Kompetenz-Training "Quadratische Funktionen"

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Quadratische Funktionen
Kompetenzorientiertes Üben
Kompetenzen „Quadratische Funktionen“ 1
Die unten dargestellten Kompetenzen werden u. a. in einem Leistungsnachweis verlangt.
Das Raster dient der Selbsteinschätzung. Schüler/innen können ja nach Bedarf individuell
Aufgaben auswählen und üben.
Nr.
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
K8
K9
K10
1
Kompetenz
Ich kann ….
zu einer Funktionsgleichung eine Wer- Aufgabe
tetabelle erstellen und den Graph der 1, 2, 3 und 4
Funktion zeichnen.
anhand eines Funktionsgraphen Null- Aufgabe
stellen und Scheitelpunkt bestimmen.
6
an Hand der Lage und Form der Pa- Aufgabe
rabel auf geeignete Funktionsglei- 4, 5, 6 und 8
chungen schließen.
die Funktionsgleichung in der Schei- Aufgabe
telpunktsform aufstellen, wenn die 5, 7, 9 und 10
Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind.
die Funktionsgleichung aus der Schei- Aufgabe
telpunktsform in die Normalform um- 6c, 9 und 10
wandeln.
mit Hilfe der Scheitelpunktsform die Aufgabe
Nullstellen berechnen.
11
aus der Normalform die Scheitel- Aufgabe
punktsform, den Scheitelpunkt und die 7
Funktionsgleichung bestimmen.
gestauchte und gestreckte Parabeln Aufgabe
erkennen und den Stauchungsfaktor 12 und 13
ermitteln.
zu einer Sachsituation eine geeignete Aufgabe
quadratische Funktionsgleichung auf- 14, 15 und 16
stellen und die oben beschriebenen
Verfahren zur Lösung der Sachsituation nutzen.
die Nullstellen einer quadratischen Aufgabe
Gleichung rechnerisch bestimmen.
7
Andreas Koepsell, Fachmoderator Mathematik, Niedersachsen
--
-
0
+
++
Quadratische Funktionen
Kompetenzorientiertes Üben - Aufgabenteil
1. Aufgabe:
Kompetenz K1: Man kann zu einer Funktionsgleichung ...
- eine Wertetabelle erstellen und
- den Graph der Funktion zeichnen.
Erstelle zu den vier Funktionsgleichungen (Scheitelpunktsform) jeweils eine Wertetabelle
und zeichne die Graphen der Funktionen in das Koordinatenkreuz. Wähle x-Werte, die sich
im gegebenen Koordinatensystem darstellen lassen.
Beachte: 1 mal entsteht keine Parabeln.
Hinweis: f(x) = y
a)
f(x) = 1,5·x – 2
b)
g(x) = –x² – 4
c)
h(x) = (x + 3)² – 3
d) t(x) = 2x²
a)
x
f(x)
b)
x
g(x)
c)
x
h(x)
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5 x
2. Aufgabe:
Kompetenz K3: Man kann an Hand der Lage und Form der Parabel auf
die richtige Funktionsgleichungen schließen.
Die drei Wertetabellentabellen stellen jeweils eine Funktion dar.
a) Zeichne jeweils den Graphen in das Koordinatensystem.
b) Ermittle die Funktionsgleichungen für diese Funktionen.
Beschreibe in einem Text, wie du vorgegangen bist.
x
–5,0
–4,0
–3,0
–2,0
–1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
f(x)
45,0
32,0
21,0
12,0
5,0
0,0
-3,0
-4,0
-3,0
0,0
5,0
g(x)
3,0
2,0
-1,0
-6,0
-13,0
-22,0
-33,0
-46,0
-61,0
-78,0
-97,0
h(x)
27,0
18,0
11,0
6,0
3,0
2,0
3,0
6,0
11,0
18,0
27,0
Koordinatensystem: Bitte beachte! x-Achse: 1 cm = 1 Einheit ; y-Achse: 0,5 cm = 1 Einheit
y
6
4
2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
-4
-6
-8
-10
Scheitelpunkt
Scheitelpunktsform
S1(
|
)
f(x) =
S2(
|
)
g(x) =
S3(
|
)
h(x) =
3
4
5
6 x
3. Aufgabe:
Gegeben sind drei Funktionsgleichungen (Normalform):
a)
f(x) = 0,5·x² – 3x – 5
b)
g(x) = –x² + 2x + 6
c)
h(x) =
1
3
(x – 4)² – 4
Erstelle jeweils eine Wertetabelle für die drei Funktionen und zeichne die Funktionsgraphen
in das vorgegebene Koordinatenkreuz. Wähle x-Werte, die sich im gegebenen Koordinatensystem darstellen lassen.
a)
x
f(x) = y
b)
x
g(x) = y
c)
x
h(x) = y
y
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
-6
-8
-10
2
3
4
5
6
7
8 x
4. Aufgabe:
Vervollständige zu den gegebenen Funktionsgleichungen (Normalform) die Wertetabellen
und zeichne die Funktionsgraphen in das Koordinatenkreuz.
a)
x
–2,0
f(x) = –x² + 4x – 1,5
–1,0
b)
0,0
g(x) = x² – 6x + 6
1,0
2,0
3,0
4,0
f(x)
g(x)
y
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
6 x
5,0
5. Aufgabe:
Kompetenz K4: Man kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktsform aufstellen,
wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind.
Kompetenz K5: Man kann die Funktionsgleichung aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umwandeln.
Fülle die Tabelle aus. Alle Funktionsgraphen habe die Form einer Normalparabel.
Scheitelpunkt S
Öffnung
S( -3 | 2 )
nach oben
S( 7 |–3 )
nach unten
S( –0,5 | 3,5 )
nach unten
Funktionsgleichung
Scheitelpunktsform
Funktionsgleichung
Normalform
2
f(x)= ( x – 12) – 5
2
f(x) = – 0,75·(x + 4,5) –7
6. Aufgabe:
die richtige Funktionsgleichungen schließen.
a) Ermittle aus der Zeichnung alle Scheitelpunkte.
b) Stelle für die Funktionsgraphen die Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktsform auf.
c) Wandel die Scheitelpunktsform in die Normalform um.
k(x)
y
f(x)
i(x)
6
4
2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
g(x)
-10
h(x)
5
6 x
Trage die Lösungen in die folgende Tabelle ein:
Scheitelpunkt
Scheitelpunktsform
S1(
|
)
f(x) =
S2(
|
)
g(x) =
S3(
|
)
h(x) =
S4(
|
)
k(x) =
S5(
|
)
i(x) =
Normalform
7. Aufgabe:
Kompetenz K7: Man kann aus der Normalform die Scheitelpunktsform, den Scheitelpunkt und die
Kompetenz K10: Man kann die Nullstellen einer quadratischen Gleichung rechnerisch bestimmen.
Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = –3x2 –6x + 9.
a)
b)
c)
d)
Berechne die Nullstellen (x1 und x2) der quadratischen Gleichung.
Bestimme aus der Normalform die Scheitelpunktsform.
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Scheitelpunktsform.
Überprüfe, ob der Punkt A( 2 | –15 ) ein Punkt auf dem Funktionsgraphen ist.
Scheitelpunkt
S1(
|
)
Scheitelpunktsform
A( 2 | –15 )
f(x) = –3x2 –6x + 9
f(x) =
Punkt
Scheitelpunktsform
f(x) =
Normalform
f(x)
f(x) = y =
8. Aufgabe:
die richtige Funktionsgleichung schließen.
Ordne die Funktionsgleichungen den entsprechenden Funktionsgraphen zu.
f1(x) = x²
___
f4(x) = - x² + 3 ___
f2(x) = x² - 4 ___
f3(x) = x² - 3x ___
___
f6(x) = - 0,2x² ___
f5(x) = 2x²
y
y
a
b
1
1
x
1
y
1
x
1
x
y
c
d
1
1
x
1
e
f
y
y
1
1
1
x
1
x
9. Aufgabe:
die richtige Funktionsgleichung schließen.
wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind bzw. abgelesen werden können.
Alle gezeigten Funktionsgraphen haben die Form einer Normalparabel.
a ) Stelle die Funktionsgleichungen zunächst in der Scheitelpunktsform auf.
b ) Verwandle die Scheitelpunktsform anschließend in die Normalform.
y
6
g(x)
5
k(x)
4
3
f(x)
h(x)
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
i(x)
-2
-3
-4
-5
-6
Scheitelpunkt
Scheitelpunktsform
S1(
|
)
f(x) =
S2(
|
)
g(x) =
S3(
|
)
h(x) =
S4(
|
)
i(x) =
S5(
|
)
k(x) =
Normalform
7 x
10. Aufgabe:
Kompetenz K5: Man kann die Funktionsgleichung aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umwandeln u.u.
Kompetenz K7: Man kann aus der Normalform die Scheitelpunktsform, den Scheitelpunkt und die
a) Fülle die Tabelle aus. Alle Funktionsgraphen haben die Form der Normalparabel.
b) Skizziere die Funktionsgraphen in dem gegebenen Koordinatenkreuz und beschrifte
sie eindeutig.
Scheitelpunkt
Öffnung
Scheitelpunktsform
S1( –3,5 | 3 )
nach unten
f(x)=
S2( 5 | –2,5 )
nach oben
g(x)=
Normalform
h(x)= –(x + 1,5)2 – 6
i(x)= (x + 6)2 – 4,5
k(x)= x² –4x – 5
m(x)= x² + 3
y
6
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
2
3
4
5
6
7 x
11. Aufgabe:
Kompetenz K6: Man kann mit Hilfe der Scheitelpunktsform die Nullstellen berechnen.
a) Gegeben sind die folgenden Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktsform.
Berechne für jede Funktion die Nullstellen.
(Hilfe: Fast alle Nullstellen haben ganzzahlige Koordinaten.)
f(x) = (x – 5,5)² – 2,25
g(x) = –(x – 0,5)² + 2,25
h(x) = –(x + 2)² + 4
i(x) = 0,5(x + 0,25)² – 3,78125
b) Bestimme die Scheitelpunkte der Parabeln. Zeichne die Parabeln in das gegebene
Koordinatenkreuz mit Hilfe der Scheitelpunkte und Nullstellen ein.
y
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
2
3
4
5
6 x
12. Aufgabe:
Kompetenz K6: Man kann gestauchte und gestreckte Parabeln erkennen und den Stauchungsfaktor ermitteln.
Bestimme die Funktionsgleichungen der vier Parabeln.
Hilfe: Suche auf jedem Funktionsgraphen den Scheitelpunkt und mindestens einen weiteren
Punkt mit ganzzahligen Koordinaten. Beschrifte diese Punkte in der Koordinatenschreibweise. Benutze diese Punkte, um die Funktionsgleichungen f ( x) = a ⋅ x 2 aufzustellen.
y
4
3
f(x)
g(x)
h(x)
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
k(x)
-3
-4
Scheitelpunkt
weiterer Punkt
Scheitelpunktsform
S1(
|
)
A1(
|
)
f(x) =
S2(
|
)
A2(
|
)
g(x) =
S3(
|
)
A3(
|
)
h(x) =
S5(
|
)
A5(
|
)
k(x) =
4
13. Aufgabe:
Kompetenz K6: Man kann gestauchte und gestreckte Parabeln erkennen und den Stauchungsfaktor ermitteln.
Bestimme die Funktionsgleichungen der fünf Parabeln.
Hilfe: Suche auf jedem Funktionsgraphen den Scheitelpunkt und mindestens einen weiteren
Punkt mit ganzzahligen Koordinaten. Beschrifte diese Punkte in der Koordinatenschreibweise. Benutze diese Punkte, um die Funktionsgleichungen aufzustellen.
y
6
g(x)
k(x)
5
f(x)
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
h (x)
i(x)
-3
-4
-5
-6
Scheitelpunkt
weiterer Punkt
Scheitelpunktsform
S1(
|
)
A1(
|
)
f(x) =
S2(
|
)
A2(
|
)
g(x) =
S3(
|
)
A3(
|
)
h(x) =
S4(
|
)
A4(
|
)
i(x) =
S5(
|
)
A5(
|
)
k(x) =
5
6
7 x
14. Aufgabe:
Kompetenz K9: Man kann zu einer Sachsituation eine geeignete quadratische Funktionsgleichung aufstellen
und die oben beschriebenen Verfahren zur Lösung der Sachsituation nutzen.
Die Fehmarnsundbrücke – der größte Kleiderbügel der Welt.
Bildquelle: Harry Bauer / Albert-Schweitzer-GemS.
Bild darf für schulische Zwecke kopiert werden.
Die Fehmarnsundbrücke verbindet die Insel Fehmarn mit dem deutschen Festland.
Technische Angaben:
- Brückenlänge insgesamt: 963,4 m
- Scheitelhöhe des Bogens über dem Meeresspiegel: 68 m
- Durchfahrtshöhe für Schiffe: 23 m
- Spannweite des Bogens: 248 m
- Höhe des Bogens über der Fahrbahn: 45 m
Der Brückenbogen hat die Form einer Parabel.
a) Skizziere den Parabelbogen der Brücke in einem geeigneten Koordinatenkreuz.
Wähle die x-Achse in der Höhe der Fahrbahn.
b) Bestimme eine Funktionsgleichung, die den Brückenbogen beschreibt. Dokumentiere
dein Vorgehen.
c) Wenn man den Parabelbogen verlängern würde, würde er schließlich die Wasseroberfläche erreichen. Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parabelbögen mit der Wasseroberfläche. Dokumentiere dein Vorgehen.
15. Aufgabe:
Bürohaus „Berliner Bogen“
In Hamburg steht in der Nähe der S-Bahn-Station „Berliner Tor“ ein neues Bürohaus. Es hat
wegen seiner Form und Lage den Namen „Berliner Bogen“. Das Bürohaus besteht hauptsächlich aus Glas und Stahl.
Daten des Bürohauses: Länge = 140 m und Breite = 72 m
Beschreibung
Der Berliner Bogen in Hammerbrook wurde von Hadi Teherani entworfen.
Datum
9. Mai 2006
Quelle
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Urheber
Staro1
Genehmigung (Weiternutzung dieser Datei)
GNU FDL
a) Die Vorderseite des Bürohauses hat die Form einer Parabel. Zeichne in die Schnittzeichnung ein Koordinatenkreuz ein. Die x-Achse verläuft in der Parkebene, die yAchse geht durch den Scheitelpunkt der Parabel. Zeichne die Nullstellen mit Koordinaten ein.
3. Stockwerk
Parkebene
b) Welche der folgenden Funktionsgleichungen könnte die Gebäudeform richtig
beschreiben? Begründe deine Entscheidung und beschreibe auch, warum zwei
Funktionsgleichungen nicht infrage kommen.
f1 ( x ) =
1 2
x + 30
4
1
f 2 ( x) = − x 2 + 30
4
1
f 3 ( x) = − x 2 − 30
4
c) Das Gebäude ist von der Parkebene aus gemessen 36 m hoch. Bestimme die Funktionsgleichung, die den Gebäudebogen exakt beschreibt. Zeichne die Parabel in das
gegebene Koordinatenkreuz ein.
Hilfe: Bestimme aus den gegebenen Daten die Nullstellen.
Höhe in m
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Breite in m
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
25
30
d) Die Zwischendecke des 3. Stockwerks befindet sich in einer Höhe von 12,7 m.
Bestimme die Breite der Zwischendecke.
35
16. Aufgabe:
Bob Baemon
Bob Beamon sprang bei seinem Weltrekordsprung bei den Olympischen Spielen 1968 in
Mexiko City (Höhenlage!) 8,90 m weit.
Sein Körperschwerpunkt legte dabei in etwa die Bahn einer Parabel zurück, die angenähert
durch die Gleichung
y = - 0,0571 x2 + 0,3838 x + 1,14 beschrieben wird. y gibt dabei die jeweilige Höhe des Körperschwerpunkts über der Sprunggrube und x die horizontale Entfernung von der Ausgangslage beim Absprung an.
a) Erstelle eine Wertetabelle für die Flugparabel und zeichne die Flugkurve.
(xmin = 0, xmax = 8,10 m, Schrittweite h = 0,5 m) Benutze das Koordinatensystem auf
der nächsten Seite.
b) Hätte Bob Beamon bei seinem Weltrekord einen PKW übersprungen? Bestimme die
Koordinaten des Scheitelpunkts der Flugparabel und ermittle die Sprunghöhe des
Schwerpunkts.
c) Was weißt du über den von Bob Beamon aufgestellten Weltrekord?
Diagramm „Bob Beamon“:
Sprunghöhe (m)
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Sprungweite (m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Kompetenz-Training "Quadratische Funktionen"

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