unobserved components modell

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Empirische Wirtschaftsforschung
Prof. Dr. Bernd Süßmuth
Universität Leipzig
Institut für Empirische Wirtschaftsforschung
Volkswirtschaftslehre, insbesondere Ökonometrie
9.6. Zeitreihen und Zeitreihenmodelle
Prinzipielle Unterscheidung:
(i) reine Zeitreihenmodelle (univariat):
•
ohne Einbeziehung erklärender Variablen
•
Erklärung der Dynamik aus der Reihe selbst
 kann eingesetzt werden, um die Konjunkturkomponente
eines Unobserved Components Model abzubilden
 geeignet für kurzfristige Vorhersagen
21.06.2010
Empirische Wirtschaftsforschung · Prof. Dr. Bernd Süßmuth
2
9.6. Zeitreihen und Zeitreihenmodelle
(ii) Strukturelle Zeitreihenmodelle (bi- oder multivariat):
•
Einbeziehung erklärender Variablen
•
Erklärung der Dynamik auch aus anderen Reihen als der zu
untersuchenden Reihe selbst
 kann eingesetzt werden, um ökonomische Theorien auf
Basis dynamischer Schätzungen zu überprüfen
 geeignet für langfristige Vorhersagen
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9.6.1. ARIMA-Modelle (Der Box-Jenkins-Ansatz)
•
1970: George E.P. Box und Gwilym M. Jenkins
•
Methodisches Konzept für reine Zeitreihenmodelle (i)
Bestandteile eines ARIMA(p,d,q)-Modells:
yt = Φ1 yt −1 +  + Φ p yt − p + δ + ε t − θ1ε t −1 −  − θ qε t −q




AR −Teil
MA−Teil
1. Integrierte Prozesse I(d)
2. Autoregressive Prozesse AR(p)
3. Moving-Average-Prozesse MA(q)
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1. Integrierte I(d)-Prozesse
Eine Zeitreihe ist integriert der Ordnung d bzw. I(d), wenn sie
d-mal differenziert werden muss, um stationär zu werden.
Ein ARIMA(1,0,0)-Prozess yt = δ + Φyt −1 + ε t ist stationär bzw.
ein I(0)-Prozess, wenn Φ < 1 .
yt yt −1 + ε t ist ein I(1)-Prozess, da
Ein Random Walk =
wt =
∆1 yt =
ε t ; wt als Reihe der ersten Diff. von yt ist stationär.
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Allgemein: Wenn yt I(d) ist, ist wt = ∆ d yt stationär.
Liegt umgekehrt eine differenzierte Reihe wt vor, können wir
durch d-maliges Aufsummieren zurück zu yt gelangen:
yt =
y0 + ∑ d wt mit
∑
=
∆ −1 und ∑ 2 =
∑∑ wt
Dazu müssen wir über den Anfangswert y0 verfügen.
Für d=1, d.h. wt = ∆yt , ergibt sich damit:
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y=
y0 + ∑ wt
t
6
Numerisches Beispiel eines I(1)-Prozesses:
wt = ∆yt
t
yt
0
2
1
8
6
2
4
-4
3
7
3
4
9
2
y4 = y0 +
∑w
t
4
∑w
t
=7
= 2 + 7 = 9.
1
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In der Makroökonomik gehören integrierte bzw. I(1)-Zeitreihen
meist zu Bestandsgrößen, die einen kumulativen Effekt messen
(im Gegensatz zu Flussgrößen):
Eine Reihe der Netto-Lagerinvestionen (Zu- und Abgänge vom
Lager) verläuft eher zeitkonstant bzw. weniger trendbehaftet
als eine Reihe der Lagerbestände.
Wenn kein Anhaltspunkt aus der Theorie über die Ordnung d
eines I(d)-Prozesses: Analyse der Autokorrelationsfunktion.
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2. Autoregressive AR(p)-Prozesse
y t = φ1 y t −1 +  + φ p y t − p + δ + ε t
Die Reihe yt hängt von ihren eigenen Vergangenheitsbeobachtungen ab, die p Perioden zurückliegen können.


Die geschätzten Koeffizienten φ1 , φ p geben somit an, wie
stark die Werte einer Reihe von ihren vergangen Werten
abhängen.
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Erstes Charakteristikum stationärer AR(p)-Prozesse:
Zeitinvariater Erwartungswert
E ( y t ) = E ( y t −1 ) =  E ( y t − p ) = µ
Sofern φ1 + φ 2 +  + φ p < 1, gilt für einen AR(p)-Prozess:
 φ p E ( yt − p ) + E (δ ) + E (ε t )
E ( y=
φ1E ( yt −1 ) + φ2 E ( yt −2 ) + 
t)
 + φpµ + δ
µ = φ1µ + φ2 µ + 
µ=
δ
 φp
1 − φ1 − φ2 − 
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Ein AR(1)-Prozess ist stationär, wenn φ1 < 1 :
φ1 yt −1 + δ + ε t ⇒ =
µ
y=
t
Für φ1
δ
1 − φ1
und δ 2 :
0,5
=
y t = 2 + 0.5 y t −1
2
+ εt ⇒ µ =
= 4.
1 − 0.5
Beachte: Ein Random Walk (mit / ohne Drift) ist zwar ein
AR(1)-Prozess, jedoch nicht stationär!
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Zweites Charakteristikum stationärer AR(p)-Prozesse:
Fester Zusammenhang von Varianz und Kovarianz
Für einen stationären AR(1)-Prozess mit δ = 0 gilt
2
2
) γ=
(
)
(
)
=
φ
+
ε
Var ( yt=
E
y
E
y
t
t
0
1 t −1
γ 0 = E (φ12 y 2t −1 + 2φ1 yt −1ε t + ε t2 ) = φ12γ 0 + σ ε2 .
σ ε2
Varianz: γ 0 =
1 − φ12
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; Kovarianz zum Lag k:
γ k = φ1k γ 0
12
Drittes Charakteristikum stationärer AR(p)-Prozesse:
Rasch abfallende Autokorrelationsfunktion
Für einen stationären AR(1)-Prozess gilt
γ k φ1k γ 0
γ0
k
ρ
φ
=
=
=
ρ=
=
1
und
allgemein
k
1 .
0
γ0
γ0
γ0
Aufgrund der Stationarität fällt ρ k mit steigendem k ab.
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13
26
1
24
22
20
18
16
14
12
10
t
Typische Realisierung eines AR(1)-Prozesses
2
= 20
1 − 0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
k
Zugehörige Autokorrelationsfunktion
y t = 0,9 y t −1 + 2 + ε t ,
µ=
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2
=
ρ1 0,9,=
ρ 2 0,9
=
0,81,...
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Ein AR(2)-Prozess y t = φ1 y t −1 + φ 2 y t − 2 + δ + ε t kann mit den sog.
Yule-Walker-Gleichungen geschätzt werden:
φ1
ρ=
1
1 − φ2
φ12
ρ=
φ2 +
2
1 − φ2
ρ1 und ρ 2 werden (z.B. von EViews) aus der Stichprobe
berechnet. Durch Einsetzen und Auflösen innerhalb der beiden
Gleichungen werden die Koeffizienten φ1 und φ2 gewonnen.
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3. Moving-Average- MA(q)- Prozesse (gleitende Durchschnitte)
y t = µ + ε t − θ 1ε t −1 − θ 2 ε t −1 − θ q ε t − q
Gewichteter Durchschnitt von zufälligen Störtermen,
die q Perioden zurückreichen.
θ1 , θ 2 , θ q : Gewichte des MA, mit θ ≠ 0 jeweils.
ε folgt einem White-Noise-Prozess mit E (ε ) = 0 ,
2
Var (ε=
) σ=
const und Cov(ε t , ε t ≠k=
) γ=
0 für k ≠ 0
ε
k
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MA-Prozesse sind stationär und haben – wie ein stationärer
AR-Prozess – einen zeitunabhängigen Erwartungswert.
Für einen MA(1)-Prozess y t = µ + ε t − θ 1ε t −1 gilt:
a) Erwartungswert: E ( y t ) = µ
b) Varianz: γ 0 = E ( yt − µ ) = E (ε t − θ1ε t −1 )
2
2
=
E (ε ) − 2 E (θ1ε tε t −1 ) + E (θ ε )

2
2 2
1 t −1
( =0 )
=
σε +θ σε =
σ ε (1 + θ )
2
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2
1
2
2
2
1
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c) Kovarianz zum Lag k=1:
γ 1 =E (( yt − µ )( yt −1 − µ ))
E ((ε t − θ1ε t −1 )(ε t −1 − θ1ε t −2 ))
=
=E (ε tε t −1 ) − E (θ1ε 2t −1 ) − E (θ1ε tε t −2 ) − θ1ε t −1ε t −2



 


=( 0)
=( 0)=( 0)
= −θ1σ ε2
Kovarianz zu Lags >1: γ k = 0
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d) Autokorrelationsfunktion
 −θ1σ ε2
−θ1
=
γk  2
2
2
=
ρ=
+
+
σ
θ
θ
(1
)
1
 ε
k
1
1
γ0 
0

für k=1
für k>1
Ein MA(1)-Prozess besitzt ein Gedächtnis von nur 1 Periode.
Vorhersagen lassen sich also nur für 1 Periode in die Zukunft
anstellen.
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19
1.0
6
0.8
4
0.6
2
0.4
0
-2
0.2
t
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Typische Realisierung eines MA(1)-Prozesses
y t = 2 + ε t + 0,8ε t −1
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0.0
1
2
3
4
k
Zugehörige Autokorrelationsfunktion
=
ρ1
−θ
0,8
1
=
≈
1 + θ 2 1 + 0,64 2
20

unobserved components modell

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