2: Plötzliche Querschnittsänderung in einem Rohr.
hV =
u 1 2 − u 2 2 p1 − p2
+
2g
g
Die Geschwindigkeit vor der Erweiterung bekommt man aus der Kontinuitätsgleichung:
u22
A2
u1 = u2
⇒ hV =
A1
2g
p1 − p2
A22
−1 +
2
A1
g
Für die Druckdifferenz integrieren wir den Druckterm in der Impulsgleichung. Dabei ist zu
beachten, daß die Projektion auf die Strömungsrichtung in Ein- und Auslaufquerschnitt denselben Flächeninhalt A2 aber mit umgekehrten Vorzeichen liefert:
Q(u1 − u2 ) +
∂Ω
p
p1 − p2
dAx = Q(u1 − u2 ) +
A2 = 0
Damit bekommt die Verlusthöhe den Wert
u2
hV = 2
2g
A22
Q(u1 − u2 )
u22
−
1
+
=
A21
gA2
2g
womit der Verlustbeiwert der plötzlichen Aufweitung zu
A2
−1
ζ=
A1
2
bezogen auf u2
A2
−1
A1
2
Seite 78
Abbildung 3.3: Einlaufformen für Rohre.
wird. Man bezeichnet dieses Ergebnis auch als Boda-Carnotscher Stoßverlust für den Stoß
zweier Rohrleitungen mit unterschiedlichem Querschnitt.
Bei der Herleitung wurde der Druck auf die Stirnfläche der Erweiterung dem Druck im Zuleitungsrohr gleichgesetzt. Dies ist jedoch wegen der Ablösungen in diesem Gebiet nicht zutreffend. Deshalb muß der Verlustbeiwert mit einem Korrekturfaktor c erweitert werden, womit
für den Verlustbeiwert der plötzlichen Aufweitung
A2
−1
ζ=c
A1
2
bezogen auf u2
gilt. Aus Messungen konnten für den Korrekturfaktor c folgende Werte ermittelt werden:
c = 1.0 − 1.2 plötzliche Erweiterung
c = 0.4 − 0.5 plötzliche Verengung
c = 0.15 − 0.20 konische Erweiterung für Erweiterungswinkel kleiner 7 o .
Für Erweiterungen mit Verziehungswinkeln größer als 7o unterscheidet sich der Beiwert kaum
noch von der plötzlichen Erweiterung. Bei der konischen Verengung treten nur kleine Verluste
auf, weil es da nicht zu Ablösungen kommt.
Es soll bemerkt werden, daß wir für die Herleitung des Energieverlustes an der plötzlichen
Rohraufweitung sowohl die Kontinuitäts- als auch die Impuls- und die Energiegleichung in der
Form der Bernoulligleichung benötigt haben. Dabei war die Auswertung der Impulsgleichung
am schwierigsten; wir benötigen sie dann nicht, wenn man den Energieverlust als Beiwert oder
Verlusthöhe parametrisieren kann.
3.3.2 Ein- und Auslaufverluste
Beim Übergang von einem Reservoir zu einem Abflussrohr tritt eine plötzliche Querschnittsverengung auf, für die im vorangegangenen Abschnitt für A2 /A1 → 0 ein Verlustbeiwert von
ζ = 0.4...0.5 angegeben wurde. In Abbildung 3.3 sind die entsprechenden Werte für andere
Bauformen aufgeführt.
Seite 79
0,7
10
20
0,6
30
40
60
0,5
90
Verlustbeiwert ø*
120
150
0,4
180
0,3
0,2
0,1
0
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
Krümmungsradius/Rohrdurchmesser r/d
Abbildung 3.4: Verlustbeiwert ζ∗ für Kreisrohrkrümmer ohne Korrekturen.
3.3.3 Umlenkverluste
Richtungsänderungen des Rohrverlaufs werden durch Kreisrohrkrümmer oder Knierohre erzeugt. In diesen können Ablösewirbel auf der Krümmungsinnenseite entstehen, die den durchströmten Querschnitt einengen. Ein weiterer Energieverlust ist mit der Aufweitung des durchflossenen Querschnitts hinter der Ablösung verbunden.
Bei Kreisrohrkrümmern ist der Verlustbeiwert ζ eine Funktion des Richtungsänderungswinkels θb , des Krümmungsradius r, der Rauheit der Bewandung und der Reynoldszahl. Der
Verlustbeiwert kann in der folgenden Form als Funktion dimensionsloser Variablen dargestellt
werden:
ζ = ζ(θb , r/dhyd, ks /dhyd , Re)
Dementsprechend gibt es vielfältige Darstellungen des Verlustverhaltens in Abhängigkeit von
einer Hauptveränderlichen, und die anderen Variablen werden dann durch Korrekturbeiwerte
eingebracht. In Abbildung 3.4 ist der Verlustbeiwert nach der in [7] angegebenen Beziehung
r
ζ∗ = 0.051 + 0.12
d
β
60o
0.7
für
15o < β < 180o
in Abhängigkeit vom dimensionslosen Krümmungsradius und vom Richtungsänderungswinkel aufgetragen.
Seite 80
Abbildung 3.5: Korrekturbeiwert cRe zum Einfluss der Reynoldszahl für Kreisrohrkrümmer
nach Miller.
Die Rauheitskorrektur kann durch das Verhältnis der Verlustbeiwerte λrauh /λglatt von rauher
zu glatter Wand eingebracht werden. Ferner gilt es, die Abhängigkeit von der Reynoldszahl
durch einen weiteren Korrekturbeiwert einzubringen, der graphisch in Abbildung 3.5 dargestellt ist. Insgesamt ergibt sich nach Miller der Verlustbeiwert aus der Rechenprozedur:
ζ = ζ∗
λrauh
cRe
λglatt
Knierohre sind mechanisch leichter zu fertigen, haben aber wegen der abrupten Richtungsänderung einen größeren lokalen Widerstand und sind daher hydraulisch ungünstiger.
In Abbildung 3.6 sind die Verlustbeiwerte für unterschiedliche Ablenkungswinkel enthalten.
Die Korrekturbeiwerte für Reynoldszahl und Rauheit sind wie bei Kreisrohrkrümmern zu ermitteln.
3.3.4 Verzweigungen
Durch die Aufteilung bzw. Vereinigung von Strömungen entstehen je nach örtlichen Bedingungen infolge der Umlenkung Ablösungen und Verwirbelungen, die zu erhöhten Energieverlusten führen. Diese sind auch abhängig von der Aufteilung der Teilströme, die wiederum
von den stromab in den Rohren vorherrschenden Bedingungen abhängig sind. Als Bezugsgeschwindigkeit wird daher stets die des ungeteilten Strahls verwendet, bei einer Stromtrennung
also ausnahmsweise die Geschwindigkeit vor der Aufteilung, weshalb die Verlustbeiwerte mit
Seite 81
Abbildung 3.6: Verlustbeiwert ζ∗ für Knierohre nach Miller ohne Korrekturen.
3.4. Das universelle Fließgesetz der Rohrströmung
Seite 82
Abbildung 3.7: Verlustbeiwerte für scharfkantige Abzweigungen (Bohl).
ζ gekennzeichnet werden. Abzweigende Rohre erhalten den Index a, während der durchgehende Strang mit d gekennzeichnet wird. Neben dem Verhältnis der Rohrdurchmesser im
durchgehenden sowie im abzweigenden Strang sind die Verlustbeiwerte im wesentlichen vom
Verhältnis der Teilströme Qa /Qd , dem Ablenkungswinkel φ und der Form der Abzweigung
(scharfkantig oder ausgerundet) abhängig. Für scharfkantige, kreisförmige Rohrverzweigungen mit gleichbleibendem Durchmesser sind in Abbildung 3.7 die Verlustbeiwerte dargestellt.
3.3.5 Verschlussorgane
Zur Änderung des Durchflusses werden in Rohrleitungen Verschluss- und Regelorgane installiert. Aus deren Vielzahl sind in Abbildung 3.8 die Verlustbeiwerte einiger charakteristischer
Bauformen angegeben.
3.4 Das universelle Fließgesetz der Rohrstr ömung
Aus dem Ansatz von Darcy-Weisbach (3.3) für die Verlusthöhe, dem Gesetz von ColebrookWhite für den Reibungsbeiwert und der Definition des Energieliniengefälles bekommt man
die Formel für die mittlere Geschwindigkeit in einem Rohr:
ks
2.51ν
+
u = −2 2gIE d log √
d 2gIE d 3.71dHy
3.5. Der hydraulische Durchmesser für Rohre beliebigen Querschnitts
Seite 83
Abbildung 3.8: Verlustbeiwerte für charakteristische Verschlussorgane.
bzw.
2.51ν
ks
Q = −2A 2gIE d log √
+
d 2gIE d 3.71dHy
Die Fließgeschwindigkeit und damit der Durchfluss in einem Rohr sind vom Energieliniengefälle, dem hydraulischen Durchmesser, der Fluidviskosität und der Beschaffenheit der Rohrbewandung abhängig.
In der Praxis ist es oft wichtig, die Umkehrung dieses Gesetzes zu kennen, man benötigt bei variabler Durchflussbelastung Q eines Rohres das dazugehörige Energieliniengefälle, bzw. bei
konstanter geodätischer Höhe das dazugehörige Druckgefälle. Dies machte man früher mit
Hilfe von graphischen Druckverlustdiagrammen, die das Druckgefälle pro Fließlängenmeter
als Funktion des Durchflusses darstellten. Diese Art von Diagrammen lassen sich heutzutage
mit Tabellenkalkulationsprogrammen, guten expliziten Startwerten und damit wenigen Iterationen für den Reibungsbeiwert so schnell erstellen, daß die alten Druckverlustdiagramme
heute kaum mehr Bedeutung haben.
3.5 Der hydraulische Durchmesser für Rohre beliebigen
Querschnitts
Für Rohre mit anderem als kreisförmigem Querschnitt lassen sich alle Ergebnisse durch das
Ansetzen des entsprechenden hydraulischen Durchmessers übertragen:
dHyd =
4A
Uf est
(3.4)
Dabei ist A der durchflossene Querschnitt und U der von dessen Rand bewandete Umfang. So
ergibt sich z.B. für ein Rohr mit quadratischem Querschnitt der Kantenlänge a der hydraulische
2
= a. Ein quadratisches Rohr a verhält sich hydraulisch also genauso
Durchmesser dHyd = 4a
4a
Seite 84
3.7. Übungen
wie ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt, dessen Durchmesser der Kantenlänge entspricht.
Bei
gleichem Querschnitt A ist der Durchmesser des kreisförmigen Rohres um den Faktor
4/π größer als der des quadratischen Rohres. Damit stellt sich im kreisförmigen Rohr eine
größere Geschwindigkeit und deshalb ein größerer Durchfluss als im quadratischen Roht ein.
Damit ist das Kreisrohr dem quadratischen hydraulisch weit überlegen.
Man kann ein Kreisrohr und ein quadratisches Rohr desselben Umfangs, d.h. Materialverbrauchs vergleichen. Das quadratische Rohr hat dann einen kleineren hydraulischen Durchmesser und einen größeren hydraulischen Widerstand. Schließlich kann man ganz allgemein
zeigen, daß das kreisförmige Rohr hydraulisch und damit auch ökonomisch und ökologisch
allen anderen Querschnittsformen überlegen ist.
3.6 Zusammenfassung
Die Grundaufgabe bei der Berechnung von Strömungen in Rohrleitungen besteht in der Ermittlung des Durchflusses in Abhängigkeit von einem gewissen Energieliniengefälle oder der
Umkehrung dieser Aufgabe. Dazu stehen die Kontinuitätsgleichung (3.1), die Bernoulligleichung (3.2) und das Gesetz von Darcy-Weisbach (3.3) mit parametrisierten Beiwerten für kontinuierliche oder lokale Verluste zur Verfügung. Theoretisch lassen sich diese Beiwerte durch
die Auswertung der Impulsgleichung oder aus Experimenten bestimmen. Um aus diesen Gleichungen einen Ansatz für ein bestimmtes Rohrströmungsproblem sicher aufzustellen, ist eine
gewisse Kreativität erforderlich, die durch Übung geschult werden muß. Die Gleichungen sind
dann immer iterativ zu lösen.
3.7
Übungen
1. In einem Gusseisenrohr (ks = 0.8 mm) mit dem Durchmesser d = 80 cm fließen je Sekunde 0.25 m3 Öl (ν = 0.00001 m2/s, = 0.9 t/m3 ). Wie groß ist die Verlusthöhe hv bei
1000 m Rohrlänge?
2. In einem genieteten Stahlrohr (ks = 3 mm) mit dem Durchmesser d = 30 cm fließt Wasser
mit einer Temperatur von 15o C (ν = 0.00000113 m2 /s). Wie hoch ist der Durchfluss Q,
wenn sich auf einer Rohrstrecke von 300 m eine Verlusthöhe hv = 6 m einstellt?
3. Ein Stahlrohr soll je Sekunde π/2 m 3 Öl (ν = 0.00001 m2 /s) fördern. Wie groß muss der
Durchmesser des Rohres mindestens sein, wenn bei mäßiger Verkrustung (k s = 0.8 mm)
je 1000 m Rohrlänge eine Verlusthöhe . Wie hoch ist der Durchfluss Q, wenn sich auf
einer Rohrstrecke von 300 m eine Verlusthöhe von hv = 4 m nicht überschritten werden
soll?
3.7. Übungen
Seite 85
4. Durch eine gerade Betonleitung mit dem lichten Durchmesser d = 1 m, der Länge L =
800 m und mit der Rauheit ks = 1 mm sollen 100 000 dm 3 /min erwärmtes Kühlwasser
mit der kinematischen Zähigkeit ν = 0.658·10 −6 m2 /s ohne Vordruck abfließen. Welches
Gefälle in % muss die Leitung erhalten?
Seite 86
3.7. Übungen
Kapitel 4
Die Hydraulik der Gerinne
Als Gerinne bezeichnet man alle Gewässer mit freier Oberfläche und linienförmigen Verlauf,
in denen sich die Strömung durch die Gravitationskraft ausbildet.
Im Gegensatz zu einer Strömung in einem geschlossenen Rohr ist der Druck an der Wasseroberfläche gleich dem Luftdruck und kann normalerweise über die Lauflänge als konstant
angenommen werden. Andererseits ist der Fließquerschnitt nicht vollständig durch die Berandung des Gerinnes bestimmt, vielmehr kann dieser sich durch die in Raum und Zeit variable
Wassertiefe ändern. Damit wird der Fließquerschnitt ein Teil des Problems, welches bei Gerinneströmungen zu lösen ist.
Man kann zwischen natürlichen und künstlichen Gerinnen unterscheiden. Die künstlichen
Gerinne wie Schifffahrts-, Kraftwerks-, Be- und Entwässerungskanäle, Abwassersammler,
Gräben, Durchlässe und nicht zuletzt Laborgerinne sind Produkte von Menschenhand. Hier
ist die Geometrie meist vorgegeben und damit einfacher empirisch zu erfassen. Auch die Rauheit kann infolge des meist homogenen Bettmaterials relativ sicher abgeschätzt werden.
Die natürlichen Gerinne, worunter alle durch die Natur geschaffenen Wasserläufe vom kleinen
Gebirgsbach bis zum großen Strom inklusive der ästuare im Küstenbereich verstanden werden,
besitzen meist sehr unregelmäßige geometrische und hydraulische Eigenschaften. Zudem bestehen ihre Sohlen selbst aus beweglichen Materialien, wodurch sich auch die Morphologie
des Gerinnes ändern kann.
4.1 Die Grundgleichungen
Die Grundlagen der Berechnung von Gerinneströmungen im Rahmen der stationären Gerinnehydraulik bilden die Bernoulligleichung und die Kontinuitätsgleichung.
87
4.1. Die Grundgleichungen
Seite 88
ks [m]
Sohlbeschaffenheit
ebene Flußsohle, Sand Kies
ebene Flußsohle, Grobkies
Gebirgsflüsse mit groben Geröll
Riffel, Höhe Δr , Länge λr
0.005 – 0.02
0.06 – 0.2
bis 1.5
20Δr Δλrr
Dünen, Höhe Δd , Länge λd
0.77Δd 1 − e−25Δd /λd
Vorland, Ackerboden
Vorland, Gras
versiegelte Flächen, Straßen
glatte Holzgerinne
glatter Zementputz
glatter Beton
Hausteinquader
gut gefugter Klinker
Alter Beton
Bruchsteinmauerwerk
0.02 – 0.25
0.1 – 0.35
0.001 – 0.01
0.0006
0.0008
0.0008
0.0015 – 0.0018
0.0015 – 0.0018
0.02
0.02
Tabelle 4.1: Rauheitsbeiwerte für verschiedene Sohlbeschaffenheiten (erweitert aus [12]).
4.1.1 Die Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung besagt für stationäre Strömungen, daß der Durchfluss Q 1 an einem
Gerinnequerschnitt 1 gleich dem Durchfluss Q2 an einem anderen Querschnitt 2 sein muß:
Q1 = Q2
bzw. u1 A1 = u2 A2
(4.1)
Die Kontinuitätsgleichung drückt sofort einsichtiges aus: Ist ein Querschnitt A 1 größer als
ein anderer A2 , so wird an ersterem die mittlere Durchflussgeschwindigkeit u 1 kleiner als
an zweiterem sein, damit durch beide Querschnitte dieselben Wassermengen pro Zeiteinheit
fließen.
4.1.2 Die Bernoulligleichung
Die Bernoulligleichung wird in Gerinneströmungen am zweckmäßigten an zwei Orten an der
Wasseroberfläche des Gerinnes angewendet. Da an den beiden Orten der Luftdruck als gleich
angenommen werden kann, bekommt die Bernoulligleichung die Form:
Seite 89
zB1 + h1 +
u1 2
u2 2
= zB2 + h2 +
+ hV
2g
2g
(4.2)
Darin sind zB1 die geodätische Höhe der Sohle und h1 die Wassertiefe am oberstromigen Ort
und zB2 und h2 die entsprechenden Werte stromab. Dazwischen verliert die Strömung die
Energiehöhe hV infolge der Reibung des Fluides an der Gewässersohle.
4.1.3 Das Gesetz von Darcy-Weisbach
Für diesen Term wird das Gesetz von Darcy-Weisbach
hV = λ
u2
dHyd 2g
l
(4.3)
für die überall vorhandenen kontinuierlichen Reibungsverluste angesetzt, wobei l die dabei
durchflossene Gerinnelänge ist.
4.1.4 Das Gesetz von Colebrook-White
Ist das Gerinne genügend breit, dann ähnelt das Geschwindigkeitsprofil in vertikaler Richtung
über der Sohle dem der Strömung an einer Wand. Für diese Wandströmung kann man den
Verlustbeiwert λ über die Formel von Colebrook-White
2.51
ks
1
√ +
√ = −2 log
λ
Re λ 3.71dhyd
berechnen. Hier ist ks wieder die effektive Sohlrauheit.
Dabei wird die Reynoldszahl in der Gerinnehydraulik durch Re = ud hyd /νmol definiert, wobei u die über die Tiefe gemittelte Geschwindigkeit ist. Sie beinhaltet also auch die sich über
dem Boden ausbildende Grenzschicht. In der Grenzschichttheorie wurde die Reynoldszahl
allerdings mit der sich im ungestörten Bereich außerhalb der Grenzschicht ausbildenden Geschwindigkeit berechnet.
Diese Uminterpretation spiegelt sich nicht in einer Abänderung der Vorfaktoren im Gesetz von
Colebrook-White wieder.
4.1.5 Lokale Verluste
Ferner gibt es in Gerinnen auch lokal begrenzte Verluste durch Engstellen, Einbauten oder
Wechselsprünge. Diese lokalen Verluste sind nicht von der durchflossenen Länge l abhängig.
Man berücksichtigt sie durch Verlustbeiwerte ζ i (Index i für verschiedene lokale Verluste) in
der Form:
Seite 90
u21/2g
hv
u22/2g
u1, A1
h1
u2, A2
h2
z1
z2
x
1
2
Abbildung 4.1: Energieliniendiagramm für eine Strömung in einem Gerinne.
hV = ζi
u2
2g
Dabei ist darauf zu achten, ob sich die Darstellung des Verlustbeiwerts ζ i auf die mittlere
Geschwindigkeit vor oder hinter der Störstelle bezieht.
4.1.6 Das Energieliniengefälle
Die Bernoulligleichung kann man graphisch durch sogenannte Energielinien- oder Energiehöhendiagramme darstellen. Diese basieren auf der Konstruktionsidee, daß alle Terme
der Bernoulligleichung die Einheit einer Höhe haben. Die Energiehöhe ist dann die Summe
aus potentieller Höhenenergie und der kinetischen Energie. Abbildung 4.1 zeigt ein solches
Energieliniendiagramm für eine Strömung in einem Gerinne.
Die aus potentieller, kinetischer und Druckanteilen zusammengesetzte Energie eines Gerinnes
nimmt in dessen Verlauf immer mehr ab. Als Energieliniengefälle bezeichnet man dabei den
Quotienten der Abnahme der Energiehöhe hE pro Flusslänge L:
IE =
λ u2
hE
=
l
dHyd 2g
Der zweite Teil der Gleichung entsteht, wenn man den Energieverlust mit der Formel von
Darcy-Weisbach berechnet.
Seite 91
4.1.7 Die Impulsgleichung
Zur Bestimmung von Beziehungen für die lokalen Verluste benötigt man schließlich nocht
die Impulsgleichung der Gerinneströmung. Dazu betrachtet man gedanklich das Gerinne als
Stromröhre, welches vom Gewässerboden, den Randflächen und der Wasseroberfläche als Ummantelung begrenzt wird. Diese Stromröhre läßt man direkt vor dem lokalen Verlust beginnen
und direkt hinter ihm enden. Mit Hilfe des Stromröhrenkonzepts kann man den den Impuls in
einer solchen Stromröhre der Eintrittsfläche A1 , der Austrittsfläche A2 und der Mantelfläche
M bilanzieren:
−u21 A1
−
pdS + I˙ = −u22 A2 −
A1
pdS
A2
Dabei wird der Impulsfluss an der Mantelfläche
I˙ =
(p − P ) dS
M
bei der Analyse lokaler Verluste vernachlässigt, da diese auf einem eng begrenzten Bereich
stattfinden, so daß die Mantelfläche selbst sehr klein ist.
Die Druckverteilung auf den Ein- und Austrittsflächen ist hydrostatisch, also gilt für einen
rechteckförmigen Querschnitt:
pdS =
A
B h
0 0
1
1
gzdzdB = gBh2 = gAh
2
2
Damit wird die Impulsgleichung zu
1
1
u21A1 + gA1 h1 = u22 A2 + gA2 h2
2
2
Wir werden sie zur Berechnung der lokalen Verluste an Stufen und Schwellen einsetzen.
4.1.8 Der hydraulische Durchmesser
Der hydraulische Durchmesser in obigen Formeln ist wieder:
dhyd = 4A/Ubenetzt
Wir wollen dazu einige wichtige Betrachtungen anstellen.
Ist ein Fließgewässer wesentlich breiter als tief, so kann der benetzte Umfang durch die Breite
abgeschätzt werden:
dhyd = 4Bh/B = 4h
wenn die Gewässerbreite wesentlich größer als die Tiefe ist.
4.2. Rechenanlagen
Seite 92
Dies ist insbesondere bei Flachlandflüssen der Fall.
Bei der Konstruktion technischer Gerinne geht es oftmals darum, bei einem gegebenen Fließquerschnitt einen möglichst großen Abfluss zu erreichen, d.h. den hydraulischen Durchmesser
zu maximieren bzw. den benetzten Umfang zu minimieren. Dabei weist der Halbkreis bei
gegebenen Querschnitt den kleinsten benetzten Umfang aus. In der Praxis werden aber öfter
rechteckige oder trapezförmige Querschnitte eingesetzt. Für ersteren ist der benetzte Umfang
A
+ 2h
h
Man zeige selbst, daß sich das hydraulisch günstigste Seitenverhältnis für B = 2h einstellt.
U(h) = B(h) + 2h =
4.2 Rechenanlagen
Um empfindliche Anlagenteile wie Pumpen und Turbinen vor Schwimm- oder Schwebstoffen
zu schützen, werden Rechen (engl. trash rack) eingesetzt.
Rechen dienen aber auch umgekehrt dazu, das Leben von Tieren (Fische und Wasservögel)
oder in eine Fluss gestürzte Menschen vor Schäden durch die Anlage zu schützen. Zu diesem Zweck sollte die Abscheideleistung von Rechen möglichst groß, die Stababstände also
möglichst klein sein. Hierzu sollte auch die Anströmgeschwindigkeit nicht zu groß sein, da
durch sie die verunglückten Lebewesen an den Rechen gedrückt werden und sich nicht mehr
gegen den Strömungsdruck befreien können (für Aale soll dies ab 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit gelten).
Auf der anderen Seite stellen Rechen aber Hindernisse in der Strömung dar, die dieser kinetische Energie entziehen und sie in Turbulenz und Wärme umwandeln. Bei einer Wasserkraftanlage kann also ein mechanisch effektiver Rechen zu Effektivitätsminderungen führen.
Bei der hydraulischen Konstruktion von Rechen ist es daher das Ziel, eine möglichst geringe
mechanische Durchlässigkeit bei möglichst geringem Strömungswiderstand zu erreichen.
4.2.1 Ausführungen von Rechen
Grundsätzlich sind Rechen mit vertikalen und horizontalen Stabanordnungen zu unterscheiden.
Bei der zumeist üblichen vertikalen Anordnung der Stäbe wird zum Schutz der Fische gefordert, daß die lichte Weite der Stababstände einen Wert von 2 cm nicht unterschreitet. Daher
wird neuerdings auch über Rechenanlagen mit horizontalen Stabanordnungen nachgedacht.
Bei diesen kann der lichte Stababstand wegen der vertikalen Ausprägung des Querschnitts des
Fischkörpers dann wesentlich größer sein.
Die folgenden Ausführungen beziehen sich nur auf den Rechen mit vertikalen Stäben.
Die Rechenstäbe werden auf 1.0 bis 1.5 m breiten Elementen, den Rechenfeldern angeordnet,
die bei Revisionsarbeiten herausgehoben werden können. Sie werden aus Flachstahlstäben
4.2. Rechenanlagen
Seite 93
Ansicht
(in Strömungsrichtung)
Stromlinienförmiger
Stützträger
Trennpfeiler
Achse
Rechenfeld
Trennpfeiler
Achse
Abbildung 4.2: Elemente eines Rechenfelds (nach [9]).
hergestellt. Sie werden auf horizontale Rundstähle aufgezogen, die an ihren Endungen mit den
Abstützungen verschraubt sind.
4.2.2 Bemessungsgrößen eines Rechens
Ein Rechen muss bezüglich der Abscheidewirkung, des hydraulischen Widerstandsverhaltens
und seiner mechanischen Belastbarkeit bemessen werden.
• Die Rechenstabstärke s muss den Belastungen aus Strömungswiderstand unter Verlegung und aus der Rechenreinigungsanlage gewachsen sein. Sie soll eine gewisse Lebenserwartung bzgl. Abrasion und Korrosion garantieren. I.A. werden Stabstärken von
mindestens 12 mm empfohlen.
• Die Rechenstablänge L muss ebenfalls auf die mechanischen Belastungen bemessen sein. Dabei ist insbesondere darauf zu achten, daß die Eigenfrequenzen nicht der
strömungsinduzierten Ablösefrequenz entspricht.
• Der lichte Rechenstababstand zwischen zwei Stäben a ist die eigentliche Auslegungsgröße für die Reinigungsleistung der Rechenanlage. Je nach der Spaltweite a zwischen
4.2. Rechenanlagen
Seite 94
den Stäben unterscheidet man Grobrechen (a = 10 ... 30 cm) und Feinrechen (a = 5 ...
50 mm).
• Die Rechenstabform (siehe Abbildung 4.3) hat einen erheblichen Einfluss auf den hydraulischen Widerstand des Rechens. So kann dieser auf ein Drittel reduziert werden,
wenn anstelle eines rechteckigen ein profilierter Querschnitt verwendet wird. In der Regel wird allerdings der kurzfristige Betrachtung der Herstellungskosten Priorität eingeräumt, so daß meistens rechteckige Querschnitte verbaut werden.
• Die Rechenstabneigung α gegenüber der horizontalen Ebene: Eine gegenüber der Horizontalen geneigte Rechenebene dient der Vereinfachung des Rechenreinigungsprozesses. Diese besteht kammförmigen Greifwerkzeug, welches am Rechen nach oben gleitet.
Durch die Neigung gegenüber der Horizontalen verhindert die Gewichtskraft des Greifwerkzeugs, daß das Geschwemmsel dieses nicht vom Rechen wegdrückt.
• Der Verbauunggrad P ist das Verhältnis von verbauter zu gesamter Rechenfläche.
• Der Winkel δ der horizontalen Schräganströmung.
4.2.3 Hydraulische Verlustberechnung
Rechen stellen ein Hindernis in der Strömung dar und sind daher als lokale Verluste zu behandeln. Ihr lokaler Verlustbeiwert setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen.
Bemessung nach Kirschmer und Mosonyi
Der Verlustbeiwert ζ wird nach der Formel von Kirschmer (1926) wie folgt berechnet
ζ = κkF
4/3
s
a
sin α
bzw.:
hV = κkF
4/3
s
a
sin α
u2A
2g
wobei uA die mittlere Anströmgeschwindigkeit vor dem Rechen ist.
Ferner ist kF der Formbeiwert der Rechenstäbe nach Kirschmer, wie er in Abbildung 4.3 skizziert ist. Dabei ist zu erkennen, daß eine schlanke, stromlinienförmige Form mit den geringsten Verlusten verbunden ist, währenddessen das wirtschaftliche Rechteckprofil mit sehr hohen
Verlusten verbunden ist.
Mosonyi hat in die ursprünglich von Kirschmer veröffentlichte Formel den Faktor κ zur
Berücksichtigung der schrägen Anströmung δ eingeführt. Dieser ist in Tabelle 4.2 dargestellt.
4.2. Rechenanlagen
10
Seite 95
10
10
10
10
10
d
R=5
R=5
R=5
15
R=5
20
35
30
R=5
f=
2,42
1,83
1,67
1,03
0,92
0,76
1,79
Abbildung 4.3: Formbeiwerte kF für Rechenstäbe nach Kirschmer.
δ / s/a
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
1.0
1.00
1.06
1.14
1.25
1.43
1.75
2.25
0.9
1.00
1.07
1.16
1.28
1.48
1.85
2.41
0.8
1.00
1.08
1.18
1.31
1.55
1.96
2.62
0.7
1.00
1.09
1.21
1.35
1.64
2.10
2.90
0.6
1.00
1.10
1.24
1.44
1.75
2.30
3.26
0.5
1.00
1.11
1.26
1.50
1.88
2.60
3.74
0.4
1.00
1.12
1.31
1.64
2.10
3.00
4.40
0.3
1.00
1.14
1.43
1.90
2.56
3.80
6.05
0.2
1.00
1.50
2.24
3.60
5.70
–
–
Tabelle 4.2: Faktor κ zur Berücksichtigung des Anströmwinkels δ nach Mosonyi [6].
4.2. Rechenanlagen
Seite 96
Längsschnitt
Draufsicht
Geschwemmsellagerung mit
Ablaufrinnen
Betriebsweg
Mehrzangengreifer
Rechen 1
Magazin
Rechen 2
Wartungsbrücken
Abbildung 4.4: Gesamtkonstruktion einer Geschwemmselbeseitigung.
4.2. Rechenanlagen
Seite 97
Abbildung 4.5: Rechenanlage an einem Siel mit Rechenreinigung.
Der Faktor κ berücksichtigt den Winkel δ der schrägen Anströmung. Dieser ist in den meisten
Fällen Null, dann hat κ den Wert eins. Für andere Fälle wird dieser Faktor nach der Tabelle
von Mosonyi (1966) bestimmt.
Zimmermann (1969)
Zimmermann hat sich vor allem auf eine Parametrisierung des Winkels der horizontalen
Schräganströmung δ konzentriert, der in der Formel von Kirschmer noch nach der Beiwerttabelle von Mosonyi bestimmt wird. Sein Ansatz lautet:
u2
hV = A
2g
hV =
u2A
2g
4/3 s
a
⎛
⎝3.87 tan7/4 δ
+ kF
4/3
s
3.87
a
4/3
s
a
+
7/4
tan
kF
cos3 δ
δ + kF
4/3
s
a
−
für
s
L−s
L−s <a
4/3 ⎞
⎠
für L − s < a
US Bureau of Reclamation / US Corps of Engineers (1977)
Das US Bureau of Reclamation (nach [9]) gibt folgende Formel zur Berechnung der Verlusthöhe an:
4.2. Rechenanlagen
Seite 98
hV =
u2S
2g
⎛
⎝1.45 − 0.45
An
−
Ag
2 ⎞
An ⎠
Ag
Darin ist uS = die Geschwindigkeit zwischen den Rechenstäben, An die freie Durchflussfläche
und Ag die Fläche des gesamten Einlaufquerschnitts.
Meusburger (2002)
Die Untersuchungen von Meusburger [9] konzentrieren sich vor allem auf die Verlegung eines
Vertikalrechens im Betrieb. Hiernach gilt:
hV = ζB
u2A
2g
mit ζR = ζP kδ kV sin α
wobei uA die Anströmgeschwindigkeit ist. Der Verlustbeiwert ζ P berücksichtigt dabei den
Verbauungsgrad P :
ζP = kF
P
1−P
3/2
Die Stabform wird durch den Kirschmerbeiwert kF berücksichtigt. Die horizontale Schräganströmung wird durch den Verlustfaktor k δ bestimmt:
δ
kδ = 1 − o P −1.4 tan δ
90
Bei der Verlegung eines Rechens unterscheidet Meusburger zwei Arten, die zu unterschiedlichen Verlusten führen. Es sei hier nur der Verlustbeiwert der Gruppe 1 zitiert, bei dem der
Rechen vollständig oben oder unten verlegt wird. Für den Verlustbeiwert gilt dann
kV = 1 + 5.2P
−1.5
V
1−V
2
wobei V der Verlegungsgrad ist.
Weitere Ansätze
Zur Berechnung des hydraulischen Widerstands einer Rechenanlage existieren weitere
Ansätze, die aber alle auf graphische d.h. nicht parametrisiere Darstellungen einzelner
Abhängigkeiten zurückgreifen. Es hier die Ansätze von Spangler (1928), Fellenius und Lindquist (1929), Escande (1947), Berezinski (1958), Idel’cik (1960) und Zimmermann (1969)
genannt.
4.3. Strömen und Schießen
Seite 99
4.2.4 Experimentelle Verlustbestimmung
Die vorgestellten Bemessungsformeln dienen vor allem dazu, den Verlustbeiwert ζ R eines Rechens gegebener Abmessungen zu prognostizieren. Je nach angewendeter Formel kommen
dabe verschiedene Ergebniswerte heraus, so daß diese Vorgehensweise mit erheblichen Unsicherheiten Unsicherheiten beaufschlag ist. Ferner kommen weitere Fehlerquellen hinzu, wenn
besondere geometrische Effekte, Lagerung der Rechenfelder oder komplexe Anströmverhältnisse in der wasserbaulichen Praxis hinzukommen.
Diesen Bemessungsunsicherheiten kann nur durch die experimentelle Bestimmung des Verlustbeiwerts einer Rechenanlage im wasserbaulichen Labor entgangen werden. Dabei wird
die Anlage in einem geometrisch verkleinerten Maßstab aufgebaut. Dabei ist auf Froudesche
Ähnlichkeit im Einlauf und Auslaufbauwerk zu achten, wohingegen der Rechen (Stabstärke
und -abstand) auf seine Wirkung als Strömungswiderstand mit der Reynoldschen Ähnlichkeit
bemessen werden muss.
Die Verlusthöhe wird dann durch die Messung der Wasserstände vor und hinter dem Rechen
bestimmt. Es ergibt sich damit der Verlustbeiwert ζ R des im Experiment eingesetzten Rechens.
4.3 Strömen und Schießen
Wir wollen die für den Abfluss einer Wassermenge Q erforderliche Energie in Form der auf die
Sohle bezogenen Energiehöhe Eh genauer analysieren und betrachten dazu die entsprechenden
Terme in der Bernoulligleichung für einen Ort, der auf der geodätischen Höhe z = 0 gewählt
wurde:
Eh = h +
q2
u2
=h+
2g
2gh2
Dabei wurde der spezifische Abfluss q eingeführt, er ist der Durchfluss pro Breite q = Q/B
und in einer stationären Strömung konstant, wenn sich nur die Flussbreite nicht ändert.
In Abbildung 4.6 ist die Energiehöhe als Funktion der Wassertiefe skizziert. Aus dieser Darstellung ist zu folgern, daß es zwei Wassertiefen bei gleicher zur Verfügung stehender Energiehöhe gibt, mit denen eine Abflussmenge q abgeführt werden kann. Die jeweils zu einer
Energiehöhe gehörigen Wassertiefen nennt man konjugierte Wassertiefen. Diese beiden ergeben sich als Lösungen der kubischen Gleichung:
h2 − Eh h2 +
q2
=0
2g
Den Abfluss bei der kleineren Wassertiefe und damit größeren Fließgeschwindigkeit bezeichnet man als schießenden Abfluss. Den Abfluss bei der größeren Wassertiefe und damit kleineren Fließgeschwindigkeit bezeichnet man als strömenden Abfluss.
4.3. Strömen und Schießen
Seite 100
E
E=h
q = konst.
Eh
v2/2g
Egr
vgr2/2g h
2
v /2g
hgr
h
h
schießend
strömend
Abbildung 4.6: Zur Bestimmung der konjugierten Wassertiefen.
Ferner kann aus Abbildung 4.6 gefolgert werden, daß eine Mindestenergie erforderlich ist, um
eine Abflussmenge q abzuführen. Zu dieser Mindestenergie gehört die sogenannte Grenzwassertiefe hGr , da sich an ihr die schießende von der strömenden Welt scheidet. Man bekommt
diese Grenztiefe aus der Minimumsuche:
q2
dEh
= 1 − 3 = 0 ⇒ hGr =
dh
ghGr
3
q2
g
Damit ist die für den Abfluss erforderliche Grenzenergiehöhe
3
Eh,Gr = hGr
2
und die sich dann einstellende Fließgeschwindigkeit ist:
uGr =
ghGr
Damit lassen sich die beiden Abflussmodi folgendermaßen beschreiben:
• Strömender Abfluss: u < uGr und h > hGr
• Schießender Abfluss: u > uGr und h < hGr
Beide Eigenschaften werden gemeinsam durch die Froudezahl charakterisiert:
4.4. Fließwechsel
Seite 101
u
Fr = √
gh
mit:
Fr < 1 :
Fr = 1 :
Fr > 1 :
Strömen
Grenzzustand
Schießen
Wir wollen nun untersuchen, wieviel Wasser bei einer vorgegebenen Energiehöhe abgeführt
werden kann. Dazu stellen wir die Energiehöhe nach dem Abfluss um
q(h) = h 2g(Eh − h)
und finden das Maximum dieser Funktion selbständig als die Grenzwassertiefe h Gr . Der maximale Abfluss findet bei vorgegebener
Energiehöhe also bei Grenzbedingungen statt. Dieser
maximale Abfluss ist qmax = 2/3Eh 2/3gEh.
Im Anschluss an diese Ausführungen mag man sich fragen, was in einem Gerinne passiert,
wenn die für den Abfluss erforderliche Grenzenergie nicht zur Verfügung steht. Laut unseren Überlegungen müßte das Wasser dann aufgestaut werden, bis von stromauf soviel Wasser zugeführt wurde, daß die Grenzwassertiefe überschritten wird und der Abfluss beginnt.
Dies geschieht natürlich nicht so diskontinuierlich, wie eben beschrieben. Die Übergänge sind
dabei fließend, wodurch die Verhältnisse nicht mehr gleichförmig sind. Um diesen Beginn
einer Gerinneströmung genauer zu analysieren, muß man also instationäre, ungleichförmige
Strömungen betrachten.
4.4 Fließwechsel
Während der Übergang vom Strömen zum Schießen relativ unspektakulär mit einer stetigen,
aber sehr raschen Absenkung des Wasserspiegels verbunden ist, findet der Übergang vom
Schießen zum Strömen diskontinuierlich in Form eines sogenannten Wechselsprungs unter
großem Energiehöhenverlust statt.
Wir wollen für einen solchen Wechselsprung den Energiehöhenverlust ermitteln. Da eine stationäre Gerinneströmung als Stromröhre gedacht werden kann, wenden wir den Impulssatz aus
dem Stromröhrenkonzept in der Form
1
1
u21 A1 + gBh21 = u22 A2 + gBh22
2
2
⇒
1
1
u21 h1 + gh21 = u22 h2 + gh22
2
2
an. Der Punkt 1 liege dabei direkt vor, der Punkt 2 direkt hinter dem Wechselsprung. Dabei
wurde vereinfachend angenommen, daß das Integral über die Mantelfläche der Strömröhre,
d.h. die Gerinnesohle vernachlässigt werden kann, weil der Energieverlust durch Sohlreibung
über die geringe Längsausdehunng nur sehr klein ist.
Wir betrachten die sich hieraus ergebende Differenz der Wassertiefenquadrate:
4.4. Fließwechsel
Seite 102
h21
−
h22
2 2
2
2
h21
h2
=
u2 h2 − u21 h1 = u21
− h1 = u21 1 (h1 − h2 )
g
g
h2
g h1 h2
Dabei konnte die Geschwindigkeit u 2 hinter dem Wechselsprung aus der Kontinuitätsgleichung eliminiert werden. Teilt man nun durch (h 1 − h2 ) und führt die Froudezahl für das
√
Oberwasser F r1 = u1 / gh1 ein,
h2
h2
2
h1 + h2 = u21 1 = 2F r12 1
g h1 h2
h2
dann bekommt man die quadratische Gleichung für das Wassertiefenverhältnis
h2
h1
+ 1 = 2F r12 12
h2
h2
und erhält für die Erhöhung der Wassertiefe durch einen Wechselsprung:
1 h2
2
=
8F r1 + 1 − 1
h1
2
Diese Herleitung für die konjugierten Wassertiefen ist sicherlich besonders trickreich.
Für die Berechnung der Verlusthöhe nehmen wir an, daß die Länge des Wechselsprungs so
klein ist, daß eine änderung der geodätischen Höhe über dieses Stück vernachlässigt werden
kann. Laut Bernoulligleichung ist die Verlusthöhe dann:
hV = h1 − h2 +
u21 − u22
2g
Mit der Kontinuitätsgleichung, der Wassertiefenerhöhung und ein paar algebraischen Umformungen bekommt man für die lokale Verlusthöhe eines Wechselsprunges:
hV =
(h2 − h1 )3
4h1 h2
Der Energieverlust durch einen Wechselsprung braucht also nicht durch einen empirischen
Verlustbeiwert dargestellt werden, er ist einzig von den konjugierten Wassertiefen abhängig.
In der wasserbaulichen Praxis benötigt man schließlich noch Abschätzungen zur Länge des
Wechselsprungs, wobei man zunächst einmal festlegen muß, wie diese definiert ist. Sinnvoll ist
es dabei, das Ende des Wechselsprungs an dem Ort anzunehmen, ab dem keine Rückströmungen mehr auftreten. Für die Wechselsprunglänge LW gibt es in der Literatur verschiedene, in
Laborversuchen gewonnene Bemessungsformeln, die entweder von der Oberwasser- oder den
Unterwasserströmungsverhältnissen abhängig sind.
So werden werden in Abhängigkeit von der Unterwassertiefe h2 und dem dortigen Sohlgefälle
I2 die Formel
4.4. Fließwechsel
Seite 103
Abbildung 4.7: Beispiel einer Schussrinne.
LW = (α + βI2 ) h2
mit α 6.0...6.1 und β 4.0
bzw. von Smetana und Woycicki (aus [12]) die unteren und oberen Grenzen
LW
2
=3
8F r1 + 1 − 3
h1
LW
1
=
81 F r12 + 1 − 2F r12 − 241
h1
20
in Abhängigkeit von den Oberwasserverhältnissen angegeben.
Schussrinnen und Tosbecken
Hinter Stauanlagen, wie Talsperren sind z.B. Hochwasserentlastungsanlagen anzubringen, bei
denen große Höhenunterschiede auf sehr kurzen Weglängen zu überwinden sind. Hierzu werden Schussrinnen angeordnet, deren Gefälle in der Regel so groß ist, daß die Strömung in der
schießenden Zustand übergeht.
Im Nachlauf einer solchen Schussrinne wird der schießende Abfluss an irgendeiner Stelle wieder in den strömenden unter Ausbildung eines Wechselsprungs mit den damit verbundenen
Sohlbelastungen übergehen. Zur Vermeidung von wird dieser Übergang in sogenannten Tosbecken (eng. stilling basin) herbeigeführt.
In der Bauweise unterscheidet man zunächst einmal ebene und räumliche Tosbecken. Beim
ebenen Tosbecken gibt es keine Variationen in der Breite, es reicht also aus, die Strömungsprozesse in der vertikalen Ebene zu betrachten. Räumliche Tosbecken sind zumeist mit einer
4.5. Kontrollbauwerke
Seite 104
Abbildung 4.8: Beispiel einer Schussrinne mit Tosbecken und Gegenstufe.
Aufweitung des Einlaufquerschnitts ausgestattet, wodurch die Strömungsverhältnisse in allen drei Raumdimensionen Variationen aufweisen. Im folgenden seien nur ebene Tosbecken
betrachtet, für die räumliche Bauweise sei auf fortführende Literatur z.B. in [11], [3] hingewiesen.
Zur Bemessung eines solchen Tosbeckens sind der Beginn des Wechselsprungs sowie dessen
Länge zu bestimmen. Da diese meist sehr groß ist, versucht man über verschiedene Einbauten
wie Gegenschwellen oder Störkörper die Tosbeckenlänge zu verringern.
4.5 Kontrollbauwerke
Mit Kontrollbauwerken in Fließgewässern kann der Wasserstand im Oberlauf des Bauwerks
und in gewissen Grenzen der Abfluss gesteuert werden.
Seite 105
2
uO/2g
Schütz
2
uA/2g
hO
pO= 0
a
da
uA
QA
Abbildung 4.9: Freier Abfluss unter einem Schütz.
4.5.1 Unterströmte Bauwerke
Wir wollen den freien Abfluss unter einem Schütz in Abbildung 4.9 betrachten. Ohne an dieser
Stelle auf die konstruktive Gestaltung derselben einzugehen, sollte bei diesen die Hubhöhe a
natürlich variierbar sein, damit eine Regelungsmöglichkeit besteht.
Ist die Breite B gegenüber der Hubhöhe a groß, dann können die Seitenwandeinflüsse vernachlässigt werden. Die Bernoulligleichung wird für eine Stromlinie zwischen der freien Oberfläche vor und hinter dem Schütz angesetzt:
h0 +
u2
u20
= δa + A
2g
2g
Die Wassertiefe des auslaufenden Strahls muß nicht gleich der Hubhöhe des Schützes sein.
Dies berücksichtigt der Kontraktionsbeiwert δ, der in Abhängigkeit von der Ausbildung der
Ausflusskante Werte zwischen 0.62 ≤ δ ≤ 1.0 annehmen kann.
Wegen der kurzen Strecke zwischen Schütz und vena contracta (Einschnürstelle) können die
Energieverluste durch Sohlreibung vernachlässigt werden. Ferner gilt die Kontinuitätsgleichung
Q = const = u0 Bh0 = uA Bδa
Hiermit kann man die Zuströmgeschwindigkeit u 0 eliminieren und es folgt für die Ausflussgeschwindigkeit uA
Seite 106
uA =
h0
2g
− δa
2 =
1 − δa
2
h
0
2gh20
h0 + δa
bzw. für den Abfluss QA
2gh20
QA = Baδ
= μBa 2gh0
h0 + δa
h0
1
mit μ = δ
=δ
h0 + δa
1 + δa/h0
Im letzten Teil der Gleichung wurde die Abflussbeziehung auf die Form der Toricellischen
Abflussformel gebracht, wobei ein Abflussbeiwert μ eingeführt wurde. Durch die Einführung
dieses Beiwertes hat man die Möglichkeit, beliebig gestaltete Schütze durch die empirische
Bestimmung von μ zu beschreiben.
Was erreicht man nun, wenn man die Hubhöhe a erhöht oder erniedrigt ? Bei einer Erniedrigung der Hubhöhe erniedrigt sich zunächst der Abfluss QA . Bei konstanten Zufluss führt dies
also zu einer Erhöhung des Wasserstandes vor dem Schütz, wodurch auch der Abfluss QA
unter dem Schütz steigt. Damit kann man mit einem Schütz den Abfluss nur sehr kurzfristig,
aber den oberstromigen Wasserstand vor dem Schütz regeln.
4.5.2 Überströmte Bauwerke
Wir betrachten die Situation des sogenannten vollkommenen Überfalls in Abbildung 4.10 und
wollen auch hier den Abfluss als Funktion des Wasserstandes im Oberlauf bestimmen. Dazu
bezeichnen wir den sich über der Wehrkrone einstellenden Wssserstand als Überfallhöhe hü .
Eine einfache Herleitung des Zusammenhangs ergibt sich aus der Tatsache, daß sich über
der Krone schießender Abfluss einstellt, wodurch eine Beeinflussung des Oberwassers vom
Unterwasser nicht möglich ist. Auf der Wehrkrone findet also ein Fließwechsel von Strömen
nach Schießen statt, womit die sogenannte Überfallhöhe hü gleich der Grenzwassertiefe wird:
2
2
hGr = hü =
3
3
3
Q2
gB 2
Damit folgt für die über das Wehr strömende Wassermenge Q die nach Poleni benannte Formel:
3
2 Q = μB 2ghü2
3
Der dimensionslose Überfallbeiwert μ berücksichtigt dabei die geometrische Form des Wehres, er wird später spezifiziert.
Die zweite, etwas allgemeinere Herleitung geht von der Bernoulligleichung aus. Sie wird von
einem Punkt oberstrom des Überfalls an der Wasseroberfläche in den Überfallstrahl hinein
Seite 107
2
uo /2g
p po
hü H
dA
dQ
z
uo
po=0
w
Q
Abbildung 4.10: Situation bei vollkommenen Überfall.
ausgewertet. Dort kann man annehmen, daß sich der Überfallstrahl wie ein frei fallender Ausfluss verhält, in dem der Druck dem Luftdruck entspricht. Mißt man die vertikale Koordinate
z von der Wehrkrone aus, dann wird die Bernoulligleichung zu
u(z)2
u20
=z+
⇒ u(z) = 2g(hü − z) + u20
hü +
2g
2g
wobei u(z) die Geschwindigkeitsverteilung im Abflussstrahl ist. Integriert man die Geschwindigkeit über die Wassertiefe über der Wehrkrone, dann bekommt man für den spezifischen
Abfluss pro Breite q den Zusammenhang:
q=
hü
2g(hü − z) + u20 dz =
0
2
3
⎛
2g ⎝ hü +
u20
3
2
2g
−
u20
2g
3 ⎞
2
⎠
Die Multiplikation mit der Wehrbreite B erbringt den Gesamtabfluss, hier wird aber wieder
der Überfallbeiwert μ zur Berücksichtigung der Wehrform und sonstiger Eventualitäten hinzugezogen:
⎛
2 u2
Q = μ 2gB ⎝ hü + 0
3
2g
3
2
u20
−
2g
3 ⎞
2
⎠
Diese allgemeinere Form geht für u0 = 0 in die Formel von Poleni über.
Seite 108
w/H
μ
0.15 0.40 0.72 1.2 ≥ 3
0.65 0.70 0.72 0.73 0.74
Tabelle 4.3: Überfallbeiwerte μ bezogen auf die Energiehöhe H nach [7].
Abbildung 4.11: Messwehr zur Bestimmung
des Sickerwasserflusses im Glen Canyon Dam,
USA. Im Hintergrund ist die Druckmesseinrichtung zur Bestimmung des Wasserstandes
im Oberwasser zu erkennen.
Der Überfallbeiwert μ hängt insbesondere von der oberstromseitigen Wehrhöhe und der
Krümmung des Überfallstrahls ab. Ist dieser stark gekrümmt, so tritt eine Zentrifugalbeschleunigung auf, durch welche der Druck im Strahl vermindert und die Geschwindigkeit entsprechend der Bernoulligleichung erhöht wird. Bei sehr breitkronigen Wehren, bei denen die lateralen Ränder keinen Einfluss auf die Strömung haben, ist der Überfallbeiwert im Wesentlichen
u2
von dem Verhältnis der Wehrhöhe w zur Gesamtenergiehöhe H = hü + 2g0 abhängig. Heinemann und Feldhaus geben dabei die in Tabelle 4.3 dargestellten Werte an.
Im Unterschied zu einem Schütz wird bei einem Wehr im Oberlauf durch die Wehrhöhe eine
Mindestwassertiefe garantiert, was bei einem Schütz nicht der Fall ist.
Eine weitere Anwendung der Wehrformel von Poleni sind Messwehre zur Bestimmung des
Abflusses in technischen Gerinnen (siehe z.B. Abbildung 4.11), da dieser direkt proportional
zum Oberwasserstand ist, der mit einer enprechenden Einrichtung gemessen wird. Die Beziehung zwischen Oberwasserstand und Abfluss wird dann allerdings nicht durch die Formel von
Poleni, sondern durch Kalibrierung bestimmt.
4.7. Übungen
Seite 109
a
Abbildung 4.12: Zu Aufgabe 1.
h
f
b
4.6 Zusammenfassung
Die Grundaufgabe bei der Berechnung von stationären Strömungen in offenen Gerinnen besteht in der Ermittlung des Wasserstandes bei gegebenem Zufluss. Aus der Kontinuitätsbedingung bekommt man dann sofort die mittlere Strömungsgeschwindigkeit.
Zur Lösung der Grundaufgabe stehen die Kontinuitätsgleichung (4.1), die Bernoulligleichung
(4.2) und das Gesetz von Darcy-Weisbach (4.3) mit parametrisierten Beiwerten für die kontinuierlichen Verluste zur Verfügung. Theoretisch lassen sich diese Beiwerte durch die Auswertung der Impulsgleichung oder aus Experimenten bestimmen.
4.7
Übungen
1. Es soll eine kleinere Menge Wasser (Q = 0.1 m3 /s) in einem glatten Holzgerinne
gleichförmig abgeleitet werden. Das Gelände läßt ein Sohlgefälle ISo = 0.005 zu. Geben Sie das für die Bemessung des Gerinnes notwendige Maß an.
2. Ein regulierte Wasserlauf mit trapezförmigen Querschnitt und einem Böschungswinkel
von 45o hat eine Sohlbreite von b = 1.5 m und eine Wassertiefe von h = 1.2 m. Böschung
und Sohle besitzen eine äquivalente Rauheit von ks = 1 mm.
Bei welchem Gefälle beträgt die Strömungsgeschwindigkeit 0.7 m/s?
3. Ein rechteckiger Kanal aus altem Beton führt die Wassermenge Q = 2.5 m3 /s und ist 3 m
breit.
(a) Bei welchem Gefälle ISo beträgt die Wassertiefe gerade h = 1 m?
4.7. Übungen
Seite 110
OW
UW
h1
h2
h1
h2
h3
(b) Kontrollieren Sie dreifach (über die Bedingung der Grenztiefe, der Froudeschen
Zahl und des Grenzgefälles), ob der Normalabfluss strömend oder schießend ist.
4. Die Wassertiefen ober- und unterhalb eines unterströmten Wehres betragen h1 = 7.5 m
und h2 = 0.6 m. Der Kanal ist 15 m breit. Berechnen Sie
(a) die Abflussmenge im Unterwasser
(b) die Anströmgeschwindigkeit des Oberwassers
(c) und die Druckkraft auf das Wehr.
5. An einem unterströmten Wehr werden die Wassertiefen h2 = 0.1 m und h3 = 0.5 m
gemessen, die Reibung sei vernachlässigbar.
(a) Welche Wassermenge wird abgeführt?
(b) Wie hoch ist der Aufstau vor dem Wehr?
6. Ein Rechteckgerinne wird von einer Schwallwelle durchlaufen. Hinter der Schwallwelle
fließt das Wasser mit der Geschwindigkeit 0.3 m/s.
4.7. Übungen
Seite 111
h=?
u= 0
u = 0,3 m/s 0,9 m
Ansicht
h1 =5,0m
h2 =3,8m
z =1,0m
1
Draufsicht
b1 =3,0m
2
b2 =3,0m
h3 =4,5m
3
b3 =2,0m
(a) Berechnen Sie die (gegenüber der Wassertiefe kleine) Wellenhöhe Δh!
(b) Ist der Abfluss schießend oder strömend?
7. In dem in Abbildung 4.17 dargestellten Gerinne wurden in den Querschnitten 1,2 und 3
die Wassertiefen h1 , h2 und h3 gemessen.
(a) Wie groß ist der Abfluss in den drei Querschnitten?
(b) Welche Fließzustände (Strömen oder Schießen) herrschen in den drei Querschnitten?
Seite 112
4.7. Übungen
Kapitel 5
Strömungsmaschinen
Die Umwandlung von Strömungsenergie in andere Energieformen und umgekehrt erfolgt in
Strömungsmaschinen.
Je nach der Richtung der Energieumwandlung unterscheidet man Arbeitsmaschinen und Kraftmaschinen. In einer Strömungsarbeitsmaschine wird Bewegungsenergie des Fluids erzeugt.
Beispiele hierfür sind Kreiselpumpen, Ventilatoren, Verdichter für kompressible Fluide, aber
auch Schiffsschrauben, da die Bewegung des Schiffes auch als Relativbewegung des Wassers
zum Schiff verstanden werden kann.
In einer Strömungskraftmaschine wird der Strömung Energie entzogen und in andere Energieformen umgewandelt. Beispiele sind die im Energiewasserbau eingesetzten Turbinen, die
Dampfturbinen in fossilen und nuklearen Wärmekraftwerken, die Gasturbinen in Strahlflugzeugen sowie Windkraftturbinen.
Im Maschinenbau werden die Kolben- oder Verdrängerpumpen nicht den Strömungsmaschinen zugeordnet, da sie keine kontinuierliche Strömung erzeugen, wohl aber Fluid pulsatorisch
transportieren [4].
5.1 Kenngrößen von Strömungsmaschinen
Strömungsmaschinen arbeiten mit der Bewegung eines Fluids, die zunächst erst einmal quantifiziert werden muss. Hierzu kann man entweder den Massenstrom ṁ verwenden, der pro
Zeiteinheit durch die Maschine läuft, oder bei inkompressiblen Fluiden den Volumenstrom Q.
Die zweite wichtige Kenngröße einer Strömungsmaschine ist die Energie, die auf die
el. Netz
-
-
Motor
Pumpe
-
Strömung
Abbildung 5.1: Energieumwandlungen in einem Pumpsystem.
113
5.1. Kenngrößen von Strömungsmaschinen
Seite 114
Strömung
-
-
Turbine
Generator
-
el. Netz
Abbildung 5.2: Energieumwandlungen in einem Generatorsystem.
Strömung übertragen oder ihr entzogen wird. Es ist naheliegend, sie auf die Fluidmasse zu
beziehen, da eine Strömungsmaschine als umso effektiver bezeichnet werden kann, je mehr
Energie sie pro Einheitsmasse entzieht oder auf diese überträgt. Im Maschinenbau bezeichnet man diese Größe als spezifische Stutzenarbeit Υ, sie wird in J/kg bzw. m2 /s2 gemessen.
Sie soll eine positive Größe sein, somit ist sie bei einer Arbeitsmaschine als Energiedifferenz
zwischen Ein- und Austrittsstutzen und bei einer Kraftmaschine zwischen Aus- und Eintrittsstutzen definiert.
Da Energie pro Masse gleich Leistung pro Massendurchfluss Q ist, berechnet sich die geerntete oder aufzubringende Leistung als:
P = ΥQ
In der Hydraulik wird die Energie der Strömung als Energiehöhe hE mit der Bernoulligleichung
hE =
u2
p
+
+z
2g g
gemessen. Indiziert die Ziffer 1 den Eintritt in die Strömungsmaschine und die Ziffer 2 den
Austritt, dann bezeichnet man als Förderhöhe einer Pumpe
hP =
u 2 2 − u 1 2 p2 − p1
+
+ z2 − z1
2g
g
bzw. als Fallhöhe einer Turbine
hT =
u 1 2 − u 2 2 p1 − p2
+
+ z1 − z2
2g
g
In beiden Fällen berechnet sich dann die spezifische Stutzenarbeit als:
Υ = ghP
bzw.
Υ = ghT
In der Regel sind die vertikalen Abmessungen einer Strömungsmaschine sehr klein, und oftmals ist die Nennweite der Eintrittsrohres ähnlich dem des Austrittsrohres, so daß z 1 ≈ z2
und u1 2 ≈ u2 2 sind. Am Eintrittsstutzen einer Pumpe herrscht daher ein wesentlich größerer
Druck als am Austrittsstutzen. Bei der Turbine sind die Verhältnisse genau umgekehrt. Daher bezeichnet man den Eintrittsstutzen der Turbine bzw. den Austrittsstutzen der Pumpe als
5.1. Kenngrößen von Strömungsmaschinen
Seite 115
Druckstutzen und den Austrittsstutzen der Turbine bzw. den Eintrittsstutzen der Pumpe als
Saugstutzen.
Aus der spezifischen Stutzenarbeit d.h. der Energieänderung pro Fluidmasse kann man auch
direkt die Leistung d.h. die zu- oder abgeführte Energie durch Multiplikation mit dem Massenstrom ṁ = Q berechnen:
P = QghP
bzw.
P = QghT
In hydraulischen Berechnungen von einem Rohrelement mit Pumpe bekommt die Bernoulligleichung die Form:
p1
u2 2
p2
u1 2
P
+
+ z1 +
=
+
+ z2 + hV
2g
g
gQ
2g
g
Entsprechend wird eine Turbine auf der rechten Seite der Gleichung berücksichtigt.
Um eine bestimmte Energielinienerhöhung zu erreichen, muß die durch die Pumpe erbrachte
Leistung umso größer sein, desto größer die Dichte des Fluides und desto größer der Volumenfluss durch die Pumpe ist.
Die der Rohrströmung durch eine Pumpe zugeführte Leistung P entspricht allerdings nicht
dem, was letztendlich an elektrischer Energie zu Buche schlägt, da sowohl der Motor, der die
elektrische in mechanische, als auch die Pumpe, die mechanische in strömungsmechanische
Energie umsetzt, nur einen gewissen Wirkungsgrad kleiner als eins haben. Hat der Motor
einen Wirkungsgrad ηM und die Pumpe ηP , so ist die erforderliche elektrische Leistung:
Pel =
P
ηM ηP
In Turbinen treibt die Strömung ein Laufrad an, dessen Achse zu einem Generator weitergeführt wird. Für die Energieerzeugung mit einer Turbine gilt der reziproke Zusammenhang:
Pel = P ηT ηG
Hier wird die elektrische Nutzleistung durch den Wirkungsgrad der Turbine η T und des Generators ηG verringert.
Die wichtigste Aufgabe bei der Konstruktion von Strömungsmaschinen besteht darin,
möglichst große Wirkungsgrade der Energieumwandlung zwischen Strömung und Turbine
bzw. Pumpe zu erzielen. Im Wasserbau steht dagegen die Wahl der richtigen Pumpe oder Turbine im Vordergrund. Dies ist deshalb nicht ganz einfach, weil der Wirkungsgrad η P Funktion
des Durchflusses Q ist, die einen Optimalwert Q opt und darum abfallende Flanken besitzt.
Zusammenfassend haben wir in diesem Abschnitt die Strömungsmaschinen Pumpe und Turbine von ihrem Ergebnis auf der Wasserseite charakterisiert, also aus der Veränderung der
Kenngrößen der Strömung vor und hinter der Strömungsmaschine. Diese Vorgehensweise gibt
keinerlei Aufschlüsse über die Konstruktion und das Innenleben der Strömungsmaschine. Dem
wollen wir uns im folgenden Abschnitt annähern.
5.2. Energieumsetzung im Laufrad
Seite 116
ba
bi
ra
w
ri
Abbildung 5.3: Bezeichnungen am radialen
Laufrad, welches von außen nach innen durchströmt wird.
5.2 Energieumsetzung im Laufrad
Nach dem Drehimpulserhaltungssatz verbleibt jedes Laufrad in gleichförmiger Rotation, solange ihm keine Rotationsenergie (pro Zeit) entzogen wird. In einer Turbine wird diese Verlustleistung P im Wesentlichen zum Antrieb eines Generators genutzt, der damit elektrische
Energie produziert.
Ein solches Laufrad würde also nach kurzer Zeit stehen bleiben, wenn ihm nicht durch die
fortwährende Wirkung eines Drehmoments M aus der Durchströmung wieder Energie zugeführt würde. Damit das Laufrad also immer noch gleichförmig rotiert, muss
P = Mω
gelten.
Zur Berechnung des Drehmoments M einer Strömung in einem Laufrad betrachten wir das
in Abbildung 5.3 skizzierte Beispiel eines radialen Laufrades, welches von innen nach außen
mit Fluid durchströmt wird. Wir berechnen das an einem beliebigen Radius r
∈ [r i , ra ]
angreifende, die Rotation antreibende Drehmoment als
= r × F = r × p˙
M
Dabei spielt beim Drehmoment um die Rotationsachse M nur die Kraft, d.h. die Impulsänderung in Umlaufrichtung p˙θ eine Rolle:
M = r p˙θ
Da der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist, ist die Änderung des radialen
Impulses,
Seite 117
p˙θ = ṁuθ + mu˙θ = ṁuθ
wenn man einmal annimmt, das die Umlaufgeschwindigkeit des Laufrades konstant ist. Damit
ist das bei r wirkende Drehmoment:
M = r ṁuθ
Das Fluid erfährt im Laufrad eine Momentänderung, die sich aus der Differenz der Momente
an Außen- und Innenradius bestimmt:
M = ṁ (ra uθa − ri uθi )
Die Leistung der Rotation Mω = 2πνM ist nun gleich der Leistung aus der Energieumsetzung
im Laufrad:
P = 2πνM = 2πν ṁ (ra uθa − ri uθi ) = ṁΥ
Damit bekommt man für die spezifische Stutzenarbeit die von Leonard Euler 1754 aufgestellten allgemeine Strömungsmaschinen-Hauptgleichung,
Υ = ±2πν (ra uθa − ri uθi )
deren Analyse die grundlegenden Konstruktionsmerkmale der Laufräder liefert. Dazu müssen
wir die Absolutgeschwindigkeiten des Fluids am Ein- und Auslauf des Rades kennen. Wir
beginnen mit den Bewegungsgeschwindigkeiten w
= (w r , wθ )t relativ zum Laufrad, die den
Absolutgeschwindigkeiten in einem stehenden Laufrad entsprechen. Deren Radialkomponenten bestimmen sich aus der Kontinuitätsgleichung als:
wr,i =
Q
2πri Bi
und
wr,a =
Q
2πra Ba
Gehen wir nun davon aus, daß sich die Strömung in Stromfäden parallel zum Profil der Schaufeln ausbildet, dann bekommt man für die Umlaufkomponente der Relativgeschwindigkeit:
wθ,i = −
Q cos βi
2πri Bi sin βi
und
wθ,a = −
Q cos βa
2πra Ba sin βa
Die Absolutgeschwindigkeiten bekommt man durch Addition der Rotationsgeschwindigkeit
2πνr auf die Umlaufkomponente:
uθ,i = 2πνri −
Q cos βi
2πri Bi sin βi
und
Damit wird die spezifische Stutzenarbeit zu:
uθ,a = 2πνra −
Q cos βa
2πra Ba sin βa
Seite 118
Schaufel
w
wq,i
bi
wr,i
Innenradius
Abbildung 5.4: Geometrische und kinematische Details am Laufradeintritt.
Υ = 4π 2 ν 2 ra2 −
Qν cos βa
Qν cos βi
− 4π 2 ν 2 ri2 +
Ba sin βa
Bi sin βi
Wir wollen annehmen, daß die Turbine innen drallfrei angeströmt wird, d.h. das Fluid direkt an
den Schaufeln noch keine Geschwindigkeitskomponente u θ,i aufweist. Aus dieser Annahme
folgt für den Durchsatz als Funktion der Kreisfrequenz:
Q = 4π 2 νri2 Bi
sin βi
cos βi
bzw.
ν=
Q
4π 2 ri2 Bi
cos βi
sin βi
Zu einem gegebenen Durchsatz Q gehört also eine feste Drehzahl ν, bei der dann die spezifische Stutzenarbeit
Q2 cos βi
Υ =
4π 2 ri2 sin βi
ra2 cos βi
1 cos βa
−
2 2
ri Bi sin βi
Bi Ba sin βa
2 2
= 4π ν
ra2
−
ri2
Bi sin βi cos βa
Ba cos βi sin βa
geleistet wird.
Die geometrische Form des Laufrades ist energetisch dann optimal, wenn der Eintrittswinkel
βi möglichst klein ist, β i → 0, und der Austrittswinkel 90 o, also βa → π/2 ist. Dabei darf der
Innenwinkel allerdings nicht exakt Null sein, weil nach der vorhergehenden Gleichung dann
kein Fluid in das Laufrad eintritt (Q = 0), und das Schaufelrad den Eintritt versperrt. Somit
5.3. Francisturbinen
Seite 119
Abbildung 5.5: Spiralgehäuse um eine Francisturbine.
wird man zunächst mit der vorhergehenden Gleichung in Abhängigkeit vom Zufluss Q und
der zu erzielenden Drehzahl ν den Innenradius ri , den Eintrittswinkel βi und die Innenbreite
Bi des Laufrades bestimmen.
Der Austrittswinkel lenkt den Strahl direkt in radialer Richtung ab. Ein Eindruck über die
insgesamt hieraus resultierende geometrische Form ist aus Abbildung 5.3 zu gewinnen.
Zusammenfassend findet in einem radialen Turbinenlaufrad die größte Impulsumlenkung und
danit auch die Drehmomenterzeugung am Innen- d.h. Eintrittsradius statt, während am Austrittsradius kaum mehr Impulsumlenkung stattfindet. Dies ist deswegen optimal, weil der
Strahl am Innenradius laut Kontinuitätsgleichung ein viel größere Geschwindigkeit als am
Außenradius hat.
5.3 Francisturbinen
Wir wollen nun untersuchen, ob eine Umkehrung der Durchfließrichtung des Laufrades von
außen nach innen günstig oder ungünstig ist oder gar keinen Unterschied für die Energiegewinnung erbringt.
Dabei ist zunächst einmal technisch zu bewerkstelligen, daß das Laufrad über seinen ganzen
Umfang gleichmäßig mit Wasser beaufschlagt wird. Dies geschieht in einem Spiralgehäuse
Seite 120
(siehe Abbildung 5.5), welches sich um das Laufrad legt. Der Durchmesser des Spiralgehäuses
nimmt in Strömungsrichtung kontinuierlich so ab, daß dem Laufrad über seinen Umfang
gleichmäßig Wasser zugeführt wird.
Damit ist die Anströmung nicht mehr drallfrei, sondern hat einen Wert u θa = 0. Als Beziehung
zwischen Durchfluss und Drehzahl bekommt man:
ν=
cos βa
Q
uθ,a
+ 2 2
2πra 4π ra Ba sin βa
Q = 2πra Ba (2πνra − uθ,a )
bzw.
sin βa
cos βa
Die spezifische Stutzenarbeit läßt sich aus der Strömungsmaschinen-Hauptgleichung und der
Absolutgeschwindigkeit in Umlaufrichtung am Innenradius als
Υ = 2πνra uθa − 4π 2 ν 2 ri2 + ν
Q cos βi
Bi sin βi
aufstellen. Ersetzt man nun Q mit der obigen Durchflussbeziehung, so bekommt man nach ein
wenig Umordnen:
Υ=
4π 2 ν 2 ra2
Ba sin βa cos βi
Ba sin βa cos βi
− 1 + 2πνra uθa 1 −
Bi cos βa sin βi
Bi cos βa sin βi
Die spezifische Stutzenarbeit besteht hier aus zwei Anteilen, einem Rotationsanteil und einem
Anteil aus der Anströmungsgeschwindigkeit aus dem Spiralgehäuse. Wird die Schaufelgeometrie auf die Optimierung des Rotationsanteils angepaßt, dann arbeitet das Turbinenrad für
βa = 90o und βi = 0 optimal. Somit hätte auch die von außen nach innen durchströmte Turbine
die in Abbildung 5.3 dargestellten Schaufelform.
Das von außen nach innen durchströmte Laufrad ist in der Francisturbine (siehe Abbildung
5.6) technisch verwirklicht. Neben der radialen Bewegungsrichtung werden die Wassermassen
hier durch die doppelt gekrümmten Schaufeln auch in achsialer Richtung umgelenkt, so daß
der auslaufende Strahl die Turbine parallel zur Laufradachse verlassen kann.
Die Druckzahl
In allen radialen Strömungskraftmaschinen wird das Laufrad von außen nach innen und nicht
umgekehrt durchströmt, also das Prinzip der Francisturbine verwirklicht. Um den Grund
hierfür zu verstehen, muß man die spezifische Stutzenarbeit der beiden Arbeitsprinzipien unter
gleichen äußeren Bedingungen vergleichen.
Zur Vereinfachung dieses Vergleiches führt man dimensionslose Kennzahlen ein. Dabei wird
man eine Turbinenkonstruktion als einer anderen überlegen beurteilen, wenn sie bei gleicher
Drehzahl und gleichen Außenabmessungen eine größere spezifische Stutzenarbeit erbringt.
Dieses Kriterium wird durch die sogenannte Druckzahl
ψ=
Υ
2π 2 ra2 ν 2
Seite 121
Abbildung 5.6: Laufrad einer Francisturbine.
5.4. Kaplanturbinen
Seite 122
1
ra
2
ri
b
Abbildung 5.7: Bezeichnungen am
Achsialrad.
gemessen, die dimensionslos ist. Die Benamung ist irreführend, da die Druckzahl zum Vergleich der Stutzenarbeit also der Energieerzeugung verschiedener Anlagen verwendet wird.
Für das von innen nach außen durchströmte Laufrad ist die Druckzahl:
ψi→a
r 2 Bi sin βi cos βa
= 2 1 − i2
ra Ba cos βi sin βa
<2
Für die Francisturbine ergibt sich bei Vernachlässigung des Anströmungsanteils:
ψa→i
Ba sin βa cos βi
=2
−1 >2
Bi cos βa sin βi
Die Entscheidung fällt somit sehr leicht.
5.4 Kaplanturbinen
In Kaplanturbinen sind einlaufender und auslaufender Strahl parallel zur Laufradachse orientiert, man bezeichnet sie daher auch als Achsialturbine.
Die Bestimmung der spezifischen Stutzenarbeit der Kaplanturbine ist nicht so einfach wie die
des radialen Laufrades, da sie eigentlich eine Integration über den Durchflussquerschnitt beinhaltet. Wir wollen hier sehr vereinfacht davon ausgehen, daß sich dabei alle erforderlichen
Mittelwerte auf einem Radius rm einstellen, der zwischen dem Achsradius ri der Turbinen
und dem Außenradius ra liegt, um im Ergebnis das Prinzip und den besonderen Anwendungsbereich der Kaplanturbine nachvollziehen zu können.
Der durch den Eintrittsstutzen laufenden Wasserstrahl der Menge Q wird um die Turbinenachse verteilt, so daß sich eine über den Querschnitt gemittelte Achsialgeschwindigkeit
ua =
π
Q
− ri2 )
(ra2
5.4. Kaplanturbinen
Seite 123
Abbildung 5.8: Laufrad einer Kaplanturbine auf dem Campusgelände der Universität der Bundeswehr München. Das von 1944 bis 1987 im Innkraftwerk Egglfing eingesetzte Laufrad hat
einen Durchmesser von 5.1 m wurde bei einer Fallhöhe von 10.5 m und einem Durchfluss von
131 m3 /s eingesetzt. Dabei erzeugt es eine Leistung von 14 000 kW.
einstellt. An der stehenden Schaufel würde dieser Strahl so umgekenkt werden, daß sich die
Umlaufgeschwindigkeit u a cot β einstellt. Da sich die Schaufel aber entgegengesetzt zu dieser
Geschwindigkeit dreht, gilt in jedem Querschnitt:
uθ = 2πνr − ua cot β = 2πνr −
Q
cot β
− ri2 )
π (ra2
Im Eintrittsquerschnitt weist die Anströmung noch keinen Drall in Umlaufrichtung des Laufrades auf. Man bekommt so die Beziehung zwischen Drehzahl ν und Durchfluss Q:
Q = 2πνrm π ra2 − ri2 tan β1
bzw. ν =
2π 2 r
Q
cot β1
2
2
m (ra − ri )
Die Maschine läuft also umso schneller, desto steiler die Schaufeln gegen die Anströmung
gekippt sind.
Unter der Annahme der drallfreien Anströmung erbringt die Kaplanturbine die spezifische
Stutzenarbeit
2
+ 2νrm
Υ = −2πνrm uθ2 = −4π 2 ν 2 rm
(ra2
Q
cot β2
− ri2 )
5.5. Freistrahl- oder Peltonturbinen
Seite 124
90
80
Austrittswinkel [°]
70
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
Austrittswinkel [°]
Abbildung 5.9: Theoretischer Zusammenhang zwischen Ein- und Austrittswinkel bei der Kaplanturbine.
bzw. nach Elimination von Q in Abhängigkeit von der Drehzahl ν
2
(tan β1 cot β2 − 1)
Υ = 4π 2 ν 2 rm
und vom Durchfluss Q:
Q2
2
cot
β
cot
β
−
cot
β
Υ=
1
2
1
2
π 2 (ra2 − ri2 )
Mit diesem Ausdruck kann man nun beginnen, das Flügelprofil zu optimieren. So ist die spezifische Stutzenarbeit dann optimal, wenn sich der Eintrittswinkel β 1 als Funktion des Austrittswinkels durch die Formel
sin 2β2
β1 = β2 − arctan
cos 2β2 − 3
berechnet. Insgesamt arbeitet die Kaplanturbine dann ideal, wenn beide Winkel möglichst
klein sind, d.h. die Turbinenblätter nahezu senkrecht zur Strömung ausgerichtet sind. Nach
dem Zusammenhang zwischen Durchfluss und Drehzahl stellen sich dann sehr hohe Drehzahlen ein, weshalb man die Kaplanturbine auch als Schnellläufer bezeichnet.
Das Ausführungsbeispiel einer Kaplantubine in Abbildung 5.8 weist allerdings eher Ein- und
Austrittswinkel um die 45 o auf. Wir werden später das Phänomen der Kavitation als Restriktion kennenlernen, die die Konstruktöre davon abgehalten hat, mit dieser Turbine weitaus mehr
Energie zu ernten.
Seite 125
Abbildung 5.10: Abbildung aus der Patentschrift von Pelton zu der nach ihm benannten Turbine.
Seite 126
Abbildung 5.11: Peltonlaufrad einer Kleinwasserkraftanlage und Detailansicht eines Bechers.
5.5 Freistrahl- oder Peltonturbinen
Die Freistrahlturbine wurde um 1880 von dem Amerikaner Pelton entwickelt. In dieser wird
der Wasserstrahl über mehrere regelbare Düsen auf an einem Laufrad angebrachte Becherschalen gelenkt. In diesen Becherschalen wird der Strahl um nahezu 180o umgelenkt, wodurch die
kinetische Energie des Wasserstrahls nahezu vollständig in Impulskraft am Radumfang umgesetzt wird.
Für die Peltonturbine sind der Radius R des Strahlein- und austritts in das Laufrad gleich;
damit nimmt die Eulersche Turbinenformel die Form
P = ωRṁ (uθe − uθa )
an, worin uθe und uθa die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten sind. Die Eintrittsgeschwindigkeit ist gleich der Anströmgeschwindigkeit v a , mit der das Wasser aus der Düse auf die einzelne Schaufel trifft. Spannender ist die Bestimmung der Austrittsgeschwindigkeit. Dazu legen
wir ein Kontrollvolumen um einen der Becher und analysieren die Massenbilanz in diesem.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß sich das Kontrollvolumen mit der Geschwindigkeit
c in Richtung des Eintrittsstrahls von diesem fortbewegt. Sind die Querschnittsflächen des Einund Austrittsstrahls gleich groß, dann gilt den Betrag der Geschwindigkeit des Austrittstrahls:
ua = va − 2c
Dabei ist die Fortbewegungsgeschwindigkeit des Bechers c = ωR. Bei der Peltonschaufel wird
der Austrittsstrahl zudem um den Winkel β abgelenkt, womit für die Autrittsgeschwindigkeit
in Umlaufrichtung
uθa = (ωR − (va − ωR)) cos β
gilt. Der Ablenkwinkel wird durch die Ausbildung der Becherschalen sehr klein angesetzt, so
daß
5.6. Dimensionierung von Pumpen
Seite 127
Abbildung 5.12: Kinematische Verhältnisse an der Peltonschaufel.
uθa = 2ωR − va
ist. Für die durch die Peltonturbine erzeugte Leistung gilt somit:
P = ωRṁ (2va − 2ωR)
Die maximale Leistung bestimmt man durch Optimierung der Rotationsgeschwindigkeit ω:
1
dP
= Rṁ (2va − 4ωR) = 0 ⇒ ωR = va
dω
2
Damit ist die maximale, in einer Peltonturbine erzielbare Leistung:
1
P = ṁva2 = 2ṁ(ωR)2
2
1
bzw. Υ = va2
2
Die maximalen Leistungen von Peltonturbinen liegen bei etwa 200 MW. Peltonturbinen
benötigen einen Freihang.
5.6 Dimensionierung von Pumpen
Durch Pumpen wird einem Rohrsystem hydraulische Energie zugeführt. Von der Bauart unterscheidet man zunächst einmal Verdrängerpumpen und Kreiselpumpen. Zu ersteren zählt die
Hubkolbenpumpe, bei der sich ein Kolben in einem Pumpengehäuse hin- und herbewegt. Beim
Herausziehen entsteht ein Unterdruck im Pumpengehäuse, wodurch ein Saugventil geöffnet
wird und das Fördermedium in das Pumpengehäuse dringt. Beim darauffolgenden Eindrücken
des Kolbens wird das Fördermedium dann über ein Druckventil in die Rohrleitung gepresst.
Seite 128
Abbildung 5.13: Kreiselpumpe.
Bei Kreiselpumpen übertragen rotierende Schaufeln kinetische Energie auf den Förderstrom.
Die Moleküle des Fördermediums werden dabei zum Laufradrand hin beschleunigt und dort in
das Auslaufrohr umgelenkt. Dabei wird die kinetische Energie der Moleküle in Druckenergie
umgewandelt.
5.6.1 Die Gesamtförderhöhe oder Anlagenkennlinie
Wir schauen noch einmal auf die Bernoulligleichung eines Rohrelements mit Pumpe:
u 2 2 − u 1 2 p2 − p1
P
=
+
+ z2 − z1 + hV
gQ
2g
g
Diese etwas andere Schreibweise enthält auf der rechten Seite alle die Terme, die mit dem
Rohrelement zu tun haben, wohingegen die linke Seite die Pumpencharakteristik spezifiziert.
Für die rechte Seite führen wir nun die Abkürzung
hA :=
u 2 2 − u 1 2 p2 − p1
+
+ z2 − z1 + hV
2g
g
bzw. ΥA = ghA
ein, denn das einzelne Rohrstück soll nun ein ganzes Rohrsystem oder eine verfahrenstechnische Anlage A repräsentieren, in die die Pumpleistung eingebracht wird. Deshalb bezeichnet
man hA auch als Anlagenhöhe. Dann wird die Bernoulligleichung vereinfacht zu:
P
= hA
gQ
Wir wollen schließlich analysieren, in welcher Art und Weise die Anlagenhöhe vom Durchfluss abhängt. Dazu betrachten wir wieder das Rohr konstanten Querschnitts als Ideengeber.
Hier fallen die Geschwindigkeitsterme weg. Wird von Luftdruck auf Luftdruck gefördert, dann
Seite 129
Energiehöhe h [m]
hA(Q)
hP(Q)
Abbildung 5.14: Bestimmung des Betriebspunktes aus dem Schnittpunkt von Anlagenund Pumpenkennlinie.
Betriebspunkt
Förderstrom Q[m³/s]
verschwindet auch der Druckterm. Im Wesentlichen besteht die Gesamtförderhöhe dann aus
der Summe von zu überwindender geodätischer Höhe und der Verlusthöhe. Erstere ist unabhängig von dem zu fördenden Strom Q, während die Verlusthöhe (etwa) quadratisch mit
dem Volumendurchfluss ansteigt. Somit kann man die Gesamtförderhöhe in etwa durch die
Funktion
hA (Q) = aA + bA Q2
approximieren. Den Graphen dieser Funktion bezeichnet man auch als Rohr- oder Anlagenkennlinie.
5.6.2 Die Pumpenkennlinie oder Drosselkurve
Umgekehrt kann jede Pumpe durch eine Kennlinie charakterisiert werden, die die Gesamtförderhöhe als Funktion des Durchflusses spezifiziert. Sie ist natürlich von der Bauart
der Pumpe abhängig und wird in den Herstellerangaben mitgeliefert.
Rein theoretisch ist diese Pumpenkennlinie durch die Gleichung
hP (Q) =
ηM ηP Pel
gQ
gegeben. Es ist allerdings zu beachten, dass der Wirkungsgrad der Pumpe η P sicher auch eine
Funktion des Durchflusses ist.
Pumpen- und Anlagenkennlinie sind in Abbildung 5.14 aufgetragen. Der Schnittpunkt der
beiden Kennlinien ergibt den Betriebspunkt, d.h. den Durchfluss auf den sich die Pumpe
selbsttätig einstellen wird. Warum ist dies so ? Nehmen wir einmal an, daß die Pumpe gerade
eingeschaltet und der Förderstrom noch unterhalb des Betriebspunktes liegt. Im anschließenden Rohr wird also ein Druckhöhenunterschied erzeugt, welcher wesentlich größer als Verlusthöhe und zu überwindende geodätische Höhe sind. Dadurch erhöht sich laut Bernoulligleichung die Durchflussgeschwindigkeit und somit der Volumenstrom bis der Betriebspunkt
erreicht ist. Rechts des Betriebspunkts ist ein Förderstrom jedoch nicht möglich.
5.7. Wasserkraftanlagen
Seite 130
5.6.3 Regelung von Pumpen
In einem Rohrleitungssystem mit Pumpen ist es selten das Ziel, die Pumpe direkt zu regeln. In
den meisten Fällen soll der Durchfluss bei einer gegebenen Förderhöhe geändert werden. Dies
kann prinzipiell auf vier Arten geschehen:
1. Änderung der Anlagenkennlinie durch Verändern lokaler Verluste durch Regelorgane
2. Verändern der Drosselkurve der Pumpe: Hier wird zumeist die Drehzahl verändert, wobei sich die spezifische Stutzenarbeit wie
ν1
Υ1
=
Υ2
ν2
2
verändert. In Abhängigkeit von der Pumpenbauweise bestehen ferner die Möglichkeiten
der Vor- oder Nachdrallregelung sowie der Laufschaufelverstellung.
3. Verändern des Volumenstroms durch die Pumpe mit Hilfe eines Bypasses
4. Kombination von Pumpen
Zur Regelung des Förderstroms wird entweder die Drehzahl der Pumpe verändert oder ein
nachgeschalteter Schieber gedrosselt.
5.7 Wasserkraftanlagen
In Wasserkraftanlagen wird die potentielle und kinetische Energie des Wassers in elektrische
Energie umgewandelt. Wir wollen zunächst die Bestimmungsgrößen Durchfluss und Fallhöhe
der möglichen Leistung einer Wasserkraftanlage kennenlernen. Dazu studieren wir im ersten
Abschnitt das Prinzip der Wasserkraftnutzung.
Darauf folgend werden wir aus diesen Kenngrößen Kriterien für die Auswahl der Turbinenart
untersuchen und uns dann den beiden Hauptbauweisen von Wasserkraftanlagen zuwenden.
Der hier vorliegende Text stellt nur eine allererste Einführung in das Thema dar. Zum vertieften
Studium sei das Standardwerk [6] empfohlen.
5.7.1 Das Prinzip der Wasserkraftnutzung
Wir wollen mit Hilfe der Bernoulligleichung das Prinzip der Wasserkraftnutzung studieren und
betrachten dazu das in Abbildung 5.15 dargestellte Talsperrenkraftwerk. Bei diesem wird das
Wasser eines Flusses in einem Tal mit einer Stauanlage aufgestaut. Der Zufluss Q des Oberwassers wird durch ein Rohr einer Turbine zugeführt und dann in das Unterwasser abgegeben.
Seite 131
1
Stauwurzel
hF
U
hV
2
Krafthaus
Abbildung 5.15: Talsperrenkraftwerk.
Mit Hilfe der Bernoulligleichung wollen wir nun die energetischen Verhältnisse dieser Anlage
zwischen den Punkten 1 und 2 an der Wasseroberfläche studieren. Dort herrscht an beiden
Bezugspunkten derselbe Luftdruck, womit sich die Druckterme auf beiden Seiten herausheben. Die Differenz der Lagen der Wasseroberflächen im Ober- und im Unterwasser wird als
Fallhöhe hF = z1 − z2 bezeichnet.
Damit die Strömung energetisch so möglich ist, muss sie die Energiehöhe
hV +
Υ
u2 − u21
A2 − A2
= hF − 2
= hF − Q2 1 2 22
g
2g
2gA1 A2
verlieren oder ihr diese in der Turbine entzogen werden. Die maximale erzielbare spezifische
Stutzenarbeit ist also:
Υ = ghF − ghV − Q2
A21 − A22
2A21 A22
Für ein Talsperrenkraftwerk können der zweite und der dritte Term gegenüber dem ersten
vernachlässigt werden und es gilt Υ ghF .
Da der Durchfluss Q der Volumendurchfluss pro Zeit ist, bekommt man für die im Kraftwerk
erzeugte Leistung:
P = gQhF
Ein Wasserkraftwerk erbringt also dann eine sehr hohe Nutzleistung, wenn entweder die
Fallhöhe hF oder der Abfluss Q oder beide Werte sehr hoch sind.
5.7.2 Bauelemente einer Wasserkraftanlage
In jeder Wasserkraftanlage muss zunächst ein mehr oder weniger hoher Aufstau durch eine
Stauanlage erzeugt werden. Diese kann ein einfaches Wehr oder eine große Talsperre sein.
Seite 132
e
epp
htr
Fisc
rale
t
Zen
hr
We
Flu
ss
Flu
ss
OW
Schleus
UW
e
Abbildung 5.16: Elemente einer Flussstaustufe.
Mit steigender Fallhöhe nimmt dabei auch der Druck in der Zuleitung zu. Zu ihrer Bemessung
unterscheidet man daher Nieder-, Mittel- und Hochdruckanlagen.
Da die Turbinenanlage und die Zuleitungen eine nach oben begrenzten maximalen Durchfluss
haben, muss für den Hochwasserfall vorgesorgt werden, bei dem dieser Durchfluss überschritten wird. Wird der Stau durch ein Wehr erzeugt, so kann dieses einfach niedergelegt werden.
Bei einer Talsperre ist eine Hochwasserentlastungsanlage erforderlich.
Die Turbinen- und Generatorenanlage besteht aus empfindlichen technischen Bauteilen, die
vor äußeren Umwelteinflüssen geschützt werden müssen. Sie ist daher in einem Maschinenhaus untergebracht.
Befindet sich die Wasserkraftanlage an einer Wasserstraße, so ist die Durchgängigkeit für
den Schiffsverkehr zu gewährleisten. Zur Überwindung des durch die Stauanlage erzeugten
Geländesprungs ist dann eine Schleuse oder ein Schiffshebewerk erforderlich.
Schließlich wird jedes Gewässer auch von Fischen als Lebensraum genutzt. Ein Fischpass
muß hier für die biologische Durchlässigkeit sorgen.
5.7.3 Die Auswahl des Turbinentyps
Nachdem man entschieden hat, daß ein Gewässer entweder aufgrund der großen Fallhöhe
oder des großen Abflusses zur Wasserkraftnutzung geeignet ist, muss man die optimale Turbinenart für die Anlage auswählen. Dieser Entscheidungsschritt wird dem Bauingenieur in der
Regel von den Maschinenbauern des Turbinenherstellers abgenommen, die für ihre Turbine
eine erzielbare Leistung in Abhängigkeit von der Fallhöhe und dem Durchfluss garantieren.
Seite 133
on
1000
ap
lan
-P
elt
Francisturbine
t. T
ren
nu
ng
K
Peltonturbine
10
Kaplanturbine
Ossbergerturbine
P=
P=
P=
50
kW
P=
1G
W
P=
50
0M
W
P=
20
0M
W
P=
10
0M
W
P=
50
M
W
po
100
Hy
Fallhöhe H [m]
P=
2G
W
0k
W
P=
1M
W
W
P=
20
10
50
0k
W
0k
P=
2M
W
P=
20
M
P=
P=
W
5M
10
M
W
W
1
1
10
100
Volumenstrom Q [m³/s]
Abbildung 5.17: Auswahl der Turbinenart nach Fallhöhe und Abfluss.
1000
Seite 134
Diese kennen ihre Turbinen aus Entwicklungsversuchen so genau, daß sie dem Bauingenieur
die Auswahl der Turbinenart durch entsprechende Einsatzbereichkennblätter vorgeben, so daß
dieser die Gesamtanlage schon im Vorfeld der Auftragsvergabe konzipieren kann.
Wir wollen hier an einem einfachen Beispiel untersuchen, warum eine Turbinenart der anderen bei gegebener Fallhöhe und Abfluss überlegen ist. Dazu betrachten wir die spezifischen
Stutzenarbeiten der Kaplan- und der Peltonturbine und bestimmen hieraus die erzielbaren Leistungen als
PKaplan =
Q3
2
cot
β
cot
β
−
cot
β
1
2
1
2
π 2 (ra2 − ri2 )
für die Kaplanturbine.
Bei einer Peltonturbine ist die Geschwindigkeit des Austrittsstrahls v A aus der Düse nach der
Bernoulligleichung:
vA =
2g(hF − hV ) 2ghF
Damit gilt für die erzielbare Leistung:
1
PP elton = QΥP elton = uQ = gQhF
2
Schon hier sieht man den wesentlichen Unterschied im Anwendungsbereich der beiden Turbinenarten: Die Ernteleistung der Peltonturbine steigt mit dem Produkt aus Abfluss und Fallhöhe,
wohingegen die der Kaplanturbine mit der dritten Potenz des Abflusses steigt.
Um die Trennlinie der Einsatzbereiche in einem hF − Q-Diagramm zu erhalten, setzen wir die
beiden Leistungen gleich:
hF =
Q2
2
cot
β
cot
β
−
cot
β
1
2
1
2
π 2 (ra2 − ri2 ) g
Die Trennung zwischen Kaplan- und Peltonturbine stellt also eine quadratische Funktion von
Fallhöhe und Abfluss dar. An dem hergeleiteten Zusammenhang ist jedoch auch zu erkennen,
daß die Trennlinie in erheblichem Maße von der Bauart der Turbinen (Radien, Ein-, Austrittswinkel) abhängig ist. Es gibt daher kein allgemeingültiges, feststehendes Kriterium bei der
Entscheidung für eine Turbinenart. In Abbildung 5.17 ist daher nur eine typische Einteilung
als Anhalt für die Einsatzbereiche für die verschiedenen Turbinenarten dargestellt.
Ebenfalls wurde die von uns hergeleitete Kaplan-Pelton-Einsatzbereich-Trennlinie als
hF = 7.5 · 10−2
Q2
m5 /s2
dargestellt.
I.A. werden Kaplanturbinen bei kleinen Fallhöhen (10 bis 60 m), Francisturbinen bei mittleren
Fallhöhen (30 bis 700 m) und Peltonturbinen bei Fallhöhen von über 600 m bis zu 2000 m
eingesetzt.
Seite 135
5.7.4 Der Generator
Eine weitere wichtige Kennzahl einer Strömungsmaschine ist die Drehzahl ν der Hauptwelle,
d.h. deren Umdrehungen pro Sekunde, mit der die treibende oder angetriebene Maschine angekuppelt ist. In Turbinenanlagen muss diese Drehzahl bei synchronen Drehstromgeneratoren
dem Quotienten der zu erzeugenden Frequenz νW S (zumeist Wechselstrom mit 50 Hz) und der
Polpaarzahl p des Generators entsprechen:
ν=
νW S
p
Umgekehrt kann man aus dieser Beziehung für eine gegebene Turbine mit optimaler Drehzahl
die Anzahl der Polpaare des Synchrongenerators bestimmen.
5.7.5 Die Auswahl der Drehzahl
Zu jedem Turbinentyp gibt es in Abhängigkeit von Durchfluss und erzielter Leistung einen
Drehzahlbereich, bei dem diese optimal läuft. Zur Darstellung dieses Drehzahlbereiches werden die folgenden Kennzahlen verwendet:
Die Laufzahl σ ist dimensionslos und ist als
√
Q √
2 π
σ=ν
(2Υ)3/4
definiert. Im Energiewasserbau verwendet man aber immer noch die spezifische Drehzahl nq ,
die als
√
Q
nq = ν 3/4
hF
definiert ist, wobei die spezifische Drehzahl dieselbe Einheit wie die Drehzahl ν hat. Der Volumenstrom Q und die Fallhöhe hF müssen in SI-Einheiten eingegeben werden. Da die spezifische Drehzahl nicht einheitenkonform ist, sollte sie in DIN-Normen und in der Praxis durch
die Laufzahl ersetzt werden. Zwischen der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl besteht der
Zusammenhang:
nq [min−1 ]
σ=
157.8
Die optimalen Laufzahlen für die verschiedenen Turbinen werden ebenfalls vom Hersteller
durch Entwicklungsversuche bestimmt. Die Tabelle 5.1 soll hier Beispiele als Anhaltswerte
geben. Da es für jede Turbinenart einen Zusammenhang zwischen Drehzahl und Durchfluss
bei gegebenen Abmessungen gibt, kann man nach der Festlegung der Drehzahl hieraus die
Turbinenabmessungen und damit die Kraftwerksabmessungen bestimmen.
Seite 136
Turbinentyp
Laufzahl σ
Kaplanturbine
0.8 ... 2.5
Francisturbine 0.06 ... 0.32
Peltonturbine 0.03 ... 0.12
spez. Drehzahl nq
125 ... 400 min −1
10 ... 50 min −1
5 ... 20 min −1
Tabelle 5.1: Optimale Laufzahlen der verschiedenen Turbinentypen.
Konstruktives Beispiel: Eine Kaplanturbine soll für eine Fallhöhe von 2 m und einen Volumenstrom von 200 m 3 /s bemessen werden. Mit nq = 125 ... 400 min−1 liegen die optimalen
Drehzahlen zwischen 14.8 und 47.5 min−1. Um einen 50 Hz Generator anzutreiben, benötigt
dieser also zwischen 243 und 63 Polpaaren.
Hier ist nun eine Entscheidung für die Polpaarzahl fällig, die die weitere Konstruktion bestimmt. Wir wollen uns für 80 Polpaare entscheiden. Ob diese konstruktiv überhaupt angeordnet werden können, überlassen wir den Elektrotechnikern und Maschinenbauern. Ist dies nicht
möglich, muss ein Getriebe zwischen Turbine und Generator vorgesehen werden.
Damit haben wir eine Drehzahl von ν = 0.625 Hz bzw 37.5 min −1 . Aus dem Zusammenhang
zwischen Drehzahl und Durchmesser für die Kaplanturbine kann nun der Außendurchmesser
bestimmt werden.
5.7.6 Kavitation
In Abhängigkeit von Druck und Temperatur kann Wasser alle drei Aggregatzustände fest,
flüssig und gasförmig annehmen.
Fällt der Druck unter den Dampfdruck, so geht Wasser von der flüssigen in die gasförmige
Phase über. Dieser Dampfdruck pd ist eine Funktion der Temperatur, er ist in Abbildung 5.18
abzulesen. Man kann ihn nach der Formel von Ambrose und Walton (1989) [1] als
ln
pd
1 =
aτ + bτ 3/2 + cτ 5/2 + dτ 5
pc
Tr
mit Tr =
T [K]
Tc
und τ = 1 − Tr
mit
pc /Pa
Tc / K
a
b
c
d
2212000 647.27 -7.8687 1.9014 -2.3004 -2.0845
Dieser Abbildung kann man auch entnehmen, daß der Dampfdruck für alle Temperaturen ein
bis zwei Größenordnungen unterhalb des Luftdrucks von ca. 10 5 Pa liegt.
Der Phasenübergang von flüssigem Wasser in Wasserdampf geschieht natürlich nicht schlagartig: Es bilden sich im Wasser zunächst örtlich begrenzte Dampfgebiete in Form von Wasserblasen. Diesen Effekt bezeichnet man als Kavitation. Die sich dabei bildenden Blasen sind
umso größer, desto kleiner der Absolutdruck ist.
Seite 137
450
400
Dampfdruck [Pa]
350
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
Temperatur [°C]
Abbildung 5.18: Dampfdruckkurve von Wasser.
Die schädigende Wirkung der Kavitation ist mit dem weiteren Schicksal der Blasen verbunden.
Werden diese durch die Strömung in Bereiche höheren Druckes transportiert, dann kollabieren
die Blasen durch Implosionen. Dabei werden lokale Druckspitzen erreicht, die drei bis vier
Größenordnungen über dem hydraulischen Druck der Umgebungsflüssigkeit liegen.
Diese Implosionsdrücke führen zu Werkstoffzerstörungen, die man auch als Kavitationserosion bezeichnet.
Wir wollen nun untersuchen, welche konstruktiven Restriktionen sich durch die Verhinderung der Kavitation in einer Wasserkraftanlage ergeben. Dazu stellen wir zunächst einmal
fest, daß wir die folgenden Betrachtungen nur auf Überdruckturbinen wie die Francis- und
die Kaplanturbine beschränken müssen. Bei den Gleichdruckturbinen wie Pelton- oder der
Durchströmturbine treten am Laufrad lediglich Luftdrucke auf.
Der Klassenname Überdruckturbine ist allerding irreführend, da er sich lediglich auf den Einlaufstutzen der Turbine bezieht. Im Auslauf hat die Turbine der Strömung so viel Energie
entzogen, daß der Druck weit unter den Luftdruck fallen und Kavitation auftreten kann. Der
geringste Druck tritt in einer Wasserkraftanlage entweder in oder direkt hinter der Turbine auf,
da dort dieselbe der Strömung Energie entzogen hat, die zu einem erheblichen Druckabfall
führt.
Für die Druckberechnung hinter der Turbine gibt prinzipiell die Möglichkeit, die Bernoulligleichung vom Zulaufgewässer durch die Turbine zu verfolgen. Dazu muss allerdings das
Seite 138
Energieliniengefälle durch die Turbine genau bekannt sein. Die andere Möglichkeit besteht
darin, die Bernoulligleichung vom Unterstrom zum Auslauf der Turbine auszuwerten. Dazu
muss lediglich der Strömungsverlust im Ablaufrohr bekannt sein.
Wir analysieren, um welchen Betrag Δz der Turbinenauslauf über dem Unterwasserstand
liegen muss. Gehen wir ferner davon aus, daß die Strömungsgeschwindigkeit im Unterlaufgewässer gegenüber den anderen Größen vernachlässigbar ist, so wird die Bernoulligleichung
zu:
ps
pA
us 2
+
+ Δz =
+ hV
2g
g
g
Der Index s kennzeichnet dabei die Werte am Saugstutzen im Turbinenauslauf. Dort soll der
Druck ps den Dampfdruck nicht unterschreiten. Da der Druck nach der Bernoulligleichung mit
zunehmender Geschwindigkeit us fällt, bleibt festzulegen, wie man die Geschwindigkeit u s
definiert. Ist sie auf die mittlere Durchflussgeschwindigkeit u s = Q/As bezogen, dann bleiben
die Rotationsbewegungen der Flüssigkeit durch das Laufrad sowie die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen im Druckabfall noch unberücksichtigt. Um sie in die Berechnung einzubeziehen, wird ein Sicherheitsaufschlag gΔhHD hinzugefügt, so daß man insgesamt für
den Saugdruck
ps ≥ pd + gΔhHD
Dieser Sicherheitsaufschlag heißt Haltedruckhöhe. Nun gilt für die Lage der Turbine über
dem Unterlaufwasserspiegel:
pA − pd
Q2
Δz =
+ ΔhHD
+ hV −
g
2gA2s
Zur Bestimmung der Haltedruckhöhe gibt es verschiedene Ansätze. Beim Verfahren von Thoma ist diese proportional zur Fallhöhe der Wasserkraftanlage:
ΔhHD = σT h hF
Der dimensionslose Beiwert σT h heißt Thomazahl oder Kavitationsbeiwert nach Thoma. Wir
wollen ihn hier mit
σT h 0.00077n4/3
q
abschätzen, wobei nq wieder in min-1 angegeben werden muss. Die tatsächlichen Werte
müssen vom Turbinenhersteller geliefert werden. So ist allein der Vorfaktor von verschiedenen
weiteren Faktoren wie dem Schaufelwerkstoff abhängig.
Seite 139
Einlaufbauwerk
Oberbecken
Druckrohrverteilleitung
Druckschacht
Generator
Druckstollen
Pumpe
Turbine
Unterbecken
Abbildung 5.19: Pumpspeicherwerk.
5.7.7 Pumpspeicherwerke
Pumpspeicherwerke speichern Energie, indem Wasser von einem geodätisch tiefer liegenden
Unterbecken in ein höher gelegenes Oberbecken gepumpt wird. Die gespeicherte Energie wird
wieder in elektrische Energie umgewandelt, indem das Wasser vom Ober- in das Unterbecken
über eine Turbine abgelassen wird.
Pumpspeicherwerke kommen im Verbund mit dauerlaufenden Kraftwerken wie z.B. Laufwasserkraftwerken oder thermischen Kraftwerken zum Einsatz, um überschüssige Nacht- und Wochenendenergie zu Verbrauchsspitzenzeiten zur Verfügung zu stellen.
Wir wollen den Wirkungsgrad einer solchen Anlage bestimmen. Um den Volumenstrom Q in
das in der Höhe H über dem Unterbecken liegende Oberbecken zu pumpen, ist die hydraulische Leistung Qg(H + hV,P ) erforderlich, für das Wasservolumen V also die hydraulische
Energie V g(H + hV,P ) und die elektrische Energie V g(H + hV,P )/(ηM ηP ). Beim Ablassen
dieser Wassermenge aus dem Oberbecken wird also die hydraulische Energie V g(H − hV,T )
frei, die über die Turbine und den Generator in die elektrische Energie V g(H − hV,T )ηT ηG
umgewandelt wird. Damit ist der Wirkungsgrad des Pumpspeicherwerks:
ηP SW =
H − hV,T
ηM ηP ηT ηG
H + hV,P
Er ist anlagentechnisch durch die Wirkungsgrade von Pumpe und Turbine begrenzt und liegt
im besten Fall bei etwa 80 %. Hydraulisch müssen auch bei einem Pumpspeicherwerk alle
Verluste möglichst gering gehalten werden.
Der Zusammenhang für den Wirkungsgrad von Pumpspeicherwerken offenbart eine Eigenschaft von Wirkungsgraden: Diese setzen sich immer multiplikativ zusammen, es gibt keine
Seite 140
1
Rechen
2
Turbine
3
Leitschaufel
4
Welle
5
Generator
6
Schaltraum
Maschinenhaus
5
6
4
Oberwasser
1
3
3
2
Unterwasser
Abbildung 5.20: Laufwasserkraftwerk.
Seite 141
Energiequellen Deutschlands 2005
(Angaben in TWh)
sonstige; 31; 5%
Windkraft; 26,5; 4%
Wasserkraft; 28; 5%
Braunkohle; 155; 25%
Erdgas; 70; 11%
Mineralöl; 11,5; 2%
Steinkohle; 134; 22%
Atomkraft; 163; 26%
Abbildung 5.21: Energiequellen Deutschlands. Angaben in Terrawatt und Prozent.
Anordnung, bei der Wirkungsgrade durcheinander dividiert werden. Würde dies der Fall sein,
so läge dort eine Möglichkeit zur Konstruktion eines Perpetuum mobiles vor: Dieses hätte man
dann konstruiert, wenn der Wirkungsgrad der Gesamtmaschine sich durch Division aus zwei
Einzelbestandteilen zusammensetzt.
5.7.8 Wasserkraft und Umwelt
Wasserkraft ist eine emissionsfreie regenerative, unerschöpfliche Energie. Sie wurde schon
in vorindustrieller Zeit zum Antrieb von Mühlen, Säge- und Hammerwerken genutzt und ist
heute eine ausgereifte Technologie. Achtzehn Prozent des global erzeugten Stroms stammt aus
Wasserkraft. Ende 2000 waren in Deutschland rund 5 500 Kleinwasserkraftanlagen (< 1MW
Leistung) und 403 mittlere und größere Anlagen in Betrieb, womit ca. 5 % des Energiebedarfs
gedeckt wird.
Wasserkraft ist sowohl speicher- und kurzfristig nutzbar, als auch grundlastfähig. Nach ihrer
Nutzung entstehen keine Rückstände. Damit hat sie die zwei wesentlichen Nachteile der fossilen Energieträger Öl, Kohle und Erdgas nicht: Diese sind nicht zeitlich unbegrenzt verfügbar
und erzeugen klimaschädliche Emissionen mit erheblichen Folgeschäden und -kosten.
Seite 142
Energiequellen Brasiliens 2006
(Angaben in GWh)
Biomasse; 3,25; 3%
Windkraft; 0,028; 0%
Importiert; 8,17; 8%
Kohle; 1,4; 1%
Atomkraft; 2; 2%
Mineralöl; 4,6; 4%
Erdgas; 10,79; 10%
Wasserkraft; 73,137; 72%
Abbildung 5.22: Energiequellen Brasiliens, Angaben in Gigawatt und Prozent.
5.7.9 Wasserkraft in Brasilien
Während Wasserkraftwerke weltweit etwa 18 Prozent der elektrischen Energie erzeugen, deckt
diese Energiequelle in Brasilien über 70 Prozent des erzeugten Stroms. Diese Abhängigkeit
von einer einzigen Energieform kann allerdings auch Schwächen haben. So beschehrte das
Jahr 2001 Brasilien eine Energiekrise wegen anhaltender Trockenheit. Die Reservoirs vieler Staudämme waren damals halb ausgetrocknet und zwangen die Regierung, den Stromverbrauch zu rationieren. Die Krise drosselte die Konjunktur, Brasilien schlitterte nur knapp an
einer Rezession vorbei.
In Brasilien werden Wasserkraftanlagen nach der Größe unterschieden:
• Großwasserkraftwerke mit P > 30 000 kW (UHE - Usinas Hidrelétricas)
• kleine zentrale Einheiten zwische 1000 kW und 30.000 kW (PCH -Pequenas Centrais
Hidrelétricas)
• Miniwasserkraftwerke bis etwa 1000 kW (mCH )
• Mikroanlagen mit etwa 100 W.
Man kann sich in Deutschland kaum vorstellen, daß die beiden letztgenannten Anlagegrößen
irgend eine wirtschaftliche Bedeutung zukommt. Dabei muss man sich vor Augen halten, daß
Seite 143
in Brasilien 5.5 % der Haushalte noch nicht mit elektrischer Energie versorgt werden können.
Betrachetet man dabei nur die ländliche Haushalte, so steigt die Zahl auf 24.3 %. Und schaut
man nur auf die Amazonasregion, so sind es dort 56.1 % der Landhaushalte, die keine Stromversorgung haben.
Die technische Herausforderung besteht somit darin, Strom in isolierte rurale Regionen zu
bringen. Dabei wird zunächst der Aufbau eines Stromleitungsnetzes vorangetrieben, wobei
hier die Minimierung der Trassenlängen im Vordergrund steht. Allerdings ist der Bau von
Stromleitungen in jedes abgelegene Dorf ökonomisch und ökologisch nicht vertretbar. Hier
müssen dezentrale und sogar individuale (d.h. für einen Haushalt) Lösungen geschaffen werden. Als Energiequellen kommen dabei nur die Wasserkraft, Windkraft, Photovoltaik, Biomasse und Dieselgeneratoren in Frage.
Das Wasserkraftpotential Brasiliens
Die Energieforschungsfirma EPE, die dem Energieministerium in Brasilia untersteht, rechnet
mit einer Gesamtleistung von 258 Gigawatt aus Wasserkraft in Brasilien. Davon werden 23 %
derzeit genutzt, zu 42 % liegen schon in irgendeiner Form Machbarkeitsstudien vor, 32 % als
nutzbar eingeschätzt und 3 % befinden sich derzeit im Bau.
Diese Zahlen werden allerdings dahingehend bezweifelt, daß ihrer Berechnung manchmal einzig und allein das Produkt aus Fallhöhe bis zur Flussmündung mal Abfluss an einem gebenen
Ort zugrunde liegt. Man könnte dieses Potential also nur dann nutzen, wenn man einen riesigen
Damm an der Flussmündung bauen würde.
Ferner liegen 43 % des angenommenen Ausbaupotentials allein im Amazonasgebiet, was die
Abhängigkeit von den bisherigen Einzugsgebieten zu reduzieren würde. Dazu sind derzeit vier
Staudammprojekte am südlichen Zuflüssen des Amazonas geplant, Paranatinga II (29 MW)
am Culuene, Belo Monte (11 000 MW) am Xingu, Jirau (3300 MW) und San Antonio (3150
MW) am Madeira. Nach früheren Studien des staatlichen Stromversorgers Fuernas würden
529 Quadratkilometer Land für die beiden letztgenannten Dämme überflutet und 3000 Menschen umgesiedelt werden. ’Solche Schätzungen sind wahrscheinlich stark untertrieben, wenn
vergangene Dammprojekte in Brasilien ein Maßstab sind’, sagt die Umweltorganisation River Network. Nach deren Angaben ist die Artenvielfalt des Rio Madeira besonders hoch. Der
Fluss ist die Lebensgrundlage von 750 Fischarten und 800 Vogelarten. Durch die Staudämme
würden Tiere wie der große Katzenfisch, der 4500 km flußaufwärts zu seinen Laichplätzen
schwimmt, an ihrer natürlichen Migration gehindert werden. Zudem würde das Habitat von
bereits bedrohten Tierarten wie dem Jaguar, dem großen Ameisenbär, dem Riesengürteltier
und dem brasilianischen Riesenotter weiter vermindert werden.
Die in der Region lebenden Stämme Karitiana, Karipuna und Uru-eu-Wau-Wau fürchten zudem, daß das Gleichgewicht ihrer traditionellen Lebensweise durch eine Armee von Bauarbeitern empfindlich gestört werden könnte. Ein Netzwerk von Initiativen wie der Bewegung der
Seite 144
5.8. Übungen
Staudammbetroffenen hat deshalb einen Brief an die Internationale Entwicklungsbank IDB
gesandt, um diese von einer geplanten finanziellen Unterstützung des Projekts abzubringen. 1
Pumpen als Turbinen
Eine Schwierigkeit beim Bau von Mini- und Mikrowasserkraftanlagen besteht in den hohen Beschaffungskosten für Turbinen, die fast 40 % der gesamten Anlagekosten ausmachen
können. In Brasilien gibt es nur wenige Turbinenhersteller, die in den meisten Fällen Turbinen
produzieren, die den entsprechenden Gegebenheiten angepaßt sind.
Auf der anderen Seite werden Pumpen mit ihren vielfältigen Anwendungen in Landwirtschaft,
Siedlungswasserwesen und Industrie in jeder Größe in großen Stückzahlen produziert.
Neben dem geringeren Wirkungsgrad weist der Einsatz von Pumpen als Turbinen verschiedene
zu bewältigende Schwierigkeiten auf. Zunächst hat eine Pumpe keine Regulierungsmöglickeit
für die Drehzahl, die relativ konstant sein sollte. Ferner kann die Umkehrung des Durchflusses
wegen der ungünstigen Orientierung der Schaufeln zu Druckstößen führen.
In der Praxis steht man beim Einsatz von Pumpen als Turbinen vor zwei Fragestellungen:
1. Die Auswahl der optimalen, am Markt erhältlichen Pumpe.
2. Der Umbau dieser Pumpe zu einer Turbine.
Zur Beantwortung dieser Fragestellungen sei auf die Manuals [5] [14] verwiesen.
5.8
Übungen
1. Eine Kreiselpumpe hat folgende Betriebsdaten: Volumenstrom 1.5 m 3 /s, Druck am
Saugstutzen 0.7 bar, am Druckstutzen 7 bar. Gefördert wird Wasser bei 20o C. Berechnen
Sie die spezifische Stutzenarbeit und die Leistung P bei einem Wirkungsgrad von 0.8.
2. Das Laufrad einer Radialturbine hat die Abmessungen
Aussendurchmesser: 2.50 m
Innendurchmesser: 0.50 m
Ein- und Austrittsbreite: 1 m
Eintrittswinkel: 25 o
Austrittswinkel: 40 o
Wie groß sind der Volumenstrom Q und die spezifische Stutzenarbeit bei einer Drehzahl
von 1800 U/min ?
1
Aus der Süddeutschen Zeitung vom 25. Juli 2006.
5.8. Übungen
Seite 145
3. In welche Richtung wurde die Kaplanturbine in Abbildung 5.8 durchströmt ? Begründen
Sie Ihre Antwort.
4. Der Wasserverbrauch des in 3000 m Höhe gelegenen Andendorfes Humahuaca (6200
EW) beträgt 70 000 l pro Tag. Dieser Bedarf soll dadurch gedeckt werden, daß Wasser
durch eine 20 km lange Wasserleitung von 20 cm Durchmesser (λ = 0.02) aus einem
auf 1200 m Höhe gelegenen Fluss in das Speicherbecken der Aufbereitungsanlage des
Dorfes gepumpt werden soll.
(a) Berechnen Sie die Vorfaktoren aA und bA der Anlagenkennlinie und stellen Sie
diese graphisch dar.
(b) Es stehen drei Pumpen mit den charakteristischen Werten
Pumpe Pel [kW] ηM ηP
1
500
0.7
2
5 000
0.8
3
50 000
0.82
zur Verfügung. Welche ist für die Erfüllung der Aufgabe optimal ? Bestimmen Sie
den Arbeitspunkt Q dieser Pumpe.
(c) Ist das Projekt realisierbar ?
5. In einer vertikalen Steigleitung (vernachlässigbare Rauheit) konstanten Durchmessers
wird Wasser bei 15o C von einem auf Luftdruck (1 bar) befindlichen Reservoir nach
oben gepumpt. Wie hoch darf die Pumpe allerhöchstens über dem Reservoir angebracht
werden, damit keine Kavitation auftritt ?
6. Eine Wasserkraftanlage hat eine Fallhöhe von 136 m bei einem Abfluss von 60 m 3 /s.
(a) Welcher Turbinentyp eignet sich für diese Anlage?
(b) Welche Drehzahl und wieviele Polpaare sind zum Direktantrieb eines 50 Hz Generators erforderlich?
(c) Welche Leistung erbringt die Turbine bei einem Wirkungsgrad von η = 0.92 ?
(d) An der Leipziger Strombörse EEX kostet ein Megawattstunde derzeit 44.50 Euro.
Wie hoch sind die Tageseinnahmen des Kraftwerks?
7. Schwimmpumpe
Die unten dargestellte Baugrube soll mit Hilfe einer Schwimmpumpe geleert werden.
Die Pumpe befindet sich auf Ponton I. Eine über Ponton II geführte Rohrleitung leitet
das Wasser mit einem Durchfluss von Q = 900 l/s ab.
5.8. Übungen
Seite 146
(a) Berechnen Sie die notwendige Pumpenleistung. Berücksichtigen Sie dabei die lokalen Verluste, die Reibungsverluste nach dem Widerstandsgesetz von ColebrookWhite für die angegebenen Rohrlängen sowie einen Wirkungsgrad der Pumpe von
0.75.
(b) Berechnen Sie die Vertikalkraft, die durch den Pumpenbetrieb zusätzlich auf Ponton II wirkt. Gehen Sie dabei von einer Druckhöhe von 7.5 m im Bereich dieses
Pontons aus.
(c) Berechnen Sie Eintauchtiefe von Ponton II im Ruhezustand und bei Pumpenbetrieb.
5m
2m
2m
Abbildung 5.23: Schwimmpumpe.
Gegeben:
• Nennweite aller Rohre 25 cm
• kS = 0.1 mm
• Ponton II: L = 2 m, B = 2 m, H = 1 m, M = 3200 kg
Literaturverzeichnis
[1] Ambrose and Walton. Pure Applied Chem., 61:1395, 1989. 5.7.6
[2] Barr, D.I.H. Two Additional Methods of Direct Solution of the Colebrook-White Function. Proc. Instn. Civ. Engrs, Part 2, 59:827–835, 1975. 2.6
[3] Blind, H. Wasserbauten aus Beton. Ernst & Sohn, Berlin, 1987. 4.4
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2004. 5
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[6] Giesecke, J. and Mosonyi, E. Wasserkraftanlagen, Bau und Betrieb. Springer Verlag,
Berlin, Heidelberg, New York, 1998. 4.2, 5.7
[7] Heinemann, E. and Feldhaus, R. Hydraulik für Bauingenieure. B.G. Teubner, Wiesbaden,
2003. 3.3.3, 4.3
[8] Heuser, H. Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner, Stuttgart, 1989. 2
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der Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie Nr. 179, Eidgenössische
Technische Hochschule, Zürich, 2002. 4.2, 4.2.3, 4.2.3
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[11] Naudascher, E. Hydraulik der Gerinne und Gerinnebauwerke. Springer, Wien, New
York, 1987. 4.4
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[13] Uhlemann, H.-J. Die Geschichte der Schiffshebewerke. DSV-Verlag, Hamburg, 1999.
1.9, 1.9
147
Seite 148
LITERATURVERZEICHNIS
[14] Willians, A. Pumps as Turbines: A Users’s Guide. ITDG Publishing, London, 2003.
5.7.9

Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau

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