quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen

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Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen
Eingangstest – quadratische Funktionen und
quadratische Gleichungen
1 Graphen erkennen
Welche Graphen können zu einer quadratischen
Funktion gehören?
y
4
I
I, II
II
2
x
−6
−4
−2
IV
2
4
−2
6
III
−4
2 Graphen zeichnen
a)Zeichne den Graphen der Funktion
y
1   x2 + 2 x mithilfe einer Wertetabelle.
f: y = –  __
4
2
x
– 1
0
1
2
3
4
y
– 2,5
0
1,5
2
1,5
0
b)
x
−6
b)Gib den Scheitelpunkt an und zeichne
den Graphen der Funktion g, ohne eine
Wertetabelle zu erstellen.
g: y = (x + 3)2 – 1
2
−4
2
4
6
−2
a)
−4
S (– 3 | – 1)
3 Funktionsgleichung bestimmen
Gib die Funktionsgleichung an
a) durch Ablesen aus dem Graphen.
−2
y
a
d
a: y =  b: y =  (x + 1) 2
2 x2 – 3
– _
  12   (x – 3) 2 + 4 d: y =  c: y =  x2 + 2
6
4
c
2
b)durch Berechnung aufgrund der gegebenen
Bedingungen.
Scheitelpunkt S (2 | 3); Punkt A (4 | 4) liegt auf
1  (x – 2) 2 + 3
 __
dem Graphen.
y = 4
x
−6
−4
−2
−2
b
2
4
6
−4
A (– 1 | 5,5), B (2 | – 5), C (0 | 1) liegen auf dem
1 2
__
Graphen.
y =   2  x  – 4 x + 1
Normalparabel mit den Nullstellen – 1 und – 4.
y = (x + 1) (x + 4) = x2 + 5 x + 4
4 Quadratische Gleichung
Bestimme die Lösungen.
22
x2 = 144
5 x2 = 20 x
x2 – 8 x + 16 = 0
x2 + 4 x + 16 = 0
3 x2 – 6 x + 10 = 1
x1 = 12
x2 = – 12
x1 = 0
x2 = 4
x = 4
keine Lösungen
keine Lösungen
Eingangstest – quadratische Funktionen und
quadratische Gleichungen
5 Scheitelpunktform – Normalform – faktorisierte Form
Bestimme die fehlenden Darstellungsformen.
a) y = x2 – 2 x – 3  = (x – 3) (x + 1) = (x – 1) 2 – 4
1 2
1
__
__
1 ( x + 4)2 – 2  =     x  + 4 x + 6 =     (x + 2) (x + 6)
b) y =  __
2
2
2
6 Wahr oder falsch?
Welche der Aussagen zum Finden einer quadratischen Funktion y = a x2 + b x + c sind wahr?
Entscheide und gib die Funktion an oder begründe, warum die Angabe nicht zu einer eindeutigen
Lösung führt.
Bedingung
a) Mit der Angabe des Scheitelpunktes S (2 | 3) wird
die Funktionsgleichung eindeutig bestimmt.
w
f
Funktion/Begründung
Die Öffnung der Parabel kann variieren.
Mit den drei Punkten P1 (– 2 | 1), P2 (0 | 4), P3 (1 | 1)
y  =  – 1,5 x2 – 1,5 x + 4
b) wird die Funktionsgleichung eindeutig bestimmt.
Mit zwei Punkten P1 (– 4 | 1), P2 (1 | 2) und dem
y = – x2 – 2,8 x – 5,8
c) Streckfaktor a = – 1 wird die Funktionsgleichung
eindeutig bestimmt.
7 Hängebrücke
Ingenieure planen eine Hängebrücke, die an
dicken Drahtseilen aufgehängt ist.
Den Brückenbogen kann man näherungsweise
y
1     
2  x + 60
durch die Funktion f mit y =  ____
x2 –  __
450
3
x
beschreiben.
Bestimme den tiefsten Punkt des Brückenbogens
und seine Höhe über der Fahrbahn.
T (150 | 10)
ist 10 m über der Fahrbahn.
8 Hochspannungsleitung
y
Hochspannungsleitungen werden meist als
Freileitungen gebaut: Zwischen zwei Masten
hängt das Kabel hierbei frei über dem Boden.
Bei einer Anlage ist das Kabel an 300 m aus
einander stehenden Pfeilern in 50 m Höhe
befestigt. An seiner tiefsten Stelle befindet es
x
sich 39,875 m über dem Boden.
a)Gib eine quadratische Funktion an, mit deren Hilfe man die Höhe des Kabels näherungsweise an
jeder Stelle zwischen den Pfeilern bestimmen kann.
h (x) = 0,000 45 (x – 150) 2 + 39,875
b) In welcher Höhe befindet sich das Kabel 50 m vom Mast entfernt?
h (50) = 44,375
23
Funktionstypen und Graphen
1 Kann die Zuordnung durch eine quadratische Funktion beschrieben werden?
ja
nein
a) Würfel: Kantenlänge → Volumen
b) Quader: Kantenlänge → Oberflächeninhalt
c) Kreis: Radius → Umfang
d) Handy ( ohne Flatrate ): Anzahl der Gesprächsminuten → Gesprächskosten (in €)
e) Auto: durchschnittliche Geschwindigkeit → Zeit für eine bestimmte Strecke
f) x → 4 ∙ (x + 1) (2 x – 1)
2 Markiere die Funktionsgleichungen, Graphen bzw. Tabellen, die zu einer quadratischen Funktion
gehören können.
1  x2 – 3 x
a) y = 3 x2 + 7
b) y = x (x – 1) c) y = 5
d) y =  __
e) y = 2x – 6
( 2 )
f) y  =  –  4 x ∙ x
g) y =      
y
l)
2
1 x
__
h)
r)
y
4
4
2
2
q)
s)
x
−4
−2
m)
x
−2
n)
−2
1 
 __
y = x2
2
o)
−4
−2
t)
p)
1    + 3 x
i) y =  __
2
k) y = 0 x2
x
x
– 2
– 1
0
1
2
y
– 8
– 2
0
– 2
– 8
x
– 2
– 1
0
0,5
3
y
5
2
1
1,25
10
x
– 1
1 
–  __
0
2
3
y
1
1,5
2
4
6
2
−4
3 Vervollständige die Tabelle und zeichne den Graphen.
a) y = x2 – 1
b) y = – x2 + 3
x
– 2
3
y
– 1
0
0
0,5
1
2
x
– 2
– 1
0
0,5
1
2
– 1
3
–  __
 
4
0
3
y
– 1
2
3
2,75
2
– 1
1  x2
y =  __
2
y = 2 (x + 3)2
x
– 4
– 3
– 2,5
– 2
– 1,5
x
– 2,5
– 2
– 1
0
1
0,5
y
8
4,5
1 
3  __
2
1 
1  __
y
__
  1 
2
2
8
18
32
24,5
8
8
y
y
4
4
2
2
x
−6
−4
−2
2
−2
28
4
6
x
−6
−4
−2
2
−2
4
6
y  =  – 2 x2
y = x2 + 1
Graphen
1 Welcher Graph gehört zu welcher
Funktionsgleichung?
1  x2
a) y =  __
b) y = (x – 4)2
I
III
V
4
4
1  x2 – 2
d)y =  __
2
c) y = – x2 + 4
y
II
2
1 
e)y =  2 x2 –  __
x
2
a)
b)
III
c)
V
d)
IV
I
e)
−6
−4
II
IV
−2
2 Der gezeichnete Graph gehört zu der angegebenen Funktion.
Zeichne ein geeignetes Koordinatensystem ein.
a) y = x2
b) y = x2 + 2
c) y = (x + 1)2
y
y
1
1
4
6
−2
d) y = (x – 2)2 –  1
y
y
1
1
x
1
2
x
x
1
1
x
3 Der Bremsweges eines Autos ist von seiner Geschwindigkeit abhängig.
a) Ergänze die Wertetabelle und zeichne den Graphen in das Koordinatensystem.
Geschwindigkeit in km/h
10
20
30
40
50
60
70
Bremsweg in m
1
4
9
16
25
36
49
b)Gib eine Funktionsgleichung an, mit deren Hilfe man den Bremsweg beschreiben kann.
1     
y =  ____
x2
100
c) Bei einem anderen Auto ergaben sich in einer Messreihe folgende Werte:
Geschwindigkeit in km/h
10
20
30
40
50
60
70
Bremsweg in m
0,9
3,6
8,1
14,5
22,5
32,5
44,1
Zeichne den Graphen ebenfalls in das Koordinatensystem.
d)Welches Auto hat die besseren Bremsen? Begründe.
Auto
c), da bei gleicher Geschwindigkeit der Bremsweg kürzer ist.
e)Für einen Neuwagen mit ABS kann der
Bremsweg durch die Funktion mit der
Gleichung f (x) = 0,006 x2 beschrieben
werden. Stelle eine geeignete Wertetabelle
auf und zeichne den Graphen.
Geschwindig
10 20 30 40 50 60 70
keit in km/h
Bremsweg
0,6 2,4 5,4 9,6 15 21,6 29,4
in m
Bremsweg in m
60
a) c)
40
e)
20
Geschwindigkeit
in km/h
20
40
60
80
100
120
29
Term – Wertetabelle – Graph
1 Welche Wertetabellen, Graphen und Funktionsgleichungen gehören zusammen?
a) y = 2 x2
y
x
– 2 – 1
0
3
A
III
b) y = 0,1 x2
y
0,4 0,1
0
0,9
c) y = 0,4 x2
4
x
– 2
– 1
0
3
B
A
B
y
8
2
0
18
x
– 2
– 1
0
3
y
1,6
0,4
0
3,6
D
x
– 2
– 1
0
3
y
– 9
– 4
– 1
– 4
E
x
– 2
– 1
0
1
y
1
4
9
16
F
x
– 2
– 1
0
2
y
16
9
4
0
C
II
2
x
I
−4
−2
2
4
2
−4
VI
−2
2
x
4
V
−2
I
III
II
b)
a)
c)
d) y = (x – 2)2
e) y = (x + 3)2
f) y = – (x – 1)2
y
IV
C
D
E
F
f)
e)
d)
V
IV
VI
2 Zeichne verschobene, nach oben geöffnete Normalparabeln, die ihren Scheitel in S haben.
Ergänze die Wertetabelle und gib die zugehörige Funktionsgleichung an.
a) S (1 | 0)
y
x
– 1
0
2
3
y
4
1
1
4
6
4
b) S (2 | – 4)
y
3
– 1
5
0
0
2
– 4
3
b)
2
– 3
y = (x – 2) 2 – 4
1
c)
c) S (– 3 | – 2)
−4
x
– 1
0
2
3
y
2
7
23
34
x
−3
−2
−1
1
−1
−2
y = (x + 3) 2 – 2
−3
d) S (– 1 | 3)
30
a)
5
y = (x – 1) 2
x
d)
x
– 1
0
2
3
y
3
4
12
19
y = (x + 1) 2 + 3
−4
−5
−6
2
3
4
Punkte bestimmen
1 Welche der Punkte liegen auf dem Graphen? Entscheide anhand des Graphen und überprüfe dein
Ergebnis durch Rechnung.
y = – x2 + 2 x + 4
y
¸
A (0 | 4) 4
2
x
−2
2
4
6
4 = 0 + 0 + 4
B (– 1,5 | – 1,2) – 1,2 ≠ – 2,25 – 3 + 4
C (0,5 | 4,7) 4,7 ≠ – 0,25 + 1 + 4
D (4 | – 4) ¸
– 4 = – 16 + 8 + 4
−2
−4
2 Berechne die fehlenden Koordinaten der Parabelpunkte.
(Tipp: Es kann auch mehrere Lösungen geben.)
1  x  –  4
a) y = x2 +  __
2
b) y = – (x – 1)2
jj
10 ), C1 ( jj
0 | – 4), D1 ( jj
2 | 1), E (– 2 | jj
– 1 )
jj
1      – 4  D (– 2,5 | 1)
C2 (    –  __
) 2
2|
1   
A (3 | jj
– 4 ), B (– 1 | jj
– 4 ), C ( jj
1 | 0), D1 ( jj
3 | – 4), E (   | jj
–  __
4 )
A (1 | – 2,5 ), B (– 4 | 1 
__
2
D2 (– 1 | 4)
3 Die Länge des Bremsweges eines Autos ist von seiner Geschwindigkeit abhängig.
Der Zusammenhang zwischen dem Bremsweg s in Metern und der Geschwindigkeit v in km/h kann
1     
bei trockener Straße durch die Funktion s (v) =  ____
v2 beschrieben werden.
100
a) Wie lang ist der Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h? 25 m
b)In einer Testreihe wurde ein Bremsweg von 256 m gemessen. Welche Geschwindigkeit lag dem
Versuch zu Grunde?
160 km/h
4 Silvio steht auf einem Turm und lässt einen Stein hinunterfallen. Mithilfe der Funktion
h (t) = – 5 t2 + 5 (h in Metern, t in Sekunden) kann die Höhe des Steins zu einem beliebigen
Zeitpunkt bestimmt werden.
a)Bestimme die Ausgangshöhe des Steins sowie seine Höhe eine halbe Sekunde nach dem
Loslassen.
Ausgangshöhe:
5 m; nach einer halben Sekunde: 3,75 m
b) Wann ist der Stein nur noch einen Meter über dem Boden? 0,89 s
c) Nach welcher Zeit trifft der Stein auf dem Boden auf? 1 s
31
Quadratische Gleichungen 1
1 Einfache quadratische Gleichungen
Gib die Lösungsmenge an.
a)x2 = 196 b) 5 x2 = 80
x1 = 14;
L = {– 14;
x2 = 16
x2 = – 14
14}
L = {– 4;
d)x2 – 12 = 17
x2 = 29
L = { – √ 29 ;  √
29   }
___
c) 3 x2 – 75 = 0
x2 = 25
4}
L = {– 5;
e) (x – 12)2 = 36
5}
f) (x + 4)2 – 1 = 3
x 1 = 6 + 12; x2 = – 6 + 12 x1 = 2 – 4;
___
L = {6;
18}
L = {– 6;
x2 = – 2 – 4
– 2}
2 Parameter bestimmen
Bestimme d so, dass der zugehörige Graph durch den angegebenen Punkt P verläuft.
a) y = (x – d)2
P  =  (6 | 4) b) y = 3 (x – d)2  –  12 P  =  ( – 1 | 15)
d = 4 oder d = 8
d = + 2
oder d = – 4
3 Quadratische Gleichungen – vermischt
a) 4 x2 = 16 x b) 5 x2 – 15 x = 0
c)x2 – 8 x = 2 x
x2 – 4 x = 0
x2 – 3 x = 0
x2 – 10 x = 0
L = {0;
L = {0;
L = {0;
4}
d)x2 – 12 x + 36 = 0
3}
e)x2 – 2 x  =  – 1
10}
f)x2 – 18 x + 81 = 0
(x – 6)2 = 0
(x – 1)2 = 0
(x – 9)2 = 0
L = {6}
L = {1}
L = {9}
4 Zeichnerisches Lösen von Gleichungen
Stelle die Gleichung auf, die hier grafisch gelöst wird. Lies die Lösungen ab und überprüfe sie durch
Einsetzen in die Gleichung.
y
y
f
x
−2
2
4
y
4
g
2
−2
2
f
g
−6
2
4
−2
g
4
f
2
x
−4
32
y
x
−2
2
−2
g
x
−2
f
2
−2
x2 – x – 6 = – 4
– x2 – 4 x = 3
x2 = – x + 2
– x2 + 5 = x + 3
x2 – x – 2 = 0
x2 – 4 x + 3 = 0
x2 + x – 2 = 0
x2 + x – 2 = 0
x = – 1
x = – 1
x = – 2
x = – 2
od. x = 2
od. x = 3
od. x = 1
od. x = 1
Quadratische Gleichungen 2
1 Quadratische Gleichung der Form x2 + p x + q = 0
a)x2 + 6 x + 9 = 0 b)x2 – 16 x + 64 = 0
c) 3 x2 – 36 x + 108 = 0
(x + 3)2 = 0
(x – 8)2 = 0
x2 – 12 x + 36 = 0
L = {– 3}
L = {8}
(x – 6)2 = 0
L = {6}
2 Parameter bestimmen
Bestimme t so, dass x1 eine Lösung ist. Berechne auch die zweite Lösung.
a)x2 + 6 x + t = 0 x1 = 3 b)x2 + tx + 8 = 0
x1 = 4
x1 eingesetzt: 9 + 18 + t = 0;
t = – 27 x1 eingesetzt: 16 + 4 t + 8 = 0; t = – 6
x2 + 6 x – 27 = 0
_______
x1/2 = – 3 ± √9 + 27 ; x1 = 3,
x2 – 6 x + 8 = 0
_____
x2 = – 9 x1/2 = 3 ± √9 – 8  
; x1 = 4,
x2 = 2
3 Quadratische Gleichungen – vermischt
a) 2 x2 – 12 x + 18 = 0 b) 2 x2 – 8 x – 10 = 0
(x – 3)2 = 0
x2 – 4 x – 5 = 0
c)x2 + 10 x – 39 = 0
________
x1/2 = – 5 ± √ 25 + 39  
L = {3}
L = {– 1,5}
L = {– 13;
d) 3 x2 + 12 x = 15
e)(x – 4) (x + 4) = 0
x2 + 4 x – 5 = 0
x1 = 4;
L = {– 5;
L = {– 4;
1}
x2 = – 4
4}
x2 – 8 x + 7 = 0
L = {1;
7}
Lösungselemente:
x2 – 5 x – 6 = 0
f)x2 + 20 x = 125
x2 + 20 x – 125 = 0
L = {– 25;
g) 2 x2 – 16 x  =  – 14
h)x2 – 5 x = 6
3}
5}
i) 2 x2 = – 5 x – 2
x2 + 2,5 x + 1 = 0
{ 
L = {– 1; 6}
L =  – 2;
– 25; – 13; – 5; – 4; – 2; – 1; – 1; – 0,5; 1; 1; 3; 3; 4; 5; 5; 6; 7
}
1  
–  __
2
4 Verschiedene Darstellungsformen
Ergänze die fehlenden Darstellungsformen.
Scheitelpunktform
Normalform
faktorisierte Form
f (x) = (x + 0,5)2 – 2,25
f (x) = x2 + x – 2
f (x) = (x – 1) (x + 2 )
a)
f (x) = (x + 4)2 – 16
f (x) = x2 –  8 x
f (x) = x (x – 8 )
b)
f (x) = (x – 1)2 – 4
f (x) = x2 – 2 x – 3
f (x) = (x – 3) (x + 1)
f (x) = x2 – 4
f (x) = (x – 2) (x + 2 )
3 2
d) f (x) =  – x +  __
    
f (x)  =  – x2 – 1,5 x + 1
f (x) = – (x – 0,5) (x + 2 )
e)
f (x)  =  – x2 – 3 x – 2
f (x) = – ( x + 1) (x + 2)
c) f (x) = x2 – 4
25
  
(  4 ) +  ___
16
3 2 __
f (x) = ( – x +  __
     +   1 
4
2)
33
Scheitelpunktform
1 a) Beschreibe die Graphen f, g, h und p im Vergleich zur Normalparabel.
f: … um 3 Einheiten in x – Richtung verschoben,
y
p
g
... nicht gestaucht, nicht gestreckt
6
f
g: um
4
verschoben,
2
h
−4
−2
2
4
gestreckt
h: Scheitelpunkt
x
−6
– 4 Einheiten in y-Richtung
geöffnet,
6
nicht gestaucht/gestreckt
p: Scheitelpunkt
−2
bei (–3| 5), nach unten
bei (2 | – 2), gestaucht
−4
b)Gib die Funktionsgleichungen zu den Graphen an.
f: y = 
(x – 3)2
h: y = 
– (x + 3)2 + 5
g: y =  2 x2 – 4
1
__
2
p: y =    4  (x – 2)  – 2
2 Gib den Scheitelpunkt der Funktionsgraphen an
und zeichne die Graphen.
y
a)
– 2 | jj
– 4 )
jj
b) y = – (x – 3)  + 2 S ( jj
3 | jj
2 )
c) y = – ( x + 3)  + 6 S ( jj
– 3 | jj
6 )
d) y =   (x – 4)  + 5 S ( jj
4 | jj
5 )
a) y = (x + 2)2 – 4
d)
6
S ( 4
2
2
x
2
1 
__
2
−6
2
−4
−2
2
4
6
−2
c)
−4
b)
3 Gib die Funktionsgleichung der Parabel an, die entsteht, wenn man den Graphen der Funktion an
einer der Koordinatenachsen spiegelt.
Funktionsgleichung
Spiegelung an der
x-Achse
Spiegelung an der
y-Achse
y = (x + 2)2 – 4
y = (x – 1)2 + 3
y = – (x – 3)2 + 2
y = – ( x + 3)2 + 6
y = – (x + 2)2 + 4
y = – (x – 1)2 – 3
y = (x – 3)2 – 2
y = (x + 3)2 – 6
y = (x – 2)2 – 4
y = (x + 1)2 + 3
y = – (x + 3)2 + 2
y = – (x – 3)2 + 6
y = (x – 2)2 + 4
y = (x – 1)2 – 6
1  (x + 6)2 – 8
y =  __
4
y = 4 (x + 2)2 – 20
y = x2 – 4 x + 8
y = x2 – 2 x – 5
y = __
  14  x2 + 3 x + 1
y = 4 x2 + 16 x – 4
4 Ergänze die fehlende Darstellungsform.
Scheitelpunktform
Normalform
34
Schnittpunkte mit den Achsen
1 Schnittpunkt mit der y-Achse
Man kann den Schnittpunkt mit der y-Achse einfach aus der Funktionsgleichung
bestimmen.
Welchen Schnittpunkt mit der y-Achse hat der Graph der angegebenen
Funktion?
a) f (x) = x2 + 4 x + 3 b) g (x) = (x + 1)2 – 8 c) h (x)  =  5 x2 – x
d) i (x) = (x + 2) (x – 3)
S (0 | 3)
S (0 | – 7)
S (0 | 0)
2 Schnittpunkte mit der x-Achse
Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit
der x- Achse und zeichne den Graphen.
S (0 | – 6)
y
b)
4
a) f (x) = (x – 4) (x – 2) S1 (4 | 0); S2 (2 | 0)
a)
2
b) g (x) = (x – 1) (x + 3) S1 (– 3 | 0); S2 (1 | 0)
c) h (x)  = – 0,5 (x – 1) (x + 4)S 1 (1 | 0); S2 (– 4 | 0)
x
−6
−4
−2
2
4
6
−2
c)
−4
3 Nullstellen
Gib die Nullstellen an.
a) f (x) = (x – 2) (x + 5) b) f (x) = x (x + 4)
c) f (x) = (x + 3)2__
 – 8 d) f (x) = x2 – 6 x + 9
x1 = – 3 + √__
8 ; 
x1 = 2; x2 = – 5 x1 = 0; x2 = – 4 x  = – 3 – √ 8  
x1 = 3
2
e) f (x) = 3(x + 2)2f) f (x)  =  4 x2
g) f (x) = x2 – 5
h) f (x) = x2 + 9
__
__
x1 = – √ 5 ;  x2 = + √ 5 
keine Nullstelle
 
x = – 2
x = 0
4 Aussagen über Schnittpunkte mit den Achsen
Welche der Aussagen über Schnittpunkte mit den Achsen einer quadratischen Funktion sind wahr?
Kreuze w oder f an.
a) Der Schnittpunkt
b) Die Nullstellen sind
c) Wenn x = 3 eine
d) Es gibt immer
mit der y-Achse ist
der höchste Punkt
einer Parabel.
die Lösungen der
Gleichung f (x) = 0.
j w j f
j w j f
j w j f
5 Flugbahn eines Steines
Von einem 6 m hohen Felsen wird gegen einen Stein getreten, der nun
auf einer parabelförmigen Bahn fällt.
Welche Parabelgleichung kann die Flugbahn des Steines beschreiben?
I
f (x) = x2 + 6
II
f (x)  =  – x2 – 6
III
f (x)  =  – x2 + 6
IV
f (x) = x2 – 6
Begründung: III
Die
mindestens einen
Schnittpunkt mit
der x-Achse.
Nullstelle ist, dann ist
es auch x = – 3.
j w j f
y
x
Flugbahn wird durch eine nach unten geöffnete Parabel
beschrieben; der y-Achsenabschnitt ist positiv.
35
Anwendungen zu Schnittpunkten mit den Achsen
1 Fußballkurve
Ein liegender Fußball wird 30 m weit geschossen, dabei erreicht er eine maximale Höhe von 10 m.
Welche Bilder passen zur Situation?
I
II
III
IV
10
10
10
10
30
15
30
10
I
IV
2 Flugkurve
Was bedeuten die Schnittpunkte mit der x-Ach
se im dargestellten Flug?
Start-
50
und Landepunkt auf dem Boden.
30
3 Wasserstrahl
Ein Wasserstrahl spritzt 40 m weit und erreicht
eine Höhe von 20 m. Mit welcher quadratischen
Funktion kann man den Wasserstrahl beschrei
ben?
I
f (x)  =  x (x – 40)
II g (x)  =  – x (x – 40)
III h (x)  =  – 0,05 x2 + 2 x IV k (x)  =  0,2 x2 + 40 x + 20
III
4 Kugelstoß
Die Flugbahn einer Kugel
wird durch die Gleichung
k (x)  =  – 0,2 x2 + x + 1,95 beschrie
ben. Dabei bezeichnet x die horizon
tale Entfernung vom Abstoßpunkt
und k die Höhe über dem Boden in
Metern.
a) Skizziere die Bahn der Kugel.
b) Welche Bedeutung hat k (0)?
y
4
3
2
1
Abstoßhöhe
x
1
2
3
4
5
6
7
c)In welcher Höhe wird die Kugel abgestoßen?
1,95 m
d) Wie weit fliegt die Kugel? K (x) = 0  ⇒  x = 6,5 Die
36
Kugel fliegt 6,50 m weit.
8
Parabeln und Geraden
1 Schnittpunkte von Parabeln und Geraden
a)Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel mit einer Geraden besitzen?
keinen
oder einen Schnittpunkt, zwei Schnittpunkte
b)Bestimme die Schnittpunkte der Parabel f (x) = x2 mit der Geraden.
g (x) = 2 x + 1 h (x) = 2 x i (x) = 2 x – 1
__
__
√
√
S

 
1
 + 

2 
 

| 3 
+ 
2
2   ) S (0 | 0); S (2 | 4) (
1
S (1 | 1)
__
__ 1
2
√
√
S2 ( 1 –  2   | 3  –  2 2    )
2 Schnittpunkte von Parabeln
a)Wie viele Schnittpunkte können zwei Parabeln besitzen?
keinen
oder einen Schnittpunkt, zwei Schnittpunkte
b) Bestimme die Schnittpunkte der Parabel f (x) = x2 mit der Parabel.
g (x) = x2 + 1 h (x) = – x2
i (x) = x2 – 2 x + 1
1    __
1  
S   __
keinen SP
S (0 | 0)
2 4
(  |  )
3 Aussagen über Schnittpunkte von Parabeln oder Geraden
Welche der Aussagen sind wahr? Notiere w oder f. Erstelle ggf. ein Beispiel oder eine Skizze.
a)
b)
c)
d)
Die Stellen der
Schnittpunkte einer
Parabel mit einer
Geraden erhält man
durch Gleichsetzen
der Funktionsterme.
Geometrisch bedeutet
das Lösen einer qua
dratischen Gleichung
immer die Schnitt
punktbestimmung
einer Parabel mit einer
Geraden.
Skizze/Beispiel
Skizze/Beispiel
w: p(x) =
g(x) =
x² =
S1 (–1 | 1);
w
x²
x+2
x+2
S2 (2 | 4)
Hat eine Gerade mit
einer Parabel den
Scheitelpunkt als
einzigen Schnittpunkt,
so ist die Gerade eine
Tangente.
Zwei nach oben
geöffnete Parabeln
können nicht zwei
Schnittpunkte
haben.
w
f
Skizze/Beispiel
Skizze/Beispiel
4 Quadratische Gleichungen
Die Parabeln sind verschobene oder gespiegelte Normalparabeln. Bestimme die Schnittpunkte.
a)
b)
Gleichung:
Gleichung:
y
y
– (x + 2)2 + 3 = 0
2
B
A
−4
x
−2
Gleichung:
x2 = – (x + 1)2 + 4
__
1   ±  __
1  √ 7  
__
–  
x1,2 =  2
2
4
2
F
−2
x
C
C D (– 2,4 | – 1,2) (0,9 | 0,4)
Gleichung:
y
G
– x2 + 5 = (x – 1)2 – 1
___
1   ±  __
1  √ 11  
__
–  
x1,2 =  2
2
4
2
H
−2
(x + 1)2 – 3 = 0,5 x
___
3 __
1  √ 41  
__
 
 
±  
–  
x1,2 =  4
4
x1 =  x
– 2,4
0,9
2 =  −2
d)
x1 =  x
– 1,8
0,8
2 =  E F (– 1,8 | 3,3) (0,8| 0,7)
x
−2
A B (– 3,7 | 0) (– 0,3| 0)
y
E
D
x1,2 = – 2 ± √ 3  
x1 =  x
– 3,7
– 0,3
2 =  −2
c)
2
__
x
x1 =  x
– 1,2
2,2
2 =  (– 1,2| 3,7) (2,2| 0,3)
G H 37
Quadratische Funktionen finden
1 Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform
Bestimme die Koeffizienten in der Scheitelpunktform f (x) =  a (x – d)2 + e.
a) a =  0,5
d =  0
e =  1,5
b) a =  – 2
d =  – 2
e =  0
c) a =  1
d =  1
e =  0,5
y
a)
2
c)
x
−2
b)
2
−2
2 Verschobene Normalparabel
Gib die verschobene Normalparabel in der Scheitelpunktform f (x) = (x – d)2 + e oder allgemeinen
Form f (x) = x2 + b x + c an, die die angegebene Bedingung erfüllt.
b) Die Parabel schneidet
a) Die Parabel hat
den Scheitelpunkt
S (– 1 | – 3).
c) Die Parabel schneidet
die x-Achse an den
Stellen – 3 und 4.
2
f (x)  =  (x + 1)  – 3
f (x)  =  x
die y-Achse bei 4, ihre
Symmetrieachse geht
durch P (2 | 0).
2
f (x)  =  (x – 2) 2 – x – 12
3 Parabel – Funktionsgleichung
Gib die zu den Graphen gehörenden Funktionsgleichungen an.
a)
b)
f (x)
f (x)
2
x
−4
−2
2
4
f (x)
−4
−2
x
2
−2
−2
−4
−4
f (x)  =  – 0,5 x2 – 1,5 x + 2
f (x) = – (x – 3)2 
die y-Achse bei 3 und
schneidet die x-Achse
bei 3.
2
f (x)  =  x  – 4 x + 3
c)
x
2
d) Die Parabel schneidet
f (x) =  1,5 x2 + 1,5 x – 3 
=  – x2 + 6 x – 9
4 Funktionsgleichungen
Gesucht ist die Gleichung einer quadratischen Funktion f (x) = ax2 + bx + c.
a)
Nullstellen
x1 = 1; x2 = 5;
Punkt P (2 | 4)
b)
f (x)  =  20
4  x2 + 8 x +  ___
  
–  __
Scheitelpunkt
S(– 2 | 2);
Punkt P (4 | 9)
f (x)  =  7
___
  7    x2 +  __
  x 
c)
y-Achsenabschnitt – 1;
Punkte P1 (1 | 1);
P2 (2 | 1)
f (x)  =  – x
2 + 3 x – 1
25
+  ___
  
3
3
36
9
9
5 Fragen zu Parabeln
Gib die Funktion f (x) = a x2 + b x + c an und beantworte die Frage.
In einem Fall gibt es keine eindeutige Funktion.
Bedingungen
a) Der Scheitelpunkt ist S (1 | 8) und eine
Nullstelle ist bei 3.
b) Der Scheitelpunkt ist S (2 | 4) und
P (– 1 | 1) liegt auf dem Graphen.
c) Die Nullstellen sind 2 und 6.
38
Funktion
d) Nullstellen
x1 = 3; x2 = – 1;
Streckfaktor – 1.
f (x)  =  – x
2 + 2 x + 3
Frage
Wo liegt die zweite Nullstelle?
f (x)  =  – 2 x2 + 4 x + 6 Nullstelle bei – 1.
Wie lautet der Punkt an der Stelle 1?
(  |  )
8
1  x2 +  __
4  x  +  __
f (x)  =  –  __
 
  11
   
3
3
3 1   __
3
f (x) = x2 – 8 x + 12
f (x)  =  – x2 + 8 x – 12
f (x)  =  2 x2 – 16 x + 24
Wo liegt der Scheitel?
Scheitel an der Stelle 4.
Komplexe Aufgaben 1
1 Kugelstoß
Die Flugbahn einer Kugel kann durch die Gleichung
h (x)  = – 0,2 x2 + 1,2 x + 1,6 beschrieben werden.
Dabei bezeichnet x die horizontale Entfernung vom
Abstoßpunkt und h (x) die Höhe über dem Boden in
Metern.
a) Skizziere die Bahn der Kugel.
y
4
2
x
2
b) Bestimme die Abstoßhöhe. 1,60 m
4
6
8
c) Wo war der höchste Punkt der Kugel? (3 m | 3,4 m)
e)Beim Lösen der Gleichung  – 0,2 x2 + 1,2 x + 1,6 = 0 erhält man zwei Lösungen.
Welche Bedeutung haben die beiden Lösungen?
negative
Lösung: keine Bedeutung; positive Lösung: Landestelle der Kugel bei 7,12 m
2 Gateway Arch
Das Wahrzeichen der Stadt St. Louis ist der Gateway Arch, ein
192 m großer Bogen, der von Eero Saarinen gestaltet wurde.
Der parabelförmige Bogen kann durch die Gleichung
f (x)  =  – 0,0208 x2 + 192 beschrieben werden.
a) Wie breit ist der Bogen (am Boden)? 192,15 m
b)Während einer Flugshow möchte ein Flugzeug unter dem
Bogen hindurch fliegen. Passt das Flugzeug mit einer
Spannweite von 20 m in einer Höhe von 100 m hindurch,
wenn es einen Sicherheitsabstand von 10 m zum Bogen ein
halten muss?
f (x) = 100
liefert |x| = 66,5 m. Breite 133 m reicht.
c)Welche maximale Flughöhe muss der Pilot mit den Sicherheitsbestimmungen einhalten?
f (20) = 183,68 m.
Aus Symmetriegründen max. Flughöhe 183,68 m bei 40 m Breite
3 Basketball
Die Flugbahn eines Freiwurfs eines Spielers im Basketball kann
durch die Funktion f (x) = – 0,5 x2 + 2,4 x + 2 beschrieben
werden. Dabei bezeichnet x die horizontale Entfernung vom
Abwurfpunkt und f (x) die Höhe des Balles über dem Boden in
Metern.
a) Skizziere die Bahn des Basketballs.
b) Welche Bedeutung hat f (0)? Abwurfhöhe
f (x)
8
6
4
2 m
c) Wo hat der Ball seinen höchsten Punkt? (2,40 m | 4,88 m)
d)Der Korb hängt in einer Höhe von 3,05 m. Aus welcher
Entfernung wird der Freiwurf ausgeführt? f (x) = 3,05
liefert
2
x
2
4
6
4,31 m.
39
Komplexe Aufgaben 2
1 Sprungverhalten eines Basketballs
Bei einem Experiment zum Sprungverhalten von Bällen hat
man die Flugkurven analysiert. Bei der Sorte Gixi ergab sich
nebenstehender Bildausschnitt.
Die beiden Parabelbögen können durch die Funktionen
f (x)  =  – 7,5 x2 + 6 x und g (x) = – 10 x2 + 22 x – 11,2
beschrieben werden.
a)Wie hoch sprang der Ball jeweils ?
1,20 m;
1.
2.
3.
0,90 m
b)Bestimme den Abstand zwischen dem 1. und 3. Auftreffpunkt.
1,40 m
c)Beim dritten „Sprung“ des Balles wurde eine Höhe von 0,6 m gemessen, beim vierten Auftreffpunkt hatte der Ball eine Strecke von 1,90 m zurückgelegt.
Bestimme die Gleichung der Parabel, die diesen Sprung beschreibt.
h (x) = – 9,6 (x – 1,65) 2 + 0,6
2 Golf
Im Golfsport benutzen die Spieler unterschiedliche Schläger, die
Einfluss auf die Höhe und Weite der Flugbahn der Bälle haben.
Dabei verwendet man für kurze bis mittlere Distanzen, bei denen
es unter Umständen auch wichtig ist, dass der Ball unmittelbar
nach dem Aufkommen liegen bleibt, Eisenschläger.
Verena hat verschiedene Eisen in ihrer Golftasche. Die Flugbahn
eines von ihr mit einem „Eisen 6“ geschlagenen Balls kann durch
die Funktion f mit f (x) = – 0,004 x2 + 0,6 x beschrieben werden.
a)Wie weit fliegt der Ball? 150 m
b)Bestimme den höchsten Punkt der Flugbahn des Balls. P (75 | 22,5)
c)Welche Höhe hat der Ball 20 m nach dem Abschlag erreicht? 10,4 m
d) Wann erreicht er eine Höhe von 20 m? nach
50 m und nach 100 m
e)Mit einem anderen Eisen kann Verena den Ball 132 m weit schlagen, wobei eine maximalen
Höhe von 38 m erreicht wird.
Bestimme die Gleichung einer quadratischen Funktion, die diese Flugbahn beschreiben könnte.
f (x)  =  – 0,0087 x2 + 1,15 x
40
Komplexe Aufgaben 3
1 Speerwurf
Die Flugbahn eines Speeres kann ohne
Berücksichtigung der Luftreibung durch die
Funktion f (x) = – 0,02625 x2 + x + 2 beschrie
ben werden. Dabei bezeichnet x die horizontale
Entfernung vom Abwurfpunkt und f (x) die Höhe
des Speeres über dem Boden in Metern.
a) Skizziere die Flugbahn des Speeres.
b) Wie weit fliegt der Speer? f (x)
20
10
x
10
20
30
40
50
60
40 m
c) Bestimme den höchsten Punkt der Flugbahn.
(19,05 m | 11,52 m)
d)Wie verändern sich Weite und höchster
Punkt, wenn die Bahn des Speers durch
f (x)  = – 0,03 x2 + x + 2 beschrieben wird?
Weite: 35,23 m
Höchster Punkt:(16,67 | 10,33)
Was bedeutet dies für den Abwurfwinkel?
Der
Abwurfwinkel ist kleiner.
2 Medizinballwurf
Die Flugbahn eines Medizinballes ist im nebenste
henden Bild dargestellt.
a)Beschreibe die Flugbahn des Balles mithilfe
einer Funktionsgleichung.
5
1 2 __
___
f (x)  =  –  12    x  +  6  x + 2
b)Überprüfe deine Funktionsgleichung anhand
weiterer Punkte.
(4 | 4),
Höhe in m
4
2
Weite
in m
2
8
10
12
(6 | 4), (10 | 2), (12 | 0)
3 Gewinn
Der Gewinn einer Firma hängt vom Einsatz des in Werbung
investierten Geldes ab. Laut Untersuchung der Marketingabteilung
besteht ein funktionaler Zusammenhang, der sich durch die
Gleichung G (x) = – 0,6 x2 + 24 x + 220 beschreiben lässt.
Dabei ist x das für Werbung eingesetzte Geld und G (x) der erzielte
Gewinn in Tausend Euro.
a) Zeichne den dazugehörigen Graphen.
b)Unterbreite der Geschäftsleitung einen Vorschlag über das einzu
setzende Geld für Werbung.
Mit
6
4
G (x) in 1000 €
600
400
200
x in 1000 €
20
40
60
20 000 € für Werbung wird der maximale Gewinn von 460 000 € erzielt.
41
Abschlusstest – quadratische Funktionen
und quadratische Gleichungen
1 Graphen zeichnen
a)Zeichne den Graphen der Funktion f mithilfe
einer Wertetabelle.
y
4
1 x
f: y =  __
  2 + 2 x + 4
4 2
x
– 2
– 1
0
1
– 4
– 6
y
1
1,75
4
6,25
0
1
x
−6
−4
−2
2
4
6
−2
b)Zeichne den Graphen der Funktion g mit der
Gleichung y = – ( x – 4)2 – 3, ohne vorher
eine Wertetabelle zu erstellen.
−4
2 Graphen erkennen und Funktionsgleichung angeben
Welche Graphen können zu einer quadratischen
Funktion gehören? Gib in diesen Fällen die
Funktionsgleichung an.
II
I
y
III
4
IV 2
II:
y = (x – 1) 2 + 2
IV:
y = – 2 (x – 1) 2 + 3
x
−6
−4
−2
2
4
6
−2
−4
3 Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion, von deren Graph bekannt ist:
a) Scheitelpunkt S (1 | 4); Punkt A (– 1 | 12) liegt auf dem Graphen. y = 2 (x – 1) 2 + 4
1 2
__
b) A (– 2 | – 4), B (1 | – 8,5), C (2 | – 12) liegen auf dem Graphen. y = –  2  x  – 2 x – 6
c) Normalparabel mit den Nullstellen 0 und 3. y = x (x – 3) = x2 – 3 x
4 Quadratische Gleichung
Bestimme die Lösungen.
3 x2 – 27 = 0
4 x2 = 12 x
x2 + 6 x + 9 = 0
x2 – 10 x + 9 = 0
3 x2 – 6 x + 10 = 1
x1 = 3; x2 = – 3
x1 = 0; x2 = 3
x = – 3
x1 = 1; x2 = 9
keine Lösung
5 Scheitelpunktform – Normalform – faktorisierte Form
Bestimme die fehlenden Darstellungsformen.
a) y = x2 – x – 6 ( 
2
)
2
1    – 6,25 = (x – 3) (x + 2)
 =  x –  __
b) y = – 4 (x – 6)2 – 44   =  – 4 x2 + 48 x – 188 = / 42
(keine Nullstellen)
Abschlusstest – quadratische Funktionen
und quadratische Gleichungen
6 Wahr oder falsch?
Welche der Aussagen zum Finden einer quadratischen Funktion y = a x2 + b x + c sind wahr?
Entscheide und gib die Funktion an oder begründe, warum die Angabe nicht zu einer eindeutigen
Lösung führt.
Bedingung
w
f
Funktion/Begründung
a) Mit der Angabe des Scheitelpunktes S (1 | – 4) wird die
Öffnung ist variabel
Gleichung eindeutig bestimmt.
b) Durch die drei Punkte P1 (0 | 1), P2 (1 | 2), P3 (– 2 | 11) wird die
y = 2 x2 – x + 1
c) Mit den zwei Punkten P1 (0 | 0) und P2 (1 | 2) und dem Streck
faktor a = – 1 wird die Gleichung eindeutig bestimmt.
y = – (x – 1,5)2 + 2,25
d) Mit der Angabe des Punktes P (2 | 1) und der Symmetrieachse
y-Koordinate des
Scheitelpunktes kann variieren.
Gleichung eindeutig bestimmt.
durch (4 | 0) wird die Gleichung eindeutig bestimmt.
7 Schnittpunkte
1  x2 + 4 x – 2
Bestimme die Schnittpunkte der quadratischen Funktion f mit f (x) =  __
2
___
a) mit den Koordinatenachsen. y-Achse: (0 | – 2)
x-Achse: (– 4  + √20   | 0);
b) mit der linearen Funktion g: y = 2 x – 4. S (– 2 | – 8)
___
c) mit der quadratischen Funktion h: y = x2? S1 (4 + √ 12   
| 55,7)
___
(– 4  – √20   | 0)
___
S2 (4 – √12   | 0,3)
8 Delfine
Delfine können sich auch mit Sprüngen fortbewegen.
Bei einer Tierbeobachtung stellt man fest, dass ein Sprung des
Delfins näherungsweise durch die Funktion mit der Gleichung
y = – 0,3 x2 + 2,16 x beschrieben werden kann.
a) Wie weit ist der Delfin gesprungen?
7,2 m
b)Bestimme die maximal erreichte Sprunghöhe.
3,89 m
c)Nach wie vielen Metern hatte der Delfin eine Höhe von 1,20 m erreicht? ca.
0,6 m und 6,6 m
9 Brückenbogen
Ein 12,5 m hoher Brückenbogen führt über einen 50 m breiten Geländeabschnitt.
a)Bestimme eine quadratische Funktion, die den Brückenbogen
beschreibt. y  =  – 0,02 x2 + x
b)Fünf Meter von den Endpunkten A bzw. B sollen Stützpfeiler
errichtet werden. Wie hoch müssen sie werden?
A
B
4,50 m
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